Контрольная работа по комплексным числам: Контрольная работа “Комплексные числа”

Исследовательская работа “Применение комплексных чисел при решении уравнений”

исследование

Алгебра

Автор: Ячменева Альбина Николаевна

Место работы/учебы: МАОУ СОШ №26, г. Волчанск, Свердловская область, 11 класс

Научный руководитель: Коротков Дмитрий Александрович, учитель математики

Аннотация

Как-то раз, решая квадратное уравнение, у меня получился отрицательный дискриминант. Нас учили в школе, что если уравнение имеет отрицательный дискриминант, то корней у такого уравнения не будет. Но я девочка любознательная, мне стало интересно, а действительно ли так? Как оказалось, эти уравнения не имеют решения в области действительных чисел. Значение величин, получающихся в результате решения указанных уравнений, назвали комплексными числами. Так я и познакомилась с мнимой величиной.

Комплексные числа находят применение во многих вопросах науки и техники. Сейчас комплексные числа активно применяются в информатике, динамике, электромеханике, радиотехнике, теории упругости, активно развиваются в других науках.

Мне стало интересно, а знают ли об этом другие ученики нашей школы. Я провела опрос среди учеников 11 класса МАОУ СОШ № 26, в котором задала 5 вопросов по данной теме, чтобы выявить знания о комплексных числах и заинтересованность учеников в их изучении. В ходе опроса было выявлено, что большая часть учеников не знает, что такое комплексное число. Абсолютно все опрошенные никогда не встречались с ними в жизни. В конце опроса был задан вопрос: «Хотели бы Вы познакомиться с данными числами поближе?» 80% респондентов ответило «да», это говорит о заинтересованности учеников. Исходя из результатов анкетирования, мною было принято решение изучить комплексные числа более детально и поделиться своими результатами с другими.

Объект исследования ­— применение комплексных чисел при решении уравнений.

Предмет исследования — методы решения алгебраических уравнений.

Цель исследования — знакомство с комплексными числами, с их свойствами, действиями над ними, а также умение их применять при решении уравнений.

Задачи исследования:

• определить комплексные числа и их возникновение как отдельное множество чисел;
• рассмотреть методы решения алгебраических уравнений с использованием комплексных чисел;
• составить конспект урока и провести внеурочное занятие на тему «Комплексные числа».

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: анализ литературы, дедуктивный метод, исторический метод.

В соответствии с проблемой, объектом, предметом и целью исследования была выдвинута следующая

гипотеза: навыки работы с аппаратом комплексных чисел дают возможность обнаружить новые факты и делать обобщения.

Практическая значимость — изучение множества комплексных чисел позволит увеличить уровень математической грамотности.

Результаты

Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа, а «i» – число нового рода, называемое мнимой единицей. «Мнимые» числа составляют частный вид комплексных чисел (а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

Уравнения бывают следующих видов: линейные, квадратные, биквадратные, тригонометрические, логарифмические, показательные, рациональные, иррациональные и дробные.
Алгебраические уравнения решаются с помощью следующих методов: метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально – графический метод.
Решение уравнений с помощью комплексных чисел заключается в введении «мнимой единицы» и получения ответа через «i». С помощью комплексных чисел решаются уравнения квадратные (дискриминант отрицательный), тригонометрические (с помощью координат синуса и косинуса).
Нами был составлен конспект урока в соответствии с требованиями ФГОС 2012 года и этапами урока. Проведен урок в 11 классе на тему «Комплексные числа» и проанализированы его результаты, которые показали, что тема была интересна и ее усвоили большинство учащихся этого класса.
Подводя итог, можно сказать, что поставленные задачи полностью выполнены, цель достигнута, гипотеза, приведенная в начале работы, подтверждена.

Содержание работы

Если прикрепленный файл не отображается, перегрузите, пожалуйста, страницу

Загрузка…

Дата публикации работы: 30.04.2022

Разноуровневые самостоятельные работы “Комплексные числа”

• Бондарева Марина Владимировна

Разделы: Математика

---

§32 Комплексные числа и арифметические операции над ними.

Цели:

• Ввести понятие комплексного числа, мнимой единицы, чисто мнимого числа, определить связь между действительными и комплексными числами, дать определение сопряженным числам.
• Научить выполнять сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме.

Тест№1

Цель: проверить знание определения комплексного числа, сопряженных чисел, умения находить действительную и мнимую части комплексного числа.

Прочитайте каждое утверждение, если вы с ним согласны то в колонке ответов поставьте «+», если же вы не согласны с данным утверждением, поставьте « – » в колонке ответов.

Вариант 1

№п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Число является комплексным.
2	Число а, такое что а 2 = – 2 является действительным.
3	Число а, такое что а4 = 1 является действительным.
4	0 – комплексное число.
5	Число 3i является чисто мнимым.
6	Действительная и мнимая части комплексного числа 3 – 2i соответственно равны 3 и 2.
7	Действительная и мнимая части сопряженных чисел отличаются только знаками.
8	Сопряженным для действительного числа является само это число.
9	Если, то действительная часть числа z равна 0.

Вариант 2

№п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Число 5 является комплексным.
2	Число а, такое что а2 = 4 является действительным.
3	Число а, такое что а8 = 1 является действительным.
4	0 – мнимое число.
5	Если а + bi является действительным, то b = 0
6	Действительная и мнимая части комплексного числа – 3 + 2i соответственно равны – 3 и 2.
7	Мнимые части сопряженных чисел отличаются только знаками.
8	Если, то мнимая часть числа z равна 0.
9	.

Самостоятельная работа №1

Цель: проверить умение применять правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел, определения равенства комплексных чисел, записанных в алгебраической форме .

№ п/п	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3
1	Даны числа: . Найдите: a) b) c) d) e)	Даны числа: . Найдите: a) b) c) d) e)	Даны числа: . Найдите: a) b) c) d) e)
2	Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .	Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .	Для чисел найдите действительные числа а и b, для которых верно равенство .
3	Запишите z в алгебраической форме:	Запишите z в алгебраической форме:	Запишите z в алгебраической форме:

Вариант №3 рассчитан для более подготовленных детей.

§33 Комплексные числа и координатная плоскость.

 Целт:

• Дать понятие геометрической модели комплексного числа.
• Научить отмечать комплексные числа в комплексной плоскости, находить их сумму, разность, произведение действительного и комплексного чисел используя геометрическую интерпретацию.

Самостоятельная работа №2

Цель: проверить умение изображать комплексные числа в комплексной плоскости и производить операции над ними.

§34 Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Цели:

• Ввести определение модуля и аргумента комплексного числа, рассмотреть их геометрическую интерпретацию.
• Научить записывать комплексное число в тригонометрической форме, применять операции умножения и деления для чисел записанных в комплексной форме.

Тест №2

Цель: проверить умение применять геометрическую интерпретацию модуля.

Задание: Сопоставьте друг другу условие на комплексное число z и соответствующее ему множество точек координатной плоскости.

Вариант №1

А		1	Круг с центром (1; 0) и радиусом 3
Б		2	Часть плоскости вне круга с  центром (0; 0) и радиусом 3
В		3	Прямая х = 0
Г		4	Круг с центром (0; 0) и радиусом 3
Д		5	Круг с центром (0; 1) и радиусом 3
		6	Окружность с  центром (0; 0) и радиусом 3

Вариант №2

А		1	Часть плоскости вне круга с  центром (0;0) и радиусом 3, включая границу.
Б		2	Прямая у = – х
В		3	Окружность с центром (0; – 2) и радиусом 3
Г		4	Круг с центром (2; – 1) и радиусом 3
Д		5	Круг с центром (0;2) и радиусом 3
		6	Окружность с  центром (0; 0) и радиусом 3

Тест №3

Цель: проверить знание определения аргумента и модуля.

Прочитайте каждое утверждение, если вы с ним согласны, то в колонке ответов поставьте «+», если же вы не согласны с данным утверждением, поставьте « – » в колонке ответов.

Вариант 1

№ п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Точки плоскости, удовлетворяющие условию , лежат на окружности радиуса 1.
2	Два комплексных числа равны, если равны их аргументы.
3	Точки плоскости, у которых аrg z = , лежат на открытом луче выходящим из (0; 0) и имеющим угол, равный 180оС положительным направлением действительной оси.
4	Множество всех комплексных чисел, у которых равны модули, есть окружность.
5	При умножении комплексных чисел модули и аргументы перемножаются.
6	При делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются.
7	У сопряженных комплексных чисел модули равны.

 Вариант 2

№ п/п	Утверждения:	Ответ.
1	Точки плоскости, удовлетворяющие условию , лежат на окружности радиуса 2.
2	Два комплексных числа равны, если равны их модули.
3	Точки плоскости, у которых аrg z = –, лежат на открытом луче выходящим из (0;0) и имеющим угол, равный – 90оС положительным направлением действительной оси.
4	Множество всех комплексных чисел, у которых равны аргументы, есть открытый числовой луч, выходящий из начала координат и наклонённый под углом к положительному направлению оси абсцисс.
5	При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.
6	При делении комплексных чисел модули и аргументы делятся.
7	У сопряженных комплексных чисел аргументы противоположны.

Самостоятельная №3

Цель: проверить умение находить модуль комплексного числа.

Вариант 1	Вариант 2
Для чисел вычислите модули следующих выражений: + – И проверьте следующие неравенства	Для чисел , = вычислите модули следующих выражений: + – И проверьте следующие неравенства

Сложность варианта 2 выше, т. к. прежде чем находить модули нужно преобразовать числа в алгебраическую форму.

Самостоятельная работа №4

Цель: проверить умение находить модуль и аргумент комплексного числа, переводить из алгебраической в тригонометрическую форму

Вариант 1	Вариант 2	Вариант  3	Вариант 4
1. Представьте комплексное число в тригонометрической форме: а) b)	1. Представьте комплексное число в тригонометрической форме: а) b)	1. Представьте комплексное число в тригонометрической форме: а) b)	1. Представьте комплексное число в тригонометрической форме: а) b)
2. Даны числа: Вычислите, используя правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:	2. Даны числа: Вычислите, используя правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:	2. Даны числа: Вычислите, используя правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:	2. Даны числа: Вычислите, используя правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме:

§35 Комплексные числа и квадратные уравнения

Цель: научить решать квадратные уравнения с дискриминантом меньшим нуля, извлекать квадратные корни из комплексных чисел в арифметической и тригонометрической форме.

Самостоятельная работа №5

Цель: проверить умение применять определение мнимой единицы при разложении на множители с помощью формул сокращенного умножения, атак же умения решать квадратные уравнения с действительными коэффициентами.

Вариант 1	Вариант 2
1. Разложите на линейные множители: a) b) c) d) e)	1. Разложите на линейные множители: a) b) c) d) e)
2. Решите уравнение: a) b) с)	2. Решите уравнение: a) b) c)

18.05.2011

Комплексные числа, управление воздушным движением и радар – TOM ROCKS MATHS

Поначалу может показаться интуитивно понятным думать о дробях, отрицательных числах, может быть, даже о десятичных дробях, но чем больше мы останавливаемся, чтобы думать об этом, тем больше мы можем начать сомневаться Их законность и значение. Например, что значит иметь -1 яблоко или ¼ овцы? Фактически, числовая линия, которую мы знаем сегодня, была совсем другой 1000 лет назад…

До того, как мы использовали деньги в качестве валюты, люди торговали и торговали, используя все, что у них было, например, количество животных, которыми они владеют, например, овец. Для подсчета того, что у них есть, они использовали натуральные числа, в которые входили все положительные целые числа. Со временем возникло несколько проблем: что, если у кого-то не хватит овец, чтобы расплатиться со мной? Что происходит, когда овца принадлежит не одному человеку, а двум? Чтобы ответить на эти вопросы, в числовой ряд были введены отрицательные и рациональные (дробные) числа. Поначалу людям было трудно интерпретировать и визуализировать их, но люди постепенно принимали эти цифры, потому что они упрощали расчеты. Иррациональные числа стали частью числового ряда, когда Гиппас, философ-пифагорейец, утверждал, что некоторые числа, такие как квадратный корень из 2, не могут быть представлены дробью. От натуральных чисел до иррациональных чисел, эти числа вместе образуют множество действительных чисел.

Вы можете подумать, что действительные числа охватывают все числа в математике, и математики так думали до относительно недавнего времени, но на самом деле существует другое измерение чисел, которое не включает действительные числа. Всякий раз, когда мы возводим в квадрат действительное число, мы всегда получаем положительный результат. Кажется, что мы не можем возвести в квадрат число, дающее отрицательное значение, но тем не менее мы видим, что эти числа появляются в математике. Итак, кто-то решил дать этому «загадочному» числу имя: воображаемое число i, которое определяется как √-1. Но что это значит?

Как правило, мы склонны думать о числах на линии, которую мы называем «числовой линией». Но если мы теперь рассмотрим второе измерение, «воображаемое измерение», то нас ждет целый новый мир чисел. Число может быть чисто действительным или мнимым, или оно может содержать как действительную, так и мнимую часть, что мы и называем комплексным числом. Мы можем изобразить любое комплексное число на диаграмме Аргана, которая ничем не отличается от любой другой координатной плоскости, которую вы видели, за исключением того, что ось x теперь является «действительной» осью, а ось y — «воображаемой» осью. Вот несколько примеров:

«Обычная» числовая линия

Хотя концепция мнимых чисел сама по себе может показаться трудной для понимания, они могут сделать другие математические концепции более интуитивными для понимания. Одним из таких понятий является Основная теорема алгебры, которая утверждает, что:

” Каждый ненулевой многочлен от одной переменной степени n с комплексными коэффициентами имеет, если считать с учетом кратности, ровно n комплексных корней. ”

Хорошо, но что все это значит? Возьмем квадратное уравнение, представляющее собой многочлен с членами до степени 2, например. х ² + 4x -1. По сути, теорема утверждает, что любое квадратное уравнение в форме y = ax ² + bx + c (для некоторых фиксированных чисел a, b, c, где в нашем примере a = 1, b = 4 и c = -1) , дважды пересекает ось x (или один раз, если корень повторяется). Это кажется интуитивно понятным для уравнения вроде y = x ² – 1, но как насчет y = x ² + 1?

Квадратное уравнение не касается оси x на втором графике (y = x ² + 1). Но если мы установим третью ось, воображаемую ось, внутри и вне страницы (как показано ниже), мы увидим, что график действительно касается оси в 2 точках +i и -i (или + √-1). и – √-1).

А как насчет «реальной жизни»? Мы можем видеть отрицательные числа в управлении финансами, дроби в рецептах выпечки, но где мы можем применять комплексные числа? Оказывается, мнимые числа имеют решающее значение в управлении воздушным движением. Кто бы мог подумать…

Управление воздушным движением использует RADAR (RAdio Detection And Ranging) для обнаружения движущихся самолетов. Думая о радаре, я уверен, что многие из вас представляют себе вращающуюся зеленую иглу, которая вращается вокруг черного круглого диска, подобного показанному ниже. В центре управления есть вращающийся источник, который сканирует на 360º каждые 2-3 секунды. Источник посылает радиосигнал с частотой выше, чем те, которые используются для радио- или телепередач, чтобы избежать помех, и имеет приемник, который обнаруживает эхо от любого объекта на своем пути. Вы можете представить это как бросить мяч в темную комнату и посмотреть, вернется ли он к вам. Если это так, то что-то должно быть перед вами, и чем больше времени требуется, чтобы вернуться, тем дальше должен быть объект.

Вместо того, чтобы использовать что-то маленькое, например, мяч, радиолуч имеет форму веера: узкий в горизонтальном направлении и широкий в вертикальном направлении для охвата большой площади. Этот метод известен как первичный радар . Однако сегодня он редко используется, потому что сейчас в небе слишком много самолетов. Поэтому вместо этого мы используем вторичный радар , где закодированная последовательность импульсов отправляется на самолет, а транспондер на самолете генерирует закодированный ответ.

Но какое это имеет отношение к комплексным числам? Ну представьте, какой объем данных должен обработать компьютер, если центр управления может просканировать весь круг за 2-3 секунды. Кроме того, радар сканирует самолеты, которые могут двигаться до 900 км/ч, что усложняет расчеты. Использование мнимых чисел позволяет компьютерам производить расчеты намного быстрее. Те же самые расчеты можно выполнить и с реальными числами, но к моменту расчета самолет переместится в другое место!

Данные, которые получают центры управления воздушным движением, часто содержат много шумов, и иногда радару может быть трудно уловить сигнал от самолета, подобно тому, как трудно услышать, как кто-то говорит рядом с вами в громкая комната. Но есть способы убрать фоновый шум, чтобы сделать сигнал с самолета более четким. Фоновый шум обычно имеет частоту, отличную от плоского сигнала, и мы можем различить эти частоты с помощью так называемого преобразования Фурье. Я не буду вдаваться в математику здесь, потому что это довольно сложно, но теория преобразования Фурье в основном говорит, что случайный волнистый узор может быть составлен из косинусных и синусоидальных волн разных амплитуд и частот, и она говорит вам, что эти разные волны есть.

Как видно из формулы, для использования преобразования Фурье требуются комплексные числа. Итак, вопрос в том, какое отношение функции косинуса и синуса имеют к комплексным числам? Вот тут-то и появляется формула Эйлера:

Если все это для вас в новинку, вы, несомненно, думаете, какой во всем этом смысл? Откуда это вообще взялось? Ответ лежит в диаграмме Аргана. Если мы посмотрим на приведенную ниже диаграмму единичного круга, то увидим, что можем представить действительную и мнимую части комплексного числа с помощью cos и sin. Это точно так же, как мы можем выразить x = cos θ и y = sin θ в нашей обычной координатной плоскости, за исключением того, что x и y являются действительным и мнимым измерениями соответственно на диаграмме Аргана. Мы называем е ^iθ полярная форма, потому что здесь мы представляем комплексное число его углом и радиусом (в данном случае радиус = 1). Точно так же мы называем cosθ + i sinθ, который принимает форму a + bi, прямоугольной формы.

Головоломки 1 и 2

1. Вам, наверное, трудно поверить, что вычисления с мнимыми числами намного проще при интерпретации радара, так почему бы не попробовать самому? Чтобы понять, как генерируются радиолокационные сигналы, мы рассмотрим, как простые волны можно сложить вместе, чтобы создать что-то более сложное. Предположим, обе волны имеют частоту 5 Гц, а время выполнения равно 5 и 6,05 соответственно.

(а). Напишите уравнение для обеих волн в виде s(t) = cos(k(t – φ)), где φ — время выполнения в секундах (время, необходимое для первого появления сигнала), а k = 2π * частота.

(б). Нарисуйте обе волны на графике. Также нарисуйте, что происходит, когда вы складываете 2 волны вместе (суммируете амплитуды волн вместе).

(с). Мы также можем сложить волны математически, используя тригонометрическое тождество:

Но есть более простой метод, использующий комплексные числа. Зная, что cosθ равен действительной части e ^iθ , выразить сумму двух волн в полярной форме. Вы должны получить e ^{10 π t} (e ^{-50 π i} + e ^{-60,5 π i} ).

(д). Не обращая внимания на e ^{10 π t} , преобразуйте ваши результаты сверху в прямоугольную форму (a + bi). Покажите, что вы получаете [cos(-157,08) + cos(-190,07)] + i [sin(-157,08) + sin(-190,07)]. Не забудьте использовать радиан вместо градусов.

(д). Выразите правую часть приведенного выше выражения в виде одного комплексного числа (в форме a+bi). Какой угол соответствует этому комплексному числу?

(ф). Преобразуйте выражение обратно в полярную форму и умножьте его обратно на e ^{10 π t} , которое мы проигнорировали в частях (d) и (e). У вас должно получиться e ^{10 π t – 0,25 π i} . Этот формат очень удобен, потому что компьютерам гораздо проще передавать и интерпретировать информацию из одной волны, чем из двух волн.

2. Допустим, радар на диспетчерской вышке излучает радиоволну на частоте 100 гигагерц. Он посылает 1-наносекундный импульс с амплитудой 1. В математических терминах сигнал излучения будет представлен как cos(100 * 2πt). Через определенное время вы получаете следующий сигнал:

(а). Из других источников вы знаете, что это сигнал радара, отраженный от двух самолетов. Отметив время начала и окончания этой волны, как вы думаете, как далеко самолеты от центра управления? Помните, что (расстояние) = (скорость света) x (время).

(б). Реально ли расстояние между двумя плоскостями? Что это говорит о высоте двух плоскостей относительно друг друга?

(с). Каковы уравнения волн? Они должны быть в форме cos(k(t – φ)), где t выражено в наносекундах (10 ^-9 с), а φ — время выполнения в наносекундах.

(д). Сложите 2 волны выше вместе. Результат должен быть в виде s(t) = e ^{i k(t – φ)} , где время выполнения в наносекундах и k = 2π * частота. См. вопрос 1 для более подробных шагов.

(д). Сигналы и волны, с которыми мы работали выше, образуют то, что мы называем первичным радаром . Как вы думаете, почему в настоящее время мы редко используем первичный радар (подумайте, как будет выглядеть сигнал в районе с большим количеством самолетов)?

---

Мнимые числа также могут помочь нам лучше интерпретировать волны. Думая о волнах, большинство людей представляет периодическое движение вверх и вниз по странице. Однако мы также можем думать о волне как о координате x или y, когда вы движетесь по кругу. Собственно, отсюда и взялись функции cos(x) и sin(x). Но есть проблема — похожая волна может на самом деле представлять два типа движения. Мы называем их положительной и отрицательной частотами.

Это можно объяснить, используя упомянутую выше концепцию визуализации волн в виде круга. Как мы обычно думаем о волнах, мы берем только одно измерение (x или y) круга. Что, если мы хотим включить оба измерения? Это то, что позволяет нам делать мнимое измерение. Если мы возьмем x и y за реальное и мнимое измерения, мы получим спираль. Волна — это, по сути, проекция спирали только в реальное измерение. С помощью спирали мы можем видеть, имеет ли волна положительную или отрицательную частоту: волна выглядит одинаково в реальном измерении, но имеет противоположные направления в дополнительном мнимом измерении.

Положительная частота	Отрицательная частота

ОТКАЗАЦИЯ 3

9 0002 3. AS AS SOUDENCE, We Of As As As Of As As As As Excain. Предположим, центр управления воздушным движением получил следующий сигнал:

(а). Нарисуйте проекцию спирали на вещественную ось. Какова частота сигнала?

(б). Что бы сопряжено этой спирали выглядит? Помните, что для комплексного числа в форме a + bi сопряжение будет a – bi.

(с). Изобразите проекции обеих спиралей на воображаемую ось. Что произойдет, если вы сложите две волны вместе? Помните, чтобы сложить 2 волны вместе, вы просто суммируете высоту 2 волн.

(д). Используя то, что вы обнаружили в части (c), как мы можем получить только реальную часть сигнала?

[Надеюсь, вы старались и справились с вопросом выше, если не спойлеры впереди!]  

---

Когда диспетчерская вышка принимает эти волны, она преобразует воображаемые части волн обратно в реальное измерение. Мы делаем это преобразование, добавляя волну к сопряженной волне. Если у нас есть комплексное значение a + bi, добавление сопряженного числа a – bi дает нам (a + bi) + (a – bi) = 2a, что вдвое больше действительного компонента. Учитывая комплексное число и его сопряжение, мы также можем называть их положительными (a + bi) и отрицательными частотами (a – bi). Если вы снова посмотрите на графики выше, вы увидите, что волны в мнимых измерениях противоположны друг другу из-за +b и -b в комплексном числе и его сопряженной форме. Фактически, радиоволна кодирует эти две части информации вместе, так что информация может быть сохранена.

Удивительно, как мнимые числа, которые трудно представить, могут иметь такое важное применение. «Мнимые» числа вовсе не мнимые, иначе воздушное путешествие было бы невозможно!

---

Ссылки

https://www.livescience.com/42748-imaginary-numbers.html

https://www.abc. net.au/science/articles/2014/03/17/3964782. htm

http://whiteboard.ping.se/SDR/IQ

http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download? doi=10.1.1.645.7724&rep=rep1&type=pdf

https://www.onlinemathlearning.com/complex-numbers-a5.html

https://www.vectorstock.com/royalty-free-vector/green-radar-screen-circular-360-grade-scale -vector-19132443

Нравится:

Нравится Загрузка…

Как комплексные числа используются в реальной жизни?

Комплексное число получается из-за корней любого n-го уравнения. Если уравнение имеет действительные корни, все в порядке, иначе уравнение может иметь корни, отличные от действительных, означает, что корни, которые не являются реальными в этой путанице корней, которые не являются реальными комплексными числами, рождаются. Если уравнение n-й степени имеет действительные корни, а также комбинацию действительных и мнимых корней. Эти комбинации действительных и мнимых корней мы назвали комплексными числами.

Комплексные числа

Комплексные числа имеют форму a+ib, которую также называют общей формой комплексных чисел. В форме a+ib a — действительная часть комплексного числа, b — мнимая часть комплексного числа, а i определяется как √(-1). Есть много форм комплексных чисел. Они есть,

1. Общая форма (Z = a + ib).
2. Полярная форма (Z = r(cosθ + isinθ)).
3. Экспоненциальная форма (Z = re ^iθ ).

Общая форма комплексного номера

Комплексное число имеет общую форму, которая выглядит как Z=a+ib, где a — действительная часть, b — мнимая часть, а i называется йотой, что равно √(-1). Полярная форма комплексного числа мнимая часть, а i называется йотой, что равно √(-1).

Экспоненциальная форма комплексного числа

Комплексное число имеет экспоненциальную форму, которая выглядит как Z=reiθ, где eiθ также может быть записано как cosθ+isinθ, что выглядит как полярная форма в конце.

Примечание: Мы также можем преобразовывать общую форму в полярную, экспоненциальную наоборот, также можем преобразовывать полярную форму в общую, экспоненциальную форму наоборот, а также можем преобразовывать экспоненциальную форму в общую, полярную форму наоборот наоборот Теперь нам нужно обсудить, где эти комплексные числа полезны в реальной жизни.

Комплексные числа в реальной жизни

Комплексные числа используются во многих областях реальной жизни. Ниже приведены наиболее важные случаи использования комплексных чисел, а также дано их правильное объяснение.

1. Комплексный номер используется в электронике.
2. Комплексное число используется в электромагнетизме.
3. Комплексное число используется для упрощения неизвестных корней, если корни не являются действительными для квадратных уравнений.
4. Комплексные числа используются в вычислительной технике.
5. Комплексный номер используется в машиностроении и гражданском строительстве.
6. Комплексные числа используются в системах управления.

• Комплексные числа в электронике

В электронике мы привыкли представлять общую форму комплексного числа в цепи, имеющей напряжение и ток. В электронике схема в основном основана на токе и напряжении. Эти два элемента складываются в одно комплексное число. Z = V+ iI представляет собой комплексное представление цепи, имеющей как ток, так и напряжение, где V — часть действительной оси, а I — часть мнимой оси, так что мы можем увидеть сравнение как V, так и I, представляя в виде комплексного числа в электронике. Иногда в цепях RC или RLC, если мы хотим объединить два элемента, скажем, например, резистор и катушку индуктивности, мы можем записать это как R + jX _L , а также в случае представления комплексных чисел резистора и конденсатора R + j X _c , где X _L = jwL и X _c = 1/jwc.

• Комплексные числа в электромагнетизме

В электромагнетизме основными элементами являются электрическое поле и магнитное поле. Эти элементы представлены в виде комплексных чисел, где действительное число или действительная ось представлены электрическим полем, магнитное поле представлено мнимой частью мнимой оси.

• Комплексные числа для нахождения корней квадратного уравнения

Квадратное уравнение используется для нахождения корней уравнения. Если квадратное уравнение имеет действительные корни, то все в порядке. Если квадратное уравнение не может найти действительные корни, то говорят, что корни не являются действительными корнями, называемыми мнимыми корнями. Мнимые корни можно найти по формуле (-b + √(b ² – 4ac))/2a, (-b – √(b ² – 4ac))/2a – два комплексных мнимых корня, если квадратное уравнение не может в состоянии найти настоящие корни. В этом приложении мы можем использовать комплексные числа.

• Комплексные числа, используемые в вычислительной технике

В информатике данные играют важную роль. Данные нельзя увидеть визуально, потому что они представлены в виде CSV-файлов. Эти данные файла CSV можно увидеть с помощью методов визуального представления в информатике. Это визуальное представление находится только на реальной оси и воображаемой оси, поэтому комплексные числа используются для представления данных в визуальном формате для компьютерных технологий. В 2D-изображениях мы также можем использовать комплексные числа. Вращение точки, имеющей действительную и мнимую части, и перемещение точки на двумерном изображении представляет собой комплексное число.

• Комплексные числа в машиностроении и строительстве

В машиностроении и строительстве основное внимание уделяется проектированию автомобилей и зданий. Чтобы сделать это, мы должны использовать концепции 2D-проектирования, которые в основном зависят только от комплексных чисел. Повороты также используются в рисовании, поскольку точка представлена ​​только комплексным числом.

• Комплексные числа в системах управления

Системы управления Требуется преобразование системы во временной области в частотную, что должно быть выполнено с использованием преобразования Лапласа. При этом полюса и нули системы адресуются с помощью комплексной плоскости, имеющей действительную и мнимую оси. Это причина и использование комплексного числа, используемого в системе управления.

Примеры задач

Задача 1: Решите квадратное уравнение X ² + 5X + 3 = 0 и проверьте, являются ли корни мнимыми или нет?

Решение. квадратного уравнения = (-b + √(b ² – 4ac))/2a, (-b – √(b ² – 4ac))/2a

= (-5 + √25 – 4 × 3 × 3)/2 × 3, (-5 – √25 – 4 × 3 × 3)/2 × 3

= (-5 + √25 – 36)/6, (-5 – √25 – 36)/6

= (-5 + √-11)/6, (-5 – √-11)/6

= (-5+i 3,3)/6, (-5-i 3,3)/6

= -0,83 + i 0,55, -0,83 – i 0,55

0,55 представлены в виде a+ib и a-ib, поэтому они являются комплексными числами. Корни квадратных уравнений могут быть комплексными числами. В этом приложении для нахождения корней квадратных уравнений используются комплексные числа.

Задача 2: Рассчитайте импеданс RC-цепи, если резистор имеет сопротивление 2 Ом, а конденсатор имеет емкость 4 фарад в цепи, которые соединены последовательно и частота f = 1 кГц?

Решение:

Учитывая, что R = 2 Ом

C = 4 Farads

Импеданс z = R + x _C , где x _C = 1/JWC

Z = R + (1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 (1 _C = 1/JWC

Z = R + (1 (10260 C = 1/JWC

Z = (10260 C = 1/JWC

Z = R + (10260 C = 1/JWC

Z = (10260 C = 1/JWC

/j(2 × π × f × C)

Подставив R, f, C в приведенное выше уравнение, мы получим импеданс RC-цепи

Z = 2-j(1/ 2 × 3,14 × 1 × 4)

Z = 2 – j(1/6,28 × 4)

Z = 2 – j(0,0398) 

Импеданс Z = 2 – j(0,0398), который также представлен только в виде комплексных чисел. Вот почему комплексные числа используются при расчете импеданса цепи.

Задача 3: Если z ₁ = 2 + 5i и z ₂ = 7 + 9i. Вычислить z ₁ × z ₂ ?

Решение:

Учитывая, что Z ₁ = 2 + 5i и z ₂ = 7 + 9i

z ₁ × Z ₂ ) ( Z ₂ ). + 9i)

= 14 + 18i + 35i + (i ² ) × 45

= 14 + 53i – 145

= -31 + 53i.

z ₁ ×   z ₂ в виде комплексного числа (a + ib) = -31 + 53i.

Задача 4: Если Если z ₁ = 5,5 + 5i и z ₂ = 7,7 + 7i. Вычислить z ₁ + z ₂ ?

Решение:

Учитывая, что Z ₁ = 5 + 5i и z ₂ = 7 + 7i

z ₁ + z ₂ = 5,5 + 5 7. 7 + 7.7 + 7.7. = 13,2 + 12i

z ₁ + z ₂ в виде комплексного числа (a + ib) = 12 + 12i.

Задача 5: Если Если z ₁ = 6 + 5i и z ₂ = 6 + 7i. Вычислить z ₁ – z ₂ ?

Решение:

Учитывая, что Z ₁ = 6 + 5i и z ₂ = 6 + 7i

z ₁ – z ₂ = 6 + 5i – 6 + 7i

9 – Z 2

Z ₁ – Z ₂

= 0 + 12i

z ₁ – z ₂ , которое представляет собой комплексное число (a + ib) = 0 + 12i.

Задача 6: Если Если z ₁ = 1 + 5i и z ₂ = 2 + 5i. Вычислить z ₁ /z ₂ ?

Решение:

Учитывая, что Z ₁ = 1 + 5i и z ₂ = 2 + 5i

z ₁ /z ₂ = 1 + 5I /5I 5I 5I

/Z 2

Умножить и разделить на 2 – 5i

z ₁ /z ₂ = 1 + 5i × (2 – 5i)/(2 – 5i)(2 + 5i)

z ₁ /z ₂ = (2 – 5i + 10i + 25)/(4 + 25)

z ₁ /z ₂ = (27 + 5i)/29

z

12 / 6 _{1 2 2} = 0,93 + i 0,17

z ₁ /z ₂ в виде комплексного числа (a + ib) = 0,93 + i 0,17.