Теоретическая механика (Голубева О.В.)
Теоретическая механика (Голубева О.В.)
ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕВВЕДЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА § 2. Вектор-функция Часть I. КИНЕМАТИКА § 1. Предмет теоретической механики и ее основные понятия § 2. Уравнение движения точки и ее траектория § 3. Скорость точки § 4.  Ускорение точки§ 5. Проекции ускорения на естественные оси § 6. Частные случаи движепия точки. Физический смысл тангенциального и нормального ускорения точки § 7. Уравнения движения точки в криволинейных координатах. Проекция скорости и ускорения на осн криволинейных координат § 1. Механические системы и классификация связей § 2. Ограничения на скорость и ускорение, налагаемые геометрическими связями § 3. Число степеней свободы системы. Обобщенные координаты уравнения движения системы, обобщенные скорости ГЛАВА 3. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ИЛИ НЕИЗМЕНЯЕМОЙ СРЕДЫ § 1. Уравнения движения абсолютно твердого тела § 2. Поступательное движение твердого тела § 3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси § 4. Вращение тела около неподвижной точки. Теорема Даламбера § 5. Общий случай движения свободного твердого тела. Теорема Шаля Б. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА § 2.  Сложение скоростей§ 3. Сложение ускорений ГЛАВА 5. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 2. Сложение вращений § 3. Плоскопараллельное движение твердого тела § 4. Кривошипно-шатупный механизм Часть II. КИНЕТИКА § 1. Вектор силы § 2. Тяжелая масса тел § 3. Закон инерции. Инерциальные системы координат § 1. Основной закон механики (второй закон Ньютона). Инертная масса. Принцип независимости действия сил § 5. Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона) Б. ДИНАМИКА ТОЧКИ § 2. Характеристика сил § 3. Дифференциальные уравнения движения § 4. Определение уравнения движения точки по заданной силе § 5. Определение силы по заданному уравнению движения § 6. Интегрирование дифференциальных уравнений движения точки в случае сил частного вида ГЛАВА 8. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ § 1. Уравнение движелия материальной точки в неинерциальной системе координат § 2.  Координатные системы, связанные с Землей§ 3. Отклонение падающих тел от вертикали ГЛАВА 9. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ СИЛЫ § 2. Уравнения движения точки, находящейся под действием центральной силы § 3. Закон всемирного тяготения § 4. Задача двух тел § 5. Движение электрона в поле ионизированного атома (центральная отталкивающая сила) Б. СТАТИКА ГЛАВА 10. СТАТИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ § 2. Активные силы и силы реакции связей § 3. Система сходящихся сил § 4. Система параллельных сил § 5. Центр тяжести и центр масс § 6. Момент силы относительно точки и относительно оси § 7. Свойства пары сил § 8. Приведение произвольной системы сил § 9. Равновесие произвольной системы сил, действующих на твердое тело Г. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ГЛАВА 11. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ И ИХ ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 2.  Принцип Даламбера. Основные уравнения диижения системы§ 3. Теорема о количестве движения системы § 4. Теорема импульсов § 5. Теорема о количестве движения центра инерции системы и примеры ее применения § 6. Теорема о кинетическом моменте ГЛАВА 12. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ В НЕИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ § 1. Теорема о количестве движения в неинерциальной системе координат § 3. Законы сохранения § 4. Уравнения движения в расчетной системе координат Д. КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ ГЛАВА 13. РАБОТА СИЛЫ. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ПОЛЕ § 2. Силовое поле и его частный случай — потенциальное поле § 3. Работа внутренних сил, действующих в системе ГЛАВА 14. ТЕОРЕМА О КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ § 1. Теорема о кинетической энергии и закон сохранения механической энергии точки § 2. Теорема о кинетической энергии системы § 3. Формула Кенига § 4.  Е. ДИНАМИКА АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА § 1. Кинетический момент твердого тела в частных случаях его движения § 2. Вычисление моментов инерции относительно параллельных осей § 3. Эдлипсоид инерции ГЛАВА 16. ДИНАМИКА ПРОСТЕЙШИХ ВИДОВ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси § 3. Физический и математический маятники ГЛАВА 17. ДИНАМИКА ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА § 1. Кинематические уравнения Эйлера Углы Эйлера § 2. Динамические уравнения Эйлера § 3. Постановка задачи о движении твердого тела вокруг неподвижной точки § 5. Приближенная теория гироскопа § 6. Общий случай движения твердого тела Ж. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ К НЕКОТОРЫМ СПЕЦИАЛЬНЫМ ВОПРОСАМ МЕХАНИКИ ГЛАВА 18. ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ МАССЫ § 2. Примеры применения уравнения Мещерского. Задачи Циолковского ГЛАВА 19.  УДАР§ 1. Основное уравнение теории удара § 2. Гипотеза Ньютона § 3. Абсолютно упругий удар точки о сферу § 4. Прямое центральное соударение двух тел З. ДИНАМИКА СВЯЗНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ (АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА) ГЛАВА 20. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ СВЯЗНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ § 3. Идеальные связи (основной постулат аналитической механики) § 4. Уравнения Лагранжа первого рода ГЛАВА 21. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА § 2. Уравнения Лагранжа второго рода § 3. Уравнения Лагранжа второго рода, как уравнения движения точки в 3n-мерном пространстве § 4. Уравнения Лагранжа второто рода для частных случаев сил, действующих на систему § 5. Первые интегралы уравнений движения ГЛАВА 22. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА § 2. Канонические уравнения Гамильтона 3. Первые интегралы канонических уравнений § 4. Скобки Пуассона § 5. Метод Рауса ГЛАВА 23. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ  Принцип Лагранжа — Даламбера и принцип виртуальных перемещений Лагранжа§ 3. Вариационный интегральный принцип Гамильтона — Остроградского И. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ГЛАВА 24. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ § 2. Свободные колебания точки при наличии сопротивления среды § 3. Вынужденные колебания точки § 4. Резонанс ГЛАВА 25. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ § 2. Устойчивое равновесие консервативной системы § 3. Уравнения малых колебаний механических систем § 4. Малые колебания системы с одной степенью свободы § 2. Собственные колебания системы § 3. Главные координаты § 4. Вынужденные колебания системы с двумя степенями свободы § 5. Двойной математический маятник Часть III. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИИ ТОЧЕК СО СКОРОСТЯМИ, БЛИЗКИМИ К СКОРОСТИ СВЕТА (ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ) ГЛАВА 27.  ВВЕДЕНИЕ В СПЕЦИАЛЬНУЮ ТЕОРИЮ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ§ 2. Элементарные сведения об ортогональных преобразованиях ГЛАВА 28. СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ ПРИ СКОРОСТЯХ ТОЧЕК, СРАВНИМЫХ СО СКОРОСТЬЮ СВЕТА (ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЬЮТОНА В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ) § 1. Порвый закон Ньютона и свойства пространства и времени ньютонианской маханики § 2. Преобразования Лоренца § 3. Свойства пространства и времени при относительном движении координатных систем, сравнимых со скоростью света § 4. Преобразование скорости и ускорения (теорема сложения скоростей Эйнштейна) ГЛАВА 29. ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 2. Второй закон Ньютона в специальной теории относительности § 3. Уравнение энергии в специальной теории относительности § 4. Закон взаимной связи массы и энергии ГЛАВА 30. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ § 2. Уравнения движения механических систем ГЛАВА 31. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ.  РЕЛЯТИВИСТСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СВЯЗНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ§ 1. Релятивистские уравнения движения точки в криволинейных координатах § 2. Релятивистские уравнения движения связных механических систем |
II закон Ньютона | Презентация к уроку по физике (9 класс) по теме:
“Второй закон Ньютона”
Дидактическая цель: Создать условия для включения опыта учащихся в процесс усвоения знаний по установлению зависимости между ускорением и равнодействующей сил, действующих на данное тело согласно логике познания, выраженной в принципе цикличности.
Тип урока: усвоения новых знаний.
Цели по содержанию урока:
Образовательная – сформировать представления об основном законе “Динамики”, помочь учащимся осмыслить практическую значимость, полезность приобретаемых знаний и умений.
Развивающая – создать условия для развития исследовательских и творческих навыков; установить причинно-следственные связи между ускорением и
а) равнодействующей сил
б) массой тела в ходе практической работы.
Воспитательная – способствовать пониманию развития, познания мира, взаимосвязи процессов, понятий и явлений через описание реальных ситуаций; способствовать формированию культуры межличностного общения на примере умения слушать друг друга, высказывать свою точку зрения.
Форма организации познавательной деятельности: фронтальная, парная, групповая, индивидуальная.
Средства обучения: интерактивное оборудование, компьютерная презентация, карточки с заданиями.
Методы: репродуктивный, частично-поисковый.
Педагогическая технология: проблемного обучения.
Мотивация и целеполагание.
Эпиграфы к уроку: Слайд 1
“Сделал, что мог, пусть другие сделают лучше”.
“Не знаю, чем я могу казаться миру, но самому себе я кажусь мальчиком, играющим у моря, которому удалось найти более красивый камешек, чем другие: но океан неизвестного лежит передо мной”. (И. Ньютон)
Учитель: Как вы думаете, каков смысл данных слов, что хотел ими сказать учёный?
Ученики: Выдвигают свои мысли.
Вывод: По мнению Ньютона, законы были открыты “играючи”. Просто необходимо было более внимательно отнестись к окружающему миру, полному неизведанного. Нужно уметь не только смотреть, но и видеть, замечать.
Тема сегодняшнего урока: «Второй закон Ньютона» Слайд 2
На прошлом уроке мы познакомились с первым законом Ньютона, разобрались с понятиями инерция и инерциальные системы отсчета. Сейчас вам предстоит ответить на вопросы блиц-опроса по домашнему заданию.
Слайд 3
Изучая равноускоренное движение тел, мы отвечали на вопрос “как”? Мы описывали это движение с помощью формул, графиков. Но мы с вами не задавались вопросом “почему”? Почему так, а не иначе движется тело, т.е. что является причиной возникновения ускорения. Слайд 4
1. На экране две легкоподвижные тележки. На одной из них закреплена упругая пластина. Пластина изогнута и связана нитью. Тележка находится в состоянии покоя относительно стола. Начнет ли тележка двигаться, если пластина выпрямится?
Как вы думаете, все ли предложенные вами варианты поведения тележки реальны? Почему?
Из курса физики 7 класса вам известно, что тело меняет скорость, если на него действуют другие тела с некоторой силой.
Слайд 5
Учитель проводит эксперимент, пережигая нить, удерживающую упругую пластину. Делается вывод о том, что если нет взаимодействия – нет и изменения скорости тела.
Слайд 6
2. Если со стороны изогнутой пластины поставить вторую такую же тележку и пережечь нить. Что может произойти? Дети озвучивают свои предположения. Учитель «запускает» виртуальный эксперимент по предположению детей
Слайд 7
Во втором эксперименте мы наблюдали, что оба тела действовали друг на друга – они взаимодействовали и результатом этого взаимодействия стало изменение скорости тел (сообщение телам ускорений).
Слайд 8
Количественную меру действия тел друг на друга, в результате которого тела получают ускорения (т.е. изменяют свою скорость), называют силой.
Сила определяется: модулем, направлением, точкой приложения.
В реальных условиях на тело действует не одна сила, а несколько. Ускорение телу сообщает равнодействующая этих сил, которая равна их геометрической сумме.
Ускорение, которое сообщает равнодействующая сил, всегда направлено в сторону действия результирующей (равнодействующей) силы.
Слайд 9
Небольшой видеоролик (Приложение 1) о движении тела под действием равнодействующей сил.
Слайд 10
На слайде несколько иллюстраций, на которых показаны направления и точки приложения сил, действующих на тела. Из курса физики 7 класса учащиеся уже знакомы с этими силами.
Возникает закономерный вопрос: «А связаны ли каким-либо образом ускорение тела с действующей на него силой?»
Ученики: – от силы, действующей на тело
от массы тела
от рода поверхности и т.д.
Слайд 11
Цель урока: Установить зависимость ускорения от других известных нам физических величин.
Проведём экспериментальное исследование. (Или Слайд 12)
Проверим справедливость этих соотношений Слайд 13
Слайд 14
Учитель: Мы получили, что ускорение прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно пропорционально массе тела?
a = F/m
Скажите, ребята, в этой формуле, формулировке ничто вас не смущает? А одна ли сила действует на тело? На тело, как правило, в природе действует несколько сил.
Учитель: Значит зависимость, которую мы установили верна, только в формуле a=F/m будем понимать под F равнодействующую всех сил: Слайд 15 Это дало И. Ньютону основание в 1687 г. утверждать, что ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе. Это ещё один закон “Динамики”. Законы “Динамики” составили фундамент классической механики, и были сформулированы Ньютоном в книге “Математические начала натуральной философии” (портрет Ньютона на доску)
Учитель: Вспомним цель урока, достигли ли мы её?
Слайд 16 какие величины мы можем выразить из 2 закона Ньютона?
Слайд 17 Каковы границы применимости 2-го закона Ньютона?
макроскопическое тело;
модель – материальная точка;
инерциальная система отсчёта.
Поэтому 1-й закон Ньютона определяет область применения 2-го закона. Слайд 18
Причина ускорения – сила. Отсюда следует, что векторы ускорения и силы всегда сонаправлены. Слайд 19
Учитель: А как направлены векторы силы и скорости?
Для закрепления нового материала заполните пропуски Слайд 20
Слайд 21 Тест Выполнение теста достижений
Уч-ль: Поменялись тетрадями в паре, проверяем.
Кто не сделал ни одной ошибки? (ответы теста на доске)
5. Домашнее задание
Параграф 11 учебника
7. Рефлексия
Мы с вами прошли за 1 урок длинный путь познания человечества.
Что было изучено на уроке? Какая была основная цель? Достигли ли мы её? На все ли вопросы мы получили ответы?
И.Ньютон был признан при жизни, его авторитет был непререкаем. Однако это было не всегда так.
Биографы Ньютона рассказывают, что первое время в школе он учился очень посредственно. И вот однажды его обидел лучший ученик в классе. Ньютон решил, что самая страшная месть для обидчика – отнять у него место первого ученика. Дремавшие в Ньютоне способности проснулись, и он с лёгкостью затмил своего соперника. Разбуженного джина познания нельзя снова спрятать в тёмную заплесневелую бутылку. С того счастливого для науки эпизода начался процесс превращения скромного английского школьника в великого учёного.
{net}_A}{m_A}$$ Помимо того, что это способ количественного расчета движения, существует большой набор качественных концептуальных идей, упакованных в интерпретацию и придание смысла тому, что говорит нам это уравнение.
Каждый символ в уравнении напоминает нам о какой-то важной концептуальной идее. Давайте разберемся во 2-м законе Ньютона — «увидеть собаку в уравнении» — распаковав то, что вам нужно знать, чтобы понять эту простую взаимосвязь.
- а — В левой части уравнения находится ускорение. Чтобы понять это, мы должны понять весь набор указаний положения объекта (координаты) и того, как это положение изменяется (производные, скорость, ускорение). Это означает (для движения в одном измерении) нам нужны определения
$$v=\frac{dx}{dt}\;\;\;\;\;a=\frac{dv}{dt}$$
Важно отметить, что ускорение написано на осталось . Мы делаем это, чтобы напомнить себе, что именно силы вызывают ускорение, а не наоборот. Конечно, если мы знаем ускорение и массу, мы можем найти результирующую силу.
2. A — Каждая из переменных имеет индекс, обозначающий, о каком объекте идет речь. Это напоминает нам о том, что фундаментальное предположение ньютоновской теории заключается в том, что мы лучше всего понимаем, что происходит, рассматривая отдельные объекты и выясняя, какие влияния на них действуют (объектный эгоизм).
Каждый рассматриваемый нами объект будет иметь свое собственное уравнение Ньютона 2. Нижний индекс A on F net напоминает нам, что именно силы, которые ощущает объект, управляют его движением. (Силы, которые он оказывает, влияют на движение объектов, на которые он воздействует.)
3. F — Чтобы интерпретировать это, нам нужно понять, что именно взаимодействия с другими объектами вызывают объект, который мы рассматривают возможность изменить свое движение (ускорить). И нам нужно понять, как эта сила измеряется операциональным определением. 9{net}_A = \overrightarrow{F}_{B\стрелка вправо A}+ \overrightarrow{F}_{C\стрелка вправо A} + \overrightarrow{F}_{D\стрелка вправо A} + … = \sum_j \overrightarrow{F}_{j\rightarrow A}$$
нижние индексы у отдельных сил напоминают нам, что каждая сила вызывается другим объектом. Далее, силы, которые мы хотим включить, — это все силы, действующие на рассматриваемый объект другими объектами.
5. m — Разделив результирующую силу на m (индекс A), мы напомним, что результирующая сила, действующая на объект, распределяется между частями объекта. Более крупный объект будет иметь меньшую реакцию (ускорение) на ту же силу.
6. → –Маленькие стрелки над ускорением и результирующей силой напоминают нам, что второй закон Ньютона — это векторное уравнение. Это означает, что для каждого перпендикулярного направления существует свой собственный закон Ньютона — $x$, $y$ и $z$. Кроме того, это чистая сила в направлении $x$, которая влияет на движение в направлении $x$, чистая сила в направлении $y$, которая влияет на движение в направлении $y$ и т. д.
$ $a_x=\frac{F_x}{m}\;\;\;\;\;a_y=\frac{F_y}{m}\;\;\;\;\;a_z=\frac{F_z}{m }$$
Это много, чтобы уместить в одно маленькое уравнение с чем-то вроде 3 символов (оказывается 6). Но каждая из этих идей является важной частью понимания этого важного принципа.
Когда выполняется это уравнение? Все законы Ньютона обладают необычайной силой: они справедливы для любого объекта, внутреннюю структуру которого можно игнорировать.
Если нельзя игнорировать внутреннюю структуру объекта, то эти принципы справедливы и для его внутренних частей (поскольку их структуру можно игнорировать). Если у объекта есть части, и эти части движутся и взаимодействуют, центр масс всего объекта по-прежнему удовлетворяет законам Ньютона. Для молекулярных движений вы часто можете игнорировать атомы и просто смотреть на молекулы. Тогда для них выполняются законы Ньютона. Если вы не можете игнорировать молекулярную структуру, то вы должны обращаться с атомами как с объектами, которые необходимо учитывать. Если они не изменят структуру своих связей (а не только ориентацию связей), с ними все еще можно обращаться по законам Ньютона. Кроме того, вам нужна квантовая механика — и даже она не нарушает некоторых результатов, следующих из законов Ньютона: например, сохранения импульса. Законы Ньютона также необходимо модифицировать, когда объекты начинают двигаться со скоростью, значительно меньшей скорости света (3 x 10 8 м/с). Но в биологических ситуациях второму закону Ньютона практически всегда можно доверять.
Джо Редиш 20.09.11
4.3 Второй закон движения Ньютона: концепция системы
Цели обученияЕдиницы силыВес и гравитационная сила
Цели обучения
К концу этого раздела вы сможете делать следующее:
- Определение чистой силы, внешней силы и системы
- Поймите второй закон движения Ньютона
- Применить второй закон Ньютона для определения веса объекта
Второй закон движения Ньютона тесно связан с первым законом движения Ньютона. Он математически устанавливает причинно-следственную связь между силой и изменениями в движении. Второй закон Ньютона носит более количественный характер и широко используется для расчета того, что происходит в ситуациях, связанных с силой. Прежде чем мы сможем записать второй закон Ньютона в виде простого уравнения, определяющего точное соотношение между силой, массой и ускорением, нам нужно уточнить некоторые уже упомянутые идеи.
Во-первых, что мы подразумеваем под изменением движения? Ответ заключается в том, что изменение движения эквивалентно изменению скорости. Изменение скорости означает, по определению, что есть ускорение. Первый закон Ньютона гласит, что результирующая внешняя сила вызывает изменение движения; таким образом, мы видим, что суммарная внешняя сила вызывает ускорение .
Сразу возникает другой вопрос. Что мы понимаем под внешней силой? Интуитивное представление о внешнем верно — внешняя сила действует извне интересующей системы. Например, на рис. 4.5(а) интересующей нас системой является повозка плюс ребенок в ней. Две силы, действующие со стороны других детей, являются внешними силами. Между элементами системы действует внутренняя сила. Снова взглянув на рис. 4.5(а), сила, которую ребенок в тележке прилагает, чтобы повиснуть на тележке, является внутренней силой между элементами интересующей системы. Только внешние силы влияют на движение системы в соответствии с первым законом Ньютона.
Внутренние силы на самом деле сокращаются, как мы увидим в следующем разделе. Вы должны определить границы системы, прежде чем сможете определить, какие силы являются внешними . Иногда система очевидна, тогда как в других случаях определение границ системы является более тонким. Понятие системы является фундаментальным для многих областей физики, как и правильное применение законов Ньютона. К этой концепции мы будем возвращаться много раз в нашем путешествии по физике.
Когда мы описываем ускорение системы, мы моделируем систему как единую точку, которая содержит всю массу этой системы. Точка, которую мы для этого выбираем, есть точка, вокруг которой равномерно распределена масса системы. Например, в твердом объекте этот центр масс является точкой, в которой объект будет оставаться сбалансированным, даже если он поддерживается только в этой точке. Для сферы или диска из однородного материала эта точка, конечно, находится в центре. Точно так же для стержня из однородного материала центр масс будет находиться в средней точке.
Для всадника в повозке на рис. 4.5 центр масс, вероятно, находится между бедрами всадника. Из-за внутренних сил рука или волосы всадника могут ускоряться несколько иначе, но нас интересует именно ускорение центра масс системы. Это верно независимо от того, является ли система транспортным средством, перевозящим пассажиров, чашей винограда или планетой. Когда мы рисуем диаграмму системы со свободным телом, мы представляем центр масс системы в виде одной точки и используем векторы для обозначения сил, действующих на этот центр масс (см. рис. 4.5).
Рис. 4.5 Различные силы, действующие на одну и ту же массу, вызывают различные ускорения. а) Двое детей толкают тележку с ребенком. Показаны стрелки, представляющие все внешние силы. Система интереса — это повозка и ее всадник. Вес ww размер 12{w} {} системы и опора наземного NN размера 12{N} {} также показаны для полноты и предполагаются сокращающимися. Вектор ff размером 12{f} {} представляет трение, действующее на вагон, причем он действует слева, противодействуя движению вагона.
(b) Все внешние силы, действующие на систему, складываются вместе, чтобы создать результирующую силу FnetFnet size 12{F rSub { size 8{“net”} } } {}. Диаграмма свободного тела показывает все силы, действующие на интересующую систему. Точка представляет собой центр масс системы. Каждый вектор силы простирается от этой точки. Поскольку справа действуют две силы, мы рисуем векторы коллинеарно. (c) Большая результирующая внешняя сила создает большее ускорение (a′>aa′>a), когда взрослый толкает ребенка.
Теперь кажется разумным, что ускорение должно быть прямо пропорционально и направлено в том же направлении, что и чистая (полная) внешняя сила, действующая на систему. Это предположение было проверено экспериментально и показано на рис. 4.5. В части (а) меньшая сила вызывает меньшее ускорение, чем большая сила, показанная в части (в). Для полноты показаны также вертикальные силы; предполагается, что они компенсируются, поскольку ускорение в вертикальном направлении отсутствует. Вертикальные силы – это вес
ww размер 12 {ш} {}
и поддержка земли
размер NN 12{N} {},
а горизонтальная сила ff размером 12{f} {} представляет собой силу трения.
Они будут обсуждаться более подробно в следующих разделах. Сейчас мы определим трение как силу, противодействующую движению соприкасающихся объектов относительно друг друга. На рис. 4.5(b) показано, как векторы, представляющие внешние силы, складываются вместе, образуя результирующую силу.
FnetFnet размер 12{F rSub { размер 8{“net”} } } {}.
Чтобы получить уравнение для второго закона Ньютона, мы сначала запишем отношение ускорения и чистой внешней силы в виде пропорциональности
4.1 net”} } ,} {}
, где символ
∝∝
означает пропорциональную, а FnetFnet size 12{F rSub { size 8{“net”} } } {} представляет собой чистую внешнюю силу. Чистая внешняя сила представляет собой векторную сумму всех внешних сил и может быть определена графически, используя метод «голова к хвосту», или аналитически, используя компоненты. Методы такие же, как и для добавления других векторов, и описаны в разделе «Двумерная кинематика». Эта пропорциональность выражает то, что мы сказали словами — ускорение прямо пропорционально чистой внешней силе .
После выбора интересующей системы важно определить внешние силы и игнорировать внутренние. Не учитывать многочисленные внутренние силы, действующие между объектами внутри системы, такие как мышечные силы в теле ребенка, не говоря уже о бесчисленных силах между атомами в объектах, — это огромное упрощение, но, делая это, мы можем легко решить некоторые очень сложные проблемы с минимальной ошибкой из-за нашего упрощения.
Также кажется разумным, что ускорение должно быть обратно пропорционально массе системы. Другими словами, чем больше масса или инерция, тем меньше ускорение, создаваемое данной силой. И действительно, как показано на рис. 4.6, та же внешняя сила, приложенная к автомобилю, создает гораздо меньшее ускорение, чем при приложении к баскетбольному мячу. Пропорциональность записывается как
4.2 a∝1ma∝1m размер 12{a` prop ` {{1} over {m} } } {}
где mm размер 12{m} {} – масса системы. Эксперименты показали, что ускорение точно обратно пропорционально массе, так же как оно точно линейно пропорционально суммарной внешней силе.
Рис. 4.6. Одна и та же сила, действующая на системы с разной массой, создает разные ускорения. а) Баскетболист толкает мяч, чтобы сделать передачу. Влияние силы тяжести на мяч не учитывается. (b) Тот же игрок прикладывает такую же силу к заглохшему внедорожнику и производит гораздо меньшее ускорение, даже если трением можно пренебречь. (c) Диаграммы свободного тела идентичны, что позволяет проводить прямое сравнение двух ситуаций. Ряд паттернов для диаграммы свободного тела появится по мере того, как вы будете решать больше задач.
Обе эти пропорциональности неоднократно и последовательно проверялись экспериментально для широкого диапазона систем и масштабов. Так, было экспериментально установлено, что ускорение тела зависит только от чистой внешней силы и массы тела. Сочетание двух только что приведенных пропорций дает второй закон движения Ньютона.
Применение научной практики: проверка взаимосвязи между массой, ускорением и силой
Спланируйте три простых эксперимента с использованием предметов, которые есть у вас дома, чтобы проверить взаимосвязь между массой, ускорением и силой.
(a) Спланируйте эксперимент для проверки взаимосвязи между массой и ускорением. Что будет независимой переменной в вашем эксперименте? Что будет зависимой переменной? Какие меры контроля вы предпримете, чтобы обеспечить постоянство силы?
(b) Проведите аналогичный эксперимент, чтобы проверить взаимосвязь между массой и силой. Что будет независимой переменной в вашем эксперименте? Что будет зависимой переменной? Какие элементы управления вы установите, чтобы обеспечить постоянное ускорение?
(c) Проведите аналогичный эксперимент, чтобы проверить взаимосвязь между силой и ускорением. Что будет независимой переменной в вашем эксперименте? Что будет зависимой переменной? Не возникнет ли у вас проблем с обеспечением постоянства массы?
Чему ты научился?
Второй закон движения Ньютона
Ускорение системы прямо пропорционально внешней силе, действующей на систему, и направлено в том же направлении, что и обратно пропорционально ее массе.
В форме уравнения второй закон движения Ньютона равен
4.
3 a=Fnetm.a=Fnetm size 12{a= { {F rSub { size 8{“net”} } } over {m} } } {}.
Это часто записывается в более привычной форме
4.4 Fnet=ma.Fnet=ma size 12{F rSub { size 8{“net”} } =ma} {}.
Когда учитываются только величина силы и ускорения, это уравнение выглядит просто
4.5 Fnet=ma.Fnet=ma. size 12{F rSub { size 8{“net”} } = ital “ma”} {}
Хотя последние два уравнения на самом деле одинаковы, первое дает более полное представление о том, что означает второй закон Ньютона. Закон причинно-следственная связь между тремя величинами, которая не просто основана на их определениях. Справедливость второго закона полностью основана на экспериментальной проверке.
Применение научных методов: системы и диаграммы свободного тела
Во-первых, рассмотрим человека на санях, скользящих вниз по склону. Какова система в этой ситуации? Попробуйте нарисовать диаграмму свободного тела, описывающую эту систему, обозначив все силы и их направления.
Какие из сил являются внутренними? Какие внешние?
Далее, рассмотрим человека на санях, которого друг толкает по ровной поверхности. Какова система в этой ситуации? Попробуйте нарисовать диаграмму свободного тела, описывающую эту систему, обозначив все силы и их направления. Какие из сил являются внутренними? Какие внешние?
Обратите внимание, что нулевая результирующая сила равна , а не , как отсутствие внешних сил. На тело могут действовать две или более сил, но если векторная сумма этих сил равна нулю, то результирующая сила, действующая на тело, будет равна нулю. В этом случае, если объект изначально находился в покое, он останется в покое, даже если на него действует несколько сил. Если бы объект изначально двигался до того, как были приложены силы, величина и направление скорости объекта остались бы неизменными в результате действия сил.
Единицы силы
Fnet=maFnet=ma size 12{F rSub { size 8{“net”} } =ma} {} используется для определения единиц силы с точки зрения трех основных единиц массы, длины и времени.
2″} {}.
В то время как почти во всем мире в качестве единицы силы используется ньютон, в Соединенных Штатах наиболее распространенной единицей силы является фунт (фунт), где 1 Н = 0,225 фунта.
Вес и гравитационная сила
Когда объект падает, он ускоряется к центру Земли. Второй закон Ньютона гласит, что результирующая сила, действующая на объект, отвечает за его ускорение. Если сопротивлением воздуха можно пренебречь, результирующая сила, действующая на падающий объект, представляет собой гравитационную силу, обычно называемую его весом ww size 12{w} {}. Вес можно обозначить как вектор ww size 12{w} {}, потому что он имеет направление; вниз по определению является направлением силы тяжести, и, следовательно, вес является направленной вниз силой. Величина веса обозначается как ww size 12{w} {} . Галилей сыграл важную роль в демонстрации того, что в отсутствие сопротивления воздуха все объекты падают с одинаковым ускорением gg размером 12{g} {}.
Используя результат Галилея и второй закон Ньютона, мы можем вывести уравнение для веса.
Рассмотрим объект массой мм размером 12{м} {}, падающий вниз к Земле. Он испытывает только направленную вниз силу тяжести, которая имеет величину ww size 12{w} {}. Второй закон Ньютона гласит, что величина чистой внешней силы, действующей на объект, равна Fnet=maFnet=ma size 12{F rSub { size 8{“net”} } = ital “ma”} {}.
Поскольку на объект действует только направленная вниз сила тяжести, Fnet=wFnet=w size 12{F rSub { size 8{“net”} } =w} {}. Мы знаем, что ускорение объекта под действием силы тяжести равно gg, или a=ga=g size 12{a=g} {}. Подстановка их во второй закон Ньютона дает
Вес
Это уравнение для веса — силы тяжести, действующей на массу мм размером 12{m} {}
4,7 w=mg.w=mg размером 12{w= итал “мг”} {}.
Начиная с g=9,80 м/с2g=9,80 м/с2 размер 12{g=9″.” “80”” м/с” rSup { размер 8{2} } } {} на Земле вес объекта массой 1,0 кг на Земле равен 9,8 Н, как мы видим
4,8 w=mg=(1,0 кг)( 9,80 м/с2)=9,8 Н.
w=мг=(1,0 кг)(9,80 м/с2)=9,8 Н размер 12{w= итал. “мг”= \( 1 “.” “0 кг” \) \( 9 ” .” “80 м/с” rSup { size 8{2} } \) =9 “.” 8″ Н”} {}.
Напомним, что gg size 12{g} {} может принимать положительное или отрицательное значение в зависимости от положительного направления в системе координат. Обязательно учитывайте это при решении задач с весом.
Когда чистая внешняя сила, действующая на объект, равна его весу, мы говорим, что объект находится в свободном падении. То есть единственная сила, действующая на объект, — это сила тяжести. В реальном мире, когда объекты падают вниз к Земле, они никогда не находятся в состоянии свободного падения, потому что на объект всегда действует восходящая сила воздуха.
Ускорение свободного падения gg size 12{g} {} незначительно варьируется по поверхности Земли, поэтому вес объекта зависит от местоположения и не является неотъемлемым свойством объекта. Вес резко меняется, если человек покидает поверхность Земли.
На Луне, например, ускорение свободного падения составляет всего 1,67 м/с21,67 м/с2 размером 12{1″”. “67” “м/с” rSup {размер 8{2} } } {}. Таким образом, масса 1,0 кг имеет вес 90,8 с. ш. на Земле и всего около 1,7 с. ш. на Луне.
Самое широкое определение веса в этом смысле состоит в том, что вес объекта — это гравитационная сила, действующая на него со стороны ближайшего крупного тела , такого как Земля, Луна, Солнце и т. д. Это наиболее распространенное и полезное определение веса в физике. Однако оно резко отличается от определения веса, используемого НАСА и популярными средствами массовой информации в связи с космическими путешествиями и исследованиями. Когда говорят о невесомости и микрогравитация, они на самом деле относятся к явлению, которое мы называем свободным падением в физике. Мы воспользуемся приведенным выше определением веса и проведем тщательное различие между свободным падением и действительной невесомостью.
Важно знать, что вес и масса — очень разные физические величины, хотя и тесно связанные между собой. Масса — это количество материи или сколько материала , и она не меняется в классической физике, тогда как вес — это гравитационная сила, и она меняется в зависимости от гравитации. Заманчиво приравнять их, поскольку большинство наших примеров происходят на Земле, где вес объекта лишь немного зависит от местоположения объекта. Кроме того, термины масса и масса взаимозаменяемы в повседневном языке; например, наши медицинские записи часто показывают наш вес в килограммах, но никогда в правильных единицах измерения ньютонов.
Распространенные заблуждения: масса и вес
В повседневном языке масса и вес часто используются как синонимы. Однако в науке эти термины резко отличаются друг от друга. Масса — это мера того, сколько материи содержится в объекте.
Типичной мерой массы является килограмм или slug в английских единицах измерения. Вес, с другой стороны, является мерой силы тяжести, действующей на объект. Вес равен массе объекта (размер 12{m} {} в мм), умноженной на ускорение свободного падения (размер gg 12{g} {}). Как и любая другая сила, вес измеряется в ньютонах или фунтах в английских единицах.
Предполагая, что масса объекта остается неизменной, она останется неизменной независимо от своего местоположения. Однако, поскольку вес зависит от ускорения свободного падения, вес объекта может измениться на , когда объект попадает в область с более сильной или более слабой гравитацией. Например, ускорение свободного падения на Луне составляет 1,67 м/с2, 1,67 м/с2, размер 12{1″”. “67”” м/с” rSup { размер 8{2} } } {}, что намного меньше, чем ускорение свободного падения на Земле, 9,80 м/с29,80 м/с2 размер 12{9 “.” “80 м/с” rSup {размер 8{2} } } {}. Если вы измерите свой вес на Земле, а затем измерите свой вес на Луне, вы обнаружите, что вы весите намного меньше, даже если вы не выглядите стройнее.
Это связано с тем, что на Луне сила гравитации слабее. На самом деле, когда люди говорят, что они «худеют», они на самом деле имеют в виду, что теряют имеют массу , что, в свою очередь, заставляет их весить меньше.
Эксперимент на вынос: масса и вес
Что измеряют напольные весы? Когда вы встаете на напольные весы, что происходит с весами? Это слегка угнетает. Весы содержат пружины, которые сжимаются пропорционально вашему весу, подобно резиновым лентам, которые растягиваются при натяжении. Пружины обеспечивают меру вашего веса для объекта, который не ускоряется. Это сила в ньютонах или фунтах. В большинстве стран измерение делится на 9.80, чтобы дать показание в единицах массы килограммов. Весы измеряют вес, но откалиброваны для предоставления информации о массе. Стоя на весах в ванной, нажмите на стол рядом с вами. Что происходит с чтением? Почему? Измерят ли ваши весы ту же массу на Земле, что и на Луне?
Пример 4.1 Какое ускорение может создать человек, толкая газонокосилку?
Предположим, что чистая внешняя сила (толчок минус трение), действующая на газонокосилку, равна 51 Н (около 11 фунтов) параллельно земле.
Масса косилки 24 кг. Каково его ускорение?
Рисунок 4.7 Чистая сила, действующая на газонокосилку, составляет 51 Н вправо. С какой скоростью газонокосилка ускоряется вправо?
Стратегия
Так как FnetFnet размер 12{F rSub { размер 8{“net”} } } {} и мм размер 12{m} {} заданы, ускорение можно рассчитать непосредственно из второго закона Ньютона, как указано в Fnet= maFnet=ma size 12{F rSub { size 8{“net”} } =ma} {}.
Решение
Величина ускорения aa размера 12{a} {} составляет a=Fnetma=Fnetm размера 12{a= { {F rSub { size 8{“net”} } } над {m} } } {}. Ввод известных значений дает
4,9 а=51 Н24 кг.а=51 Н24 кг. размер 12{a= { {“51″” N”} свыше {“240″” кг”} } } {}
Замена единиц кг⋅м/с2кг⋅м/с2 размер 12{“кг” cdot “м /s” rSup { размер 8{2} } } {} для N выход
4,10 a=51 кг⋅м/с224 кг=2,1 м/с2.a=51 кг⋅м/с224 кг=2,1 м/с2 размер 12{a= { {“51″” кг” cdot “м/с” rSup { размер 8{2} } } свыше {“240″” кг”} } =0 “.
” “21” “м/с” rSup {размер 8{2} } } {}.
Обсуждение
Направление ускорения совпадает с направлением чистой силы, которая параллельна земле. В этом примере нет информации об отдельных внешних силах, действующих на систему, но мы можем кое-что сказать об их относительных величинах. Например, сила, прилагаемая человеком, толкающим косилку, должна быть больше, чем трение, противодействующее движению, поскольку мы знаем, что косилка движется вперед, и вертикальные силы должны компенсироваться, если не должно быть никакого ускорения в вертикальном направлении — косилка двигаться только по горизонтали. Найденное ускорение достаточно мало, чтобы быть приемлемым для человека, толкающего косилку. Такое усилие не продлится слишком долго, потому что человек скоро достигнет максимальной скорости.
Пример 4.2 Какая ракетная тяга ускоряет эти сани?
До пилотируемых космических полетов ракетные салазки использовались для испытаний самолетов, ракетного оборудования и физиологических воздействий на людей на высоких скоростях.
Они состояли из платформы, установленной на одном или двух рельсах и приводившейся в движение несколькими ракетами. Рассчитайте величину силы, действующей на каждую ракету, называемую ее тягой ТТ размером 12{Т} {}, для четырехракетной двигательной установки, показанной на рис. 4.8. Начальное ускорение саней 49м/с2,49 м/с2, размер 12{“49″” м/с” rSup { размер 8{2} } } {} масса системы 2100 кг, сила трения, противодействующая движению, известна быть 650 Н.
Рис. 4.8 На сани действует реактивная тяга, которая ускоряет их вправо. Каждая ракета создает ТТ одинаковой тяги размером 12{Т}{}. Как и в других ситуациях, когда есть только горизонтальное ускорение, вертикальные силы компенсируются. Земля воздействует на систему направленной вверх силой NN размера 12{N} {}, равной по модулю и противоположной по направлению ее весу, ww размера 12{w} {}. Система здесь — сани, их ракеты и всадник, так что ни одна из сил между эти объекты считаются. Стрелка, представляющая трение (размер ff 12{f} {}), нарисована больше масштаба.
Стратегия
Хотя существуют силы, действующие вертикально и горизонтально, мы предполагаем, что вертикальные силы компенсируются, так как нет вертикального ускорения. Это оставляет нам только горизонтальные силы и более простую одномерную задачу. Направления обозначаются знаками плюс или минус, где право считается положительным направлением. См. диаграмму свободного тела на рисунке.
Решение
Поскольку ускорение, масса и сила трения заданы, начнем со второго закона Ньютона и будем искать способы найти тягу двигателей. Поскольку мы определили направление силы и ускорения как действующие на вправо на , нам нужно учитывать в расчетах только величины этих величин. Следовательно, мы начинаем с
4.11 Fnet=ma,Fnet=ma size 12{F rSub { size 8{“net”} } = ital “ma”} {},
, где FnetFnet size 12{F rSub {size 8{ “net”} } } {} — результирующая сила в горизонтальном направлении. Из рисунка 4.
8 видно, что тяга двигателя добавляется, а трение противодействует тяге. В форме уравнения чистая внешняя сила равна
4.12 Fnet=4T-f.Fnet=4T-f размер 12{-F rSub { размер 8{“сеть”} } =4T-f} {}.
Подставляя это во второй закон Ньютона, получаем
4.13 Fnet=ma=4T−f.Fnet=ma=4T−f size 12{F rSub { size 8{“net”} } = ital “ma”=4T-f } {}.
Используя немного алгебры, находим общую тягу 4 T
4.14 4T=ma+f.4T=ma+f размер 12{4T= ital “ma”+f} {}.
Замена известных значений дает
4,15 4T=ma+f=(2100 кг)(49 м/с2)+650 Н.4T=ma+f=(2100 кг)(49м/с2)+650 Н размер 12{4T= ital “ma”+f= \( “2100”” кг” \) \( “49 м/с” rSup { размер 8{2} } \) +”650 “” Н”} {}.
Таким образом, общая тяга равна
4,16 4T=1,0×105 Н,4T=1,0×105 Н размер 12{4T=1 “.” «04» умножить на «10» rSup {размер 8{5} } «N»} {},
, а отдельные усилия равны
4,17 T=1,0×105 N4=2,6×104 N.T=1,0×105 N4=2,6 ×104 N размер 12{T= { {1 “.” “04” умножить на “10” rSup { размер 8{5} } ” N”} больше {4} } =2 “.
” 5 раз “10” rSup {размер 8{4}} “N”} {}.
Обсуждение
Цифры довольно большие, поэтому результат может вас удивить. Подобные эксперименты проводились в начале 1960-х годов для проверки пределов человеческой выносливости и установки, предназначенной для защиты людей при аварийном катапультировании реактивного истребителя. Были получены скорости 1000 км/ч с ускорением 45 gg размера 12{g}{}’s. Напомним, что gg размера 12{g} {}, ускорение свободного падения составляет 9,80 м/с29,80 м/с2 размера 12{9″.” “80 м/с” rSup {размер 8{2} } } {}. Когда мы говорим, что ускорение составляет 45 gg размером 12 {g} {}, это 45 × 90,80 м/с245×9,80 м/с2 размер 12{“45″´9 “.” “80 м/с” rSup { размер 8{2} } } {}, что приблизительно равно 440 м/с2440 м/с2 размер 12{“440 м/с” rSup { размер 8{2} } } {}. В то время как живые объекты больше не используются, с помощью ракетных саней была достигнута наземная скорость 10 000 км/ч. В этом примере, как и в предыдущем, интересующая система очевидна.
В последующих примерах мы увидим, что выбор интересующей системы имеет решающее значение, и этот выбор не всегда очевиден.
Второй закон движения Ньютона — это больше, чем определение; это отношение между ускорением, силой и массой. Это может помочь нам делать прогнозы. Каждая из этих физических величин может быть определена независимо, поэтому второй закон говорит нам нечто основное и универсальное о природе. В следующем разделе представлен третий и последний закон движения.
Применение научных практик: суммы сил
Напомним, что силы являются векторными величинами, поэтому результирующая сила, действующая на систему, должна быть векторной суммой сил.
(a) Разработайте эксперимент для проверки этой гипотезы. Какая система будет уместна и удобна, если к ней будет приложено несколько сил? Какие характеристики системы должны оставаться постоянными? Что можно было бы разнообразить? Можно ли расположить силы в нескольких направлениях так, чтобы, пока гипотеза все еще проверяется, полученные расчеты не были слишком неудобными?
(b) Другая группа студентов провела такой эксперимент, используя систему захвата движения, глядя на стол для аэрохоккея, чтобы измерить движение 0,10-килограммовой шайбы.