Алгебра производные: Определение производной функции — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Алгебра и начала анализа. 10-й класс. Урок-состязание по теме: “Вычисление производной”

Цели урока:

Образовательная: проверка умения применять правила дифференцирования, формулы вычисления производной линейной, степенной, тригонометрических функций.
Развивающая: развитие навыков самоконтроля.
Воспитательная: воспитание на уроке воли и упорства для достижения конечных результатов, уважительного отношения друг к другу.

Оборудование урока: распечатки с тестами, на доске задания для эстафеты, карточки с заданиями для игры в “Поле чудес”, задания для капитанов команд.

Типология урока: урок-соревнование.

ХОД УРОКА

Учитель: На прошлых уроках мы познакомились с правилами вычисления производных, научились находить производные линейной, степенной, тригонометрических функций, а также сложной функции.

Сегодня мы проведем урок-состязание, у нас будут две команды “Функция” и “Производная”. Соревнование будет проходить в 4 этапа.

I этап. Тестовая проверка знаний. 8 минут.

П этап. Эстафета. 10 минут.

Ш этап. Игра “Поле чудес”. 10 минут.

IV этап. Конкурс капитанов. 4 минут.

V этап. Подведение итогов соревнования.

VI этап. Домашнее задание.

Результаты игры оформить на доске в виде таблицы. За каждое верно выполненное задание учащиеся получают жетоны, что облегчает объективное оценивание учебного труда.

I этап “Производная”

Тест с выбором верного ответа (8 мин)

I-вариант

Вычислить y’

 

I этап “Производная”

Тест с выбором верного ответа (8 мин)

II-вариант

Вычислить y’

 

“Функция” Ответы к тестам

I вариант: 1. В 2.А 3.А 4.В 5.Б 6.А 7.Б 8.В
II вариант: 1.Б 2.В 3.В 4.В 5.А 6.Б 7.В 8.А

Учащиеся двух команд обмениваются работами и по готовым ответам с доски подсчитывают количество верных ответов в каждой работе. Результаты записывает капитан команды в таблицу для подведения итогов.

II этап “Эстафета” (10 мин)

Вычислить y’

“Производная”

Задания заготовлены на доске, члены команд поочередно выходят и выполняют задания своей команды.

Правильность задания оценивается следующим образом:

1)1балл 2)2 балла 3) 2 балла 4) 3 балла 5) 3 балла
6) 4 балла 7) 5 баллов 8) 5 баллов 9) 6 баллов 10) 4 балла

Если все задания выполнены верно, то это составит 35 баллов

III этап. Игра “Поле Чудес” (10 мин)

а

в

д

е

л

м

о

р

г

ш

у

х

12

8

9

                   

Производная.

10 класс – презентация онлайн

1. Производная

Алгебра и начала анализа
10класс.

2. Основные цели

Обобщить теоретические знания по теме:
«Производная. Геометрический и физический
смысл производной»;
Повторить правила дифференцирования;
Рассмотреть решение задач, связанных с
этой темой, базового уровней сложности;

3. Какая из записей точно соответствует по определению производной?

Производной функции в данной точке
называется предел отношения приращения
функции в этой точке к приращению
аргумента, когда приращение аргумента
стремится к нулю.
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x ) lim
x 0
x

4. В каком из перечисленных случаев можно говорить о физическом смысле производной?

Производная от перемещения по времени
является мгновенная скорость.
Производная от скорости по времени является
ускорением.
Физический смысл
y f (x)
f ( x0 )
-скорость
f ( x0 )
-ускорение
Какой из рисунков достаточно полно иллюстрирует
геометрический смысл производной?
f ( x) k tg
Геометрический смысл
производной состоит в том, что
значение производной функции
y=f(x) в точке x равно угловому
коэффициенту касательной к
графику функции в точке с
абсциссой x

7.

Правила дифференцирования u
v
u v
uv
u v uv
c u c u , где
u u v uv
2
v
v
c const

8. Производная сложной функции

y f u x сложная функция
f внешняя функция ,
u помежуточная функция
f u x f u u x
Производная
от
произведению производной
функции
по
производную промежуточной
” сложной “
от
функции
внешней
промежуточной
на
по
основной

9. Таблица производных

n 1
x n x
n
c 0, x 1
ax b a
1
1
2
x
x
1
x
2 x
sin x cos x
cos x sin x
1
tgx 2
cos x
1
ctgx 2
sin x
arcsin x
arccos x
1
2
1 x
1
1 x
1
arctgx
2
1 x
1
arcctgx
2
1 x
2

12. Вычислите устно. Найдите производную функции:

1. Найти производную функции
1) x6 – x3 + 2×2
y(x) = x6 – x4 + 2×3 – 3
2) x6 – x4 + 6×3 – 3
3) 6×5 – 4×3 + 6×2
4) 6×5 – 4×3 + 6×2 – 3

13.

Вычислите устно. Найдите производную функции: 2. Найти значение производной функции
y(x) = x2 – 3x в точке с абсциссой x0 = 1
Ответы:
1) –2
2) –1
3) 1
4) 2

14. Вычислите устно. Найдите производную функции:

у(х) = (1/5x – 7) 5
Ответы:
1) y'(x) = (1/5x – 7) 4
2) y'(x) = (1/5x – 7) 3
3) y'(x) = 5(1/5x– 7) 4
4) y'(x) = 5x 4 – 7
Вычислите устно.
Точка движется прямолинейно по закону
S(t) = 2t 3 – 3t.
Вычислите скорость движения точки в
момент
t0 = 2c
Ответы:
1) 9
2) 13
3) 21
4) 18
Вычислите устно.
На рисунке изображен
график функции y=f(x) и
касательная к этому
графику, проведенная в
точке с абсциссой х0 = -2.
Найдите f`(-2)
Ответы:
1) 1
2) -2
3) 0
4) -0,5

Производная

Сегодня на уроке мы поговорим о мгновенной скорости. Введём понятие производной функции. Сформулируем определение предела функции. Скажем, какие функции называют непрерывными на некотором промежутке. Сформулируем строгое определение непрерывности функции.

Давайте с вами решим задачу. Поезд, двигаясь равнозамедленно с ускорением  м/c², проходит  м и останавливается. Определите скорость поезда в момент начала торможения.

Итак, нам надо найти скорость в момент начала торможения, то есть мгновенную скорость в этот момент времени.

Воспользуемся формулами из курса физики:

.

Теперь учтём, что проекция ускорения на ось x отрицательная (так как поезд двигается равнозамедленно), а конечная скорость поезда равна нулю. Нам надо найти  (скорость в момент начала торможения).

Подставим в систему уравнений известные из условия значения пути и ускорения. Решим её.

Отметим, что от мгновенной скорости зависит решение многих практических задач.

При нахождении мгновенной скорости используется средняя скорость движения за малый промежуток времени.

Давайте рассмотрим, как связаны между собой средняя и мгновенная скорости движения.

Итак, пусть материальная точка  движется вдоль оси , где О – положение этой точки в момент времени t = 0. Если в момент времени t координата материальной точки равна , где , то функцию  называют законом движения точки .

При неравномерном движении материальная точка за равные по длительности промежутки времени может совершать перемещения, разные как по величине, так и по направлению. За промежуток времени от  до  средняя скорость движения материальной точки определяется как , .

Если рассматриваемое движение не является равномерным, то средняя скорость при фиксированном  будет меняться при изменении . При этом чем меньше будет , тем точнее средняя скорость будет характеризовать движение точки в момент времени .

Скоростью точки в момент времени  (мгновенной скоростью) называют предел, к которому стремится средняя скорость, когда , то есть скорость в момент времени  определяется равенством .

Таким образом, получается, что скорость в момент времени  – это предел отношения приращения координаты  за промежуток времени от  до  к приращению времени  при , если этот предел существует.

Так, например, пусть материальная точка движется по закону свободного падения .

Тогда .

Откуда , то есть .

Отношение  называют разностным отношением, а его предел  – производной функции  и обозначают .

Итак, пусть функция  определена на некотором промежутке.  – точка этого промежутка и число , такое, что  также принадлежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения  при  (если такой предел существует) называется производной функции  в точке  и обозначается .

Отметим, что в этой формуле число  может быть и положительным, и отрицательным, при этом число  должно принадлежать промежутку, на котором определена функция .

Если функция  имеет производную в точке , то она называется дифференцируемой в точке .

Если функция  имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке.

Давайте найдём производную функции .

Давайте найдём производную функции , где  – заданное число. Составим разностное отношение.

 

Получается, что оно равно 0 при любом , то есть его значение не меняется .

Таким образом, производная постоянной равна нулю.

Давайте выясним, чему равна производная линейной функции .

Составим разностное отношение.

 

Разностное отношение равно  при любом , тогда предел этого отношения при  равен .

Следовательно, .

Например, , , .

Так как изучение теории пределов не входит в программу средней школы, то в школьном курсе математики некоторые формулы производных строго не доказываются или вообще принимаются без доказательства.

При нахождении производных простейших функций мы пользуемся наглядными представлениями. Например, считаем наглядно понятным, что если , то , , .

Но несмотря на это, мы всё же приведём строгое определение предела функции в точке.

Число А называется пределом функции  в точке  и обозначается , если для любого числа  существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , где , выполняется неравенство .

Давайте поясним это определение. Число А является пределом функции  в точке , если значения  при , достаточно близких к , становятся как угодно близкими к числу А, то есть значения  становятся как угодно малыми.

Это означает, что можно взять сколь угодно малое положительное число  и убедиться в том, что для всех , отличающихся от  меньше, чем на некоторое число , .

Например, если , то .

Поэтому для всех , таких, что , где , справедливо неравенство .

Так, например, если , то .

Понятие предела функции тесно связано с понятием непрерывности.

Если график функции представляет собой непрерывную линию на некотором промежутке, то эту функцию называют непрерывной на этом промежутке.

Все элементарные функции (линейная, квадратичная, тригонометрические и другие), которые мы изучаем в школьном курсе математики, являются непрерывными на каждом промежутке, на котором они определены.

На следующем рисунке изображён график функции , которая не является непрерывной. Она непрерывна на промежутках  и .

Но она разрывна в точке . Поэтому она не является непрерывной на отрезке .

Сформулируем строгое определение непрерывности функции. Функция  называется непрерывной в точке , если .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого интервала, то её называют непрерывной на этом интервале.

Например, функция , график которой мы рассмотрели, непрерывна на интервале , а вот на интервале  она не является непрерывной.

Отметим, что если функция имеет производную на некотором интервале, то на этом интервале она непрерывна. А вот обратное утверждение неверно. То есть непрерывная на промежутке функция может не иметь производную в некоторых точках этого промежутка.

А сейчас давайте выполним задание. Используя определение производной, найдите , если:

а) ; б) .

Решение.

{n – 1}}f’\left( x \right)$$, что называется общим степенным правилом.

6. $$\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{ dx}}f\left( x \right) + \frac{d}{{dx}}g\left( x \right)$$

7. $$\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right] = \frac{d}{{ dx}}f\left( x \right) – \frac{d}{{dx}}g\left( x \right)$$

8. $$\frac{d}{{dx}}\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right] = f\left( x \right) \frac{d}{{dx}}g\left( x \right) + g\left( x \right)\frac{d}{{dx}}f\left( x \right)$$, который известен как произведение правила дифференцирования.2}}}$$, известное как факторное правило дифференцирования.

10. 6, {х, 3}]

Выход[1]=

Или используйте символ ‘ несколько раз:

В[2]:=

 Син''[х] 
Выход[2]=

Как и в случае с предыдущими предметами, к формулам исчисления можно получить доступ через ввод на естественном языке:

In[1]:= X
 формула правила произведения
   

БЫСТРЫЙ СПРАВОЧНИК: исчисление »

Практическое руководство по
Wolfram Mathematica »

Полная документация »

Демонстрационный проект »

Дифференциальное исчисление: понимание алгебры производных



    что вы узнаете...

Обзор

»Понимание алгебры производных
Как производное применяется к функции, приведенной в качестве алгебраических операций нескольких функций

→ Дополнение и вычитание

→ Продукт и разделение

→ Функция функции

→ Параметрическая форма функции

 »  Дифференцирование при основных арифметических операциях

    →  (au)'=au'(au)'=au'

    →  (u+v)'=u'+v'(u+v)'=u'+v ′

    →  (u−v)'=u'−v'(uv)'=u'-v'

    →  (uv)'=u'v+uv'(uv)'=u'v+uv ′

    →  (uv)'=u'v−uv'v2(uv)'=u'v-uv'v2

 »  Дифференцирование в функциональных операциях

    →  Составная форма и цепное правило: заданы v(u)v(u) и u(x)u(x) (т.

"Алгебра дифференцирования" или "Алгебра производных" означает изучение "Свойства находить производные функций, заданных как алгебраические операции над несколькими функциями".

Математические операции с функциями u(x)u(x) и v(x)v(x)

 •  сложение и вычитание u(x)±v(x)u(x)±v(x)

 •  кратное функции au(x)au(x)

 •  умножение и деление u(x)v (x)u(x)v(x) и u(x)v(x)u(x)v(x)

 •  степени и корни [u(x)]n[u(x)]n и [ u(x)]1n[u(x)]1n

 •  составная форма функций v(u(x))v(u(x))

 •  параметрическая форма функций v=f(r);u= г(г)в=ф(г);у=г(г)

установление проблемы

Учитывая, что f(x)=u(x)⋆v(x)f(x)=u(x)⋆v(x), где ⋆⋆ — одна из арифметических или функциональных операций.

Будет ли какая-либо связь между производной функций ddxu(x)ddxu(x) ; ddxv(x)ddxv(x) и производная результата ddxf(x)ddxf(x)?

Алгебра дифференцирования анализирует это и предоставляет необходимые знания.

Примечание. При получении результатов функции предполагаются непрерывными и дифференцируемыми в точках или диапазоне интереса. Для конкретных функций при определенных значениях переменных перед использованием алгебры производных необходимо проверить непрерывность и дифференцируемость.

пример проблемы

Например, рассмотрим
u(x)=x2u(x)=x2
v(x)=sinxv(x)=sinx
f(x)=x2sinxf(x)=x2sinx

Из стандартных результатов известно что
ddxx2=2xddxx2=2x и
ddxsinx=cosxddxsinx=cosx.
Что такое ddxx2sinxddxx2sinx?

В данном конкретном примере рассматривается умножение. Вместо умножения можно рассматривать и одну из арифметических или функциональных операций.

Алгебра производных анализирует это и дает необходимые знания.

скалярное число, кратное

Производная скалярного множителя функции. Дано v(x)=au(x)v(x)=au(x).

limδ→0v(x+δ)−v(x)δlimδ→0v(x+δ)-v(x)δ

    =limδ→0au(x+δ)−au(x)δ    =limδ→0au (x+δ)-au(x)δ

с условиями непрерывности и дифференцируемости на uu и aa
    =alimδ→0u(x+δ)−u(x)δ    =alimδ→0u(x+δ)- u(x)δ

    =addxu    =addxu

Вышеизложенное доказывает, что (au)'=au'(au)'=au'. Другими словами, производная кратной функции кратна производной функции

Интуитивное понимание
(а.е.)'=а.е.'(а.е.)'=а.е.'
скорость изменения умножается, когда функция умножается на константу.

Учитывая dydx=2x2dydx=2x2 и v=y5v=y5, что такое dvdxdvdx?

Ответ "25x225x2"

dvdxdvdx
=ddxy5=ddxy5
=15ddxy=15ddxy
=15×2x2=15×2x2
=25x2=25x2

резюме

Производная кратного:
(au)'=au'(au)'=au'
Производная кратного функции кратна производной функции.

сумма или разница

Нахождение производной суммы или разности.

limδ→0[(u(x+δ)±v(x+δ))limδ→0[(u(x+δ)±v(x+δ))−(u(x)±v(x ))]/δ-(u(x)±v(x))]/δ

 =limδ→0[(u(x+δ)−u(x))  =limδ→0[(u(x+ δ)-u(x))±(v(x+δ)−v(x))]/δ±(v(x+δ)-v(x))]/δ

с условиями непрерывности и дифференцируемости на uu и vv
  =limδ→0u(x+δ)−u(x)δ =limδ→0u(x+δ)-u(x)δ

±limδ→0v(x+δ)−v( x)δ±limδ→0v(x+δ)-v(x)δ

    =ddxu±ddxv    =ddxu±ddxv

Приведенное выше доказывает (u+v)'=u'+v'(u+v) ′=u′+v′ и (u−v)’=u’−v’(uv)′=u′-v′. Другими словами, производная суммы или разности есть сумма или разность производных.

Интуитивное понимание для
(u±v)'=u'±v'(u±v)'=u'±v'
скорость изменения складывается (вычитается), когда функция складывается (вычитается).

Учитывая dydx=sinxdydx=sinx и v=y+20v=y+20, что такое dvdxdvdx?

Ответ "sinxsinx"

dvdxdvdx
=d(y+20)dx=d(y+20)dx
=dydx+d(20)dx=dydx+d(20)dx
=sinx+0 =синх+0

резюме

Производная суммы или разности:
(u+v)'=u'+v'(u+v)'=u'+v'

(u-v)'=u'-v'(uv )′=u′-v′
Производная суммы или разности – это сумма или разность производных.

товар

Поиск производного продукта.

limδ→0[(u(x+δ)×v(x+δ))limδ→0[(u(x+δ)×v(x+δ))−(u(x)×v(x ))]/δ-(u(x)×v(x))]/δ

добавление u(x)×v(x+δ)u(x)×v(x+δ)−u(x )×v(x+δ)-u(x)×v(x+δ)

    =limδ→0[u(x+δ)×v(x+δ)    =limδ→0[u(x+ δ)×v(x+δ)−u(x)×v(x+δ)-u(x)×v(x+δ)+u(x)×v(x+δ)+u(x) ×v(x+δ)−u(x)×v(x)]/δ-u(x)×v(x)]/δ

с условиями непрерывности и дифференцируемости на uu и vv
    =limδ→ 0[v(x+δ)×(u(x+δ)    =limδ→0[v(x+δ)×(u(x+δ)−u(x))]/δ-u(x)) ]/δ

  +limδ→0[(u(x)×(v(x+δ) +limδ→0[(u(x)×(v(x+δ)−v(x)))]/ δ-v(x)))]/δ

    =vddxu+uddxv    =vddxu+uddxv

Вышеизложенное доказывает, что (uv)'=u'v+uv'(uv)'=u'v+uv'

Интуитивное понимание
(uv)'=u'v+uv'(uv)'=u'v+uv'

В каждой точке умножаются две функции. Скорость изменения продукта равна сумме

, фиксируя одну функцию vv как константу и скорость изменения другой функции u'u'

, плюс фиксируя другую функцию uu как константу и скорость изменения функции v' v'

Это сравнивается с (au)'=au'(au)'=au'.

Учитывая y=x2sinxy=x2sinx, что такое dydxdydx?
Примечание: ddxx2 = 2xddxx2 = 2x
ddxsinx = cosxddxsinx = cosx

Ответ "2xsinx + x2cosx2xsinx + x2cosx"

dydxdydx = ddx (x2sinx) = ddx (x2sinx)
Применение Закона о продукте =sinxddxx2+x2ddxsinx=sinxddxx2+x2ddxsinx
=2xsinx+x2cosx=2xsinx+x2cosx

резюме

Производная произведения: (uv)'=u'v+uv'(uv)'=u'v+uv'
Производная произведения двух функций представляет собой сумму производных функций, масштабированных на значение другой функции

подразделение

Нахождение производной от деления.
limδ→0[limδ→0[u(x+δ)÷v(x+δ)u(x+δ)÷v(x+δ)−(u(x)÷v(x))]/δ -(u(x)÷v(x))]/δ

=limδ→0{=limδ→0{1v(x+δ)v(x)1v(x+δ)v(x)×[u (x+δ)v(x)×[u(x+δ)v(x)−u(x)v(x+δ)]/δ}-u(x)v(x+δ)]/δ }

добавление u(x)v(x)−u(x)v(x)u(x)v(x)-u(x)v(x)

=limδ→0{=limδ→0{ 1v(x+δ)v(x)1v(x+δ)v(x)[u(x+δ)v(x)−u(x)v(x)[u(x+δ)v(x )-u(x)v(x)−u(x)v(x+δ)+u(x)v(x)]/δ}-u(x)v(x+δ)+u(x) v(x)]/δ}

=limδ→0{=limδ→0{1v(x+δ)v(x)1v(x+δ)v(x)[v(x)(u(x+ δ)−u(x))[v(x)(u(x+δ)-u(x))−u(x)(v(x+δ)−v(x))]/δ}-u (x)(v(x+δ)-v(x))]/δ}

=limδ→0{=limδ→0{1v(x+δ)v(x)×1v(x+δ)v (x)×[v(x)(u(x+δ)−u(x))]/δ)[v(x)(u(x+δ)-u(x))]/δ)−[ u(x)(v(x+δ)−v(x))]/δ}-[u(x)(v(x+δ)-v(x))]/δ}

с непрерывностью и условия дифференцируемости на uu и vv
1v21v2×{dudxv×{dudxv−udvdx}-udvdx}

Приведенное выше доказывает (uv)'=u'v−uv'v2(uv)'=u'v-uv'v2

Интуитивное понимание (uv)'=u'v−uv'v2(uv)'=u'v-uv'v2

Это можно переписать как
(uv)'=(uv)'=(u'×(1v)( u′×(1v)+u×(−1v2)×v'+u×(-1v2)×v′

Первая часть результата:
фиксируя 1v1v как константу, берется скорость изменения uu

Вторая часть результата:
фиксируя uu как константу, берется скорость изменения 1v1v.
Скорость изменения 1v1v отрицательна скорости изменения vv и делится на v2v2.

Учитывая y=sinxx2y=sinxx2, что такое dydxdydx? Примечание: ddxx2 = 2xddxx2 = 2x
ddxsinx = cosxddxsinx = cosx

Ответ "x2cosx-2xsinxx4x2cosx-2xsinxx4"

dydxdydx
= ddx [sinxx2] = ddx [sinxx2]
Применение факторных законов производного =x2ddxsinx-sinxddxx2x4=x2ddxsinx-sinxddxx2x4
=x2cosx-2xsinxx4=x2cosx-2xsinxx4

резюме

Производная от частного: (uv)'=u'v−uv'v2(uv)'=u'v-uv'v2

композитный

Нахождение производной сложной функции.
По данным v(u)v(u) и u(x)u(x) найти dvdxdvdx

dvdxdvdx

=limΔx→0v(u(x+Δx))−v(u(x))Δx=limΔx→ 0v(u(x+∆x))-v(u(x))∆x

умножение и деление на u(x+∆x)−u(x)u(x+∆x)-u(x)

=limΔx→0[=limΔx→0[v(u(x+Δx))−v(u(x))u(x+Δx)−u(x)v(u(x+Δx))-v( u(x))u(x+Δx)-u(x)×u(x+Δx)−u(x)Δx×u(x+Δx)-u(x)Δx]]

Подстановка u( x+∆x)−u(x)=∆uu(x+∆x)-u(x)=∆u
Если ∆x→0∆x→0, то ∆u→0∆u→0
с условиями непрерывности и дифференцируемости на vv и uu.

=limΔu→0v(u(x+Δx))−v(u(x))Δu=limΔu→0v(u(x+Δx))-v(u(x))ΔulimΔx→0u(x+ Δx)−u(x)ΔxlimΔx→0u(x+Δx)-u(x)Δx

=dvdududx=dvdududx

Приведенное выше доказывает, что dvdx=dvdududxdvdx=dvdududx

Производная составной функции может быть расширена до многоуровневых функций.

dfdx=dfdgdgdhdhdvdvdxdfdx=dfdgdgdhdhdvdvdx

Это также называется цепным правилом дифференцирования .

Интуитивное понимание цепного правила:

В v(u(x))v(u(x)), v(u)v(u) называется внешней функцией, а u(x)u(x) называется внутренняя функция.В составной функции

изменение переменной вызывает изменение внутренней функции, и это изменение является скоростью изменения внутренней функции.

изменение внутренней функции, в свою очередь, вызывает изменение внешней функции. Это изменение, скорость изменения внешней функции, относится к внутренней функции.

Таким образом, скорость изменения внешней функции по отношению к переменной == скорость изменения внутренней функции к переменной × × скорость изменения внешней функции к внутренней функции.

Учитывая y=sin(x2)y=sin(x2), что такое dydxdydx?
Примечание: ddxx2 = 2xddxx2 = 2x
ddxsinx = cosxddxsinx = cosx

Ответ "2xcos (x2) 2xcos (x2)"

dydxdydx

Принимая u = x2u = x2
= ddusinu × ddxx2 = ddusinu × ddxx2

применение закона производной
=cosu×2x=cosu×2x
=2xcos(x2)=2xcos(x2)

Производная составной функции : dvdx=dvdududxdvdx=dvdududx

параметрическая форма

Нахождение производной функции, заданной в параметрической форме.
y=f(r)y=f(r) и x=g(r)x=g(r)
dydx=?dydx=?

dydxdydx=limΔx→0[Δy÷Δx]=limΔx→0[Δy÷Δx]

Обратите внимание, что изменение xx будет отражаться как изменение rr.
Δx=g(r+Δr)−g(r)Δx=g(r+Δr)-g(r)
Δy=f(r+Δr)−f(r)Δy=f(r+Δr)- f(r)

dfdgdfdg
=limΔr→0[=limΔr→0[(f(r+Δr)−f(r))(f(r+Δr)-f(r))÷(g(r +Δr)−g(r))]÷(g(r+Δr)-g(r))]

делением числителя и знаменателя на ΔrΔr

=limΔr→0[=limΔr→0[(f( r+Δr)−f(r))/Δr(f(r+Δr)-f(r))/Δr÷(g(r+Δr)−g(r))/Δr÷(g(r+Δr) )-g(r))/∆r]]

с условиями непрерывности и дифференцируемости на uu и aa
=lim∆r→0[=lim∆r→0[(f(r+∆r)−f(r))/∆r ](f(r+∆r)-f(r))/∆r]÷lim∆r→0[(g(r+∆r)−g(r))/∆r÷lim∆r→0[(g(r+∆r)- g(r))/Δr]]

=df/drdg/dr=df/drdg/dr

=dy/drdx/dr=dy/drdx/dr

Вышеприведенное доказывает, что dvdu=dv/dx÷du/ dxdvdu=dv/dx÷du/dx

Учитывая y=sinry=sinr и x=r2x=r2, что такое dydxdydx?
Примечание: ddpp2=2pddpp2=2p
ddpsinp=cospddpsinp=cosp?

Ответ "cosr2rcosr2r"

dydxdydx
dy/drdx/drdy/drdx/dr
=cosr2r=cosr2r
как dydr=cosrdydr=cosr и dxdr=2rdxdr=2r

Интуитивное понимание dvdu=dv/dxdu/dxdvdu=dv/dxdu/dx Скорость изменения функции vv по отношению к другой функции uu можно вычислить по изменению общей переменной xx. Изменение общей переменной xx вызывает изменение как vv, так и uu. Это приводит к заданной формуле.

резюме

Производная функции в параметрической форме: dvdu=dv/dxdu/dxdvdu=dv/dxdu/dx

резюме

Производная кратного:
(au)'=au'(au)'=au'
Производная кратного функции кратна производной функции.

Производная суммы или разности:
(u+v)'=u'+v'(u+v)'=u'+v'

(u-v)'=u'-v'( uv)′=u′-v′
Производная суммы или разности – это сумма или разность производных.

Производная произведения: (uv)'=u'v+uv'(uv)'=u'v+uv'
Производная произведения двух функций представляет собой сумму производных функций, масштабированных по значению других функция

Производная от частного: (uv)'=u'v−uv'v2(uv)'=u'v-uv'v2

Производная функции в параметрической форме: dvdu=dv/dxdu/dxdvdu =dv/dxdu/dx
следующий

Степенное правило для производных

Обычно первым быстрым правилом, которое вы изучаете для поиска производных, является правило степени. {545}\)

Как видите, все дело в запоминании шаблона. Теперь мы увидим, как этот шаблон можно применить к более сложным примерам.

Производные полиномиальных функций

Напомним, что производная константы всегда равна нулю. Таким образом, производная от 5 равна 0, а производная от 2000 также равна 0. Кроме того, вы можете разбить производную на сложение/вычитание и умножение на константы. Сочетание этих идей со степенным правилом позволяет нам использовать его для нахождения производной любого многочлена.2 – 6х + 10}\)

Вы можете подумать, что это все, что вы можете сделать с помощью правила силы. Однако пара старых фактов из алгебры может помочь нам применить это к более широкому кругу функций. Ниже мы рассмотрим два таких случая.

Производные функций с отрицательными показателями

Правило степени применяется независимо от того, положительный или отрицательный показатель степени. Но иногда функцию, не имеющую показателей степени, можно переписать, используя отрицательные показатели степени. {3}}}\конец{выравнивание}\)

Обратите внимание, что на последнем шаге в нижнюю часть дроби были перемещены только члены с отрицательным показателем степени. У восьмерки не было отрицательного показателя, поэтому она осталась.

Производные функций с радикалами (квадратный корень и другие корни)

Еще одно полезное свойство алгебры заключается в следующем.

Используя это правило, мы можем взять функцию, записанную с корнем, и найти ее производную, используя степенное правило.

Пример

Найдите производную функции.{\ frac {1} {3}}} \\ & = \ dfrac {2} {\ sqrt {x}} - \ dfrac {4} {\ sqrt [3] {x}} \ end {align} \)

Во многих классах любая из двух последних строк может быть записана как ваш окончательный ответ. Они эквивалентны. Однако у вашего учителя или профессора могут быть предпочтения, поэтому всегда спрашивайте!

Резюме

Будучи студентом, изучающим исчисление, вы хотите, чтобы правило степени было вашей второй натурой. Оно будет применяться не только таким образом — само по себе — но и как часть других правил, таких как цепное правило, частное правило и правило произведения.Чем лучше вы это понимаете, тем больше вы можете сосредоточиться на этих более сложных идеях.

реклама

Продолжить изучение производных

Предыдущий: Производная константы

Далее: Правило продукта

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем дополнительные учебные пособия, руководства по калькуляторам и наборы задач.

Подпишитесь, чтобы время от времени получать электронные письма (раз в пару или три недели), чтобы узнавать о новинках!

Родственные

Градуированная алгебра, порожденная двумя эйлеровыми производными

  • Артин, М.: Некоторые проблемы в трехмерных градуированных областях, В: А. Марцинковский и Г. Тодоров (ред.), Теория представлений и алгебраическая геометрия , London Math. соц. Конспект лекций Сер. 238, издательство Кембриджского университета, 1997, стр. 1–19.

  • Артин, М., Тейт, Дж. и Ван ден Берг, М.: Некоторые алгебры, связанные с автоморфизмами эллиптических кривых, В: P. Cartier et al. (ред.), The Grothendieck Festschrift 1, Биркхойзер, Базель, 1990, стр. 33-85.

  • Артин М., Тейт, Дж. и Ван ден Берг, М.: Модули над регулярными алгебрами размерности 3, Invent. Мат. 106 (1991), 335-388.

    Google ученый

  • Бергман, Г. М.: Алмазная лемма для теории колец, Adv. Мат. 29 (1978), 178-218.

    Google ученый

  • Дюма Ф. и Джордан Д. А.: Квантовая матричная алгебра Вейля 2 × 2, Comm.Алгебра 24 (1996), 1409-1434.

    Google ученый

  • Гаспер, Г. и Рахман, М.: Основные гипергеометрические серии , Энциклоп. Мат. Appl., Кембриджский унив. Press, Кембридж, 1990.

    Google ученый

  • Feinsilver, P.: Коммутаторы, антикоммутаторы и исчисление Эйлера, Rocky Mountain J. Math. 12 , 171-183.

  • Гудерл, К. Р.: Простые идеалы в кольцах косых многочленов и квантованных алгебрах Вейля, J. Algebra 150 (1992), 324-377.

    Google ученый

  • Гудерл, К. Р. и Летцтер, Э. С.: Простые идеалы в кольцах косых и q -косых полиномов, Mem.Amer. Мат. соц. 109 № 521 (1994).

    Google ученый

  • Джексон, Ф.Х.: О q -функциях и одном разностном операторе, Пер. Рой. соц. Эдинбург 46 (1908), 253-281.

    Google ученый

  • Джордан, Д. А.: Кольца итерированных косых многочленов и квантовые группы, J. Алгебра 174 (1995), 267-281.

    Google ученый

  • Краузе, Г. Р. и Ленаган, Т. Х.: Рост алгебр и измерение Гельфанда-Кириллова , Питман, Лондон, 1985.

    Google ученый

  • Курош А.Г.: Теория групп, Vol. I , Челси, Нью-Йорк, 1955.

    Google ученый

  • Левассер, Т.: Некоторые свойства некоммутативных регулярных градуированных колец, Glasgow Math. Дж. 34 (1992), 277-300.

    Google ученый

  • МакКоннелл, Дж.К. и Петтит, Дж. Дж.: Скрещенные произведения и мультипликативные аналоги алгебр Вейля, J. London Math. соц. (2) 38 (1988), 47-55.

    Google ученый

  • МакКоннелл, Дж. К. и Робсон, Дж. К.: Некоммутативные нётеровы кольца , Wiley, Chichester, 1987.

    Google ученый

  • Нэстасеску, К. и Ван Ойстайен, Ф.: Теория градуированных колец , Северная Голландия, Амстердам, 1982.

    Google ученый

  • Смит, С. П.: Некоммутативная алгебраическая геометрия, готовится, Вашингтонский университет.

  • Ванклифф М.: Некоммутативная геометрия некоторых квадратичных алгебр, докторская диссертация, Вашингтонский университет, 1993.

  • (PDF) Тождество для формальных производных в коммутативной алгебре

    , позднее опубликованное М. Бараном и П. Озоркой, и доказательство, отличное от

    этого документа, будет вскоре опубликовано.

    Формула

    1

    н!

    n

    X

    k=0

    (−1)kn

    kakD(n)(an−k) = n!D(a)n

    (это (3.4) ниже с a1=a2= 1, b =a, p = 0), а его частный случай для

    производных полиномов одной переменной был открыт П. Озоркой и

    Б. Милувкой независимо от более ранних результатов Е. А. Горина. , Ю. Ю. Кочетков

    и Б.С. Митягин [8] и М. Климек [11]. Стоит отметить, что эти

    работ никем не цитировались в течение более тридцати лет.

    Такие тождества играют ключевую роль в выводе неравенств марковского типа. Отметим некоторые глубокие следствия личности Милувки.

    (i) Б. Миловка [13] показал, что свойство Маркова для k-й производной

    эквивалентно соответствующему свойству для производных первого порядка

    . Более того, повторяя оценку для производной первого порядка

    , мы получаем точный показатель степени в оценке производной порядка k:

    если kP0kE≤M(deg P)mkPkE, то существуют константы Mk такие, что ≤Mk(градус P)kmkPkE.

    (ii) В 2013 г. М. Баран и Л. Биалас-Сис [2] опубликовали свое более раннее

    наблюдение, что если для плоского компакта Eone выполняется неравенство

    kP(k)kE≤ Mk(deg P)kmkPkE, для полинома P, тогда

    (1.2) Mk≥Ak(1/k!)m−1.

    (Здесь m, Mk, A обозначают константы, не зависящие от степени полинома

    .)

    (iii) Вследствие (1.2) возникает идея рассматривать множества E со свойством

    (1.3 ) kP(k)kE≤Ak(1/k!)m−1(deg P)km kPkE,

    теперь называются множествами Владимира Маркова.Знаменитое неравенство В. А. Маркова

    устанавливает (1.3) в случае E= [−1,1]. Удивительным фактом, доказанным в [2, 3] (см. также [4]), является эквивалентность условия (1.3) гёльдеровской непрерывности типа

    (с показателем 1/m) комплекса Грина функция ВЭ.

    То же самое остается верным и в более высоких размерностях, если мы заменим (1.3)

    аналогичным условием с частными производными (см. [2, 3]).

    (iv) В [6] есть интересное наблюдение, что А. Свойство Маркова

    для подмножества RN эквивалентно подходящей оценке для оператора Лапласа

    .

    (v) В [5, теорема 24] доказан важный факт: минимальность показателя Маркова

    для спектральных норм (kPkk=kPkk) в классе норм

    , обладающих обобщенным свойством Никольского (относительно этой нормы ).

    Демистификация производных | Демистификация алгебры

    С возвращением! Сегодня я возвращаюсь с новым постом об исчислении, на этот раз о производных.Если вы читали мою серию статей о пределах, надеюсь, вы поняли, что исчисление не так уж и страшно; на самом деле это весело и захватывающе!

    Давайте начнем с краткого разговора о наклонах линейных уравнений. Вы, наверное, знаете из алгебры, что процесс определения наклона линии очень прост. Вы просто выбираете любой интервал и делите вертикальное изменение (также известное как рост ) на горизонтальное изменение (также известное как пробег ). Я проиллюстрировал это ниже:

    Одна важная деталь заключается в том, что  выбор интервала не имеет значения . Наклон линии останется прежним, выберете ли вы весь диапазон (например, от -∞ до ∞) или небольшой интервал (например, от -1 до 2).

    Что если мы перенесем это определение наклона на другие графики. Возьмем, к примеру, параболы. Мы можем взять интервал на этой параболе и использовать приведенную выше формулу. Итак, оказывается, это просто и это работает!

    Или ?

    В отличие от линейных уравнений,  наклон парабол постоянно  изменяется .Я проиллюстрировал один пример ниже:

    Если взять интервал из левой половины, наклон будет положительным . Однако интервалы справа будут иметь отрицательный наклон 90 221 90 222.

    Значит, наклоны нелинейных уравнений не имеют смысла?

    Хорошо, давайте немного ослабим определение.

    Представим наклон не числом, а функцией . Эта функция сообщит нам наклон графика в конкретной точке .Таким образом, даже несмотря на то, что все точки на графике будут иметь разные наклоны, операция наклона неожиданно обретает смысл.

    И эта функция называется производной и обозначается f'(x) , читается как «f простое число x».

    Методы вычисления производной функций я рассмотрю в следующих постах, а сейчас приведу краткий пример.

    Производная квадратичной функции x 2 равна 2x . Что это значит?

    Это означает, что мы можем вычислить наклон x 2 в любой точке, просто подставив координату x в производную 2x .

    Например, наклон x 2 на x = 3 равен:

     f'(3) = 2 * 3 = 6 

    , а наклон в x = -5 :

     f'(-5) = 2 * -5 = -10 

    Это действительно так просто!

    Теперь вы можете задаться вопросом, есть ли у линейных функций производные? Ну, оказывается, они делают! Производная линейных функций — это , просто константа , равная наклону прямой.

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.