Основные правила интегрирования – §3. Основные правила интегрирования

§3. Основные правила интегрирования

I. .

II. .

III. Если , то.

Неопределенный интеграл – это множество функций и равенства I и II надо понимать как совпадение множеств. Например, равенство I означает следующее: чтобы получить элементы множества , надо каждый элемент множества умножить на число .Правило III можно доказать так: . Тогда

,

т.е. .

Отметим, что правило III “работает” только тогда, когда вместо переменной интегрирования фигурирует линейная функция :

,

но . Для этого интегралаправильный ответ имеет вид: .

Замечание. Правило III есть весьма частный случай замены переменной (см. следующий параграф).

§4. Основные методы интегрирования

I Непосредственное интегрирование

Так принято называть вычисление интегралов с помощью таблицы основных интегралов, правил интегрирования и тождественных преобразований подынтегральной функции.

Примеры.

1.

.

2.

.

Можно предложить и другой способ:

.

Ответы по форме различны, но формулы тригонометрии позволяют доказать их тождественность.

3. .

4.Частный случай формулы 14 из §2:

.

5.Один полезный прием:

.

II Метод замены переменной

Существуют две реализации этого метода: 1) в качестве новой переменной интегрирования рассматриваем некоторую функцию , которая фигурирует в подынтегральном выражении; 2) переменную интегрированиязаменяем специально подобранной функцией.

II.1 Подведение под знак дифференциала

Теорема 1. Пусть известно, что . Тогда, если функция– непрерывно-дифференцируема, то

. (1)

Доказательство. Первое условие теоремы означает, что .

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

,

что и доказывает (1).

Чтобы воспользоваться этой теоремой на практике, необходимо вычленить в подынтегральной функции производную некоторой функции, объединить эту производную с дифференциалом переменной интегрирования и сделать замену. После вычисления интеграла вернуться к исходной переменной интегрирования.

Примеры.

6.

.

Замечание 1. Замену такого типа можно производить и без подведения под знак дифференциала.

7.

.

8.

.

Сразу отметим здесь, что такой простой заменой не всегда удается избавить-

ся от иррациональности (попробуйте сами, заменив в числителе на).

Замечание 2. Приведем две формулы, которые часто встречаются и их

лучше запомнить как табличные:

,

.

II.2 Метод подстановки

Теорема 2. Пусть требуется вычислить интеграл и пусть– непрерывно-дифференцируемая функция, имеющая обратную

. Тогда, если

, (2)

то

. (3)

Доказательство. Равенство (2) означает, что . Тогда

.

Сравнение начала и конца этой цепочки равенств и доказывает равенство (3).

Пример.

9.

=

.

Ответ можно упростить, если учесть формулу синуса двойного угла:

.

III Интегрирование по частям

Теорема 3. Если и

– непрерывно-дифференци-руемые функции, то справедлива формула

. (4)

Доказательство вытекает из правила дифференцирования произведения: . Проинтегрируем обе части этого равенства и учтем одно из свойств неопределенного интеграла:

,

,

отсюда и следует формула интегрирования по частям (3).

При практическом применении этого метода подынтегральное выражение надо разбить в произведение таким образом, чтобы функциявычислялась просто, а интеграл в правой части (4) был бы проще исходного.

Примеры.

10.

.

.

Замечание 3. Если при вычислении интеграла взять другую первообразную, например, получим тот же результат:

.

Замечание 4. Область применения этого метода в основном исчерпывается интегралами вида , где– многочлен, а– это: 1) показательные, тригонометрическиеи гипербо-лические функции; 2) логарифмические и обратные тригонометрические функции. При этом в качестве

в случае 1) берем многочлен, а в случае 2)– логарифмы и аркфункции. Отметим, что в случае 2) «многочлен» может содержать степени переменной с ненатуральными показателями.

Примеры.

12.

.

13.

.

Мы пришли к уравнению , из которого

получаем

.

14.Для интеграла путем двукратного интегриро-

вания по частям можно получить уравнение

,

из которого находим

.

Аналогичным образом можно найти интегралы

, , .

studfiles.net

Основные правила интегрирования

Поиск Лекций

ПРОГРАММА

 

Тема 1. Неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных интегралов. Замена переменной и интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональных фун-кций. Метод рационализации. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование простейших иррациональностей.

 

Тема 2. Определенный интеграл

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона–Лейбница.

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Несобственные интегралы.

Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Вычисление объемов и длин дуг. Приближенные методы вычисления определенного интеграла.

 

Тема 3. Функции нескольких переменных

Функции нескольких переменных. Область определения. Предел. Непрерывность. Частные производные.

Дифференцируемость функции нескольких переменных, полный дифференциал. Производные от сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала. Неявные функции и их дифференцирование.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных. Частные производные вы-сших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов.

 

Тема 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Интегрирование дифференциальных уравнений 1-го порядка с разделяющимися переменными, однородных, линейных, уравнения Бернулли и в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Уравнения, допуска-ющие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Свойства линейного дифференциального оператора. Линейно-зависимые и линейно-неза-висимые системы функций. Определитель Вронского.

Линейные однородные дифференциальные уравнения; условие линейной независимости их решений. Фундаментальная система решений. Структура об-щего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоян-ными коэффициентами.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами со специальной правой частью.

Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автономные системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространство. Задачи Коши для нормальной системы. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Метод исключения для решения нормальных систем дифференциальных уравнений.

Системы линейных дифференциальных уравнений; свойства их решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Понятие о качественных методах исследования систем дифференциальных уравнений.

 

1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

 

1.1. Понятие неопределенного интеграла

 

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если во всех точках этого интервала выполняется равенство (x) = f(x).

Определение 2. Совокупность всех первообразных {F(x) + С}, где С – произвольная постоянная, для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается

 

 

Функция f(x) называется подынтегральной функцией, выражение f(x) dx – подынтегральным выражением.

Нахождение для функции f(x) всех ее первообразных F(x) + С называется интегрированием. Интегрирование есть действие, обратное дифференцированию.

 

Основные правила интегрирования

1) ;

;

2) ;

3) ;

4) если , то , при условии, что a, b – постоянные числа, a ¹ 0;

5) если и u = j(x) – любая дифференцируемая функция, то .

 

Таблица основных неопределенных интегралов

В приведенной таблице буква u может обозначать как независимую переменную, так и непрерывно дифференцируемую функцию u = j(x) аргумента x.

1.2. Основные методы интегрирования

 

1.2.1. Непосредственное интегрирование функций

и метод поднесения под знак дифференциала

 

Задача нахождения неопределенных интегралов от многих функций решается методом сведения их к одному из табличных интегралов. Этого можно достичь путем алгебраических тождественных преобразований (см. пример 1.4) подынтегральной функции или поднесением части ее множителей под знак дифференциала.

Поднесение функции под знак дифференциала состоит в том, что под знак дифференциала записывают функцию, дифференциал которой равен заданному выражению, то есть

 

, где t = j(x).

 

Пример 1.1. .

Пример 1.2.

Пример 1.3. .

Пример 1.4. Использование алгебраических преобразований.

 

 

Пример 1.5.

Пример 1.6.

 

1.2.2. Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

 

Пусть j(t) – непрерывно дифференцируемая функция на некотором промежутке, причем j¢(t) ¹ 0; тогда справедлива формула

 

.

 

Пример 1.7. = , так как . Обозначим ; получим

 

.

 

Пример 1.8. .

1.2.3. Интегрирование при помощи

тригонометрических подстановок

 

Интегралы вида

 

,

 

где R(u, v) – рациональная функция от u и v, вычисляются соответственно при помощи тригонометрических подстановок

 

.

 

Пример 1.9.

 

Пример 1.10.

.

 

1.2.4. Интегрирование по частям

 

Формула интегрирования по частям имеет вид:

 

,

 

где u(x), v(x) – непрерывно дифференцируемые функции.

 

 


Рекомендуемые страницы:

poisk-ru.ru

Простейшие правила интегрирования.



Обратная связь

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение


Как определить диапазон голоса – ваш вокал


Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими


Целительная привычка


Как самому избавиться от обидчивости


Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам


Тренинг уверенности в себе


Вкуснейший “Салат из свеклы с чесноком”


Натюрморт и его изобразительные возможности


Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.


Как научиться брать на себя ответственность


Зачем нужны границы в отношениях с детьми?


Световозвращающие элементы на детской одежде


Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия


Как слышать голос Бога


Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)


Глава 3. Завет мужчины с женщиной


Оси и плоскости тела человека – Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.


Отёска стен и прирубка косяков – Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.


Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) – В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

ЛЕКЦИЯ 11

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла)

Во многих вопросах науки и технике приходится не по заданной функции искать ее производную, а наоборот – восстановить функцию по известной ее производной.

Пусть у нас задано ускорение как функция от времени: . Требуется определить восстановить ту функцию , для которой является производной и найти , для которой производной будет .

Дадим определение

Функция в данном промежутке называется первообразной функцией для функции или интегралом от , где является производной для функции , или, что то же, служит для дифференциалом.

или

Разыскание для функции всех ее первообразные и составляем одну из задач интегрального исчисления – эта задача является обратной задачей дифференциального исчисления.

Теорема.

Если в некотором пространстве функция есть первообразная для функции , то и функция , где -любая постоянная, также будет первообразной. Обратно, каждая функция первообразная для ,может быть представлена в этой форме.

Доказательство:

То, что на ряду с , является первообразной для , очевидно, так как . Пусть теперь – любая первообразная для функция, такая, что в промежутке

Так как функции и в промежутке имеют одну и ту же производную, то они разделятся на константу, т.е.

Что и требовалось доказать.

В силу этого, выражение , где – произвольная , представляет собой общий вид функции, которая имеет производную или дифференциал . Это выражение называется неопределенный интегралом и обозначается

Произведение называется подынтегральным выражением, а подынтегральная функция. Под интегралом пишут производную, а название дифференциал сложилось исторически.

Пример: Пусть

Тогда интеграл будет

Это легко проверить дифференцированием. Из определения неопределенного интеграла.

1. то есть знаки и взаимно сокращаются.

2. или Итак, если , а

Пусть движение равномерное, под действием силы тяжести: то

При различных С мы будем получать и различные значения для скорости в один и тот же момент времени.Следовательно, имеющих у нас данных недостаточно для полного решения задачи. Чтобы получить определенное решение задачи в момент времени зададим скорость

тогда

откуда . Теперь имеем

Найдем

(Продифференцируем, проверим, что эта запись правильная)

Неизвестную можно найти, задав при и , тогда

, , – называются начальные значения , , .

Мы знаем, что производная функции дает угловой коэффициент касательной к соответствующему графику. Поэтому, задачу отыскание первообразной для заданной функции можно составить так: требуется найти кривую для которой имел бы место заданные значения не изменяются углового коэффициента

Если есть одна из таких кривых, то остальные могут быть получены из нее простым сдвигом параллельно оси у. Что бы найти конкретную кривую нужно задать начальные условия , .

Таблица основных интегралов

Каждая формула дифференциального исчисления, устанавливает связь и приводит к соответствующей формуле интегрального исчисления.

1.

2.

3. ( )

4.

5.

6.

7. , в частности 8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Простейшие правила интегрирования.

1. Если , то


2.

3. Если , то

Покажем, что является первообразной для

Особенно часто встречаются случай, когда или .

Примеры:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.


megapredmet.ru

Глава 14. Неопределенный интеграл, структура интегрирования. Таблица неопределённых интегралов и правила интегрирования.

16

§14.1. Неопределенный интеграл

14.1.1. Основные определения

Определение. Пусть определена в (конечном или бесконечном) промежутке .Функция называетсяпервообразной функцией для , если для любого выполняется равенство:.

Теорема 14.1.(Основная лемма интегрального исчисления). Если в некотором промежутке (конечном или бесконечном) функцияявляется первообразной для , то и любая функция – тоже является первообразной для. Обратно, для любой другой первообразной функции найдётся постоянная такая, что.

►Очевидно, , и первая часть теоремы доказана. Пусть – какая-либо первообразная для. Рассмотрим разность. Производная этой функции. По следствию из теоремы 7.3. Лагранжа (критерию постоянства функции на промежутке) получим, что , что и требовалось доказать. ◄

Определение. Множество первообразных функций для функции на заданном промежутке называется еёнеопределённым интегралом и обозначается так: .

По доказанной лемме, оно имеет следующую структуру: , где– произвольная первообразная функция, а– произвольная постоянная. Обычно используется обозначение, в котором правая часть равенства обозначает не одну из функций, а всё семейство функций, образующих интеграл.

14.1.2.Таблица основных интегралов

Каждая формула сразу приводит к соответствующей формуле

.

Поэтому, используя формулы для производных элементарных функций, получим следующую таблицу:

1.

2.

3. ,.

4. Эти формулы часто соединяют в одну: . При этом следует иметь в виду, что множество, на котором определена функция, состоит из двух промежутков, задаваемых неравенствамии, соответственно. На каждом из этих промежутков постоянную можно выбирать независимо, что и отражено в формуле 4. Так что формулуне следует понимать так, что к функцииприбавляется одна и та же постоянная как при , так и при. Еще раз повторим – точный смысл дан равенством 4.

Это же замечание можно сделать для формулы (3) при и таком, чтоопределена как при, так и при.

5. ,

6. ,

7. , в частности,

8. ,

9. ,

10. ,

точнее говоря, так как функция определена на бесконечном множестве промежутков ,, для каждогоследует выбирать свою постоянную(так же, как это было сделано в пункте 4).

11. ,

разумеется, замечание, аналогичное сделанному в пункте 10, справедливо и здесь.

14.1.3.Правила интегрирования

Доказательства всех приведённых ниже утверждений получаются в результате вычисления производных от обеих частей доказываемых равенств.

1. Если, то

.

Замечание. Условие существенно для справедливости этого равенства. При левая часть этого равенства представляет собой множество постоянных функций, а множество в правой части состоит только из тождественно равной нулю функции, притом при условии, что имеет первообразную функцию.

2. .

3. Если , где – непрерывная функция, то для любой функции, такой, чтои– непрерывные функции, и такой, что– определена, имеет место равенство

.

Это правило замены переменной сразу следует из теоремы о производной сложной функции.

4. Пусть и– непрерывные функции и пусть,– тоже непрерывные функции. Тогда

.

Формула, называемая формулой интегрирования по частям, вытекает из формулы для производной произведения.

studfiles.net

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти.

 Разделив числитель на знаменатель, получим:

=.

Отметим, что нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что их сумма есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример 2.Найти.

 Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Применив табличный интеграл 1, получим:

.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Пример 5.

=

=.

В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.

Пример 6.Найти.

 Умножив подынтегральное выражение на находим

=.

Пример 7.

.

Пример 8.

.

2. Интегрирование методом замены переменной

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.

а) Метод подведения функции под знак дифференциала

По определению дифференциала функции .

Переход в этом равенстве слева направо называют “подведением множителя под знак дифференциала”.

Теорема об инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е., если

, то и,

где – любая дифференцируемая функция отx. Ее значения должны принадлежать интервалу, в котором функцияопределена и непрерывна.

Доказательство:

Из того, что , следует. Возьмем теперь функцию. Для ее дифференциала в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала функцииимеем

.

Отсюда .

Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функцияи функциятакие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде

.

(1)

Тогда

,

(2)

т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интегралаи последующей подстановке.

Пример 1. .

Пример 2..

Пример 3..

Пример 4..

Пример 5..

Пример 6..

Пример 7..

Пример 8..

Пример 9..

Пример 10..

Пример 11.

.

Приведем далее примеры вычисления интегралов, которые нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей.

Пример 12.НайтиI=(0).

 Представим подынтегральную функцию в виде:

.

Следовательно,

I=

=.

Таким образом, .

Пример 12а. НайтиI=, .

 Так как ,

следовательно I=.

Пример 13.Найти(0).

 Для того, чтобы свести этот интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

.

Мы подвели постоянный множитель под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:

.

Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.

Пример 14.НайтиI=(ха,а0).

 Имеем .

Итак, (ха,а0).

Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное

дифференциальное выражение к виду, гдеесть некоторая функция отxиg– функция более простая для интегрирования, чемf.

В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как

гдеb– постоянная величина

,

,

,

часто используемые при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов предполагалось, что xесть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если подxпонимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.

3а..

4..

5.=.

6.= .

7.= .

8. (ха,а0).

9. (а0).

Операция подведения функции под знак дифференциала эквивалентна замене переменнойхна новую переменную. Нижеследующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 15.НайтиI=.

 Произведем замену переменной по формуле , тогда, т.е.иI=.

Заменив uего выражением, окончательно получим

I=.

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции .

Пример 16.Найти.

 Положим , тогда, откуда. Следовательно,

.

Пример 17.Найти.

 Пусть , тогда, или. Следовательно,

.

В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).

Примеры:

а) .

.

Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.

б) I=.

.

Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.

б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)

Пусть интеграл (– непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку, где– функция, имеющая непрерывную производную. Тогда,и

. (3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.

  1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

  2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

  3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

  4. Производят замену под интегралом.

  5. Находят полученный интеграл.

  6. Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример 18.Найти.

= .

Пример 19.Найти.

=.

Этот интеграл найдем подведением под знак дифференциала.

=.

Пример 20.Найти().

, т.е., или. Отсюда, т.е..

Таким образом, имеем . Заменяяего выражением черезx, окончательно находим интеграл, играющий важную роль в интегрировании иррациональных функций:().

Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».

Иногда вместо подстановки лучше выполнять замену переменной вида.

Пример 21.Найти.

.

Пример 22.Найти.

 Воспользуемся подстановкой . Тогда,,.

Следовательно, .

В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.

Пример 23.Найти.

  • Имеем

=.

Итак, .

Другой подход к вычислению этого интеграла:

.

Пример 24.Найти.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Лекция 3.

studfiles.net

Основные методы интегрирования

1. Непосредственное интегрирование

Под непосредственным интегрированием понимают такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1. Найти.

 Разделив числитель на знаменатель, получим:

=.

Отметим, что нет надобности после каждого слагаемого ставить произвольную постоянную, потому что их сумма есть также произвольная постоянная, которую мы пишем в конце.

Пример 2.Найти.

 Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Применив табличный интеграл 1, получим:

.

Пример 3.

.

Пример 4.

.

Пример 5.

=

=.

В некоторых случаях нахождение интегралов упрощается применением искусственных приемов.

Пример 6.Найти.

 Умножив подынтегральное выражение на находим

=.

Пример 7.

.

Пример 8.

.

2. Интегрирование методом замены переменной

Вычислить заданный интеграл непосредственным интегрированием удается далеко не всегда, а иногда это связано с большими трудностями. В этих случаях применяют другие приемы. Одним из наиболее эффективных является метод замены переменной. Сущность его заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому, который сравнительно легко берется непосредственно. Существуют два варианта этого метода.

а) Метод подведения функции под знак дифференциала

По определению дифференциала функции .

Переход в этом равенстве слева направо называют “подведением множителя под знак дифференциала”.

Теорема об инвариантности формул интегрирования

Всякая формула интегрирования сохраняет свой вид при подстановке вместо независимой переменной любой дифференцируемой функции от нее, т.е., если

, то и,

где – любая дифференцируемая функция отx. Ее значения должны принадлежать интервалу, в котором функцияопределена и непрерывна.

Доказательство:

Из того, что , следует. Возьмем теперь функцию. Для ее дифференциала в силу свойства инвариантности формы первого дифференциала функцииимеем

.

Отсюда .

Пусть требуется вычислить интеграл . Предположим, что существуют дифференцируемая функцияи функциятакие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде

.

(1)

Тогда

,

(2)

т.е. вычисление интеграла сводится к вычислению интегралаи последующей подстановке.

Пример 1. .

Пример 2..

Пример 3..

Пример 4..

Пример 5..

Пример 6..

Пример 7..

Пример 8..

Пример 9..

Пример 10..

Пример 11.

.

Приведем далее примеры вычисления интегралов, которые нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей.

Пример 12.НайтиI=(0).

 Представим подынтегральную функцию в виде:

.

Следовательно,

I=

=.

Таким образом, .

Пример 12а. НайтиI=, .

 Так как ,

следовательно I=.

Пример 13.Найти(0).

 Для того, чтобы свести этот интеграл к табличному, разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на :

.

Мы подвели постоянный множитель под знак дифференциала. Рассматриваякак новую переменную, получим:

.

Вычислим также интеграл, который имеет важное значение при интегрировании иррациональных функций.

Пример 14.НайтиI=(ха,а0).

 Имеем .

Итак, (ха,а0).

Представленные примеры иллюстрируют важность умения приводить данное

дифференциальное выражение к виду, гдеесть некоторая функция отxиg– функция более простая для интегрирования, чемf.

В этих примерах были проведены преобразования дифференциала, такие как

гдеb– постоянная величина

,

,

,

часто используемые при нахождении интегралов.

В таблице основных интегралов предполагалось, что xесть независимая переменная. Однако, эта таблица, как следует из изложенного выше, полностью сохраняет свое значение, если подxпонимать любую непрерывно дифференцируемую функцию от независимой переменной. Обобщим ряд формул таблицы основных интегралов.

3а..

4..

5.=.

6.= .

7.= .

8. (ха,а0).

9. (а0).

Операция подведения функции под знак дифференциала эквивалентна замене переменнойхна новую переменную. Нижеследующие примеры иллюстрируют это положение.

Пример 15.НайтиI=.

 Произведем замену переменной по формуле , тогда, т.е.иI=.

Заменив uего выражением, окончательно получим

I=.

Выполненное преобразование эквивалентно подведению под знак дифференциала функции .

Пример 16.Найти.

 Положим , тогда, откуда. Следовательно,

.

Пример 17.Найти.

 Пусть , тогда, или. Следовательно,

.

В заключение отметим, что разные способы интегрирования одной и той же функции иногда приводят к функциям, различным по своему виду. Это кажущееся противоречие можно устранить, если показать, что разность между полученными функциями есть постоянная величина (см. теорему, доказанную на лекции 1).

Примеры:

а) .

.

Результаты отличаются на постоянную величину, и, значит, оба ответа верны.

б) I=.

.

Легко убедиться, что любые из ответов отличаются друг от друга только на постоянную величину.

б) Метод подстановки (метод введения новой переменной)

Пусть интеграл (– непрерывна) не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку, где– функция, имеющая непрерывную производную. Тогда,и

. (3)

Формула (3) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Но можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования.

Правило интегрирования способом подстановки состоит в следующем.

  1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

  2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

  3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

  4. Производят замену под интегралом.

  5. Находят полученный интеграл.

  6. Производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной.

Проиллюстрируем правило примерами.

Пример 18.Найти.

= .

Пример 19.Найти.

=.

Этот интеграл найдем подведением под знак дифференциала.

=.

Пример 20.Найти().

, т.е., или. Отсюда, т.е..

Таким образом, имеем . Заменяяего выражением черезx, окончательно находим интеграл, играющий важную роль в интегрировании иррациональных функций:().

Студенты прозвали этот интеграл «длинным логарифмом».

Иногда вместо подстановки лучше выполнять замену переменной вида.

Пример 21.Найти.

.

Пример 22.Найти.

 Воспользуемся подстановкой . Тогда,,.

Следовательно, .

В ряде случаев нахождение интеграла основывается на использовании методов непосредственного интегрирования и подведения функций под знак дифференциала одновременно (см. пример 12).

Проиллюстрируем этот комбинированный подход к вычислению интеграла, играющего важную роль при интегрировании тригонометрических функций.

Пример 23.Найти.

  • Имеем

=.

Итак, .

Другой подход к вычислению этого интеграла:

.

Пример 24.Найти.

Заметим, что удачный выбор подстановки обычно представляет трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы.

Лекция 3.

studfiles.net

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *