Контрольная работа Пределы числовых последовательностей и функций.
Образец выполнения
Задание 1. Найти пределы числовых последовательностей, или установить их расходимость:
1.1.
Решение:
Данную последовательность можно представить как произведение ограниченной последовательности , предел которой не определён, и сходящейся последовательности , предел которой равен нулю. Согласно одному из свойств сходящихся последовательностей, произведение ограниченной и сходящейся последовательности есть также сходящаяся последовательность, предел которой равен пределу последней.
Тогда: .
1.2. .
Решение:
.
1.3. .
Решение:
Как и в первом пункте данного задания,
представим данную последовательность
в виде произведения двух последовательностей: ,
где .
Задание 2. Найти пределы функций:
2.1. .
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разделим числитель и знаменатель дроби на старшую степень, т.е. на
2.2. .
Решение:
В данном случае имеем неопределённость
вида
.
Для её раскрытия разделим числитель и
знаменатель дроби на старшую степень,
т.е. на x3.
Поэтому .
2.3. .
Решение:
В данном случае снова имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, преобразуем данную функцию, предварительно разложив на множители числитель и знаменатель: .
2.4. .
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряжённое её знаменателю:
.
2.5. .
Решение:
В данном случае имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, введём подстановку . , при . Получим: .
2.6. .
Решение:
Имеем неопределённость вида
.
Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь
к виду, который допускал бы применение
первого замечательного предела .
.
2.7. .
Решение:
Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение первого замечательного предела . Введём подстановку . Заметим, что , при . Получим:
.
2.8. .
Имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, приведём данную дробь к виду, который допускал бы применение второго замечательного предела .
. Далее, воспользовавшись равенствами и , получим: .
2.9. .
Решение:
Обратим внимание, что в данном случае ,
поэтому нет необходимости использовать
второй замечательный предел, поскольку
нет никакой неопределённости, и предел
может быть вычислен непосредственно.
.
Решение:
Прежде всего, заметим, что если стремится к единице слева, то будет принимать близкие к нулю отрицательные значения, и выражение , очевидно, стремится к . Тогда: .
Задание 3. Исследовать функцию на непрерывность: .
Решение:
Найдём область определения данной функции. . Итак, имеем две точки разрыва: и . Теперь определим, каков характер разрыва функции в каждой из этих точек.
Точка является точкой бесконечного разрыва (второго рода), так как: .
Точка является точкой устранимого разрыва, так как:
.
Окончательный ответ: функция непрерывна при ; точка является точкой разрыва II второго рода; точка является точкой устранимого разрыва.
Самостоятельная работа № 4 Введение в математический анализ
Тема 4.
Введение в математический анализ.Число, переменная, функция.
Предел функции.
Основные виды неопределенностей.
Список литературы
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов:в 3т.-5-е изд.,стер.-М.:Дрофа .- (Высшее образование. Современный учебник).т.2. Дифференциальное и интегральное исчисление.-2003.-509 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. пособие: в 2-х т.- Изд. стер. –М.: Интеграл – Пресс.Т.1. -2001.- 415 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Учеб. для вузов: в 3-х томах. – 8-е изд.-М.: Физматлит. т.1 – 2001. -697 с.
Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. -22-е изд., перераб.- СПб: Профессия, 2003.-432 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Учеб. для вузов: В 3-х томах. – 5-е изд., перераб. и доп. –М.: Дрофа. Т.1. – 2003.-703 с.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Учеб. для вузов в 2-х частях. – 6-е изд. стер. –М. Физматлит, 2002, -646 с.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.-6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.2. -2002.-416 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
Вычислить пределы функций.
а) Найти .
Решение. Прежде всего, проверим, применимы ли к данной дроби теоремы о пределах, или мы имеем дело с неопределенностью. Для этого найдем пределы числителя и знаменателя дроби. Функции иявляются бесконечно большими. Поэтому,,.
Следовательно,
имеем дело с неопределенностью вида
.
Для раскрытия этой неопределенности и использовании теоремы о пределе отношения двух функций выделим в числителе и в знаменателе в старшей для числителя и знаменателя степени в качестве сомножителя и сократим дробь.
Ответ. 0.
б) Найти .
Решение. Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно разложить числитель и знаменатель на множители и сократить дробь на общий множитель.
Ответ. -9.
Найти .
Решение. Для вычисления данного предела подставим значение в функцию, стоящую под знаком предела. Получим,
.
Ответ. -3.
в) Найти .
Решение. Для
раскрытия неопределенности
в этом случае, нужно умножить числитель
и знаменатель на выражение, сопряженное
числителю, а затем сократить дробь на
общий множитель.
Ответ. .
г) Найти .
Ответ. k
д) Найти .
Решение. Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно произведение преобразовать в частное, то есть неопределенностьсвести к неопределенностиили.
Выделяем первый замечательный предел, то есть, умножаем числитель и знаменатель на . Получаем,
.
Ответ. .
е) Найти .
Решение. Для раскрытия неопределенности в этом случае, нужно выделить второй замечательный предел:.
Ответ. .
ж) Найти
Решение. Для
раскрытия неопределенности
в этом случае, нужно выделить второй
замечательный предел:.
Ответ. .
Найти
Решение. Подставим значение в функцию, стоящую под знаком предела. Получим,
Ответ. .
Задана функция и два значения аргумента .
Требуется:
найти пределы функции при приближении к каждому из данных значений слева и справа;
установить является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений ;
сделать схематический чертеж.
Решение. Найдем левый и правый пределы в точке .
Левый предел
конечен и равен 0, а правый предел
бесконечен. Следовательно, по определению
точка разрыва второго рода.
Найдем левый и правый пределы в точке .
, т.е. точка непрерывности функции .
Сделаем схематический чертеж.
Рис. 1
3. Функция задается различными аналитическими выражениями для различных областей независимой переменной.
Требуется:
найти точки разрыва функции, если они существуют;
найти скачок функции в каждой точке разрыва;
сделать схематический чертеж.
Решение. Функция непрерывна для, функциянепрерывна в каждой точке из, функциянепрерывна в каждой точке интервала.
Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки и, где функция меняет свое аналитическое выражение.
Исследуем точку
.
, ,. Таким образом, точкаесть точка непрерывности функции.
Исследуем точку .
, ,. Таким образом, односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрываравен.
Сделаем схематический чертеж
Рис. 2
Работа с лимитами WIP для канбана
Что такое лимиты WIP?
В гибкой разработке лимиты незавершенного производства (WIP) устанавливают максимальный объем работы, который может существовать в каждом статусе рабочего процесса. Ограничение объема незавершенной работы упрощает выявление неэффективности рабочего процесса команды. Узкие места в конвейере доставки команды четко видны еще до того, как ситуация станет критической.
Почему важны лимиты WIP?
Итак, теперь вы думаете: “Расскажите мне больше!” (Ну, я надеюсь, что да.
)
Ограничения WIP повышают пропускную способность и сокращают объем «почти выполненной» работы, заставляя команду сосредоточиться на меньшем наборе задач. На фундаментальном уровне лимиты незавершенного производства поощряют культуру «готово». Что еще более важно, лимиты WIP делают блокираторы и узкие места видимыми. Команды могут копаться в блокирующих проблемах, чтобы понять их, внедрить и решить, когда есть четкий индикатор того, какая текущая работа вызывает узкое место. Как только блокировки устранены, работа в команде снова начинает течь. Эти преимущества гарантируют, что дополнительные преимущества будут доставлены клиентам быстрее, что делает ограничения WIP ценным инструментом гибкой разработки.
Во время разработки легко подумать: «О, я остановлюсь на этом одном вопросе, пока начну работать над другим». Наличие двух открытых задач означает переключение контекста между двумя разными вещами или передачу работы между товарищами по команде. Снижение внимания к одной проблеме и повышение к другой не бесплатно — это требует времени и ухудшает концентрацию.
Почти всегда лучше проработать первоначальный выпуск, чем начинать — и не завершать — новую работу. Другими словами, ограничения WIP не позволяют нам препятствовать собственному потоку.
Наконец, лимиты незавершенного производства указывают на области хронического бездействия или перегрузки. Они помогают команде увидеть неэффективность всего процесса, а не только конкретной области, в которой они работают.
Совет профессионала:
Команды, не знакомые с ограничениями WIP, будут чувствовать себя неловко. Потратьте время, чтобы обсудить их в первых нескольких итерациях. Поймите, когда и почему команда достигла пределов незавершенного производства. Сначала не поддавайтесь искушению произвольно настроить их. Если нарушение становится постоянным, это признак того, что либо лимит WIP слишком ограничен, либо процесс команды неэффективен.
Использование лимитов незавершенного производства в agile-командах
Теперь, когда вы убедились в их ценности, давайте перейдем к делу.
При развертывании нового рабочего процесса примите коллективное решение определить лимиты WIP для каждого статуса. Мы рекомендуем устанавливать лимиты WIP после мониторинга среднего количества рабочих элементов в каждом статусе в течение нескольких спринтов. Ниже приведен пример гибкой доски с ограничениями WIP, используемой типичной командой разработчиков программного обеспечения.
Выше был установлен предел WIP для проверки кода. Поскольку столбец превышает свой предел, фон стал красным.
Поскольку после завершения задачи больше нечего делать, нет необходимости в ограничении WIP. На приведенной выше доске слово “Требуется сделать” означает, что история полностью проверена владельцем продукта и командой. Команда разработчиков переводит работу из состояния «Сделать» в состояние «В процессе», когда они начинают работу над рабочими элементами. В соответствии с передовой практикой важно сохранять достаточное количество работы в статусе «Надо сделать», чтобы каждый член команды разработчиков оставался полностью загруженным.
Оставляя только достаточное количество историй в состоянии «Сделать», владелец продукта не забегает слишком далеко вперед, когда дело доходит до конкретизации требований, и программа становится более восприимчивой к изменениям.
В статусе “в процессе” перечислены работы, находящиеся в активной разработке. Цель ограничений WIP в этом случае — гарантировать, что у всех есть работа, но никто не работает в режиме многозадачности. На приведенной выше доске ограничение для элементов «в процессе» равно 4, и в настоящее время в этом состоянии находятся 3 элемента. Это говорит команде, что у них есть возможность взять на себя больше работы. В некоторых командах рекомендуется установить максимальный лимит WIP ниже количества участников команды. Идея состоит в том, чтобы испечь место для хороших гибких практик. Если разработчик заканчивает элемент, но команда уже исчерпала свой лимит незавершенного производства, он понимает, что пришло время провести несколько ревью кода или присоединиться к другому разработчику для парного программирования.
Статус «Проверка кода» указывает на истории, которые были полностью написаны, но нуждаются в проверке перед объединением с кодовой базой. Своевременная проверка кода — это передовая практика, которая обеспечивает качество, быстрее выводит инновации на рынок, упрощает слияния за счет сокращения открытых веток и распространяет знания среди команды инженеров. С элементами в этом состоянии следует действовать срочно по нескольким причинам:
- Код не портится, пока члены команды проверяют новый код
- Разработчик не теряет контекст, который он получил при написании исходного кода
- Функция может быть объединена с основной ветвью для версии
Ограничения WIP гарантируют, что непроверенный код не накапливается.
Обратите внимание, что на приведенной выше доске agile у команды слишком много обзоров кода, поэтому столбец стал красным, чтобы указать на это.
Антишаблоны, за которыми нужно следить:
- Лимиты WIP повышаются по мере необходимости, чтобы команда больше их не нарушала. (“Потолок долга”, кто-нибудь?)
- У каждого есть большая “фоновая задача” на его тарелке, чтобы скрыть время, когда в противном случае он бездействовал бы.
- Члены команды сидят без дела, ожидая, когда появится больше работы, вместо того, чтобы копаться в узких местах.
- Затрата большего количества человеко-часов на устранение постоянных узких мест предпочтительнее улучшения инженерных методов или командных процессов.
(“Потолок долга”, кто-нибудь?)4 цели для agile-команд, использующих лимиты WIP
Как и любая новая деятельность, лимиты WIP поначалу могут показаться неудобными. Цель здесь состоит в том, чтобы оптимизировать команду в среднесрочной перспективе, и краткосрочная неловкость на самом деле хорошая вещь. Это заставляет команду чувствовать некоторые болевые точки в их процессе. После того, как команда использует свои лимиты WIP в течение нескольких недель, внесите необходимые коррективы. Не поддавайтесь искушению поднять лимит незавершенного производства только потому, что команда продолжает его достигать.
Воспользуйтесь этой возможностью, чтобы увеличить потенциал — в идеале, обучив команду и предоставив каждому члену новые наборы навыков или сделав некоторые аспекты процесса разработки более эффективными.
Цель 1: Определяйте размер отдельных задач последовательно. При разбивке требований и пользовательских историй важно, чтобы на отдельные задачи ушло не более 16 часов работы. Это повышает способность команды уверенно оценивать и помогает избежать узких мест. Ничто так не замедляет работу команды и не усугубляет ограничения WIP, как большой рабочий элемент, засоряющий конвейер.
Совет профессионала:
Когда ограничения на незавершенное производство работают на команду, время цикла задачи сокращается. Время цикла — это количество времени, которое требуется для завершения задачи. Посетите нашу страницу, посвященную agile-метрикам, чтобы узнать больше.
Цель 2: Сопоставьте ограничения WIP с навыками команды.
В приведенном выше примере предполагается, что члены команды имеют схожие наборы навыков. Если в вашей команде есть специалисты, лимиты незавершенного производства могут отличаться, когда задействован специалист. Создайте статус, специфичный для работы специалиста. Если в этом статусе возникают узкие места, используйте возможность обучить других членов команды, чтобы добавить дополнительные возможности для наборов навыков специалиста и увеличить поток во всей команде.
Гол 3: Уменьшить бездействие. Когда у члена команды есть время простоя, поощряйте его помогать вышестоящему или нижестоящему члену команды. Они будут способствовать общей продуктивности команды и попутно чему-то учатся!
Цель 4: Защитить устойчивую инженерную культуру. Ограничения незавершенного производства не означают, что разработчикам нужно спешить с работой, чтобы избежать перегрузки в определенном статусе. Они предназначены для поддержки надежных методов гибкой разработки, которые защищают качество продукта и работоспособность кодовой базы.
Дэн Радиган
Agile оказал на меня огромное влияние как в профессиональном, так и в личном плане, поскольку я узнал, что лучший опыт — это Agile, как в коде, так и в жизни. Вы часто найдете меня на стыке технологий, фотографии и мотоциклов.
Взаимосвязь между контрольным пределом и пределом спецификации — Advance Innovation Group
Эта статья о пределе спецификации предела контроля отношений опубликована для лучшего понимания учащимися.
Взаимосвязь между контрольным пределом и пределом спецификации
Контрольные пределы и пределы спецификации
Контрольные пределы — это пределы изменения, которые ожидаются от процесса, когда говорят, что процесс находится в состоянии статистического контроля. Вызов процесса под статистическим контролем означает, что все изменения в процессе происходят только по общей (случайной) причине. Такой процесс обычно показывает постоянство их производительности с течением времени.
Любое отклонение, выходящее за пределы контроля, считается вызванным особой причиной. Такие процессы трудно предсказать для будущей производительности. Контрольный предел является свойством процесса (Данные). Контрольный предел любого процесса означает, что все отклонения от ожидаемого источника попадают в этот предел. Как правило, очень небольшая часть вариаций обусловлена только особыми причинами, потому что, если огромные вариации вносятся источником, то этот источник не может быть особенным, а становится обычным.
Предел спецификации — это предел, установленный заказчиком. Как правило, существует два типа предела спецификации, т. е. LSL (нижний предел спецификации) и USL (верхний предел спецификации). Эти пределы количественно определяют требования заказчика (CTQ). Если наш продукт попадает в диапазон USL / LSL, продукт считается оправдывая ожидания нашего клиента. Если наш продукт не попадает в диапазон USL/LSL, то говорят, что наш продукт не удовлетворяет потребности наших клиентов.
Предел спецификации и контрольный предел — это два разных измерения. Будучи «черным поясом», мы можем не иметь большого контроля над спецификацией клиента, но мы можем работать над изменением контрольных пределов. Опять же, смещение или изменение контрольного предела требует времени. Таким образом, нам, возможно, придется много работать, чтобы сдвинуть/изменить контрольный предел в соответствии с пределом спецификации, предоставленным нам нашим клиентом.
Связь между контрольным пределом и пределом спецификации
1) Когда предел спецификации падает между контрольным пределом.
Как показано на данном графике. Когда контрольные пределы превышают предел спецификации, некоторая часть процесса будет функционировать за пределами диапазона спецификации. Это означает всякий раз, когда диапазон контрольных пределов превышает диапазон предела спецификации; ваш процесс будет производить дефекты. Диаграмма контроля
2) Когда предел спецификации совпадает с пределом контроля
Когда контрольные пределы упадут на пределы спецификации, все изменения в процессе, которые являются общими для процесса, будут соответствовать спецификации заказчика, как показано на графике ниже.
Серьезной задачей в этом проекте будет поставить вашу систему под статистический контроль, потому что любое отклонение от необычного источника приведет к Дефекту.
Контрольная схема 1
3) Когда контрольный предел находится в пределах спецификации
Вероятно, это наилучшая схема вашего процесса. В таком дизайне все изменения в вашем процессе, происходящие из общего источника, будут попадать в область спецификации. Кроме того, в отличие от случаев № 1 и 2, даже если ваш процесс с течением времени изменится (т. е. контрольные пределы вашего процесса сместятся), это не окажет серьезного влияния на его способность производить продукты/услуги, соответствующие спецификации клиента
Контрольная карта 2
4) Когда нет никакого пересечения между LSL и USL
На графике ниже показано, что весь процесс работает не в соответствии со спецификацией, т. е. весь процесс неисправен. Такая ситуация часто возникает, когда ваша система в силу своей конструкции совершенно не соответствует требованиям заказчика.