Способы нахождения пределов – Как считать пределы 🚩 виды неопределенности пределов 🚩 Математика

Содержание

Некоторые методы вычисления пределов

1. Случай отсутствия неопределённости

Если при подстановке предельного значения аргумента в функцию получается определённое число, то оно и является значением предела.

Пример 2. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 6.

Пример 3. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 1.

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: .

Если в результате формальной подстановки в функцию предельного значения аргумента предел переходит в выражение типа:

то говорят, что под знаком предела неопределённость.

В этом случае нужно раскрыть неопределённость: тождественными преобразованиями «убирают» неопределённость, если это возможно, и вычисляют предел.

2. Случай неопределённости вида

Если в пределе приходим к неопределённости вида , то

необходимо в числителе и знаменателе дроби выделить сомножитель сократить на него и вычислить предел.

 

Пример 5.Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на общий множитель (вспомним, что , где – корни уравнения ).

Ответ: 0,7.

Раскрытие неопределённости вида с иррациональностями

Рассмотрим на примере.

Пример 6. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Домножим числитель и знаменатель дроби, предел которой мы ищем, на выражение , сопряжённое числителю.

Ответ: .

Для пределов подобного вида способ домножения на сопряжённое выражение является типичным.

3. Случай неопределённости вида

Для раскрытия исходной неопределённости нужно разделить числитель и знаменатель дроби на переменную xв наибольшей степени, которая входит в данную дробь, учитывая, что величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая величина.

Пример 7. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на .

Ответ: .

В общем случае можно использовать правило:

4. Случай неопределённостей вида:

Эти неопределённости сводятся к неопределённостям вида одним из следующих способов:

а) приведение дробей к общему знаменателю,

б) преобразование функции к виду дроби,

в) избавление от иррациональности (домножение на сопряжённое выражение числителя и знаменателя дроби).

Пример 8. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 2.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

Ответы

1.1. . 1.2. – 2. 1.3. 14. 1.4. 1. 1.5. . 1.6. –9. 1.7. 3. 1.8. . 1.9. . 1.10. 6.

1.11. . 1.12. 1.13. 1.14. . 1.15. . 1.16. . 1.17. . 1.18. . 1.19. ∞. 1.20. 0. 1.21.

1. 1.22. . 1.23. . 1.24. ∞. 1.25. . 1.26.2. 1.27. . 1.28. 0. 1.29. 0. 1.30. 2. 1.31. 0. 1.32. 1,5. 1.33. –∞. 1.34. +∞. 1.35. +∞. 1.36. +∞. 1.37. –∞. 1.38.–∞.

 

Вычисление предела функции с использованием замечательных пределов

Первым замечательным пределом называется предел вида:

.

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: a.

Пример 2.

Вычислить предел:

Решение. Используем тригонометрические формулы:

Ответ: 4.

 

Вторым замечательным пределом называется предел вида:

Пример 3. Вычислить предел:

Ответ: .

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: .

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

Ответы

2.1. 5. 2.2. 3. 2.3. . 2.4. 2.5.

– 4,5. 2.6. – . 2.7. 0,5. 2.8. 2. 2.9. – . 2.10.5. 2.11. 3. 2.12. 0. 2.13.cos 3. 2.14. 1. 2.15. 1,75. 2.16. . 2.17. – . 2.18. 14.

2.19. – 1. 2.20. – 0,5. 2.21. . 2.22. – . 2.23. .2.24. . 2.25. . 2.26. . 2.27. .2.28. . 2.29. . 2.30. . 2.31. 0. 2.32. . 2.33. 1. 2.34. –7.

 




infopedia.su

Нахождение пределов по определению

Поиск Лекций

Пример 1. Доказать, что

Доказательство. Возьмем произвольное сколь угодно малое и определим номер такой, чтобы выполнялось неравенство

За возьмем целую часть . Итак, для произвольного найдется номер , что для всех будет выполняться неравенство , следовательно, число 4 является пределом последовательности.

Пример 2. Доказать, что .

Доказательство. Воспользуемся тем, что при рассмотрении предела функции в точке x=1 ее аргумент не принимает значения, равное 1. Имеем

при

Возьмем любое . Тогда:

, если и Отсюда видно, что если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству при , выполняется требуемое неравенство:

Это означает, что

3 Неопределенность

Неопределенности такого вида возникают при вычислении пределов типа: , если

При этом возможны частные случаи:

1) Числитель и знаменатель дроби – многочлены.

Для вычисления предела необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 3. Найти

Решение. Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

2) Числитель или знаменатель дроби, или оба содержат иррациональность. Для решения примера необходимо освободиться от иррациональности, умножив числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, сократить дробь на множитель, порождающий нуль.

Пример 4. Найти

Решение. При числитель и знаменатель стремятся к нулю. Для раскрытия неопределенности умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю по формуле разности кубов. Тогда

получим: =

3) Выражение содержит тригонометрические функции. Для решения примера необходимо путем тригонометрических и алгебраических преобразований свести его к первому замечательному пределу.

Пример 5. Найти

Решение. Подстановкой предельного значения убедимся, что имеем неопределенность . Применяем тригонометрическую формулу , преобразуем полученное выражение, сводим к первому замечательному пределу.

 

Пример 6.

Найти

Решение. Сделаем замену , т.е. Ясно, что при

поэтому

4 Неопределенность вида

1) Числитель и знаменатель дроби при – полиномы.

Для раскрытия неопределенности целесообразно числитель и знаменатель разделить на степень с наивысшим показателем, а затем перейти к пределу.

 

Пример 7. Найти

Решение.

 

2) Пример 8. Найти

 

Решение. Поделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень n (выбираем из двух вариантов и ), т.е на

Тогда

 

5 Неопределенность вида

Для раскрытия этой неопределенности необходимо путем преобразования исходного выражения получить неопределенность вида или , т.е свести к предыдущим случаям 3,4

Пример 9. Найти

Решение.

 

6 Неопределенность вида

 

Этот случай нахождения предела функции можно привести к случаю или

путем преобразования функции к виду дроби.

Пример 10. Найти

 

Решение. Рассматривая данную функцию как дробную со знаменателем, равным единице, избавимся от иррациональности в числителе и затем разделим числитель и знаменатель на x:

 

7 Неопределенность вида

Неопределенности такого вида появляются при решении примеров вида:

 

, где , или , где , .

 

Преобразуя выражения, сводим их ко второму замечательному пределу.

 

Пример 11. Найти

Решение. Полагая , получим когда , и

 

,

 

, так как

Комбинированные случаи

Для этих наиболее сложных случаев раскрытия неопределенностей общих рекомендаций нет. В каждом примере свой подход к решению. При достаточно хороших навыках в решении пяти предыдущих случаях, можно воспользоваться, приведенными выше рекомендациями.

Пример 12.

Решение.

Имеем неопределенность вида . Это отчетливо видно, если с помощью свойств логарифма представить предел в виде:

 

=

 

На основании непрерывности логарифмической функции перейдем к пределу под символом логарифма, т.е


poisk-ru.ru

Основные методы вычисления пределов — Мегаобучалка

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?

, , , …

Итак: если, то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функциюбесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: прифункция неограниченно возрастает

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,

Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.

В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

 

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

 

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как, , и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!



На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.

6.1.1. Пределы с неопределенностью видаи метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример 1

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

.

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенностьнеобходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

megaobuchalka.ru

Как вычислить пределы последовательностей? :: SYL.ru

Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись.

Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей».

Что такое последовательности и где их предел?

Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок.

Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом:

х1, х2, х3, …хn

Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества.

Как строится числовая последовательность?

Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n…

В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например:

х1 — первый член последовательности;

х2 — второй член последовательности;

х3 — третий член;

хn — энный член.

В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например:

Хn=3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так:

х1 = 3;

х2 = 6;

х3 = 9;

и т. д.

Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д.

Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна.

Задача: «Пусть а1=15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда»

Решение: а1= 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда).

а2= 15+4=19 — второй член прогрессии.

а3=19+4=23 — третий член.

а4=23+4=27 — четвёртый член.

Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а125.. Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: аn=a1+d(n–1). В данном случае а125=15+4(125-1)=511.

Виды последовательностей

Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой аn=(-1)n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд.

-1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться.

Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: аn = (n+1)!

Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом:

а1 = 1х2=2;

а2 = 1х2х3 = 6;

а3 = 1х2х3х4 =24 и т. д.

Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1<k<1. Например: аn= (–1/2)n.

а1 = – ½;

а2 = ¼;

а3 = – 1/8 и т. д.

Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, аn=6 состоит из бесконечного множества шестёрок.

Определение предела последовательности

Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции:

  1. Все пределы обозначаются сокращённо lim.
  2. Запись предела состоит из сокращения lim, какой-либо переменной, стремящейся к определённому числу, нулю или бесконечности, а также из самой функции.

Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: аx = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом.

5, 9, 13, 17, 21…x …

Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так:

Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим:

ax = 4x + 1.

А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять.

Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий.

Общее обозначение предела последовательностей

Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре.

Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств?

∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п.

∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел.

Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п.

Далее идёт модуль. Очевидно, модуль — это расстояние, которое по определению не может быть отрицательным. Значит модуль разности строго меньше “эпсилона”.

Для закрепления материала прочитайте формулу вслух.

Неопределённость и определённость предела

Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции:

Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь:Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев.

Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х1 .

Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1.

Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х1.

Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски:

Получается следующее выражение:

Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя.

Что такое окрестность?

Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются.

Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями.

Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно.

Теперь зададим некоторую последовательность хn и положим, что десятый член последовательности (x10)входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке?

Допустим, х10 находится правее от точки а, тогда расстояние х10–а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х10–а|<ε.

Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |xn – a|< ε.

С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ.

Теоремы

Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства:

  1. Единственность предела последовательности. Предел у любой последовательности может быть только один или не быть вовсе. Тот же пример с очередью, у которой может быть только один конец.
  2. Если ряд чисел имеет предел, то последовательность этих чисел ограничена.
  3. Предел суммы (разности, произведения) последовательностей равен сумме (разности, произведению) их пределов.
  4. Предел частного от деления двух последовательностей равен частному пределов тогда и только тогда, когда знаменатель не обращается в ноль.

Доказательство последовательностей

Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере.

Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю.

По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |xn– a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности.

На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» – числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе.

Откуда получается, что n > –3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать.

Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания.

А может, его нет?

Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» xn= (–1)n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела.

Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка ( 0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения.

Монотонная последовательность

Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью».

Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство xn < xn+1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство xn > xn+1.

Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, xn ≤ xn+1 (неубывающая последовательность) и xn ≥ xn+1 (невозрастающая последовательность).

Но легче понимать подобное на примерах.

Последовательность, заданная формулой хn= 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность.

А если взять xn=1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность.

Предел сходящейся и ограниченной последовательности

Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел.

Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один.

Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность.

Предел монотонной последовательности

Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела.

Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного).

Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся.

Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль).

Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся.

Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей – также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено!

Различные действия с пределами

Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции.

Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов.

Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно.

Свойства величин последовательностей

Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем:

  1. Сумма любого количества сколько угодно малых величин будет также малой величиной.
  2. Сумма любого количества больших величин будет бесконечно большой величиной.
  3. Произведение сколь угодно малых величин бесконечно мало.
  4. Произведение сколько угодно больших чисел — величина бесконечно большая.
  5. Если исходная последовательность стремится к бесконечно большому числу, то величина, ей обратная, будет бесконечно малой и стремиться к нулю.

На самом деле вычислить предел последовательности – не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.

www.syl.ru

Некоторые методы вычисления пределов

1. Случай отсутствия неопределённости

Если при подстановке предельного значения аргумента в функцию получается определённое число, то оно и является значением предела.

Пример 2. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 6.

Пример 3. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 1.

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: .

Если в результате формальной подстановки в функцию предельного значения аргумента предел переходит в выражение типа:

то говорят, что под знаком предела неопределённость.

В этом случае нужно раскрыть неопределённость: тождественными преобразованиями «убирают» неопределённость, если это возможно, и вычисляют предел.

2. Случай неопределённости вида

Если в пределе приходим к неопределённости вида , то

необходимо в числителе и знаменателе дроби выделить сомножитель сократить на него и вычислить предел.

 

Пример 5.Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на общий множитель (вспомним, что , где – корни уравнения ).

Ответ: 0,7.

Раскрытие неопределённости вида с иррациональностями

Рассмотрим на примере.

Пример 6. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Домножим числитель и знаменатель дроби, предел которой мы ищем, на выражение , сопряжённое числителю.

Ответ: .

Для пределов подобного вида способ домножения на сопряжённое выражение является типичным.

3. Случай неопределённости вида

Для раскрытия исходной неопределённости нужно разделить числитель и знаменатель дроби на переменную xв наибольшей степени, которая входит в данную дробь, учитывая, что величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая величина.

Пример 7. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на .

Ответ: .

В общем случае можно использовать правило:

4. Случай неопределённостей вида:

Эти неопределённости сводятся к неопределённостям вида одним из следующих способов:

а) приведение дробей к общему знаменателю,

б) преобразование функции к виду дроби,

в) избавление от иррациональности (домножение на сопряжённое выражение числителя и знаменателя дроби).

Пример 8. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 2.


Похожие статьи:

poznayka.org

Основные методы вычисления пределов

Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

Готово.

Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией ?

, , , …

Итак: если, то функция стремится к минус бесконечности:

Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функциюбесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: прифункция неограниченно возрастает

И еще серия примеров:

Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

, , , , , , , , ,

Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.

В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

 

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.

 

Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?

Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.

2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как, , и т.д.

Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!

На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.

6.1.1. Пределы с неопределенностью видаи метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Пример 1

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?

Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:

Старшая степень в числителе равна двум.

Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:

.

Старшая степень знаменателя равна двум.

Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенностьнеобходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.

Разделим числитель и знаменатель на

Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.

Что принципиально важно в оформлении решения?

Во-первых, указываем неопределенность, если она есть.

Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения.

В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так:

Для пометок лучше использовать простой карандаш.

Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметить недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо?

Пример 2

Найти предел .

Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени:

Максимальная степень в числителе: 3

Максимальная степень в знаменателе: 4

Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку.

Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на .

Полное оформление задания может выглядеть так:

Разделим числитель и знаменатель на :

Пример 3

Найти предел

Максимальная степень «икса» в числителе: 2

Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( можно записать как )

Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Чистовой вариант решения может выглядеть так:

 

Разделим числитель и знаменатель на

Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число.

Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.

 

6.1.2. Пределы с неопределенностью видаи метод их решения

Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4

Решить предел

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

.

В данном случае получена так называемая неопределенность .

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители.

Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицыи ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше.

Итак, решаем наш предел

.

Разложим числитель и знаменатель на множители

Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:

Сначала находим дискриминант:

И квадратный корень из него: .

В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе. Далее находим корни:

Таким образом:

Всё. Числитель на множители разложен.

Знаменатель. Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя.

Очевидно, что можно сократить на :

Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:

Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так:

Разложим числитель на множители.

 

Пример 5

Вычислить предел

.

Сначала «чистовой» вариант решения

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель:
Знаменатель:



,

Что важного в данном примере?
Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем.
Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела.Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения.

Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус.

! Важно
В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки).
, то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно.

Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены.

 



infopedia.su

Методы вычисления пределов

Федеральное агентство по образованию

___________________________________

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет «ЛЭТИ»

_______________________________________

Методические указания

к решению задач

Санкт-Петербург

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

2008

УДК 517

Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008. 32 с.

Содержат определения, формулировки основных теорем и примеры решения задач различными методами по теме «Предел функции».

Предназначены для студентов-заочников всех специальностей.

Утверждено

редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

© СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008

Настоящее издание призвано помочь студентам-заочникам младших курсов самостоятельно научиться решать задачи по теме «Предел функции». Как правило, освоение этого раздела математического анализа вызывает затруднения у студентов. Поэтому первая часть методических указаний посвящена подробному обсуждению понятия «предел функции» и основных правил предельного перехода, причем все определения предела сопровождаются геометрической иллюстрацией. Во второй части указаний рассматриваются методы вычисления некоторых типов пределов.

Данные методические указания, хотя и содержат теоретический материал, не призваны служить полной заменой учебника по теме «Предел функции», поэтому составители рекомендуют параллельно работать с учебным пособием «Конспект лекций по высшей математике» Д. Т. Письменного [1].

  1. Предел функции

    1. Окрестность точки

Пусть – действительное число. Обозначение:.

Определение. Окрестностью точкирадиуса(-окрестностью) н

азывается интервал, где.

Если точкапопадает в-окрестность точки, т. е., то выполнено неравенствоили. Последнее двойное неравенство равносильно неравенству,геометрический смысл которого состоит в том, что расстояние между точкамиименьше чем(рис. 1.1).

Окрестность без точки называется проколотой окрестностью. Она задается неравенством, причем.

В дальнейшем рассматривается поведение функций не только в окрестности точки , но и на бесконечности. Символы,используются для обозначения процесса неограниченного удаления точек числовой оси от нуля вправо и влево соответственно. Иногда символ бесконечности употребляют без уточнения знака.

Определение. Окрестностьюназывается бесконечный интервал, а окрестностью– интервал, где.

Если точкапринадлежит окрестности, то выполнено неравенство, если же точкапопадает в окрестность, то для нее справедливо неравенство. Объединение лучейбудем рассматривать как окрестность(об операциях над множествами см. в [1, с. 97]). Совокупность описывающих это множество неравенствможно заменить одним неравенством, означающим, что расстояние от точкидо точкибольше чем(рис. 1.2).

    1. Предел функции в точке. Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, кроме, быть может, самой точки(о функции см. в [1, с. 100]).

Определение предела функции на «языке » см. в [1, с. 112]. Обозначение:. Запишем это определение коротко:

.

Квантор всеобщностичитается: «для всех». Квантор существованиязаменяет слово «существует». Записьозначает, что «изследует». Ауказывает на эквивалентность высказыванийи, т. е. «изследуети изследует».

Геометрический смыслпредела функции поможет понять рис. 1.3. Для любой-окрестности точки(ось) найдется такая-окрестность точки(ось), что для всех точек этой окрестности, кроме, быть может,, соответствующие значения функциилежат в-окрестности точки. Иначе говоря, точки графика функциилежат внутри полосы шириной, ограниченной прямыми,. Величиназависит от выбора, поэтому пишут.

Пусть функция определена в точкеи в некоторой окрестности этой точки.

Определение.Функцияназывается непрерывной в точке, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е..

Если на рис. 1.3 устранить разрыв функции в точке , положив, то функцияокажется непрерывной в этой точке.

studfiles.net

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *