Алгоритм решения линейных уравнений методом гаусса: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Содержание

Ислледовательская работа на тему:”Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса. “

РЕСПУБЛИКАНСКАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

МОЛОДЫХ ИССЛЕДОВАТЕЛЕЙ

«ШАГ В БУДУЩЕЕ»

ТЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ:

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Симпозиум 3.

Математика и информационные технологии

Автор Гусейнов Гусейн,

исследования: ученик 11 «б» класса

МКОУ «Унцукульская СОШ №1»

селения Унцукуль

Унцукульского района РД

Научный Абдулаева А.А.,

руководитель: учитель математикии информатики

МКОУ «Унцукульская СОШ №1».

2017г.

Аннотация

Увлечение математикой начинается с размышления над какой-то интересной задачей или проблемой.

Часто на уроках математики мы решаем различные уравнения. Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных алгебраических уравнений.Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. На уроках алгебры мы использовали такие способы, как сложение, подстановка и графический.

Я решил узнать, какие еще существуют методы нахождения решений систем линейных уравнений.Ознакомившись со справочной литературой, я выяснил, чтоодним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса.Выдающегося немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855) современники называли «королём математики». Ещё в раннем детстве он проявлял незаурядные математические способности.

Мной на примерах был изучен и исследован алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Целью работы является изучение алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса для применения их на практике.

Актуальность заключается в том, что системы линейных алгебраических уравнений – это математический аппарат, который имеет широкое применение в решении многих задач практического приложения математики.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решил искать частные примеры, подтверждающие либо опровергающие моирассуждения. Рассмотрев немало практических примеров, мне удалось в результате исследования сделать выводы о преимуществе метода Гаусса.

Таким образом, задача поиска решений систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса имеет не только самостоятельное значение, но часто является составной частью алгоритма решения многих нелинейных задач, что является актуальностьюизучения алгоритма решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………………1

  1. Основные определения и обозначения …………………………………………..2

  2. Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса ………………………………………3

  3. Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы……7

  4. Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных меньше

числа уравнений………………………………………………………………………….7

  1. Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных больше числа уравнений…………………………………………………………………………..8

Заключение………………………………..………………………………..……….…..10

Литература…………………………………………..……………………………………11

Введение

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

,

где числа aij называются коэффициентами системы, числа bi – свободными членами, 

aij и bi (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x1 ,…, xn – неизвестные. В обозначении коэффициентов aijпервый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа xn .

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Во многих прикладных задачах может и не быть третьего ограничения, то есть, третьего уравнения, тогда приходится решать методом Гаусса систему двух уравнений с тремя неизвестными, или же, наоборот – неизвестных меньше, чем уравнений.

Метод Гаусса — классический метод решения  СЛАУ. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований  над расширенной матрицей система приводится к «ступенчатому» виду.Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.

1

1.Основные определения и обозначения

Рассмотрим систему из m линейных уравнений с n неизвестными (m может быть равно n):где  – неизвестныепеременные, 

Если , то система линейных алгебраических уравнений называется однородной, в противном случае – неоднородной. Если существует хотя бы одно решение системы линейных алгебраических уравнений, то она называется совместной, в противном случае – 

несовместной.

Если СЛАУ имеет единственное решение, то она называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопределенной.

Говорят, что система записана в координатной форме, если она имеет вид

Эта система в матричной форме записи имеет вид , где

  – основная матрица СЛАУ,   матрица столбец неизвестных переменных,   матрица свободных членов.

Если к матрице А добавить в качестве (n+1)-ого столбца матрицу-столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы линейных уравнений. Обычно расширенную матрицу обозначают буквой Т, а столбец свободных членов отделяют вертикальной линией от остальных столбцов, то есть,

2

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю. Если , то матрица А называется невырожденной.

Следует оговорить следующий момент.

Если с системой линейных алгебраических уравнений 

произвести следующие действия:

  • поменять местами два уравнения,

  • умножить обе части какого-либо уравнения на произвольное и отличное от нуля действительное (или комплексное) число k,

  • к обеим частям какого-либо уравнения прибавить соответствующие части другого уравнения, умноженные на произвольное число 

    k,

то получится эквивалентная система, которая имеет такие же решения (или также как и исходная не имеет решений).

Для расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений эти действия будут означать проведение элементарных преобразований со строками:

  • перестановку двух строк местами,

  • умножение всех элементов какой-либо строки матрицы T на отличное от нуля число k,

  • прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, умноженных на произвольное число k.

2.Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса

Рассмотрим сначала решение систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений. Матрица такой системы – квадратная, то есть в ней число строк равно числу столбцов.

3

Пример 1. Решить методом Гаусса систему линейных уравнений

Решая системы линейных уравнений школьными способами, мы умножали одно из уравнений на некоторое число, так, чтобы коэффициенты при первой переменной в двух уравнениях были противоположными числами. При сложении уравнений происходит исключение этой переменной. Аналогично действует и метод Гаусса.

Для упрощения внешнего вида решения составим расширенную матрицусистемы:

Для удобства деления коэффициентов при переменных (чтобы получить деление на единицу) переставим местами первую и вторую строки матрицы системы. Получим систему, эквивалентную данной, так как в системе линейных уравнений можно переставлять местами уравнения:

С помощью нового первого уравнения исключим переменную x из второго и всех последующих уравнений. Для этого ко второй строке матрицы прибавим первую, умноженную на  (в нашем случае на -3), к третьей – первую строку, умноженную на  (в нашем случае на  -2).Это возможно, так как .

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям первую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус. В результате получим матрицу эквивалентную данной системе новой системы уравнений, в которой все уравнения, начиная со второго, не содержат переменную x:

4

Для упрощения второй строки полученной системы умножим её на  и получим матрицу :

Теперь, сохраняя первое уравнение полученной системы без изменений, с помощью второго уравнения исключаем переменную y из всех последующих уравнений. Для этого к третьей строке матрицы системы прибавим вторую, умноженную на  (в нашем случае на -4).

Если бы в нашей системе уравнений было больше трёх, то следовало бы прибавлять и ко всем последующим уравнениям вторую строку, умноженную на отношение соответствующих коэффициентов, взятых со знаком минус.

В результате вновь получим матрицу системы, эквивалентной данной системе линейных уравнений:

Мы получили эквивалентную данной системе трапециевидную систему линейных уравнений:

Если число уравнений и переменных больше, чем в нашем примере, то процесс последовательного исключения переменных продолжается до тех пор, пока матрица системы не станет трапециевидной, как в нашем примере.

Решение найдём “с конца” – это называется “обратный ход метода Гаусса”. Для этого из последнего уравнения определим z:
Подставив это значение в предшествующее уравнение, найдёмy:

Из первого уравнения найдём x:

Итак, решение данной системы .

5

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную . Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на  -2, к третьей строке – первую, умноженную на -3, к четвёртой – первую, умноженную на  -2.

Теперь с помощью второго уравнения исключим переменную  из последующих уравнений. И с помощью третьего уравнения исключим переменную  из четвёртого уравнения.

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

Следовательно, полученная и данная системы являются совместными и определёнными. Искомое решение находим «с конца».Итаким образом, данная система уравнений имеет единственное решение

 

6

3.Решение методом Гаусса прикладных задач на примере задачи на сплавы

Системы линейных уравнений применяются для моделирования реальных объектов физического мира. Решим методом Гаусса одну из таких задач – на сплавы. Аналогичные задачи – задачи на смеси, стоимость или удельный вес отдельных товаров в группе товаров и тому подобные.

Пример 3. Три куска сплава имеют общую массу 150 кг. Первый сплав содержит 60% меди, второй – 30%, третий – 10%. При этом во втором и третьем сплавах вместе взятых меди на 28,4 кг меньше, чем в первом сплаве, а в третьем сплаве меди на 6,2 кг меньше, чем во втором. Найти массу каждого куска сплава.

Решение. Составляем систему линейных уравнений:

Умножаем второе и третье уравнения на 10, и составляем расширенную матрицу системы: . Применяемпрямой ход метода Гаусса. Получим расширенную матрицу трапециевидной формы .

Теперь применяем обратный ход метода Гаусса. Находим решение с конца. Получаем z=43, y=35, x=72.

4. Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных меньше числа уравнений

Следующий пример – система линейных уравнений, в которой число неизвестных меньше числа уравнений.

Пример 4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. С помощью первого уравнения исключаем из последующих уравнений переменную x.7

Для этого ко второй строке прибавляем первую, умноженную на -2, к третьей строке – первую,умноженную на  -3, к четвёртой – первую, умноженную на  -1. Далее новые вторую, третью и четвёртую строки умножаем на  -1.

Теперь нужно с помощью второго уравнения исключить переменную y из последующих уравнений. Для этого четвёртую строку умножаем на , а полученную в результате четвёртую строку меняем местами со второй строкой.К третьей строке прибавим вторую, умноженную на  -8, а к четвёртой – вторую, умноженную на -7.

Четвёртая и третья строки – одинаковые, поэтому четвёртую исключаем из матрицы. А третью умножаем на  . Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

 zи y известны, а x находим из первого уравнения:x = 1.

Итак, данная система уравнений имеет единственное решение (1; 1; 1).

5. Метод Гаусса и система, в которой число неизвестных больше числа уравнений

Следующий пример – система линейных уравнений, в которой число неизвестных больше числа уравнений.

Пример 5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение. Составляем расширенную матрицу системы. Далее ко второй строке прибавляем первую, умноженную на  -2.

8

Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:

В ней отсутствуют уравнения, дающие однозначные значения для  и . Это равносильно появлению уравнений вида , которые можно отбросить. Мы можем для   и   выбрать произвольные значения . Из первого уравнения значение для  находится однозначно: .Как заданная, так и последняя системы совместны, но неопределённы, и формулы, при произвольных  и  дают нам все решения заданной системы.

9

Заключение

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой СЛАУ.

О простоте метода говорит хотя бы тот факт, что немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу на его изобретение потребовалось лишь 15 минут.Кроме метода его имени из творчества Гаусса известно изречение “Не следует смешивать то, что нам кажется невероятным и неестественным, с абсолютно невозможным” – своего рода краткая инструкция по совершению открытий.

Преимуществами метода Гаусса решения СЛАУ являются:

  • метод менее трудоёмкий по сравнению с другими;

  • позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;

  • позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Подводя итог своей работы я пришел к выводу, что метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.

10

Литература

  1. Математика. Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/ П.И.Алтынов, И.И.Баврин, Е.М.Бойченко и др. – М.:Дрофа, 2006. – 848с.

  2. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Данко, А. Попов, Т. Кожевникова. – 1986. – Т. 1. – 296 c.

  3. Линейная алгебра: Учебник для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2004. – 280 с.

  4. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Опорный конспект: учебное пособие. – Москва: Проспект, 2011. – 144с.

  5. Интернет-ресурсы.

11

1.2. Алгоритм решения слау методом Гаусса

Составить программу решения систем линейных алгебраических уравнений с матрицей порядка n методом Гаусса с использованием языка С++ .

Алгоритм решения системы линейных уравнений с помощью метода Гаусса. Алгоритм реализован на языке С++.

Пусть у нас есть система N линейных уравнений:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + … a1NxN = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + … a2NxN = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + … a3NxN = b3 … aN1x1 + aN2x2 + aN3x3 + … aNNxN = bN

где xi – неизвестные,

aij – коэффициенты при неизвестных,

bi – свободные члены в уравнениях,

i,j пробегают значения от 1 до N.

Цель задачи – зная aij и bi найти xi.

Суть метода Гаусса состоит в том, что с помощью некоторых операций исходную систему уравнений можно свести к более простой системе. Эта простая система имеет треугольный вид (таблица № 1.1.):

Таблица №1.1.

a11x1 +

a12x2 +

a13x3 +

a1NxN = b1

a22x2 +

a23x3 +

a2NxN = b2

a33x3 +

a3NxN = b3

aNNxN = bN

Особенность этой системы – в строках с номером i все коэффициенты aij при j<i равны нулю.

Если мы смогли привести нашу систему уравнений к такому треугольному виду, то решить уравнения уже просто. Из последнего уравнения находим

xN= bN / aNN.

Дальше подставляем его в предпоследнее уравнение и находим из него xN-1. Подставляем оба найденных решения в следующее с конца уравнение и находим xN-2. И так далее, пока не найдем x1, на чем решение заканчивается. Такая процедура называется обратной прогонкой.

Теперь перейдем к вопросу как же добиться того, чтобы система стала треугольной.

Из линейной алгебры известно, что если к некоторой строке системы уравнений прибавить любую линейную комбинацию любых других строк этой системы, то решение системы не изменится. Под линейной комбинацией строк понимается сумма строк, каждая из которых умножается на некоторое число (в принципе, любое).

Нужно, чтобы во второй строке получилось уравнение, в которой отсутствует член при x1. Прибавим к этой строке первую строку, умноженную на некоторое число M.

(a11x1+a12x2+a13x3 + … a1NxN = b1)*M + a21x1 + a22x2 + a23x3 + … a2NxN = b2

Получим:

(a11*М + a21) x1 + … = b1*M + b2

Для того, чтобы член при x1 равнялся нулю, нужно, чтобы

M = – a21 / a11.

Проделав эту операцию, получившееся уравнение запишем вместо второго и приступим к третьему уравнению. К нему мы прибавим первое уравнение, умноженное на M = – a31 / a11 и тоже получим ноль вместо члена при x1. Такую операцию нужно проделать над всеми остальными уравнениями. В результате получим систему такого вида (таблица №1.2.):

Таблица №1.2.

a11x1 +

a12x2 +

a13x3 +

a1NxN = b1

a22x2 +

a23x3 +

a2NxN = b2

a32x2 +

a33x3 +

a3NxN = b3

aN2x2 +

aN3x3 +

aNNxN = bN

После этого будем избавляться от членов при x2 в третьем, четвертом, N-ом уравнении. Для этого нужно к уравнению с j-м номером прибавить 2-ое уравнение, умноженное на M = – aj2 / a22.

Проделав эту операцию над всеми остальными уравнениями, получим систему где нет членов с x2 в уравнениях с номером больше 2.

И так далее… Проделав это для третьего члена, четвертого… до тех пор, пока не кончатся уравнения, получим в итоге систему треугольного вида.

1.3 Входные и выходные данные

Входные данные:

Выходные данные:

  • Система двух уравнений с целыми коэффициентами;

  • Теория по методу Гаусса;

  • Информация о программе;

  • Информационное окно о правильности данных результатов.

1.4 Системные требования

Операционная система: Windows 10 (x64).

Среда разработки – Microsoft Visual Studio 2017.

2 РАБОЧИЙ ПРОЕКТ

2.1 Общие сведения о работе системы

Программный продукт разработан в интегрированной среде Microsoft Visual Studio 2017 на языке С++. Программа работает под управлением операционной системы Windows 10 (х64) и более поздними.

2.2 Функциональное назначение программного продукта

Разработанный программный продукт предназначен для отработки навыков решения системы двух уравнений с двумя неизвестными и проверки знания. Программа имеет следующие функциональные возможности:

  • предоставление пользователю систему двух уравнений с двумя неизвестными;

  • проверка правильности вычисления пользователем системы данных уравнений;

  • прекращение тренировки по желанию пользователя.

Программа имеет следующие функциональные ограничения

  • вводить необходимо десятичные числа с точностью до 0.01;

  • программу нельзя использовать в качестве калькулятора.

описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения

Еще с начала XVI-XVIII веков математики усиленно начали изучать функции, благодаря которым так много в нашей жизни изменилось. Компьютерная техника без этих знаний просто не существовала бы. Для решения сложных задач, линейных уравнений и функций были созданы различные концепции, теоремы и методики решения. Одним из таких универсальных и рациональных способов и методик решения линейных уравнений и их систем стал и метод Гаусса. Матрицы, их ранг, детерминант – все можно посчитать, не используя сложных операций.

Что представляет собой СЛАУ

В математике существует понятие СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений. Что же она собой представляет? Это набор из m уравнений с искомыми n неизвестными величинами, обычно обозначающимися как x, y, z, или x 1 , x 2 … x n, или другими символами. Решить методом Гаусса данную систему – означает найти все искомые неизвестные. Если система имеет одинаковое число неизвестных и уравнений, тогда она называется системой n-го порядка.

Наиболее популярные методы решения СЛАУ

В учебных заведениях среднего образования изучают различные методики решения таких систем. Чаще всего это простые уравнения, состоящие из двух неизвестных, поэтому любой существующий метод для поиска ответа на них не займет много времени. Это может быть как метод подстановки, когда из одного уравнения выводится другое и подставляется в изначальное. Или метод почленного вычитания и сложения. Но наиболее легким и универсальным считается метод Гаусса. Он дает возможность решать уравнения с любым количеством неизвестных. Почему именно эта методика считается рациональной? Все просто. Матричный способ хорош тем, что здесь не требуется по несколько раз переписывать ненужные символы в виде неизвестных, достаточно проделать арифметические операции над коэффициентами – и получится достоверный результат.

Где используются СЛАУ на практике

Решением СЛАУ являются точки пересечения прямых на графиках функций. В наш высокотехнологический компьютерный век людям, которые тесно связаны с разработкой игр и прочих программ, необходимо знать, как решать такие системы, что они представляют и как проверить правильность получившегося результата. Наиболее часто программисты разрабатывают специальные программы-вычислители линейной алгебры, сюда входит и система линейных уравнений. Метод Гаусса позволяет высчитать все существующие решения. Также используются и другие упрощенные формулы и методики.

Критерий совместимости СЛАУ

Такую систему можно решить только в том случае, если она совместима. Для понятности представим СЛАУ в виде Ax=b. Она имеет решение, если rang(A) равняется rang(A,b). В этом случае (A,b) – это матрица расширенного вида, которую можно получить из матрицы А, переписав ее со свободными членами. Выходит, что решить линейные уравнения методом Гаусса достаточно легко.

Возможно, некоторые обозначения не совсем понятны, поэтому необходимо рассмотреть все на примере. Допустим, есть система: x+y=1; 2x-3y=6. Она состоит всего из двух уравнений, в которых 2 неизвестные. Система будет иметь решение только в том случае, если ранг ее матрицы будет равняться рангу расширенной матрицы. Что такое ранг? Это число независимых строк системы. В нашем случае ранг матрицы 2. Матрица А будет состоять из коэффициентов, находящихся возле неизвестных, а в расширенную матрицу вписываются и коэффициенты, находящиеся за знаком «=».

Почему СЛАУ можно представить в матричном виде

Исходя из критерия совместимости по доказанной теореме Кронекера-Капелли, систему линейных алгебраических уравнений можно представить в матричном виде. Применяя каскадный метод Гаусса, можно решить матрицу и получить единственный достоверный ответ на всю систему. Если ранг обычной матрицы равняется рангу ее расширенной матрицы, но при этом меньше количества неизвестных, тогда система имеет бесконечное количество ответов.

Преобразования матриц

Прежде чем переходить к решению матриц, необходимо знать, какие действия можно проводить над их элементами. Существует несколько элементарных преобразований:

  • Переписывая систему в матричный вид и осуществляя ее решение, можно умножать все элементы ряда на один и тот же коэффициент.
  • Для того чтобы преобразовать матрицу в канонический вид, можно менять местами два параллельных ряда. Канонический вид подразумевает, что все элементы матрицы, которые расположены по главной диагонали, становятся единицами, а оставшиеся – нулями.
  • Соответствующие элементы параллельных рядов матрицы можно прибавлять один к другому.

Метод Жордана-Гаусса

Суть решения систем линейных однородных и неоднородных уравнений методом Гаусса в том, чтобы постепенно исключить неизвестные. Допустим, у нас есть система из двух уравнений, в которых две неизвестные. Чтобы их найти, необходимо проверить систему на совместимость. Уравнение методом Гаусса решается очень просто. Необходимо выписать коэффициенты, находящиеся возле каждого неизвестного в матричный вид. Для решения системы понадобится выписать расширенную матрицу. Если одно из уравнений содержит меньшее количество неизвестных, тогда на место пропущенного элемента необходимо поставить «0». К матрице применяются все известные методы преобразования: умножение, деление на число, прибавление соответствующих элементов рядов друг к другу и другие. Получается, что в каждом ряду необходимо оставить одну переменную со значением «1», остальные привести к нулевому виду. Для более точного понимания необходимо рассмотреть метод Гаусса на примерах.

Простой пример решения системы 2х2

Для начала возьмем простенькую систему алгебраических уравнений, в которой будет 2 неизвестных.

Перепишем ее в расширенную матрицу.

Чтобы решить данную систему линейных уравнений, требуется проделать всего две операции. Нам необходимо привести матрицу к каноническому виду, чтобы по главной диагонали стояли единицы. Так, переводя с матричного вида обратно в систему, мы получим уравнения: 1x+0y=b1 и 0x+1y=b2, где b1 и b2 – получившиеся ответы в процессе решения.

  1. Первое действие при решении расширенной матрицы будет таким: первый ряд необходимо умножить на -7 и прибавить соответственно отвечающие элементы ко второй строке, чтобы избавиться от одного неизвестного во втором уравнении.
  2. Так как решение уравнений методом Гаусса подразумевает приведение матрицы к каноническому виду, тогда необходимо и с первым уравнением проделать те же операции и убрать вторую переменную. Для этого вторую строку отнимаем от первой и получаем необходимый ответ – решение СЛАУ. Или, как показано на рисунке, вторую строку умножаем на коэффициент -1 и прибавляем к первой строке элементы второго ряда. Это одно и то же.

Как видим, наша система решена методом Жордана-Гаусса. Переписываем ее в необходимую форму: x=-5, y=7.

Пример решения СЛАУ 3х3

Предположим, что у нас есть более сложная система линейных уравнений. Метод Гаусса дает возможность высчитать ответ даже для самой, казалось бы, запутанной системы. Поэтому, чтобы более глубоко вникнуть в методику расчета, можно переходить к более сложному примеру с тремя неизвестными.

Как и в прежнем примере, переписываем систему в вид расширенной матрицы и начинаем приводить ее к каноническому виду.

Для решения этой системы понадобится произвести гораздо больше действий, чем в предыдущем примере.

  1. Сначала необходимо сделать в первом столбце один единичный элемент и остальные нули. Для этого умножаем первое уравнение на -1 и прибавляем к нему второе уравнение. Важно запомнить, что первую строку мы переписываем в изначальном виде, а вторую – уже в измененном.
  2. Далее убираем эту же первую неизвестную из третьего уравнения. Для этого элементы первой строки умножаем на -2 и прибавляем их к третьему ряду. Теперь первая и вторая строки переписываются в изначальном виде, а третья – уже с изменениями. Как видно по результату, мы получили первую единицу в начале главной диагонали матрицы и остальные нули. Еще несколько действий, и система уравнений методом Гаусса будет достоверно решена.
  3. Теперь необходимо проделать операции и над другими элементами рядов. Третье и четвертое действие можно объединить в одно. Нужно разделить вторую и третью строку на -1, чтобы избавиться от минусовых единиц по диагонали. Третью строку мы уже привели к необходимому виду.
  4. Дальше приведем к каноническому виду вторую строку. Для этого элементы третьего ряда умножаем на -3 и прибавляем их ко второй строчке матрицы. Из результата видно, что вторая строка тоже приведена к необходимой нам форме. Осталось проделать еще несколько операций и убрать коэффициенты неизвестных из первой строки.
  5. Чтобы из второго элемента строки сделать 0, необходимо умножить третью строку на -3 и прибавить ее к первому ряду.
  6. Следующим решающим этапом будет прибавление к первой строке необходимые элементы второго ряда. Так мы получаем канонический вид матрицы, а, соответственно, и ответ.

Как видно, решение уравнений методом Гаусса довольно простое.

Пример решения системы уравнений 4х4

Некоторые более сложные системы уравнений можно решить методом Гаусса посредством компьютерных программ. Необходимо вбить в существующие пустые ячейки коэффициенты при неизвестных, и программа сама пошагово рассчитает необходимый результат, подробно описывая каждое действие.

Ниже описана пошаговая инструкция решения такого примера.

В первом действии в пустые ячейки вписываются свободные коэффициенты и числа при неизвестных. Таким образом, получается такая же расширенная матрица, которую мы пишем вручную.

И производятся все необходимые арифметические операции, чтобы привести расширенную матрицу к каноническому виду. Необходимо понимать, что не всегда ответ на систему уравнений – это целые числа. Иногда решение может быть из дробных чисел.

Проверка правильности решения

Метод Жордана-Гаусса предусматривает проверку правильности результата. Для того чтобы узнать, правильно ли посчитаны коэффициенты, необходимо всего-навсего подставить результат в изначальную систему уравнений. Левая сторона уравнения должна соответствовать правой стороне, находящейся за знаком “равно”. Если ответы не совпадают, тогда необходимо пересчитывать заново систему или попробовать применить к ней другой известный вам метод решения СЛАУ, такой как подстановка или почленное вычитание и сложение. Ведь математика – это наука, которая имеет огромное количество различных методик решения. Но помните: результат должен быть всегда один и тот же, независимо от того, какой метод решения вы использовали.

Метод Гаусса: наиболее часто встречающиеся ошибки при решении СЛАУ

Во время решения линейных систем уравнений чаще всего возникают такие ошибки, как неправильный перенос коэффициентов в матричный вид. Бывают системы, в которых отсутствуют в одном из уравнений некоторые неизвестные, тогда, перенося данные в расширенную матрицу, их можно потерять. В результате при решении данной системы результат может не соответствовать действительному.

Еще одной из главных ошибок может быть неправильное выписывание конечного результата. Нужно четко понимать, что первый коэффициент будет соответствовать первому неизвестному из системы, второй – второму, и так далее.

Метод Гаусса подробно описывает решение линейных уравнений. Благодаря ему легко произвести необходимые операции и найти верный результат. Кроме того, это универсальное средство для поиска достоверного ответа на уравнения любой сложности. Может быть, поэтому его так часто используют при решении СЛАУ.

1. Система линейных алгебраических уравнений

1.1 Понятие системы линейных алгебраических уравнений

Система уравнений – это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных. Системой линейных алгебраических уравнений (далее – СЛАУ), содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида:

где числа a ij называются коэффициентами системы, числа b i – свободными членами, a ij и b i (i=1,…, m; b=1,…, n) представляют собой некоторые известные числа, а x 1 ,…, x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Подлежат нахождению числа x n . Такую систему удобно записывать в компактной матричной форме: AX=B. Здесь А – матрица коэффициентов системы, называемая основной матрицей;

– вектор-столбец из неизвестных xj.
– вектор-столбец из свободных членов bi.

Произведение матриц А*Х определено, так как в матрице А столбцов столько же, сколько строк в матрице Х (n штук).

Расширенной матрицей системы называется матрица A системы, дополненная столбцом свободных членов

1.2 Решение системы линейных алгебраических уравнений

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор чисел (значений переменных), при подстановке которых вместо переменных каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.

Решением системы называется n значений неизвестных х1=c1, x2=c2,…, xn=cn, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства. Всякое решение системы можно записать в виде матрицы-столбца

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если система совместна, найти ее общее решение.

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Преобразование, применение которого превращает систему в новую систему, эквивалентную исходной, называется эквивалентным или равносильным преобразованием. Примерами эквивалентных преобразований могут служить следующие преобразования: перестановка местами двух уравнений системы, перестановка местами двух неизвестных вместе с коэффициентами у всех уравнений, умножение обеих частей какого-либо уравнения системы на отличное от нуля число.

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

Однородная система всегда совместна, так как x1=x2=x3=…=xn=0 является решением системы. Это решение называется нулевым или тривиальным.

2. Метод исключения Гаусса

2.1 Сущность метода исключения Гаусса

Классическим методом решения систем линейных алгебраических уравнений является метод последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса (его еще называют методом гауссовых исключений). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой и обратный ходы.

1. Прямой ход.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним.

После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому (в частности, треугольному) виду.

Приведенная ниже система имеет ступенчатый вид:

,

Коэффициенты aii называются главными (ведущими) элементами системы.

(если a11=0, переставим строки матрицы так, чтобы a 11 не был равен 0. Это всегда возможно, т. к. в противном случае матрица содержит нулевой столбец, ее определитель равен нулю и система несовместна).

Преобразуем систему, исключив неизвестное х1 во всех уравнениях, кроме первого (используя элементарные преобразования системы). Для этого умножим обе части первого уравнения на

и сложим почленно со вторым уравнением системы (или из второго уравнения почленно вычтем первое, умноженное на ). Затем умножим обе части первого уравнения на и сложим с третьим уравнением системы (или из третьего почленно вычтем первое, помноженное на ). Таким образом, последовательно умножаем первую строку на число и прибавляем к i -й строке, для i= 2, 3, …, n.

Продолжая этот процесс, получим эквивалентную систему:


– новые значения коэффициентов при неизвестных и свободные члены в последних m-1 уравнениях системы, которые определяются формулами:

Таким образом, на первом шаге уничтожаются все коэффициенты, лежащие под первым ведущим элементом a 11

0, на втором шаге уничтожаются элементы, лежащие под вторым ведущим элементом а 22 (1) (если a 22 (1) 0) и т.д. Продолжая этот процесс и дальше, мы, наконец, на (m-1) шаге приведем исходную систему к треугольной системе.

Если в процессе приведения системы к ступенчатому виду появятся нулевые уравнения, т.е. равенства вида 0=0, их отбрасывают. Если же появится уравнение вида

то это свидетельствует о несовместности системы.

На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

2. Обратный ход.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений.

Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (она в нем всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх.

Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Примечание: на практике удобнее работать не с системой, а с расширенной ее матрицей, выполняя все элементарные преобразования над ее строками. Удобно, чтобы коэффициент a11 был равен 1 (уравнения переставить местами, либо разделить обе части уравнения на a11).

2.2 Примеры решения СЛАУ методом Гаусса

В данном разделе на трех различных примерах покажем, как методом Гаусса можно решить СЛАУ.

Пример 1. Решить СЛАУ 3-го порядка.

Обнулим коэффициенты при

во второй и третьей строчках. Для этого домножим их на 2/3 и 1 соответственно и сложим с первой строкой:

Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Далее полезно изучить урок .

Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок.

Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА.Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решениялюбой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково.

Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений? и решим ее методом Гаусса.

На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы : . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления.

Справка : рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: . Любую из матриц можно для краткости называть просто матрицей.

После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями .

Существуют следующие элементарные преобразования:

1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки:

2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: .

3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следуетудалить . Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули .

4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля . Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы.

5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число , отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: , и ко второй строке прибавляем первую строку умноженную на –2 : . Теперь первую строку можно разделить «обратно» на –2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ не изменилась . Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ .

На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2 . Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой:

«Переписываю матрицу и переписываю первую строку: »

«Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (–2) = 0. Записываю результат во вторую строку: »

«Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

«И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: »

Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем.

Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений

! ВНИМАНИЕ : рассмотренные манипуляции нельзя использовать , если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! Вернемся к нашей системе . Она практически разобрана по косточкам.

Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду :

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке.

(2) Делим вторую строку на 3.

Цель элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид .

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений:

Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса .

В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: .

Рассмотрим первое уравнение системы и подставим в него уже известное значение «игрек»:

Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными.

Пример 1

Решить методом Гаусса систему уравнений:

Запишем расширенную матрицу системы:

Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия?

Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица . Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения . Уже легче.

Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах:

Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Результат записываем во вторую строку:

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3 :

Результат записываем в третью строку:

На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг:

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО иВНИМАТЕЛЬНО :
А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше.

В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 :
Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение.

Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3.

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: Круто.

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх.

В третьем уравнении у нас уже готовый результат:

Смотрим на второе уравнение: . Значение «зет» уже известно, таким образом:

И, наконец, первое уравнение: . «Игрек» и «зет» известны, дело за малым:

Ответ :

Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро.

Пример 2

Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса . Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми!

Пример 3

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1 . То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась.

Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак).

(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3.

(3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица.

(4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2.

(5) Третью строку разделили на 3.

Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований.

Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился:

Ответ : .

Пример 4

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения.

В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса. Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод . В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований.

Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: .

Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце.

Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль.

Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 десять систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического.

Дождливая осенняя погода за окном…. Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Решить методом Гаусса систему 4-х линейных уравнений с четырьмя неизвестными.

Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше.

Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением . Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса.

Желаю успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.
Выполненные элементарные преобразования: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем! (2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание , что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее. (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. (4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.

Обратный ход:

Ответ : .

Пример 4: Решение : Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке». (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6.

Со второй «ступенькой» всё хуже , «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3. Нужная вещь на второй ступеньке получена . (5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83.

Обратный ход:

Ответ :

Пример 5: Решение : Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

Выполненные преобразования: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки. (5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на –5.

Обратный ход:

Ответ :

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите “очень подробное решение” и посмотрите его решение онлайн.

Пусть дана система , ∆≠0. (1)
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных.

Суть метода Гаусса состоит в преобразовании (1) к системе с треугольной матрицей , из которой затем последовательно (обратным ходом) получаются значения всех неизвестных. Рассмотрим одну из вычислительных схем. Эта схема называется схемой единственного деления. Итак, рассмотрим эту схему. Пусть a 11 ≠0 (ведущий элемент) разделим на a 11 первое уравнение. Получим
(2)
Пользуясь уравнением (2), легко исключить неизвестные x 1 из остальных уравнений системы (для этого достаточно из каждого уравнения вычесть уравнение (2) предварительно умноженное на соответствующий коэффициент при x 1), то есть на первом шаге получим
.
Иными словами, на 1 шаге каждый элемент последующих строк, начиная со второй, равен разности между исходным элементом и произведением его «проекции» на первый столбец и первую (преобразованную) строку.
Вслед за этим оставив первое уравнение в покое, над остальными уравнениями системы, полученной на первом шаге, совершим аналогичное преобразование: выберем из их числа уравнение с ведущим элементом и исключим с его помощью из остальных уравнений x 2 (шаг 2).
После n шагов вместо (1) получим равносильную систему
(3)
Таким образом, на первом этапе мы получим треугольную систему (3). Этот этап называется прямым ходом.
На втором этапе (обратный ход) мы находим последовательно из (3) значения x n , x n -1 , …, x 1 .
Обозначим полученное решение за x 0 . Тогда разность ε=b-A·x 0 называется невязкой .
Если ε=0, то найденное решение x 0 является верным.

Вычисления по методу Гаусса выполняются в два этапа:

  1. Первый этап называется прямым ходом метода. На первом этапе исходную систему преобразуют к треугольному виду.
  2. Второй этап называется обратным ходом. На втором этапе решают треугольную систему, эквивалентную исходной.
Коэффициенты а 11 , а 22 , …, называют ведущими элементами.
На каждом шаге предполагалось, что ведущий элемент отличен от нуля. Если это не так, то в качестве ведущего можно использовать любой другой элемент, как бы переставив уравнения системы.

Назначение метода Гаусса

Метод Гаусса предназначен для решения систем линейных уравнений. Относится к прямым методам решения.

Виды метода Гаусса

  1. Классический метод Гаусса;
  2. Модификации метода Гаусса. Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором главного элемента. Особенностью метода Гаусса с выбором главного элемента является такая перестановка уравнений, чтобы на k -ом шаге ведущим элементом оказывался наибольший по модулю элемент k -го столбца.
  3. Метод Жордано-Гаусса;
Отличие метода Жордано-Гаусса от классического метода Гаусса состоит в применении правила прямоугольника , когда направление поиска решения происходит по главной диагонали (преобразование к единичной матрице). В методе Гаусса направление поиска решения происходит по столбцам (преобразование к системе с треугольной матрицей).
Проиллюстрируем отличие метода Жордано-Гаусса от метода Гаусса на примерах.

Пример решения методом Гаусса
Решим систему:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 2-ую строку на (2). Добавим 3-ую строку к 2-ой

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой

Из 1-ой строки выражаем x 3:
Из 2-ой строки выражаем x 2:
Из 3-ой строки выражаем x 1:

Пример решения методом Жордано-Гаусса
Эту же СЛАУ решим методом Жордано-Гаусса.

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (1).

НЭ = СЭ – (А*В)/РЭ
РЭ – разрешающий элемент (1), А и В – элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x 1 x 2 x 3 B
1 / 1 = 1 2 / 1 = 2 -2 / 1 = -2 1 / 1 = 1


Разрешающий элемент равен (3).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
x 1 x 2 x 3 B
0 / 3 = 0 3 / 3 = 1 1 / 3 = 0.33 4 / 3 = 1.33


Разрешающий элемент равен (-4).
На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули.
Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

Ответ : x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Реализация метода Гаусса

Метод Гаусса реализован на многих языках программирования, в частности: Pascal, C++, php, Delphi , а также имеется реализация метода Гаусса в онлайн режиме .

Использование метода Гаусса

Применение метода Гаусса в теории игр

В теории игр при отыскании максиминной оптимальной стратегии игрока составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.

Применение метода Гаусса при решении дифференциальных уравнений

Для поиска частного решения дифференциального уравнения сначала находят производные соответствующей степени для записанного частного решения (y=f(A,B,C,D)), которые подставляют в исходное уравнение. Далее, чтобы найти переменные A,B,C,D составляется система уравнений, которая решается методом Гаусса.

Применение метода Жордано-Гаусса в линейном программировании

В линейном программировании, в частности в симплекс-методе для преобразования симплексной таблицы на каждой итерации используется правило прямоугольника, в котором используется метод Жордано-Гаусса.

Линейные уравнения, Системы линейных уравнений, Решения систем линейных уравнений, Метод Крамера

К решению систем линейных уравнений сводятся многочисленные задачи по математике. Рассмотрим постановку задачи.

Дана система n алгебраических уравнений с n неизвестными:

Эту систему можно записать в матричном виде: А • X = В, где А — квадратная матрица коэффициентов, X — вектор-столбец неизвестных, В — вектор-столбец свободных членов.

Численные методы решения систем линейных уравнений делятся на прямые и итерационные.

Прямые методы используют конечные соотношения для вычисления неизвестных. Эти методы сравнительно просты и пригодны для широкого класса систем.

Недостатки: требуют хранения в памяти ЭВМ сразу всей матрицы А. При больших порядках системы расходуется много места в памяти и накапливается вычислительная погрешность. Кроме того, существенно возрастает время вычисления вектора X. Поэтому прямые методы обычно применяют при небольших порядках системы (n < 200).

Примеры прямых методов решения систем линейных уравнений

Метод определителей Крамера, метод Гаусса. Первый из них применяется крайне редко, так как с ростом n алгоритм нахождения определителей резко возрастает.

Итерационные методы основаны на последовательных приближениях. Задается некоторое приближенное значение вектора Х — начальное приближение. Затем с помощью некоторого алгоритма проводится первый цикл вычислений — итерация, в результате которого получается новое приближение вектора Х. Итерации проводятся до получения решения с заданной точностью.

Алгоритм решения систем линейных уравнений здесь более сложен, чем у прямых методов. Не всегда выполняется условие сходимости. Однако в ряде случаев итерационные методы предпочтительнее. Они требуют хранения в памяти ЭВМ не всей матрицы A, а лишь нескольких векторов. Вычислительная погрешность практически не накапливается. Поэтому итерационные методы применимы и для больших порядков системы. Примеры — метод простой итерации и метод Зейделя.

Примеры работ

Материалы сайта

Обращаем Ваше внимание на то, что все материалы опубликованы для образовательных целей.

Алгоритм метода Гаусса – Справочник химика 21

    Решение систем линейных уравнений. Обусловленность систем. Методы Крамера, Гаусса, Зейделя. Алгоритмы методов 2 [c.158]

    Для решения задачи (VII,8) можно использовать известный алгоритм минимизации функций многих переменных — метод нулевого порядка Гаусса — Зейделя. Следует, конечно, отметить, что метод Гаусса — Зейделя был развит и применялся для минимизации функций непрерывных переменных. Здесь же он будет использован для минимизации функции F целочисленных переменных. Однако это не должно приводить к каким-либо принципиальным затруднениям. [c.248]


    Ниже приведена распечатка более совершенной программы для обращения матриц, в которой реализован известный из литературы алгоритм, основанный также на методе Гаусса — Жордана. Пусть читатель с помощью указанного литературного источника самостоятельно проанализирует этот алгоритм и программу. [c.200]

    В настоящей главе рассмотрен ряд методов поиска экстремума целевой функции, использованных в различных алгоритмах оптимизации теплообменных аппаратов метод случайного поиска, методы сеток и спуска, метод Гаусса — Зейделя, метод независимого спуска с ранжированием переменных (предложен автором). Разработаны структуры, реализующие эти методы. Проведено сопоставление методов по их алгоритмической сложности. Показаны преимущества предложенного автором метода при оптимизации сложных целевых функций многих пере менных. Приведенные в главе структуры поиска экстремума являются обязательным элементом любых алгоритмов оптимизации теплообменников (см. главу 3). Они служат исходными данными при синтезе систем оптимизации промышленного теплообменного оборудования. [c.280]

    Уравнение (5.2.16) представляет собой алгоритм метода Гаусса (Гаусса — Ньютона, Ньютона — Рафсона) для решения задачи о наименьших квадратах в нелинейном случае. Очевидно, что гессиан в уравнении (5.2.13) заменен аппроксимирующим произведением двух. матриц, составленных из первых производных, и что век- [c.159]

    В настоящее время считается общепризнанным, что одним из средств преодоления этих трудностей является использование модифицированных методов исключения (типа метода Гаусса), специально ориентированных на учет разреженности матриц [28, 45, 232]). Это дает существенный эффект в экономии памяти ЭВМ и времени ее работы за счет 1) применения специальных способов хранения элементов матриц в форме списков , позволяющих фиксировать только их ненулевые элементы и без особых трудностей вносить изменения при появлении дополнительных ненулевых элементов 2) использования алгоритмов определения оптимального порядка исключения неизвестных, обеспечивающих минимизацию числа появляющихся новых ненулевых элементов и 3) проведения арифметических операций только с ненулевыми элементами. Вместе с тем имеются некоторые особенности реализаций данных приемов в нашем случае. [c.116]

    В большинство общепринятых алгоритмов метода наименьших квадратов для расчета констант устойчивости входит уравнение (5.9) алгоритмы основаны на методах Ньютона — Гаусса — Рафсона. Эти методы подразделяются на две группы в зависимости от способа, которым обеспечивается уменьшение суммы квадратов 5 на каждой итерации. В первой группе масштабная корректировка или оптимизация поправочного вектора выполняется таким образом, чтобы обеспечить максимальное уменьшение S на каждой итерации. Это безусловно обеспечивает сходимость. [c.91]


    Какой же алгоритм лучше всего использовать для вычисления констант устойчивости Ответить на этот вопрос не просто, поскольку проблема оценки параметров нелинейным методом наименьших квадратов в целом сложна. Традиционно в этой области (за двумя исключениями [35, 36]) используется либо метод Гаусса — Ньютона с процедурой оптимального сдвига Хартли [50] или без нее, либо метод Силлена [7], который в [c.92]

    Методы расчета пламен с более сложной геометрией описаны лишь вкратце. Не рассматривался такой важный класс течений, как турбулентные реагирующие потоки. Вследствие неопределенности ряда параметров и трудностей с детальным описанием как газодинамики, так и механизма химических превращений они рассматриваются в основном умозрительно и более формально по сравнению с относительно простыми течениями, рассматривавшимися здесь. Они попадают в общий класс рециркуляционных течений (см. разд. 7.3), и для их расчета должны использоваться итерационные алгоритмы типа Гаусса — Зей-деля. Такие течения пришлось оставить вне поля зрения настоящей работы. [c.130]

    Алгоритм решения трехдиагональной системы уравнений заключается в том, что последовательно исключаются поддиагональ-ные элементы матрицы системы (10—34) (элементы вектора А), а диагональные (элел1енты вектора В) приводятся к единичным. Одновременно вычисляются новые значения элементов векторов С и О. Как и в обычном методе Гаусса, прямым ходом матрица при-  [c.255]

    III. Алгоритм расчета параметров моделей жидкой фазы по методу Ньютона—Гаусса. [c.235]

    III. Алгоритм расчета параметров моделей жидкой фазы по методу Ньютона—Гаусса. ………………….. [c.343]

    Для поиска X = x, x i,. . x d применим следующий итерационный алгоритм, по существу основанный на методе покоординатного спуска Гаусса — Зейделя. [c.304]

    Обработку экспериментальных данных проводили по программе многомерного регрессионного анализа [75], предназначенной для нахождения арифметических средних, стандартных ошибок, коэффициентов корреляции и регрессии. При решении нормальных уравнений был использован метод исключения Гаусса, алгоритм решения нормальных уравнений заимствован из работы [76]. Решение проводили поэтапно в уравнение регрессии последовательно добавлялись члены, при этом из оставшихся добавлялся тот член, который проводил на данном этапе остаточную дисперсию к минимуму. [c.45]

    Методы, не использующие производные. Рассмотрим алгоритм [94]. Идея его заключается в том, чтобы на основе метода Гаусса — Ньютона создать метод, пе требующий вьгаисления точных производных Конечно, можно было бы воспользоваться разностной аппроксимацией производных (1,51). Но это приведет к ряду трудностей, связанных с выбором Дх/ и с большим числом вычислений функции f [х). [c.139]

    Покажем, что если rangBfe = га (тге >> га), направление, генерируемое алгоритмом X, окажется направлением, которое определяется методом Гаусса — Ньютона. Действительно, воспользуемся тем, что [c.141]

    Данный алгоритм реализует метод Гаусса — Зейделя нелинейного программирования с ограничениями типа неравенств на параметры оптимизации. Размерность оптимизируемого вектора Ут равна 2 для аппаратов типа А Ут = (Сх, ) или 1 для ап паратов типа В и С Ут = ((3х). П > решении аадачи статической оптимизации в качестве критерия оптимальности принимаются приведенные годовые затраты (Я), а при решении задачи приближения — разность между значениями длины трубчатки конденсатора, соответствующей набору Ук, УС, Ф, задаваемым технологическим параметрам X, текущему значению вектора Ут и значением нормализованной длины трубчатки,, к которому осуществляется приближение варьированием координат вектора Ут. Таким образом, в данной постановке алгоритм должен минимизировать выбранные критерии оптимизации. [c.136]

    Для решения систем линейных уравнений в классическом МНК можно применять традиционные способы исключения методом Гаусса или Гаусса-Жордана. Однако более эффективно предварительное разложение матрицы X, например с применением таких алгоритмов, как разложение Хаусхолдера, Ш-разложение или сингулярное (8УВ) разложение. Использование одного из наиболее мощных алгоритмов, ЗУВ-разложения, рассмотрено ниже. [c.547]

    Алгоритм метода. Метод максимального приближения, сформулированный впервыеМаркардтом [186], основан на комбинации достоинств метода Гаусса — Ньютона и метода градиента, соединяя в себе как быструю сходимость процесса решения по методу Гаусса— Ньютона вблизи точки искомого экстремума, так и быструю сходимость процесса решения по методу градиента для первых итераций при движении от исходной точки, соответствующей начальным приближениям искомых констант. [c.168]

    S OGS. Эта модификация программы GAUSS [2 позволяет вычислять константы устойчивости по данным, полученным при кислотно-основном титровании растворов, в состав которых входит не более двух металлов и двух лигандов. Минимизируется функция, представляющая собой сумму квадратов отклонений значений титра, что позволяет использовать единичные веса [29]. Минимизирующий алгоритм основан также на методе Гаусса — Ньютона, и хотя в программу включено уменьшение, в 2 раза большее сдвигов параметров, и в этом случае справедливы те же замечания, что и для программы GAUSS. [c.100]


    Найти минимум функции Q при оценке параметров уравнений локального состава труднее из-за сильной нелинейности расчетных зависимостей. Точка минимума на поверхности Q. .., 0 ) часто лежит на узкой, слегка изогнутой лощине, вдоль которой численное значение функции меняется очень незначительно, и резко возрастает в направлениях в сторону от лощины. При такой форме поверхности отклика далеко не все методы поиска экстремума эффективны. Для расчета параметров моделей жидкости успешно применяют методы Марквардта, Ньютона, Нелдера — Мида и некоторые другие [129, 237]. Применение к расчету параметров метода Ньютона — Гаусса, сочетающего простоту расчетного алгоритма с достаточно быстрой сходимостью, описано в Приложении III (стр. 235). [c.213]

    Разработано много вариантов градиентного метода, обеспечивающих более быструю сходимость к оптимуму. Можно не определять направление градиента на каждом шаге, а перемещаться вдоль направления г° до тех пор, пока. функция Ф не начнет убывать, или до границы области. Этот вариант носит название метода наискорейшего спуска. Перемещение в пространстве переменных Х], хг,. .., х. может происходить не строго в направлении градиента, а вдоль любого допустимого направления, составляющего с градиентом острый угол (метод Гаусса — Зейделя, метод возможных направлений Зойтендей-ка). Сходимость на поверхностях сложных конфигураций (с хребтами, оврагами и седловыми точками) обеспечивается с помощью специальных алгоритмов [c.23]

    Алгоритм решения методом Гаусса следующий. Пусть в исходной системе апФО и т=п [c.89]

    Кехат и Гитис [329] сопоставили различные алгоритмы расчета процесса экстракции по равновесным ступеням с использованием нелинейной модели равновесия, а именно алгоритм Хансона [330], основанный на расчете от ступени к ступени поочередно сверху вниз и снизу вверх с коррекцией итерируемых переменных после каждой прогонки, алгоритм Роче [328], основанный на классической форме метода Ньютона с применением метода Гаусса для обращения якобиана, и свой алгоритм [329], который представляет собой метод Ньютона с демпфирующим множителем и (0использованием метода Фибоначчи при /г = 7, и подпрограм-мо.й расчета начального приближения с использованием нелинейной интерполяции с переменной экспонентой Рчисло ступеней). Результаты сравнения сведены в табл. (табл. 2). [c.167]

    Таким образом, если методы Ньютона и Гаусса — Ньютона можно применять только для функций (систем), для которых rang Bk = И) то для алгоритма X это ограничение отпадает и данный алгоритм можно рассматривать как расширение алгоритма VHL В работе [96] предлагается способ отыскания псевдообратной матрицы В тех случаях, когда матрица первых производных не может быть задана, приводится метод получения аппроксимации [c.142]

    Гешать системы линейных уравнений можно обычными точными методами, например известным алгоритмом Гаусса последовательного исключения неизвестных. [c.218]

    Решить систему уравнений (II. 188) можно различными методами [131а], реализуемыми, как правило, в виде стандартных программ для ЭВМ. Например, при помощи алгоритма Гаусса [131а, 131] решение системы уравнений (11.188) можно записать следующим образом  [c.90]

    Помимо рассмотренной выше формы уравнений состояния сетн в вкде узловых уравнений и помимо прямого метода их решения с помощью алгоритма Гаусса, существуют другие формы, методы и алгоритмы решения той же задачи [7]. Выше рассмотрен лишь наиболее распространенный подход. [c.160]

    НЫХ Производных приводит к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, во времени. После расщепления системы по схеме Гаусса аналогично тому, как описано в разд. 4.3, эти уравнения могут быть проинтегрированы численно любым стандартным методом, например одним из вариантов метода Гира для жестких систем.. Ниже будет также обсуждаться алгоритм, не использующий расщепления системы уравнений. Начальные значения коэффициентов получаются при подстановке разложений (6.1) и (6.2) в начальные условия, в том числе в начальные профили концентрации во всех т точках коллокации (ср. разд. 4.2.1). [c.104]


Применение метода Гаусса для решения нелинейных уравнений узловых напряжений

Нелинейные уравнения узловых напряжений в форме балансов токов имеют особенность: они линейны слева и нелинейны справа, т.е. все элементы схемы замещения линейны, кроме источников тока.

Т.к. нелинейность токов справа, то возможно применение метода Гаусса и метода обратной матрицы для решения этой задачи.

1) Применение метода Гаусса

При решении нелинейной системы уравнений узловых напряжений в форме баланса токов метод Гаусса может использоваться на каждом шаге итерационного процесса, считая нелинейную систему линейной на данном шаге

Алгоритм

– зададим начальное приближение узловых напряжений и определим правые части нелинейной системы ;

Правая часть системы нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов при подстановке имеет вид

 

Считая, что токи постоянны и определяются приближениями, в таком случае система нелинейных уравнений превращается в систему линейных алгебраических уравнений, которую можно рассчитать методом Гаусса.

Линейная система решается методом Гаусса

Решение методом Гаусса дает столбец новых приближений .

Решив линейную систему методом Гаусса, получаем новое приближение узловых напряжений и переходим к этапу два: определению кривых нелинейных частей системы узловых уравнений при подстановке новых приближений узловых напряжений.

Далее находятся вектора приближения узловых напряжений решением нелинейной системы методом Гаусса и так далее, до тех пор, пока итерационный процесс не сойдется.

Таким образом, каждый шаг итерационного процесса методом Гаусса включает два этапа:

1) определение нелинейных правых частей системы уравнений при подстановке приближений узловых напряжений, найденных на предыдущей итерации



2) решение линейной системы методом Гаусса и определение следующих приближений:

Каждый -ый итерационный шаг итерационного процесса с применением на каждом шаге метода Гаусса для решения линейной системы уравнений:

1)

2)

 

Применение метода простой итерации и метода Зейделя для решения системы нелинейных уравнений

Узловых напряжений

где , при

, при

Линейный случай метода простой итерации

Нелинейный случай метода простой итерации

 

где – нелинейная функция, описывающая итерационный процесс по методу простой итерации

Отличие заключается в том, что вместо постоянной величины принимается нелинейная известная часть системы уравнений, зависящая от напряжений и изменяется от итерации к итерации.

 

Применение метода Зейделя

Метод Зейделя: линейный случай

Метод Зейделя: нелинейный случай

где – нелинейная функция, описывающая итерационный процесс по методу Зейделя.

При расчете на ЭВМ комплексные переменные заменяются действительными и по методу Зейделя вычисляются действительные и мнимые части узловых напряжений.

, – составляющие

Ускоренный метод Зейделя

Для ускорения сходимости метода Зейделя используется ускоряющий коэффициент

,

где – ускоряющий коэффициент, – поправка k-го узлового напряжения на (i+1) шаге.

Ускоряющий коэффициент находится в пределах от 0 до 1, если ускоряющий коэффициент равен единице, то это обычный метод Зейделя.

 

 

Список литературы

1.Основная литература

1. Идельчик В.И. Электрические системы и сети. М.: Альянс, 2009

2.Зарудский Г.К., Кутлер П.П. Особенности расчетов нормальных режимов электропередач сверхвысокого напряжения. – М.:ИПКгосслужбы, 2005.

3.Азаров В.С. Передача и распределение электроэнергии в примерах и решениях. М.: МГОУ, 2005.

4.Исмагилов Ф.Р., Максудов Д.В. Расчеты на ЭВМ установившихся режимов электроэнергетической системы. Уфа, Изд-во УГАТУ, 2008.

5.Исмагилов Ф.Р. Максудов Д.В. Оптимизация установившихся режимов электроэнергетической системы. Уфа, Изд-во УГАТУ, 2008.

 

2. Дополнительная литература

1. Хемди А. Таха. Глава 3. Симплекс-метод // Введение в исследование операций. М.: «Вильямс», 2007. — С. 95-141.

2. Томас Х. Кормен и др. Глава 29. Линейное программирование // Алгоритмы: построение и анализ— 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296.

3. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 479 с.

4. Куликов, Ю. А. Переходные процессы в электрических системах: учеб. пособие / Ю. А. Куликов. – Изд. 2-е» испр. и доп. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. – 284 с.

 


Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса

Библиографическое описание:

Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса / А. У. Майканова, М. Ю. Шонин, С. А. Бекмухометова [и др.]. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2019. — № 10 (248). — С. 1-5. — URL: https://moluch.ru/archive/248/56999/ (дата обращения: 22.09.2021).



В статье рассматривается алгоритм метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Выбран язык Maple, как наиболее оптимальный для реализации алгоритма. В статье содержится листинг программного кода.

Ключевые слова: система линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса, алгоритм реализации метода Гаусса, прямой и обратный ход, программный код.

В прикладных задачах довольно часто приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это не удивительно, поскольку математические модели тех или иных процессов либо сразу строятся как СЛАУ, либо сводятся к таковым посредством дискретизации или линеаризации.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения СЛАУ. Являясь наиболее мощным и универсальным инструментом для нахождения решения СЛАУ, он обладает рядом преимуществ: 1) нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность; 2) методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю; 3) метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Но главное, что было отмечено в работе «Метод Гаусса в школе» М. Ю. Шонина и Л. А. Мамедалиной, «Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах» [3].

Настоящая статья посвящена составлению и апробации алгоритма численного решения СЛАУ в соответствии с алгоритмом метода Гаусса. Рассмотрим следующую задачу.

Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений [1]

Решение:

Для численного решения СЛАУ воспользуемся математическим пакетом Maple 15. В соответствии с условием задачи имеем:

и

Для эффективной работы в необходимо разбираться в тонкостях языка. К ним относится, например, команда и переменная .

Команда — очищает память . Это означает, что все определенные для этого в программе переменные и другие объекты будут стерты. При этом текст программы останется неизменным. Данная функция необходима для осуществления компиляции.

Переменная возвращает необходимое количество знаков после запятой . Установим точность вычисления . Поскольку нам придется иметь дело с матрицей и вектор-столбцом, то необходимо подключить библиотеку линейной алгебры — . Введем данные в программу.

>

>

>

>

>

>

>

В соответствии с логикой метода Гаусса, программа должна привести матрицу к треугольному виду (Прямой ход). Целесообразно воспользоваться циклом со счетчиком . Цикл предназначен для реализации итерационных (повторяющихся) действий [2].

>

>

>

>

>

Следующий этап — обратный ход, построчное вычисление входящих в систему переменных и их вывод на экран.

>

>

>

Заключительным этапом программы служит проверка адекватности найденного решения. Для этого воспользуемся командой решения СЛАУ — .

>

Найдем абсолютную погрешность (модуль разности значений переменных, полученных путем численного решения и при помощи встроенной команды соответственно). Команда выполняет операции над матрицами. Команда возвращает абсолютные значения.

>

Анализируя последние результаты, можно констатировать высокую точность вычисления. Таким образом, разработанная программа вполне адекватна для решения СЛАУ.

Литература:

  1. Ильин В. А. Линейная алгебра: Учебник для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
  2. Кирсанов М. Н. Практика программирования в системе Maple. — М.: Издательский дом МЭИ, 2011. — 208 с.
  3. Мамедалина Л. А. Метод Гаусса в решении СЛАУ в школе / Л. А. Мамедалина, М. Ю. Шонин // Весенний школьный марафон: материалы III Междунар. науч.-практ. конф. школьников (Чебоксары, 31 мая 2016 г.) / редкол.: О. Н. Широков [и др.] — Чебоксары: ЦНС «Интерактив плюс», 2016. — С. 139–143.

Основные термины (генерируются автоматически): метод Гаусса, численное решение, алгоритм метода Гаусса, обратный ход, переменная, программный код, система уравнений, число уравнений.

[PDF] МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА И ГАУССА-ИОРДАНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: СРАВНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ

1 Adenegn nd Aluko 97 Journal of Science nd Science Eduction, Ondo Vol. (), стр., 9 ноября, 0. Доступен онлайн t ISSN …

Аденеган и Алуко

97

Журнал науки и естественнонаучного образования, Ondo Vol. 3 (1), pp. 97–105, 19 ноября 2012 г. Доступно на сайте http://www.josseo.org ISSN 0795135-3 © 2012

МЕТОДЫ УСТРАНЕНИЯ ПО ГАУССУ И ГАУСС-ИОРДАНУ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ: СРАВНЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ Аденеган, Кехинде Эммануэль1 * и Алуко, Топе Мозес 1 1

Департамент математики Педагогического колледжа Адейеми, Ондо.

Аннотация: В статье исследуется сравнение методов Гаусса и Гаусс-Джордана для решения системы линейных уравнений. Обсуждалась различная терминология, рассматривались некоторые задачи в сочетании с вышеупомянутыми методами, используемыми при решении системы линейных уравнений. Из решенных задач очень примечательно было отмечено, что методы Гаусса и Гаусса-Жордана дают одинаковые ответы. Точно так же, когда одна и та же система поворачивается или частично поворачивается, легко получить одинаковые ответы.Это обязательно означает, что, поскольку одна и та же система линейных уравнений перестраивается, приводя к преобразованию ее матричной формы при очевидном изменении элемента строк, результирующие решения остаются теми же. В документе также явно показано, что методы исключения Гаусса / Гаусса и Гаусса-Жордана могут быть применены к различным системам линейных уравнений, возникающих в таких областях исследований, как физика, бизнес, экономика, химия и т. Д. Ключевые слова: матричный коэффициент, расширенная матрица, эшелон , Верхнетреугольная матрица, неопределенная система, вырожденное уравнение.ВВЕДЕНИЕ В линейной алгебре метод исключения Гаусса – это алгоритм решения системы линейных уравнений, нахождения ранга матрицы и вычисления обратной обратимой квадратной матрицы. Метод исключения Гаусса считается рабочей лошадкой вычислительной науки для решения системы линейных уравнений. Карл Фридрих Гаусс, великий математик 19 века, предложил этот метод исключения как часть своего доказательства определенной теоремы. Ученые-вычислители используют это «доказательство» как прямой вычислительный метод.Исключение Гаусса – это систематическое применение элементарных операций со строками к системе линейных уравнений с целью преобразования системы в верхнетреугольную форму. Когда матрица коэффициентов имеет верхнюю треугольную форму, мы используем обратную подстановку, чтобы найти решение. Метод исключения Гаусса помещает нули под каждой точкой поворота в матрице, начиная с верхней строки и работая на

вниз. Матрицы, содержащие нули под каждой точкой поворота, называются эшелонированной строкой. Процесс исключения Гаусса состоит из двух частей.Первая часть (прямое исключение) приводит данную систему либо к треугольной, либо к эшелонированной форме или приводит к вырожденному уравнению без решения, что указывает на то, что система не имеет решения. Это достигается за счет использования элементарных операций со строками. На втором этапе используется обратная подстановка для нахождения решения системы линейных уравнений. Другая точка зрения, которая оказывается очень полезной для анализа алгоритма, заключается в том, что метод исключения Гаусса вычисляет разложение матрицы. Операция с тремя элементарными строками, используемая при исключении Гаусса (умножение строк, переключение строк и добавление кратных строк к другим строкам), сводится к умножению исходной матрицы на обратимую матрицу слева.Первая часть алгоритма вычисляет LU-декомпозицию (разложение на нижнюю и верхнюю треугольную матрицу), а

* Автор-корреспондент. Электронная почта: [адрес электронной почты защищен]

98

Journal of Science and Science Education, Ondo

вторая часть записывает исходную матрицу как произведение однозначно определенной обратимой матрицы и однозначно определенной уменьшенной матрицы эшелонов строк. Метод Гаусса – Жордана представляет собой модификацию метода исключения Гаусса. Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса и Вильгельма Джордана, потому что это разновидность метода исключения Гаусса, описанного Джорданом в 1887 году, в то время как метод исключения Гаусса помещает нули под каждым стержнем в матрице, начиная с верхней строки и двигаясь вниз, метод исключения Гаусса-Джордана идет следующим образом: сделайте шаг дальше, поместив нули выше и ниже каждой точки поворота.Каждая матрица имеет приведенную форму эшелона строк, и метод исключения Гаусса – Жордана гарантированно его найдет. Статья направлена ​​на исследование методов решения системы линейных уравнений с использованием методов исключения Гаусса и Гаусса – Жордана, сравнение и сопоставление двух методов и поиск применения этих методов в других областях исследования. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ Неудивительно, что начало матриц и детерминантов должно возникнуть в результате изучения линейных систем. Вавилоняне изучали проблемы, которые привели к одновременным линейным уравнениям, и некоторые из них сохранились в глиняных табличках, которые сохранились до наших дней.Китайцы между 200 г. и 100 г. до н. Э. Подошли к матрицам гораздо ближе, чем вавилоняне. Действительно, будет справедливо сказать, что текст из девяти глав по математическому искусству, написанный во времена династии Хань, дает первый известный пример матричных методов. Кардан в «Art Magna» (1545 г.) дает правило для решения системы двух линейных уравнений, которые он назвал регулярным de modo и которое называется матерью правил. Это правило дает то, что по сути является правилом Краммера для решения системы 2 x 2. Идея детерминанта появилась в Японии и Европе почти в одно и то же время, хотя Seki в Японии, безусловно, был опубликован первым.В 1683 году Секи написал метод решения диссимулированной задачи, который содержит матричные методы, записанные в виде таблиц, точно так же, как китайские методы, описанные выше. Не имея ни одного слова, соответствующего «определителю», Секи все же ввел определители и дал общие методы их вычисления на основе примеров. Используя свой «определитель», Секи смог найти определители

матриц 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4 и 5 x 5 и применил их для решения уравнений, но не системы линейных уравнений.В 1730-х годах Маклорен написал «Трактат по алгебре», хотя он был опубликован только в 1748 году, через два года после его смерти. Он содержит первые опубликованные результаты детерминантного доказательства правила Краммера для систем 2 x 2 и 3 x 3 и показывает, как будет работать случай 4 x 4. Краммер дал общее правило для систем nxn во введении к анализу алгебраических кривых (1750 г.). Это возникло из-за желания найти уравнение плоской кривой, проходящей через ряд заданных точек. В 1764 году Безу дал методы вычисления определителей, как и Вандермонд в 1771 году.В 1772 году Лаплас заявил, что метод, введенный Краммером и Безу, непрактичен, и в статье, в которой он изучал орбиты внутренних планет, он обсуждал решение системы линейных уравнений, фактически не вычисляя его с помощью определителей. Довольно удивительно, что Лаплас использовал слово «результирующий» для обозначения того, что мы теперь называем определителем. Удивительно, поскольку это то же слово, что использовал Лейбниц, однако Лаплас, должно быть, не знал о работе Лейбница. Лаплас дал расширение определителя, который теперь назван его именем.Жак Страм дал обобщение проблемы собственных значений в контексте решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Фактически, концепция собственного значения снова появилась 80 годами ранее в работе О ‟Аламбера над системами линейных дифференциальных уравнений, изучающих движение струны с массой, прикрепленной к ней в различных точках. Первым, кто использовал термин «матрица», был Сильвестр в 1850 году. Сильвестр определил матрицу как продолговатое расположение терминов и рассматривал ее как нечто, что приводит к различным определителям из квадратных массивов, содержащихся в ней.Прожив в Америке и вернувшись в Англию в 1851 году, Сильвестр стал юристом и встретил Кэли, коллегу-юриста, разделявшего его интерес к математике. Кэли быстро осознал важность концепции матрицы и к 1853 году Кейли опубликовал заметку, в которой впервые была дана обратная матрица. Фробениус в 1878 году написал важную работу по матрицам линейных подстановок и линейных форм, хотя, похоже, он не знал о работе Кэли. Фробениус в своей статье имел дело с эффективными формами

Аденеган и Алуко и не использовал термин «матрица».Однако он доказал важные результаты о канонических матрицах как представителях классов эквивалентности матриц. Он цитирует Кронекера и Вейерштрасса, которые рассмотрели частные случаи его результатов в 1874 и 1868 годах соответственно. Фробениус также доказал общий результат о том, что матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Эта статья Фробениуса 1878 года также содержала определение ранга матрицы, которое он использовал в своей работе над каноническими формами, и определение ортогональных матриц. Метод исключения Гаусса представлен в восьмой главе “Прямоугольный массив” китайского математического текста “Цзючжан Суаньшу” из девяти глав, посвященных математическому искусству.Его использование проиллюстрировано в восемнадцати задачах с двумя-пятью уравнениями. Первое упоминание книги под этим названием датируется 179 годом до нашей эры, но некоторые ее части были написаны примерно 150 годом до нашей эры. Он был начат Лю Хуэем в 3 веке. Метод Европы проистекает из записок Исаака Ньютона. В 1670 году он написал, что во всех известных ему книгах по алгебре не было уроков по одновременному решению уравнения, которое затем предложил Ньютон. Кембриджский университет в конце концов опубликовал заметки как Арифметический университет в 1707 году, спустя много времени после того, как Ньютон оставил академическую жизнь.Эти заметки были широко инициированы, что сделало (то, что сейчас называется) методом исключения Гаусса стандартным уроком в учебниках алгебры к концу 18 века. Карл Фредерик Гаусс в 1810 году разработал обозначение для симметричного исключения, которое было принято в 19 веке профессиональными ручными компьютерами для решения нормальных уравнений задач наименьших квадратов. Гаусс разработал метод исключения Гаусса около 1880 года и использовал его для решения задач наименьших квадратов в небесных вычислениях, а затем в вычислениях для измерения Земли и ее поверхности (раздел прикладной математики), связанных с измерением или определением формы Земли или с точным расположением точек. на земной поверхности называется геодезией.Хотя имя Гаусса связано с этой техникой последовательного исключения переменных из систем линейных уравнений. В течение многих лет метод исключения Гаусса считался частью развития геодезии, а не математики. Первое появление

99

исключения Гаусса-Иордана в печати было в справочнике или геодезическом справочнике, написанном Вильгельмом-Джорданом. В области матричного анализа и линейной алгебры Карл Мейор (2000) пишет: «Хотя была некоторая путаница в отношении того, кому Джордану следует отдать должное за этот алгоритм, кажется очевидным, что этот метод на самом деле был введен геодезистом по имени Вильгельм. Иордания (1842-1899), а не более известного математика Мари Эннемон Камилла Джордана (1838-1992), имя которой часто ошибочно связывают с этой техникой, но которому в остальном правильно приписывают другую важную тему в матричном анализе – Иорданию. Каноническая форма – самая заметная ».Определение правильного Иордана – это еще не конец проблемы, для A.S. Хаусхолд пишет в теории матриц в численном анализе (1964, стр. 141): «Метод Гаусса-Жордана, так называемый, по-видимому, был впервые описан Класеном (1888), поскольку его можно рассматривать как модификацию метода исключения Гаусса, имя Гаусс применяется правильно, но имя Джордана, по-видимому, связано с ошибкой, поскольку метод был описан только в третьем издании его Hanbuch der Vermes Sungskunde, подготовленном после его смерти ».Эти утверждения были рассмотрены S.C. Althoen и R. Mcluaghlin (1987). American Mathematical ежемесячно, 94, 130–142. Они пришли к выводу, что Хаусхолд был прав в отношении Класена и его публикации 1888 года, но ошибался в отношении Джордана, который был еще жив, когда в 1888 году вышло третье издание его книги. Они добавили, что «зародыш идеи» уже присутствовал во втором издании книги. 1877 г. (Эта запись была внесена Джоном Олдричем). Процесс исключения Гаусса состоит из двух частей. Первая часть (прямое исключение) приводит данную систему либо к треугольной, либо к эшелонированной форме или приводит к вырожденному уравнению без решения, что указывает на то, что система не имеет решения.Это достигается за счет использования элементарных операций со строками. На втором этапе используется обратная подстановка для нахождения решения системы линейных уравнений. Выражаясь эквивалентно для матриц, первая часть сводит матрицу к форме эшелона строк, используя элементарные операции со строками, а вторая часть сводит ее к форме сокращенного эшелона строк. Другая точка зрения, которая оказывается очень полезной для анализа алгоритма, заключается в том, что метод исключения Гаусса

100

Journal of Science and Science Education, Ondo

вычисляет разложение матрицы.Три элементарные операции со строками, используемые в методе исключения Гаусса (умножение строк, переключение строк и добавление кратных строк к другим строкам), сводятся к умножению матрицы на обратимую матрицу слева. МЕТОДЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА И ГАУССА-ИОРДАНА ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Система линейных уравнений (или линейная система) представляет собой набор линейных уравнений, включающих тот же набор переменных. Решение линейной системы – это присвоение значений переменной

x1, x2, x3,…, xn эквивалентно, xi  i  1 такое, что каждое из уравнений выполняется. Множество всех возможных решений называется множеством решений. Решение линейной системы может вести себя одним из трех возможных способов: 1. Система имеет бесконечно много решений 2. Система имеет единственное единственное решение 3. Система не имеет решения Для трех переменных каждое линейное уравнение определяет плоскость в трехмерное пространство и множество решений – это пересечение этих плоскостей. Таким образом, набор решений может быть линией, отдельной точкой или пустым набором.Для переменных каждое линейное уравнение определяет гиперплоскость в n-мерном пространстве. Множество решений – это пересечение этих гиперплоскостей, которое может быть плоскостью любого размера. Набор решений для двух уравнений с тремя переменными обычно представляет собой линию. В общем, поведение линейной системы определяется соотношением между количеством уравнений и количеством неизвестных. Обычно система с меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, имеет бесконечно много решений, такая система также известна как неопределенная система.Система с одинаковым количеством уравнений и неизвестных имеет единственное уникальное решение. Система с большим количеством уравнений, чем неизвестных, не имеет решения. Существует множество методов решения линейных систем, которые включают: методы подстановки, методы исключения, методы обращения матриц, графические методы, методы Креммера, методы исключения Гаусса, методы исключения Гаусса-Джордана и т. Д. В этой статье будут рассмотрены n

методов исключения Гаусса и Гаусса-Жордана. Метод исключения Гаусса / Гаусса

Метод исключения Гаусса – это систематическое применение элементарных операций со строками к системе линейных уравнений с целью преобразования системы в верхнетреугольную форму.Когда матрица коэффициентов имеет верхнюю треугольную форму, мы используем обратную подстановку, чтобы найти решение. Общую процедуру исключения Гаусса можно резюмировать в следующих шагах: – Напишите расширенную матрицу для системы линейных уравнений. – Используйте элементарную операцию над {A / b}, чтобы преобразовать A в верхнюю треугольную форму. Если на диагонали расположен ноль, переключайте строки, пока в этом месте не окажется ненулевое значение. Если вы не можете этого сделать, остановитесь; система либо бесконечна, либо не имеет решения.- Используйте обратную подстановку, чтобы найти решение проблемы. Рассмотрим систему уравнений в матричной форме ниже.  a11 a12 a13  x1   b1      a21 a22 a23  x2    b2  a      31 a32 a33  x3   b3  Шаг 1: Запишите приведенное выше как расширенную матрицу  a11 a12 a13 b1     a21 a22 a23 b2  a   31 a32 a33 b3  Шаг 2: Исключите x1 из 2-го и 3-го уравнений aa, вычитая кратные m21  21 и m31  31 a11 a11 строки 1 из строк 2 и 3, получая эквивалентную систему:  a11 a12 a13 b1    2 2  2 a23  b2    0 a22  2 2   2 a33  b3    0 a32 Шаг 3: Исключите x2 из 3-го уравнения путем вычитания кратных m32 

a32

a22 строки 3, получая матричную систему:

2 2

строки 2 из

Adenegan and Aluko

 a11 a12 a13 b1     2 a23 2 b2 2   0 a22  3 3  0 a33  b3    0 Для иллюстрации, используя описанные выше шаги, решите систему x1  2 x2  3×3  3 2 x1  x2  x3  11 3×1  2 x2  x3  5 Это можно записать как 1 2 3  x1   3        2 1 1  x2    11   3 2 1  x   5    3    Расширенная матрица принимает вид  1 2 3 3      2 1 1 11   3 2 1 5    2 Теперь вычтите времена первый ряд из 1 3 второго ряда и умноженный на первый ряд из 1 третьего ряда, который дает;  1 2 3 3     0 5 5 5   0 4 10 14    4 4 Теперь вычтите, т.е.е. раз второй ряд №5 5 из третьего ряда. Тогда имеем  1 2 3 3     0 5 5 5   0 0 6 18    Обратите внимание, что в результате этих шагов матрица коэффициентов при x была сведена к треугольной матрице . Наконец, мы отделяем правый столбец обратно в исходное положение:  1 2 3  x1   3       0 5 5  x2    5   0 0 6  x   18    3    Тогда «обратной подстановкой», начиная с нижнего ряда, получаем: x1  2; x2  4; x3  3

101

Тот же пример и другие могут быть рассмотрены с использованием метода исключения Гаусса без поворота (как непосредственно решено выше) и с частичным поворотом, учитывая величину элементов в первом столбце i.е. 3  2  1, изменяя положение их строки в зависимости от величины, мы все равно получим тот же ответ. УСТРАНЕНИЕ ГАУССА-ИОРДАНА Исключение Гаусса-Жордана является модификацией исключения Гаусса. Мы снова преобразуем матрицу коэффициентов в другую матрицу, решение которой намного проще, и система, представленная новой расширенной матрицей, имеет тот же набор решений, что и исходная система линейных уравнений. В методе исключения Гаусса-Жордана цель состоит в том, чтобы преобразовать матрицу коэффициентов в диагональную матрицу, а нули вводятся в матрицу по одному столбцу за раз.Мы работаем над устранением элементов как выше, так и ниже диагональных элементов данного столбца за один проход через матрицу. Общую процедуру исключения Гаусс-Джордана можно резюмировать в следующих этапах: i. Напишите расширенную матрицу для системы линейных уравнений ii. Используйте операцию элементарной строки в расширенной матрице [A / b], чтобы преобразовать A в диагональную форму. Если по диагонали стоит ноль. Переключайте строки, пока в этом месте не окажется ненулевое значение. Если вы не можете этого сделать, остановитесь; система либо бесконечна, либо не имеет решения.iii. Разделив диагональные элементы и элемент правой стороны в каждой строке на диагональные элементы в строке, сделайте все диагональные элементы равными единице. Дана матрица системы уравнений 4 x 4 вида:  a11 a12 a13 a14  x1   b1      a21 a22 a23 a24  x2   b2   a31 a32 a33 a34   x3   b3       a41 a42 a43 a44   x4   b4  Шаг 1: Запишите приведенное выше как расширенную матрицу, у нас есть

102

Journal of Science and Science Education, Ondo

 a11   a21  a31   a41

b1   b2  b3   b4  Шаг 2. Исключите x1 из 2-го, 3-го и 4-го уравнения, вычтя из m21 кратные a31 a21 a41 строки 1. , m31  и m41  a11 a11 a11 2,3 и 4 соответственно, что дает a13 a14 b1   a11 a12   2  2  2 a23 a24  b2 2   0 a22   2 2  2 a33  a34  b3 2   0 a32  0 a  2 a  2 a  2 b  2  42 43 44 4   a12 a22 a32 a42

a13 a23 a33 a43

a14 a24 a34 a44

Шаг 3: исключить x2 из 1-го, 3-го и 4-го уравнения путем вычитания кратных 2 2 a32  a12 a42  m12   2, m32   2, m42   2  ряда 2 а22 a22 a22 из строк 1, 3 и 4, чтобы получить 3 3  a113 0 a13  a14  b13    2 2 2  0 a22  a23  a24  b2 2    3 3 0 a33  a34  b33   0   0 a433 a443 b43   0 Шаг 4: Удалите x3 из 1-го, 2-го и 4-го уравнения путем вычитания кратных 3 3 3 a  a  a  m13  133, m23  233, m43  433 строки 3 из a33 a33 a33 строки 1, 2 и 4, получая 4 4  a11 4 0 0 a14  b1    4 4 4  0 a22  0 a24  b2     0 a333 a343 b33   0   0 0 a44 4 b4 4   0 Из которого мы окончательно решаем для x1, x2, x3 и x4 из полученных совместных уравнений сверху.Для сравнения решим задачу (3.1) методом исключения Гаусса-Жордана. т.е.

 1 2 3  x1   3        2 1 1  x2    11   3 2 1  x   5    3    Расширенная матрица становится  1 2 3 3     2 1 1 11   3 2 1 5    Теперь мы удалим x1 из 2-го и 3-го уравнения, вычитая кратное a31 a21 m21   2, m31   3 ряда 1 из ряда 2 a11 a11 и 3 соответственно производя.  1 2 3 3     0 5 5 5   0 4 10 14    st Исключите x2 из 1 и 3 уравнения, вычитая несколько aa 2 4 m12  12  и m32  32  строки 2 из a22 5 a22 5 строки 1 и строки 3 Имеем  1 0 1 5     0 5 5 5   0 0 6 18    st Исключить x3 из 1 и 2 уравнения с помощью вычитая несколько aa 1 5 m13  13  и m23  23  строки 3 из a33 6 a33 6 строки 1 и строки 3.1 0 0 2     0 5 0 20   0 0 6 18   

Аденеган и Алуко. В итоге получается  x1   2       x2    4   x   3   3   Для дополнительной иллюстрации рассмотрим следующую систему уравнений с использованием исключения Гаусса-Жордана (i) без поворота (ii) с частичным поворотом  1 1 1 1  x1   1        1 1 1 1   x2    2   2 4 3 5   x3   2       3 1 1 1   x4   1  Представим вышеуказанное в форме расширенной матрицы (i) без поворота  1 1 1 1 1     1 1 1 1 2   2 4 3 5 2      3 1 1 1 1  Теперь мы исключим x1 из 2-го, 3-го и 4-го уравнения, вычитая кратные aaa m21  21  1, m31  31  2 и, m41  41  3 из a11 a11. a11 строки 1 из строк 2, 3 и 4 соответственно, получая  1 1 1 1 1     0 2 2 0 1   0 6 1 7 4    0 4  2 4  4   Исключите x2 из уравнений (1), (3) и (4), вычтя кратные 2 a32 6 a12 a42  1 m12   2 , m32   2  3 и, m42   2  2 а22 а22  2 a22 строки 2 из строки 1, 3 и 4 соответственно, что дает  1 0 0 1 3  2   0 2 2 0 1  0 0 7 7  7    0 0 2 4 6    Исключите x3 из уравнений (1), (2) и (4) путем вычитания кратных

103

a13 0 aa 2 2   0, m23  23  и, m43  43  a33 7 a33 7 a33 7 строки 3 из строк 1, 2 и 4, чтобы получить  1 0 0 1 3  2   0 2 0 2 1  0 0 7 7  7    0 0 0 2 4    Исключить x4 из уравнений (1), (2) и (3) и вычесть кратные aaa 1 7 m14  14  , m24  24  1 и, m34  34  a44 2 a44 a44 2 строки 4 из строк 1, 2 и 3, получая  1 0 0 0 1  2   0 2 0 0 3  0 0 7 0  7    0 0 0 2 4      1  R2  1 R2  1 0 0 0 2  2  0 1 0 0 3  R3  1 R3 2   7 0 0 1 0 1  0 0 0 1  R4  1 R4  2 2    x1  1, x2  3, x3  1 и x4  2 2 2 Следовательно,  1   x1   2       x2    3 2   x3      1   x4   2    4  (ii) С частичным поворотом  2 2 Так как 3  2  1  1, то имеем те же ans мы следовали тому же процессу.m13 

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ГАУССА И ГАУССЙОРДАНА РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Методы Гаусса и Гаусса-Жордана решения системы линейных уравнений могут использоваться в различных предметных областях и используются для решения для неизвестных. С n уравнениями максимально возможное количество неизвестных, которые можно решить, равно n. сложности возникают, когда число неизвестных

104

Journal of Science and Science Education, Ondo

не равно количеству уравнений в системе.Линейная система уравнений с большим или меньшим количеством уравнений, чем неизвестных, встречается довольно часто. Когда уравнений меньше, чем неизвестных, невозможно решить все неизвестные алгебраически. Из-за этого обычно существует бесконечное множество решений для каждой переменной (трудно сузить круг). Когда уравнений больше, чем неизвестных (переопределенная система), решений обычно нет. Это происходит потому, что может быть решение, которое удовлетворяет двум из трех уравнений, но не обязательно всем трем.Единственный способ найти решение переопределенной системы (например, системы с тремя уравнениями и двумя неизвестными) – это если все уравнения эквивалентны, если два из трех уравнений эквивалентны, а другое уравнение пересекает друг друга в точке единственная точка. Некоторые из областей, в которых может применяться метод Гаусса и Гаусса-Джордана, – это бизнес и экономика, физика, биология, химия, инженерия и т. Д. Применение в бизнесе Методы Гаусса и Гаусса-Джордана для решения линейных систем могут быть использованы в бизнес-образовании.На самом деле бизнес и экономика взаимосвязаны. Швейная промышленность Bolade Nig-Limited производит три стиля рубашек. Для каждой рубашки требуются услуги трех универмагов, указанных ниже. СТИЛИ A B C Раскрой 0,2 0,4 0,3 Шитье 0,3 0,5 0,4 Упаковка 0,1 0,2 0,1 На раскрой, шитье и упаковку доступно максимум 1160, 1560 и 480 часов. Вы обязаны: i. Сформулируйте информацию в виде линейных уравнений. II. Используя методы исключения Гаусса и Гаусса-Джордана, найдите количество рубашек, которое необходимо производить каждую неделю, чтобы завод работал на полную мощность.Пусть x представляет стиль A Пусть y представляет стиль B Пусть z представляет стиль C

0,2 ​​x  0,4 y  0,3z  1160 0,3x  0,5 y  0,4 z  1560

i   ii   iii 

0,1x  0,2 y  0,1z  480 Решение дает x = 1200, y = 800 и z = 2000 (все в единицах)

Применение в экономике Методы Гаусса и Гаусса-Жордана могут использоваться для определения равновесной цены и количества поставляться на данный рынок. Допустим, есть два продукта: апельсиновый сок и вода, которые взаимосвязаны.Пусть P1 и q1 представляют цену и количество, требуемые соответственно для продукта 1 (апельсиновый сок), а P1 и q2 представляют то же самое для продукта 2 (вода). Предложение спроса Продукт 1: P1  2000 – 3q1 – 2q2, q1  100  2q1  q2

Продукт 2: P2  2800 – q1 – 4q2, q2  200  3q1  2q2 Для достижения равновесия обе цены выражения должны совпадать, поэтому получаются следующие уравнения. Продукт 1: 2000 – 3q1 – 2q2 = 100  2q1  q2

Продукт 2: 2800 – q1 – 4q2 = 200  3q1  2q2 Приведенные выше выражения после рефрейминга и решения дают q1 = 200, q2 = 300.Следовательно, P1 = N800, P2 = N1,400. Определение равновесной цены и количества на рынке очень важно для экономиста, поскольку за пределами этих значений ничего не будет продано с прибылью. Приложения в физике Могут возникать или формулироваться аналогичные проблемы, описанные выше, и могут быть легко применены как методы Гаусса, так и методы Гаусса-Жордана. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В результате исследования сделан вывод, что при выполнении вычислений вручную метод Гаусса-Жордана более предпочтителен, чем вариант с исключением Гаусса, поскольку он позволяет избежать необходимости обратной подстановки.Кроме того, очень примечательно было отмечено, что и метод исключения Гаусса, и метод исключения Гаусса-Жордана дали одинаковые ответы для каждого рабочего примера, и оба с поворотом и частичным поворотом в равной степени дали одинаковые ответы для

Аденеган и Алуко. Это обязательно означает, что, поскольку система линейных уравнений остается той же самой, несмотря на то, что уравнения переупорядочиваются, что приводит к ее преобразованию в матричную форму, поскольку элементы строк, очевидно, изменяются, результирующие решения остаются теми же.Важность метода исключения Гаусса и Гаусса-Джордана невозможно переоценить из-за его значимости для различных областей исследований (чистая наука, например, физика, биология, химия, математика и т. Д., Социальные науки, т. Е. Экономика, география, бизнес-образование и т. Д.). ССЫЛКИ Adeola. Т.А. (2009): Исследование решения системы линейных уравнений, неопубликованная проектная работа, Педагогический колледж Адейеми. Ондо.

105

Андерсон, Дж. П. (1982): Математический анализ и приложения к бизнесу и экономике, 3-е изд.PEP Нью-Йорк. Антон, Х. (2005): Элементарная линейная алгебра (версия приложения – 9-е издание) Willey International, Лондон. http://www.purplemath.com/./systlin6.htm (2010 г.). http://www.matrixanalysis.com/downloadchapter.html (2007 г.). Илори, С.А.; Акиниэле О. (1986): Элементарная абстрактная и линейная алгебра, Издательство Ибаданского университета, Ибадан. Мэр, C.D. (2001): Инженерная математика 5-е изд. Энтони Роу Лтд. Чиппенхем, Уилтшир. Сеймур, Л. (1981): теория и проблема линейной алгебры – ISBN 0-07-99012-3.Уэббер, Дж. П. (1982): Математический анализ, 4-е изд; Институт Харпира; Лондон

Сравнение метода исключения Гаусса для плотных линейных систем на гиперкубической и сеточно-параллельной архитектуре Анвеша Катти :: SSRN

Материалы 3-й Международной конференции по Интернету вещей и подключенным технологиям (ICIoTCT), 2018 г., состоявшейся в Национальном технологическом институте Малавия, Джайпур (Индия) 26-27 марта 2018 г.

6 стр. Добавлено: 7 мая 2018 года

Дата написания: 27 апреля 2018 г.

Аннотация

Проблема решения системы N линейных уравнений Ax = b (где A – известная матрица N x N, а b и x – соответственно известные и неизвестные векторы N x 1) часто встречается во многих областях науки. и инженерия.Разработаны эффективные численные методы решения этой задачи на однопроцессорных системах. Метод исключения Гаусса, который по своей сути является последовательным, является одним из самых популярных методов решения системы линейных алгебраических уравнений. В этой статье мы сравниваем известный алгоритм исключения Гаусса для решения плотных линейных систем Ax = b на двух хорошо известных архитектурах: гиперкубе и двумерной сетке. Наша цель – проанализировать сложность алгоритма исключения Гаусса на гиперкубе, а также представить алгоритм исключения Гаусса и проанализировать его сложность на сеточной параллельной архитектуре.

Предлагаемое цитирование: Предлагаемая ссылка

Катти, Анвеша, Сравнение метода исключения Гаусса для плотных линейных систем на гиперкубической и сеточной параллельной архитектуре (27 апреля 2018 г.).Материалы 3-й Международной конференции по Интернету вещей и подключенным технологиям (ICIoTCT), 2018 г., состоявшейся в Национальном технологическом институте Малавия, Джайпур (Индия) 26-27 марта 2018 г., доступно на SSRN: https://ssrn.com/abstract = 3170183 или http://dx.doi.org/10.2139/ssrn.3170183