Контрольная работа на тему: “Матрицы и определители”
Реальная база готовых
студенческих работ
Цены в 2-3 раза ниже
Мы работаем
7 дней в неделю
Только проверенные эксперты
Готовые работы / Контрольные работы / Высшая математика / Контрольная работа по высшей математике на тему: “Матрицы и определители”
Что найти?
Контрольные вопросы по разделу: «Матрицы и определители»
1. Какая матрица называется транспонированной по отношению к
исходной?
Транспонированная матрица – это матрица, полученная из исходной
матрицы заменой строк на столбцы. Например,
2.
Дана прямоугольная матрица А = 013
квадратной, то есть число строк и столбцов должно быть одинаково,
например матрица размером 3х3.
Похожие работы
Контрольная работа по высшей математике на тему: “Неопределенный интеграл. Определенный интеграл”
Контрольная, Высшая математика
Смотреть
теория вероятности
Контрольная, Высшая математика
Смотреть
Контрольная по математике по матрице, производной и пределам
Смотреть
Контрольная работа по высшей математике на тему: “13 задач по высшей математике”
Контрольная, Высшая математика
Смотреть
Контрольная работа по высшей математике
Контрольная, Высшая математика
Смотреть
Сделайте индивидуальный заказ на нашем сервисе.
1 000 +
Новых работ ежедневно
Работы выполняют эксперты в своём деле. Они ценят свою репутацию, поэтому результат выполненной работы гарантирован
108559
рейтинг
2672
работ сдано
1225
отзывов
101196
рейтинг
5242
работ сдано
2358
отзывов
73493
рейтинг
1851
работ сдано
1167
отзывов
62710
рейтинг
1046
работ сдано
598
отзывов
Тип работыВыберите тип работыКонтрольнаяРешение задачКурсоваяРефератОнлайн-помощьТест дистанционноЛабораторнаяЧертежЭссеОтветы на билетыПеревод с ин. языкаДокладСтатьяБизнес-планПодбор литературыШпаргалкаПоиск информацииРецензияДругое
Анна
Колледж туризма и гостиничного сервиса
Качественная и оперативная работа. Вопросы раскрыты полностью.
Все просьбы учтены, работа …
Елизавета
МГОТУ
Работы выполнены вовремя, все отлично и качественно! Исполнитель все время на связи, что н…
Екатерина
КГТУ
Работа сделана в очень короткие сроки, все идеально. Очень давольна исполнителем. Советую!!!
Качественная и оперативная работа. Вопросы раскрыты полностью. Все просьбы учтены, работа выполнена грамотно, без замечаний. Спасибо Вам огромно за помощь! ))
Анна
Колледж туризма и гостиничного сервиса
Работы выполнены вовремя, все отлично и качественно! Исполнитель все время на связи, что не мало важно! Большое Спасибо !!!
Елизавета
МГОТУ
Работа сделана в очень короткие сроки, все идеально. Очень давольна исполнителем. Советую!!!
Екатерина
КГТУ
Ежедневно эксперты готовы работать над 1000 заданиями. Контролируйте процесс написания работы в режиме онлайн
только что
только что
только что
только что
только что
только что
1 минуту назад
1 минуту назад
1 минуту назад
1 минуту назад
2 минуты назад
2 минуты назад
2 минуты назад
3 минуты назад
3 минуты назад
3 минуты назад
5 минут назад
5 минут назад
Закажи индивидуальную работу за 1 минуту!
Размещенные на сайт контрольные, курсовые и иные категории работ (далее — Работы) и их содержимое предназначены исключительно для ознакомления, без целей коммерческого использования.
Все права в отношении Работ и их содержимого принадлежат их законным правообладателям. Любое их использование возможно лишь с согласия законных правообладателей. Администрация сайта не несет ответственности за возможный вред и/или убытки, возникшие в связи с использованием Работ и их содержимого.Контрольная работа – Матрицы и определители
Дисциплина: Высшая математикаТема: Матрицы и определители
Понятие матрицы.
При изучении вопросов, связанных с действием над векторами,а также при изучении систем линейных уравнений приходится иметь дело стаблицами из чисел, которые называются матрицами.
Определение. Матрицей называется прямоугольная таблица изчисел, содержащая /> строк и /> столбцов.
Числа /> и /> называются порядкамиматрицы. Если />, то матрицаназывается квадратной. Для обозначения матрицы пользуются либо вертикальнымидвойными черточками, либо круглыми скобками:
/> или />.
Для краткого обозначения матрицы может быть использована иодна буква, например, />. Кроме того,вместо всей таблицы может быть написано:
/>, где />; />.
Числа /> называютсяэлементами матрицы, /> – номер строки, /> – номер столбца.
Для квадратной матрицы вводится понятие главной и побочнойдиагонали: главная диагональ идет из верхнего левого угла в нижний правый; побочная- из верхнего правого в нижний левый.
Ранг матрицы. Эквивалентные матрицы.
Дана прямоугольная матрица:
/>
Выделим в этой матрице k произвольных строк и kпроизвольных столбцов (k Ј m, k Ј n).
Определение. Определитель k-го порядка, составленныйиз элементов матрицы A, расположенных на пересечении выделенных строк истолбцов, называется минором k-го порядка матрицы A. Матрица Aимеет C km*C kn миноров k-гопорядка.
Определение. Рассмотрим всевозможные миноры матрицы A,отличные от нуля.
Определение. Всякий отличный от нуля минор матрицы, порядоккоторого равен рангу этой матрицы, называется базисным минором матрицы.
Ранг матрицы A будем обозначать через r (A). Еслиr (A) = r (B), то матрицы A и B называются эквивалентными.
Полезно иметь ввиду, что ранг матрицы не изменяется отэлементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимаются:
1) замена строк столбцами, а столбцов соответствующимистроками;
2) перестановка строк матрицы;
3) вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю;
4) умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля;
5) прибавление к элементам одной строки соответствующихэлементов другой строки.
Действия над матрицами.
Определение. Две матрица называются равными, если ониимеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.
Определение. Суммой двух матриц /> (/>) и /> (/>) одинаковых порядков /> называется матрица /> (/>) того же порядка, элементыкоторой равны />.
На письме это действие может быть записано так: />. Операция сложенияобладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным />; сочетательным />.
Определение. Произведением матрицы /> на число /> называется матрица />, элементы которой равны />.
Умножение матрицы на число может быть записано: /> или />.
Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательнымотносительно числового множителя />; распределительнымотносительно суммы матриц />; распределительнымотносительно суммы чисел />.
После первых двух действий необходимо отметить, чтовычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на числоможет быть определено как умножение на обратное число.
Определение. Произведением матрицы /> (/>), имеющей порядок />, на матрицу /> (/>), имеющую порядок />, называется матрица /> (/>), имеющая порядок />, элементы которой равны />, где />.
Записывается это действие так />.Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента />, в произведении /> необходимо попарноперемножить все соответствующие элементы />-ойстроки матрицы /> на элементы />-го столбца матрицы />, а затем все это сложить. Изопределения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобычисло столбцов матрицы /> было равно числустрок матрицы />. Отсюда следует,что одновременно произведение /> и /> существует только лишь втом случае, когда число столбцов /> равночислу строк />, а число столбцов /> равно числу строк />. В этом случае /> и /> будут квадратнымиматрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка,необходимо, чтобы /> и /> были квадратными матрицамиодинакового порядка.
Произведение матриц /> имеетсвойства: сочетательное />; распределительное/>. Перестановочным свойствомв общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь внекоторых случаях.
Среди квадратных матриц необходимо выделить важный классдиагональных матриц.
Определение. Диагональной называется квадратная матрица,все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:
/>.
В том случае, если />,то для любой квадратной матрицы /> порядка/> справедливо />. Действительно, для /> получаем />. Для /> – />. Отсюда, />.
Среди диагональных матриц с равными друг другу элементамиособое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы />, обозначается она — />, у нулевой />, обозначается она — />.
Как было показано />, />. Перемножив эти матрицы,можно убедиться, что />; />. Таким образом, матрицы /> и /> выполняют ту же роль, чтои 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которойравны нулю.
Понятие определителя.
Выше было показано, что матрица — это прямоугольная таблица,составленная из чисел.
Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотримпроизвольную квадратную матрицу порядка /> илипросто />:
/> (3.1.1)
Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связатьвполне определенную численную характеристику.
Определение. Численная характеристика квадратной матрицыназывается ее определителем.
Рассмотрим матрицу первого порядка />.
Определение. Численной характеристикой матрицы первогопорядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента/>.
Обозначается определитель одним из символов />.
Рассмотрим матрицу второго порядка
/>.
Определение. Определителем второго порядка,соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное />.
Обозначается определитель одним из символов
/> (3.1.2)
Очевидно, что для составления определителя второго порядка,необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагоналиматрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.
Поскольку одна из форм обозначения определителя иобозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то также, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.
После того как рассмотрены определители 1-го и 2-гопорядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этимвведем понятие минора.
Определение. Минором любого элемента /> квадратной матрицы порядка/> называется определительпорядка />, соответствующий тойматрице, которая получается из первоначальной в результате вычеркивания />-ой строки и />-го столбца, на пересечениикоторых стоит элемент />.
Обычно минор элемента /> обозначается/>.
Определение. Определителем порядка />, соответствующим матрицепорядка />, называется число, равное
/>.
Обозначается определитель одним из символов
/>
(3.1 3)
Приведенное выражение представляет собой правило вычисленияопределителя />-го порядка по элементампервой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки,которые являются определителями порядка />.
Для /> это правило дает:
/>.
В приведенном правиле вычисления определителя фигурируетлишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель,используя элементы других строк?
Теорема. Каков бы ни был номер строки /> (/>), для определителя />-го порядка справедливаформула
/>,
называемая разложением этого определителя по />-ой строке.
Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равнасумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент />.
Докажем эту теорему для />.В этом случае /> может быть равно только 2,так как /> входит в основноеопределение величины определителя. Итак:
/>.
Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано вопределении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.
Для произвольного /> даннаятеорема доказывается методом математической индукции.
Итак, показано, что определитель может быть разложен полюбой строке.
Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовавпроизвольный столбец.
Теорема. Каков бы ни был номер столбца /> (/>), для определителя />-го порядка справедливаформула />, называемая разложениемэтого определителя по />-му столбцу.
Докажем теорему для />:
/>.
Данное выражение равно величине определителя, введенной поопределению.
Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисленияопределителя />-го порядка необходимо егоразложить по произвольной строке или столбцу.
В заключение введем еще одно определение.
Определение. Алгебраическим дополнением данного элемента /> определителя />-го порядка называетсячисло, равное />, котороеобозначается />.
Значит, алгебраическое дополнение отличается отсоответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можновычислить с помощью формул:
/>.
Литература
1.
Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики. Минск, «Высшая школа»,1973.
2. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математики.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.,«Наука», 1986.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М., «Высшаяшкола» изд. 5, 1977.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей иматематической статистике. М., «Высшая школа» изд.2.
6. Баврин И.И. Высшая математика — 1980 г.3
7. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.
8. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969.
9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966.
10. Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.
11. Соколов Н.П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960.
BestMaths
Модульный тест № 53
Выберите ответы на следующие 10 вопросов во всплывающих меню в правой колонке.
Нажатие кнопки «Начать тест снова» удалит все ответы.
Q1: | Каков порядок матрицы ? | А. 1 х 1 Б. 3 х 1 С. 1 х 3 Г. 2 х 3 | Ответ 1: | 0 |
Q2: | Сколько элементов имеет матрица 4 X 2?: | А. 2 Б. 4 В. 8 Д. 16 | Ответ 2: | 0 |
Q3: | Сколько строк в матрице ? | А. 1 Б. 2 В. 3 Д. 4 | Ответ 3: | 0 |
Q4: | Какой элемент матрицы находится в 3-й строке и во 2-м столбце? | А. 3 Б. 4 В. 5 Д. 6 | Ответ 4: | 0 |
| Q5: | Каков порядок результата умножения этой матрицы? | A. 3 X 3 B. 1 X 3 C. 3 X 1 Д. 1 х 1 | Ответ 5: | A C D |
| Q6: | Можно ли добавить матрицу 3 X 2 к матрице 2 X 3? | А. Да Б. Нет | Ответ 6: | A B C D |
| Q7: | Можно ли умножить матрицу 3 X 2 на матрицу 2 X 3? | А. Да Б. Нет | Ответ 7: | A C D |
| Q8: | Что такое определитель матрицы ? | А. 2 Б. 4 В. 0 Г. 1 | Ответ 8: | A C D |
| Q9: | Какое имя дано матрице ? | A. единичная матрица B. сингулярная матрица C. обратная матрица | Ответ 9: | A C D |
Q10: | Что из следующего равно 3?
| А. Б. В. Г. 0 | Ответ 10: | A 0005 |
Матрицы — SAT II Math II
Все ресурсы SAT II Math II
2 диагностических теста 130 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
SAT II Math II Помощь » Математические отношения » Матрицы
Умножить:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Произведение матрицы 2 x 2 и матрицы 2 x 1 является матрицей 2 x 1.
Умножить каждую строку в первой матрице на матрицу-столбец путем умножения элементов в соответствующих позициях, а затем добавить произведения следующим образом:
\
Сообщить об ошибке
Умножить:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Произведение матрицы 2 x 2 и матрицы 2 x 1 является матрицей 2 x 1.
Умножить каждую строку в первой матрице на матрицу-столбец путем умножения элементов в соответствующих позициях, а затем добавить произведения следующим образом:
Сообщить об ошибке0002 Для какого из следующих значений матрицы определено выражение?
Возможные ответы:
Выражение определено для всех значений , указанных в других ответах.
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы произведение матриц было определено, необходимо и достаточно, чтобы количество столбцов в было равно количеству строк в .
имеет два столбца. Из вариантов только
имеет две строки, что делает его правильным выбором.
Сообщить об ошибке. Объяснение:
Чтобы вычесть две матрицы, вычтите элементы в соответствующих позициях:
Сообщить об ошибке
Оценка:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Определитель матрицы равен
.
Заместитель:
Отчет о ошибке
Дайте определитель матрицы
Возможные ответы:
Правильный ответ: 0005 Объяснение: Определитель матрицы равен . Заменитель,: Отчет о ошибке Умножение: Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Произведение матрицы 2 x 2 и матрицы 2 x 1 является матрицей 2 x 1. Умножьте каждую строку в первой матрице на матрицу-столбец путем умножения элементов в соответствующих позициях, а затем сложите произведения следующим образом: Сообщить об ошибке Let . Дать. Возможные ответы: не определено. Правильный ответ: не определено. Объяснение: содержит три строки и два столбца; так как количество строк не равно количеству столбцов, не является квадратной матрицей и, следовательно, не имеет обратной. Сообщить об ошибке Определить матрицу . Для какого из следующих значений матрицы определено выражение? I: II: III: Возможные ответы: I, II и III I и II. и только III Правильный ответ: только I Объяснение: Для определения суммы матрицы необходимо и достаточно чтобы и иметь одинаковое количество строк и одинаковое количество столбцов. имеет три строки и два столбца; из трех вариантов только (I) имеет одинаковые размеры. Сообщить об ошибке Пусть и будет единичной матрицей 2 x 2. Пусть. Что из следующего равно ? Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Единичная матрица 2 x 2 равна .
