Ф от икс как найти – Как находить нули функции 🚩 как найти нули функции примеры 🚩 Математика

Что означает в математике запись у = f(x) — урок. Алгебра, 7 класс.

Изучая какой-либо реальный процесс, обычно обращают внимание на две величины, участвующие в процессе (в более сложных процессах участвуют не две величины, а три, четыре и т.д., но мы пока такие процессы не рассматриваем): одна из них меняется как бы сама по себе, независимо ни от чего (такую переменную мы обозначили буквой \(x\)), а другая величина принимает значения, которые зависят от выбранных значений переменной \(x\) (такую зависимую переменную мы обозначили буквой \(y\)).

Математической моделью реального процесса как раз и является запись на математическом языке зависимости \(y\) от \(x\), т.е. связи между переменными \(x\) и \(y\).

Еще раз напомним, что к настоящему моменту мы изучили следующие математические модели:

1. \(y = b\)

2. \(y = kx\)

3. \(y = kx + m\)

4.  y=x2

 

Есть ли у этих математических моделей что-либо общее? Есть! Их структура одинакова: \(y = f(x)\)

 

Эту запись следует понимать так:

имеется выражение \(f(x)\) с переменной \(x\), с помощью которого находятся значения переменной \(y\).

Математики предпочитают запись \(y = f(x)\) не случайно. Пусть, например,f(x)=x2 , т. е. речь идет о функции y=x2 . Пусть нам надо выделить несколько значений аргумента и соответствующих значений функции. До сих пор мы писали так:  

если \(x = 1\), то y=12=1;
если \(x = — 3\), то  y=(−3)2=9 и т. д.

 

Если же использовать обозначение f(x)=x2, то запись становится более экономной: f(1)=12=1;f(−3)=(−3)2=9

 

Итак, мы познакомились еще с одним фрагментом математического языка: фраза «значение функции y=x2 в точке \(x = 2\) равно \(4\)» записывается короче: «если \(y = f(x)\), где f(x)=x2, то f(2)=4.»

 

А вот образец обратного перевода:

Если \(y = f(x)\), где f(x)=x2, то f−3=9 . По-другому — значение функции y=x2 в точке \(x = — 3\) равно \(9\).

 

Разумеется, вместо буквы \(f\) можно использовать любую другую букву (в основном, из латинского алфавита): \(g(x)\), \(h(x)\), \(s(x)\) и т. д.

www.yaklass.ru

Нули функции | Алгебра

Что такое нули функции? Как определить нули функции аналитически и по графику?

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна  нулю.

Чтобы найти нули функции, заданной формулой  y=f(x), надо решить уравнение f(x)=0.

Если уравнение не имеет корней, нулей у функции нет.

Примеры.

1) Найти нули линейной функции y=3x+15.

Решение:

Чтобы найти нули функции, решим уравнение 3x+15=0.

3x=-15; x= -5.

Таким образом, нуль функции y=3x+15 — x= -5.

Ответ:x= -5.

2) Найти нули квадратичной функции f(x)=x²-7x+12.

Решение:

Для нахождения нулей функции решим квадратное уравнение

x²-7x+12=0.

Его корни x1=3 и x2=4 являются нулями данной функции.

Ответ: x=3; x=4.

3)Найти нули функции

   

Решение:

Дробь имеет смысл, если знаменатель отличен от нуля. Следовательно, x²-1≠0,x²≠1,x≠±1. То есть область определения данной функции (ОДЗ)

x ∈ (-∞; -1)U(-1; 1)U(1;∞).

Решаем уравнение

   

Из корней уравнения x²+5x+4=0 x1=-1 x2=-4 в область определения входит только x=-4.

Ответ: x=-4.

Чтобы найти нули функции, заданной графически, надо найти точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Если график не пересекает ось Ox, функция не имеет нулей.

Например,

функция, график которой изображен на рисунке,имеет четыре нуля —

   

В алгебре задача нахождения нулей функции встречается как в виде  самостоятельного задания, так и при решения других задач, например, при исследовании функции, решении неравенств и т.д.

www.algebraclass.ru

По графику функции найти y по x

В прошлый раз мы находили значение функции по значению аргумента с помощью формулы.

Рассмотрим, как по данному графику функции найти y по x.

Рисунок 1

 1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение функции,если значение аргумента равно 1; 3; -3, -1; 0.

Решение:

Аргумент — это x, функция — y.

Найти значение функции по значению аргумента — значит, по данному значению x найти, чему равен y.

Начнём с x=1. На оси абсцисс Ox находим x=1. Чтобы найти соответствующее значение y, надо из точки на Ox идти либо вверх, либо вниз, чтобы попасть на график.

От x=1 идём вверх. От полученной точки на графике надо двигаться либо влево, либо вправо, чтобы попасть на ось Oy. В данном случае идем влево и попадаем с ординатой y=2 (стрелочки помогают увидеть направление движения).

Следовательно, при x=1  y=2.

Аналогично, если x=3, идем вверх до пересечения с графиком, затем влево до пересечения с осью ординат Oy.

Получаем, что при x=3  y=4.

Если x=-3, чтобы попасть на график функции, нужно идти вниз, затем — вправо, до пересечения с осью Oy.

При x=-3 н=-2.

При x=-1 ни вверх, ни вниз двигаться не надо — эта точка уже на графике функции. Следовательно, y=0.

Записываем: при x=-1  y=0.

При x=0 идем до графика вверх и попадаем в точку с ординатой y=2.

 

2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

Пользуясь графиком, найдите значение функции, если значение аргумента равно 1; 3; 5; 7; -1; -5.

Рисунок 2

Решение:

Чтобы по графику функции найти y по x, сначала надо от точки с данной абсциссой попасть на график, двигаясь вверх либо вниз, а затем от точки на графике идти к оси Oy, двигаясь влево или вправо.

При  x=1 идем до графика функции вверх, затем влево — на ось Oy. Попадаем в точку с ординатой y=2.

Пишем: при x=1  y=2.

При x равном  -1 и -5 идем сначала вверх, затем — вправо.

При x= -1  y=4.

При x= -5  y=6.

При иксах равных 3; 5 и 7 идём вниз и влево.

При x=3  y= -3.

При x=5  y= -6.

При x=7  y= -3.

Обратите внимание: различным значениям икса может соответствовать одно значение y:

(при x=3 и x=7 y= -3).

www.algebraclass.ru

Область определения функции | Онлайн калькулятор

Данный калькулятор позволит найти область определения функции онлайн.
Область определения функции y=f(x) – это множество всех значений аргумента x, на котором задана функция. Другими словами, это все x, для которых могут существовать значения y. На графике областью определения функции является промежуток, на котором есть график функции.
Область определения функции f(x), как правило, обозначается как D(f). Принадлежность к определенному множеству обозначается символом ∈, а X – область определения функции. Таким образом, формула x∈X означает, что множество всех значений x принадлежит к области определения функции f(x).
Приведем примеры определения основных элементарных функций. Областью определения постоянной функции y=f(x)=C является множество всех действительных чисел. Когда речь идет о степенной функции y=f(x)=xa, область определения зависит от показателя степени данной функции. При нахождении области определения функции y=f(x)= √(n&x) (корень n-ой степени) следует обращать внимание на четность или нечетность n.
Областью определения логарифмической функции являются все положительные действительные числа, и она не зависит от основания логарифма. Областью определения показательной функции, также как и у постоянной функции, является множество всех действительных чисел.

Областью определения сложных функций y=f1(f2(x)) является пересечение двух множеств: x∈D(f2) и множества всех x, для которых f2(x) ∈ D(f1). Следовательно, для того чтобы найти область определения сложной функции, необходимо решить систему неравенства.
Преимуществом онлайн калькулятора является то, что Вам нет необходимости знать и понимать, как находить область определения функции. Чтобы получить ответ, укажите функцию, для которой Вы хотите найти область определения. Основные примеры ввода функций для данного калькулятора указаны ниже.

Вам помог этот калькулятор?

Предложения и пожелания пишите на [email protected]

Поделитесь этим калькулятором на форуме или в сети!

Это помогает делать новые калькуляторы.

НЕТ

Смотрите также

allcalc.ru

Как найти область определения функции

На уроке о понятии функции мы узнали, что существует X — множество,
на котором формула, которой задана функция, имеет смысл. В математическом анализе это множество часто
обозначают как D (область определения функции).
В свою очередь множество Y обозначают как
E (область значений функции) и при этом
D и E называют
подмножествами R (множества действительных чисел).

Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью её определения
считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл, то есть наибольшее множество значений
аргумента, которое приводит к действительным значениям функции
. Иначе говоря, множество
значений аргумента, на котором «функция работает».

Для общего понимания пример пока без формулы. Функция задана в виде пар отношений:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)}.

Найти область определения это функции.

Ответ. Первый элемент пар — это переменная x. Так как в задании функции даны и
вторые элементы пар — значения переменной y, то функции имеет смысл только для тех значений икса,
которым соответствует определённое значения игрека. То есть берём все иксы данных пар в порядке возрастания и получаем
из них область определения функции:

{2, 4, 5, 6, 7}.

Та же логика работает, если функция задана формулой. Только вторые элементы в парах (то есть
значения игрека) получаем, подставляя в формулу те или иные значения икса. Однако, чтобы найти область
определения функции, нам не нужно перебирать все пары иксов и игреков. Например, как найти область
определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять)
()? Нужно всего лишь
решить неравенство

x — 5 ≥ 0,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное
выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции — все значения икса
больше пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти до плюс бесконечности).

Если вы пользуетесь компьютерными программами, которые на основании введённых данных
выдают какой-то ответ, то можете заметить, что при некоторых значениях введённых данных программа выдаёт
сообщение об ошибке, то есть о том, что при таких данных ответ не может быть вычислен. Такое сообщение
предусмотрено авторами программы, если выражение для вычисления ответа достаточно сложно или касается
какой-то узкой предметной области, или же предусмотрено авторами языка программирования, если дело
касается общепринятых норм, например, что нельзя делить на нуль.

Но и в том и в другом случае ответ (значение некоторого выражения) не может быть
вычислен по той причине, что выражение при некоторых значениях данных не имеет смысла.

Пример (пока не совсем математический): если программа выдаёт название месяца по номеру месяца в году, то, введя
«15», вы получите сообщение об ошибке.

Чаще всего
вычисляемое выражение как раз и представляет собой функцию. Поэтому такие недопустимые значения данных не входят
в область определения функции. И в вычислениях от руки так же важно представлять область определения
функции. Например, вы вычисляете некоторый параметр некоторого изделия по формуле, представляющей собой
функцию. При некоторых значениях аргумента на входе вы на выходе не получите ничего.

Постоянная (константа) определена при любых действительных
значениях x, следовательно, данная функция определена на всём
множестве R действительных чисел. Это можно записать и так:
областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 1. Найти область определения функции
y = 2.

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого
определения имеется в виду естественная область определения. Выражение
f(x) = 2 определено при любых действительных
значениях x, следовательно, данная функция определена на всём
множестве R действительных чисел.

В случае, когда функция задана формулой и n — натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции
.

Решение. Как следует из
определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть,
если — 1 ≤ x ≤ 1.
Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1].

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является множество
всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;

если a — отрицательное, то областью определения функции является
множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[.

Пример 3. Найти область определения функции
.

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором
слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа.
Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть
]- ∞; + ∞[.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если
— положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[;

если
— отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[.

Пример 4. Найти область определения функции
.

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными
дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции —
множество [0; + ∞[.

Пример 5. Найти область определения функции
.

Решение. Дробный показатель степени данной степенной функции — отрицательный.
Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству
квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях
«икса» не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции — вся числовая ось, или,
что то же самое — множество R действительных чисел, или,
что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой ,
областью определения функции является вся числовая прямая, то есть
]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция
определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество
]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Область определения функции y = cos(x) —
так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) —
множество R действительных чисел, кроме чисел
.

Область определения функции y = ctg(x) —
множество R действительных чисел, кроме чисел
.

Пример 8. Найти область определения функции
.

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения
распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент
должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Поворачивая воображаемый циркуль по
окружности, видим, что условие sin x > 0
нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи»
и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) —
множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) —
так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) —
множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) —
так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции
.

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок
[- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции
.

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок
[0; 1].

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе
дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел,
кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции
.

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество
]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции —
]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции
.

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество
R действительных чисел, второго слагаемого — все
действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять
условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — все
x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных
числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что
то же самое — множество R действительных чисел или,
что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не
будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции
.

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции —
]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции
.

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под
корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой
направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках
1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения
квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена
на отрезке [1; 2].

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Если функция задана формулой вида y = kx + b,
то область определения функции — множество
R действительных чисел.

Весь раздел «Исследование функций»

function-x.ru

область определения и область значений функций + ПРИМЕРЫ

Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.

Функция это правило, с помощью которого  по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.

Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).

НАПРИМЕР у=5+х 

1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3 

2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)

Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).

НАПРИМЕР.

1.у=1/х.            (наз.гипербола)

2. у=х^2.          (наз. парабола)

3.у=3х+7.         (наз. прямая)

4. у= √ х.           (наз. ветвь параболы)

Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции. 

Область определения функции

Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается  D (f) или D (y).

 Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

3. D (у)= ( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел

4. D (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Зависимая переменная (кот. мы обозначаем у ) имеет название значение функции.

Область значения функции

Множество всех значений, которые может принять зависимая переменная, называется областью значения функции и обозначается E (f) или E (y).

Рассмотрим  Е (у) для 1.,2.,3.,4.

1. Е (у)= ( ∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.

2. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

3. Е (у)=( ∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел 

4. Е (у)= [0; +∞)// мн-во неотрицат.чисел

Рассмотрим примеры подробнее

1) Постановка задачи. Найти функции у= 4х/(3+х)

Решение.

1. Найдем D (у)//т.е. какие значения может принимать х. для этого найдем ОДЗ(область допустимых значений дроби)

3+х≠0

х≠-3

значит D (у) данной функции  ( ∞; 3) и (3;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 3.

2. Найдем  Е (у)//т.е. какие значения может принимать у, при всех возможных х

решаем уравнение вида 4х/(3+х)=А, где  А є Е (у)

(3+х)А=4х

3А=4х-хА

3А=х(4-А)

х=3А/(4-А)

значит Е (у) данной функции ( ∞; 4) и (4;+∞)// всё множество действительных чисел, кроме 4.

2) Постановка задачи. Найти  D (у)и Е (у) функции, изображенной на графике

 

Область определения(значения х) смотрим по оси х- это промежуток [ 4; 7], 

Областью значения(значения у) смотрим по оси у- это промежуток [ 4; 4].

Нужна помощь в учебе?



Предыдущая тема: Графический способ решения уравнений: алгоритм и примеры графиков
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspСвойства функции: разбираем на примере

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

По графику функции найти x по y

Мы уже рассмотрели нахождение значения аргумента по заданному значению функции.

Теперь выясним, как по графику функции найти x по y.

Рисунок 1

1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение аргумента, если значение функции равно —1; 2; 0; 3.

Решение:

Аргумент — это x, функция — y.

Найти значение аргумента по значению функции — значит, по данному значению y найти x.

Начнём с y= -1. На оси Oy найдём точку с ординатой y= -1. Чтобы найти значение x, надо из точки на оси Oy попасть на график. Для этого нужно пойти либо влево, либо вправо. От точки y= -1 график находится слева, поэтому идём влево. Достигнув точки на графике, идём к оси Ox (в данном случае — вверх). Попадаем в точку с абсциссой x= -4. (Стрелочки помогают увидеть путь).

Следовательно, при y= -1 x= -4.

Если y=2, чтобы попасть из точки на оси Oy с ординатой y=2 на график, следует двигаться вправо. Идём вправо до графика. Достигнув точки графика, в которой y=2, идём вниз, до оси Ox. Попадаем в точку с абсциссой x=2.

Записываем: при y=2  x=2.

Если y=0, чтобы попасть на график функции, движемся влево. Дальше ни вверх, ни вниз двигаться не нужно, поскольку уже находимся на графике, в точке с абсциссой x= -2.

Записываем: при y=0  x= -2.

При y=3 идем вправо до графика, затем — вниз и получаем x=4.

Пишем: при y=3  x=4.

2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

Рисунок 2

Пользуясь графиком, найдите значение аргумента, если значение функции равно 6; -3; 2; 4; -5; 7.

Решение:

Чтобы найти значение аргумента по заданному значению функции y= 6, от точки на оси Oy с ординатой y=6 идем вправо до пересечения с графиком функции. Достигнув точки на графике, идём вниз, к оси Ox. На оси абсцисс попали в точку с абсциссой x=2.

Записываем: при y=6  x=2.

При y= -3 график есть и слева, и справа от оси Oy. Идём влево и вверх, получаем x= -5. Идём вправо и вверх, получаем x=6,5.

Записываем: при y= -3 x= -5 и x=6,5.

Аналогично, при y=2 x= -2 и x=5.

Точка с ординатой  y=4 лежит на графике, идти никуда не надо, x=0.

При y= -5 идём вправо и вверх, приходим в точку с абсциссой x=7.

Пишем: при y= -5  x=7.

При y=7 идём вправо и вниз, получаем x=3.

www.algebraclass.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о