Контрольная работа производная и ее геометрический смысл: Контрольная работа №11 по теме «Производная и её геометрический смысл»

Контрольная работа в форме теста по теме “Геометрический смысл производной”

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА В ФОРМЕ ТЕСТА

ПО ТЕМЕ «ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ»

Огрызко И.В., учитель математики

МБОУ СОШ №2 г. Донецка Ростовской области

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Контрольная работа в форме теста по теме «Геометрический смысл производной» составлена в соответствии с ожидаемыми результатами обучения за курс средней школы по данной теме[1] :

Оперировать на базовом уровне понятиями: производная функции в точке, касательная к графику функции, производная функции.

Понимать геометрический и физический смысл производной функции.

Определять значение производной функции в точке по изображению касательной к графику, проведенной в этой точке.

Понимать эквивалентность понятий: значение производной в точке, угловой коэффициент касательной в точке, тангенс угла наклона касательной в точке, скорость изменения функции в точке.

Находить уравнение касательной.

Данную контрольную работу можно использовать в качестве текущего контроля по завершении изучения темы, а можно использовать в качестве тематического контроля при организации итогового контроля при подготовке обучающихся к ЕГЭ по математике.

Технологическая карта

Класс	11
Предмет	алгебра и начала математического анализа
Учебник, по которому ведется преподавание	А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Л.А. Александрова, Е.Л. Мардахаева. Математика: алгебра и начала математического анализа: базовый уровень: 11 класс. В 2 ч., Ч. 1 – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. – 224с.: ил.
Тема контроля	Геометрический смысл производной
Вид контроля	текущий или тематический в ходе итогового повторения при подготовке к ЕГЭ
Форма и методы контроля	Контрольная работа в виде теста (письменно)
Время контроля	45 минут
Цель контроля	Умение применять геометрический смысл производной при решении практических заданий
Содержание контроля	Работа состоит из трех частей разного уровня сложности задач и различной формы подачи задания (аналитический, графический) Работа содержит 12 заданий, из которых: пять заданий на выбор правильного ответа (№1 – №4, №10), два задания на установление соответствия (№5, №8), одно задание – полуоткрытое (№9), два задания (№6, №7) – открытые. Задания №11 и №12 – с развернутым решением. Задание №11 представлено в аналитической форме, косвенно содержит параметр. Задание №12 требует комбинации методов решения – аналитического и графического.
Критерии оценивания	Отметка «5» выставляется, если набрано 14 – 11 баллов Отметка «4» выставляется, если набрано 10 – 9 баллов Отметка «3» выставляется, если набрано 8 – 7 баллов Отметка «2» выставляется, если набрано менее 7 баллов

​​​​​​​ Критерии оценки

Задания	Баллы	Примечание
1 – 10	10	Каждый правильный ответ 1 балл
11 – 12	4	Каждый правильный ответ 2 балла

Максимальный балл за работу – 14 баллов

Критерии оценивания заданий №11 и №12

Баллы	Критерии оценки выполненного задания
2	Найден правильный ход решения, все его шаги выполнены верно и получен правильный ответ.
1	Приведено верное решение, но допущена вычислительная ошибка или описка, при этом может быть получен неверный ответ
0	Неверное решение, неверный ответ или отсутствие решения.

Шкала перевода баллов в отметки

Отметка	Число баллов, необходимое для получения отметки
« 5» (отлично)	14 – 11
« 4» (хорошо)	10 – 9
« 3» (удовлетворительно)	8 – 7
« 2 « (неудовлетворительно)	менее 7

Шаблон правильных ответов

Источники:

1) А. Г. Мордкович. Алгебра. 7—9 классы. Алгебра и начала математического анализа. Базовый уровень. 10—11 классы. Примерные рабочие программы / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов, Л. А. Александрова. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. — 94, [2] с.

2) А.Г. Мордкович, П.В. Семенов, Л.А. Александрова, Е.Л. Мардахаева. Математика: алгебра и начала математического анализа: базовый уровень: 11 класс. В 2 ч., Ч. 1 – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2019. – 224с.: ил.

3) ЕГЭ-2012. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов/ под редакцией А.А. Семенова, И.В. Ященко. – М: Национальное образование, 2011. – 192с. (ФИПИ – школе)

4) ЕГЭ 2020. Математика. Профильный уровень. 36 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий/ И.В. Ященко, М.А. Волкевич, И.Р. Высоцкий, Р.К. Гордин, П.В., Семенов, О.Н. Косухин, Д.А. Федоровых, А.И. Суздальцев, А.Р. Рязановский, В.А. Смирнов, А.С. Трепалин, А.В. Хачатурян, С.А. Шестаков, Д.

Э. Шноль; под ред. И.В. Ященко; − М.: Издательство «Экзамен», 2020. – 167[1]с.

5) https://ege.sdamgia.ru/

6) https://fipi.ru/ege/otkrytyy-bank-zadaniy-ege#!/tab/173765699-2

Ф.И.О.ученика ________________________________________________________

ИНСТРУКЦИЯ

Контрольная работа состоит их трех частей, включающих 12 заданий. Внимательно читайте задание и инструкцию к его выполнению.

Часть 3 содержит два задания, на которые нужно дать развернутое решение.

Время на выполнение работы 45 минут.

Желаю удачи!

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

ЧАСТЬ 1

1.  значение углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции (Выберите правильный ответ и отметьте его )

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции в точке с абсциссой . (Выберите правильный ответ и отметьте его )

3. На рисунке изображен график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной в точке . (Выберите правильный ответ и отметьте его )

4. Составьте уравнение касательной к графику функции , которая параллельна прямой, заданной уравнением . (Выберите правильный ответ и отметьте его )

5. Установите соответствие между рисунком и возможным знаком значения тангенса угла наклона касательной.

А Б В

В таблице под каждой буквой укажите номер возможного знака значения тангенса.

ЧАСТЬ 2

 

6. На рисунке изображен график функции . В точках с абсциссами и проведены касательные. Используя рисунок, найдите значение

7. Найдите угол наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой . Ответ дайте в градусах.

8. На рисунке изображен график функции, к которому проведены касательные в четырех точках.

Поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней. (Соедините линиями правильные ответы)

10. На рисунке изображен график функции Пользуясь рисунком, укажите номера неверных утверждений.

ЧАСТЬ 3

(Задания с развернутым решением)

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: ______________________________________

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: ____________________________________________________

Опубликовано 06.11.20 в 20:25 в группе «УРОК.РФ: группа для участников конкурсов»

производная и ее геометрический смысл с примерами решения

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Геометрический смысл производной
3. Задача о проведении касательной к графику функции. Геометрический смысл производной и дифференциала
4. Геометрические приложения производной

Напомним, что графиком линейной функции является прямая. Число называют угловым коэффициен том прямой, а угол углом между этой прямой и осью (рис. 46).

Если то (см. рис. 46, а), в этом случае функция возрастает. Если то (см. рис. 46, б), в этом случае функция убывает.

Выведем уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку

Пусть прямая не параллельна оси и произвольная точка этой прямой (рис. 47).

Из находим Обозначив получаем откуда

Уравнение (1) называют уравнением прямой с угловым коэффициентом проходящей через точку

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Примеры с решением

Задача 1.

Записать уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью угол –

Находим угловой коэффициент прямой Так как то по формуле (1) получаем

Геометрический смысл производной

Выясним геометрический смысл производной дифференцируемой функции

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и существует ее производная

Если и — точки графика этой функции с абсциссами (рис. 48), то угловой коэффициент прямой, проходящей через точки и (эту прямую называют секущей), выражается формулой

где — точка с координатами а уравнение секущей можно записать в виде

Пусть тогда двигаясь по графику, приближается к точке а секущая поворачивается вокруг точки Если существует , т. е. существует предельное положение секущей, то прямая

уравнение которой получается из уравнения (3) заменой на называется касательной к графику функции в точке с координатами Таким образом, касательная к графику функции в точке есть предельное положение секущей при

Если существует то

Так как — угловой коэффициент касательной, то где — угол, образуемый касательной с положительным направлением оси (рис. 49). Таким образом,

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Геометрический и физический смысл производной

Геометрический смысл производной

Комплексные числа: примеры решения

Формы комплексного числа

Задача 2.

Найти угол между касательной к графику функции в точке и осью

Найдем угловой коэффициент касательной к кривой в точке т. е. значение производной этой функции при

Производная функции равна По формуле (5) находим откуда (рис. 50).

Замечание. Это свойство полезно для построения графика в точке синусоида касается прямой

Пример 1:

Найти угол между касательной к параболе в точке и осью

Производная функции равна По формуле (5) находим откуда

Задача о проведении касательной к графику функции. Геометрический смысл производной и дифференциала

Мы уже упоминали выше о связи понятий производной и касательной к графику функции. Уточним, в чем заключается эта связь.

Для этого дадим сначала точное определение понятия касательной к произвольной плоской линии.

Касательную нельзя определять как прямую, имеющую лишь одну общую точку с рассматриваемой линией. В самом деле, ось (рис. 9) имеет с параболой лишь одну общую точку, ноне касается ее. В то же время прямая имеет бесконечно много общих точек с синусоидой (рис. 10), но касается синусоиды в каждой из этих точек. При определении касательной нельзя исходить и из того, что линия располагается по одну сторону от прямой: ось абсцисс касается кривой в точке (рис. 11), хотя в этой точке кривая переходите одной стороны оси абсцисс на другую.

Чтобы дать правильное определение касательной, придется использовать понятие предела. Пусть —дуга некоторой линии и — точка этой линии. Проведем через точку секущую Если точка приближается по линии к точке то секущая будет поворачиваться вокруг точки Может случиться, что по мере приближения точки к секущая будет стремиться к некоторому предельному положению Тогда называют касательной к линии в точке М0 (рис. 12).

Итак, касательной к линии в точке называют прямую, к которой стремится секущая когда При этом

предельное положение не зависит от того, с какой стороны точка приближается к Утверждение «секущая стремится к прямой когда означает следующее: прямая проходит через точку и где — угол между

прямыми и а , — расстояние между точками и

Может случиться, что предельного положения секущей не существует. В этом случае говорят, что в точке нельзя провести касательную к линии Чаще всего это связано с тем, что точка является точкой заострения, излома, самопересечения и т. д. (рис. 7, 8, 13). Такие точки называют особыми. Для большинства встречающихся на практике линий касательную можно провести почти во всех точках линии. Однако существуют линии, к которым ни в одной точке нельзя провести касательную. Иными словами, для таких линий все точки особые.

Приведем пример линии, ни в одной точке которой нельзя провести касательную.

Для этого построим равносторонний треугольник, разделим каждую из его сторон на три конгруэнтных отрезка и на среднем отрезке каждой стороны построим равносторонний треугольник. После этого разделим на три конгруэнтных отрезка каждое звено получившейся ломаной и на каждом среднем отрезке снова построим равносторонний треугольник (рис 14). Продолжая этот процесс до бесконечности, получим в пределе линию, ни в одной точке которой нельзя провести касательную.

Чтобы написать уравнение касательной, достаточно знать координаты точки касания и угловой коэффициент касательной. Для случая, когда линия является графиком некоторой функции, отыскание углового коэффициента сводится к вычислению производной.

Возьмем на графике функции точку с абсциссой и ординатой Пусть существует касательная к графику в точке Возьмем другую точку (см. рис. 12) и проведем через точки и прямую. (Не ограничивая

общности рассуждений, будем считать, что и Обозначим через угол наклона секущей к положительному направлению оси абсцисс. Тогда

Угол наклона касательной к оси абсцисс обозначим Тогда

Если то в силу непрерывности функции получим:

Таким образом, для того чтобы к графику функции можно было провести невертикальную касательную в точке с абсциссой необходимо, чтобы при существовал предел

причем этот предел равен угловому коэффициенту касательной. Но указанный предел есть не что иное, как значение производной в точке для функции Дифференцируемость не только необходима, но и достаточна для существования касательной.

Итак, мы доказали следующее утверждение: для того чтобы существовала невертикальная касательная к графику функции в точке с абсциссой необходимо и достаточно, чтобы функция была дифференцируемой в точке Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. В этом состоит геометрический смысл производной.

Обратимся еще раз к рисунку 12. Мы дали абсциссе приращение Тогда ордината графика функции получила приращение а ордината касательной получила приращение Но из треугольника находим:

Таким образом, если — приращение ординаты кривой, то дифференциал есть приращение ординаты касательной. В этом состоит геометрический смысл дифференциала»

Пусть функция непрерывна в точке причем

т. е. функция имеет в точке бесконечную производную. В этом случае линия имеет вертикальную касательную и располагается относительно нее так, как показано на рисунке 6, где изображен график функции для которого ось ординат является касательной в точке

Если

то линия также имеет вертикальную касательную и располагается относительно нее так, как показано на рисунке 15. Сложнее обстоит дело, если

а предел

В этом случае график функции в окрестности точки выглядит так, как показано на рисунке 7. Если же

то график функции окрестности точки располагается так, как изображено на рисунке 8. Считают, что в таких точках не существует касательной к графику функции.

Геометрические приложения производной

Пусть функция дифференцируема в точке и — точка графика этой функции. Составим уравнение касательной к кривой в точке где

Из аналитической геометрии известно уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент

Так как угловой коэффициент касательной в точке равен то уравнение касательной к графику функции в данной точке имеет вид:

где

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной, называется нормалью к линии в данной точке. Так как угловые коэффициенты и двух взаимно перпендикулярных прямых связаны соотношением то угловой

коэффициент нормали равен Следовательно, уравнение нормали таково:

Углом между линиями и в точке их пересечения называется угол между касательными к этим линиям в данной точке.

Выведем формулу для тангенса угла между двумя линиями. Пусть линии и пересекаются в точке касательная к линии в точке образует с осью абсцисс угол , а касательная к линии — угол (рис. 16).

Если — угол между касательными, то внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним). Тогда

Ho есть угловой коэффициент касательной к линии в точке потому Аналогично,

Значит,

Разумеется, можно вместо угла взять смежный с ним угол. Тогда в правой части формулы (3) изменится знак, т. е. уменьшаемое и вычитаемое в числителе дроби поменяются местами.

Пример 2:

Найдем величину угла, который образует с осью абсцисс график функции в начале координат.

Решение:

Имеем Значит, т. е. угловой коэффициент касательной к графику в точке равен 0. Тогда т. е. величина искомого угла равна 0. Линия касается оси абсцисс в начале координат (см. рис. 11). Замечание. Выше мы видели, что график функции касается оси ординат в точке (см. рис. 6). В только что рассмотренном примере получили, что график функции касается оси абсцисс в точке

Вообще график функции в точке касается оси ординат, если и оси абсцисс, если при имеем функцию графиком которой является биссектриса угла между осью абсцисс и осью ординат.

1.8: Геометрическая интерпретация производных

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

25429

• Дэн Слоутер
• Университет Фурмана

Напомним, что если \(y=f(x),\), то для любого действительного числа \(\Delta x\)

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\] – средняя скорость изменения \(y\ ) относительно \(x\) на интервале \([x, x+\Delta x]\) (см. \((1.2.7)) .\) Теперь, если график \(y\) является прямым прямой, т. е. если \(f(x)=m x+b\) для некоторых действительных чисел \(m\) и \(b,\), то \((1.8.1)\) есть \(m, \) наклон линии. В самом деле, прямая линия характеризуется тем, что \((1.8 .1)\) одинаково для любых значений \(x\) и \(\Delta x .\). Кроме того, \((1.8 .1) \) остается прежним, когда \(\Delta x\) бесконечно мала; то есть производная \(y\) по \(x\) есть наклон линии. Для других дифференцируемых функций \(f,\) значение \((1.8.1)\) зависит как от \(x\), так и от \(\Delta x .\). Однако для бесконечно малых значений \(\Delta x ,\) тень \((1.8.1),\), то есть производная \(\frac{d y}{d x},\) зависит только от \(x\). Следовательно, разумно думать о \(\frac{d y}{d x}\) как о наклоне кривой \(y=f(x)\) в точке \(x .\). В то время как наклон прямой линия постоянна от точки к точке, для других дифференцируемых функций значение наклона кривой будет меняться от точки к точке. Если \(f\) дифференцируема в точке \(a,\), мы называем прямую с наклоном \(f^{\prime}(a)\), проходящую через \((a, f(a))\) касательная к графику \(f\) в точке \((a, f(a)) . {\prime}(a)(x-a)+f(a) .\] Следовательно, касательная к графику функции \(f\) — это прямая через точку на графике \(f\), наклон которой равен наклону графика в этой точке. 9{2}(x)\] в точке \(x=\frac{\pi}{4}\).

Ответить

\(y=3\left(t-\frac{\pi}{4}\right)+\frac{3}{2}\)

---

Эта страница под названием 1.8: Геометрическая интерпретация производных доступна в соответствии с лицензией CC BY-NC-SA 1.0 и была создана, изменена и/или курирована Дэном Слоутером посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Дэн Слоутер

   Лицензия

   CC BY-NC-SA

   Версия лицензии

   1,0

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. источник@http://www. synechism.org/wp/the-calculus-of-functions-of-several-variables

Геометрическая и физическая интерпретация производной и ее приложения

Нахождение производных является фундаментальной концепцией исчисления. На самом деле у нас есть для этого отдельный термин — дифференциальное исчисление. Дифференциальное исчисление — это область математики, занимающаяся определением скорости изменения функции в данной точке. Вторым ключевым подразделением исчисления является интегральное исчисление, которое связано с дифференциальным исчислением в том смысле, что методы определения производных и интегралов противоположны друг другу. Дифференцирование — это процесс нахождения производных, а интегрирование — это процесс нахождения интегралов.

Производные

Производные – это флуктуирующая скорость изменения функции относительно независимой переменной. Когда скорость изменения не постоянна, а имеется переменная величина, когда используется производная. Производная является определяющим фактором при расчете чувствительности одной переменной, которая может быть зависимой, к другой, которая может быть независимой переменной.

Типы производных

Производные делятся на различные типы в соответствии с их порядком, например, производные первого и второго порядка:

Производная первого порядка

Производные первого порядка говорят нам о направлении функции, будь то возрастающая или убывающая. Производную первого порядка можно рассматривать как мгновенную скорость изменения. Наклон касательной также можно использовать для прогнозирования мгновенной скорости изменения.

Производная второго порядка

Производная второго порядка используется для нахождения формы графика конкретной функции. Функции можно классифицировать на основе их вогнутости. Вогнутость графика функции делится на два типа:

• Вогнутая вверх

• Вогнутая вниз

Физическая интерпретация производных

Производная определяется как скорость изменения в конкретный момент времени. Мы обычно различаем два типа функций: неявные и явные функции. Явные функции — это функции, в которых известное значение независимой переменной «x» приводит непосредственно к значению зависимой переменной «y».

Что такое геометрическая и физическая интерпретация производной – Приложения

Производная предоставляет информацию об изменении связи между двумя переменными. Давайте возьмем пример независимой переменной «a» и зависимой переменной «b». Формула производной может использоваться для расчета изменения значения зависимой переменной по отношению к изменению значения выражения независимой переменной. Формула производной может использоваться для вычисления наклона линии, наклона кривой и изменения одного измерения по отношению к другому измерению.

Наклон касательной к в определенной точке является производной функции в этой точке. Наклон графика функции f (a) при a = a0, сокращенно f'(a0) или (a0), может быть наивно определен как производная f (a) при a = a0. В результате наклон графика f в точке a0 определяется как наклон касательной к графику в точке a0.

Наклон линии, касательной к синему поперечному сечению, обозначенному как fx(a,b), представляет собой значение парциала относительно x в определенном положении (a,b). Изменение z имеет приоритет перед изменением x. Другими словами, он показывает, как быстро изменяется z по отношению к изменению x.

Скорость изменения количества

Это наиболее распространенный и важный способ использования деривативов. Например, чтобы оценить скорость изменения объема куба по отношению к его уменьшающимся сторонам, мы можем использовать производную форму как dy/dx. Где dy представляет скорость изменения объема куба, а dx представляет скорость изменения сторон куба.

Возрастающие и убывающие функции

Мы используем производные, чтобы определить, является ли данная функция возрастающей, убывающей или постоянной, как на графике. Если f — непрерывная функция в [p, q] и дифференцируемая функция в открытом интервале (p, q), то:

f возрастает в [p, q], если f'(x) > 0 для каждого x ∈ (p, q)

f убывает в [p, q], если f'(x) < 0 для каждого x ∈ (p, q)

f – постоянная функция в [p, q], если f'(x)=0 для каждого x ∈ (p, q)

Нормальная и касательная к кривой

Касательная – это линия, которая касается кривой в точке, но не пересекает ее, а нормаль — это линия, перпендикулярная этой касательной.