Значение производной в точке как найти: Значение производной в точке. Онлайн калькулятор с примерами

вычислить значение производной на каждом из участков графика

Вы искали вычислить значение производной на каждом из участков графика? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычислить значение производной функции в точке x0, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели – у нас уже есть решение. Например, «вычислить значение производной на каждом из участков графика».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает.

Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вычислить значение производной на каждом из участков графика,вычислить значение производной функции в точке x0,геометрический смысл производной примеры решения задач,значение производной в точке,значение производной в точке как найти,значение производной функции f x в точке x,значение производной функции в точке,значение производной функции в точке как найти,как найти значение производной в точке,как найти значение производной в точке х0,как найти значение производной функции,как найти значение производной функции f x в точке x0,как найти значение производной функции f x в точке x0 по графику,как найти значение производной функции в точке,как найти значение производной функции в точке х0 по графику,как найти производную функции в точке x0,как по графику производной найти значение производной в точке,как по графику функции найти значение производной в точке х0,найдите значение производной,найдите значение производной в точке х0,найдите значение производной функции,найдите значение производной функции f x в точке y x0,найдите значение производной функции в точке,найдите значение производной функции в точке x0,найдите значение производной функции в точке х0,найти значение производной в точке x0,найти значение производной функции в точке,найти значение производной функции в точке х0.

На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вычислить значение производной на каждом из участков графика. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, геометрический смысл производной примеры решения задач).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычислить значение производной на каждом из участков графика Онлайн?

Решить задачу вычислить значение производной на каждом из участков графика вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Как найти наибольшее значение производной в точке. Производная функции

Сергей Никифоров

Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки при­со­еди­ня­ют­ся как к про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния, так и к про­ме­жут­кам убы­ва­ния, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.

Фарит Ямаев 26.10.2016 18:50

Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.

Служба поддержки

Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции – все они возрастают на отрезке

Владлен Писарев 02.11.2016 22:21

Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке .

Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.

Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.

Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) – входят.

Учитывая, что первая часть ЕГЭ для “средней группы детского сада”, то наверное такие нюансы- перебор.

Отдельно, большое спасибо за “Решу ЕГЭ” всем сотрудникам- отличное пособие.

Сергей Никифоров

Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.

Ирина Ишмакова 20.11.2017 11:46

Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу. Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.

Александр Иванов

В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.

В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.

Противоречия нет.

Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.

A Z 28.01.2019 19:09

Коллеги, есть понятие возрастания в точке

(см. Фихтенгольц например)

и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.

Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.

В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.

Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.

Александр Иванов

Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке . Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи.

Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т. е. f’(x) ≤ 0.

Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

Производная функции – одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное – понять смысл.

Запомним определение:

Производная – это скорость изменения функции.

На рисунке – графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

Ответ очевиден – третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

Вот другой пример.

Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , – разная. Что касается Матвея – у его дохода производная вообще отрицательна.

Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами – насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной – то есть может меняться быстрее или медленнее.

Производная функции обозначается .

Покажем, как найти с помощью графика.

Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого – тангенс угла наклона касательной .

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

Обратите внимание – в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

.

Мы получаем, что

Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других – убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

Вот что получается:

Если функция возрастает, ее производная положительна.

Если убывает, ее производная отрицательна.

А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

Точка – точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

В точке – точке минимума – производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

Запишем эти выводы в виде таблицы:

	возрастает	точка максимума	убывает	точка минимума	возрастает
+	0	–	0	+

Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое – на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала – и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется – она как была положительной, так и осталась.

Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

Как найти производные за 3 шага

В этой статье

1. Что такое производная?

2. 3 шага, чтобы найти деривативы

3. 4 практических упражнения

Что такое производная?

Производные измеряют мгновенную скорость изменения функции. Когда мы говорим о скорости изменения, мы говорим о склонах.

Мгновенная скорость изменения функции в точке равна наклону функции в этой точке. Когда мы находим наклон кривой в одной точке, мы находим наклон касательной. Касательная к функции в точке — это линия, едва касающаяся функции в этой точке.

Таким образом, производная функции в одной точке равна наклону касательной в этой точке.

Чтобы визуализировать касательную, давайте рассмотрим пример, в котором уравнение для касательной уже рассчитано. Рассмотрим функцию f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln{(x)}f(x)=ln(x), обозначенную синей линией.

Предположим, мы хотим найти производную от f(x)f(x)f(x) в точке (1,0)(1,0)(1,0). Касательная линия к кривой f(x)f(x)f(x) в точке (1,0)(1, 0)(1,0) представлена ​​красной линией, f(x)=x−1f( х) = х – 1f(x)=x−1. Обратите внимание, как эта линия касается f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln{(x)}f(x)=ln(x) только в одной точке, (1,0)(1, 0 )(1,0).

Касательная линия f(x)=x−1f(x) = x – 1f(x)=x−1 задается в форме пересечения наклона f(x)=mx+bf(x) = mx +bf(x )=mx+b, где mmm — наклон. Итак, мы можем легко увидеть, что наклон функции f(x)=x−1f(x) = x – 1f(x)=x−1 равен 1,

. Это означает, что мгновенная скорость изменения или производная функции f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln{(x)}f(x)=ln(x) в точке ( 0,1)(0, 1)(0,1) равно 1.

Мгновенная скорость изменения fff при aaa или производная от fffat aaa представлена ​​обозначением f’(a)f’(a)f’(a). Мы читаем вслух символ f’(a)f’(a)f’(a) либо как «производная от fff, оцененная в aaa», либо как «fff простое число в aaa».

Общая производная функция y=f(x)y = f(x)y=f(x) обычно представлена ​​либо f'(x)f'(x)f'(x), либо dydx\frac{dy} {дх}дхди​. (При необходимости вы можете прочитать больше о значении dy/dx.) Эта функция сообщает нам мгновенную скорость изменения fff по отношению к xxx в любой точке кривой.

Ниже вы можете посмотреть, как доктор Ханна Фрай объясняет, что такое производная.

3 шага для поиска производных

Далее мы узнаем, как именно найти производную функции. До сих пор мы узнали, что наклон в точке кривой называется наклоном касательной или мгновенной скоростью изменения.

Напротив, наклон между двумя отдельными точками на кривой называется наклоном секущей. Это значение наклона также называется средней скоростью изменения. Средняя скорость изменения поможет нам вычислить производную функции.

Чтобы найти среднюю скорость изменения, мы делим изменение выходных значений (значения y) на изменение входных значений (значения x). Дельта-символ Δx\Delta{x}Δx представляет «изменение xxx», то есть значение, на которое изменяется xxx. Средняя скорость изменения функции fff на интервале [a,b][a, b][a,b] равна:

Средняя скорость изменения = ΔyΔx = y2−y1x2−x1 = f(b)−f(a)b−a\text{Средняя скорость изменения} = \frac{\Delta{y}}{ \Delta{x}} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}Средняя скорость изменения=ΔxΔy​=x2​−x1​y2 ​−y1​=b−af(b)−f(a)​

Приблизив Δx\Delta{x}Δx к 0, мы можем найти мгновенную скорость изменения. Взгляните на предельное определение производной ниже.

Производная fff в точке xxx равна пределу средней скорости изменения fff на интервале [x,x+∆x][x, x+\Delta{x}][x,x+∆x] при ∆x\ Delta{x}Δx приближается к 0. Этот предел определяется формулой:

f'(x)=lim⁡Δx→0ΔyΔx=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=Lf'(x) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x } \to 0}\frac{\Delta{y}}{\Delta{x}}=\mathop{\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{{f\left( {x + \Delta{x} } \right) – f\left( x\right)}}{\Delta{x} }=Lf'(x)=Δx→0lim​ΔxΔy​=Δx→0lim​Δxf(x+ Δx)−f(x)​=L

Если этот предел существует, то f(x)f(x)f(x) дифференцируема, а производная функции fff в точке xxx равна LLL. Краткий обзор лимитов см. в статье Что такое лимиты? и Как найти пределы.

92f(x)=2×2 в предельное определение производной. Поначалу правильная замена первого члена числителя определения предела может быть сложной задачей. Суть в том, чтобы просто заменить xxx на (x+Δx)(x + \Delta{x})(x+Δx) везде, где xxx встречается в функции. 2}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx2(x+Δx)2−2×2​ 92}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx4xΔx+2Δx2​

=lim⁡Δx→04x+2Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0}4x + 2 \Delta{x}=Δx→0lim​4x+2Δx

Шаг 3

Наконец, мы можем оценить предел, когда Δx\Delta{x}Δx приближается к 0. Поскольку у нас осталась полиномиальная функция, а полиномы всегда непрерывной, мы можем просто подставить Δx=0\Delta{x} = 0Δx=0 в функцию, с которой мы остались.

f'(x)=lim⁡Δx→04x+2Δxf'(x)= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0}4x + 2\Delta{x}f'(x )=Δx→0lim​4x+2Δx 92f(x)=2×2 равно 4x4x4x. Если вы хотите найти производную в одной точке, вы можете просто подставить x=ax = ax=a в f’(x)=4xf’(x) = 4xf’(x)=4x. Например:

• f’(1)=4(1)=4f’(1) = 4(1) = 4f’(1)=4(1)=4. Это значение представляет собой наклон касательной при x=1x = 1x=1.

• f’(2)=4(2)=8f’(2) = 4(2) = 8f’(2)=4(2)=8. Это значение представляет собой наклон касательной при x=2x = 2x=2.

• f’(100)=4(100)=400f’(100) = 4(100) = 400f’(100)=4(100)=400. Это значение представляет собой наклон касательной при x=100x = 100x=100.

Стандартные правила для производных

Теперь, когда вы знакомы с предельным определением производной, вы можете начать запоминать приведенные ниже стандартные правила для производной. Эти производные правила выводятся из предельного определения производной. Они позволяют нам оценивать производные намного быстрее.

Вот некоторые из наиболее распространенных производных правил, которые необходимо знать:

Постоянное правило

ddxc=0\frac{d}{dx}c = 0dxd​c=0

9{n-1}dxd​(xn)=nxn−1

Частный случай степенного правила (где n=1): ddx(x)=1\frac d{dx}(x)=1dxd​(x) =1

Постоянное множественное правило

ddx(c⋅f(x))=c⋅f′(x)\frac d{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot f'(x) dxd​(c⋅f(x))=c⋅f′(x)

Цепное правило

ddxf(g(x))=f'(g(x))g'(x)\frac{d} {dx}f(g(x)) = f'(g(x))g'(x)dxd​f(g(x))=f'(g(x))g'(x)

Продукт Правило

ddx[f(x)⋅g(x)]=f'(x)⋅g(x)+f(x)⋅g'(x)\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)dxd​[f(x)⋅g(x)]=f'(x) ⋅г(х)+f(х)⋅г'(х) 9xdxd​(ex)=ex

Д-р Тим Шартье объясняет больше о производных правилах произведения и частного.

4 практических упражнения

Упражнение 1

Пусть f(x)=7x−1f(x) = 7x – 1f(x)=7x−1. Используя предельное определение производной, найдите f’(x)f’(x)f’(x).

Решение

Подстановка вашей функции в определение предела может оказаться самым трудным шагом для функций с несколькими терминами. Не забудьте перепроверить свой ответ, использовать круглые скобки там, где это необходимо, и правильно распределять отрицательные знаки.

f'(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x)= \mathop {\lim}\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{ {f\left( {x + \Delta{x}} \right) – f\left( x \right)}}{\Delta{x}}f'(x)=Δx→0lim​Δxf(x+Δx )−f(x)​

=lim⁡Δx→07(x+Δx)−1−(7x−1)Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac {7(x + \Delta{x}) – 1 – (7x – 1)}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx7(x+Δx)−1−(7x−1)​

= lim⁡Δx→07x+7Δx−1−7x+1Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{7x + 7\Delta{x} – 1 – 7x + 1} {\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx7x+7Δx−1−7x+1​

=lim⁡Δx→07ΔxΔx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{7\Delta{x}}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δx7Δx

=lim⁡Δx→07= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} 7=Δx→0lim​7

=7=7=7

Итак, f'(x )=7f'(х) = 7f'(х)=7.

Упражнение 2

Пусть f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1​. Используя предельное определение производной, найдите f’(x)f’(x)f’(x).

Раствор

После подстановки нашей функции в определение предела нам нужно объединить две дроби в числителе, найдя общий знаменатель, а затем соответствующим образом умножив.

f'(x)=lim⁡Δx→0f(x+Δx)−f(x)Δxf'(x)= \mathop {\lim}\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{ {f\left( {x + \Delta{x}} \right) – f\left( x \right)}}{\Delta{x}}f'(x)=Δx→0lim​Δxf(x+Δx )−f(x)​

=lim⁡Δx→01x+Δx−1xΔx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{\frac{1}{x + \ Delta{x}} – \frac{1}{x}}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δxx+Δx1​−x1​​

=lim⁡Δx→0xx(x+Δx)−( x + Δx) x (x + Δx) Δx = \ mathop {\ lim } \ limits _ {\ Delta {x} \ to 0} \ frac {\ frac {x} {x (x + \ Delta {x})} – \frac{(x+ \Delta{x})}{x(x+ \Delta{x})}}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δxx(x+Δx)x​−x(x+ Δx)(x+Δx)​

= lim⁡Δx→0x−x−Δxx(x+Δx)Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{\frac{x-x-\Delta{x} }{x(x+\Delta{x})}}{\Delta{x}}=Δx→0lim​Δxx(x+Δx)x−x−Δx​​

=lim⁡Δx→0−Δxx(x +Δx)⋅1Δx= \mathop {\lim }\limits_{\Delta{x} \to 0} \frac{-\Delta{x}}{x(x+ \Delta{x})} \cdot \frac{ 1}{\Delta{x}}=Δx→0lim​x(x+Δx)−Δx​⋅Δx1​

=lim⁡Δx→0−1x(x+Δx)= \mathop {\lim }\limits_ {\Delta{x} \to 0} \frac{-1}{x(x+\Delta{x})}=Δx→0lim​x(x+Δx)−1​

=−1x(x+0 )= \frac{-1}{x(x+0)}=x(x+0)−1​

9{cos{(x)}}f(x)=3×2+ecos(x). Используя правила производных, найдите f’(x)f’(x)f’(x).

Раствор

Для этой задачи нам нужно использовать правило суммы. Правило суммы гласит, что производная суммы функций равна сумме их производных. Чтобы найти производную каждой отдельной функции, мы можем использовать правило степени и правило постоянного множителя для первого члена, а также цепное правило, правила тригонометрии и экспоненциальное правило для второго члена. 9{\cos{(x)}}f'(x)=6x−sin(x)ecos(x).

Упражнение 4

Пусть f(x)=2xsin⁡(5x)f(x) = 2x\sin{(5x)}f(x)=2xsin(5x). Используя правила производных, найдите f’(x)f’(x)f’(x).

Раствор

Для этой задачи нам нужно использовать правило продукта. Правило произведения гласит, что производная произведения функций равна сумме первой функции, умноженной на производную от второй, и второй функции, умноженной на производную от первой.

Первая функция в нашем продукте — 2x2x2x. Чтобы найти производную от этого, мы используем частный случай правила произведения с n = 1n = 1n = 1, а также правило постоянного множителя с c = 2c = 2c = 2. Применяя эти правила, мы находим, что производная 2x2x2x равна

ddx(2x)=2⋅1=2\frac d{dx}\left(2x\right)=2\cdot1=2dxd​(2x)=2⋅1=2

Для второй функции в нашем произведении , у нас есть композиция функций с sin⁡(5x)\sin{(5x)}sin(5x). Цепное правило гласит, что производная композиции функций находится, если сначала взять производную «внешней» функции и оставить «внутреннюю» неизменной, а затем умножить на производную «внутренней» функции.

Таким образом, чтобы найти производную sin⁡(5x)\sin{(5x)}sin(5x), мы можем просто использовать правила тригонометрии для sin, а затем умножить на 555, что является производной внутренней функции 5x5x5x. Производная внутренней функции находится с использованием специального случая степенного правила для n=1n=1n=1 и постоянного кратного правила.

Подставив найденные производные в Правило продукта, мы получим:

f'(x)=2x⋅cos⁡(5x)⋅5+sin⁡(5x)⋅2f'(x) = 2x \cdot \cos{(5x)} \cdot 5 + \sin{(5x) } \cdot 2f'(x)=2x⋅cos(5x)⋅5+sin(5x)⋅2

f'(x)=10xcos⁡(5x)+2sin⁡(5x)f'(x) = 10x\cos{(5x)} + 2\sin{(5x)}f'(x)=10xcos( 5x)+2sin(5x)

Итак, f'(x)=10xcos⁡(5x)+2sin⁡(5x)f'(x) = 10x\cos{(5x)} + 2\sin{(5x) }f'(x)=10xcos(5x)+2sin(5x).

Ознакомьтесь с отмеченными наградами курсами For-Credit от Outlier

Outlier (от соучредителя MasterClass) собрал лучших в мире преподавателей, дизайнеров игр и кинематографистов для создания будущего онлайн-колледжа.

Ознакомьтесь с этими связанными курсами:

Исчисление I

Исследуйте курс

Исчисление I

Математика изменений.

Изучить курс

Предварительное исчисление

Изучить курс

Предварительное исчисление

Освоить строительные блоки исчисления.

Изучить курс

Критическая точка — определение, график, как найти критические точки?

Концепция критической точки очень важна в исчислении, так как она широко используется при решении задач оптимизации. График функции имеет либо горизонтальную касательную, либо вертикальную касательную в критической точке. На основании этого выведем еще несколько фактов о критических точках.

Давайте узнаем больше о критических точках вместе с их определением и тем, как найти их из функции и из графика, а также несколько примеров.

1.	Что такое критическая точка функции?
2.	Поиск критических точек
3.	Критические точки на графике
4.	Критические точки многомерных функций
5.	Часто задаваемые вопросы о критических точках

Что такое критическая точка функции?

Критическая точка функции y = f(x) — это точка (c, f(c)) на графике f(x), в которой либо производная равна 0, либо производная не определена. Но как критическая точка связана с производной? Мы знаем, что наклон касательной к y = f(x) в точке есть не что иное, как производная f'(x) в этой точке. Мы уже видели, что функция имеет либо горизонтальную, либо вертикальную касательную в критической точке.

• Горизонтальная касательная в точке (c, f(c)) ⇒ Наклон = 0 ⇒ f ‘(c) = 0
• Касательная по вертикали в точке (c, f(c)) ⇒ Наклон = не определено ⇒ f'(c) НЕ определено

Критическая точка функции.

Определение

На основе приведенного выше обсуждения критическая точка функции математически определяется следующим образом. Точка (c, f(c)) является критической точкой непрерывной функции y = f(x) тогда и только тогда, когда

• c находится в области определения f(x).
• Либо f ‘(c) = 0, либо f'(c) НЕ определено.

Критические значения функции

Критические значения функции — это значения функции в критических точках. Например, если (c, f(c)) является критической точкой y = f(x), то f(c) называется критическим значением функции, соответствующей критической точке (c, f(c)).

Поиск критических точек

Ниже приведены шаги для нахождения критической точки (точек) функции на основе определения. Чтобы найти критическую точку (точки) функции y = f (x):

• Шаг – 1: Найдите производную f'(x).
• Шаг – 2: Установите f ‘(x) = 0 и решите его, чтобы найти все значения x (если они есть), удовлетворяющие ему.
• Шаг – 3: Найдите все значения x (если есть), где f'(x) НЕ определено.
• Шаг – 4: Все значения x (только те, которые находятся в области значений f(x)) из Шаг – 2 и Шаг – 3 являются x-координатами критических точек. Чтобы найти соответствующие y-координаты, просто подставьте каждую из них в функцию y = f(x). Запись всех таких пар (x, y) даст нам все критические точки.

Пример поиска критических точек

Найдем критические точки функции f(x) = x ^1/3 – x. Для этого сначала нужно найти производную.

Шаг – 1: f'(x) = (1/3) x ^-2/3 – 1 = 1 / (3x ^2/3) ) – 1

Шаг – 2: f'(х) = 0
1 / (3x ^2/3) ) – 1 = 0
1 / (3x ^2/3) ) = 1
1 = 3x ^2/3
1/3 = х ^2/3
Кубирование с обеих сторон,
1/27 = х ²
Извлекая квадратный корень с обеих сторон,
± 1/(3√3) = х (или) х = ± √3 / 9
Таким образом, x = √3/9 и x = – √3/9

Шаг – 3: f'(x) НЕ определен при x = 0.

Шаг – 4: Область определения f(x ) представляет собой набор всех действительных чисел и, следовательно, все значения x из Step – 2 и Step – 3 присутствуют в области f (x) и, следовательно, все они являются x-координатами критических точек. Найдем их соответствующие y-координаты:

• Когда x = √3/9, y = (√3/9) ^1/3 – (√3/9) = 2√3/9
• Когда x = -√3/9, y = (-√3/9) ^1/3 – (-√3/9) = -2√3/9
• Когда x = 0, y = 0 ^1/3 – 0 = 0

Следовательно, критическими точками функции f(x) являются (√3/9, 2√3/9), (-√3/9, -2√3/9) и (0, 0). В этом примере координаты y критических точек, равные 2√3/9, -2√3/9 и 0, являются критическими значениями функции.

Критические точки на графике

Мы уже видели, как найти критические точки, когда задана функция. Теперь мы увидим, как найти критические точки на графике функции. Следующие пункты помогут нам определить критические точки на данном графике.

• Мы знаем, что точки, в которых касательные горизонтальны, являются критическими точками. Так что во всех таких критических точках график либо меняется от «возрастания к убыванию», либо от «убывания к возрастанию». это значит кривая может иметь (но не обязательно) локальный максимум или локальный минимум в критических точках. Вот пример.

  
  На приведенном выше рисунке (0, 0) и (2, 4) являются критическими точками, поскольку в этих точках мы имеем соответственно локальный минимум и локальный максимум. Обратите внимание, что мы можем провести горизонтальные касательные и в этих точках.

• Точки на кривой, где мы можем провести вертикальную касательную, также являются критическими точками.

  
  На приведенном выше рисунке (0, 0) является критической точкой.

• Острые поворотные точки (каспы) также являются критическими точками.

  
  На приведенном выше рисунке (0, 0) является критической точкой.

Критические точки многомерных функций

Для нахождения критических точек функции с одной переменной y = f(x) мы установили ее производную равной нулю и решили. Но чтобы найти критические точки функций с несколькими переменными (функций с более чем одной переменной), мы просто установим каждую первую частную производную по каждой переменной равной нулю и решим полученные одновременные уравнения. Например:

• Чтобы найти критические точки функции двух переменных f(x, y), положим ∂f / ∂x = 0 и ∂f / ∂y = 0 и решим систему уравнений.
• Чтобы найти критические точки функции трех переменных f(x, y, z), положите ∂f / ∂x = 0, ∂f / ∂y = 0 и ∂f / ∂z = 0 и решите результат система уравнений.

Пример нахождения критических точек функции двух переменных

Найдем критические точки функции f(x, y) = x ² + y ² + 2x + 2y. Для этого мы должны сначала найти частные производные, а затем приравнять каждую из них к нулю.

∂f / ∂x = 2x + 2 и ∂f / ∂y = 2y + 2

Если мы установим их равными нулю,

• 2x + 2 = 0 ⇒ x = -1
• 2у + 2 = 0 ⇒ у = -1

Итак, критическая точка (-1, -1).

Важные моменты в критических точках:

• Точки, в которых можно провести касательную по горизонтали, являются критическими точками.
• Точки, в которых можно провести вертикальную касательную, являются критическими точками.
• Все острые поворотные точки являются критическими.
• Точки локального минимума и локального максимума являются критическими точками, но функция не обязана иметь локальный минимум или локальный максимум в критической точке. Например, f(x) = 3x ⁴ – 4x ³ имеет критическую точку в точке (0, 0), но она не является ни минимумом, ни максимумом.
• Критическая точка линейной функции не существует.
• Критическая точка квадратичной функции всегда является ее вершиной.

Связанные темы:

• Калькулятор производных
• Применение деривативов
• Максимум и Минимум
• Первый производный тест
• Тест второй производной

Часто задаваемые вопросы о критических точках

Что такое критическая точка в исчислении?

Критическая точка функции y = f(x) — это точка, в которой график функции имеет либо вертикальную, либо горизонтальную касательную. Для нахождения критических точек видим:

• Точки, в которых f'(x) = 0,
• Точки, в которых f'(x) НЕ определено.

Как найти критические точки функции?

Чтобы найти критические точки функции y = f(x), просто найдите значения x, где производная f'(x) = 0, а также значения x, где f'(x) не определено. Они дадут значения x критических точек, а подстановка каждого из них в y = f (x) даст значения y критических точек.

Как найти критические точки на графике?

Чтобы найти критические точки на графике:

• Проверьте минимальные и максимальные точки.
• Проверьте точки, в которых возможно проведение горизонтальной или вертикальной касательной.
• Проверьте наличие острых поворотных точек (выступов).

Как найти критические точки функций многих переменных?

Чтобы найти критические точки функции многих переменных, скажем, f(x, y), мы просто устанавливаем частные производные по каждой переменной равными 0 и решаем уравнения.