1 курс матрицы: Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12) - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a_ij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a₂₃ – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется

единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a_ij = b_ij. Так если и , то A=B, если a₁₁ = b₁₁, a₁₂ = b₁₂, a₂₁ = b₂₁ и a₂₂ = b₂₂.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу

B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером).

Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

или

Примеры.

Найти сумму матриц:

.
– нельзя, т.к. размеры матриц различны.
.

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

.
Найти 2A-B, если , .
.
Найти C=–3A+4B.
Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй).

Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c₁₃, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a_ij) размера m×n на матрицу B = (b_ij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c_ij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

Примеры.

Пусть
Найти элементы c₁₂, c₂₃ и c₂₁ матрицы C.
Найти произведение матриц.
.
.
– нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.

Пусть
Найти АВ и ВА.
Найти АВ и ВА.

, B·A – не имеет смысла.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы

A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например, если , то

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка

, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁.

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

.
Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a₁₁, a₁₂, a₁₃ и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

.
.
Решите уравнение..
.

(x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

(x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

(x-4)(x-1)=0.

x₁ = 4, x₂ = 1.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки “+” и “–” у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

Лекция 1. “Матрицы и основные действия над ними. Определители”

Лекция 1. «Матрицы и основные действия над ними. Определители

Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример. – симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:

Определение. Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.

c_ij = a_ij b_ij

С = А + В = В + А.

Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число.

 (А+В) =А  В А() = А  А

Пример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.

2А = , 2А + В = .

Операция умножения матриц.

Определение: Произведением матриц называется матрица, элементы которой могут быть вычислены по следующим формулам:

AB = C; .

Из приведенного определения видно, что операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

Свойства операции умножения матриц.

1)Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ  ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких – либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными.

Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера.

Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.

АЕ = ЕА = А

Очевидно, что для любых матриц выполняются следующее свойство:

AO = O; OA = O,

где О – нулевая матрица.

2) Операция перемножения матриц ассоциативна, т.е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то определены ВС и А(ВС), и выполняется равенство:

(АВ)С=А(ВС).

3) Операция умножения матриц дистрибутивна по отношению к сложению, т.е. если имеют смысл выражения А(В+С) и (А+В)С, то соответственно:

А(В + С) = АВ + АС

(А + В)С = АС + ВС.

4) Если произведение АВ определено, то для любого числа  верно соотношение:

(AB) = (A)B = A(B).

5) Если определено произведение АВ , то определено произведение В^ТА^Т и выполняется равенство:

(АВ)^Т= В^ТА^Т, где

индексом Т обозначается транспонированная матрица.

6) Заметим также, что для любых квадратных матриц det (AB) = detAdetB.

Что такое det будет рассмотрено ниже.

Определение. Матрицу В называют транспонированной матрицей А, а переход от А к В транспонированием, если элементы каждой строки матрицы А записать в том же порядке в столбцы матрицы В.

А = ; В = А^Т=;

другими словами, b_ji = a_ij.

В качестве следствия из предыдущего свойства (5) можно записать, что:

(ABC)^T = C^TB^TA^T,

при условии, что определено произведение матриц АВС.

Пример. Даны матрицы А = , В = , С = и число  = 2. Найти А^ТВ+С.

A^T = ; A^TB =  = = ;

C = ; А^ТВ+С = + = .

Пример. Найти произведение матриц А = и В = .

АВ =  = .

ВА =  = 21 + 44 + 13 = 2 + 16 + 3 = 21.

Пример. Найти произведение матриц А=, В =

АВ = = = .

Определители (детерминанты).

Определение. Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где (1)

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Формула (1) позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A = (2)

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т. е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n. (3)

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a₁_k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Свойство1. Важным свойством определителей является следующее соотношение:

det A = det A^T;

Свойство 2. det ( A  B) = det A  det B.

Свойство 3. det (AB) = detAdetB

Свойство 4. Если в квадратной матрице поменять местами какие-либо две строки (или столбца), то определитель матрицы изменит знак, не изменившись по абсолютной величине.

Свойство 5. При умножении столбца (или строки) матрицы на число ее определитель умножается на это число.

Свойство 6. Если в матрице А строки или столбцы линейно зависимы, то ее определитель равен нулю.

Определение: Столбцы (строки) матрицы называются линейно зависимыми, если существует их линейная комбинация, равная нулю, имеющая нетривиальные (не равные нулю) решения.

Свойство 7. Если матрица содержит нулевой столбец или нулевую строку, то ее определитель равен нулю. (Данное утверждение очевидно, т.к. считать определитель можно именно по нулевой строке или столбцу. )

Свойство 8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной из его строк(столбца) прибавить(вычесть) элементы другой строки(столбца), умноженные на какое-либо число, не равное нулю.

Свойство 9. Если для элементов какой- либо строки или столбца матрицы верно соотношение: d = d₁  d₂ , e = e₁  e₂ , f = f₁  f₂ , то верно:

Пример. Вычислить определитель матрицы А =

= -5 + 18 + 6 = 19.

Пример:. Даны матрицы А = , В = . Найти det (AB).

1-й способ: det A = 4 – 6 = -2; det B = 15 – 2 = 13; det (AB) = det A det B = -26.

2- й способ: AB = , det (AB) = 718 – 819 = 126 –

– 152 = -26.

Высшая математика 1 курс

Замечание 1

Курс высшей математики в вузах различается как продолжительностью изучения, так и наполнением тем для изучения. Но существует определенный неизменяемый перечень тем, обязательных для изучения студентами. Дадим краткую характеристику основным темам, которые изучаются на $1$ курсе вуза.

Линейная алгебра

Матрицы и действия над ними

Рассматриваются матрицы, которые содержат m строк и n столбцов.

Изучаются равные матрицы, квадратные, диагональные, единичные, треугольные и трапецевидные матрицы.

Над матрицами выполняются следующие виды действий:

сложение матриц одинакового размера;
умножение матрицы на вектор-столбец;
умножение матрицы на число;
умножение матриц, причем вводится понятие согласованности и транспортирования матриц;

Определитель квадратной матрицы

Рассматривается понятие определителя для матриц до 4-го порядка.T|$.

Определитель равен нулю, если он содержит нулевой ряд или $2$ одинаковых параллельных ряда.

Для диагональной и треугольной матриц определитель равен произведению чисел главной диагонали.

Общий множитель любого ряда определителя можно вынести за его знак.

Рассматривается понятие минора и теорема Лапласа (о разложении определителя).

Обратная матрица

Алгоритм нахождения обратной матрицы при условии, что матрица $A$ – невырожденная и ее определитель не равен нулю:

Каждый элемент матрицы заменяется его алгебраическим дополнением, получается союзная матрица.
Союзная матрица транспонируется.
Выполняется деление каждого элемента союзной матрицы на определитель матрицы.

Ранг матрицы

Ранг матрицы рассматривается как максимальное число линейно-зависимых строк матрицы и наибольшее из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы.

Готовые работы на аналогичную тему

Свойства:

Ранг матрицы не изменяется при транспонировании.
При вычеркивании нулевого ряда ранг не изменяется.
Ранг матрицы не изменяется при выполнении элементарных преобразований.
Ранг треугольной матрицы равен числу ненулевых элементов, расположенных на главной диагонали.

Метод Крамера решения невырожденных систем СЛАУ

Уравнение $AX=B$, где $|A| \ne 0$ решается так:

$a_k=\frac{|A_k |}{|A|}$ , где $A_k$ можно получить из $A$ заменой какого столбца на столбец свободного члена $B$.

Метод Гаусса

Вводится понятие расширенной матрицы, совместной и определенной системы уравнений, равносильных систем уравнений, однородной системы линейных уравнений.

Правило решения системы уравнений:

Найти ранг основной ($rA$) и расширенной ($r \bar{A}$):

Если $rA \ne r \bar{A}$, то система несовместна;
Если $rA=r \bar{A}=r$, то система совместна и находят базисный минор порядка $r$:
- берутся $r$ уравнений, из коэффициентов которых составляется базисный минор, остальные отбрасываются. Неизвестные, коэффициенты которых составляют минор, называются главными. Их записывают слева, а остальные $(n-r)$ – справа;
- выражают главные неизвестные через свободные и получают общее решение системы;
- свободным неизвестным дают произвольное значение и получают частные решения.

Элементы векторной алгебры

Векторы

Изучается понятие вектора, длина и направление вектора, противоположный вектор, нулевой вектор, коллинеарные и компланарные векторы.

Операции над векторами

Рассматриваются операции над векторами:

умножение вектора на число;
сумма векторов;
скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Аналитическая геометрия

Прямая на плоскости

Несколько видов уравнений описывают прямую на плоскости: уравнение с угловым коэффициентом, уравнение прямой через точку и направление, уравнение через 2 точки, уравнение в отрезках, уравнение через данную точку перпендикулярно вектору, нормальное уравнение прямой.

Традиционно рассматривается формула для нахождения угла между прямыми, условия перпендикулярности и параллельности прямых и расстояния от точки до прямой.

Плоскость в пространстве

Плоскость в пространстве задается с помощью различных видов уравнения: уравнение через точку перпендикулярно к вектору, уравнение через 3 точки, нормальное уравнение плоскости, уравнение в отрезках.

Рассматривается угол между плоскостями и расстояние от точки до плоскости.

Прямая в пространстве

Канонические уравнения прямой или уравнения прямой с направляющими коэффициентами, уравнения в параметрическом виде, общее и векторное уравнение прямой, уравнение прямой через 2 точки в пространстве. Формула угла между прямыми.

Взаимное расположение плоскостей, прямых и прямой и плоскости

Для каждого из вариантов расположения предлагается формула для нахождения угла между плоскостями, прямыми и прямой и плоскостью, а также условия параллельности и перпендикулярности плоскостей, прямых, прямой и плоскости.

Отдельно изучается пересечение прямой с плоскостью и условие принадлежности прямой плоскости.

Линии второго порядка

Эллипс

Кроме основного канонического уравнения эллипса изучаются понятия эксцентриситета и директрис.

Гипербола

Изучается каноническое уравнение гиперболы, уравнения асимптот, понятие эксцентриситета, директрисы и фокальных радиусов.

Парабола

Рассматривается понятие полуфокального диаметра параболы и каноническое уравнение параболы.

Замечание 2

Изучение высшей математики на первом курсе, как правило, заканчивается изучением раздела «Линии второго порядка», но может варьироваться в зависимости от учебных планов, программ и специальностей.

I курс, I семестр Линейная алгебра

1.Матрицы. Виды матриц.

2.Действия над матрицами.

3.Определители.

4.Миноры. Алгебраические дополнения.

5.Обратная матрица.

6.Система линейных уравнений.

7.Метод Крамера.

8.Матричный метод.

9.Метод Гаусса.

Теоретический курс

1.Матрицы. Виды матриц.

Прямоугольная таблица, составленная из действительных чисел, следующего вида

называется матрицей размера m x n, где m – количество строк, n – количество столбцов.

Если m=n, то матрица называется квадратной.

Матрица вида

называется единичной.

Матрица, составленная из одного столбца, называется – столбцом. Матрица, составленная из одной строки, называется матрицей- строкой.

Пусть дана матрица

_{тогда
матрица вида}

_{называется
транпонированной.}

2.Действия над матрицами.

2.1.Сложение. Вычитание.

Суммой матриц одинакового размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов данных матриц.

Разностью матриц одинакового размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен разности соответствующих элементов данных матриц.

2.2.Умножение матриц.

Произведением матрицы на некоторое число называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на это число.

Произведением двух матриц – матрицы А размера m x n и матрицы В размера n x k – называется матрица С размера m x k , каждый элемент которой равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

3.Определители.

Определителем квадратной матрицы А второго порядка называется число

Определителем квадратной матрицы А третьего порядка называется число

4.Миноры. Алгебраические дополнения.

Минором М_i_j , соответствующим элементу а_i_j определителя называется определитель меньшего порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, содержащего элемент а_i_j.

Алгебраическим дополнением А_i_j , соответствующим элементу а_i_j определителя называется минор М_i_j, умноженный на (- 1)ⁱ⁺^j, т.е.

А_i_j = (- 1)ⁱ⁺^j М_i_j

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной в противном случае.

5.Обратная матрица.

Матрица A^-1 называется обратной для квадратной матрицы А,если выполняется равенство:

А^-1× А = А× А^-1=Е

Квадратная матрица имеет обратную тогда и только тогда, когда она невырожденная, т.е. когда

6.Система линейных уравнений.

Линейной системой m уравнений с n неизвестными х₁, х₂,… х_n называется система вида :

Действительные числа а_i_j называются коэффициентами системы; b_i называются свободными членами системы. Упорядоченный набор чисел c₁, c₂,… c_n называется решением системы, если, будучи подставленным в каждое из уравнений, он обращает их в верные равенства.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет решения, в противном случае она называется несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, в противном случае она называется неопределенной.

От действий над матрицами к пониманию их сути… / Хабр

Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья “

Математика на пальцах

“, и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами.

Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше…

Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили.

Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что “площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма”. Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее.

Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю.

Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами…

Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений.

Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку?

Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу…

Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство.

В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.

~~Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать.~~ Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».

Лекция по математике. Раздел 1. Линейная алгебра. Тема: Матрицы и определители.Занятие №1. | План-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме:

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и определители

Урок№1.

Тема: Понятие матрицы. Виды матриц. Выполнение операций над матрицами.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами.

Задачи:

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия: Лекция систематического изложения курса.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Матрицы.Выполнение операций над матрицами».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Ответить на контрольные вопросы.

Организационный момент.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?

2.Изучение нового материала.

Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Обозначения: или

Или кратко: А=(аij)mn или А=[aij]. Две матрицы А и В одинаковых размеров равны А=В, если аij=bij для любых i, j.

Матрицы бывают: 0 = – нулевая матрица,

А = – матрица противоположная матрице А,

– матрица – строка, – матрица – столбец,

– верхняя треугольная матрица,

-нижняя треугольная матрица, – диагональная матрица,

Е = – единичная матрица.

Если все аij действительные, то матрица А называется действительной, если хотя бы одно из чисел аij комплексное, то матрица называется комплексной.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

1. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) одинаковых размеров называется матрица С = (сij) тех размеров, у которой сij = аij + bij , для любых i, j.

C = A + B

Свойства сложения матриц:

A +B = B + A

(A +B) +C = A + (B + C)

A + 0 = A

A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

Транспонирование матриц.

А = Ат =

Ат – транспонированная матрица.

Свойства транспонирования:

1) 3)

2) 4)

Произведением матрицы А = (аij) на число k называется матрица С = (сij)

Тех же размеров, у которой сij = k · aij для любых i,j.

C = k · A

Свойства умножения матрицы на число:

4) для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β R

Произведением матрицы А = (аik) размеров mn на матрицу В = (bkj) размеров np называется матрица С = (сij) размеров mp, у которой

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj.

C = AB

Свойства умножения матриц:

AE = EA = A

A0 = 0A = 0

(AB)D = A(BD)

(A + B)D = AD + BD

D(A + B) = DA + DB (при условии, что все указанные операции имеют смысл).

Для квадратных матриц АВ≠ВА

3.Закрепление нового материала.

Пример 1: Найти сумму матриц: А = и В = .

Решение: С = А + В С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А – В = А + (-В)

Пример 2: Найти разность матриц А – В: А = и В = .

Решение: С = А – В -В = С =

Пример 3: Дана матрица А =. Найти матрицу С = 2А.

Решение: С = 2А =

Пример 4: Даны матрицы: А = и В = .

Найти произведение матриц А и В.

Решение: С = АВ С = С =

4.Итог занятия. Рефлексия.

5.Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти , если .

2.Даны матрицы .

3.Найти: а) б)

4.Найти матрицу , если

а)

б)

Матрицы и массивы | Физико-математический лицей №30

Программа курса

Занятие 1. Введение в матрицы

Понятие числовой матрицы. Определитель матрицы. Система линейных уравнений в матричном виде. Расчет определителя 2х2 и его «физический смысл».

Занятие 2. Решение систем линейных уравнений 3х3 методом Крамера

Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными в матричном виде. Вычисление определителя матрицы 3х3 по правилу Сарруса и по теореме Лапласа. Две трактовки правила Сарруса. Количество решений квадратной системы линейных уравнений.

Занятие 3. Операции над матрицами

Сложение, вычитание, перемножение матриц и умножение матрицы на число. Примеры применения операций над матрицами. Связь с ЕГЭ.

Занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Признак вырожденности матрицы. Методы вычисления обратной матрицы. Пример нахождения обратной матрицы. Непосредственно решение квадратной системы линейных уравнений. Сравнение результата, полученного при решении системы методом Крамера и методом обратной матрицы.

Занятие 5. Расчет матриц в Excel

Применение инструментария Excel для вычисления операций над матрицами и решения систем линейных уравнений. Работа с матрицами в Excel на примере решения экономических задач.

Введение в курс

Преподаватели

Осипова Екатерина Викторовна

Учитель математики

Эксперт ЕГЭ по математике

Выпускница ФМЛ 239, СПбГУ и ЭМИ РАН

Автор серии публикаций, посвященных школьному математическому образованию. Соавтор учебника «Экономическая информатика».

6 Матричная алгебра: ускоренный курс

Некоторые материалы в этой главе адаптированы из заметок, которые Хе Ён Ю написала для учебного лагеря по математике для программы PhD по политологии в Вандербильте.

Матричная алгебра – важный инструмент для понимания многомерной статистики. Вы, наверное, уже знакомы с матрицами, по крайней мере, неофициально. Представления данных, с которыми мы работали до сих пор – каждая строка – наблюдение, каждый столбец – переменная – отформатированы как матрицы.

Вводный курс по матричной алгебре длится семестр в колледже. У нас не так долго, или даже наполовину. Эта глава дает вам минимум , который вам нужно понять, чтобы начать работу с матричной алгеброй, которая нам нужна для OLS с несколькими ковариатами. Если вы хотите использовать передовые статистические методы в своих исследованиях и ранее не посещали курс матричной алгебры или линейной алгебры, я рекомендую этим летом уделить немного времени, чтобы наверстать упущенное. Например, в Массачусетском технологическом институте есть доступный онлайн курс линейной алгебры для бакалавров, в том числе видеолекции.

Векторные операции

Вектор – это упорядоченный массив. k \).

Вектор можно умножить на скаляр \ (c \ in \ mathbb {R} \), получив то, что вы ожидаете: \ [ c \ mathbf {v} = \ begin {pmatrix} c v_1 \\ c v_2 \\ \ vdots \\ c v_k \ end {pmatrix} \] Вы также можете складывать и вычитать два вектора одинаковой длины. \ [ \ begin {выровнено} \ mathbf {u} + \ mathbf {v} & = \ begin {pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \ vdots \\ u_k + v_k \ end {pmatrix}, \\ \ mathbf {u} – \ mathbf {v} & = \ begin {pmatrix} u_1 – v_1 \\ u_2 – v_2 \\ \ vdots \\ u_k – v_k \ end {pmatrix}. \ end {выровнен} \]

Особым вектором является нулевой вектор , который содержит, как вы уже догадались, все нули.J c_j \ mathbf {v} _j. \] Набор векторов равен линейно независимых , если единственное решение \ [ c_1 \ mathbf {v} _1 + \ cdots + c_J \ mathbf {v} _J = \ mathbf {0} \] равно \ (c_1 = 0, \ ldots, c_J = 0 \). В противном случае мы называем векторы линейно зависимыми . Несколько забавных фактов о линейной независимости:

Если какой-либо вектор в \ (\ mathbf {v} _1, \ ldots, \ mathbf {v} _J \) является линейной комбинацией других, то эти векторы линейно зависимы.
Набор \ (J \) векторов длины \ (k \) не может быть линейно независимым, если \ (J> k \).Другими словами, для векторов длины \ (k \) максимум, что может быть линейно независимым друг от друга, это \ (k \).
Если есть \ (\ mathbf {v} _j = \ mathbf {0} \), то \ (\ mathbf {v} _1, \ ldots, \ mathbf {v} _J \) линейно зависимы. (Почему?)

Примеры: \ [ \ begin {собрано} \ mathbf {v} _1 = \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {pmatrix}, \ mathbf {v} _2 = \ begin {pmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \ end {pmatrix}; \\ \ mathbf {v} _1 = \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \ end {pmatrix}, \ mathbf {v} _2 = \ begin {pmatrix} 1 \\ 4 \\ 9 \ end {pmatrix}; \\ \ mathbf {v} _1 = \ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \ end {pmatrix}, \ mathbf {v} _2 = \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}, \ mathbf {v} _3 = \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}; \\ \ mathbf {v} _1 = \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix}, \ mathbf {v} _2 = \ begin {pmatrix} 14 \\ 12 \\ 0 \ end {pmatrix}, \ mathbf {v} _3 = \ begin {pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \ end {pmatrix}.\ end {собрано} \]

Матричные операции

Матрица – это двумерный массив чисел с записями в строках и столбцах. Мы называем матрицу с \ (n \) строками и \ (m \) столбцами матрицей \ (n \ times m \). Например, это матрица \ (2 \ times 3 \): \ [ \ mathbf {A} знак равно \ begin {bmatrix} 99 и 73 и 2 \\ 13, 40 и 41 \ end {bmatrix} \] Обратите внимание на соглашение об использовании прописных жирных букв для обозначения матрицы. Для матрицы \ (\ mathbf {A} \) мы обычно пишем \ (a_ {ij} \) для обозначения записи в \ (i \) ‘строке и \ (j \)’ -м столбце.k \) как матрицу-строку \ (1 \ times k \) или как матрицу-столбец \ (k \ times 1 \) . В этой книге я буду рассматривать векторы как матрицы столбцов, если не указано иное.

Подобно векторам, матрицы могут быть умножены на скаляр \ (c \ in \ mathbb {R} \). \ [ с \ mathbf {A} = \ begin {bmatrix} c a_ {11} & c a_ {12} & \ cdots & c a_ {1m} \\ c a_ {21} & c a_ {22} & \ cdots & c a_ {2m} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ c a_ {n1} & c a_ {n2} & \ cdots & c a_ {nm} \ end {bmatrix} \]

Матрицы одинаковой размерности (т.е., оба с одинаковым количеством строк \ (n \) и столбцов \ (m \)) могут быть добавлены… \ [ \ mathbf {A} + \ mathbf {B} = \ begin {bmatrix} a_ {11} + b_ {11} & a_ {12} + b_ {12} & \ cdots & a_ {1m} + b_ {1m} \\ a_ {21} + b_ {21} & a_ {22} + b_ {22} & \ cdots & a_ {2m} + b_ {2m} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} + b_ {n1} & a_ {n2} + b_ {n2} & \ cdots & a_ {nm} + b_ {nm} \\ \ end {bmatrix} \] … И вычитали… \ [ \ mathbf {A} – \ mathbf {B} = \ begin {bmatrix} a_ {11} – b_ {11} & a_ {12} – b_ {12} & \ cdots & a_ {1m} – b_ {1m} \\ a_ {21} – b_ {21} & a_ {22} – b_ {22} & \ cdots & a_ {2m} – b_ {2m} \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} – b_ {n1} & a_ {n2} – b_ {n2} & \ cdots & a_ {nm} – b_ {nm} \\ \ end {bmatrix} \]

Иногда вам может понадобиться «повернуть» матрицу \ (n \ times m \) в матрицу \ (m \ times n \) так, чтобы первая строка стала первым столбцом, вторая строка стала вторым столбцом, а скоро.\вершина\). Пример: \[ \ begin {bmatrix} 1 и 10 и 100 \\ 10 и 2 и 0,1 \\ 100 и 0,1 и 3 \ end {bmatrix} \]

Матрица по диагонали содержит нули везде, кроме главной диагонали: если \ (i \ neq j \), то \ (a_ {ij} = 0 \). Диагональная матрица симметрична по определению. Пример: \[ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 и 2 и 0 \\ 0 и 0 и 3 \ end {bmatrix} \]

Идентификационная матрица \ (n \ times n \) , записанная \ (\ mathbf {I} _n \) (или просто \ (\ mathbf {I} \), когда размер ясен из контекста), является \ (n \ times n \) диагональная матрица, где каждый диагональный элемент равен 1.Пример: \[ \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 и 0 и 1 \ end {bmatrix} \]

И последнее, мы подошли к умножению матриц. В то время как сложение и вычитание матриц довольно интуитивно понятны, умножение матриц – нет. Пусть \ (\ mathbf {A} \) будет матрицей \ (n \ times m \), а \ (\ mathbf {B} \) будет матрицей \ (m \ times p \). (Обратите внимание, что количество столбцов в \ (\ mathbf {A} \) должно соответствовать количеству строк в \ (\ mathbf {B} \).) Тогда \ (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \) представляет собой матрицу \ (n \ times p \), \ (ij \) ‘-й элемент которой является скалярным произведением \ (i \)’ -й строки \ (\ mathbf {A} \) и \ (j \ ) ‘-й столбец \ (\ mathbf {B} \): \ [ a_ {i1} b_ {1j} + a_ {i2} b_ {2j} + \ cdots + a_ {im} b_ {mj}.\] Некоторые примеры могут прояснить это. \ [ \ begin {собрано} \ mathbf {A} = \ begin {bmatrix} 2 и 10 \\ 0 и 1 \\ -1 и 5 \ end {bmatrix}, \ mathbf {B} = \ begin {bmatrix} 1 и 4 \\ -1 и 10 \ end {bmatrix} \\ \ mathbf {A} \ mathbf {B} = \ begin {bmatrix} 2 \ cdot 1 + 10 \ cdot (-1) и 2 \ cdot 4 + 10 \ cdot 10 \\ 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot (-1) & 0 \ cdot 4 + 1 \ cdot 10 \\ (-1) \ cdot 1 + 5 \ cdot (-1) & (-1) \ cdot 4 + 5 \ cdot 10 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} -8 & 108 \\ -1 и 10 \\ -6 и 46 \ end {bmatrix} \ end {собрано} \] А вот тот, который вы скоро начнете часто видеть.\ [ \ begin {собрано} \ mathbf {A} = \ begin {bmatrix} 1 & x_ {11} & x_ {12} \\ 1 & x_ {21} & x_ {22} \\ & \ vdots \\ 1 & x_ {N1} & x_ {N2} \ end {bmatrix}, \ mathbf {B} = \ begin {bmatrix} \ beta_0 \\ \ beta_1 \\ \ beta_2 \ end {bmatrix} \\ \ mathbf {A} \ mathbf {B} = \ begin {bmatrix} \ beta_0 + \ beta_1 x_ {11} + \ beta_2 x_ {12} \\ \ beta_0 + \ beta_1 x_ {21} + \ beta_2 x_ {22} \\ \ vdots \\ \ beta_0 + \ beta_1 x_ {N1} + \ beta_2 x_ {N2} \ end {bmatrix} \ end {собрано} \]

Некоторые важные свойства умножения матриц:

Умножение матриц является ассоциативным: \ ((\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ mathbf {C} = \ mathbf {A} (\ mathbf {B} \ mathbf {C}) \).
Умножение матриц является распределительным: \ (\ mathbf {A} (\ mathbf {B} + \ mathbf {C}) = \ mathbf {A} \ mathbf {B} + \ mathbf {A} \ mathbf {C} \ ).
Для любой матрицы \ (n \ times m \) \ (\ mathbf {A} \) мы имеем \ (\ mathbf {A} \ mathbf {I} _m = \ mathbf {I} _n \ mathbf {A} = \ mathbf {A} \). Таким образом, единичная матрица похожа на матричный эквивалент числа один. (Подробнее об этом, когда мы перейдем к обращению матриц.)

Матричное умножение не коммутативное .Другими словами, \ (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ neq \ mathbf {B} \ mathbf {A} \), за исключением очень особых случаев (например, оба квадратные и одна из них является единичной матрицей) .

Это очевидно, когда мы имеем дело с неквадратными матрицами. Пусть \ (\ mathbf {A} \) будет \ (n \ times m \), а \ (\ mathbf {B} \) будет \ (m \ times p \), так что \ (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \) существует. Тогда \ (\ mathbf {B} \ mathbf {A} \) даже не существует, если только \ (n = p \). \ наверх \).{-1} \ times b = 1. \]

Аналогично, в матричной алгебре мы говорим, что матрица \ (n \ times n \) \ (\ mathbf {C} \) является , обратным к матрице \ (n \ times n \) \ (\ mathbf { A} \), если \ (\ mathbf {A} \ mathbf {C} = \ mathbf {C} \ mathbf {A} = \ mathbf {I} _n \).

Некоторые основные свойства обратных матриц:

Если \ (\ mathbf {C} \) является обратным \ (\ mathbf {A} \), то \ (\ mathbf {A} \) является обратным \ (\ mathbf {C} \) . Это сразу же из определения.
Если \ (\ mathbf {C} \) и \ (\ mathbf {D} \) оба являются обратными \ (\ mathbf {A} \), то \ (\ mathbf {C} = \ mathbf {D} \).Доказательство: если \ (\ mathbf {C} \) и \ (\ mathbf {D} \) обратны \ (\ mathbf {A} \), то мы имеем \ [ \ begin {выровнено} \ mathbf {A} \ mathbf {C} = \ mathbf {I} & \ Leftrightarrow \ mathbf {D} (\ mathbf {A} \ mathbf {C}) = \ mathbf {D} \ mathbf {I} \\ & \ Leftrightarrow (\ mathbf {D} \ mathbf {A}) \ mathbf {C} = \ mathbf {D} \\ & \ Leftrightarrow \ mathbf {I} \ mathbf {C} = \ mathbf {D} \\ & \ Leftrightarrow \ mathbf {C} = \ mathbf {D}. {- 1} \).{-1} = \ mathbf {I} _n \).

Некоторые матрицы не обратимы ; т.е. их обратного не существует. В качестве простого примера представьте \ [ \ mathbf {A} = \ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix}. \] Легко видеть, что для любой \ (2 \ times 2 \) матрицы \ (\ mathbf {B} \) имеем \ [ \ mathbf {A} \ mathbf {B} = \ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \ end {bmatrix} \ neq \ mathbf {I} _2. \] Следовательно, \ (\ mathbf {A} \) не имеет обратного.

Помните, что инверсия матриц – это что-то вроде деления скалярных чисел.В этом свете предыдущий пример является обобщением принципа, согласно которому нельзя делить на ноль. Но матрицы, заполненные нулями, не единственные необратимые. Например, на первый взгляд это может быть неочевидным, но следующая матрица не обратима: \ [ \ mathbf {A} = \ begin {bmatrix} 1 и 2 \\ 2 и 4 \ end {bmatrix}. \] Мы знаем это благодаря следующей теореме: Матрица обратима тогда и только тогда, когда ее столбцы линейно независимы. В приведенном выше примере второй столбец в 2 раза больше первого столбца, поэтому столбцы не являются линейно независимыми, поэтому матрица не обратима.{-1} $ не существует}. \ end {собрано} \]

Решение линейных систем

Вы, возможно, помните, как в старшей школе вас просили решить для \ (x_1 \) и \ (x_2 \) в системах уравнений, подобных следующей: \ [ \ begin {выровнено} 2 x_1 + x_2 & = 10, \\ 2 x_1 – x_2 & = -10. \ end {выровнен} \] Матричная алгебра позволяет нам записать всю эту систему в виде одного уравнения \ (\ mathbf {A} \ mathbf {x} = \ mathbf {b} \), где \ [ \ begin {выровнено} \ mathbf {A} & = \ begin {bmatrix} 2 и 1 \\ 2 и -1 \ end {bmatrix}, \\ \ mathbf {x} & = \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix}, \\ \ mathbf {b} & = \ begin {bmatrix} 10 \\ -10 \ end {bmatrix}.{-1} \ mathbf {b}. \] Фактически, линейная система уравнений \ (\ mathbf {A} \ mathbf {x} = \ mathbf {b} \) имеет единственное решение тогда и только тогда, когда \ ( \ mathbf {A} \) обратим. В противном случае у нее либо нулевые решения, либо бесконечно много решений.

Пример с нулевым решением: \ [ \ begin {выровнено} x_1 + x_2 & = 1, \\ 2 x_1 + 2 x_2 & = 10. \ end {выровнен} \]

Пример с бесконечным множеством решений: \ [ \ begin {выровнено} x_1 + x_2 & = 1, \\ 2 x_1 + 2 x_2 & = 2. \ end {выровнен} \]

Приложение: Матрицы в R

Мы используем команду matrix () для создания матриц.

  A <- матрица (c (2, 1, 3, 4),
            nrow = 2,
            ncol = 2)
А

  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 2 3
## [2,] 1 4

Обратите внимание, что он заполняется столбцами «вниз». Вместо этого, чтобы заполнить «поперек», используйте аргумент byrow :

  B <- матрица (c (2, 1, 3, 4),
            nrow = 2,
            ncol = 2,
            byrow = ИСТИНА)
В

  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 2 1
## [2,] 3 4

Есть несколько утилит для проверки размерности матрицы.

  ## [1] 2

  ## [1] 2

  ## [1] 2 2

Чтобы извлечь \ (i \) '-ю строку, \ (j \)' -й столбец или \ (ij \) '-й элемент, используйте квадратные скобки.

  ## [1] 2 3

  ## [1] 3 4

  A [2, 1] # запись во 2 строке, 1 столбце

  ## [1] 1

Обратите внимание, что когда вы извлекаете строку или столбец, R превращает их в вектор - результат имеет только одно измерение.Если вам не нравится такое поведение (т.е. вы хотите, чтобы извлеченный столбец представлял собой матрицу с одним столбцом), используйте параметр drop = FALSE в квадратных скобках.

  ## [, 1]
## [1,] 3
## [2,] 4

Сложение и вычитание матриц работает, как и следовало ожидать.

  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 4 4
## [2,] 4 8

  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 0 2
## [2,] -2 0

Как и скалярное умножение.

  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 10 15
## [2,] 5 20

  ## [, 1] [, 2]
## [1,] -2 -1
## [2,] -3-4

Однако оператор * выполняет поэлементное умножение , а не матричное умножение.

  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 4 3
## [2,] 3 16

Чтобы выполнить матричное умножение, используйте оператор % *% .

  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 13 14
## [2,] 14 17

Чтобы инвертировать матрицу или решить линейную систему, используйте функцию solution () .

  ## [, 1] [, 2]
## [1,] 0,8 -0,6
## [2,] -0,2 0,4

  # Решить относительно x в Ax = (3, 2)
решить (A, c (3, 2))

  ## [1] 1,2 0,2

Вот не очень забавный факт об обращении матриц в R: он не совсем точен. Чтобы в этом убедиться, давайте инвертируем матрицу с некоторыми десятичными элементами.

  X <- матрица (c (1. {- 16} \) или 0.0000000000000001. 
  Давайте проверим, что наш результат  численно равен , что мы ожидали. Под числовым равенством я подразумеваю, грубо говоря, что любые различия меньше, чем количество ошибок, которые вы ожидаете из-за ошибки с плавающей запятой. Сначала мы воспользуемся  diag () , чтобы сгенерировать единичную матрицу \ (2 \ times 2 \), затем сравним числовое равенство, используя  all.equal () . 
   I <- диаг (2)
all.equal (X% *% Y, I)  
  ## [1] ИСТИНА  
 В то время как традиционный оператор  ==  является более строгим, проверяя точное равенство.
  ## [, 1] [, 2]
## [1,] ИСТИНА ЛОЖЬ
## [2,] FALSE FALSE  
 Мораль истории: при сравнении десятичных чисел используйте  all.equal ()  вместо  == . Когда  all.equal ()  не является  ИСТИНА , он возвращает сообщение, показывающее, насколько далеко друг от друга находятся числа. Это раздражает, если вы хотите использовать  all.equal () , скажем, в операторе  if / else . Чтобы обойти это, у нас есть функция  isTRUE () .
  ## [1] «Средняя относительная разница: 0,5»  
  ИСТИНА (all.equal (1.0, 1.5))  
  ## [1] ЛОЖЬ  
 И последнее. Если  solution ()  выдает ошибку, в которой говорится «обратное число условия…» или «система в точности сингулярна», это означает, что вы пытались инвертировать матрицу, которая не является обратимой.
  Z <- матрица (c (1, 1, 2, 2), 2, 2)
решить (Z)  
  ## Ошибка в файле resolve.default (Z): Процедура Lapack dgesv: система точно сингулярна: U [2,2] = 0  
Обзор матричной алгебры | STAT ONLINE 
 На странице контрольного списка предварительных требований на веб-сайте Департамента статистики перечислен ряд курсов, для которых в качестве предварительного условия требуется рабочее знание матричной алгебры.Студенты, у которых  нет этого фундамента  или не просматривали этот материал в течение последних двух лет, будут бороться с концепциями и методами, которые строятся на этом фундаменте. Курсы, требующие этого фундамента, включают:
 STAT 414 - Введение в теорию вероятностей
 STAT 501 - Методы регрессии
 STAT 504 - Анализ дискретных данных
 STAT 505 - Прикладной многомерный статистический анализ
 Обзорные материалы 
 Многие из наших вернувшихся работающих профессиональных студентов сообщают, что они прошли курсы, которые включали в себя темы матричной алгебры, но часто эти курсы проходили несколько лет назад.Чтобы помочь студентам оценить, соответствует ли то, что они в настоящее время знают и умеют, ожиданиям преподавателей вышеуказанных курсов, онлайн-программа составила краткий обзор этих концепций и методов. Затем следует короткий экзамен для самооценки, который поможет вам понять, есть ли у вас необходимая подготовка.
 Процедура самооценки 
 Просмотрите концепции и методы на страницах в этом разделе этого веб-сайта.Обратите внимание на курсы, которые соответствуют определенным разделам, как предварительные условия:  СТАТ 414  СТАТ 501  СТАТУС 504  СТАТУС 505
 M.1 - Определения матриц  Обязательно  Обязательно  Обязательно  Обязательно
 M.2 - Матричная арифметика  Обязательно  Обязательно  Обязательно  Обязательно
 М.3 - Свойства матрицы  Обязательно  Обязательно  Обязательно  Обязательно
 M.4 - инверсная матрица  Обязательно  Обязательно  Обязательно  Обязательно
 M.5 - Расширенные темы  Рекомендуется  Рекомендуется  Рекомендуется  5.1, 5.4, обязательно 
 5.2, 5.3, рекомендуется
 Загрузите и пройдите экзамен самооценки
 Просмотрите решения для экзамена по самооценке и определите свой балл.
 Учащимся, набравшим менее 70% (менее 21 правильного вопроса), следует рассмотреть возможность дальнейшего изучения этих материалов, и им настоятельно рекомендуется пройти такой курс, как MATH 220, или аналогичный курс в местном колледже или общественном колледже.
 Если вы боролись с концепциями и методами, представленными здесь, вы действительно столкнетесь с трудностями на курсах выше, которые рассчитаны на эту основу.
  Обратите внимание: : Эти материалы НЕ предназначены для полного изложения идей и методов, используемых в матричной алгебре.Эти материалы и самооценка предназначены просто как  «сигнал раннего предупреждения»  для учащихся. Также обратите внимание, что успешное завершение самооценки не гарантирует автоматически успеха ни на одном из курсов, в которых используются эти базовые материалы.
 матричных пространств | Матричные пространства; 1 ранг; Графики малого мира | Блок I: Ax = b и четыре подпространства | Линейная алгебра | Математика 
 АНА РИТА ПИРЕС: Привет. Добро пожаловать на декламацию. На лекции вы узнали о векторных пространствах, векторы которых на самом деле являются матрицами или функциями, и именно в этом заключается наша сегодняшняя проблема.У нас есть набор матриц 2 на 3, пустое пространство которых содержит вектор [2, 1, 1]. И я хочу, чтобы вы показали, что этот набор на самом деле является векторным подпространством пространства всех матриц 2 на 3. И затем я хочу, чтобы вы нашли для этого основу. Когда вы закончите, возникает дополнительный вопрос. Как насчет набора тех матриц 2 на 3, пространство столбцов которых содержит вектор [2, 1]?
 Хорошо. Нажмите паузу и поработайте над этим самостоятельно, а когда вы будете готовы, я вернусь и покажу вам, как я это сделал.
 Привет.Надеюсь, вам удалось это решить. Давай сделаем это. Итак, как показать, что что-то является векторным подпространством? Что ж, нам нужно проверить только две вещи. Во-первых, если два вектора, в данном случае две матрицы, находятся в этом пространстве, то их сумма находится в этом пространстве. И если вы возьмете вектор, в данном случае матрицу, и умножите на скаляр, вы все равно будете в пространстве.
 Итак, предположим, что матрицы A и B находятся в этом наборе, который мы хотим доказать, является подпространством. Это означает, что A, умноженный на вектор [2, 1, 1], равен вектору [0, 0].Обратите внимание, что размеры правильные: A равно 2 на 3, поэтому это 3 на 1. Я должен получить 2 на 1. Предположим, что [2, 1, 1] находится в нулевом пространстве A, и что [2, 1 , 1] также находится в нулевом пространстве B. Тогда сколько A плюс B умножено на [2, 1, 1]? Находится ли [2, 1, 1] в нулевом пространстве A плюс B?
 Ну, если подумать, что это значит, вы просто добавляете запись за записью. И вы можете делать это медленно и просто проверять, что именно происходит. Но к настоящему времени вы достаточно знакомы с матрицами, и это не должно вызывать удивления.Ну, это [0, 0], а это [0, 0], поэтому их сумма равна [0, 0]. Итак, действительно, [2, 1, 1] находится в нулевом пространстве A плюс B. Итак, если A и B находятся в наборе, A плюс B также находится в наборе.
 Давайте проверим другое. Другое дело, что A раз [2, 1, 1] равно [0, 0]. Итак, A находится в наборе, потому что [2, 1, 1] находится в нулевом пространстве A. А также, пусть c будет скаляром. Это просто означает, что c - это число. Затем мы хотим проверить, что [2, 1, 1] находится в нулевом пространстве матрицы c * A. Эта матрица - это просто матрица A, за исключением того, что каждая запись умножается на число c.
 Ну, опять же, так работают матрицы. Вы можете просто извлечь константу и сначала выполнить A раз [2, 1, 1]. Теперь это вектор [0, 0]. Таким образом, это будет просто c раз [0, 0], то есть [0, 0]. Таким образом, матрица c * A также содержится в этом наборе. Таким образом, множество замкнуто относительно сложения и умножения на скаляр, поэтому множество действительно является векторным подпространством. Что ж, это решает первую часть вопроса. Вторая часть была: найти основу для подпространства. Так что давайте сейчас поработаем над этим.
 Таким образом, условием нахождения матрицы в этом подпространстве является то, что вектор [2, 1, 1] находится в нулевом пространстве. Итак, я должен иметь A, умноженное на [2, 1, 1], равное [0, 0]. Так что же происходит? Well A - это матрица 2 на 3. Таким образом, вы можете подумать о том, что происходит в каждой строке отдельно. У вас будет первая строка из A, умноженная на [2, 1, 1], равна 0. А вторая строка, умноженная на A, умноженную на [2, 1, 1], равна 0. Итак, давайте посмотрим, что это значит.
 Каждая строка матрицы A в этом векторном подпространстве должна быть [a, b, c] [2; 1; 1] равным 0.Это не очень хорошее предложение, но вы понимаете. Это означает, что - ну, давайте посмотрим - 2a плюс b плюс c равно 0. Так что я действительно могу записать это в этом формате. Оно должно иметь вид a, b, и тогда c должно быть равно -2a минус b. Правильно? Так что, кроме того, мы можем сказать, что это - ну, одна вещь, которую вы можете сделать - позвольте мне написать это здесь, чтобы помочь вам.
 Это будет [a, 0, -2a] плюс [0, b, -bl. Видеть? Я делю это на линейную комбинацию двух векторов. Я могу вытащить a из этого и вытащить b из этого, и это должна быть линейная комбинация - вот что это значит, линейная комбинация - следующего: [1, 0, -2] и [0, 1, -1].Имеет ли это смысл? Вот чему должна удовлетворять каждая строка.
 Итак, теперь мы можем собрать все вместе в основу векторного пространства. Базис будет, ну, это матрица 2 на 3, и каждая строка должна быть линейной комбинацией этих двух векторов. Итак, давайте напишем это - 1, 0, -2. Я оставлю вторую строку с нулями - 0, 1, -1, и я сохраню вторую строку с нулями. И теперь то же самое, но сохраняя первую строку с нулями, эти векторы я беру во второй строке. Итак, это основа моего векторного пространства.Один два три четыре; это также означает, что размерность подпространства равна 4.
 Был еще один вопрос: что вы можете сказать о наборе тех матриц, которые содержат вектор [2, 1] в своем пространстве столбцов? Как насчет набора тех матриц 2 на 3, пространство столбцов которых содержит вектор [2, 1]. Это векторное подпространство? Что ж, одна быстрая проверка, которую вы всегда можете сделать, - это проверить, что нулевой вектор, в данном случае нулевая матрица, принадлежит набору.
 Обнуляет матрицу 2 на 3 - [0, 0, 0; 0, 0, 0].Эта матрица принадлежит этому набору? Содержит ли эта матрица вектор [2, 1] в своем пространстве столбцов? Это не так, поэтому этот набор не может быть векторным подпространством. Если вы хотите подумать о том, как этот 0, принадлежащий набору, имеет какое-либо отношение к двум условиям, которые закрываются при суммировании и закрываются при умножении на скаляр, просто подумайте, что вы всегда должны иметь возможность умножить матрицу на скаляр 0 и иметь это все еще будет в наборе. Это будет ваша нулевая матрица. Ну, нулевая матрица отсутствует в наборе, поэтому набор не является векторным подпространством.
 Хорошо? Были сделаны. Спасибо.
 Лекция 1: Пространство столбцов A содержит все векторы Ax | Видео-лекции | Матричные методы в анализе данных, обработке сигналов и машинном обучении | Математика 
 Следующий контент предоставляется по лицензии Creative Commons. Ваша поддержка поможет MIT OpenCourseWare и дальше предлагать высококачественные образовательные ресурсы бесплатно. Чтобы сделать пожертвование или просмотреть дополнительные материалы из сотен курсов MIT, посетите MIT OpenCourseWare по адресу ocw.mit.edu.
 ГИЛБЕРТ СТРАНГ: Начнем? Позвольте мне просто сказать, что это большое приключение для меня быть здесь в одиночестве, преподавать курс, который включает обучение на основе данных. Так что это захватывающий предмет, и в него входит много линейной алгебры. Итак, это второй курс линейной алгебры. Могу я просто ... Итак, есть сайт Stellar, и это будет основная вещь, которую мы будем использовать. Это общедоступный сайт - math.mit.edu/learningfromdata.
 Итак, книга выходит довольно быстро, когда мы говорим или после того, как мы говорим, и на этом сайте есть оглавление книги, которое даст вам представление о том, что может быть в курсе.И я распечатал для всех по одной только этой странице. Это, вероятно, последний - первый и последний раздаточный материал - может быть - с оглавлением, которое вы там увидите.
 А также вы увидите там первые два раздела книги, о которых я расскажу сегодня и чуть позже в пятницу. Конечно, это линейная алгебра, потому что курс начинается с линейной алгебры - на самом деле, вещей, которые вы знали бы с 18.06, но это способ сказать, что это действительно важный материал.Вот что я сделаю сегодня. Сегодня я хотел бы начать с линейной алгебры.
 Вот отличный факт о курсе. Итак, мы преподавали его в прошлом году, несколько из нас вместе, и мы знали, что выпускного экзамена не будет, но мы вообразили, что на этом пути могут быть викторины. Но тогда мы не могли придумать, что ставить на викторины. Так что мы их отменили. Но вы тем не менее многому научились. Итак, я полагаю, что мы основываем оценки на домашних заданиях. Таким образом, домашние задания будут частично включать вопросы по линейной алгебре, а частично - онлайн, например, распознавание почерка, сшивание изображений и многое другое.И я расскажу о них по ходу дела. Хороший.
 Вот и общая картина. И сегодня я расскажу об этом подробнее. И я мог ответить на любой вопрос по этому поводу. Итак, нас снимают на видео. Так что, если кто-то застенчив, сядьте в дальнем конце. Но будет весело. Возможно, вы знаете видео за 18.06. Итак, это следующий шаг, 18.065. Для меня это очень интересно. Так что любой вопрос, или я должен немного посчитать? Почему бы нет? А потом я расскажу еще немного о курсе, чтобы вы имели представление о том, что нас ждет впереди. И похоже, что эта комната мне подходит по размеру, так что я доволен.
 Так в чем же дело в линейной алгебре? Простите меня, если я начну с того, что я делаю в самый первый день 18.06, а именно с умножения матрицы на вектор. А затем я перейду к умножению матрицы на матрицу. И вы скажете: "Я знаю это". Но знаете ли вы это правильно? Вы правильно думаете об умножении? Итак, позвольте мне сказать вам, что я считаю правильным. Итак, позвольте мне взять матрицу, скажем, 2, 3, 5, 1, 1, 7 и 3, 4, 12. И я всегда буду называть матрицы A.
 Итак, первый шаг - это просто A, умноженное на x, умноженное на A. вектор.Итак, я умножаю A, скажем, на x1, x2, x3. И как мне посмотреть на этот ответ? Итак, выбор - подумайте о строках матрицы или о столбцах. И если вы думаете о строках, что является стандартным способом умножения, вы бы взяли скалярное произведение. Итак, первый способ - это скалярные произведения строки с точками x. 2x1 плюс x2 плюс 3x3. Он дает вам ответ по компоненту за раз.
 Это способ низкого уровня. Хороший способ увидеть это векторно. Смотрите, как x1 умножает этот первый столбец, x2 умножает на второй столбец, 1, 1, 7 и x3 умножает на третий столбец, 3, 4, 12.Хороший. Итак, это комбинация векторов, и, конечно же, она дает вектор. И здесь у нас есть матрица 3 на 3 на наших векторах в R3. И большинство векторов для этого курса будут в R3 или Rn.
 Итак, это правильный ответ. И, конечно же, первый компонент - 2x1, 1x2 и 3x3. Те же 2, 1, 3 - то же скалярное произведение, получается правильно. Но вы видите все сразу, а не по частям. Часть курса - я думаю, что часть того, что я надеюсь донести, - это думать о матрице в целом, а не просто о кучке из девяти или m умноженных на n чисел.Но думать об этом как о вещи. Матрица умножает вектор, чтобы получить другой вектор.
 Итак, когда я говорю Ax, вы сразу думаете, что ... вы сразу думаете, хорошо, Ax имеет ясное значение, это комбинация столбцов A. Итак, теперь позвольте мне сделать следующий шаг. И следующий шаг - подумать обо всех комбинациях столбцов A. Мы берем матрицу A, берем все x и представляем все выходы. И я хочу спросить вас, как это выглядит? Если я просто возьму 1 вектор x, я получу векторный вывод.Он переводит вектор в вектор.
 Но теперь я беру все x - все векторы x в 3D, получаю все эти ответы и думаю обо всех вместе. Итак, у меня есть куча векторов - на самом деле, бесконечно много векторов. И вопрос в том, что если я построю эти бесконечно много векторов, что у меня получится? И прелесть линейной алгебры в том, что на подобные вопросы можно ответить и интуитивно это увидеть. Вы определенно видите это в 3D, и даже в 10 измерениях у вас есть правильное представление. Большинство из нас не слишком хорошо видят в 10d - в R10.Но здесь у нас их трое.
 Так вы понимаете, о чем я говорю? Я беру все крестики. Таким образом, все Axe дает нам большой набор векторов. И этот набор векторов называется пространством столбцов A. Другими словами, это пространство. Это ключевое слово, пространство столбца A. И я просто напишу его как C of A, когда мне понадобятся буквы. Итак, я собираюсь спросить вас, как выглядит это пространство столбцов? А это зависит от матрицы. Иногда это пространство столбца может быть всем R3. Иногда это меньший набор в R3, пробел.
 Вы знаете, что это в данном случае? Могу ли я получить от этих парней все 3D, выбрав все x1, x2 и x3? Похоже, что если бы это была случайная матрица, ответ был бы, конечно, да. Если случайная матрица три на три ... это пространство столбцов будет состоять из всех трех, ее столбцы будут независимыми, ее строки будут независимыми, она будет обратимой, это будет здорово. Но эта матрица - что с этой матрицей? Нет, это не так.
 Так что же я получу вместо всего R3? Я получаю самолет, да.Если вы это понимаете. Так что, взяв x - все со мной - все x здесь. Это означает, что он заполняет что угодно. И, ну, поскольку это линейная алгебра, скорее всего, это будет весь R3, или плоскость, или даже линия. Позвольте мне ненадолго задержаться здесь. Дайте мне матрицу, в которой пространство столбцов будет только строкой. Все единицы? ХОРОШО. Вау, это ... позволь мне немного оживить. 3, 3, 3, 8, 8, 8.
 Итак, я думаю, что все комбинации этих столбцов находятся в одной строке. Это говорит о том, что пространство столбца - это просто строка.И тогда я бы сказал, что матрица ... Таким образом, пространство столбцов этого A является строкой. Другими словами, я бы сказал, что ранг матрицы равен 1. Ранг - это своего рода размерность пространства столбцов. Ну не сортировать, вот что такое. Ранг - это размер столбца - все видят, что вы получаете строку? Потому что любая комбинация x1 этого плюс x2 этого плюс x3 этого будет идти по этой линии.
 Вот первый столбец, вот второй столбец. Все они на линии. Так что я никогда не сойду с этой линии.Если я разрешу все x, я получу всю строку. Итак, вы не сказали ни строчки. Какая была колонка для этого парня? Самолет. Итак, почему это не все R3? Что вы видите здесь особенного - потому что оно особенное - что делает пространство столбцов особенным, плоскостью, а не целым? Да, что там с этими тремя столбцами?
 АУДИТОРИЯ: Третий столбец представляет собой сумму.
 ГИЛБЕРТ СТРАНГ: Третий столбец представляет собой сумму этих двух. Итак, первый столбец в порядке, 2, 3, 5. Второй столбец в другом направлении.И когда я возьму комбинации первых двух столбцов, что я получу? Извини, что продолжаю задавать тебе вопросы, но это ... во всяком случае, я всегда так делаю. Итак, комбинации этих первых двух столбцов ...?
 АУДИТОРИЯ: Самолет.
 ГИЛБЕРТ СТРЕНГ: Самолет, потому что они разные - все видят эту картинку. У нас первый столбец идет в том же направлении, а второй - в том же направлении. И затем, если я возьму любое число, кратное первому столбцу, у меня будет целая строка, кратное второму столбцу.А потом, когда я сложил их вместе, он заполняет плоскость. Ага. Ваша интуиция подсказывает, что это правильно.
 Итак, это матрица рангов. Каков ранг этой матрицы?
 АУДИТОРИЯ: Две.
 ГИЛБЕРТ СТРАНГ: Два. Потому что у него два независимых столбца, но третий столбец зависимый. Третий столбец представляет собой комбинацию других. Так что матрицы, подобные этой, на самом деле являются строительными блоками линейной алгебры, они являются строительными блоками науки о данных. Это матрицы первого ранга.И позвольте мне показать вам особый способ написания этих матриц первого ранга. Я думаю об этой матрице как о векторе-столбце, умноженном на 1, 1, 1, умноженном на вектор-строку 1, 3, 8. Итак, это столбец, умноженный на строку. Это матрица первого ранга.
 Вы видите - это настоящее умножение. Это выглядит немного странно, но это матрица 3 на 1 умноженная на матрицу 1 на 3. Эти числа должны быть одинаковыми, и тогда результат будет 3 на 3. И все. И вы видите, что это факторы? Итак, я перейду к этой идее. Следующая идея, которая возникнет, будет заключаться в том, что мы сможем увидеть ... ну, это идет, что мы увидим матрицы с двумя факторами.
 Позвольте мне перейти к этому, но вернемся к исходной матрице. Так что с этим? Колонное пространство представляет собой плоскость. Подумайте теперь о ключевой идее независимых столбцов. Сколько у меня здесь независимых столбцов?
 АУДИТОРИЯ: Две.
 ГИЛБЕРТ СТРЕНГ: Два, верно. Два. Третий столбец, если я хочу особо выделить его - я часто иду слева направо. Итак, я скажу, что первый парень хорош, второй парень хорош, третий не независим от других. Так что у меня просто две независимые колонки.И эти два столбца будут основой для пространства столбцов.
 Итак, это важнейшая идея линейной алгебры. Это то, что вы вычисляете, когда находите основу, и все в пространстве столбцов представляет собой их комбинацию, в том числе и то, что это уже комбинация этих факторов. Но все остальное в пространстве столбцов представляет собой комбинацию этих двух. Так что они основа для этого.
 Итак, у вас есть идея A умножить на x. У вас есть идея пространства столбцов A, которая допускает все x.Затем мы переходим к идее независимых столбцов, а количество независимых столбцов - это ранг. Итак, звание - я могу это где-нибудь написать? Может быть здесь. Ранг - это количество независимых столбцов. А прямо сейчас, что я имею в виду под независимыми столбцами? Что ж, давайте просто посмотрим, что это значит, используя его.
 У нас все хорошо? Я знаю, что делаю здесь обзор. Но позвольте мне сделать обзор этого первого занятия и части следующего раза. Но вы увидите что-то новое. На самом деле, почему бы нам сразу не увидеть что-то новое.Позвольте мне систематически развить идею независимости. Итак, вот моя матрица A. Могу я написать это еще раз? 2, 3, 5, 1, 1, 7, и этот парень был их суммой. Это моя матрица A.
 Итак, давайте начнем с нуля и найдем основу для пространства столбцов наиболее естественным образом. Итак, я возьму основу - что за основу? Основа - автономные колонки. Так что все три вместе не будут основой. Но они должны быть не просто независимыми, они должны заполнять пространство - их комбинации должны заполнять пространство.Итак, 2, 3, 5 - скажем, я хочу создать основу. Я назову матрицу C основой для пространства столбцов.
 Итак, вот естественный способ сделать это. Я смотрю на первую колонку. Это не нули. Если бы это были все нули, я бы не хотел, чтобы это было в основе. Но это не так. Я вставил его. Это первый вектор в моей основе. Затем я перехожу ко второй колонке. Если бы в этом столбце было 4, 6, 10, что бы я сделал? Если бы во втором столбце было 4, 6, 10, я бы положил его в основу? Нет. Но 1, 1, 7, это нормально, правда? 1, 1, 7 - в другом направлении.Это не комбинация того, что у нас уже есть. Я говорю: «Хорошо, это добавляет что-то новое». Вставьте.
 Затем я перейду к третьей колонке. Могу ли я положить это в основу? Вы уже знаете ответ. Нет, потому что я хочу посмотреть, это комбинация этих парней? И это. Это одно из этого плюс еще одно. Так что это не независимо. Итак, я закончил. У меня есть матрица C, которая была взята непосредственно из A, и я сохранил только независимые столбцы, и я работал слева направо. И я сразу вижу, что ранг равен двум - ранг столбца, я бы сказал - ранг столбца.Количество независимых столбцов - два. Хороший?
 Теперь наступает ключевой шаг. Я собираюсь создать третью матрицу, R, которая расскажет мне, как получить эти столбцы из этих столбцов. И его форма будет ... ну, его форма ... У меня нет выбора. Это три на два, так что Rx будет в чем-то два. Так что я такой. Думаю, это должно быть два на три, потому что я хочу выйти вот так, два на три. Что мне здесь делать? Я просто помещу это в числа R, которые делают это правильно.
 Итак, это первая матричная факторизация. Это не ... ну, вообще-то это знаменитый. Когда мы это видим, мы узнаем, что это такое. Он известен в обучении линейной алгебре, но теперь, на самом деле, C умножить на R, умножить столбцы на строки стало очень и очень важным в крупномасштабной числовой линейной алгебре. Итак, давайте разберемся, что входит в R. О чем я здесь думаю? Я вставляю R. Итак, каждый из этих столбцов представляет собой комбинацию этих двух. В этом весь смысл. И я просто введу нужные вам числа.
 Итак, что входит в первый столбец R? Что входит в первый столбец R? Итак, я хочу посмотреть, какая комбинация этого столбца и этого столбца дает мне этот? Ага?
 АУДИТОРИЯ: 1, 0.
 GILBERT STRANG: 1, 0. Вы помните, как мы умножаем матрицу на вектор? Когда я умножаю эту матрицу на этот вектор, я беру одну из них плюс ноль этого. Я вижу это векторно и, конечно, правильно понимаю. А как насчет второго столбца R? Таким образом, второй столбец должен быть комбинацией, которая правильно дает второй столбец A.Что это будет?
 АУДИТОРИЯ: 0, 1.
 GILBERT STRANG: 0, 1. Спасибо. И, наконец, третий столбец?
 АУДИТОРИЯ: 1, 1.
 ГИЛБЕРТ СТРЕНГ: 1, 1. Да, верно. Потому что один из этого плюс один дает третий столбец. Так что все, что я сделал, на самом деле я поставил там правильные цифры. И это правильно сейчас. A равно C умножить на R. Итак, я сделал здесь первые две страницы раздела 1.1 в этих заметках. Итак 1.1. На самом деле, я расскажу буквально то, что произошло в начале этого года.Я закончил это. Я записал это на другом примере.
 А потом я кое-что понял, что сидя здесь передо мной, была первая великая теорема линейной алгебры, факт, что ранг столбца равен рангу строки. Тот факт, что если у меня есть матрица, в которой этот столбец плюс этот столбец дает тот. Ой. Так что я здесь скажу? Я нервничаю по этому поводу. Я считаю, что комбинация строк дает 0. Вы в это верите? Вы должны в это поверить. Это линейная алгебра.
 Матрица не обратимая, квадратная. Но столбцы зависимые. Таким образом, строки должны быть зависимыми. И я не совсем понимаю - есть какая-то комбинация этой строки и той строки, которая дает эту строку. И, конечно же, когда я посмотрел на первую колонку, я подумал: «Хорошо, это будет слишком просто». Один из них и один из них дает то. Но потом мой взгляд перешел на вторую колонку, и я понял, что это совсем непросто. Итак, вы имеете право достать свой телефон и разобраться в этом.
 Но есть какая-то проклятая комбинация этих -
 [СМЕХ]
 - тех двух строк, которые дают третью строку.В противном случае курс окончен, останавливаемся. Ну и, может быть, найдем как-нибудь. Итак, это теорема. Так что я должен вам сказать, я был очень доволен.
 Итак, на первых двух страницах есть еще две страницы, чтобы развить эту идею, что здесь мы видели нечто, что ... Я доказал в 18.06, но не в первой лекции, это точно, и, возможно, не так ясно. Но теперь я могу попробовать это доказать. В этом классе не будет много доказательств, но это такой важный факт: равенство CR - важная факторизация.И из этого мы можем их соединить.
 Так что я говорю? Я говорю это все ... так какой же ранг в строке? Я должен вернуться сюда. Какой ранг в строке? Что за место в строке? Таким образом, ранг строки будет измерением этого пространства. Итак, я смотрю на свою матрицу A. Что такое пространство строк в A? Я посмотрю на его ряды. Теперь, может быть, просто для того, чтобы мы не получали целые новые буквы для пространства строк - для меня, пространства строки A матрицы - так что прежде всего, скажите мне словами, что это такое. Какое пространство строки в матрице?
 АУДИТОРИЯ: [НЕДОСТАТОЧНО]
 ГИЛБЕРТ СТРЕНГ: Все комбинации строк.Все комбинации рядов, вот и космос. Поэтому я бы взял все комбинации этих строк. Чтобы получить комбинации строк ... ну, я могу получить комбинации строк двумя способами. И как я это сделаю, я просто транспонирую матрицу. Итак, эти строки становятся столбцами, а затем я возвращаюсь к тому, что сделал. Таким образом, пространство строк A - это пространство столбцов транспонированного A. И это имеет то преимущество, что мы не вводим новую букву. Таким образом, это будет пространство столбцов транспонирования A.
 Итак, мы не вводим новую букву.Мы придерживаемся соглашения о том, что векторы являются векторами-столбцами, что было бы соглашением MATLAB, Julia и Python. Так это нормально? Строка - это комбинация этих строк. Но я переверну - я заставлю их встать - 2, 1, 3 - чтобы они были векторами-столбцами. Так что это совершенно другое пространство. На самом деле, я взял пример «три на три», так что пространство столбцов является частью R3, а пространство строк также является частью R3. Потому что у меня матрица три на три.
 Лучший пример - и вся суть в данных - данные не входят в квадратные матрицы.К счастью для нас, данные очень и очень часто поступают в виде матриц. Но два - столбцы могут быть образцами, это могут быть пациенты, а строки могут быть заболеваниями или чем-то еще. Это разные пространства. Таким образом, матрицы вряд ли будут квадратными. Но в любом случае нам здесь хорошо. Итак, пространство строки.
 Теперь можно вернуться к доказательству? Потому что я хочу сказать, что доказательство этого фундаментального факта пристально смотрит на нас, но мы еще не совсем этого видим. И я хочу это увидеть. Итак, я утверждаю, что эти строки являются основой для пространства строк.И мы уже видели, что эти столбцы являются основой пространства столбцов. А два равно двум, верно? Два вектора здесь были основой для колоночного пространства.
 Теперь, если я могу понять, почему это показывает мне, что эти два вектора являются основой для пространства строк, тогда мой пример верен, что оба из них дадут два. Ранг столбца - два, два столбца, ранг строки - два, две строки. Я должен объяснить, почему я считаю, что эти две строки являются основой для пространства строк. Ты со мной? Я должен доказать ... я должен понять почему.
 Во-первых, когда я говорю «база», что мне нужно проверить? Основа - это критическая идея. Я должен проверить, что они независимы, поэтому у меня не так много векторов - у меня нет никаких дополнительных векторов. И я также должен проверить, что их комбинации производят ...? Все ряды. Я должен сказать это еще раз? Потому что это то, что я собираюсь проверить. Я собираюсь проверить, что эти ребята независимы. Что ж, вы видите, что они независимы.
 И я собираюсь проверить, что их комбинации дают все три из этих строк.Мы не создавали эти числа для этой цели, но я хочу сказать, что они работают. Итак, я утверждаю, что это основа, потому что какая комбинация этих двух строк дала бы эту первую строку? Да, позволь мне спросить тебя об этом. На какие числа мне следует умножить эти две строки, чтобы получить первую строку A?
 АУДИТОРИЯ: 2, 1.
 ГИЛБЕРТ СТРАНГ: 2 и 1. А где вы найдете 2 и 1? Он сидит там в C. Будет ли работать снова? Три из этого плюс один из этого дают 3, 1, 4? да. Все идет нормально.Делает пять из этих и семь из них - видите, я умножаю - я думаю, я делаю матричное умножение в обратном направлении или другим способом. Беру комбинации рядов второго парня. Замечательная вещь в умножении матриц заключается в том, что вы можете делать это разными способами, все получается одинаково, и каждый способ что-то вам говорит.
 Итак, пять из этого ряда плюс семь из этого ряда, конечно же, здесь. Вы видите, что это не случайность? Доказательство состоит в том, чтобы взглянуть на это умножение C умножить на R двумя способами.Сначала посмотрите на это как на комбинации столбцов буквы C, чтобы получить столбцы. Во-вторых, посмотрите на него, чтобы получить комбинацию строк буквы R, и это дает строки. Ключевой идеей было то, что факторизация A равняется CR.
 И на самом деле, у этого R, который мы придумали, есть имя. Кто-нибудь помнит 18.06? Вы все взяли 18.06? Нет. Понятно - сколько их? да. ХОРОШО. Хороший. Какое-то время 18.06 преподавали очень абстрактно. Я сказал, что происходит? Но в любом случае, если вы взяли его в том семестре, вы, возможно, никогда не слышали о пространстве столбцов.Я не уверен. Или под другим именем.
 У него другое название. Как его другое название? Пространство столбцов матрицы? Диапазон ... Я думаю, это диапазон. Ага. И, конечно же, все это фундаментально в математике. Так что, конечно, здесь все на разных языках и с другим акцентом. Но вы видите, на чем здесь делается акцент.
 Итак, вы видите доказательство того, что A равно CR, просто раскрывает все. Итак, это наша первая идея факторизации матрицы. И мы умножили C на R. Я мог бы просто сказать ... так что вы действительно поняли основную мысль Раздела 1.1 из примечаний, чтобы прийти к этой факторизации и этому заключению. И вы понимаете, почему у C такое же количество ... количество столбцов в C равно количеству строк в R, и это ранг столбца и ранг строки.
 Ага, просто довольно аккуратно. И здесь был особый случай, когда все пространство столбцов кратно U - это линия, проходящая через U. Пространство строк все кратно V - это линия, проходящая через V. И это основной строительный блок. Могу я просто сказать еще одно словечко перед тем, как выйти за пределы CR? Что это стало ... если у вас есть гигантская матрица, размером от 10 до 5, вы не можете поместить ее в быструю память.Это беспорядок. Как поступить с матрицей размером от 10 до 5, если вы не можете обработать все записи? Это просто невозможно. Ну, ты попробуй это.
 Итак, позже в этом курсе мы будем выполнять случайную выборку матрицы. Итак, как вы могли бы взять образец матрицы? Итак, у вас есть матрица. Конечно, вы смотрите на это, но это ... и вы хотите получить несколько типичных столбцов. Вот естественная идея. Вы просто посмотрите на A раз x. Пусть x - случайный вектор. Rand of ... итак, у него m строк и один столбец.Это вектор.
 А что сказать про Axe? Он в ... в каком месте он?
 АУДИТОРИЯ: Колонка.
 ГИЛБЕРТ СТРАНГ: Пространство столбца. Спасибо. Это была первая идея в этой лекции. Ax находится в пространстве столбца. Поэтому, если вам нужен случайный вектор в пространстве столбцов, я бы не предлагал просто случайным образом выбирать один из столбцов. Лучше взять смесь столбцов, взяв случайный вектор x и посмотрев на Ax. И если вам нужно 100 случайных векторов, вы бы взяли 100 случайных x, и во многих случаях это дало бы вам довольно хорошее представление о том, как выглядит пространство столбцов.Этого хватило бы, чтобы работать часто.
 Могу я задать еще один вопрос? Итак, Ax находится в пространстве столбцов A. Позвольте мне задать вам этот вопрос. ABCx - это то, что находится в пространстве столбцов A? Предположим, у меня есть матрицы A, B и C и вектор x, и я беру их произведение. Это дает мне что-то в пространстве столбца A?
 АУДИТОРИЯ: Да.
 ГИЛБЕРТ СТРАНГ: Да, хорошо для вас. Откуда ты это знаешь?
 АУДИТОРИЯ: [НЕДОСТАТОЧНО]
 ГИЛБЕРТ СТРЕНГ: Да, это что-то в разы.Правильно. Правильное расположение скобок - ключ к линейной алгебре. И вот оно. Это вопрос, который только что пришел в голову. И я подумал, ну, интересно, сделаете ли вы это. Так что у нас еще есть время умножать матрицы. О, я собирался сказать о C и R - так что это настоящие столбцы из A. Но R - строки не берутся непосредственно из строк A. На самом деле, для этого есть название. Это называется строковой формой матрицы с редуцированным эшелоном, и это большая цель в 18.06. Там у него идентичность, а в других столбцах указаны правильные комбинации.
 Еще одна большая факторизация - это взять столбцы из A - так что это еще один - поэтому я поставлю возможно или - и мы не будем делать это в течение месяца. Мы могли бы начать брать столбцы из A и помещать их в C, если бы они были независимыми. И предположим, что я взял ряды A. Теперь я возьму буквально ряды A и помещу их в R - ну, я назову это R twiddle или что-то в этом роде, потому что это будет другой R. не собираюсь использовать эти строки, но я возьму две фактические строки A. Что дальше?
 Значит, факторизация важна, но неверна.Если бы я взял два других ряда R, ничего бы не вышло. Таким образом, вы должны поместить его посередине, где-то два на два, матрица U, что делает его правильным. В этом разделе 1.1 вы увидите, что я был взволнован и написал страницу о CUR. Да, я просто упомяну об этом. Итак, теперь я готов ... о, я хотел кое-что сказать о курсе. Я загорелся математикой, но есть такой курс. Ну что, как поживаешь?
 Итак, будут задачи линейной алгебры. Но что делает этот курс особенным, так это другие домашние задания, которые доступны в Интернете.И вы бы использовали ... давайте посмотрим. В принципе, вы можете использовать любой из языков - MATLAB, Python, который стал самым популярным - наиболее часто используемым для глубокого обучения, или Julia, который является популярным новым языком. Итак, в прошлый раз, в прошлом году, проблемы ... о, что же случилось в прошлом году?
 Ну, всем в этом курсе обязан профессору, который приехал из Мичиганского университета, профессору Рао - Радж Рао, который читал большую часть лекций год назад, принес эти домашние задания - домашние онлайн-задачи, так что люди приносили в класс ноутбуки, и мы занимались делами в классе.Так что у него был очень успешный курс обучения в EE в Мичигане. Но отсюда он был доктором философии, вернулся в творческий отпуск, и он создал это - помог нам начать. И мы действительно многим ему обязаны.
 Также с этим курсом принимал участие профессор Эдельман. И вы, возможно, знаете, что он создал Юлию. Кто из вас знает, что такое Юля? О, замечательно. Это сделает его день. Он говорит мне каждый раз, когда я его вижу, Джулия в порядке. И я говорю ему, я верю в это.
 [СМЕХ]
 В любом случае - и он стал - профессором Джонсоном в 18 лет.06 использовала Юлию. И каждый семестр Стивен Джонсон в первую неделю проводит учебник по Джулии. Так что все устроено, и я обещал рассказать вам, где и когда это будет. Так что я думаю, если ты ничего не знаешь о Джулии, попробуй уйти. Это в Стате. Это в пятницу с 5:00 до 5:00 до 7:00. Итак, Джулия от профессора Джонсона. Так что он делал это несколько раз. Он хорош в этом.
 Я не думаю, что мы еще знаем, что ... Я надеюсь, что у вас будет возможность использовать любой из трех языков. Но онлайн-вещь, которую мы вам даем, была создана в Юлии.Итак, прошлой весной профессор Рао должен был выучить Джулию, и класс тоже. И в этом было некоторая скука.
 [СМЕХ]
 Но я думаю, за исключением, может быть, одного, который все еще получил пятерку, все были в порядке и были рады выучить Джулию. И профессор Рао теперь полностью использует Джулию. Итак, он вместе с Джулией создает новый пандус. Между прочим, MATLAB только что выпустил курс на глубокое обучение, о котором я вам расскажу, и, возможно, получите MATLAB - кого-нибудь из Math Works, чтобы сказать что-нибудь об этом.
 Так вот что нас ждет, мы не совсем знаем, насколько хорошо организованы эти домашние задания. Мы просто возьмем первый и посмотрим, что произойдет. Так что я обязательно скажу больше о домашних заданиях, когда ... может быть, даже в пятницу.
 Но есть ли еще вопросы, на которые я должен ответить? Потому что некоторые люди будут думать: «Хорошо, я собираюсь сделать это, или я собираюсь сесть на 6.036 или какой-то другой курс по глубокому обучению»? Что у тебя на уме? И вы можете написать мне по электронной почте. Так что у нас будет звездный сайт, и вы увидите все ... ТП еще не названы.Но замечательно то, что студенты, прошедшие этот курс в прошлом году, добровольно вызвались стать классниками для вас, ребята. Так они будут знать, о чем были эти домашние задания в Интернете.
 Итак, это первое слово о том, что будет дальше, и о языке. Я собираюсь закончить очень важной темой, умножив A на B. О, смотрите, чистая доска. Итак, теперь я хочу умножить матрицу на вектор. Все знают, как это делать. Вы берете строку A - вы берете строку A, берете столбец B и берете скалярное произведение.Итак, вы получите точечный продукт. Строка точечный столбец.
 Это опять же низкий уровень, подходит для новичков. Но мы хотим увидеть умножение матриц AB более глубоко. И более глубокий способ - столбцы умножить на строку. Столбцы A, строки B. Столбцы умножить на строку. О, у нас был столбец, умноженный на ряд. Это был пример первого ранга. У нас был столбец, умноженный на строку, и получилась матрица. И вот как это выглядело. И его ранг был один. Так вот что ... это комбинация.
 Очень похоже на Axe.Я просто распространяю идею Ax на AB. Так что это старый способ. Новый способ - колонны. Итак, есть столбец K. Он будет размножаться. Разумеется, он умножает строку K. Все видят, что так и будет. Если вы делаете это по-старому, когда вы делаете скалярное произведение чего-то здесь, чего-то здесь, вы делаете это умножение. И когда вы попадаете в столбец K здесь, вы попадаете в строку K там. Итак, они связаны.
 Итак, я получаю такие вещи, как столбец K из A, умноженный на строку K из B. И я не знаю, какую нотацию использовать, поэтому я просто написал слова.Но теперь это одна часть окончательного ответа, AB. Это одна штука ранга. Это строительный блок. Поэтому я добавляю из K, равного 1 столбцу, один раз первый ряд. Первый столбец A умножить на первый столбец B плюс - da, da, da, плюс столбец K плюс - и, конечно же, я остановлюсь на столбце n в A, умноженном на строку n B. Итак, это сумма внешних произведений.
 Итак, все видят сумму, потому что у меня один столбец умножается на строку 1, столбец K умножает на строку K, столбец n умножает на строку n, а затем я складываю эти части. Это просто обобщение Ax на матрицу B.Итак, это сумма столбца K, строки K, строки K из B. И, может быть, стоит ли нам проверить, что это дает нам правильный ответ? Я не буду здесь этого делать, но все, что мы делаем, это то же умножение в другом порядке.
 На самом деле, давай закончим через одну минуту. Мы можем вычислить, сколько существует умножений. Сколько еще приложений, чтобы сделать матрицу A размером m на n, умноженную на матрицу B размером n на p? Итак, это A умноженное на B. Сколько отдельных чисел - потому что это определит стоимость.
 Сколько номеров нам нужно? Что ж, предположим, что мы делаем это по-старому, используя внутренний продукт, столбец "строка, умноженный на".Итак, сколько умножений нужно сделать в столбце умножения строки и получить в ответ одну запись? п, верно? Строка имеет длину n, столбец - длину n, n умножений. Так что н. А теперь сколько из них мне нужно сделать?
 АУДИТОРИЯ: мп.
 ГИЛБЕРТ СТРАНГ: мп. Потому что каков размер этого ответа? Размер этого ответа - m на p. Итак, если я сделаю это в том старом порядке, например, умножение n означает скалярное произведение. И у меня в ответе много точечных произведений. Так что я мнп размножился.А теперь предположим, что я делаю это так. Сколько умножений сделать одному из этих ребят? Чтобы умножить наш столбец на строку?
 Это m на 1, а это 1 на p. Один столбец, одна строка. Сколько умножений для этого парня? т.пл. И сколько из этих ранговых я должен сделать? п. Ты получил это? mp умножить на n.
 Теперь по другому было n раз mp. Таким образом, он дает тот же ответ: умножение mnp. Фактически, это точно такие же умножения, только в другом порядке. ХОРОШО. Мы в 1:55. Спасибо, что пришли сегодня.В пятницу я подробнее расскажу о классе и о линейной алгебре. Спасибо.
 Математика 104: Прикладная теория матриц 
  Описание:  Цель этого
 курс состоит в том, чтобы представить ключевые математические идеи в
 теория матриц, которые используются в современных методах обработки данных
 анализ, научные вычисления, оптимизация и просто
 все количественные области науки и техники.
 Хотя выбор тем мотивирован их использованием в
 различные дисциплины, курс подчеркнет
 теоретические и концептуальные основы этого
 предмет, как и в другом курсе (прикладной) математики.
  
 Предварительные требования:  Math 51 и
либо Math 52, либо Math 53. Мы ожидаем, что все учащиеся будут знакомы с
следующие понятия: 
 векторные операции: скалярное произведение, кросс-произведение
 матричных операций: матрица-матрица и матрица-вектор
умножения
 частные производные и цепное правило векторного исчисления
 определение собственного значения и собственного вектора
 Детерминанты 3 на 3
 Никаких знаний в области компьютерного программирования не требуется.
  
 Учебная программа: 
 Матрицы, векторы и их произведения (обзор)
 Матрицы как линейные преобразования
 Ранг матрицы, линейная независимость
 и четыре фундаментальных подпространства матрицы
 Ортогональность и изометрии
 QR-разложение
 Собственные значения и спектральное разложение симметричных
 матрицы
 Разложение по сингулярным числам и его
 Приложения
 Кондиционирование матрицы
 Задачи наименьших квадратов
 Алгоритмы решения систем линейных
 уравнения и задачи наименьших квадратов
 Итерационные методы решения линейных систем:
 метод сопряженных градиентов
 Приложения: многомерная линейная регрессия и принципал
компонентный анализ
  
 Учебники:  
 Матричный анализ для ученых и инженеров.
Алан Лауб, SIAM Publisher 2005  (обязательно) 
 Матрица
Анализ и прикладная линейная алгебра Карла Мейера,
SIAM Publisher 2000  (необязательно) 
  Раздаточный материал:  Все раздаточные материалы будут размещены в Интернете.
  Ассистент курса и рабочее время:  Все часы работы ассистента курса проводятся в корп. 380
 Хаоя Ли () П 16--17. и П 16-17, ком. 380J
 Мэтт Ларсон
 () Т 18.00 - 20.00, каб. 380Н
 Хуай Фам () Вт 15: 15--16: 15 и П с 12 до 13, к. 381К
 Гуаньян Ван
 () П 13-13, ком. 380р.
  SUMO репетиторство:  Репетиторство для 104 происходит на MW 6-10 р.м. в 380--381T в течение 2-й недели по
 неделя 10.
  Оценка:  
 Домашние задания: 50%
 Домашние задания обычно распределяются по
 По четвергам и в классе следующие
 Четверг.
 Поздние домашние работы НЕ принимаются на оценку
 (за исключением случаев неотложной медицинской помощи).
 Будет около 7 заданий; самый низкий балл
 будет исключен из итоговой оценки.
 Рекомендуется обсуждать наборы задач с
 другие, но каждый должен сдать уникальный личный
 записать.
 
 Заключительный экзамен: 50%.
 В соответствии с расписанием вуза конец квартала
осмотр назначен на  10 декабря, 15: 30-18: 30, к.
TBD. 
 У нас будет открытый экзамен с открытыми заметками.
  Политика курса:  
 Использование источников (люди, книги, Интернет и т. Д.)
 без ссылки на них в домашних заданиях приводит к провалу
 комплектация конечно.
  Стэнфордский математический факультет на площади (официальная линия):  
 «Стэнфордский математический факультет не использует Piazza или аналогичные платформы в своих курсах. Это решение основано на тщательном рассмотрении множества вопросов. Мы настоятельно рекомендуем студентам работать вместе и помогать друг другу, а также с ТА и преподавателями. Но мы полагаем, что (несмотря на соответствие FERPA) Piazza недостаточно защищает конфиденциальность учащихся, и есть другие потенциально неблагоприятные последствия, которые вызывают у нас дополнительную озабоченность."
 Numpy, Matplotlib и Scipy Tutorial: Матричная арифметика в NumPy 
 Предыдущая глава: Логическое маскирование массивов 
 Следующая глава: Чтение и запись ndarrays 
 Матричная арифметика под NumPy и Python 
 В предыдущей главе нашего введения в NumPy мы продемонстрировали, как создавать
и измените массивы. В этой главе мы хотим показать, как мы можем работать на Python с
в модуле NumPy вся основная матричная арифметика, например
 Добавление матрицы
 Вычитание матрицы
 Умножение матриц
 Скалярное произведение
 Перекрестное произведение
 и множество других операций с матрицами
 Стандартные арифметические операторы
 применяются к элементам, это означает, что массивы должны иметь одинаковый размер.>>> x = np.array ([1,5,2])
>>> y = np.array ([7,4,1])
>>> х + у
массив ([8, 9, 3])
>>> х * у
массив ([7, 20, 2])
>>> х - у
массив ([- 6, 1, 1])
>>> х / у
массив ([0, 1, 2])
>>> x% y
массив ([1, 1, 0])
 
 Сложение и вычитание векторов  Многие люди знают сложение и вычитание векторов из физики, а точнее из
параллелограмм сил. Это метод решения (или визуализации) результатов
приложение двух сил к объекту. Сложение двух векторов, в нашем примере (см. Рисунок) x и y, может быть представлено
графически, поместив начало стрелки y на кончик стрелки x, а затем
рисуя стрелку от начала (хвоста) x до кончика (головы) y.
Новая нарисованная стрелка представляет вектор x + y
>>> x = np.array ([3,2])
>>> y = np.array ([5,1])
>>> г = х + у
>>> г
массив ([8, 3])
>>>
 Вычитание вектора - то же самое, что добавление его отрицательного.Итак, разность векторов x и y
равно сумме x и -y: 
 х - у = х + (-у) 
 Вычитание двух векторов можно геометрически определить следующим образом: чтобы вычесть y из x,
мы помещаем конечные точки x и y в одну и ту же точку, а затем рисуем стрелку с кончика
от y до вершины x. Эта стрелка представляет вектор x - y, см. Рисунок справа. Математически мы вычитаем соответствующие компоненты вектора y из вектора x.
 Скалярное произведение / точечное произведение  В математике скалярное произведение - это алгебраическая операция, которая берет два координатных вектора
равного размера и возвращает одно число.Результат рассчитывается путем умножения соответствующих
записи и суммирование этих продуктов.
Название «скалярное произведение» происходит от того факта, что точка «·» по центру часто используется для обозначения
эта операция. Название «скалярное произведение» указывает на скалярную природу результата.
 результата. Определение скалярного произведения:
 Из определения скалярного произведения видно, что его можно использовать для вычисления косинуса.
угла между двумя векторами.
 Расчет скалярного произведения:
 Наконец, мы хотим продемонстрировать, как вычислить скалярное произведение в Python:
>>> х = нп.массив ([1,2,3])
>>> y = np.array ([- 7,8,9])
>>> np.dot (x, y)
36
>>> точка = np.dot (x, y)
>>> x_modulus = np.sqrt ((x * x) .sum ())
>>> y_modulus = np.sqrt ((y * y) .sum ())
>>> cos_angle = dot / x_modulus / y_modulus # косинус угла между x и y
>>> угол = np.arccos (cos_angle)
>>> угол
0,80823378

	СТАТ 414	СТАТ 501	СТАТУС 504	СТАТУС 505
M.1 - Определения матриц	Обязательно	Обязательно	Обязательно	Обязательно
M.2 - Матричная арифметика	Обязательно	Обязательно	Обязательно	Обязательно
М.3 - Свойства матрицы	Обязательно	Обязательно	Обязательно	Обязательно
M.4 - инверсная матрица	Обязательно	Обязательно	Обязательно	Обязательно
M.5 - Расширенные темы	Рекомендуется	Рекомендуется	Рекомендуется	5.1, 5.4, обязательно 5.2, 5.3, рекомендуется

2499 >>> angle * 360/2 / np.pi # угол в градусах 46.308384970187326 >>> Класс матрицы Матричные объекты являются подклассом массивы numpy (ndarray).Объекты матрицы наследуют все атрибуты и методы ndarry. Другое отличие состоит в том, что матрицы numpy строго двумерны, а массивы numpy могут быть любой размерности, т.е. они n-мерны. Наиболее важным преимуществом матриц является то, что они предоставляют удобные обозначения для матрицы умножение. Если X и Y две матрицы, то X * Y определяет умножение матриц. В то время как на с другой стороны, если X и Y являются ndarrays, X * Y определяет элемент путем умножения элементов. >>> x = np.array (((2,3), (3, 5))) >>> y = np.array (((1,2), (5, -1))) >>> х * у массив ([[2, 6], [15, -5]]) >>> x = np.matrix (((2,3), (3, 5))) >>> y = np.matrix (((1,2), (5, -1))) >>> х * у матрица ([[17, 1], [28, 1]]) Матричный продукт Матричное произведение двух матриц можно вычислить, если количество столбцов левой матрица равна количеству строк второй или правой матрицы. Произведение (l x m) -матрицы A = (a _ij) _{i = 1 ... l, j = 1..m} и an (m x n) -матрица B = (b _ij) _{i = 1 ... m, j = 1..n} - матрица C = (c _ij) _{i = 1 ... l, j = 1..n}, который рассчитывается следующим образом: Следующий рисунок дополнительно иллюстрирует это: Если мы хотим выполнить матричное умножение с двумя массивами numpy (ndarray), мы должны использовать скалярное произведение: >>> х = нп.массив (((2,3), (3, 5))) >>> y = np.matrix (((1,2), (5, -1))) >>> np.dot (x, y) матрица ([[17, 1], [28, 1]]) В качестве альтернативы мы можем преобразовать их в матричные объекты и использовать оператор «*»:>>> np.mat (x) * np.mat (y) матрица ([[17, 1], [28, 1]]) Простое практическое приложение для умножения матриц В следующем практическом примере мы поговорим о приятных вещах жизни. Предположим, есть четыре человека, и мы называем их Лукас, Миа, Леон и Ханна.Каждый из они купили шоколад из трех на выбор. Бренд - A, B и C, не очень рыночный, мы должны признать. Лукас купил 100 г бренда A, 175 г бренда B и 210 г C. Миа выбирает 90 г A, 160 г B и 150 г C. Леон купил 200 г A, 50 г B и 100 г C. Ханна явно не любила марку B, потому что она не покупала ни одного из них. Но она Кажется, она настоящая фанатка марки С, потому что купила их 310 г. Кроме того, она купил 120 г А. Итак, какова цена этих шоколадных конфет в евро: А стоит 2.98 за 100 г, B стоит 3,90 и C только 1,99 евро. Если нам нужно подсчитать, сколько каждый из них должен был заплатить, мы можем использовать Python, NumPy и Matrix. умножение: >>> NumPersons = np.array ([[100,175,210], [90,160,150], [200,50,100], [120,0,310]]) >>> Price_per_100_g = np.array ([2.98,3.90,1.99]) >>> Price_in_Cent = np.dot (NumPersons, Price_per_100_g) >>> Price_in_ Euro = Price_in_Cent / np.array ([100,100,100,100]) >>> Price_in_Euro массив ([13.984, 11,907, 9,9, 9,745]) >>> Это означает, что Лукас заплатил 13,98 евро, Миа 11,97 евро, Леон 9,90 и Ханна 9,75. Перекрестное произведение Давайте перестанем есть вкусные шоколадные конфеты и вернемся к более математическим и менее важным калорийная тема, т.е. кросс-продукт. Перекрестное произведение или векторное произведение - это бинарная операция над двумя векторами в трехмерном пространстве. пространство. В результате получается вектор, перпендикулярный перемножаемым векторам и перпендикулярно плоскости, в которой они находятся. Перекрестное произведение двух векторов a и b обозначается как a × b. Это определяется как: где n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащей a и b, в направлении задается правилом правой руки. Если один из умножаемых векторов равен нулю или векторы параллельны, то их перекрестное произведение равно нулю. В более общем смысле величина продукта равна площади параллелограмм с векторами в качестве сторон. Если векторы перпендикулярны параллелограмму представляет собой прямоугольник, а величина произведения - произведение их длины. >>> x = np.array ([0,0,1]) >>> y = np.array ([0,1,0]) >>> np.cross (x, y) массив ([- 1, 0, 0]) >>> np.cross (y, x) массив ([1, 0, 0]) Предыдущая глава: Логическое маскирование массивов Следующая глава: Чтение и запись ndarrays Суставной хрящ: конструкция ткани и взаимодействия хондроцитов с матрицей Уникальные биологические и механические свойства суставного хряща зависят от конструкции ткани и взаимодействия между хондроцитами и матрицей, поддерживающей ткань.Хондроциты образуют макромолекулярный каркас тканевого матрикса из трех классов молекул: коллагенов, протеогликанов и неколлагеновых белков. Коллагены типа II, IX и XI образуют фибриллярную сеть, которая придает ткани форму, жесткость при растяжении и прочность. Коллаген типа VI образует часть матрикса, непосредственно окружающего хондроциты, и может помочь хондроцитам прикрепиться к макромолекулярному каркасу матрикса. Крупные аггрегационные протеогликаны (аггреки) придают ткани жесткость при сжатии и ее упругость, а также способствуют ее прочности.Небольшие протеогликаны, включая декорин, бигликан и фибромодулин, связываются с другими макромолекулами матрикса и тем самым помогают стабилизировать матрикс. Они также могут влиять на функцию хондроцитов и связывать факторы роста. Анхорин CII, неколлагеновый белок, по-видимому, помогает закрепить хондроциты в матриксе. Олигомерный белок хряща может иметь значение как маркер обновления и дегенерации хряща, а другие неколлагеновые белки, включая тенасцин и фибронектин, могут влиять на взаимодействия между хондроцитами и матриксом.Матрикс защищает клетки от повреждений при нормальном использовании сустава, определяет типы и концентрации молекул, которые достигают телл, и помогает поддерживать фенотип хондроцитов. На протяжении всей жизни ткань подвергается постоянному внутреннему ремоделированию, поскольку клетки заменяют макромолекулы матрикса, утраченные в результате деградации. Имеющиеся данные указывают на то, что нормальный оборот матрикса зависит от способности хондроцитов обнаруживать изменения в макромолекулярном составе и организации матрикса, включая присутствие деградированных молекул, и реагировать путем синтеза соответствующих типов и количеств новых молекул.Кроме того, матрица действует как преобразователь сигнала для клеток. Нагрузка на ткань из-за использования сустава создает механические, электрические и физико-химические сигналы, которые помогают управлять синтетической и разрушающей активностью хондроцитов. Длительное резкое сокращение использования сустава приводит к изменениям в составе матрикса и, в конечном итоге, к потере структуры ткани и механических свойств, тогда как использование сустава стимулирует синтетическую активность хондроцитов и, возможно, внутреннее ремоделирование ткани.

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

Лекция 1. “Матрицы и основные действия над ними. Определители”

АЕ = ЕА = А

А(В + С) = АВ + АС

Высшая математика 1 курс

Линейная алгебра

Готовые работы на аналогичную тему

Элементы векторной алгебры

Аналитическая геометрия

Линии второго порядка

I курс, I семестр Линейная алгебра

Теоретический курс

1.Матрицы. Виды матриц.

2.Действия над матрицами.

От действий над матрицами к пониманию их сути… / Хабр

Лекция по математике. Раздел 1. Линейная алгебра. Тема: Матрицы и определители.Занятие №1. | План-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме:

Матрицы и массивы | Физико-математический лицей №30

Программа курса

Занятие 1. Введение в матрицы

Занятие 2. Решение систем линейных уравнений 3х3 методом Крамера

Занятие 3. Операции над матрицами

Занятие 4. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы

Занятие 5. Расчет матриц в Excel

Введение в курс

Преподаватели

Осипова Екатерина Викторовна

6 Матричная алгебра: ускоренный курс

Векторные операции

Матричные операции

Решение линейных систем

Приложение: Матрицы в R

| STAT ONLINE

Обзорные материалы

Процедура самооценки

матричных пространств | Матричные пространства; 1 ранг; Графики малого мира | Блок I: Ax = b и четыре подпространства | Линейная алгебра | Математика

Лекция 1: Пространство столбцов A содержит все векторы Ax | Видео-лекции | Матричные методы в анализе данных, обработке сигналов и машинном обучении | Математика

Математика 104: Прикладная теория матриц

Numpy, Matplotlib и Scipy Tutorial: Матричная арифметика в NumPy

Матричная арифметика под NumPy и Python

Сложение и вычитание векторов

Скалярное произведение / точечное произведение

Класс матрицы

Матричный продукт

Простое практическое приложение для умножения матриц

Перекрестное произведение

Суставной хрящ: конструкция ткани и взаимодействия хондроцитов с матрицей

Оставить комментарий Отменить ответ

`Оставить комментарий Отменить ответ`