A b матрица: Онлайн калькулятор. Умножение матриц

Найти матрицу d = ab -2c а = b =, c =

Скачать 42,44 Kb. Дата 14.01.2022 Размер 42,44 Kb. #177522

Связанные:
Математика

Найти матрицу D = AB -2C А = B = , C = AB: -2С D = AB -2C Ответ: Найти обратную матрицу A-1 и пользуясь правилом умножения матриц, показать, что A · A-1 = E, где E – единичная матрица. Найдем определитель матрицы: Определитель матрицы равен 2, поэтому обратная матрица существует. Найдем союзную матрицу: Выпишем союзную матрицу: Транспонированная союзная матрица: Найдем обратную матрицу: A · A-1 = E Ответ: Решить системы линейных уравнений с тремя неизвестными. Ответ: Построить треугольник, вершины которого находятся в точках A -2,1, B 5,-2  , C -1,-2  . Найти: 1) уравнения сторон треугольника ABC; 2) координаты точки М пересечения медиан; 3) длину и уравнение высоты, опущенной из вершины A; 4) площадь треугольника Решение: А (-2;1), В (5;-2), С (-1; -2) Вычислим длины стороны треугольника: Составим уравнения сторон треугольника ABC: Найдем координаты точки M Найдем длину и уравнение высоты, опущенной из вершины A: Уравнение высоты: Длина высоты: Найдем площадь треугольника ABC: Ответ: 1) 2) 3) 4) Даны координаты точек A 3,1,4, B -1,6,1, C -1,1,6, D 0,4,-1 . Найти: 1) найти длину ребра AB; 2) уравнение плоскости, проходящей через точки A, B и C; 3) уравнение высоты, опущенной из точки D на плоскость ABC; 4) площадь грани ABC; 5) объем пирамиды ABCD. Решение: Найдем длину ребра AB: Уравнение плоскости ABC: уравнение высоты, опущенной из точки D на плоскость ABC площадь грани ABC Найдем угол между ребрами AB: объем пирамиды ABCD Ответ: 1) 2) 3) 4) 5) Скачать 42,44 Kb. Поделитесь с Вашими друзьями:

---

База данных защищена авторским правом ©psihdocs. ru 2022
обратиться к администрации

матричное уравнение AB-BA : Олимпиадные задачи (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

zykov	матричное уравнение AB-BA 12.01.2022, 14:02
18/09/21 1163	Найти все натуральные , такие что существуют действительные обратимые матрицы и для которых верно

novichok2018	Re: матричное уравнение AB-BA 12. 01.2022, 16:00
Заблокирован 16/04/18 ∞ 1129	Следы посчитать?

svv	Re: матричное уравнение AB-BA 12. 01.2022, 17:48
Заслуженный участник 23/07/08 9653 Crna Gora	novichok2018 , имеете в виду, что решений нет, как для ? Решения есть, например, для А значит, и для любого чётного — взять блочно-диагональные матрицы с такими блоками.

Padawan	Re: матричное уравнение AB-BA 12. 01.2022, 21:30
Заслуженный участник 13/12/05 4309	При нечётном не существует таких невырожденных матриц. Уравнение можно переписать в виде . Так как характеристические многочлены матриц и совпадают, то получаем, что если является собственным значением матрицы , то и тоже является собственным значением матрицы . Но при нечетном матрица имеет вещественное собственное значение, но вроде бы последовательность итераций при вещественном может быть конечной только в случае , что нас не устраивает ( невырождена). А вот при комплексном последовательность может и зациклится, например, при , что как раз есть собственные числа матрицы , указанной уважаемым svv.

novichok2018	Re: матричное уравнение AB-BA 12.01.2022, 21:33
Заблокирован 16/04/18 ∞ 1129	Не так категорично, я имел в виду что после взятия следов получается по крайней мере необходимое условие. Можно помечтать, что оно окажется и достаточным, но вряд ли. Как то так.

zykov	Re: матричное уравнение AB-BA 16.01.2022, 19:17
18/09/21 1163	Да, всё верно. Если матрица имеет действительное собственное значение , то действительное значение тоже будет её собственным значением. Этот процесс можно продолжить, но полное количество собственных значений не более , значит где-то должно встретиться значение, которое уже было. Т.е. будет цикл длины . Тогда для и . Если сложить эти равентсва, то получится , значит все эти действительные значения равны нулю, что противоречит обратимости . Для нечётных характеристический многочлен матрицы – действительный многочлен нечётной степени, который имеет минимум один действительный корень. Значит при нечётных таких матриц не существует. Для легко подобрать вариант. Можно попробовать в виде диагональной матрицы и в виде клетки Жордана (сама матрица в таком виде не обязана быть действительной, но должна приводиться к действительной). Второй вариант сразу отпадает, т.к. там два одинаковых собственных значения, которые не могут быть действительными (матрица не может иметь действительные). След матрицы равен удвоенной величине этого собственного значения. А след действительной матрицы должен быть действительным. Для первого варианта будет , что даёт . Кроме нулевого корня будут два комплексных сопряженных корня . Для такой диагональной матрицы легко подобрать действительную матрицу. След равен , определитель равен . Например можно взять на диагонали две , тогда вне диагонали можно взять и . Естественно, для любого чётного можно просто на диагонали расставить такие блоки .

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 6 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

Нахождение произведения двух матриц | Колледж Алгебра |

Помимо умножения матрицы на скаляр, мы можем умножать две матрицы. Нахождение произведения двух матриц возможно только в том случае, когда внутренние размерности совпадают, а это означает, что количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Если

AAA

является матрицей

 m × r \text{ }m\text{ }\times \text{ }r\text{ } m × r 

и

BBB

является матрицей

 r × n \text{ }r\text{ }\times \text{ }n\text{ } r × n 

, тогда матрица произведения

ABABAB

является

 m × n \text{ }m\text{ }\times \text{ }n\text{ } m × n 

матрица. Например, произведение

ABABAB

возможно, потому что количество столбцов в

AAA

совпадает с количеством строк в

BBB

. Если внутренние размеры не совпадают, товар не определяется.

Рисунок 1

Мы умножаем записи

AAA

на записи

BBB

в соответствии с определенным шаблоном, как показано ниже. Процесс умножения матрицы на становится понятнее при решении задачи с вещественными числами.

Чтобы получить записи в строке

iii

из

AB,AB,\text{}AB,

, мы умножаем записи в строке

iii

из

AAA

по столбцу

jjj

в

BBB

и доп. Например, даны матрицы

AAA

и

B,B,\text{}B,

, где размеры

AAA

равны

2 × 32\text{}\times 32 × 3

и размеры

BBB

равны

3 × 3,3\text{ }\times \text{ }3,\text{}3 × 3,

произведение

ABABAB

будет матрицей

2 × 32\text{ }\times \text{ }32 × 3

.

A=[a11a12a13a21a22a23] и B=[b11b12b13b21b22b23b31b32b33]A=\left[\begin{array}{rrr}\qquad {a}_{11}& \qquad {a}_{12}& \qquad {a }_{13}\\ \qquad {a}_{21}& \qquad {a}_{22}& \qquad {a}_{23}\end{массив}\right]\text{ и }B =\left[\begin{array}{rrr}\qquad {b}_{11}& \qquad {b}_{12}& \qquad {b}_{13}\\ \qquad {b}_{ 21}& \qquad {b}_{22}& \qquad {b}_{23}\\ \qquad {b}_{31}& \qquad {b}_{32}& \qquad {b}_ {33}\end{массив}\right]A=[a11​a21​​a12​a22​​a13​a23​​] и B=⎣

⎡​b11​b21​b31​​b12​b22​b32​​b13​b23​b33​​⎦

⎤​

Умножьте и сложите следующим образом, чтобы получить первую запись матрицы произведений

ABABAB

.

1. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 1 из

   AB,AB,\text{}AB,

   , умножьте первую строку в

   AAA

   на первый столбец в

   BBB

   и добавьте.

   [a11a12a13]⋅[b11b21b31]=a11⋅b11+a12⋅b21+a13⋅b31\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a} _{13}\end{массив}\right]\cdot \left[\begin{массив}{c}{b}_{11}\\ {b}_{21}\\ {b}_{31} \end{массив}\right]={a}_{11}\cdot {b}_{11}+{a}_{12}\cdot {b}_{21}+{a}_{13} \cdot {b}_{31}[a11​​a12​​a13​​]⋅⎣

   ⎡​b11​b21​b31​⎦

   ⎤​=a11​⋅b11​+a12​⋅b21​+a13​⋅b31​

2. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 2

   AB,AB,\text{}AB,

   , умножьте первую строку

   AAA

   на вторую колонку

   BBB

   и добавьте.

   [a11a12a13]⋅[b12b22b32]=a11⋅b12+a12⋅b22+a13⋅b32\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a} _{13}\end{массив}\right]\cdot \left[\begin{массив}{c}{b}_{12}\\ {b}_{22}\\ {b}_{32} \end{массив}\right]={a}_{11}\cdot {b}_{12}+{a}_{12}\cdot {b}_{22}+{a}_{13} \cdot {b}_{32}[a11​​a12​​a13​​]⋅⎣

   ⎡​b12​b22​b32​​⎦

   ⎤​=a11​⋅b12​+a12​⋅b22​+a13​⋅b32​

3. Чтобы получить запись в строке 1, столбце 3

   AB,AB,\text{}AB,

   , умножьте первую строку

   AAA

   на третий столбец

   BBB

   и добавьте.

   [a11a12a13]⋅[b13b23b33]=a11⋅b13+a12⋅b23+a13⋅b33\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& {a}_{12}& {a} _{13}\end{массив}\right]\cdot \left[\begin{массив}{c}{b}_{13}\\ {b}_{23}\\ {b}_{33} \end{массив}\right]={a}_{11}\cdot {b}_{13}+{a}_{12}\cdot {b}_{23}+{a}_{13} \cdot {b}_{33}[a11​​a12​​a13​​]⋅⎣

   ⎡​b13​b23​b33​​⎦

   ⎤​=a11​⋅b13​+a12​⋅b23​+a13​⋅b33​

Таким же образом получаем вторую строку

ABABAB

. Другими словами, строка 2

AAA

умножается на столбец 1

BBB

; строка 2 из

AAA

раз столбец 2 из

BBB

; строка 2 из

AAA

раз столбец 3 из

BBB

. По завершении матрица продукта будет равна 9.0005

AB=[a11⋅b11+a12⋅b21+a13⋅b31a21⋅b11+a22⋅b21+a23⋅b31a11⋅b12+a12⋅b22+a13⋅b32a21⋅b12+a22⋅b1+a22⋅b12+a23⋅b22+a23 ⋅b23+a13⋅b33a21⋅b13+a22⋅b23+a23⋅b33]AB=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{l}{a}_{11}\cdot {b} _{11}+{a}_{12}\cdot {b}_{21}+{a}_{13}\cdot {b}_{31}\\ \end{массив}\\ {a} _{21}\cdot {b}_{11}+{a}_{22}\cdot {b}_{21}+{a}_{23}\cdot {b}_{31}\end{ массив}\begin{массив}{c}\begin{массив}{l}{a}_{11}\cdot {b}_{12}+{a}_{12}\cdot {b}_{22 }+{a}_{13}\cdot {b}_{32}\\ \end{массив}\\ {a}_{21}\cdot {b}_{12}+{a}_{22 }\cdot {b}_{22}+{a}_{23}\cdot {b}_{32}\end{массив}\begin{массив}{c}\begin{массив}{l}{a }_{11}\cdot {b}_{13}+{a}_{12}\cdot {b}_{23}+{a}_{13}\cdot {b}_{33}\\ \end{массив}\\ {a}_{21}\cdot {b}_{13}+{a}_{22}\cdot {b}_{23}+{a}_{23}\cdot {b}_{33}\end{массив}\right]AB=[a11​⋅b11​+a12​⋅b21​+a13​⋅b31​​a21​⋅b11​+a22​⋅b21​+a23​ ⋅b31​​a11​⋅b12​+a12​⋅b22​+a13​⋅b32​​a21​⋅b12​+a22​⋅b22​+a23​⋅b32​​a11​⋅b13​+a12​⋅b23 ​+a13​⋅b33​​a21​⋅b13​+a22​⋅b23​+a23​⋅b33​]

A Общее примечание: свойства умножения матриц

Для матриц

A,B,A,B,\text{}A,B,

и

CCC

выполняются следующие свойства.

• Умножение матриц ассоциативно:

  (AB)C=A(BC)\влево(AB\вправо)C=A\влево(BC\вправо)(AB)C=A(BC)

  .
• Умножение матриц является дистрибутивным:

  C(A+B)=CA+CB,(A+B)C=AC+BC.\begin{array}{l}\begin{array}{l}\\ C\left (A+B\right)=CA+CB,\end{массив}\qquad \\ \left(A+B\right)C=AC+BC.\qquad \end{массив}C(A+B)= СА+СВ,​(А+В)С=АС+ВС.​

Обратите внимание, что умножение матриц не является коммутативным.

Пример 8. Умножение двух матриц

Умножьте матрицу

AAA

и матрицу

BBB

.

A=[1234] и B=[5678]A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{массив}\right]\text{ и }B=\left[ \begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{массив}\right]A=[13​24​] и B=[57​68​]

Решение

Во-первых, мы проверяем размерность матриц. Матрица

AAA

имеет размеры

2×22\times 22×2

и матрица

BBB

имеет размеры

2×22\times 22×2

5 9.

Внутренние размеры одинаковы, поэтому мы можем выполнить умножение. Товар будет иметь размеры

2×22\times 22×2

.

Выполняем операции, описанные ранее.

Рисунок 2

Пример 9. Умножение двух матриц

Учитывая

AAA

и

B:B:B:

1. Найти

   ABABAB

   .
2. Найти

   БАБАБА

   .

A=[−123405] и B=[5−42−103]A=\left[\begin{array}{l}\begin{array}{ccc}-1& 2& 3\end{array}\qquad \\ \begin{array}{ccc}4&0&5\end{array}\qquad \end{array}\right]\text{ и }B=\left[\begin{array}{c}5\\ – 4\\ 2\end{массив}\begin{массив}{c}-1\\ 0\\ 3\end{массив}\right]A=[−1​2​3​4​0​5​​ ] и B=⎣

⎡​5−42​−103​⎦

⎤​

Решение

1. Поскольку размеры

   AAA

   равны

   2×32\text{}\times \text{}32×3

   , а размеры

   BBB

   равны

   3×2,3\ text{}\times \text{}2,\text{}3×2,

   эти матрицы можно перемножить, потому что количество столбцов в

   AAA

   совпадает с количеством строк в

   BBB

   . Результатом будет матрица

   2×22\text{}\times \text{}22×2

   , количество строк в

   AAA

   на количество столбцов в

   ВВВ

   .

   AB=[−123405] [5−1−4023] =[−1(5)+2(−4)+3(2)−1(−1)+2(0)+3(3)4( 5)+0(−4)+5(2)4(−1)+0(0)+5(3)] =[−7103011]\begin{array}{l}\qquad \\ AB=\left [\begin{array}{rrr}\qquad -1& \qquad 2& \qquad 3\\ \qquad 4& \qquad 0& \qquad 5\end{array}\right]\text{ }\left[\begin{array} {rr}\qquad 5& \qquad -1\\ \qquad -4& \qquad 0\\ \qquad 2& \qquad 3\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[\begin{ array}{rr}\qquad -1\left(5\right)+2\left(-4\right)+3\left(2\right)& \qquad -1\left(-1\right)+2 \влево(0\вправо)+3\влево(3\вправо)\\ \qquad 4\влево(5\вправо)+0\влево(-4\вправо)+5\влево(2\вправо)& \qquad 4\влево(-1\вправо)+0\влево(0\вправо)+5\влево(3\вправо)\конец{массив}\вправо]\qquad \\ \text{ }=\влево[\begin{ array}{rr}\qquad -7& \qquad 10\\ \qquad 30& \qquad 11\end{array}\right]\qquad \end{array}AB=[−14​20​35​] ⎣

   ⎡​5−42​−103​⎦

   ⎤​ =[−1(5)+2(−4)+3(2)4(5)+0(−4)+5(2)​ −1(−1)+2(0)+3(3)4(−1)+0(0)+5(3)​] =[−730​1011​]​

2. Размеры

   BBB

   равны

   3×23\times 23×2

   , а размеры

   AAA

   равны

   2×32\times 32×3

   . Внутренние размеры совпадают, поэтому продукт определен и будет матрицей

   3×33\x 33×3

   .

   BA=[5−1−4023] [−123405] =[5(−1)+−1(4)5(2)+−1(0)5(3)+−1(5)−4( −1)+0(4)−4(2)+0(0)−4(3)+0(5)2(−1)+3(4)2(2)+3(0)2(3 )+3(5)] =[−910104−8−1210421]\begin{массив}{l}\qquad \\ BA=\left[\begin{массив}{rr}\qquad 5& \qquad -1\\ \qquad -4& \qquad 0\\ \ qquad 2& \qquad 3\end{массив}\right]\text{ }\left[\begin{array}{rrr}\qquad -1& \qquad 2& \qquad 3\\ \qquad 4& \qquad 0& \qquad 5\ end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[\begin{array}{rrr}\qquad 5\left(-1\right)+-1\left(4\right)& \ qquad 5\влево(2\вправо)+-1\влево(0\вправо)& \qquad 5\влево(3\вправо)+-1\влево(5\вправо)\\ \qquad -4\влево(- 1\вправо)+0\влево(4\вправо)& \qquad -4\влево(2\вправо)+0\влево(0\вправо)& \qquad -4\влево(3\вправо)+0\влево (5\правый)\\ \qquad 2\левый(-1\правый)+3\левый(4\правый)& \qquad 2\левый(2\правый)+3\левый(0\правый)& \qquad 2\влево(3\вправо)+3\влево(5\вправо)\конец{массив}\вправо]\qquad \\ \text{ }=\влево[\begin{массив}{rrr}\qquad -9& \qquad 10& \qquad 10\\ \qquad 4& \qquad -8& \qquad -12\\ \qquad 10& \qquad 4& \qquad 21\end{массив}\right]\qquad \end{массив}BA=⎣

   ⎡​5−42​−103​⎦

   ⎤​ [−14​20​35​] =⎣

   ⎡​5(−1)+−1(4)−4(−1)+0( 4)2(−1)+3(4)​5(2)+−1(0)−4(2)+0(0)2(2)+3(0)​5(3)+−1 (5)−4(3)+0(5)2(3)+3(5)​⎦

   ⎤​ =⎣

   ⎡​−9410​10−84​10−1221​⎦

   ⎤​​

Анализ раствора

Обратите внимание, что продукты

ABABAB

и

БАБАБА

не равны.

AB=[−7103011]≠[−910104−8−1210421]=BAAB=\left[\begin{массив}{cc}-7& 10\\ 30& 11\end{массив}\right]\ne \left [\begin{array}{ccc}-9& 10& 10\\ 4& -8& -12\\ 10& 4& 21\end{array}\right]=BAAB=[−730​1011​]=⎣

⎡​ −9410​10−84​10−1221​⎦

⎤​=BA

Это иллюстрирует тот факт, что умножение матриц не является коммутативным.

Вопросы и ответы

Можно ли за

AB определить, но не BA ?

Да, рассмотрим матрицу A размерности

3×43\times 43×4

и матрицу B размерности

4×24\times 24×2

. Для продукта AB внутренние размеры равны 4, и продукт определен, но для продукта BA внутренние размеры равны 2 и 3, поэтому продукт не определен.

Пример 10. Использование матриц в реальных задачах

Вернемся к проблеме, представленной в начале этого раздела. У нас есть таблица ниже, представляющая потребности в оборудовании двух футбольных команд.

	Дикие кошки	Грязевые коты
Цели	6	10
Шарики	30	24
Трикотажные изделия	14	20

Нам также даются цены на оборудование, как показано в таблице ниже.

Цель	300 долларов
Мяч	10 долларов
Джерси	$30

Преобразуем данные в матрицы. Таким образом, матрица потребности в оборудовании записывается как

E=[63014102420]E=\left[\begin{array}{c}6\\ 30\\ 14\end{array}\begin{array}{c}10 \\ 24\\ 20\end{массив}\right]E=⎣

⎡​63014​102420​⎦

⎤​

Матрица стоимости записывается как

C=[3001030]C=\left[\begin{array}{ccc}300& 10& 30\end{array}\right]C=[300​10​30​]

Мы выполняем матричное умножение, чтобы получить стоимость оборудования.

CE=[3001030]⋅[61030241420] =[300(6)+10(30)+30(14)300(10)+10(24)+30(20)] =[2 5203 840] \begin{array}{l}\qquad \\ \qquad \\ CE=\left[\begin{array}{rrr}\qquad 300& \qquad 10& \qquad 30\end{array}\right]\cdot \left [\begin{массив}{rr}\qquad 6& \qquad 10\\ \qquad 30& \qquad 24\\ \qquad 14& \qquad 20\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left [\begin{array}{rr}\qquad 300\left(6\right)+10\left(30\right)+30\left(14\right)& \qquad 300\left(10\right)+10 \left(24\right)+30\left(20\right)\end{массив}\right]\qquad \\ \text{ }=\left[\begin{array}{rr}\qquad 2,520& \qquad 3,840\end{массив}\right]\qquad \end{массив}CE=[300​10​30​]⋅⎣

⎡​63014​102420​⎦

⎤​ =[300(6)+10(30)+30(14)​300(10)+10(24)+30(20)​] =[2,520​ 3840​]​

Общая стоимость оборудования для Wildcats составляет 2520 долларов, а общая стоимость оборудования для Mud Cats составляет 3840 долларов.

Как: Для данной матричной операции вычислите ее с помощью калькулятора.

1. Сохранить каждую матрицу как матричную переменную

   [A],[B],[C],..\left[A\right],\left[B\right],\left[C\right], ..[А],[В],[С],..

   .
2. Введите операцию в калькулятор, вызывая каждую переменную матрицы по мере необходимости.
3. Если операция определена, калькулятор представит матрицу решения; если операция не определена, будет отображаться сообщение об ошибке.

Пример 11. Использование калькулятора для выполнения операций с матрицами

Найдите

AB-CAB-CAB-C

 данные

A=[−15253241−7−281034−2],B=[4521−37−2452196−48−31] и C=[−100−89 −9825−5674−6742−75]A=\left[\begin{array}{rrr}\qquad -15& \qquad 25& \qquad 32\\ \qquad 41& \qquad -7& \qquad -28\\ \qquad 10& \qquad 34& \qquad -2\end{массив}\right],B=\left[\begin{array}{rrr}\qquad 45& \qquad 21& \qquad -37\\ \qquad -24& \qquad 52& \qquad 19\\ \qquad 6& \qquad -48& \qquad -31\end{массив}\right],\text{and}C=\left[\begin{array}{rrr}\qquad -100& \qquad -89& \qquad -98\\ \qquad 25& \qquad -56& \qquad 74\\ \qquad -67& \qquad 42& \qquad -75\end{массив}\right]A=⎣

⎡​−154110​25−734​32 −28−2​⎦

⎤​,B=⎣

⎡​45−246​2152−48​−3719−31​⎦

⎤​, и C=⎣

⎡​−10025−67 −89−5642​−9874−75​⎦

⎤​

.

Раствор

На странице матрицы калькулятора вводим матрицу

AAA

выше как матричная переменная

[A]\left[A\right][A]

, matrix

BBB

выше как матричная переменная

[B]\left[B\right ][B]

и матрица

CCC

выше как матричная переменная

[C]\left[C\right][C]

.

На главном экране калькулятора вводим задачу и вызываем каждую переменную матрицы по мере необходимости.

[A]×[B]−[C]\влево[A\вправо]\times \влево[B\вправо]-\влево[C\вправо][A]×[B]−[C]

Калькулятор дает нам следующую матрицу.

[−983−4621361,8201,897−856−3112,032413]\left[\begin{array}{rrr}\qquad -983& \qquad -462& \qquad 136\\ \qquad 1,820& \qquad 1,897& \qquad -856\\ \qquad -311& \qquad 2,032& \qquad 413\end{массив}\right]⎣

⎡​−9831,820−311​−4621,8972,032​136−856413​⎦

⎤​

Лицензии и атрибуты

Лицензионный контент CC, особое авторство

• Precalculus. Автор: : Колледж OpenStax. Предоставлено : OpenStax. Расположен по адресу : https://cnx.org/contents/[email protected]:1/Preface. Лицензия : CC BY: Атрибуция

Видео с вопросами: Поиск неизвестной матрицы в уравнении с использованием обратной матрицы , 𝐴𝐵 равно 24, 72, 28 и минус 57. Найдите матрицу 𝐵.

Мы знаем, что матрица 𝐴, умноженная на матрицу 𝐵, равна матрице произведения 𝐴𝐵. И мы пытаемся найти 𝐵. Чтобы узнать, что такое матрица 𝐵, нам нужно ее изолировать. Нам нужно получить его самостоятельно. Мы делаем это, умножая на обратную матрицу 𝐴 с обеих сторон уравнения. Обратная матрица 𝐴, умноженная на матрицу 𝐴, даст нам единичную матрицу, которая оставляет только 𝐵 в левой части. А это означает, что матрица 𝐵 равна обратной матрице 𝐴, умноженной на уже имеющуюся у нас матрицу произведения, 𝐴𝐵.

Обратная матрица два на два: если мы начнем с матрицы 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, ее обратной будет определенная над 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. Затем мы меняем местами 𝑎 и 𝑑, а затем берем отрицательное 𝑏 и отрицательное 𝑐. Инверсия 𝑎 будет обратна 10, минус шесть, минус четыре, минус семь. Детерминант будет равен единице на 10, умноженной на минус семь, минус 70, минус шесть раз на минус четыре, что будет положительным 24. Минус 70 минус 24 равно минус 94.

Наш детерминант равен минус один девяносто четвертых, минус один больше 94. Меняем местами отрицательную семерку и 10. Нужно взять отрицательное значение отрицательной шестерки, положительной шестерки. А отрицательное значение отрицательной четверки равно положительной четверке. Наша обратная матрица 𝐴 — это минус один девяносто четвертых, минус семь, шесть, четыре, 10. Помните, что для нахождения матрицы 𝐵 мы берем обратную матрицу 𝐴 и умножаем ее на 𝐴𝐵. Чтобы умножить эти две матрицы два на два вместе, мы найдем скалярное произведение первой строки и первого столбца. Это означает, что мы умножим отрицательное семь раз на 24. А затем мы добавим шесть раз 28. Отрицательное семь раз умножим на 124, что равно отрицательному 168. Шесть умножить на 28 равно положительному 168. Когда мы сложим их вместе, мы получим ноль.

Переходя к следующей позиции, мы возьмем скалярное произведение первой строки и второго столбца: минус семь раз 72 плюс шесть раз минус 57. Минус семь раз 72 равно минус 504. Шесть раз минус 57 равно минус 342 Сумма этих двух значений равна отрицательной величине 846.

И мы готовы перейти к следующей позиции, второй строке, первому столбцу. Скалярное произведение будет четыре раза по 24 плюс 10 раз по 28. Четыре раза по 24 равно 96. 10 раз по 28 равно 280. А вместе они равняются 376. Теперь последняя позиция, вторая строка, второй столбец, четыре раза по 72 плюс 10 раз минус 57. Четыре раза по 72 равно 288. 10 раз минус 57 равно минус 570. Вместе эти два значения равны минус 282. Это заканчивает наше матричное умножение.

Но у нас все еще есть скаляр, на который нам нужно умножить. Мы должны умножить каждое значение в матрице на отрицательную единицу больше 94. Ноль умножить на отрицательную единицу больше 94 равно нулю.