0 в степени бесконечность неопределенность: один в степени бесконечность | Математика

Умный ученик:

Я знаю!

=   = = = .

Теперь просто подставляем x=0 и видим, что ноль к нулю равен единице!

Умный ученик:

Нет, ты не прав! Вам не разрешено делить на ноль, что вы и сделали на последнем шаге. Вот как это сделать:

=  =  = = 

, что верно, поскольку любое произведение на 0 равно 0. Это означает, что

= .

Самый умный ученик :

Это тоже не работает, потому что если тогда

будет

, то ваш третий шаг также включает в себя деление на ноль, что недопустимо! Вместо этого мы можем подумать о функции и посмотреть, что произойдет, когда x>0 станет меньше. Имеем:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

Таким образом, поскольку   = 1, это означает, что = 1. не доказывает этого. Переменная x, имеющая значение, близкое к нулю, отличается от переменной x, имеющей значение точно равное нулю. Получается, что не определено. не имеет значения.

Учитель исчисления:

Для всех у нас есть

.

Следовательно,

То есть, когда x становится сколь угодно близким к  (но остается положительным), остается равным .

С другой стороны, для действительных чисел y, таких что , мы имеем

.

Следовательно,

То есть, когда y становится произвольно близким к , остается на .

Таким образом, мы видим, что функция имеет разрыв в точке . В частности, когда мы приближаемся к (0,0) по линии с x=0, мы получаем

, но когда мы приближаемся к (0,0) по линии с y=0 и x>0, мы получаем

.

Следовательно, значение будет зависеть от направления, в котором мы берем предел. Это означает, что нет никакого способа определить, что сделает функцию непрерывной в точке .

Математик: Ноль в нулевой степени равен единице. Почему? Потому что так сказали математики. Нет, это правда.

Рассмотрим задачу определения функции для натуральных чисел y и x. Существует ряд определений, которые все дают одинаковые результаты. Например, одна идея состоит в том, чтобы использовать для нашего определения:

:=

где y повторяется x раз. В этом случае, когда x равен единице, y повторяется только один раз, поэтому мы получаем

= .

Однако это определение естественным образом распространяется от целых положительных чисел к неотрицательным целым числам, так что, когда x равно нулю, y повторяется ноль раз, что дает

=

, что верно для любого y. Следовательно, когда y равно нулю, у нас есть

.

Смотрите, мы только что это доказали! Но это только для одного возможного определения . Что, если мы воспользуемся другим определением? Например, предположим, что мы решили определить как

:= .

На словах это означает, что значение равно тому, что приближается по мере того, как действительное число z становится все меньше и меньше, приближаясь к значению x произвольно близко.

[Пояснение: читатель спросил, как это возможно, что мы можем использовать в нашем определении , которое кажется рекурсивным. Причина, по которой это нормально, заключается в том, что мы работаем здесь только с , и все согласны с тем, что в этом случае равно. По сути, мы используем известные случаи для построения функции, имеющей значение для более сложного случая x=0 и y=0.]

Интересно, что, используя это определение, мы получили бы

= = =

Следовательно, мы нашли бы это, а не . Конечно, это определение, которое мы только что использовали, кажется довольно неестественным, но оно согласуется с представлением здравого смысла о том, что означает для всех положительных действительных чисел x и y, и сохраняет непрерывность функции при приближении к x = 0 и y. =0 по определенной линии.

Итак, какое из этих двух определений (если любое из них) правильное? Что такое на самом деле ? Что ж, для x>0 и y>0 мы знаем, что мы подразумеваем под . Но когда x=0 и y=0, формула не имеет очевидного смысла. Значение будет зависеть от нашего предпочтительного выбора определения того, что мы подразумеваем под этим утверждением, и нашей интуиции о том, что означает для положительных значений, недостаточно, чтобы сделать вывод, что это означает для нулевых значений.

Но если это так, то как математики могут это утверждать? Ну, просто потому, что это полезно. Некоторые очень важные формулы становятся менее элегантными для записи, если вместо этого мы используем или говорим, что это не определено. Например, рассмотрим биномиальную теорему, которая утверждает, что:

=

где означает биномиальные коэффициенты.

Теперь, установив a=0 с обеих сторон и предположив, что мы получаем

=  =

=

=

=

, где я использовал это для k>0, а это  . Так получилось, что правая часть имеет магический фактор. Следовательно, если мы не используем, то биномиальная теорема (как написано) не выполняется, когда a = 0, потому что тогда не равно .

Если бы математики использовали или сказали, что это не определено, тогда биномиальная теорема продолжала бы выполняться (в той или иной форме), хотя и не так, как написано выше. Однако в этом случае теорема была бы более сложной, потому что ей пришлось бы обрабатывать частный случай терма, соответствующего k = 0. Мы получаем элегантность и простоту, используя .

Есть еще несколько причин, по которым использование предпочтительнее, но они сводятся к тому, что этот выбор более полезен, чем альтернативные варианты, приводит к более простым теоремам или кажется более «естественным» для математиков. Выбор не «правильный», он просто приятный.

Эта запись была размещена в — Математик, Математика, Философия. Добавьте постоянную ссылку в закладки.

3.8: Принцип неопределенности — оценка неопределенностей по волновым функциям

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Цели обучения

• Расширить введение принципа неопределенности Гейзенберга путем вычисления \(\Delta x\) или \(\Delta p\) непосредственно из волновой функции

Как будет показано в разделе 4. 2} \label{3.8.1} \] 92}\right)\Psi(x,t) \;dx \end{align} \]

Волновая функция, зависящая от времени, и независимая от времени

Приведенные выше математические ожидания сформулированы с учетом полной волновой функции, зависящей от времени, \(\psi(x,t)\), которая является функцией \(x\) и \( т\). Однако легко показать, что такое же среднее значение будет получено, если использовать независимую от времени волновую функцию \(\psi(x)\), которая является функцией только \(x\). Если \(V(x)\) в \(\hat{H}\) не зависит от времени, то волновые функции стационарны, а математическое ожидание не зависит от времени. Вы можете легко убедиться в этом, сравнив ожидаемые значения, используя общую формулу для стационарной волновой функции 9{-iEt / \hbar} \номер\]

и для \(\psi(x)\).

Принцип неопределенности Гейзенберга может быть количественно связан со свойствами волновой функции, т. е. рассчитан через указанные выше ожидаемые значения:

\[\Delta p \Delta x \ge \dfrac {\hbar}{2} \label {3. 8.8} \]

Это, по существу, утверждает, что чем больше уверенность в том, что измерение \(х\) или \(р\) может быть сделано, тем больше будет неопределенность в другом. Следовательно, когда \(Δp\) приближается к 0, \(Δx\) должно приближаться к \(\infty\), что имеет место в случае свободной частицы (например, с \(V(x)=0\)), где импульс частицы может быть определен точно. 92}} = \hbar \sqrt{a} \end{align*} \nonumber \]

Наконец, у нас есть

\[\Delta{p}\Delta{x} = \left(\dfrac{1}{ 2\sqrt{a}}\right) (\hbar \sqrt{a}) = \dfrac{\hbar}{2} \nonumber \]

Выполняется не только принцип неопределенности Гейзенбурга (уравнение \ref{3.8. 8}), но для этой волновой функции устанавливается равенство. Это связано с тем, что волновая функция Гаусса (уравнение \ref{Ex1eq1}) является особой, как будет показано ниже.

Упражнение 3.8.1

Частица находится в состоянии, описываемом волновой функцией основного состояния частицы в ящике

\[\psi = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \sin\left(\dfrac{\pi x}{L}\right) \nonumber \]

где \(L\) — длина коробки и \(0≤ x ≤ L\). Убедитесь, что значение произведения \(∆p∆x\) согласуется с предсказаниями принципа неопределенности (уравнение \ref{3.8.8}).

Принцип неопределенности является следствием волнового свойства материи. Волна имеет некоторую конечную протяженность в пространстве и, вообще говоря, не локализована в точке. Следовательно, обычно существует значительная неопределенность положения квантовой частицы в пространстве.

• Дэвид М. Хэнсон, Эрика Харви, Роберт Суини, Тереза ​​Джулия Зелински («Квантовые состояния атомов и молекул»)

• Марк Такерман (Нью-Йоркский университет)

---

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или страница

   Показать страницу Оглавление

   нет на странице

2. Теги

   1. Принцип неопределенности Гейзенберга
   2. неопределенность

Математика | Бесплатный полнотекстовый | Сети с комплексными весами: Green Function и Power Series

1.

Введение

Конечный или счетно бесконечный связный граф, ребра которого несут положительные действительные веса, можно рассматривать как электрическую сеть с резисторами, и это тесно связано с интенсивно изучаемой областью случайных блужданий на графах. См. книги [1,2,3,4,5] и множество статей, среди которых, например, [6,7,8]. В [9,10,11,12] более широкий класс цепей с резисторами, катушками и конденсаторами рассматривается как комплексно-взвешенные графы. В настоящей заметке мы используем соответствующую модель из [12,13], т. е. предполагаем, что (V,E) — связный локально конечный граф без петель, где каждое (неориентированное) ребро [x,y] оборудован входом

где Lxy,Rxy,Dxy≥0, где Lxy+Rxy+Dxy>0, и s∈C. Здесь Lxy — индуктивность, Rxy — сопротивление, Dxy — емкость края, а ρs(x,y) — величина, обратная импедансу. С точки зрения физики s — это комплексная частота, а проводимость ребра — это комплексный аналог проводимости. Действительно, когда s>0 действительно, ρs(x,y) можно интерпретировать как проводимость нижележащего края.

В настоящей статье мы рассматриваем исключительно случай s∈Hr, когда правая полуплоскость состоит из всех комплексных чисел с Res>0. Хотя это техническое допущение имеет решающее значение для настоящего подхода, оно также типично для теории сетей: адмиттанс (1) является положительно-вещественной функцией, т. е. Reρs(x,y)>0, когда Res>0; см. [12,14,15,16,17]. Положим ρs(x,y)≡0, если [x,y] не является ребром, так что ρs является функцией на V2. Пару (V,ρs) назовем сложной (электрической) сетью.

Введем оператор проводимости Ps, который действует на функции f:V→C следующим образом:

Когда s∈R+, мы видим, что Ps является стохастической матрицей перехода, которая управляет случайным блужданием ближайшего соседа. Это также верно, когда все векторы (Lxy,Rxy,Dxy) коллинеарны (пропорциональны). В частности, если они одинаковы на каждом ребре, то Ps является матрицей перехода простого случайного блуждания по графу независимо от s. Во всех этих случаях нашу сеть можно интерпретировать как чисто резистивную, где проводимость ребра — это просто его проводимость. Тогда изучение свойств сети является задачей теории дискретного потенциала, связанной с Ps и соответствующим дискретным лапласианом. Это имеет естественный аналог в вероятностном исследовании случайных блужданий (обратимых марковских цепей), управляемых Ps, давайте ссылки в самом начале.

Основные вопросы, рассматриваемые в этой заметке, состоят из трех частей:

• Как можно сформулировать концепцию быстротечности (соответственно повторяемости)?

• Как в переходном случае построить (аналог) функцию Грина ≡ потенциальное ядро?

• В какой степени последнее можно вычислить в терминах степенных рядов?

Мы анализируем аналоги различных уравнений типа Лапласа, связанных с Ps, когда s комплексное, по сравнению с хорошо изученным случаем, когда оно действительное.

Сначала докажем, соотв. напомним некоторые основные оценки адмиттансов в разделе 2. В разделе 3 мы вводим функцию Грина для конечных сетей с границей, непустым подмножеством множества вершин, где сеть заземлена. Мы связываем функцию Грина, соответственно, аналоги вероятностей побега, с эффективным импедансом, определенным в [12,13]. Удобно работать с величиной, обратной эффективному импедансу, т. е. эффективной проводимостью, которая соответствует общей величине тока в электрической сети. В связи с этим мы приводим первые сравнения связанных степенных рядов с аналогичными рядами для обратимых цепей Маркова.

Наша основная работа касается бесконечных сетей, и в разделе 4 мы изучаем эффективную проводимость как при наличии границы ∂V⊊V, так и эффективную проводимость между исходной вершиной и бесконечностью. Последнее приводит к понятию быстротечности, соответственно. рекуррентность, и наш главный результат состоит в том, что это не зависит от параметра s∈Hr, и что в переходном случае всегда можно построить ядро ​​Грина в расширении хорошо изученного случая, когда s>0. В заключительном разделе 5 мы покажем, как можно использовать это Зеленое ядро, когда сеть представляет собой дерево. Мы строим ядро ​​Мартина и обеспечиваем интегральное представление типа Пуассона всех гармонических функций по границе на бесконечности дерева. В конкретном случае свободной группы мы более внимательно рассмотрим применимость наших результатов сравнения между сложной сетью и сетью, связанной с положительными действительными весами.

2. Неравенства для операторов допуска

Условные обозначения. В дальнейшем мы будем сравнивать комплексно-взвешенные операторы полной проводимости Ps с неотрицательными стохастическими операторами перехода. Чтобы лучше визуализировать эти различные типы, мы будем использовать немного разные шрифты: P и p(x,y) будут относиться к стохастическим операторам перехода, даже если Ps=Ps, когда s>0.

В дополнение к операторам (матрицам) Ps (соответственно Ps при s>0) мы также вводим операторы перехода P˜s и P∨s с матричными элементами

где |ρ|s(x)=∑y|ρs(x,y)|. Из леммы 1 получаем следующее сравнение.

Напомним, что когда s>0 действительно, Ps является оператором перехода случайного блуждания. Это также верно, когда все трехмерные векторы (Lxy, Rxy, Dxy) коллинеарны, и в этом случае Ps не зависит от значения s. У нас также есть следующее сравнение.

(Обратите внимание на частный случай t=1.) Это означает, что мы можем исследовать некоторые свойства нашей комплексно-взвешенной сети путем сравнения с соответствующими случайными блужданиями с переходными вероятностями pt(x,y), где t>0, или p ˜s(x,y) соответственно.

Обозначение: в дальнейшем будем писать

для сбора стохастических матриц, которые возникают в нашем контексте, и

3. Функция Грина на конечных сетях с границами

Пусть (V,ρ) — конечная сеть. Зафиксируем непустое собственное подмножество ∂V множества V. Это наша (общая) граница, на которой сеть заземлена. (Это не обязательно должно быть то, что было введено как «естественная» граница конечного графа в терминах доминирующих графовых расстояний [18,19]. ) Мы рассматриваем V∘=V\∂V как внутреннюю часть нашего графа.

Если P=p(x,y)x,y∈V — любая действительная или комплексная матрица, индексированная V, то пусть

Запишем PV∘n=pV∘(n)(x,y)x,y∈V∘, так что, в частности, PV∘0=IV∘ — единичная матрица над V∘.

Поскольку каждая из стохастических матриц P∈Π+ неприводима, существование GV∘P является совершенно элементарным фактом; см., например, [20] (лемма 2.4). Для цепи Маркова с переходной матрицей P, начинающейся в вершине x, мы имеем, что GV∘P(x,y) — это ожидаемое число посещений в y перед выходом из внутренней области V∘. Более того, из [21,22] следует, что и для комплексных весов с положительной вещественной частью IV∘−Ps|V∘ обратимо для любого s∈Hr. См., в частности, доказательство работы [22] (теорема 2).

Функция v:V→C называется гармонической на V∘ относительно ∆P, если

для любого x∈V∘. Теперь выберите a∈V∘ и рассмотрите расширенную границу ∂aV=∂V∪{a}, а также редуцированную внутреннюю часть Va=V∘\{a}. Гармонические функции возникают в следующей задаче Дирихле.

Нас интересует P=Ps и связанная с ним задача Дирихле с комплексными весами. Согласно [21,22] эта задача имеет единственное решение v=va при Res>0. Действительно, функция v|∂aV предоставляет (расширенные) граничные данные, и решение может быть получено двумя способами:

где (как обычно) функции следует рассматривать как векторы-столбцы. Действительно, нетрудно проверить, что обе формулы дают решение (7) и в силу единственности совпадают.

Задача Дирихле имеет физическую интерпретацию. В модели электрической сети вершина a является источником, где потенциал поддерживается равным 1, а ∂V представляет собой множество заземленных узлов. Тогда v(x) — комплексное напряжение в вершине x (для комплексной частоты s). Это приводит к следующему определению.

В [22] символ P используется для обозначения проводимости сети. Когда s>0, это, конечно, классика, и Ys(a→∂V) является обратным значением полного сопротивления между a и ∂V, тогда как сопротивление одного ребра равно 1/ρs(x,y). Следующее следует непосредственно из формулы (9).

Давайте еще раз посмотрим на (8) и (9). Если мы заменим комплексную матрицу Ps стохастической матрицей P∈Π+, то получим цепь Маркова (Xn)n≥0 с переходной матрицей P. При заданных ∂V и V∘ можно рассмотреть время остановки первого визита в а перед отъездом V∘:

Для x∈V∘ установить

Обратите внимание, что fV∘(n)(a,a)=δ0(n) и что fV∘(0)(x,a)=0 для x∈Va. Общеизвестно и легко доказать, что

решение нашей задачи Дирихле, когда P∈Π+. Более того,

Оценки раздела 2 предполагают, что мы можем сравнить решение (7) и связанные с ним вопросы, касающиеся комплексной сети (V,ρ), с аналогичными решениями для P∈Π+. Для любого P∈Π (т.е. включая комплексные веса) введем степенной ряд

Доказательство.  

(i) Подграф, индуцированный Va, имеет одну или несколько компонент связности C1,⋯,Ck. Каждая из соответствующих подматриц PCi матрицы P неприводима и неотрицательна, и эти матрицы приводят к блочному разложению PV∘. По теореме Перрона–Фробениуса спектральный радиус PCi совпадает с его наибольшим собственным значением, которое положительно вещественно. Он <1, так как PCi является субстохастическим, но не стохастическим. Максимум собственных значений Перрона–Фробениуса всех матриц PCi равен λ(PVa), и теорема Перрона–Фробениуса также дает абсолютную сходимость GVaP(x,y|z) при |z|<1/λ(PV∘) и все x,y∈V∘.

(ii) Если ∑nps|Va(n)(x,y) сходится абсолютно для всех x,y∈V∘, то значение ряда есть GV∘Ps(x,y), так что (12) равно действительно решение (8) задачи Дирихле. Последняя часть предложения следует из предложения 1, соотв. Следствие 1. □

В приведенном выше утверждении (ii) наиболее естественным выбором для t является t=|s| или т=1. Преимущество сравнения заключается в возможности использования комбинаторных методов производящих функций и путей для вычисления решения задачи Дирихле (7).

4. Допуск и функция Грина в бесконечных сетях

Вышеупомянутое также может быть выполнено, когда сеть бесконечна. Напомним, что мы предполагаем локальную конечность (каждый узел имеет конечное число соседей). При этом множество ∂V⊊V основных состояний может быть конечным или бесконечным. Он также может быть пустым, и в этом случае мы рассматриваем комплекснозначный поток из a в ∞. (Действительно, границу следует рассматривать как ∂V∪{∞}.) Мы можем снова рассмотреть степенной ряд (11). Когда ∂V непусто, мы получаем, что

потому что ∂V — множество поглощающих состояний для этой цепи Маркова. Кроме того, мы также можем рассмотреть неограниченную функцию Грина

а когда z=1 и ряд сходится абсолютно, мы снова пишем GP(x,y)=GP(x,y|1). Конечность GP(x,y) означает, что ассоциированная цепь Маркова с переходной матрицей P∈Π+ невозвратна: с вероятностью 1 каждая вершина посещается случайным процессом только конечное число раз, а конечность не зависит от x и y в силу связности графика. В более общем случае рассмотрим спектральный радиус

Хорошо известно, что это число не зависит от x и y. Это действительно спектральный радиус (норма) оператора P, действующего как самосопряженный оператор на ℓ2(V,m), где веса равны

Кроме того, радиус сходимости степенного ряда GP(x,y|z) равен 1/λ(P), а при z=1/λ(P) последний либо сходится при всех x,y, либо расходится при все х, у. В первом из этих двух случаев P называется λ(P)-переходным, во втором случае λ(P)-рекуррентным. См., например, [23]. В случае конечной сети у нас, конечно, λ(P)=1, и соответствующая функция Грина расходится при z=1.

Теперь рассмотрим эффективную проводимость нашей бесконечной сети, определенную в [12,22]. Пусть Vn={x∈V:d(x,x0)≤n} — шар радиуса n вокруг выбранной корневой вершины x0 относительно целочисленной метрики графа, а En — множество ребер, концы которых лежать в Вн. Таким образом, (Vn,En) является подграфом (V,E), индуцированным Vn. Обозначим (Vn,ρs) результирующую конечную подсеть сети (V,ρs), где, точнее, функция проводимости ρs=ρs,n есть ограничение данной подсети на En. Учитывая множество основных состояний ∂V в бесконечной сети, а также входной узел a∈V\∂V, мы берем n достаточно большим, чтобы a∈Vn−1, и определяем

Пусть теперь vn(x)=vs,na(x) — единственное решение задачи Дирихле 7 на (Vn,ρs) относительно (a,∂Vn), заданное соотношениями (8) и (9) . Здесь важна его зависимость от s. Соответствующий эффективный допуск равен

Приходим к следующему.

Определение мотивировано случаем s>0, и в этом случае мы знаем, что Ps является переходной матрицей обратимой цепи Маркова или, что то же самое, резистивной сети, где краевые сопротивления равны Lxys+Rxy+Dxy/s. Эта цепь Маркова невозвратна (т. е. стремится к ∞ почти наверное) тогда и только тогда, когда эффективная проводимость из любой вершины a в бесконечность положительна (эквивалентно, эффективное сопротивление конечно). Опираясь на предыдущие результаты работы [22], теперь довольно легко доказать следующее, но бросающееся в глаза.

Доказательство.  

По предложению 4 Ys(a→∂V∪{∞}) есть локально равномерный предел последовательности вещественно-положительных голоморфных функций переменной s∈Hr. Следовательно, оно голоморфно в правой полуплоскости. По теореме Гурвица (см., например, [24], с. 178) она либо нигде не равна нулю, либо постоянна, равная нулю на Hr.

(а) Предположим, что ∂V=∅. Мы уже знаем из предложения 3, что для вещественного s>0 быстротечность обратимой цепи Маркова с переходной матрицей P=Ps не зависит от s. В этом случае хорошо известно, что эффективная проводимость (точнее, проводимость в данном случае) равна ρs(a)/GP(a,a). Тогда быстротечность означает, что GP(a,a)<∞. Также хорошо известно, что в этом случае GP(x,y)<∞ для всех x,y∈V. См., например, [2,23].

Таким образом, когда GPs(a,a)<∞ для некоторых s>0 и a∈V, то также имеет место Ys(a→∞)≠0 для всех s∈Hr и всех a∈V.

Доказательство (b) аналогично: когда s>0, то GV∘Ps(a,a)<∞ для всех a∈V∘, как это наблюдается в (14). Опять же, в этом случае эффективная проводимость равна ρ(a)/GV∘Ps(a,a), а расширение на комплекс s∈Hr работает так же, как в (a). □

В переходном случае (при ∂V=∅), если P=Ps при s>0, по монотонной сходимости имеем

а также

где FVn∘P(x,a)=vs,n(x), решение соответствующей задачи Дирихле с исходным узлом a и заземленным множеством ∂Vn, см. выше. Аналогичное утверждение верно для s>0, когда ∂V непусто.

В общем случае комплекса s∈Hr естественно определить диагональное ядро ​​Грина по формуле

Унифицируем обозначения, написав GV∘Ps(a,a) в обоих случаях (19), чтобы индекс V∘ можно было опустить при ∂V=∅. Это относится и к следующему рассмотрению недиагональных элементов.

Это еще раз подтверждается теоремой Монтеля, поскольку FPs(x,a)=1 для всех s>0 (стохастический случай).

Теперь мы можем определить ядро ​​Грина переходной бесконечной сети следующим образом:

с GP(a,a), заданными формулой (19). (Напомним, что FPs(x,a)=1.) Тогда в матричных обозначениях

где IV — единичная матрица над V. Точно так же мы получаем ядро ​​Грина GV∘Ps(x,a), когда ∂V≠∅, и оно удовлетворяет условию

Возьмем обозначение (10), для произвольного P∈Π:

Еще раз, V∘=V, когда ∂V=∅. В силу локальной конечности сумма конечна. Мы используем аналогичные обозначения для Vn∘ и Vna, где Vn, n∈N, — множества вершин нашего растущего семейства конечных подсетей. Рассмотрим также ряд производящих мощностей

Для P∈Π+ расширим определение (16) на

Заметим, что удаление непустого множества ∂aV оставляет не более чем счетное число компонент связности Ci нашего графа. Тогда каждая PCi является неприводимой субстохастической матрицей, так что согласно старым и хорошо известным результатам о бесконечных неотрицательных матрицах (см. [26])

не зависит от x,y∈Ci, а pVa(n)(x,y)=0, когда x и y не принадлежат одной и той же компоненте. Это означает, что λ(PVa)=supiλ(PCi). Вспоминая, что Va=V∘\{a}, получаем, таким образом, и в бесконечном случае следующее.

Теперь у нас есть следующий результат сравнения сходимости соответствующих степенных рядов.

Доказательство.  

Прогулкой в ​​(V,E) называется последовательность ω=(x0,x1,⋯,xk) вершин такая, что [xi−1,xi]∈E для всех i. Его длина равна k, а для z∈C его z-вес относительно P∈Π равен

Допустим также, что k=0, и в этом случае блуждание состоит из одной вершины, а его вес определяется как 1. Если Ω — множество блужданий, то

Когда Ω бесконечно, нам требуется абсолютная сходимость. Для любого подмножества U множества V и x,y∈U пусть ΩU(x,y) будет множеством всех блужданий внутри U, которые начинаются в x и заканчиваются в y, а ΩU(x,y) — множество этих блужданий. которые встречаются с y только в своей конечной точке. Наконец, верхний индекс (k) относится к соответствующим прогулкам длины k. Заметим, что ΩU(k)(x,y) конечно. Тогда, ссылаясь на (21), для x,y∈Va имеем

Аналогичные тождества сохраняются при замене V на Vn. Если |г| достаточно мала, чтобы обеспечить абсолютную сходимость, мы получаем

и с тем же z мы можем снова заменить V на Vn.

Теперь предположим, что P∈Π+. Тогда «достаточно мало» означает, что |z|<1/λ(PVa). Мы можем применить это к Ps с s∈Hr и к P=P˜s или P=P∨s или P=Pt с t>0. Тогда |ps(x,y)|≤rp(x,y) с r=rs,t или r=rs соответственно. затем

для всех x,y∈Va⊃Vna и всех k≥0. Когда, как предполагается, r|z|<1/λ(PVa), мы получаем, что оба степенных ряда FV∘Ps(x,a|z) и FVn∘Ps(x,a|z) доминируют в поэлементном абсолютное значение по

Использование весов блужданий служит, в частности, для проверки второго утверждения теоремы: при r|z|<1/λ(PVa) абсолютная сходимость позволяет оценить

По монотонной сходимости последняя разность стремится к 0. □

Мы хотели бы применить последнюю теорему, в частности, к неограниченному переходному случаю (∂V=∅) с z=1. Когда s не является вещественным, это требует, чтобы матрица стохастического сравнения P∈Π+ удовлетворяла λ(P)<1. Это не зависит от конкретного выбора P по предложению 3, и тогда теорема 3 применима, когда |ℑs| достаточно мал. Сравните это с примером 1. Для общего s∈Hr пусть

Тогда 1/λ(Ps)xy есть радиус сходимости степенного ряда GPs(x,y|z), определяемый как в (15). Однако, в отличие от стохастического случая, мы не видим общего аргумента в пользу того, что это должно быть независимым от x и y. Давайте позвоним

спектральный радиус Ps. В стохастическом случае это действительно спектральный радиус (норма) как самосопряженного оператора, см. (17). Для общего s∈Hr аналогичная интерпретация нам неизвестна.

Еще вопрос следующий. Для стохастического P∈Π+ функция z↦GP(x,y|1/z)/z является (x,y)-матричным элементом резольвентного оператора (z·I−P)−1, так что она аналитически продолжается до C\spec(P), где spec(P) — это спектр P как оператора, как описано с помощью (17). Поскольку spec(P)⊂[−λ(P),λ(P)] вещественна, мы получаем, что GP(x,y|z) продолжается как голоморфная функция из круга {z∈C:|z|<1 /λ(P)} на все z∈C\R с |z|≥1/λ(P). Есть ли подобное свойство для общего Ps?

Эти наблюдения и вопросы также справедливы, когда ∂V≠∅. То же верно и для следующих тождеств, которые мы сформулируем только для пустой границы. Напомним, что у нас есть FPs(a,a)=1 для каждого a∈V.

a

(V,ρs) является рекуррентным тогда и только тогда, когда FPs(x,a)=1 для некоторого a∈V и всех x∼a. В этом случае FPs(x,y)=1 для всех x,y∈V.

b

В переходном случае для каждого a∈V

c

Для всех x,a∈V с x≠a (не обязательно соседние)

d

Если y — вершина с разрезом между x и a (т. е. каждый путь из x в a проходит через y), то

Все эти тождества выполняются при s>0; см. , например, [23] (раздел 1.D), и продолжить на комплекс s∈Hr с помощью аналитического продолжения, сравните с доказательством теоремы 2. Они также верны для производящих функций GPs(a,a|z) и FPs (x,y|z) с адаптациями

пока |z|<1/λ(Ps), но нам непонятно, как преодолеть разрыв между этими значениями z и значением 1, соответствующим утверждениям леммы 5.

5. Деревья и свободные группы

В этом разделе мы сосредоточимся на бесконечном переходном случае в отсутствие конечного множества заземленных вершин. Для Ps∈Π мы будем писать Gs=GPs и Fs=FPs для соответствующих ядер. Тот факт, что у нас есть эти ядра и что их матричные элементы являются голоморфными функциями от s∈Hr, позволяет нам перенести различные методы и результаты из стохастического случая в этот комплексно-взвешенный. Здесь мы приводим несколько примеров классов такого рода.

A.

Деревья и гармонические функции все разные. Предположим, что каждая вершина имеет не менее двух соседей. Мы также предполагаем, что наши комплексные веса ρs(x,y) таковы, что Ps невозвратно для некоторого (⇔ всех) s∈Hr. Принимая во внимание определение раздела 3, функция h:T→C называется гармонической на T, если для всех x∈T

В этом подразделе мы объясним, что каждая гармоническая функция имеет граничное интегральное представление типа Пуассона.

Начнем с того, что вспомним бесконечную границу дерева. Во-первых, для любой пары вершин x,y существует единственный геодезический путь π(x,y)=[x=x0,x1,⋯,xn=y] в T из x в y. Геодезическим лучом называется последовательность π=[x0,x1,x2,⋯] различных вершин такая, что xk∼xk−1 для всех k. Два луча называются эквивалентными, если (как множества) их симметрическая разность конечна, т. е. они отличаются не более чем для конечного числа начальных вершин. Класс эквивалентности лучей является концом T. Он представляет собой путь (направление) ухода в бесконечность в T. их конфлюэнтность ξ∧η является последней общей вершиной на геодезических π(o,ξ) и π(o,η). затем 9. Основу топологии на ∂∞T задают все граничные дуги

Каждая граничная дуга открыто-компактна. Последователем вершины x∈T является сосед y вершины x такой, что |y|=|x|+1, и тогда мы называем x=y− предшественником y. У нас есть

несвязный союз.

Если φ — локально постоянная функция на ∂∞T, то ее можно записать в виде линейной комбинации индикаторных функций граничных дуг,

и в этом случае дуги можно заставить быть попарно непересекающимися. Тогда для распределения ν из определения 5 положим

На самом деле, согласно этому определению, линейное пространство всех распределений двойственно пространству всех локально постоянных функций на ∂∞T, сравните с [27].

В дополнение к лемме 5 нам теперь понадобится следующая, специфичная для деревьев.

Обратите внимание, что для произвольных x,y∈T, если [x=x0,x1,⋯,xn=y] — геодезический путь, соединяющий их, то из древовидной структуры и леммы 5(c) следует, что

В этот момент мы можем определить ядро ​​Мартина, как в стохастическом случае:

Второе тождество следует из (26). Заметим, что при любом фиксированном x∈T функция ξ↦K(x,ξ) локально постоянна на ∂∞T. Теперь мы получаем следующее расширение результата, хорошо известного в стохастическом случае.

Доказательство точно такое же, как в [23] (теорема 9.36). Он восходит к [28].

В более общем случае для λ∈C функция h:T→C называется λ-гармонической относительно (T,ρs), если Psh=λ·h. Для подходящих значений λ сказанное выше распространяется на λ-гармонические функции. А именно, если при t>0

тогда мы можем использовать сравнение и работать с GP (x, y | 1/λ) и FP (x, y | 1/λ). Затем связанное ядро ​​Мартина

В этом случае рассуждения из [23] (9.35), которые приводят к лемме 6, могут быть применены напрямую через «композицию путей», как в этой ссылке, и получается

Далее все работает как в [29] (с небольшой оговоркой о немного других обозначениях), и получается аналог теоремы 4 с νh, как в этой теореме, заменой появляющихся слагаемых FPs(·,·) на FPs (·,·|1/λ). Следуя методике [29] также получают граничные интегральные представления λ-полигармонических функций для комплексных λ в диапазоне (27).

Однако, вообще говоря, λ=1 не принадлежит этому диапазону, если только стохастические операторы не имеют спектральный радиус строго <1 и |s|/Res достаточно близко к 1. Одна из будущих проблем состоит в том, чтобы понять, если и как разрыв между λ=1 и λ в диапазоне (27) может быть преодолен. (Конечный) Пример 1 показывает, что это не всегда возможно.

  B.

Свободные группы

Рассмотрим случай, когда V=Γ — конечно порожденная группа, а A — конечное симметричное множество порождающих группы Γ, не содержащее группового тождества e. Граф Кэли графа Γ имеет множество вершин Γ, и две вершины x,y являются соседями тогда и только тогда, когда x−1y∈A. Тогда естественно потребовать, чтобы адмиттансы ребер (1) удовлетворяли

так что a↦ρs(e,a) — ненулевая симметричная функция A→C. Тогда мы имеем ρs(x)=ρs(e)=∑a∈Aρs(e,a) для полной проводимости в любом элементе (вершине) группы x. мы получаем это

является симметричной комплексной мерой, поддерживаемой A с общей суммой 1. Тогда оператор перехода Ps является правым оператором свертки для µs, и в последующих обозначениях мы всегда будем ссылаться на µs вместо Ps. Естественно рассмотреть действие на ℓ2(Γ) — гильбертовом пространстве всех суммируемых с квадратом комплексных функций на Γ. Оператор симметричен, но не самосопряжен, если s>0. Нас интересуют его норма ∥µs∥ℓ2 и его операторный спектральный радиус

где µs(n) — n-я степень свертки µs. Для «спектрального радиуса» λ(µs)=λ(Ps), определенного в (24), имеем

Когда s>0, три числа совпадают, причем λ(µs) — это спектральный радиус связанной марковской цепи (16), а µs — вероятностная мера на Γ.

Для любого s∈Hr, когда |z|<1/λ(µs), мы получаем сходимость степенного ряда Gµs(x,y|z). В частности, это верно, когда |z|<1/∥µs∥ℓ2.

Теперь рассмотрим случай, когда Γ — свободная группа со свободными образующими a1,⋯,ak (k≥2). Мы устанавливаем a−j=aj−1 и A={a±j:j=1,⋯,k} для нашего симметричного набора образующих. Напомним, что Γ состоит из всех редуцированных слов

Когда n=0, это пустое слово, обозначающее идентификатор группы e. Групповая операция представляет собой конкатенацию слов с последующей редукцией, т. е. сокращением последовательных пар «букв» aja−j, j∈J.

Граф Кэли графа Γ относительно A — это обычное дерево, в котором каждая вершина имеет 2k соседей. Из [30] очень хорошо известно, что λ(µs)<1 в стохастическом случае s>0, и мы имеем быстротечность. В частности, здесь применимы результаты предыдущего подраздела. Следующий важный результат принадлежит [31]; простое доказательство «случайного блуждания» см. в [32].

В частности, норма та же, что и для |µ|s, где |µ|s(x)=|µs(x)|. Последняя вообще не является вероятностной мерой, ее полная масса ≥1. Таким образом, мы можем иметь ∥µs∥ℓ2≥1, когда s комплексное. Имеем по предложению 1

а поскольку 1|µ|s(Γ)|µ|s является вероятностной мерой, ее операторная норма (= спектральный радиус) <1. Стохастический оператор перехода, индуцированный этой вероятностной мерой, есть P∨s. Опять же, если Res/|s| достаточно близко к 1, мы можем использовать метод сравнения, описанный в предыдущих разделах, включая ядро ​​Грина при z=1. Собственно говоря, это относится к любой неаменабельной группе, но здесь мы имеем конкретную формулу для нормы.

Пример   2.

Предположим, что ρs(e,aj)=ρs(e,a−j)∈{1,s,1/s} и что s=eiα при |α|<π /2.

Обратите внимание, что тогда проводимость =1 означает R=1,L=D=0, проводимость =s означает D=1,L=R=0, а проводимость =1/s означает L=1,R=D=0. Пусть

Тогда 1|µ|s(Γ)|µ|s равнораспределено на A, и хорошо известно, что норма ассоциированного оператора свертки, т. е. спектральный радиус простого случайного блуждания, равна 2k−1/ к. Следовательно,

Если l3>l1+l2, то

, а если l1+l2 фиксировано, то оно будет <1 при достаточно большом k, так что ядро ​​Грина Gµs(x,y|z) определяется через соответствующий степенной ряд для комплекса z в открытом круге вокруг начало координат, содержащее z=1.

То же верно, когда k мало, а угол α достаточно близок к 0. Например, когда k=2 и l1=l2=1, тогда ∥µs∥ℓ2=3/(2cosα), что <1, когда | α|<π/6.

Конечно, общая оценка (28) дает меньший диапазон углов α, для которых получается ∥µs∥ℓ2 <1, как и в конечной сети из примера 1.

Во всех этих случаях представление ядра Грина в виде степенного ряда в окрестности точки z=1 позволяет получить ряд дополнительных результатов, таких как изучение полигармонических функций, как в [29].

6. Выводы

В этой работе мы продолжили исследования первого автора [12,13,22] сетей с комплексными весами ребер. Последние представляют собой адмиттансы, параметризованные комплексным числом s с положительной действительной частью. Опираясь на основные результаты для конечных сетей, основное внимание мы уделяем бесконечным, локально конечным сетям. В частности, мы изучили (аналог) потенциального ядра, т. е. ядра Грина, связанного с оператором (матрицей) проводимости Ps. Когда s>0 действительно, эта матрица является стохастической, что приводит к интерпретации с точки зрения быстротечности, соответственно. повторение. Мы доказали, что эта классификация распространяется на наши комплексные параметры: ядро ​​Грина GPs(x,y) хорошо определено и конечно в переходном режиме и обеспечивает разрешение сети, то есть напряжения в узлах сети, индуцированные по приведенным данным.

Вторая задача состояла в том, чтобы увидеть, в какой степени можно также обеспечить представление степенного ряда GPs(x,y|z) для комплекса z в подходящем диске вокруг начала координат. Это выполняется путем сравнения со стохастическим случаем, когда s>0. В диапазоне z, где это применимо, это позволит дополнительно использовать комплексные методы анализа в сочетании с аргументами комбинаторики путей.

Есть интересные вопросы для будущей математической работы; упомянем несколько:

• Когда s>0, ядро ​​Грина обеспечивает единственное решение с минимальной мощностью (энергией) даже в бесконечном переходном случае. Каков правильный аналог этого факта, когда веса ребер комплексны? Это связано с вопросом 1, касающимся сохранения комплексной мощности.

• Когда s>0, мы имеем, что GPs(x,y|z) является матричным элементом резольвентного оператора для соответствующего стохастического оператора перехода, действующего на естественно ассоциированном гильбертовом пространстве, зависящем от s. Что является теоретико-операторным аналогом комплекса s? Это связано с вопросом о диапазоне всех комплексных z, до которых ядро ​​аналитически простирается от круга, где допустимо его представление в виде степенного ряда.