Алгебра производные: Определение производной функции — урок. Алгебра, 10 класс.

В статье говорится о том, как важно знать, как обращаться с производными функций, которые имеют множество практических применений. Затем он разрабатывает основное определение производной функции. Кроме того, статья переходит к алгебре производных, которая объясняет производные вещественных дифференцируемых функций с помощью основных операций — сложения, вычитания, умножения и деления.

Он разрабатывает вывод четырех правил — правила сумм, правила разности, правила произведения и правила частного. Далее также перечислены несколько других важных правил, таких как постоянное правило, правило мощности, общее правило мощности и правило цепочки. Затем он завершается несколькими примерами, чтобы понять вычисления, связанные с алгеброй производных функций.

Узнайте о применении исчисления в нашей повседневной жизни

Q. 1.Как найти производную функции от функции?
Ответ: Производную функции можно вычислить с помощью цепного правила дифференцирования, которое гласит:
\(\frac{d}{{dx}}\left[{f \circ g\left ( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx}}\left[{f\left({g\left( x \right)} \right)} \right].\frac{d }{{dx}}g\left( x \right)\) 92}} \right).2x\)
\( = 5\left({2x} \right)\)
\( = 10\,x\)

Q.2. Что такое алгебра дифференцирования?
Ответ: Основные операции над производными также известны как алгебра дифференцирования.
1. Правило суммы: \(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) + g\left(x \right)} \right] = \frac{d}{ {dx}}\left[{f\left( x\right)} \right] + \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x\right)} \right]\)
2. Правило разности: \(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) – g\left(x \right)} \right] = \frac{d}{{ dx}}\left[{f\left( x\right)} \right] – \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x\right)} \right]\) 92}} \справа)}}\)

Q. 3. Что такое производная функции в исчислении?
Ответ: Если \(f\left( x \right)\) – функция с действительным знаком, дифференцируемая в точке a, и если область содержит открытый интервал \(I\), содержащий a и предел \ (L = \ underset{{h \to 0}}{\mathop {\lim}} \frac{{f\left({a + h}\right) – f\left(a \right)}}{h }\) существует, этот предел называется производной функции \(f\left( x \right)\) в точке \(a.\)

Вопрос 4. Каковы правила дифференцирования 7 ?
Ответ: Основные семь правил дифференцирования таковы:
i. Правило суммы:
\(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx }}\left[{f\left( x \right)}\right] + \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x \right)} \right]\)
ii. Правило разности:
\(\frac{d}{{dx}}\left[{f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{dx }}\left[{f\left( x \right)}\right] – \frac{d}{{dx}}\left[{g\left( x \right)} \right]\)
III. 2}}}\) 9{n – 1}}\)
vii. Цепное правило: \(\frac{d}{{dx}}\left[{f \circ g\left( x \right)}\right] = \frac{d}{{dx}}\left[{f \left({g\left( x \right)} \right)} \right].\frac{d}{{dx}}g\left( x \right)\)

Q.5. Как работает правило продукта?
Ответ: Когда есть произведение двух функций, производная которых должна быть вычислена, следует использовать правило произведения производных. Согласно правилу произведения производная произведения двух функций равна сумме производной первой функции, умноженной на вторую, и первой функции, умноженной на производную второй функции. 92} + 82х + 3\)

Практические вопросы о производных функциях с советами и решениями

Алгебра производных функций

Производные являются неотъемлемой частью исчисления. Они измеряют скорость изменения любого количества. Предположим, есть резервуар для воды, из которого вытекает вода. Местного инженера просят измерить время, за которое резервуар для воды опустеет. В таком сценарии инженеру необходимо знать две вещи — размер резервуара для воды и скорость, с которой вода вытекает из него. Размер резервуара можно легко узнать, но для измерения скорости утечки воды ему придется использовать производные. Таким образом, производные переплетаются в нашей жизни. Легко вычислить производные для простых функций, но когда функции становятся сложными, правильный подход к этой проблеме состоит в том, чтобы разбить проблему на подзадачи, которые легче решить. Давайте посмотрим на некоторые правила и подходы, чтобы сделать это в случае деривативов.

Производные инструменты

Производные инструменты основаны на концепции пределов. Они измеряют разницу между значениями функции в интервале, ширина которого приближается к нулевому значению. Например, пусть задана функция f(x), и цель состоит в том, чтобы вычислить производную этой функции в точке x = a с использованием пределов. Обозначается через или f'(x).

При x = a,

Обратите внимание на рисунок: интервал «h» приближается к нулю. Линия приближается к касательной от хорды. Это означает, что теперь производная, когда h приближается к нулю, дает нам наклон касательной в этой конкретной точке.

Производные некоторых основных функций

В таблице ниже показаны производные некоторых стандартных основных функций.

Правила дифференцирования

В приведенной выше таблице представлены производные некоторых стандартных функций, но в реальной жизни функции не всегда бывают простыми. Обычно встречающиеся функции включают более одной функции, связанной друг с другом операторами, такими как сложение, вычитание, умножение и деление. В таких случаях очень громоздко решать производные через определение их пределов. Для облегчения таких расчетов были даны определенные правила: 

1. Правило суммирования или разности
2. Правило произведения и деления

Рассмотрим две функции f(x) и g(x). Допустим, есть третья функция h(x), которая объединяет эти две функции.

Правило суммирования и разности:

Случай 1: h(x) = f(x) + g(x) 

Эта функция представляет собой сумму производной f(x) и g(x) таких функций определяется выражением

⇒

или

h'(x) = f'(x) + g'(x)

Случай 2: h(x) = f(x) – g(x)

Эта функция представляет собой разность f(x) и g(x), производная таких функций определяется выражением

⇒

или

h'(x) = f'(x) – g'(x) 

Правила произведения и деления:

Случай (i): h(x) = f( x) x g(x)

Эта функция является произведением функций f(x) и g(x), производная таких функций определяется выражением

⇒

или

h'(x) = f'(x)g(x) + g'(x) f(x)

Случай (i): h(x) =

Эта функция представляет собой деление f(x) и g(x), производная таких функций определяется выражением

⇒

или

h'(x) =

Правила деления и произведения также называются правилами Лейбница. .

Давайте рассмотрим несколько примеров задач с этими правилами.

Примеры задач 

Вопрос 1. Найдите производную для заданной функции f(x).

f(x) = x ² + 3x

Решение:

Эта функция является суммой двух различных функций. Здесь будет использоваться правило суммы.

f(x) = x ² + 3x

Здесь h(x) = x ² и g(x) = 3x.

f(x) = h(x) + g(x)

⇒f'(x) = h'(x) + g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f’ (x) =

⇒f'(x) = 2x + 3

Вопрос 2: Найдите производную для заданной функции f(x).

f(x) = e ^x + sin(x)

Решение:

Эта функция является суммой двух различных функций. Здесь будет использоваться правило суммы.

f(x) =e ^x + sin(x)

Здесь h(x) =e ^x и g(x) = sin(x)

f(x) = h(x) + g(x)

⇒f'(x) = h'(x) + g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x ) = e ^x + cos(x)

Вопрос 3. Найдите производную для заданной функции f(x),

f(x) = 5x ⁴ – 3x ²  

Решение:

Эта функция представляет собой разность двух разных функций. Здесь будет использоваться правило разности.

f(x) = 5x ⁴ – 3x ²  

Здесь h(x) = 5x ⁴ и g(x) = 3x ²  

fx(x) =

fx(x) – g(x)

⇒f'(x) = h'(x) – g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x ) = 20x ³ + 6x

Вопрос 4. Найдите производную для заданной функции f(x),

f(x) = 5log(x) – 3x

6 Решение: 6 функция есть разность двух разных функций. Здесь будет использоваться правило разности.

f(x) = 5log(x) – 3x

Здесь h(x) = 5log(x) и g(x) = 3x

f(x) = h(x) – g (x)

⇒f'(x) = h'(x) – g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x) =

Вопрос 5: Найдите производную для заданной функции f(x),

f (x) = 5x ⁴ . sin(x)

Решение:

Эта функция является произведением двух разных функций. Здесь будет использоваться правило произведения.

f(x) =5x ⁴ .sin(x)

Здесь h(x) =5x ⁴ и g(x) = sin(x)

f(x) = h(x) .g(x)

⇒ f'(x) = h'(x) g(x) + h(x)g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f'(x) =

⇒f’ (x) = 20x ³ sin(x) + 5x ⁴ cos(x)

^x .log(x)

Решение:

Эта функция является произведением двух разных функций. Здесь будет использоваться правило произведения.

f(x) =5e ^x .log(x)

Здесь h(x) = 5e ^x и g(x) = log(x)

f(x) = h(x).g(x) 

⇒f'(x) = h’ (x) g(x) + h(x)g'(x)

⇒ f'(x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x) =

Вопрос 7 : Найдите производную для заданной функции f(x),

f(x) =

Решение:

Эта функция представляет собой деление двух разных функций. Здесь будет использоваться правило деления.

f(x) =

Здесь h(x) =x + 1 и g(x) = 2x

f(x) =

⇒f'(x) =

⇒ f'(x) =

⇒f'( x) =

⇒f'(x) =

⇒f'(x) =

Решение: 

Эта функция представляет собой разделение двух разных функций. Здесь будет использоваться правило деления.

f(x) =

Здесь h(x) = log(x) и g(x) = 2x 9по чистым производным алгебра

Пусть R — любая коммутативная уникальная область факторизации (UFD) и неопределенные значения x и h. Например, пусть R=ℝ обычных действительных чисел или любого другого поля. Мы рассматриваем R⁢[x] как подкольцо R⁢[x,h].

Мы выводим определение производных полиномиальных и рациональных функций над R вместе с обычными правилами: правилом произведения и правилом степени. Несмотря на абстрактный характер определений, механика отражает общее понимание вводного исчисления без какой-либо апелляции к ε-δ пределам анализа в стиле Коши.

Определение 1.

Определить

f⁢(x+h)-f⁢(x)h=a1⁢(x,h)⁢⋯⁢am⁢(x,h)

где f⁢(x+h)-f⁢(x)=h⁢a1⁢(x,h)⁢⋯⁢am⁢(x,h) в УФО R⁢[x,h]. Кроме того, учитывая g⁢(x,h)∈R⁢[x,h], определите

limh→0⁡g⁢(x,h)=g⁢(x,0)

(это просто гомоморфизм вычислений при h=0.) Наконец определите

d⁢fd⁢x:=limh→0⁡f⁢(x+h)-f⁢(x)h=a1⁢(x,0)⁢⋯⁢am⁢(x,0).

Мы также обозначаем d⁢fd⁢x через f′⁢(x).

Пример 1.

дд⁢x⁢(5⁢x2-7⁢x+9)=10⁢x-7.

Доказательство.

Сначала мы уменьшаем дробь способом, идентичным обычным методам исчисление:

	дд⁢х⁢(5⁢х2-7⁢х+9)	=	limh→0⁡(5⁢(x+h)2-7⁢(x+h)+9)-(5⁢x2-7⁢x+9)h
		=	limh→0⁡5⁢x2+10⁢x⁢h+5⁢h3-7⁢x-7⁢h+9-5⁢x2+7⁢x-9h
		=	limh→0⁡10⁢x⁢h+5⁢h3-7⁢hh
		=	limh→0⁡10⁢x+5⁢h-7.

На этом этапе мы должны интерпретировать limh→0. Поскольку предельное обозначение просто означает, что для оценки этого многочлена при h = 0 мы находим:

дд⁢x⁢(5⁢x2-7⁢x+9)=10⁢x+5⁢(0)-7=10⁢x-7.

Это отличается от типичного подхода, когда говорят, что h «приближается» 0. Однако в решении нет разницы и почти нет разницы находится в методе, только в интерпретации метода. ∎

Предложение 2.

Формула производной корректно определена. Особенно, h делит f⁢(x+h)-f⁢(x)∈R⁢[x,h] для каждого f⁢(x)∈R⁢[x], и a1⁢(x,h)⁢⋯⁢am⁢(x,h) уникальны для f⁢(x).

Доказательство.

Для всех f⁢(x),g⁢(x)∈R⁢[x] следует

(f+g)⁢(x+h)-(f+g)⁢(x)=f⁢(x+h)+g⁢(x+h)-f⁢(x)-g⁢(x) ⁢(f⁢(x+h)-f⁢(x))+(g⁢(x+h)-g⁢(x)).

Кроме того, для всех a∈R

(a⁢f)⁢(x+h)-(a⁢f)⁢(x)=a⁢f⁢(x+h)-a⁢f⁢(x)=a⁢(f⁢(x+h) )-f⁢(x)).

Итак, теперь, если мы возьмем f⁢(x)=a0+a1⁢x+⋯+an⁢xn, тогда h|(f(x+h)-f(x)) если h|((x+h)i-xi) для каждого i∈ℕ. Когда i=0, (x+h)0-x0=0, поэтому h|((x+h)0-x0). Теперь возьмем i>0 и используя биномиальную теорему, чтобы найти:

	(х+ч)i-xi	=	∑j=0i(ij)⁢xi-j⁢hj-xi
		=	∑j=1i(ij)⁢xi-j⁢hj
		=	ч⁢∑j=1i(ij)⁢xi-j⁢hj-1.

Следовательно, h|(f(x+h)-f(x)).

Поскольку R является UFD, то и R⁢[x,h]. Также h неприводим в R⁢[x,h] и h|(f(x+h)-f(x)), поэтому f⁢(x+h)-f⁢(x)=h⁢a1⁢(x,h)⁢⋯⁢am⁢(x,h) для некоторых ai⁢(x,h)∈R⁢[x,h], 1≤i≤m, причем каждое ai⁢(x,h) уникально для f⁢(x+h)-f⁢(x) с точностью до умножения на единица R⁢[x,h], то есть единица R. В частности, a1⁢(x,h)⁢⋯⁢am⁢(x,h) уникален для f⁢(x+h)- f⁢(x), и поэтому уникален для f⁢(x). ∎

Теорема 4.

Производные удовлетворяют следующим правилам:

• Линейность

  Для f⁢(x),g⁢(x)∈R⁢[x] и a∈R

  dd⁢x⁢(f⁢(x)+g⁢(x))=d⁢fd⁢x+d⁢gd⁢x,dd⁢x⁢(a⁢f⁢(x))=a⁢d⁢fd ⁢х,

• Силовое правило

  дд⁢x⁢(xn)=n⁢xn-1.

• Правило продукта

  dd⁢x⁢(f⁢(x)⁢g⁢(x))=d⁢fd⁢x⁢g⁢(x)+f⁢(x)⁢d⁢gd⁢x.

Эта форма формальной производной применима к любому UFD, а значит, и к ℝ. Таким образом, можно выразить полиномиальное исчисление в терминах алгебраической теории без какого-либо надлежащего использования пределов. Это скрывает многие геометрические свойства, такие как наклон касательной к графику. Однако с вычислительной точки зрения этот метод показывает, что ε, δ-пределы не требуются для вычисления производных.

Хотя для правильного понимания R⁢[x,h]/(h) требуется абстрактная алгебра, такая как частное колец, этот подход по-прежнему обеспечивает элементарные доказательства производных правил, таких как правило произведения. Хотя в этом нет необходимости, проводить различие между R⁢[x] и R⁢[x,h]/(h) можно использовать ≡, когда мы рассматриваем выражения в R⁢[x,h]/(h), если различие уточняется.

Можно также обобщить производную для применения к общей рациональной функции f⁢(x)∈R⁢(x) соблюдая 1=xn⁢x-n. Поэтому

	дд⁢x⁢(1)=дд⁢x⁢(xn⁢x-n)
	0=дд⁢x⁢(xn)⁢x-n+xn⁢dd⁢x⁢(x-n)
	0=n⁢xn-1⁢x-n+xn⁢dd⁢x⁢(x-n)=nx+xn⁢dd⁢x⁢(x-n).

Теперь найдите dd⁢x⁢(x-n).

дд⁢x⁢(xn)=-nx⁢1xn=(-n)⁢x(-n)-1.

Таким образом, мы также получаем обычное правило частных:

дд⁢x⁢(fg)=f′⁢(x)⁢g⁢(x)-f⁢(x)⁢g′⁢(x)g⁢(x)2.

Производные Бернштейна–Зелевского: подход на основе алгебры Гекке | Уведомления о международных математических исследованиях

Журнальная статья

Кей Юэн Чан,

Кей Юэн Чан

Ищите другие работы этого автора на:

Оксфордский академический

Google ученый

Гордан Савин

Гордан Савин

Ищите другие работы этого автора на:

Оксфордский академический

Google ученый

International Mathematics Research Notices , Volume 2019, Issue 3, February 2019, Pages 731–760, https://doi. org/10.1093/imrn/rnx138

Опубликовано:

06 июля 2017

История статьи

Получен:

28 февраля 2017 г.

Полученная ревизия:

18 мая 2017

Принято:

30 мая 2017

Опубликовано:

06 июль 2017

PDF

Разделенный вид

• Содержание статьи
• Рисунки и таблицы
• видео
• Аудио
• Дополнительные данные

Цитировать

Cite

Kei Yuen Chan, Gordan Savin, Bernstein – Zelevinsky Derivatives: a Hecke Algebra Approach, International Mathematics Research Notices , Volume 2019, Issue 3, February 2019, Pages 731–760, https://doi. org /10.1093/имрн/rnx138

Выберите формат Выберите format.ris (Mendeley, Papers, Zotero).enw (EndNote).bibtex (BibTex).txt (Medlars, RefWorks)

Закрыть

Разрешения

• Электронная почта
• Твиттер
• Фейсбук
• Подробнее

Фильтр поиска панели навигации Уведомления о международных исследованиях в области математикиЭтот выпускPure MathematicsКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска мобильного микросайта

Закрыть

Фильтр поиска панели навигации Уведомления о международных исследованиях в области математикиЭтот выпускPure MathematicsКнигиЖурналыOxford Academic Термин поиска на микросайте

Advanced Search

Abstract

Пусть G — общая линейная группа над p-адическим полем. Хорошо известно, что бернштейновы компоненты категории гладких представлений группы G описываются алгебрами Гекке, возникающими из типов Бушнелла–Куцко. Мы описываем компоненты Бернштейна представления Гельфанда–Граева группы G явными модулями алгебры Гекке. Этот результат используется для перевода теории производных Бернштейна–Зелевинского на язык представлений алгебр Гекке, где мы развиваем исчерпывающую теорию.

1 Введение

Производные Бернштейна–Зелевинского были впервые введены и изучены в [5] и [23] и являются важным инструментом в теории представлений общих линейных групп над p-адическими полями. Одна из целей этой статьи — сформулировать функторы для алгебр Гекке, соответствующие производным Бернштейна–Зелевинского, и показать, что производные Бернштейна–Зелевинского могут быть определены из соответствующих функторов алгебры Гекке. Преимущество нашего подхода состоит в том, что некоторые представления, такие как обобщенные модули Шпеха, имеют явное описание в терминах соответствующих модулей алгебры Гекке, а не просто определяются как факторы Ленглендса. Таким образом, в качестве приложения нашего исследования мы вычисляем производные Бернштейна–Зелевинского обобщенных модулей Шпе методом, который не использует детерминантную формулу Тадича [20] и Лапида–Мингеса [13] или полиномы Каждана–Люстига [10]. , 24].

1.1 Основные результаты

Пусть F — p-адическое поле. Пусть G — общая линейная группа над F⁠. Категория ℜ(G) гладких представлений группы G может быть описана алгебрами Гекке, возникающими из типов Бушнелла–Куцко [7]. Чтобы упростить обозначения, мы будем обсуждать только простые типы. Это ограничение не приведет к потере общности в том, что касается теории производных Бернштейна–Зелевинского. Итак, пусть G (или Gn, если нам нужно различать общие линейные группы разного ранга) будет группой GLnr(F), где r — фиксированное целое число. Группа G содержит группу Леви L=GLr(F)n⁠. Пусть δ — суперкаспидальное представление группы GLr(F)⁠. Тогда τ=δ⊠…⊠δ является суперкаспидальным представлением L⁠. Пара s=[L,τ] (или sn⁠) определяет бернштейновскую компоненту ℜs(G) ℜ(G)⁠.

Тип — это представление ρ открытой компактной подгруппы K группы G⁠. Если π является гладким представлением G⁠, то πρ=(π⊗ρ∨)K, естественно, является модулем для H(G,ρ)⁠, алгебры Гекке End(ρ∨)-значных функций на G⁠. Тип ρ называется типом Бушнелла–Куцко, если π↦πρ является эквивалентностью ℜs(G) и категории H(G,ρ)-модулей. Для описанного выше sn⁠ такой тип ρn построен в [7] и в [22] в ручном случае. Кроме того, доказано, что H(G,ρn) изоморфна Hn⁠, алгебре Ивахори–Гекке группы GLn(F′)⁠, где F′ является расширением F, зависящим от ρn⁠. Группа Вейля GLn(F′) изоморфна группе матриц перестановок Sn⁠, а Hn имеет конечномерную подалгебру HSn с базисом Tw характеристических функций двойных смежных классов по w∈Sn⁠. Алгебра HSn имеет одномерное представление sign⁠, Tw↦(−1)l(w)⁠, где l — функция длины на Sn⁠.

Пусть U — унипотентная подгруппа всех строго верхних треугольных матриц в G⁠. Пусть ψ — характер Уиттекера U⁠. Одним из основных результатов данной статьи является описание бернштейновских компонент представления Гельфанда–Граева indUGψ в терминах действия алгебры Гекке:  

Эта теорема доказана в [9] для компоненты, состоящей из представлений, порожденных их -фиксированные векторы явным вычислением. Здесь мы даем более абстрактное доказательство, использующее проективность indUGψ и то, что компоненты Бернштейна indUGψ конечно порождены, результат Бушнелла и Хенниарта [6]. Таким образом, наш результат является уточнением их результатов для общей линейной группы. Проективность indUGψ была доказана Прасадом в [16] с помощью аргумента, весьма специфичного для общих линейных групп. В Приложении мы доказываем проективность представления Гельфанда–Граева в очень общем случае.

Теорема 1.1 играет важную роль в формулировке производных Бернштейна–Зелевинского на языке алгебр Гекке. Для этого пусть

Sn=(∑w∈Sn(1/q)l(w))−1∑w∈Sn(−1/q)l(w)Tw∈Hn.

Если σ — Hn-модуль, то Sn(σ) — sign-изотипное подпространство σ⁠. Для каждого i=1,…,n−1 имеем вложение алгебры Гекке Hn−i⊗Hi в Hn⁠. В частности, отображение h↦h⊗1 реализует Hn−i как подалгебру в Hn⁠. Пусть Sin — образ 1⊗Si⁠ в Hn, где Si — проектор знака в Hi⁠. Для каждого Hn-модуля σ⁠

BZi(σ):=Sin(σ)

(1.1)

естественно является Hn−i-модулем. Это i-я производная от σ⁠. Пусть π — гладкое представление Gn⁠, а π(l) — его l-я производная Бернштейна–Зелевинского. Если π принадлежит ℜsn(Gn)⁠, то π(l)=0, если только l не кратно r⁠, и тогда π(ir) является объектом в ℜsn−i(Gn−i)⁠.

Аналогично можно сформулировать производные Бернштейна–Зелевинского для градуированных алгебр Гекке. В разделах 5 и 6 мы проверяем, что производные Бернштейна–Зелевинского аффинных алгебр Гекке и градуированных алгебр Гекке согласуются при редукциях Люстига. Причина формулировки производных Бернштейна–Зелевинского для градуированных алгебр Гекке заключается в том, что можно применить теорию представлений симметрических групп, в частности правило Литтлвуда-Ричардсона, для вычисления производных Бернштейна–Зелевинского обобщенных представлений Шпе, подробности см. в разделе 7. .

2 Аффинная алгебра Гекке

2.1 Проективные модули

Пусть Hn — алгебра Ивахори–Гекке группы GL(n) над p-адическим полем F′⁠. Как абстрактная алгебра, Hn порождается элементами T1,…,Tn−1 и алгеброй An=ℂ[x1±1,…,xn±1] многочленов Лорана. Алгебра An изоморфна групповой алгебре решетки ℤn⁠ следующим образом. Групповая алгебра состоит из элементов θx, где x∈ℤn с умножением θx⋅θy=θx+y⁠. Мы можем идентифицировать две алгебры как θx=x1m1⋯xnmn, где x=(m1,…,mn)∈ℤn⁠. Мы будем использовать оба обозначения для элементов из An по своему усмотрению. Элементы Tj удовлетворяют квадратичному соотношению (Tj+1)(Tj−q)=0 (и соотношению кос), а отношение между Tj и f∈An определяется соотношением

Tjf−fsjTj=(q−1)xjf−fsjxj−xj+1,

(2.2)

где sj — перестановка (j,j+1), а fsj получается из f перестановкой xj и xj+ 1⁠. Группа Вейля GL(n) изоморфна группе перестановок Sn⁠, а центр Zn группы Hn равен подалгебре Sn-инвариантных полиномов Лорана в An⁠. Воспользуемся тем, что An — свободный Zn-модуль ранга |Sn|⁠. Пусть HSn — подалгебра в Hn, порожденная элементами Tj⁠, j=1,…,n−1⁠. Это конечная алгебра, натянутая на элементы Tw⁠, w∈Sn⁠, где Tw — произведение Tj, заданное кратчайшим выражением w как произведения простых отражений. В частности, размерность HSn равна |Sn|⁠. Мы также воспользуемся тем, что умножение в Hn элементов из An и HSn дает изоморфизмы

Hn≅An⊗ℂHSn≅HSn⊗ℂAn.

Алгебра HSn имеет два одномерных представления: тривиальное, где Tj=q для всех j⁠, и знаковое представление, где Tj=−1 для всех j⁠. Скрученное представление Стейнберга — это одномерное представление Hn такое, что его ограничение на HSn является представлением со знаком. Этот параграф посвящен доказательству следующей теоремы.

 

 

Из леммы вместе с первым предположением о Π⁠ следует, что Π≅Anr как An-модуль.

 

Пусть J и π такие, как в лемме. Тогда Π/JΠ имеет композиционный ряд такой, что любой неприводимый подфактор изоморфен π⁠. Поскольку Π/JΠ аннулируется J⁠, по простому применению леммы 2.3 это прямая сумма r копий π⁠. Отсюда r=1⁠ по второму предположению относительно Π⁠.

Доказательство этой леммы находится в следующем разделе. Из леммы в сочетании с третьим предположением о Π⁠ следует, что Π изоморфен Hn⊗HSnsgn⁠. Это завершает доказательство теоремы 2.1.

Примечание 2.5.

 

Авторы благодарят рецензента за указание на то, что структуру конечно порожденных проективных модулей можно понять из K-теории аффинных алгебр Гекке [18, раздел 5.1]. Некоторые явные K-теоретические вычисления можно найти в [17, гл. 6]. □

2.2 Hn-модульная структура на An

Основная цель этого параграфа — доказать лемму 2. 4. Это будет достигнуто явным вычислением h3⁠, из которого мы выведем общий случай. Мы работаем в более общем контексте и заменяем A2 на A[x1±1,x2±1], где A — ℂ-алгебра. Итак, предположим, что у нас есть h3-структура на A[x1±1,x2±1]⁠. В частности, если g(x1,x2)∈A[x1±1,x2±1] обратима, то

T1(g(x1,x2))=f(x1,x2)g(x1,x2)

для некоторого f(x1,x2)∈A[x1±1,x2±1]⁠, в зависимости от g (x1,x2)⁠. Используя соотношение (2.2), из соотношения T12=(q−1)T1+q следует, что f(x1,x2) удовлетворяет следующему полиномиальному уравнению:

f(x1,x2)f(x2,x1)=(q −1)(x1f(x2,x1)−x2f(x1,x2)x1−x2)+q.

Итак, наша задача — решить это полиномиальное уравнение. С этой целью мы сокращаем

f˜(x1,x2)=x1f(x2,x1)−x2f(x1,x2)x1−x2,

и выводим некоторые явные формулы для f˜⁠. Предположим, что f(x1,x2)=x1nx2m⁠. Если m≥n, то

f˜(x1,x2)=x1mx2n+x1m−1x2n+1+…+x1nx2m.

Если m

f˜(x1,x2)=−x1n−1x2m+1−…−x1m+1x2n−1.

Напишите f(x1,x2)=∑an,mx1nx2m и определите

maxdeg(f(x1,x2))=max{n+m∈ℤ:an,m≠0},mindeg(f(x1,x2 ))=мин{n+m∈ℤ:an,m≠0}​.

 

 

Из леммы следует, что решением полиномиального уравнения является полином Лорана f(x), где x=x2/x1⁠. Мы сокращаем

f˜(x)=x−1/2f(x−1)−x1/2f(x)x−1/2−x1/2.

 

С учетом разложения тензорного продукта hn≅an⊗ℂhsn⁠ следующее следствие завершает доказательство Lemma 2.4:

3 Gelfand – Graev. р-адическая редуктивная группа. Пусть K — открытая компактная подгруппа группы G, а (ρ, E) — гладкое конечномерное представление группы K⁠. Пусть H(G,ρ) — алгебра End(E∨)-значных функций на G с компактным носителем, таких что f(kgk′)=ρ∨(k)f(g)ρ∨(k′) для k,k ′∈К⁠.

Пусть S(G) — пространство локально постоянных функций с компактным носителем на G⁠, и пусть eρ∈S(G) определяется равенством

eρ(x)=dim(ρ)vol(K)trE(x−1)

, если x∈K, и 0 в противном случае. Тогда eρ∗eρ=eρ⁠. Пусть Hρ=eρ∗S(G)∗eρ⁠. Две алгебры связаны каноническим изоморфизмом Hρ≅H(G,ρ)⊗End(E)⁠, см. [8]. Если (π, V) — гладкое представление G⁠, пусть

Vρ=HomK(E,V)≅(E∨⊗V)K.

Заметим, что f∈H(G,ρ) естественным образом действует на e∨⊗v∈E∨⊗V по формуле

πρ(f)(e∨⊗v)=∫Gf(g)(e∨)⊗ π(g)(v) dg.

Это действие сохраняет подпространство (E∨⊗V)K⁠ и определяет структуру H(G,ρ)-модуля на Vρ⁠. С другой стороны,

π(eρ)⋅V≅Vρ⊗E

, естественно, является Hρ-модулем. Эти две структуры совместимы относительно изоморфизма Hρ≅H(G,ρ)⊗End(E)⁠.

 

Пусть f∈H(G,ρ)⁠. Тогда f(g)∈End(E)⁠. Пусть f¯(g) — образ f(g) при композиции следующих изоморфизмов:

End(E)≅E⊗E∨≅End(E∨).

Пусть f*(g)=f¯(g−1)⁠. Тогда отображение f↦f* является антиизоморфизмом H(G,ρ) и H(G,ρ∨)⁠. Пусть (π∨,V∨) — гладкий дуал к (π,V)⁠. Тогда Vρ∨∨ — H(G,ρ∨)-модуль. Имеем естественный изоморфизм

(Vρ)*=((E∨⊗V)K)*≅(E⊗V∨)K=Vρ∨∨

векторных пространств, где (Vρ)* — линейная двойственность к Vρ⁠. На (Vρ)* у нас есть антидействие πρ* группы H(G,ρ)⁠. Через изоморфизм (Vρ)*≅Vρ∨∨ два действия связаны формулой

πρ*(f)=πρ∨(f*).

3.2 Разложение Бернштейна

Пусть ℜ(G) — категория гладких представлений группы G⁠. Напомним некоторые понятия и свойства разложения Бернштейна и теории типов Бушнелла–Куцко [7, 8], в основном для случая общих линейных групп.

Пусть B(G) — множество классов G-инерциальной эквивалентности. Для каждого s∈B(G)⁠ пусть ℜs(G) будет компонентой Бернштейна, ассоциированной с s⁠. Точнее, класс инерционной эквивалентности s состоит из пар (L,τ)⁠, где L — подгруппа Леви группы G, τ — суперкуспидальное представление, а ℜs(G) — полная подкатегория ℜ(G), объекты которой имеют свойство, состоящее в том, что каждый неприводимый подфактор появляется как композиционный фактор группы IndPG(τ⊗χ) для некоторого неразветвленного характера χ группы L, а P является параболической подгруппой с частью Леви L⁠. Две пары (L1,τ1) и (L2,τ2) принадлежат одному и тому же классу эквивалентности тогда и только тогда, когда они определяют одни и те же подкатегории в ℜ(G)⁠. Разложение Бернштейна утверждает, что существует эквивалентность категорий:

ℜ(G)≅∏s∈B(G)ℜs(G).

 

Рассмотрим теперь частный случай, когда G=GLnr(F) и класс инерционной эквивалентности sn задается как

τ=δ⊠…⊠δ,

(3. 4)

, где δ — суперкуспидальное представление GLr(F), а число факторов равно n⁠. Пусть P — параболическая подгруппа группы GLnr(F)⁠ с L⁠ Леви, состоящая из блочных верхнетреугольных матриц. Пусть Stn(δ) — единственный неприводимый фактор

IndPG(ν1−n2δ⊠ν3−n2δ⊠…⊠νn−12δ)

как в [5, раздел 9.1]. Тогда Stn(δ) является представлением, существенно интегрируемым с квадратом, также известным как обобщенное представление Стейнберга. Мы имеем следующий результат, принадлежащий Бушнеллу и Куцко (и Вальдспургеру [22] в ручном случае):  

Пусть U — унипотентная группа верхнетреугольных матриц в G⁠. Пусть ψ:U→ℂ× — функционал Уиттекера. Представление Гельфанда–Граева — это индуцированное представление indUG(ψ)⁠, состоящее из функций на G с компактным носителем по модулю U⁠.

 

Помимо изоморфизма ϵ:Hn→H(G,ρn)⁠ существует также изоморфизм ϵ∨:Hn→H(G,ρn∨)⁠. Поскольку (ϵ(Tj))* поддерживается тем же двойным смежным классом, что и ϵ∨(Tj)⁠, и удовлетворяет тому же квадратному уравнению, эти два элемента должны быть одинаковыми. Следовательно, следующая диаграмма коммутирует, здесь левая вертикальная стрелка — это антиинволюция HSn, определяемая Tj*=Tj для всех j=1,…,n−1⁠.

Если (π, V) — гладкое представление G⁠, пусть VU,ψ — максимальное частное V, такое, что U действует на него посредством ψ⁠. Напомним, что

Sn=(∑w∈Sn(1/q)l(w))−1∑w∈Sn(−1/q)l(w)Tw,

, где l — функция длины на Sn⁠, равна проектор знаков.

 

 

 

Теперь предположим, что V допустимо. Тогда VU,ψ¯ и Sn(Vρn) конечномерны. По лемме Йонеды из леммы 3.6 следует теорема 3.5. ▪

Пусть I подгруппа Ивахори группы G⁠. В случае, когда (π,V) принадлежит бернштейновской компоненте представлений, порожденных их I-неподвижными векторами, теорема 3.5 верна для всех гладких представлений, т.е. без предположения о допустимости. Это следствие 4.5 в [9], что доказывается с помощью явной версии теоремы 3. 4, доступной для случая Ивахори. В этом случае Sn(Vρn) — это просто Sn(VI)⁠. Включение Sn(VI) в V с последующим проецированием на VU,ψ¯ дает отображение ϕV⁠.

4 Производные Бернштейна–Зелевинского

В этом разделе мы немного изменим обозначения и напишем Gn=GLnr(F)⁠. Мы также будем использовать π для обозначения пространства гладкого представления группы Gn⁠. Как и ранее, ρn является sn-типом.

4.1 Функтор Жаке

Пусть P=MN — минимальная параболическая подгруппа группы Gn блочно-верхних треугольных матриц с матрицей Леви M=Gn−i×Gi⁠ и унипотентным радикалом N⁠. Ограничение K-типа ρn на KM=K∩M неприводимо и изоморфно ρn−i⊠ρi⁠. Имеем следующую коммутативную диаграмму, являющуюся следствием теоремы (7.6.20) из [7]:

, где вертикальные отображения — инъекции. Левое вертикальное отображение m явно описывается следующим образом: m(Tj⊗1)↦Tj и m(xj⊗1)↦xj⁠, для j=1,…n−i−1⁠; m(1⊗Tj)↦Tj+n−i и m(1⊗xj)↦xj+n−i⁠ для j=1,…i−1⁠.

Пусть π — гладкое представление группы Gn⁠. Тогда πρn является H(M,ρn−i⊠ρi)-модулем по ограничению из H(Gn,ρn)⁠. Пусть πN — нормированный функтор Жаке, т. е. максимальное частное числа π, при котором N действует тривиально. Тогда у нас есть естественное отображение πρn→(πN)ρn−i⊠ρi⁠.

4.2 Производные Бернштейна–Зелевинского

Пусть Ui — подгруппа M, состоящая из матриц вида

(Ir(n−i)00u),

, где u — строго верхняя треугольная матрица в Gi⁠. Характер ψ¯ проводника p определяет характер Уиттекера ψ многообразия Ui

ψ(u)=∑j=r(n−i)+1rn−1ψ¯(uj,j+1),

, где uj,j+1 относится к элементам матрицы. Пусть ω — гладкий M-модуль. Пусть ωUi,ψ — пространство ψ-скрученных Ui-коинвариантов. Это, естественно, Gn−i-модуль. i-я производная Бернштейна–Зелевинского гладкого Gn-модуля π определяется формулой

π(ri)=(πN)Ui,ψ.

(4.5)

Таким образом, ri-я производная Бернштейна–Зелевинского является функтором из категории гладких Gn-модулей в категорию гладких Gn−i-модулей. Отметим, что l-я производная π(l) определена для любого неотрицательного целого числа l⁠, однако, если π является объектом в ℜs(Gn), то π(l)=0, если только l не делится на r⁠.

4.3 Производная Бернштейна–Зелевинского для Hn

Злоупотребляя обозначениями, отождествим Hn−i и m(Hn−i⊗1)⁠. Пусть Si∈Hi — проектор знаков. Пусть Sin=m(1⊗Si)⁠. Пусть σ — Hn-модуль. i-я производная Бернштейна–Зелевинского от σ есть натуральный Hn−i-модуль

BZi(σ):=Sin(σ).

 

 

Как и в случае теоремы 3.5, в случае бернштейновской компоненты представлений, порожденных их неподвижными по Ивахори векторами, теорема 4. 2 верна без предположения о допустимости π.

5 Правило Лейбница

5.1 Аффинные алгебры Гекке

Мы сформулируем определение аффинной алгебры Гекке в большей общности, которая потребуется в следующих подразделах.

Пусть (X,R,X∨,R∨) — корневое данное, где R — приведенная система корней, а X — ℤ-решетка, содержащая R⁠. Пусть W — группа Вейля группы R⁠. Зафиксируйте набор простых корней Δ⁠. Выбор ∆ определяет множество S простых отражений в W⁠. Пусть l:W→ℤ — функция длины такая, что l(s)=1 для всех s∈S⁠. Пусть A≅ℂ[X] — групповая алгебра X⁠. Другими словами, A имеет базис из элементов θx⁠, x∈X⁠, таких что θxθy=θx+y⁠ для всех x,y∈X⁠.

Обозначим через HW конечномерную подалгебру в H, порожденную Tw (⁠w∈W⁠). Имеем изоморфизм векторных пространств H≅A⊗ℂHW⁠. Пусть T=Hom(X,ℂ×)⁠. Центр Z группы H изоморфен ℂ[X]W⁠. Следовательно, центральные характеры H параметризуются W-орбитами в T⁠. Обозначим через Wt W-орбиту точки t∈T⁠. Пусть JWt — соответствующий максимальный идеал в Z⁠. Для конечномерного H-модуля χ⁠ пусть χ[Wt] будет подпространством χ, аннулируемым степенью JWt⁠. Тогда

χ≅⊕Wt∈T/Wχ[Wt].

Пусть Xn=Xn∨=⊕k=1nℤϵk — ℤ-решетка. Положим αkl=ϵk−ϵl (⁠k≠l⁠), а также положим αk=αk,k+1 (⁠k=1,…,n⁠). Пусть Rn=Rn∨={ϵk−ϵl:l≠k} — система корней типа An−1⁠. Пусть Δn={ϵi−ϵi+1:i=1,…,n−1}⁠. Алгебра Ивахори–Гекке Hn группы GL(n) (из раздела 2) изоморфна H(Xn,Rn,∆n,q)⁠.

5.2. Первая теорема редукции Люстига

Нам понадобится вариант [15, § 2] теоремы редукции Люстига для аффинной алгебры Гекке Hn [14, § 8]. Пусть Tn=Hom(Xn,ℂ×)⁠. Любой t∈Tn отождествляется с набором из n (z1,…,zn) ненулевых комплексных чисел, где zi — значение t в точке ϵi⁠. Пусть Tr=Hom(Xn,ℝ>0) и Tun=Hom(Xn,S1)⁠. Любой t∈Tn имеет полярное разложение t=vu, где v∈Tr и u∈Tun⁠. Напишите x(u) для значения u в точке x∈Xn⁠. Следовательно, u=(z1,…,zm), где zk=ϵk(u)⁠. Мы можем переставить элементы u так, что для разбиения n=(n1,…,nm) числа n⁠ z1=…=zn1≠zn1+1=… и т. д. Пусть

Rn={α∈Rn:α(u)=1}.

Это корневая подсистема Rn, которая, как видно из обозначений, зависит от раздела n⁠. Оно изоморфно произведению Rn1×…×Rnm⁠. Пусть Sn≅Sn1×…×Snm — его группа Вейля. Пусть ∆n — множество простых корней в Rn, определяемое соотношением Rn+=Rn+∩Rn⁠. Пусть

Hn:=H(Xn,Rn,∆n,q)≅Hn1⊗…⊗Hnm

— ассоциированная аффинная алгебра Гекке (определение 5.1). Пусть Zn=AnSn — центр Hn⁠. Пусть JSnt идеал в Zn, соответствующий центральному характеру Snt⁠. Пусть σ — конечномерный Hn-модуль, аннулируемый степенью JSnt⁠. Тогда ι(σ)=Hn⊗Hnσ аннулируется степенью JSnt⁠.

Следующий результат и доказательство являются разновидностью [14, разделы 8.16 и 10.9].

3″> 5.3 Первая редукция для производных Бернштейна–Зелевинского

Продолжаем использовать обозначения из предыдущего пункта. В частности, мы зафиксировали t=vu∈Tn⁠ и имеем канонический изоморфизм Hn≅Hn1⊗…⊗Hnm⁠, где n=(n1,…,nm) — разбиение n⁠, возникающее из u⁠.

Исправьте целое число i≤n⁠. Для каждого m-набора i=(i1,…,im) целых чисел, такого что i1+…+im=i и 0≤ik≤nk (⁠k=1,…,m⁠), определите другой m-набор n− i=(n1−i1,…,nm−im)⁠. Каждая пара (nk−ik,ik) порождает вложение Hnk−ik⊗Hik⊆Hnk⁠, как в разделе 4.1, а их комбинация дает вложение

Hn−i⊗Hi⊆Hn

, где Hi≅Hi1⊗…⊗Him⁠ и т. д. (Заметим, что если ik=0⁠, то соответствующий множитель есть тривиальная алгебра ℂ⁠.) Злоупотребляя обозначениями, отождествим Hn−i со своим образом в Hn через отображение h↦h⊗1⁠. Пусть Si∈Hi — проектор знаков в Hi⁠, а Sin — образ 1⊗Si в Hn⁠. Пусть σ — Hn-модуль. Тогда Sin(σ) естественно является Hn−i-модулем. Таким образом, мы имеем функтор

BZin(σ):=Sin(σ)

из категории Hn-модулей в категорию Hn−i-модулей.

Заметим, что Hn−i — подалгебра Леви в Hn−i, а Hi — подалгебра Леви в Hi⁠. Теперь мы готовы сформулировать первый результат редукции.

 

 

6. Сведение к градуированным алгебрам Гекке

6.1. Пусть V=X⊗Zℂ⁠.

В частности, ℍ≅S(V)⊗ℂ[W] как векторные пространства. Мы также устанавливаем A=S(V)⁠, градуированный алгебраический аналог A⁠. Пусть ℤ=AW — центр ℍ [14, § 4]. Пусть V*=Hom(X,ℂ)⁠. Центральные характеры неприводимых представлений параметризуются W-орбитами в V*⁠. Если ζ∈V*⁠, пусть Wζ обозначает соответствующую орбиту и центральный характер. Пусть JWζ⊂ℤ — соответствующий максимальный идеал.

6.2 Вторая редукция Люстига

Пусть H=H(X,R,∆,q) — аффинная алгебра Гекке, определенная в разделе 5. 1, A≅ℂ[X] — коммутативная подалгебра и Z≅ℂ[X]W быть центром H⁠. Пусть F будет частным полем A⁠. Пусть HF≅HW⊗ℂF со структурой алгебры, естественным образом продолжающейся с H⁠.

Следуя Люстигу [14, раздел 5], для α∈Δ⁠ определим τsα∈HF как θαq−1θα−1∈F.

В [14, § 5] показано, что отображение из W в единицы HF, определяемые формулой sα↦τsα, является инъективным групповым гомоморфизмом.

Со стороны градуированной алгебры Гекке пусть ℍ=ℍ(V,R,∆,logq) такое же, как в определении 6.1. Пусть F будет частным полем A, а ℤ будет центром ℍ⁠. Пусть ℍF≅ℍW⊗ℂF со структурой алгебры, естественным образом продолжающейся с ℍ⁠. Для α∈Δ⁠ определим τ¯sα∈ℍF как

τ¯sα+1=(tsα+1)g(α)−1,

, где

g(α)=α+logqα∈F.

Как и в аффинном случае, отображение из W в единицы ℍF, определяемые формулой sα↦τ¯sα, является инъективным групповым гомоморфизмом.

Любое ζ∈V* определяет t∈T=Hom(X,ℂ×) как x(t)=ex(ζ)⁠ для всех x∈X⁠. Мы выразим эту связь через t=exp(ζ)⁠. Будем говорить, что ζ равно 9x,

, где h∈H и x∈π⁠. Обратите внимание, что функтор распространяется на категорию конечномерных ℍ-модулей, являющихся суммами ℍ-модулей, где каждое слагаемое аннулируется степенью JWζ для некоторого вещественного ζ⁠.

 

Имеем следующее следствие из предложения 6.4:  

6.3 Производные Бернштейна–Зелевинского для градуированных алгебр

Для каждого i=0,…,n⁠ у нас есть подалгебра Леви ℍn−i⊗ℍi⁠. Пусть si∈ℍi — проектор знаков, а sin∈ℍn — образ 1⊗si при включении ℍn−i⊗ℍi⊆ℍn⁠.

Пусть π — конечномерное представление ℍn⁠. i-я производная Бернштейна–Зелевинского от π — это натуральный ℍn−i-модуль

gBZi(π):=sin(π).

Запишите любое ζ∈Vn*=Hom(Xn,ℂ) в виде n-кортежа (ζ1,…,ζn), где ζi — значение ζ на стандартном базисном элементе ϵi∈Xn⁠. В этом случае ζ действительно для Rn тогда и только тогда, когда ζk−ζl∈ℝ для всех 1≤k,l≤n⁠.

 

6.4 Вторая редукция для производных Бернштейна–Зелевинского

В этом разделе мы переносим задачу вычисления производных Бернштейна–Зелевинского BZin в теореме 5.3 к соответствующей задаче для градуированных алгебр Гекке. Мы сохранили обозначения из разделов 5.2 и 5.3. В частности, n=(n1,…,nm) является разбиением n⁠, и мы зафиксировали t∈Tn так, что α(t)>0 для всех α∈Rn⁠. Тогда существует ζ∈Vn*⁠, вещественное для системы корней Rn⁠, такое, что t=exp(ζ)⁠. Пусть

ℍn:=ℍ(Vn,Rn,Δn,logq)≅ℍn1⊗…⊗ℍnm.

Пусть i=(i1,…,im) — набор из m целых чисел, такой что 0≤ik≤nk для всех k и n−i=(n1−i1,…,nm−im)⁠. Каждая пара (nk−ik,ik) порождает вложение ℍnk−ik⊗ℍik⊆ℍnk⁠, а их комбинация дает вложение

ℍn−i⊗ℍi⊆ℍn

, где ℍi≅ℍi1⊗…⊗ℍim⁠ и т. д. Злоупотребляя обозначениями, мы будем отождествлять ℍn−i с его образом в ℍn через отображение h↦h⊗1⁠. Пусть si∈ℍi — проектор знаков в ℍi⁠, а sin — образ 1⊗si в ℍn⁠. Пусть σ — ℍn-модуль. Тогда sin(σ) естественно является ℍn−i-модулем. Таким образом, у нас есть функтор

gBZin(σ):=sin(σ)

из категории ℍn-модулей в категорию ℍn−i-модулей. Следующее утверждение доказывается так же, как теорема 6.6.

7 Производные Бернштейна–Зелевинского от представлений Speh

7.1 Модули Speh

Представления Speh p-адических групп были тщательно изучены Тадичем как часть изучения унитарного двойственного. Напомним определение (обобщенных) представлений Шпеха. Пусть n¯ будет разбиением n⁠, запишите n¯t=(e1,…,ef)⁠, e1≥…≥ef⁠, где t — транспонирование. Пусть Stek будет представлением Стейнберга группы GL(ek,F), и пусть Stek′=νek−12Stek будет поворотом Stek⁠, где ν(g)=|det(g)|F⁠. Пусть Pn¯ — стандартная параболическая подгруппа, ассоциированная с разбиением n¯t⁠. Пусть ρ(g)=|det(g)|Fr для некоторого комплексного числа r⁠. Единственный фактор индуцированного представления

π(n¯,ρ)=IndPn¯GL(n,F)(ρSte1′⊠ρν−1Ste2′⋯⊠ρν−f+1Stef′)

— обобщенное представление Шпеха, связанное с (⁠n¯,ρ ⁠). Если e1=e2=…=ef, то πn¯ является представлением Шпеха.

В условиях эквивалентности Бореля–Кассельмана обобщенные представления Шпеа соответствуют Hn-модулям с одним HSn-типом (см. [2, 3, 11]). Поскольку эти Hn-модули имеют вещественный инфинитезимальный характер, мы можем рассмотреть соответствующие модули для градуированной алгебры ℍn⁠. Следуя [2], внутренне модули будем строить следующим образом. Для κ=−rlogq⁠ имеем следующие элементы Джусиса–Мерфи: для k=2,…,n⁠,

JMk:=−p(ts1,k+…+tsk−1,k)+κ

(7.9)

и JM1=κ⁠, где p=logq⁠. Несложно проверить, что отображения ϵk↦JMk и tw↦tw определяют гомоморфизм алгебр из ℍn в ℂ[Sn]⁠. Пусть σn¯ — неприводимый ℂ[Sn]-модуль, соответствующий n¯⁠. Например, разбиение (n) определяет тривиальное представление, а (1,…,1) определяет представление знака. Пусть σ(n¯,κ) — ℍ-модуль, извлеченный из σn¯ с помощью определенного выше отображения, где JMk зависит от κ⁠. это обобщенный модуль Speh , связанный с (n¯,κ)⁠. Модуль σ(n¯,κ) соответствует π(n¯,ρ) при эквивалентности Бореля–Кассельмана и эквивалентности Люстига в теореме 6.3.

Напомним, что gBZi(π) — i-я производная Бернштейна–Зелевинского ℍn-модуля π⁠.

 

Восстановим теперь результат Лапида–Мингеса (для случая обобщенных модулей Шпеха).

Следствие 7.2.

 

Пусть π – обобщенное представление Шпеха группы GL(n,F), ассоциированное с (n¯,ρ)⁠. Тогда π(i) есть прямая сумма обобщенных модулей Шпеха, связанных с (n¯′,ρ)⁠, где n¯′ проходит через все разбиения, полученные удалением i ящиков из n¯ не более чем по одному в каждой строке, так что полученная диаграмма по-прежнему является диаграммой Юнга. □

Доказательство.

 

Поскольку Λ(σn¯,κ)=πIn, достаточно вычислить gBZi(σn¯,κ) по теореме 6.6. Из наблюдения леммы 7.1 достаточно определить ℂ[Sn−i]-модульную структуру gBZi(σn¯,κ)⁠, что следует из частного случая правила Литтлвуда–Ричардсона (или формулы Пьери) . ▪

Обобщенные модули Speh образуют подкласс лестничных представлений, определенных Лапидом и Мингесом [13]. Производные Бернштейна–Зелевинского лестничных представлений вычисляются там с помощью детерминантной формулы Тадича.

Финансирование

Эта работа была поддержана Coucher Postdoctoral Fellowship KYC; и NSF [DMS-1359774 для GS].

Благодарности

Эта работа была начата во время конференции Sphericity 2016 в Германии. Авторы благодарят организаторов за создание прекрасных условий для дискуссий. Авторы хотели бы поблагодарить рецензента за информативный отчет.

Приложение

Проективность представления Гельфанда–Граева

В этом приложении мы докажем, что представление Гельфанда–Граева квазирасщепляемой редуктивной группы проективно. Грубо говоря, это следует из двух фактов: его бернштейновы компоненты конечно порождены, а двойственное к нему инъективно.

A.1 Некоторая алгебра

Пусть H — ℂ-алгебра с 1, центр Z — нётерова алгебра, а H — Z-модуль с конечным числом порождений. В частности, каждый конечно порожденный H-модуль π также является конечно порожденным Z-модулем. Следовательно, любая восходящая цепочка подмодулей π стабилизируется. Отсюда следует, что любой конечно порожденный H-модуль имеет неприводимые факторы. Предположим также, что H счетномерно как векторное пространство над ℂ⁠. Тогда любой конечно порожденный H-модуль π счетномерен. В этой ситуации верна лемма Шура, то есть, если π неприводимо, то π аннулируется максимальным идеалом J в Z⁠. Отсюда следует, что любой неприводимый H-модуль конечномерен. 9* является сюръективным для каждого завершения. Но это верно по лемме A.2. Это завершает доказательство теоремы. ▪

А.2. Представление Гельфанда–Граева

Пусть G — квазирасщепляемая редуктивная группа над p-адическим полем. Пусть K — хорошая открытая компактная подгруппа группы G⁠, как в следствии 3.9 в [4]. Пусть H — алгебра Гекке K-биинвариантных функций с компактным носителем на G⁠. Тогда по [4], в частности следствию 3.4 там, алгебра H удовлетворяет условиям, сформулированным в начале этого параграфа. Пусть π — гладкий G-модуль. Чтобы доказать проективность π по теореме A.1, достаточно показать следующие две пули:

• Для каждого K⁠ слагаемое π, порожденное K-фиксированными векторами, конечно порождено.

• Функтор HomG(π,⋅) точен на категории модулей конечной длины.

Пусть π* обозначает гладкую двойственную группу G⁠. Поскольку HomG(π,σ*)≅HomG(σ,π*)⁠, второй пункт верен, если π* — инъективный G-модуль. Это верно, если π является представлением Гельфанда–Грива, в силу точности функтора Жаке. Первый пункт также верен для представления Гельфанда–Грива согласно [6]. Таким образом, мы получили следующее следствие:  

Сообщение проф. Фрейдуна Шахиди

Ссылки

[1]

Atiyah

M.

,

MacDonald

7

I.

Введение в коммутативную алгебру

.

Массачусетс

:

Addison-Wesley Publishing

,

1969

.

[2]

Барбаш

Д.

,

Чуботару

Д.

. «

Унитарные модули алгебры Гекке с ненулевыми когомологиями Дирака

». В

Симметрия в теории представлений и ее приложениях: в честь Нолана Уоллаха

,

1

–

20

.

.

Нью-Йорк

:

Биркхойзер

,

2014

.

[3]

Барбаш

Д.

,

Мой

А.

. «

Классификация одного представления K-типа

».

Пер. амер. Мат. соц.

351

, №

10

(

1999

):

4252

–

61

.

[4]

Bernstein

J. N.

Deligne

P.

“

Le center de Bernstein

.” В

Представления редуктивных групп над локальным полем

,

.

Париж

:

Герман

,

1984

.

[5]

Бернштейн

И. Н.

,

Зелевинский

А. В.

. «

Индуцированные представления редуктивных p-адических групп

».

Я, Энн. науч. Эк. Норма. Супер

.

10

(

1977

):

441

–

72

.

[6]

Bushnell

C.

,

Henniart

G.

. «

Обобщенные модели Уиттакера и центр Бернштейна

».

Амер. Дж. Математика

.

125

, №

3

(

2003

):

513

–

47

.

[7]

Бушнелл

CJ

,

Куцко

PC

.

Допустимый двойник GL(N) через компактные открытые подгруппы

.

.

Принстон

:

Принстонский ун-т. Нажмите

,

1993

.

[8]

Bushnell

C.J.

,

Kutzko

P.C.

, “

40017

».

Проц. Лонд. Мат. Соц

.

77

, №

3

(

1998

):

582

–

634

.

[9]

Чан

К.Ю.

,

Савин

Г.

. «Компонент Ивахори представления Гельфанда-Граева». Матем. Z. (

2017

), doi:10. 1007/s00209-017-1882-3.

[10]

Крисс

Н.

,

Гинзбург

В.

.

Теория представлений и комплексная геометрия

.

Бостон, Массачусетс

:

Биркхойзер

,

1997

.

[11]

Чуботару

D.

,

Мой

A.

, “

Дираковские когомологии5 ».

Проц. амер. Мат. Соц

.

143

(

2015

):

1001

–

13

.

[12]

Клещев

А.

Линейные и проективные представления симметричных групп

.

, том.

163

.

Кембридж

:

Издательство Кембриджского университета

,

2005

.

[13]

Лапид

E.

,

Мингес

A.

. «

По детерминантной формуле Тадича

».

Амер. Дж. Математика

.

136

(

2014

):

111

–

42

.

[14]

Люстиг

G.

“

Аффинные алгебры Гекке и их градуированные версии

».

Дж. Амер. Мат. Соц

.

2

(

1989

):

599

–

635

.

[15]

Опдам

Э. М.

,

Соллевелд

М.

. «

Характеры дискретных рядов для аффинных алгебр Гекке и их формальные степени

».

Acta Math

.

205

(

2010

):

105

–

87

.

[16]

Прасад

Д.

.

[17]

Solleveld

М.

,

2007

.

[18]

Solleveld

M.

«

О классификации неприводимых представлений аффинных алгебр Гекке с неравными параметрами

».

Представитель. Теория

16

(

2012

):

1

–

87

.

[19]

Лебедь

R. G.

“

Проективные модули над кольцами многочленов Лорана

. ”

Пер. амер. Мат. соц.

,

237

(

1978

):

111

–

20
7

.

[20]

Тадич

М.

«

О характерах неприводимых унитарных представлений общих линейных групп

».

Абх. Мат. Семин. ун-т Хэмб

.

65

(

1995

):

341

–

63

.

[21]

Мийец

V.

«

О представлениях аффинных алгебр Гекке типа B

».

Алгебр. Представлять. Теория

11

, №

4

(

2008

):

369

–

405

.

[22]

Waldspurger

J.-L.

«

Алгебры Гекке и прочее представление cuspidales, pour GL ( N )

».

Дж. Рейн Ангью. Математика

.

370

(

1986

):

127

–

91

.

[23]

Зелевинский

А.

«

Индуцированные представления редуктивных p-адических групп II

».

Энн. науч. Эк. Норма. Супер

.

13

(

1980

):

154

–

210

.

[24]

Zelevinski

A.

”

Два замечания о градуированных нильпотентных классах

».

Успехи мат. Наук

40

, нет.

1

(

1985

):

199

–

200

.

© Автор, 2017 г. Опубликовано Oxford University Press. Все права защищены. Для разрешений, пожалуйста, по электронной почте: [email protected].

© Автор, 2017 г. Опубликовано Oxford University Press. Все права защищены. Для разрешений, пожалуйста, по электронной почте: [email protected].

Раздел выдачи:

Артикул

Скачать все слайды

Реклама

Цитаты

Альтметрика

Дополнительная информация о метриках

Оповещения по электронной почте

Оповещение об активности статьи

Предварительные уведомления о статьях

Оповещение о новой проблеме

Получайте эксклюзивные предложения и обновления от Oxford Academic

Ссылки на статьи по номеру

• Последний

• Самые читаемые

• Самые цитируемые

Нильпотентные группы и билипшицевы вложения в L ¹

Деформации F-чистоты в кольцах ℚ-Горенштейна

О неравенстве Богомолова–Гизекера в положительной характеристике

Многоуровневые деревья и тета-операторы

О присоединенных гомологических модулях Зельмера для SL ₂ -представления групп узлов

Реклама

линейная алгебра.

k$$ для всех $q_k \in R,$, мы называем приведенное выше полиномиальное уравнение $ Q(\alpha) = 0$, и тогда к этому числу можно присоединить полиномы степени $n – 1$ с коэффициентами из $R$ и вычисляемые в $\alpha$: кольцо формально обозначается $R[\alpha ]/Q(\alpha),$ “фактор-группа полиномов с коэффициентами в $R$ некоторого параметра $\alpha$ при их эквивалентности по модулю полиномиального деления на $Q(\alpha)$” 9n$, соответствующий такому многочлену в этом кольце, она будет иметь вид матрицы $$\alpha \leftrightarrow A = \begin{bmatrix}0 & 0 & 0 & \dots & 0 & q_0\\ 1 & 0 & 0 & \ точки & 0 & q_1 \\ 0 & 1 & 0 & \ точки & 0 & q_2 \\ \точки & \точки & \точки & \точки & \точки & \точки \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & q_{n-2} \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 1 & q_{n-1} \\ \end{bmatrix},$$ и представить такую ​​матрицу в виде эшелона, сокращенного по строкам, на самом деле настолько просто, что мы можем сразу же усилить наше утверждение о том, что указанное выше кольцо $R[\alpha]/Q(\alpha)$ является полем, когда $R$ является поле и $q_0 \ne 0. k$, который реализует все необходимые операции как матричные операции. 9n$$ подчиняется закону Фибоначчи, и мы можем просто выбрать $A = \sqrt{1/5},\; B = -\sqrt{1/5}$, чтобы получить стандартные начальные точки $F_{0,1} = 0,1$: это последовательность Фибоначчи, определяемая исключительно в терминах возведения в степень.

Но есть проблема с использованием этого на компьютере: тип Double , к которому компьютер имеет доступ, имеет только конечную точность, и приведенные выше выражения будут сильно округляться. Чего мы действительно хотим, так это использовать нашу произвольную точность 92 = 5.$ Тогда наше кольцо состоит из чисел $a + b \sqrt{5}$, которые являются матрицами: $$\begin{bmatrix}a & 5b\\b & a\end{bmatrix}.$$ И это легко-легко программировать. Однако ваши «единичные векторы» могут быть аналогичным образом выбраны как $1$ и $\varphi$, что приводит к «серьезной» матрице $$a + b \varphi = \begin{bmatrix}a & b\\ b & a + b\end{bmatrix}$$, что я называю “серьезным”, потому что для $a = 0, b = 1$ это на самом деле рекуррентное соотношение Фибоначчи для векторов $[F_{n-1}, F_ {n}],$, который является способом получить этот результат, не проходя через описанные выше обручи. Существует также интересная «симметричная» версия, где $\varphi$ и $\bar\varphi$ являются нашими «единичными векторами», а матрица (я думаю) $a \varphi + b \bar\varphi \leftrightarrow [2a- б,\; -а+б;\;а – б,\; -а + 2b].$ 92 = -1,$, поэтому вышеизложенное предписывает расширить наше поле до поля $$ a + b \sqrt{-1} \leftrightarrow \begin{bmatrix}a & -b\\b & a\end{bmatrix}.$$Когда мы заменяем $a$ на $r\cos\theta$ и $b $ с $r\sin\theta$ мы обнаруживаем, что на самом деле все эти «комплексные числа» являются просто масштабированными матрицами вращения: $$ r (\cos\theta + i~\sin\theta) = r \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\\sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix} = r~R_\theta,$$, что дает нам непосредственное геометрическое понимание комплексного числа как масштабированного вращения ( и тогда аналитические функции — это как раз те, которые локально выглядят как масштабированное вращение.) 92/2$ напрямую.

Степенное правило для производных

Обычно первым быстрым правилом, которое вы изучаете для поиска производных, является степенное правило. Причина в том, что это простое правило, которое нужно запомнить, и оно применимо ко всем видам функций. Для числа n правило степени гласит:

Давайте начнем с нескольких действительно простых примеров, чтобы увидеть его в действии.

реклама

Пример

Найдите производную каждой функции. 9{545}\)

Как видите, все дело в запоминании шаблона. Теперь мы увидим, как этот шаблон можно применить к более сложным примерам.

Производные полиномиальных функций

Напомним, что производная константы всегда равна нулю. Таким образом, производная от 5 равна 0, а производная от 2000 также равна 0. Кроме того, вы можете разбить производную на сложение/вычитание и умножение на константы. Сочетание этих идей со степенным правилом позволяет нам использовать его для нахождения производной любого многочлена. 92 – 6х + 10}\)

Вы можете подумать, что это все, что вы можете сделать с правилом силы. Однако пара старых фактов из алгебры может помочь нам применить это к более широкому кругу функций. Ниже мы рассмотрим два таких случая.

Производные функций с отрицательными показателями

Правило степени применяется независимо от того, положительный или отрицательный показатель. Но иногда функцию, не имеющую показателей степени, можно переписать, используя отрицательные показатели степени. Если это так, то мы можем применить правило степени, чтобы найти производную. Основное свойство, которое мы будем использовать: 9{3}}}\конец{выравнивание}\)

Обратите внимание, что на последнем шаге в нижнюю часть дроби были перемещены только члены с отрицательным показателем степени. У восьмерки не было отрицательного показателя, поэтому она осталась.

Производные функций с радикалами (квадратный корень и другие корни)

Другое полезное свойство из алгебры заключается в следующем.

Используя это правило, мы можем взять функцию, записанную с корнем, и найти ее производную, используя степенное правило.

Пример

Найдите производную функции.