Архимедово свойство: Архимедово свойство рациональных чисел

Содержание

Многогранники Архимеда. Названия. Свойства. Модели

Древнегреческому ученому Архимеду принадлежит открытие 13 многогранников – “архимедовых тел”.

Которые так же именуют полуправильными многогранниками.

 

 

Каждое из них ограничено неодноименными правильными многоугольниками и в котором равны многогранные углы и одноименные многоугольники.

Кроме того, в каждой вершине сходится одно и тоже число одинаковых граней.

В одинаковом порядке каждое из этих тел может быть вписано в сферу.

 

При этом надо помнить, что далеко не все полуправильные многогранники можно назвать архимедовыми, так как в группу полуправильных многогранников входит гораздо больше геометрических тел, а количество архимедовых многогранников очень мало – всего тринадцать.

 

Впервые увидев эти 13 названий – “голова идет кругом”. Всё смешивается. Однако запомнить и разобраться все-таки можно.

Как выглядит каждое из 13-ти Архимедовых тел

 

1. Усечённый тетраэдр

2. Усечённый октаэдр

3. Усечённый куб (гексаэдр)

4. Усечённый додекаэдр

5.

Усечённый икосаэдр

6. Кубо-октаэдр

7. Ромбо-кубо-октаэдр

8. Ромбо-усечённый кубо-октаэдр

 

9. Плосконосый куб (другое название курносый куб)

 

10. Икосо-додекаэдр

 

11. Усечённый икосо-додекаэдр

 

12. Ромбо-усечённый икосо-додекаэдр

 

13. Плосконосый додекаэдр (другое название курносый додекаэдр)

 

Какое название лежит в основе?

Обратите внимание на тот факт, что в названии любого многогранника есть слово-основа. Именно эта основа позволяет определить к какому из пяти правильных многогранников относится текущий.

 Название

  Слово-основа

 Усечённый тетраэдр       тетраэдр

Усечённый октаэдр     

Кубо-октаэдр     

Ромбо-кубо-октаэдр     

Ромбо-усечённый кубо-октаэдр     

 октаэдр

Усечённый куб     

Плосконосый куб     

куб

Усечённый додекаэдр     

Икосо-додекаэдр     

Усечённый икосо-додекаэдр     

Ромбо-усечённый икосо-додекаэдр     

Плосконосый додекаэдр     

додекаэдр
Усечённый икосаэдр      икосаэдр

 

Какой многогранник лежит в основе

Прародителем каждого из 13-ти полуправильных многогранников является один из пяти Платоновых многогранников.

   

 

Из каких геометрических фигур можно составить

Все многогранники Архимеда можно представить в виде комбинации правильных многоугольников

Размеры многогранников

Чтобы создать коллекцию многогранников, нам будет необходимо придерживаться определенных условий, так размеры будут сопоставимы и модели можно легко сравнить друг с другом.

Один из возможных вариантов, это создавать модели, вписываемые в сферу заданных размеров. Вот как будут выглядеть в этом случае все 13 многогранников.

 

Другой вариант, это задать единую длину стороны для всех многоугольников, из которых будет собрана модель. Вот каковы пропорции многоугольников, имеющих единую длину стороны:

– треугольник;

– квадрат;

– пятиугольник;

– шестиугольник;

– восьмиугольник;

– десятиугольник.

А вот как будет выглядеть коллекция многогранников, собранная из многоугольников с единой длиной стороны:

 

Модели архимедовых тел из наборов “Волшебные грани”

Где найти развертки Архимедовых тел

Развертки для всех тринадцати многогранников Архимеда вы сможете найти в наборах “Волшебные грани”:

Волшебные грани № 18
– усечённый тетраэдр;
– усечённый октаэдр;
– усечённый гексаэдр;
– кубооктаэдр.

  

Волшебные грани № 19
– усечённый икосаэдр;
– икосо-додекаэдр;
_
_

  

Волшебные грани № 21
– ромбо-кубо-октаэдр;
– ромбо-усечённый кубо-октаэдр

 

Волшебные грани № 27
– усечённый додекаэдр;
– усечённый икосо-додекаэдр

 

Волшебные грани № 29
– плосконосый куб;
– плосконосый додекаэдр

 

Волшебные грани № 31
ромбоусечённый икосододекаэдр;

 

 

Действительные числа.

Действительные числа

МАОУ Свердловская СОШ № 2 г.о. Лосино-Петровский Московской области

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

ЛУГОВАЯ ОЛЬГА АЛЕКСАНДРОВНА

число

  • Число́ — одно из основных понятий математики, используемое для количественной характеристики, сравнения, нумерации объектов и их частей .

Евклид.

Деталь «Афинской школы» Рафаэля

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

  • Первые числа, с которыми вы познакомились в школе, – это натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6,…… .
  • Понятие натуральных чисел возникло из потребностей счёта предметов.
  • Множество натуральных чисел обладает тем свойством, что сумма и произведение любых двух натуральных чисел являются натуральными числами, а разность и частное необязательно являются натуральными числами.
  • Множество натуральных чисел будем обозначать .

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

  • Множество целых чисел состоит из натуральных чисел , целых отрицательных чисел и числа «нуль» : ………-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,……….
  • Сумма, разность и произведение целых чисел являются целыми числами, а частное не всегда является целым числом.
  • Множество целых чисел будем обозначать .

Рациональные числа

  • Число называют рациональным, если его можно записать в виде дроби , где
  • – числитель дроби, – знаменатель дроби
  • Сумма, разность, произведение и частное любых двух рациональных чисел являются рациональными числами.
  • Важно: На нуль делить нельзя!!!

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ –дроби, знаменатель которых есть некоторая степень числа 10.

КОНЕЧНЫЕ

БЕСКОНЕЧНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ

  • Если конечную десятичную дробь записать в виде обыкновенной несократимой дроби, то её знаменатель не имеет других делителей , кроме 2 и 5.
  • И наоборот: Если знаменатель несократимой дроби не имеет других простых делителей, кроме 2 и 5, то эта дробь разлагается в конечную десятичную дробь.
  • Если знаменатель несократимой дроби имеет простой делитель, отличный от 2 и 5, то эта дробь не разлагается в конечную десятичную дробь, и применив к ней способ деления «уголком» , нельзя получить конечную десятичную дробь.

Каждое рациональное число может быть разложено в бесконечную десятичную периодическую дробь.

 

Для нахождения этого разложения можно разделить «уголком» числитель дроби на её знаменатель:

, так как

Верно и обратное утверждение: Каждая периодическая дробь есть десятичное разложение обыкновенной дроби (некоторого рационального числа).

Пример. Запишем бесконечную периодическую десятичную дробь 2,1(45) в виде обыкновенной дроби.

Обозначим дробь буквой :

тогда

Таким образом, рациональные числа имеют два представления (две формы записи)- одно в виде дроби

 

  • Множество рациональных чисел обозначают буквой
  • Наряду с бесконечными десятичными периодическими дробями существуют и бесконечные десятичные непериодические дроби, которые называют иррациональными числами
  • Множество иррациональных чисел обозначают буквой .
  • Рациональные и иррациональные числа составляют множество всех действительных чисел , которое обозначают буквой .

R

Диаграмма эйлера-

I

геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для более наглядного представления

Q

Z

N

 

Свойства действительных чисел

Действительные числа обладают следующими свойствами, которые принято располагать по группам:

I. Свойства порядка.

1. Для любых двух действительных чисел и выполняется, и притом только одно, из трёх соотношений: .

1. Для любых двух действительных чисел и выполняется, и притом только одно, из трёх соотношений: .

2.Для любых двух действительных чисел и , таких, что , найдётся такое действительное число , что и , т.е. .

2.Для любых двух действительных чисел и , таких, что , найдётся такое действительное число , что и , т.е. .

3.Если и , то

3.Если и , то

(свойство транзитивности неравенств)

(свойство транзитивности неравенств)

ii. Свойства сложения и вычитания

1. –переместительное свойство сложения

1. –переместительное свойство сложения

2. -сочетательное свойство сложения

2. -сочетательное свойство сложения

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6. Если , то для любого .

6. Если , то для любого .

iii. Свойства умножения и деления

1. переместительное свойство умножения

1. переместительное свойство умножения

2. -сочетательное свойство умножения

2. -сочетательное свойство умножения

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8. – распределительное свойство

8. – распределительное свойство

9. Если и , то .

9. Если и , то .

iv. Архимедово свойство

Для любых чисел и таких, что существует натуральное число такое, что

Для любых чисел и таких, что существует натуральное число такое, что

V. Свойство непрерывности действительных чисел

Для любой системы отрезков удовлетворяющих условиям:

Для любой системы отрезков удовлетворяющих условиям:

1) ;

1) ;

2) при ,

2) при ,

существует, и притом единственная, точка, принадлежащая всем отрезкам

существует, и притом единственная, точка, принадлежащая всем отрезкам

До новых встреч!

Удачи в освоении предмета!!!

definition of Аксиома_Архимеда and synonyms of Аксиома_Архимеда (Russian)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Аксиома Архимеда для отрезков

Аксиома Архимеда, или принцип Архимеда, или свойство Архимеда — математическое предложение, названное по имени древнегреческого математика Архимеда. Впервые это предложение было сформулировно Евдоксом Книдским в его теории отношений величин (понятие величины у Евдокса охватывает как числа, так и непрерывные величины: отрезки, площади, объемы[1]):

Если имеется две величины и , то взяв слагаемым достаточное количество раз, можно превзойти :

Например, для отрезков, аксиома Архимеда звучит так: если даны два отрезка, то отложив достаточное количество раз меньшего из них, можно покрыть больший.

Утверждение аксиомы Архимеда кажется тривиальным, но её подлинный смысл заключается в отсутствии бесконечно малых или бесконечно больших величин. По-настоящему значение аксиомы Архимеда было понято в XIX веке, когда было обнаружено существование величин, для которых это свойство не выполняется. Вслед за этим, математические структуры, для которых свойство Архимеда выполняется стали называть архимедовыми, например, архимедово поле, архимедова группа, а те, для которых она не имеет места — неархимедовыми.

История

Аксиома, известная в математике как аксиома Архимеда, в действительности была впервые сформулирована Евдоксом Книдским. Это предложение играло ключевую роль в его теории отношений, которая, по существу, являлась первой аксиоматической теорией действительного числа. Поэтому её также называют аксиомой Евдокса.

Теория Евдокса дошла до нас в изложении Евклида («Начала», книга V).

Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга«Начала», книга V, определение 4[2]

Аксиома Евдокса—Архимеда лежала в основе т. н. «метода исчерпывания», изобретенного Евдоксом, — метода нахождения площадей фигур, объемов тел, длин дуг с помощью аналога современных сумм Римана и Дарбу. С помощью своего метода Евдокс строго доказал несколько теорем о вычислении площадей и объемов. Однако наибольших результатов в этой области достиг Архимед. С помощью метода Евдокса он нашел ряд новых площадей и объемов. При этом, поскольку в Древней Греции не существовало понятия последовательности, предела последовательности, Архимеду приходилось в каждой конкретной задаче повторять рассуждения заново. Таким образом, в своих сочинениях Архимед формулировал и использовал аксиому Евдокса—Архимеда. При этом сам Архимед в введении к своей «Квадратуре параболы» подчеркивает, что эта аксиома употреблялась его предшественниками, и играла существенную роль в работах Евдокса[3]

Современное определение

Линейно упорядоченная группа

Пусть  — линейно упорядоченная группа (англ.), и  — положительные элементы . Элемент называется бесконечно малым по отношению к элементу (а  — бесконечно большим по отношению к ), если для любого натурального имеет место неравенство

Группа называется архимедовой, если для нее выполнена аксиома Архимеда: в не существует пары элементов , , таких что  — бесконено мал по отношению к .

Упорядоченное поле

Пусть  — упорядоченное поле (англ. ). Поскольку всякое упорядоченно поле является линейно упорядоченной группой, то все вышеприведенные определения бесконечно малого и бесконечно большого элементов, а также формулировка аксиомы Архимеда сохраняют силу. Однако здесь имеется ряд специфических особенностей, благодаря которым формулировка аксиомы Архимеда упрощается.

Пусть  — положительные элементы .

Бесконечно малые и бесконечно большие элементы объединяются под названием инфинитезимальных элементов.

Соответственно формулировка аксиомы Архимеда упрощается: упорядоченное поле обладает свойством Архимеда, если в нем нет бесконечно малых элементов, или, эквивалентно, если в нем нет бесконечно больших элементов. Если здесь развернуть определение бесконечно малого (или бесконечно большого) элемента, то получим следующую формулировку аксиомы Архимеда:

Для всякого элемента поля существует натуральный элемент , такой что

Или, эквивалентная формулировка,

Для всякого положительного элемента поля существует натуральный элемент , такой что

Примеры и контрпримеры

Множество действительных чисел

Наиболее известный пример архимедова поля доставляет множество действительных чисел. Если рассматривать множество действительных чисел как пополнение совокупности рациональных (например, с помощью дедекиндовых сечений), то свойство Архимеда для действительных чисел вытекает из того, что им обладают рациональные числа. В связи с этим следует отметить, что в одной из систем аксиом действительных чисел, которая была предложена Гильбертом[4], совокупность действительных чисел определяется как максимальное архимедово упорядоченное поле, то есть упорядоченное поле, удовлетворяющее аксиоме Архимеда (то есть не содержащее инфинитезимальных элементов), которое нельзя расширить до большего архимедова упорядоченного поля.

Неархимедово упорядоченное поле

В качестве примера (вернее, контрпримера) упорядоченного поля, для которого не выполнена аксиома Архимеда, рассмотрим совокупность рациональных функций с действительными коэффициентами, то есть функций вида

Относительно обычных операций сложения и умножения эта совокупность образует поле. Введем отношение порядка на совокупности рациональных функций следующим образом. Пусть и  — две рациональные функции. Мы скажем, что , если и только если в некоторой окрестности разность имеет строго положительный знак. Это условие можно сформулировать и в терминах коэффициентов рациональных функций и . Запишем разность в виде многочлен + правильная рациональная дробь:

где второе слагаемое в правой части — правильная рациональная дробь, то есть степень числителя меньше степени знаменателя: . Будем также считать что старший коэффициент знаменателя равен . Тогда тогда и только тогда, когда либо , либо полиноминальная часть отсутствует и . Несложно проверить корректность этого определения порядка (следует проверить как то, что введенное отношение действительно является отношением порядка, и что это отношение согласовано с операциями поля).

Таким образом, совокупность рациональных функций образует упорядоченное поле. Заметим, что оно является расширением поля действительных чисел, но аксиома Архимеда здесь не имеет места (см. конец предыдущего раздела!). Действительно, рассмотрим элементы и . Очевидно, каким бы ни было натуральное число , имеет место неравенство:

Другими словами,  — бесконечно большой элемент поля. Тем самым аксиома Архимеда в этой поле не имеет места.

P-адические числа

Примечания

  1. История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: «Наука», 2003. — Т. 1. — С. 96.
  2. Евклид Начала / Перевод Д. Д. Мордухай—Болтовского. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948. — Т. 1.
  3. Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 148.
  4. Гильберт, Д. Основания геометрии. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948. — С. 87.

Литература

  • История математики / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: «Наука», 2003. — Т. 1.
  • Евклид Начала / Перевод Д. Д. Мордухай—Болтовского. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948. — Т. 1.
  • Гильберт, Д. Основания геометрии. — М.—Л.: Главное Издательство Технико-Теоретической Литературы, 1948.
  • Бурбаки, Н. Очерки по истории математики / Пер. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. — М.: Издательство иностранной литературы, 1963.

См. также

Арбелос / Хабр


Скачать статью в виде документа Mathematica (NB), CDF-файла или PDF.

Выражаю огромную благодарность

Кириллу Гузенко

за помощь в переводе.



В этой статье систематически проверяются некоторые свойства фигуры, известной с древних времён, называемой

арбелос

. Она включает в себя несколько новых открытий и обобщений, представленных автором данной работы.

Введение

Будучи мотивирован вычислительными преимуществами, которыми обладает

Mathematica

, некоторое время назад я решил приступить к исследованию свойств арбелоса — весьма интересной геометрической фигуры. С тех пор я был впечатлен большим количеством удивительных открытий и вычислительных проблем, которые возникали из-за всё расширяющегося объёма литературы, касающейся этого примечательного объекта. Я вспоминаю его сходство с нижней частью культового велосипеда пенни-фартинг из The Prisoner (телесериал 1960-х), шутовской шапкой Панча (знаменитых Punch and Judy) и символом инь-ян с одной перевёрнутой дугой; см. рис. 1. В настоящее время существует специализированный каталог архимедовых кругов (круги, содержащиеся в арбелосе) [1] и важные применения свойств арбелоса, которые лежат вне поля математики и вычислительных наук [2].

Многие известные исследователи занимались этой темой, в том числе Архимед (убитый римским солдатом в 212 г. до н.э.), Папп (320 г. н.э.), Кристиан О. Мор (1835-1918), Виктор Тебо (1882-1960), Леон Банкофф (1908-1997), Мартин Гарднер (1914-2010). С недавних пор свойствами арбелоса занимаются Клейтон Додж, Питер Ай. Ву, Томас Шох, Хироши Окумура, Масаюки Ватанабе и прочие.

Леон Банкофф — человек, который привлекал всеобщее внимание к арбелосу в последние 30 лет. Шох привлёк внимание Бэнкоффа к арбелосу в 1979 году, открыв несколько новых архимедовых кругов. Он послал 20-страничную рукописную работу Мартину Гарднеру, который направил её Бэнкоффу, который затем отправил 10-страничный фрагмент копии рукописи Доджу в 1996 году. Из-за смерти Бэнкоффа запланированная совместная работа была прервана, пока Додж не сообщил о некоторых новых открытиях [3]. В 1999 году Додж сказал, что ему потребуется от пяти до десяти лет, чтобы отсортировать весь материал, которым он располагает, разложив всё это дело по стопкам. В настоящее время эта работа все ещё продолжается. Не удивительно, что в четвертом томе The Art of Computer Programming, сказано о том, что важная работа требует большого количества времени.


Рис. 1. Велосипед пенни-фартинг, куклы Панч и Джуди, физический арбелос.

Арбелос (“нож сапожника” в греческом языке) назван так из-за своего сходства с лезвием ножа, использующегося сапожниками (Рис. 1). Арбелос — плоская область, ограниченная тремя полуокружностями и общей базовой линией (рис. 2). Архимед, вероятно, был первым, кто начал изучать математические свойства арбелоса. Эти свойства описаны в теоремах с 4-ой по 8-ую его книги Liber assumptorum (или Книги лемм). Возможно, эту работу написал не Архимед. Сомнения появились после перевода с арабского Книги лемм, в которой Архимед упоминается неоднократно, но ничего не сказано о его авторстве (однако, существует мнение, что эта книга — подделка [4]). Книга Лемм так же содержит знаменитую архимедову Problema Bovinum [5].

Эта статья направлена на систематическое изложение некоторых свойств арбелоса и не носит исчерпывающий характер. Наша цель состоит в том, чтобы выработать единую вычислительную методологию для того, чтобы преподнести данные свойства в формате обучающей статьи. Все свойства выстроены в рамках определённой последовательности и представлены с доказательствами. Эти доказательства были реализованы посредством тестирования эквивалентных вычисляемых утверждений. В ходе выполнения данной работы автором было совершено несколько открытий и сделано несколько обобщений.

Мы называем наибольший полукруг верхней дугой, а два маленьких — левосторонней и правосторонней дугами, или просто боковыми дугами, если нет необходимости их различать. Мы используем и соответственно для обозначения их радиусов, а радиус верхней дуги обозначается как . Отрезок между двумя точками неориентирован и простирается от одной точки до другой, в то время как прямая, содержащая две точки, является бесконечной и находится и за пределами этих двух точек. Классическая неточность в обозначениях — использовать для обозначения как самого отрезка, соединяющего точки и , так и его длины в зависимости от контекста; современная нотация велит писать для обозначения длины отрезка.

Эта функция задаёт арбелос.

Так можно нарисовать сам арбелос.


Рис 2. Арбелос.

Свойство 1
Периметр арбелоса равен периметру наибольшей окружности.

Свойство 2
Площадь арбелоса равна площади круга с диаметром .

Это лемма под номером 4 из Книги лемм (рис. 3) [7, 8].

Эти два свойства легко доказываются путём вычисления представленной ниже логической конструкции, состоящей из двух равенств.

Функция drawpoints отображает заданные точки красными кружками.


Рис. 3. Площадь круга диаметра (радикального круга) равна площади арбелоса.

Радикальный круг

Круг на риc. 3 называется

радикальным кругом

арбелоса, а линия

называется его

радикальной осью

(эта терминология будет разъяснена в

Обобщениях

). Обозначим и проименуем точки, линии, окружности и координаты, которые нам понадобятся для иллюстрации свойств 3-11 и 25-26 (рис. 4).


Рис. 4. Обозначения координат, линий и окружностей, упомянутых в свойствах 3-11 и 25-26.

Свойство 3
Линии и перпендикулярны и пересекают боковые дуги в точках и , соединяясь с общей касательной к боковым дугам.

Чтобы доказать перпендикулярность линий и , вычислим скалярное произведение векторов и .

Используем полученный результат для получения угла наклона прямой .

Теорема 1
Уравнение касательной к левой дуге в точке :

а уравнение касательной к правой дуге в точке :

Функция PQ находит координаты точек касания и путём решения системы из четырех уравнений, которые задают их положения на дугах и углы наклона касательных согласно теореме 1.

Помимо PQ, в данной статье встречаются так же и нижеперечисленные обозначения точек и величин: VWS, HK, U, EF, IJr и LM.

Функция dSq вычисляет квадрат расстояния между двумя заданными точками.

Свойство 4
Точки и находятся на радикальной окружности.

Так как является диаметром радикальной окружности, нам нужно всего лишь доказать равенство расстояний от и до центра радикальной окружности, который обозначается как .

Свойство 5
Пусть линия пересекает верхнюю дугу в точках и . Тогда и лежат на окружности c центром в и радиусом .

Мы получаем координаты точек и , решая систему уравнений, которая задаёт их расположение на верхней дуге и на линии .

Это доказывает свойство 5 путём проверки того, что расстояния от и до равны расстоянию от до .

Свойство 6
Прямая параллельна прямой .

Это эквивалентно тому, что определитель векторов и (их векторное произведение) равен нулю.

Свойство 7
Прямая перпендикулярна прямой .

Это эквивалентно тому, что скалярное произведение векторов и равно нулю.

Обозначим окружность с центром в и радиусом как .

Свойство 8
Пары , и , — представляют собой пары взаимно обратных точек для окружности .

Обратной точкой к точке в окружности (при этом ) является такая точка , что выполняется равенство [9]. Функция inversion реализует эту идею.

Так можно доказать свойство 8, подставив вместо .

Свойство 9
Исследуем окружность обратных точек . Для данной окружности точки , , совпадают со своими обратными точками. Отрезок является обратным для дуги , а отрезок — инверсия дуги . Дуги и так же являются взаимно обратными. Радикальная окружность есть инверсия прямой .

Свойство 10
Прямые и есть касательные к радикальной окружности.

Это утверждение аналогично тому, что соответствующие дуги (то есть их касательные) перпендикулярны радикальной окружности (его касательным в точках пересечения). Согласно свойству 8, дуги являются перпендикулярными окружности с диаметром , если они проходят через пару обратных точек [10,11].

Свойство 11
— прямоугольник.

Это один из сюрпризов Бэнкоффа (Bankoff’s surprises) [12,13,14]. Если все четыре точки лежат на радикальной окружности, нам достаточно доказать, что делит пополам .

Представленная ниже демонстрация со слайдером (реализованным посредством функции Manipulate) иллюстрирует свойства 3-11. Самый лёгкий способ задать точки P, Q, H, K — скопировать и вставить соответствующие для них формулы.

Вписанная окружность

Теперь рассмотрим окружность, касательную к боковым дугам и верхней дуге —

вписанную окружность

в арбелос с точками касания

,

, и

(см. рис. 5) [15, 16]. Обозначим так же вершины дуг точками

и

соответственно.


Рис. 5. Вписанная окружность , координаты, прямые и точки, указанные на рисунке, фигурируют в свойствах с 12 по 15.

Шестое утверждение из Книги лемм включает так же радиус вписанной окружности, обозначаемый как . Функция Uвычисляет координаты центра вписанной окружности и её радиус .

Координаты точек касания , , и определяются через пересечение линий, соединяющих центры дуг арбелоса, со вписанной окружностью.

Свойство 12
Точки , , и лежат на одной прямой. Точки , , и лежат на одной прямой. Линии и пересекаются в точке , которая лежит на вписанной окружности.

Первые два утверждения можно доказать, используя критерий определителя для проверки коллинеарности.

Пусть будет точкой пересечения линий и . Доказав, что расстояние от этой точки до равно , мы докажем третье утверждение.

Свойство 13
Точки , , , и лежат на окружности с центром в . Аналогично, точки , , , и лежат на окружности с центром в .

Представленная ниже демонстрация с Manipulate иллюстрирует свойство 13 [17]. Опция Bankoff circle покажет вписанную окружность в треугольник, который соединяет центры дуг. Это иллюстрирует свойство 23.

Свойство 14
Пусть — диаметр вписанной окружности, параллельный , а – проекция на . Прямоугольник между отрезками и — квадрат.

Данное свойство проиллюстрировано в следующей демонстрации с Manipulate и легко может быть проверена следующим выражением.

Свойство 15
Пусть и — пересечения линий и с боковыми дугами. Тогда — квадрат практически такого же размера, что и квадрат, который упоминался в свойстве 14.

Сперва получим точки и как пересечения соответствующих линий и дуг, а затем сохраним результат в переменной replaceEF.

Докажем свойство 15, сделав равным вектору, получаемому вращением вокруг на 90° и сделав равным вектору, получаемому перемещением через .

Учитывая и , нижеследующий график сравнивает размеры двух квадратов.

Демонстрация с Manipulate иллюстрирует свойства 14 и 15.

Близнецы

Рассмотрим два серых круга, которые касаются радикальной оси, а так же боковые и верхние дуги на рис. 6. Они называются

близнецами

, или

архимедовыми окружностями

. В связи с нижеследующим замечательным свойством, они были хорошо изучены. Множество их необычных черт были освещены в нашем списке свойств [3, 18, 19].


Рис. 6. Близнецы.

Свойство 16
Два круга, которые касательны радикальной оси, верхней и боковым дугам арбелоса имеют одинаковый радиус.

Это свойство идёт как пятое утверждение в Книге лемм. Решая данную систему из шести уравнений, мы находим значения их радиусов, проверяем, что они равны и находим координаты их центров , .

Эти четыре решения дают центры, сгруппированные попарно: , , , где и являются отображениями и на диаметр арбелоса; только последнее выражение является допустимым. Это так же показывает, что близнецы действительно одного и того же радиуса . Любая окружность, у которой радиус имеет ту же длину, что и у близнецов, называется архимедовой. Можно провести довольно наглядную аналогию для , если представить, что и — (электрические) сопротивления. Тогда — сопротивление, получаемое путём параллельного соединения и ; то есть . Функция IJr вычисляет координаты центров и длину радиуса близнецов.

Свойство 17
Площадь арбелоса равна площади наименьшего круга, который охватывает близнецов.

Рассмотрим окружность, касательную к обоим близнецам, с центром в точке и радиусом . Тогда у нас будут два возможных значения для .

Чтобы найти экстремум для , приравняем производные обоих уравнений к нулю и решим их относительно .

Таким образом, центры наименьшей и наибольшей окружностей, касательных к близнецам, лежат на радикальной оси. Более того, их центры лежат в одной точке, что следует из решения данного выражения.

Таким образом, используя свойство 2, мы доказываем, что наибольшая касательная окружность, которая является самой малой из тех, что содержит близнецов, удовлетворяет свойству 17. Нижеследующая демонстрация с Manipulate показывает окружности, касательные к близнецам, при этом можно регулировать радиус левой боковой дуги.

Следующий график сравнивает радиусы двух окружностей, касательных к близнецам, с центрами на радикальной оси.


Рис. 7. Обозначения точек и отрезков, которые будут фигурировать в свойствах 18-24.

Свойство 18
Общая касательная к левой дуге и близнецу (точка касания — ) проходит через точку . Аналогично, общая касательная к правой дуге и близнецу (точка касания — ) проходит через точку (см. рис. 7).

Так можно вычислить точки касания и .

Используя теорему 1, докажем оба утверждения.

Свойство 19
Длина равна длине . Длина равна длине .

Докажем оба утверждения одновременно.

Однако, точки , , и не лежат на окружности с центром в , равно как и точки , , и не лежат на окружности с центром в ; иначе следующее выражение было бы равно нулю.

Свойство 20
Линия делит отрезок пополам. Линия делит отрезок пополам.

Поскольку длина отрезка — ордината , и длина отрезка — ордината , достаточно проверить, что центры этих отрезков лежат на указанных линиях, проверкой углов наклона.

Свойство 21
Два синих круга с диаметрами на , проходящие через и касательные к и являются архимедовыми.

Эти круги — четвёртый и пятый архимедовы круги, открытые Бэнкоффом [20]. Чтобы проверить это свойство, используем следующий результат [21]:

Теорема 2
Расстояние от точки до прямой, проходящей через точки и есть:

Данное ориентированное расстояние будет положительным, если треугольник пересекается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае. Данное отображение реализует функция dAB.

Пусть и — соответственно центр и радиус голубого круга по левую сторону от точки (рис. 7). Решая следующую систему, найдём значение .

Аналогично можно вычислить радиус синего круга справа от , который равняется .

Таким образом, оба круга — архимедовы, как и было сказано ранее. Следующая демонстрация с Manipulate содержит близнецов и два других круга.

Свойство 22
Окружность, проходящая через точки , , и на рис. 5, которую называют окружностью Бэнкоффа — является архимедовой окружностью.

Архимед открыл исходные два близнеца; Бэнкофф дополнил их третьей окружностью, открытой в 1950 году [22]. Координаты центра окружности Бэнкоффа можно получить, вычислив расстояния от до точек , , и .

Свойство 23
Окружность Бэнкоффа — вписанная в треугольник, который образован соединением центров боковых дуг и центра вписанной в арбелос окружности.

Используя теорему 2 для вычисления расстояния от до сторон треугольника, докажем это свойство (так как dAB вычисляет ориентированное расстояние, порядок расположения аргументов, описывающих линию, является весьма важным).

Свойство 24
Окружность , касательная к окружностям , и верхней дуге — архимедова.

Таким образом можно вычислить значения и .

Окружность — единственная, для которой ордината – положительна. Следует заметить, что — не радикальная ось.

Свойство 25
Окружности и , касательные к радикальной оси и проходящие через и соответственно, являются архимедовыми (см. рис. 4).

Свойство 26

Окружность , касательная к прямой и верхней дуге в точке — архимедова (см. рис. 4).

Окружность с центром в точке и радиусом , касательная к такова, что расстояние от до равно , и уравнение принимает следующий вид:

Так как окружность проходит через ,

Так как окружность касательна к верхней дуге,

Тут мы используем явные выражения для , , и которые удовлетворяют данным трём равенствам.

Свойство 27
Рассмотрим два отрезка (обозначены красным), соединяющих центр верхней дуги с вершинами левой и правой дуг арбелоса. Эти отрезки равны и перпендикулярны. Касательные окружности и в точках и к этим отрезкам и верхней дуге архимедовы (см. рис. 8).

Это свойство было обнаружено летом 1998 года [23].


Рис. 8. Две пары архимедовых окружностей из свойства 27.

Наклонные близнецы

Было показано, что есть архимедовы окружности, отличные от близнецов, а именно — окружности Бэнкоффа, которые фигурируют в свойствах 21-27. Есть так же

неархимедовы близнецы

— пары окружностей с одинаковым радиусом, отличным от радиуса близнецов, которые появляются в определённых областях арбелоса.

Открытие наклонных близнецов возникло из предположения о том, что помимо того, чтобы касаться боковой и верхней дуг, окружности-близнецы могут касаться друг друга, и при этом необязательно касаться радикальной оси.

Очевидно, что существует бесконечное число решений, если мы не требуем, чтобы эти окружности были одного радиуса. Идея была следующая: если мы начнём с предположения о том, что они равного радиуса, мы могли бы в результате обнаружить, что они касаются радикальной оси. Это оказалось не так. Рассмотрим окружности с центрами в точках и и с одинаковым радиусом . Значение может быть получено путем решения системы из пяти уравнений.

Эти выражения включают квадратные корни, отличающиеся знаком. Положительные корни расходятся на и отклоняются.

Остальные — сходятся.

Подытожим: наклонные близнецы действительно равны и их общий радиус равен

Следующее сравнение между радиусами обычных и наклонных близнецов показывает, что они отличаются весьма незначительно.

Так можно получить координаты центров наклонных близнецов.

На представленной ниже демонстрации с Manipulate показаны наклонные близнецы и, опционально — близнецы, которые получаются при изменении параметра .

Обобщения

В этом разделе мы обобщаем геометрию арбелоса, позволив дугам пересекаться и рассматривая трёхмерный вариант. Чтобы задать контекст первого из обобщений, введём понятие

радикальной оси для двух окружностей

.

Радикальные оси

Пусть

— точка, а

— окружность

.

Степень

отношения

к

определяется некоторым вещетвенным числом

. Степень

положительна, равна нулю или отрицательна при положении

снаружи, на или внутри

, соответственно [12]. Пусть

; если точки, принадлежащие

, удовлетворяют уравнению

, то мы сможем определить степень

, вычислив

. То же самое можно получить, если

, когда окружность вырождается в прямую, и в этом случае знак

указывает на то, где

находится относительно прямой: над ней, на ней или под ней соответственно.

Вот очень интересное свойство степени точки. Пусть даны окружность и некоторая точка . Выберем произвольную прямую, проходящую через и пересекающую окружность в точках и . Тогда произведение зависит только от и не зависит от выбора прямой, проходящей через . Это произведение равно степени .

В приведенной ниже демонстрации с Manipulate имеется четыре локатора для изменения размеров окружности, положения и наклона линии, проходящей через .

Пусть даны две окружности с центрами в разных точках. Их радикальные оси определяются как прямые, содержащие все точки, которые имеют одинаковые степени по отношению к каждой из окружностей. Доказательство данного утверждения можно найти в [10].

Теорема 3
Если две окружности пересекаются в точках и , то тогда их радикальные оси являются общей секущей . Если две окружности касаются , то тогда их радикальные оси являются их общей касательной в точке .

Следствие 1
Пусть даны три окружности с центрами, не лежащими на одной прямой. Тогда их радикальные оси будут попарно параллельны и не будут совпадать.

Теорема 4
Радикальная ось двух окружностей есть геометрическое место точек, из которых проведенные к ним касательные имеют одинаковую длину.

Представленная ниже демонстрация с Manipulate показывает две окружности; одна закреплена, а размер и центр другой окружности можно изменять, перемещая локатор и меняя положение слайдера, который отвечает за радиус. Можно использовать другой слайдер для изменения положения красной точки на радикальной оси чтобы проиллюстрировать теорему 4.

Пересечение двумерного и трехмерного арбелосов

В данной демонстрации показаны два обобщения.

Свойство 28
Вписанные окружности касаются радикальной оси боковых и верхней дуг, и каждая из дуг в обобщённом арбелосе имеет одинаковый радиус.

Пусть — длина зазора между основаниями (то есть диаметр верхней дуги равен ) и пусть — абсцисса пересечения радикальных осей с осью , предполагая, что начало находится в крайней левой точке арбелоса [10].

Теорема 5
Если окружности и не пересекаются, то их радикальная ось пересекает отрезок в точке , так что .

Воспользовавшись данной теоремой, вычислим значение .

Не теряя обобщённости, можем предположить, что , , и ( может принимать отрицательное значение). Назовём вписанные окружности как и . Значения этих параметров получаются следующим образом.

Тогда, хоть некоторыми центрами можно и пренебречь, но радиус будет одинаков в любом случае.

Доказательство без слов

Собственно, вот еще три свойства арбелоса. Посмотрим, сможете ли Вы догадаться, какие где свойства задействованы, экспериментируя с элементами управления [24,25].

Первый Manipulate позволяет передвигать боковые дуги.

Второй Manipulate позволяет вращать прямую вокруг точки касания боковых дуг.

Наконец, третий Manipulate показывает бесконечное семейство близнецов.

Список литературы

[1] F. van Lamoen. “Online Catalogue of Archimedean Circles.” (Jan 22, 2014)

home.planet.nl/~lamoen/wiskunde/arbelos/Catalogue.htm

.

[2] S. Garcia Diethelm. “Planar Stress Rotation” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/PlanarStressRotation.

[3] C. W. Dodge, T. Schoch, P. Y. Woo, and P. Yiu, “Those Ubiquitous Archimedean Circles,” Mathematical Magazine, 72(3), 1999 pp. 202-213. www.jstor.org/stable/2690883.

[4] H. P. Boas, “Reflection on the Arbelos,” American Mathematical Monthly, 113(3), 2006 pp. 236-249.

[5] H. D. Dörrie, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution (D. Antin, trans.), New York: Dover Publications, 1965.

[6] J. Rangel-Mondragón. “Recursive Exercises II: A Paradox” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/RecursiveExercisesIIAParadox.

[7] R. B. Nelsen, “Proof without Words: The Area of an Arbelos,” Mathematics Magazine, 75(2), 2002 p. 144.

[8] A. Gadalla. “Area of the Arbelos” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/AreaOfTheArbelos.

[9] J. Rangel-Mondragón, “Selected Themes in Computational Non-Euclidean Geometry. Part 1. Basic Properties of Inversive Geometry,” The Mathematica Journal, 2013. www.mathematica-journal.com/2013/07/selected-themes-in-computational-non-euclidean-geometry-part-1.

[10] D. Pedoe, Geometry: A Comprehensive Course, New York: Dover, 1970.

[11] M. Schreiber. “Orthogonal Circle Inversion” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/OrthogonalCircleInversion.

[12] M. G. Welch, “The Arbelos,” Master’s thesis, Department of Mathematics, University of Kansas, 1949.

[13] L. Bankoff, “The Marvelous Arbelos,” The Lighter Side of Mathematics (R. K. Guy and R. E. Woodrow, eds.), Washington, DC: Mathematical Association of America, 1994.

[14] G. L. Alexanderson, “A Conversation with Leon Bankoff,” The College Mathematics Journal, 23(2),1992 pp. 98-117.

[15] S. Kabai. “Tangent Circle and Arbelos” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/TangentCircleAndArbelos.

[16] G. Markowsky and C. Wolfram. “Theorem of the Owl’s Eyes” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations. wolfram.com/TheoremOfTheOwlsEyes.

[17] P. Y. Woo, “Simple Constructions of the Incircle of an Arbelos,” Forum Geometricorum, 1, 2001 pp. 133-136. forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200119.pdf.

[18] B. Alpert. “Archimedes’ Twin Circles in an Arbelos” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/ArchimedesTwinCirclesInAnArbelos.

[19] J. Rangel-Mondragón. “Twins of Arbelos and Circles of a Triangle” from the Wolfram Demonstrations Project—A Wolfram Web Resource. demonstrations.wolfram.com/TwinsOfArbelosAndCirclesOfATriangle.

[20] H. Okumura, “More on Twin Circles of the Skewed Arbelos,” Forum Geometricorum, 11, 2011 pp. 139-144. forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201114.pdf.

[21] E. W. Weisstein. “Point-Line Distance—2-Dimensional” from Wolfram MathWorld—A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html.

[22] L. Bankoff, “Are the Twin Circles of Archimedes Really Twins?,” Mathematics Magazine, 47(4), 1974 pp. 214-218.

[23] F. Power, “Some More Archimedean Circles in the Arbelos,” Forum Geometricorum, 5, 2005 pp. 133-134. forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200517.pdf.

[24] A. V. Akopyan, Geometry in Figures, CreateSpace Independent Publishing Platform, 2011.

[25] H. Okumura and M. Watanabe, “Characterizations of an Infinite Set of Archimedean Circles,” Forum Geometricorum, 7, 2007 pp. 121-123. forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200716.pdf.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО – это 📕 что такое ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО

  найдено в  “Большой советской энциклопедии”

ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, вещественное число, любое положительное число, отрицательное число или нуль. Д. ч. разделяются на рациональные и иррациональные. Первые пред-ставимы как в виде рациональной дроби, т. е. дроби p/q, где р и q – целые, q не= 0, так и в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, а вторые – только в виде бесконечной непериодической десятичной дроби.

Строгая теория Д. ч., к-рая позволяет определять иррациональные числа, исходя из рациональных, была развита лишь во 2-й пол. 19 в. трудами К. Вейерштрасса, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Множество всех Д. ч. наз. числовой прямой и обозначается R. Это множество линейно упорядочено и образует иоле по отношению к осн. арифметич. операциям (сложение и умножение). Множество рациональных чисел всюду плотно в R, и R есть его п о-полнение. .Числовая прямая R подобна геометрии, прямой, т. е. между числами из R и точками на прямой можно установить взаимно однозначное соответствие с сохранением упорядоченности. Важнейшее свойство числовой прямой состоит в её непрерывности. Принцип непрерывности числовой прямой имеет неск. различных формулировок. Принцип Вейерштрасса: всякое непустое ограниченное сверху числовое множество имеет (единственную) верхнюю грань. Принцип Дедекинда: всякое сечение в области Д. ч. имеет рубеж. Принцип Кантора (принцип стягивающихся отрезков): всякая стягивающаяся система отрезков {[an, bп]} числовой прямой имеет единств, число, принадлежащее всем отрезкам.

Теория Д. ч. является одним из важнейших узловых вопросов математики. Свойства числовой прямой являются тем фундаментом, на к-ром строится теория пределов, а вместе с ней – всё здание совр. математического анализа. Подробнее см. Число. С. Б. Стечкин.

Архимедова спираль | Математика, которая мне нравится

История спирали Архимеда

Архимедова спираль была открыта (правильно, Вы угадали!) Архимедом. Это произошло в III веке до н.э., когда он экспериментировал с компасом. Он тянул стрелку компаса с постоянной скоростью, вращая сам компас по часовой стрелке. Получившаяся кривая была спиралью, которая сдвигались на ту же величину, на которую поворачивался компас, и между витками спирали сохранялось одно и то же расстояние.

Использование архимедовой спирали в древности

Архимедову спираль использовали как наилучший способ определения площади круга. С ее помощью был улучшен древний греческий метод нахождения площади круга через измерение длины окружности. Спираль дала возможность более точного измерения длины окружности, а следовательно, и площади круга. Однако вскоре, когда Архимед попытался вычислить более точно значение , которое упрощало нахождение площади круга, было доказано, что спираль для этого не подходит.

Что такое обобщенная Архимедова спираль?

Обобщенная Архимедова спираль определяется как кривая, которая задается в полярных координатах уравнением (далее положим ). Спираль Архимеда, в частности, принадлежит множеству обобщенных Архимедовых спиралей.

Название спирали

Значение

Спираль Архимеда

1

Гиперболическая спираль

-1

Спираль Ферма

2

Литуус (lituus)

-2

Lituus – загнутый авгурский посох, жезл.

Общий вид в полярных координатах:

Спираль Архимеда:


Гиперболическая спираль:


Спираль Ферма:


Литуус:


Параметризация спирали Архимеда

Начнем с уравнения спирали .

Воспользуемся теоремой Пифагора

– радиус окружности).

Также нам понадобятся формулы

   

Возведем уравнение спирали в квадрат:

   

Теперь аналогично выразим :

   

Вид параметризованной спирали:

Спирали в реальной жизни

В технике нашли широкое применение плоские спиральные антенны, в том числе и антенны, имеющие вид Архимедовой спирали (http://library.tuit.uz/lectures/afu/anten_fider_ustr/lecture_11.htm):

http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/calcproj/sp06/leviowen/HistoryOfArchimedes.doc

Свойства винтовых поверхностей – Энциклопедия по машиностроению XXL

Свойства винтовых поверхностей используются в воздушных и гребных винтах для создания тяги, приводящей в движение самолеты, суда и др. , в осевых вентиляторах и пропеллерных насосах, в винтовых спусках и пр.  [c.184]

Следует отметить одно важное свойство винтовых поверхностей, состоящее в том, что эти поверхности, так же как и поверхности вращения, могут сдвигаться, т. е., совершая винтовое перемещение, поверхность скользит вдоль самой себя. Это свойство обеспечивает винтовым поверхностям широкое применение в технике. Винты, шнеки, сверла, пружины, поверхности лопаток турбин и вентиляторов, рабочие органы судовых движителей, конструкции винтовых аппарелей и лестниц — вот далеко не полный перечень технического использования винтовых поверхностей.  [c.117]


Следует отметить одно важное свойство винтовых поверхностей, состоящее в том, что эти поверхности, так же, как и поверхности вращения, могут сдвигаться, т. е., совершая винтовое перемещение, поверхность скользит вдоль самой себя. Это свойство обеспечивает винтовым поверх-  [c. 91]

Свойства винтовых поверхностей  [c.5]

Угол (А называют углом наклона винтовой канавки. Это угол между касательной к винтовой линии канавки и осью сверла. Вследствие известных свойств винтовой поверхности угол наклона винтовой канавки переменен в различных точках главного лезвия. На рис. 21 изображены развернутые на плоскость винтовые линии, соответствующие периферийной точке главного лезвия с радиусом и точке главного лезвия, лежащей на цилиндре радиуса р. Шаг указанных винтовых линий канавки обозначен через Н.  [c.53]

Отметим важное свойство винтовой оболочки геометрические параметры ее срединной поверхности не зависят от координаты р. Это позволяет использовать метод разделения переменных для расчета оболочек вращения и оболочек в виде прямого геликоида.  [c.580]

В зависимости от свойств материала разрушение при кручении может происходить или срезом (плоскость разрушения строго перпендикулярна оси образца), или сколом (винтовая поверхность под углом 45° к оси образца).[c.229]

Свойство эвольвентной винтовой поверхности развертываться на плоскость и обрабатываться плоскостью обусловило возможность ее производительного и точного изготовления. Вследствие этого эвольвентная поверхность получила широкое применение для конструирования зубчатых колес и зуборезных инструментов. Из указанного свойства вытекает прямолинейная форма эвольвентной зубчатой рейки и производящей (инструментальной) рейки.  [c.660]

Из прочих свойств эвольвентной винтовой поверхности отметим, что в сечении плоскостью, перпендикулярной к оси, она дает эвольвенту. Во всяком другом сечении, пересекающем ось, в том числе и в сечении плоскостью, проходящей через ось, получится кривая, отличная от эвольвенты.  [c.660]

Форма боковых поверхностей зубьев в виде эвольвентной винтовой поверхности позволяет шлифовать их плоским кругом, вследствие чего достигается высокая точность обработки. При этом используется указанное ранее свойство эвольвентной винтовой поверхности — развертываться на плоскость и возможность быть образованной винтовым движением плоскости.[c.743]

Траектория абразивного зерна относительно обрабатываемой поверхности представляет собой винтовую линию, правую при движении хонинговальной головки вверх и левую при движении вниз. В результате на обработанной поверхности появляется сетка винтовых рисок (см. рис. 280,6), что повышает эксплуатационные свойства обработанной поверхности.  [c.614]


Траектория абразивного зерна относительно обрабатываемой поверхности представляет собой винтовую линию, правую при движении хонинговальной головки вверх и левую при движении вниз. В результате на обработанной поверхности появляется сетка винтовых рисок (см. рис. 411,6), что повышает эксплуатационные свойства обработанной поверхности. Для уменьшения высоты шероховатостей скорости ио и выбирают такими, чтобы после каждого двойного хода брусок попадал в новое положение. Расстояние между последовательными положениями бруска называют перекрытием.[c.790]

Далее будут рассмотрены формообразование и свойства следующих видов поверхностей 1) поверхности вращения 2) развертываемые поверхности 3) винтовые поверхности 4) поверхности с плоскостью параллелизма  [c.67]

Винтовые линии — это закономерные пространственные кривые, все точки которых не находятся в одной плоскости и обладают общим свойством. Винтовые линии могут быть получены на поверхности цилиндра, конуса, шара и любой поверхности вращения. Любая винтовая линия может быть получена как траектория точки, которая одновременно участвует в двух движениях.  [c.9]

В сечении плоскостью >5 эвольвентная поверхность дает эвольвенту круга радиуса г. Чрезвычайно важным и ценным свойством эвольвентной винтовой поверхности явЛяется то, что она является развертывающейся, т. е. может соприкасаться вдоль образующей с плоскостью, конусом и цилиндром.  [c.443]

Процесс обогащения полезных ископаемых на винтовых аппаратах представляет систему взаимосвязанных явлений, протекающих в криволинейном потоке пульпы. Этот поток можно рассматривать как сложное трехмерное движение двух дискретных потоков несущей жидкости (воды) и твердой фазы (руды). В потоке пульпы происходят разрыхление твердой фазы, ее расслоение, перераспределение по ширине желоба на фракции, отличающиеся по физическим свойствам (плотности, крупности). Поэтому при изложении основных закономерностей процесса рассматриваются характер и особенности движения отдельных фаз по винтовой поверхности, роль и влияние потока воды и взаимодействие между потоком и твердой фазой. Дается качественная оценка характера группового и слоевого движения зерен и объясняются основные физические явления, имеющие место в процессе концентрации на винтовой поверхности.  [c.5]

Движение зерен. В процессе движения отдельно взятого зерна следует различать два периода первый — зерно движется с неравномерной скоростью ускоренно пли замедленно второй — зерно обладает постоянной скоростью и перемещается по неизменной винтообразной траектории. В первый период движения зерно стремится занять такое положение в потоке на винтовой поверхности, при котором наступает равновесие всех сил. Продолжительность первого периода может быть различной в зависимости от физических свойств зерна (плотности, крупности, формы и коэффициента трения).  [c.22]

Винтовые линии и поверхности обладают свойство.м сдвигаемое , т е. конгруентные винтовые линии могут, вращаясь, скользить друг по др>ту. Это свойство нашло очень широкое применение в науке и технике.  [c.169]

В машиностроении свыше 60% деталей следует измерять координатными методами. Контроль сложных деталей, таких, как зубчатые колеса, пространственно искривленные поверхности (турбинные лопатки, гребные винты, детали винтовых насосов), проводят координатным методом при использовании ЭВМ. Координатно-измерительная машина (КИМ), основанная на этом методе, отличается универсальностью, экономически оправдана и имеет легкость в обслуживании. Универсальность КИМ делает эти машины незаменимыми средствами измерения на предприятиях с мелкосерийным производством. В крупносерийном и даже массовом производстве это свойство может предопределять области эффективного применения КИМ на участках опытного производства, в измерительных лабораториях, инструментальных цехах, отделах контроля качества.  [c.219]


Укажем на один важный случай развертывающейся поверхности, когда ребром возврата поверхности служит цилиндрическая винтовая линия. Эта поверхность интересна не только своими специальными геометрическими свойствами, но и теми применениями, которые она имеет в технике.  [c.140]

Некоторые свойства и применение винтовой эвольвентной поверхности были рассмотрены в 42.  [c.150]

Винтовой называется поверхность, образованная винтовым движением прямой или кривой линии, т. е. движением, при котором она скользит по винтовой линии. Ценным свойством винтовых поверхностей, определившим их широкое применение в технике, является свойство сдвигаемости. Оно заключается в том, что поверхность, сдвигаясь при вращении вдоль самой себя, не деформируется. Поэтому винтовые поверхности используют в резьбах (крепежных и ходовых), червячных передачах, винтовых транспортерах и др. Наибольшее распространение получили линейч тые винтовые поверхности, называемые геликоидами. ГеликоиД может быть прямым или наклонным.  [c.133]

Винтовые поверхности обладают свойством сдвигаемости. Этим свойством обладают также частные виды винтовых поверхностей — поверхности вращения р = 0) и цилиндры (р =оо). Во всех трех случаях свойство сдвигаемости связано с аналогичным свойством линий каркаса указанных поверхностей винтовых линий, окружностей и прямых.  [c.99]

Свойство сдвигаемости, которое состоит в том, что поверхность вращения может, вращаясь вокруг оси, сдвигаться без деформации вдоль самой себя. Это свойство, которым обладают еще только цилиндрические и винтовые поверхности, связано с аналогичным свойством окружностей, прямых и винтовых линий.  [c.203]

При изменении относительного движения мгновенная ось смещается в новое положение, вследствие чего изменяются угол зацепления, направление линии зуба и кривизна профиля в средней точке. Если мгновенная ось смещена на величину в положение Р[, то изменение угла зацепления А и угла спирали можно определить, учитывая, как выше указано, их малые величины, на основании свойств эвольвентиых винтовых поверхностей, из следующих зависимостей  [c.100]

Архимедова винтовая поверхность не развертывается на плоскость и потому не может обрабатываться плоскостью или какой-либо другой поверхностью. Она может быть обработана только линией (режущей кромкой). Этим свойство.м архимедовой поверхности объясняются, например, следующие факты.  [c.659]

Это свойство позволяет обрабатывать эту поверхность прямолинейной режущей кромкой, а также просто производить контроль правильности архимедовой винтовой поверхности прямой линией в осевом сечении, что обеспечивает достижение точности обработки и контроля.[c.659]

Широкое применение винтовых поверхностей связано с распространенностью винтового движения в технике, а также с замечательной особенностью винтовых поверхностей, состоящей в том, что они обладают свойством сдвигаемости совершая винтовое перемещение, винтовая поверхность может сдвигаться без деформации в направлении движения.  [c.50]

Иная картина наблюдается при наличии в лазерном пучке оптических вихрей. Если такие вихри появились, то на поверхности волнового фронта присутствуют особые точки, которые во многих отношениях аналогичны известным в физике твердого тела дефектам кристаллической решетки – винтовым дислокациям и имеют такое же название. В самой особой точке амплитуда световых колебаний обращается в нуль, а значение фазы не определено. В окрестности ее происходят резкие коллапсирующие фазовые изменения. Из-за наличия такой особенности функция фазового распределения относится к классу сингулярных функций, что и стало причиной появления упомянутого выше термина “сингулярная оптика”. Основное свойство винтовой дислокации (ВД) состоит в том, что при обходе вокруг нее фаза изменяется ровно на 2%. На поверхности волнового фронта может возникать как единичная ВД, так и целая система дислокаций. В зависимости от направления закрутки винта, ВД подразделяются на левые (отрицательные) и правые (положительные). Появление ВД кардинальным образом меняет топологию волнового фронта. Эквифазная поверхность перестает быть многолистной (см. рис. 2.7.1, а), и осуществляется переход к единой поверхности со специфической винтовой структурой. Это иллюстрирует рис. 2.7.1, б, на котором изображен волновой фронт лазерного пучка с ВД, расположенной на оси. Направление распространения световой энергии задается вектором Умова-Пойнтинга, перпендикулярным, как известно, поверхности волнового фронта в каждой точке. Следовательно, в окрестности ВД будет происходить “завихрение” энергетического потока.  [c.124]

Основные элементарные поверхности (цилиндр, плоскость) образуются копированием внутренних эталонов станка направляющих прямолинейного или вращательного движений, шпинделей с точным расположением оси вращения. Размер и расположение этих поверхностей определяются с помощью отсчег-ных устройств, встроенных в станок, или универсальными измерительными свойствами. Винтовые, эвольвентные и иные сложные поверхности образуются с помощью вращательных и поступательных движений. Поверхности одной и той же геометрической формы могут быть обработаны различными способами например, наружная цилиндрическая поверхность может быть получена обтачиванием резцом, 1фуговым фрезерованием, наружньш протягиванием, шлифованием различными методами и т.д. Каждому способу обработки соответствует, как правило, свой тип металлорежущего станка токарный, фрезерный, протяжной, крутаошлифовальный и т.д. и свой вид режущего инструмента резец, фреза, протяжка, шлифовальный круг и т.д.  [c.12]

Область применения одноступенчатых осевых и диагональных насосов—бустерные насосные агрегаты. В ЖРД осевые насосы применяются в качестве предвключенных, устанавливаемых перед центробежным насосом, в частности для этой цели нашел широкое применение шнековый насос. Рабочее колесо шнекового насоса имеет две —три длинные лопатки. Лопатка этого насоса спрофилирована по высоте, как винтовая поверхность. Шнековый насос создает небольшой напор, но может работать при малом давлении на входе —при наличии кавитации. Поэтому шнековые насосы нашли применение в ЖРД в качестве ступеней, улучшающих антикавита-ционные свойства насосов или в качестве бустерных насосов.  [c.17]


По характеру соприкосновения элементов пары разделяются на высшие и низшие. Низшими называются такие пары, у которых требуемое относительное движение звеньев может быть получено постоянным соприкосновением элементов пары по поверхности, например поступательная, вращательная, винтовая, щаровая пары. Низщие пары обладают свойством обратимости движения, т. е. форма траекторий точек звеньев в отно-  [c.16]

Отражательные решетки несравненно более высокого качества были впервые получены в 80-х годах XIX в. американским физиком Роулендом, наносившим штрихи на металлическую плоскую или вогнутую поверхность с помощью винтовой делительной машины. Решетки, изготовленные на машинах Роуленда, в усовершенствовании которых принимали участие Вуд и другие крупные физики, оставгипись лучшими в мире вплоть до 50-х годов нашего столетия. В настоящее время усилиями Ф. М. Герасимова и его сотрудников налажен массовый выпуск превосходных дифракционных решеток и разработаны оригинальные методы их исследования. При характеристике свойств современных решеток мы воспользуемся некоторыми результатами этих исследований.  [c.298]

Круглые винты. Под этим названием разумеют, как известно, кривые, проходящие на поверхности круглого цилиндра таким образом, что пересекают все образующие под постоянным углом. Если развернуть цилнндрическую поверхность на плоскость, то каждая винтовая линия, в силу вышеприведенного ее свойства, непременно расположится по прямой линии. Вследствие этого винтовые линии имеют и другое характеризующее их свойство, заключающееся в том, что дуга винта представляет на цилиндрической поверхности кратчайшее расстояние между двумя ее точками (геодезическая линия поверхности) в самом деле, при развертыванин цилиндрической поверхности длины кривых не изменяются вследствие этого высказанное утверждение вытекает из того факта, что винтовая линия развертывается по прямой.[c.80]

При исследовании пространственного непрерывного движения твердого тела иногда возникает необходимость рассмотрения, наряду с мгновенными винтовыми осями, осей конечного поворота, осуществляющего переход тела из начального положения в конечное на некоторых участках движения. Линейчатые поверхности, являющиеся геометрическим местом таких прямых, названы акса-лами. Здесь будут показаны некоторые их свойства, которые в сущности обобщают свойства так называемых плоских централ, исследованных Д. Н. Зейлигером в его работе [20].  [c.180]

Пространственными называются кривые линии, точки которых не лежат в одной плоскости. Таковы кривые, получающиеся в большинстве случаев при взаимном пересечении кривых поверхностей. Примером пространсгьсииий кривой служит винтовая линия. Если же точки кривой (пространственной или плоской) обладают некоторым общим свойством, кривую называют закономерной или геометрическим местом точек , например эллипс, парабола, цилиндрическая винтовая линия. Кроме того, могут быть кривые случайного вида.  [c.36]

Инструмент из эльбора, обладая исключительно высокой износостойкостью, длительно сохраняет высокие режущие свойства и заданный профиль без правки. Поэтому эльборовый инструмент очень эффективен для обработки прецизионных фасонных поверхностей (резьбовых, винтовых, зубчатых, профильных направляющих и др.), а также малых отверстий, например, прецизионных подшипников, где износ инструмента определяет заданную геометрическую точность.  [c.31]

Заготовка, закрепленная на столе зубодолбежного станка, совершает непрерывное врандательное движение III вокруг своей оси, согласованное с враш ением долбяка—за время поворота долбяка на один зуб заготовка тоже поворачивается на один зуб. Скорость вращения долбяка задается величиной круговой подачи .р. Круговая подача выражается длиной дуги делительной окружности долбяка, на которую он поворачивается за один двойной ход (мм/дв. ход). Величина круговой подачи назначается с учетом свойств обрабатываемого материала, модуля нарезаемого колеса, требуемой шероховатости поверхности и других факторов (обычно от 0,1 до 0,5 мм/дв. ход). Кроме перечисленных движений долбяк совершает движете радиальной подачи IV—это врезание долбяка в заготовку. Чтобы при холостом ходе не было трения долбяка о заготовку, стол с заготовкой несколько отводится от долбяка перед рабочим ходом они занимают исходное положение (на схеме эти движения обозначены V). При нарезании цилиндрических колес с винтовыми зубьями применяются косозубые долбяки. Нарезание зубчатых колес долбяками обеспечивает более высокую точность по сравнению с зубофрезерованием, но значительно уступает ему по производительности (из-за наличия холостого хода). Поэтому зубодолбление целесообразно применять в тех случаях, когда детали нельзя изготовить зубофрезерованием, а именно изготовление блоков зубчатых колес с близким  [c.154]

Электрохимические свойства исследовали при помощи электронного потенциостата, собранного по схеме Хиклинга [13]. Образец сплава для электрохимических исследований имел форму цилиндра, который крепился на стержне из нержавеющей стали, имеющем винтовую нарезку. Стержень помещали в стеклянную трубку прокладка из тефлона между трубкой и испытуемым образцом обеспечивала изоляцию стержня от раствора. Образец хрома был заделан в тефлон и имел поверхность 0,5 см .  [c.98]


Архимедово свойство — обзор

3.2 Полугруппы

Чтобы тщательно изучить это соотношение, мы сначала напомним наиболее важные понятия из теории абстрактных полугрупп (более подробные описания полугрупп см., например, в [8,12,19] ) и общей алгебре [39].

3.2.1 Определение

(i).

Пусть X непустое множество и * бинарная операция над X , т. е. функция * : X 2  →  X .Пара ( X , *) называется полугруппой , если операция * ассоциативна, т. е. для всех x , y , z X имеем ( x ) * z  =  x *( y * z ).

(ii).

полугрупп ( x , *) называется коммутативный или Abelian , если * является коммутативным, то есть, если для всех x , y x У нас x * y  =  y * x .

(iii).

коммутативная полугруппа ( x , *) называется отмена , если для всех x , y , Z X у нас есть Z X * y = x * Z тогда и только тогда, когда y  =  z .

(iv).

Элемент E x называется нейтральный элемент или элемент полугруппы ( x , *) Если для каждого мы x x имеют x * e  =  e * x  =  x .Полугруппа, имеющая нейтральный элемент, также называется моноидом .

(в).

Элемент A x называется annihilator или нулевой элемент полугруппы ( x , *), если для каждого x ∈ X у нас есть x * A = a * x  =  a .

(vi).

Элемент x X называется идемпотентным элементом полугруппы ( X , *), если x * x  =  .

(vii).

Если полугруппа ( X , *) имеет аннулятор a , то элемент x X \ { a } называется ) Если для некоторого n∈ℕ у нас есть x n = A , где, по Конвенции, x 1 = и x N + L = x * x н .

(viii).

Пусть ( X , *) полугруппа и Y непустое подмножество X . Если пара Y,*|Y2 также является полугруппой, то она называется подполугруппой в ( X , *), и часто мы будем писать просто ( Y ,*) вместо Y,*|Y2

Из этого определения нетрудно вывести, что полугруппа ( X , *) может иметь не более одного нейтрального элемента и не более одного аннулятора. .

Чисто алгебраическое понятие полугруппы может быть связано с двумя другими важными структурными моментами, а именно с порядком и с геометрией, т. е. с топологией.

3.2.2 Определение

(i).

Пусть будет частичным или линейным порядком на X . Тройка ( X , *, .) называется частично упорядоченной полугруппой или полностью упорядоченной полугруппой соответственно, если ( X , *) — полугруппа такая, что x * y x * Z и y * x Z * x Когда y Z (I.т. е. операция * — это порядок с сохранением в каждом компоненте).

(ii).

Пусть J топология на X . Тройка X*J называется топологической полугруппой , если ( X , *) полугруппа такая, что * : X 2 X непрерывна относительно J.

(iii) .

Частично или полностью упорядоченная полугруппа ( X , *, ), удовлетворяющая условию ( X .*, J≺_) — топологическая полугруппа (где J≺_ обозначает топологию, индуцированную частичным (линейным) порядком ) называется частично упорядоченной топологической полугруппой или вполне упорядоченной топологической полугруппой соответственно.

Мы будем использовать термин вполне упорядоченная топологическая полугруппа в основном в тех случаях, когда X есть замкнутый подинтервал расширенной вещественной прямой [−∞,∞], снабженный обычным порядком (для которого мы оставляем за собой символ ≤ исключительно) и обычной топологией (заметим, что обычная топология на [−∞,∞] индуцируется обычным порядком ≤).⊑.

Важным свойством вполне упорядоченных полугрупп ( X , *, ) является архимедово свойство. Мы определяем его здесь в духе [12], принимая во внимание, что в нашем контексте нейтральный нейтральный элемент (если он существует) всегда является экстремальным элементом основного множества X .

3.2.3 Определение

Пусть ( X , *, ) — вполне упорядоченная полугруппа.

(и).

Если ( X , *, ) имеет нейтральный элемент e и аннулятор a , то оно называется архимедовым , если для всех 5 ∈ X y 9001 одно из следствий y 9001 Hold:

(A)

Y 2 Y и IFFOR x , Z x и все n∈ℕ у нас есть x n y , то либо x  = e , либо z  =  a .

(b)

y 2 y и если для x . z X и все n∈ℕ имеем x n y для всех n∈ℕ, тогда либо x  = a 9 0 14 = e , либо 9,014 = e или 9.015

(i).

Если ( X , *, ) не имеет нейтрального элемента или аннулятора, то говорят, что архимедов , если существует расширение ( X , *, ) с нейтральным элемент и аннулятор, который является архимедовым.

Многие из стандартных операций в математике, такие как сложение и умножение целых или действительных или комплексных чисел, композиция функций или умножение матриц, являются полугрупповыми операциями (действительно, они порождают гораздо более богатые алгебраические структуры, такие как группы, поля или векторные пространства). Здесь мы приводим несколько довольно необычных примеров полугрупп (утверждаемые свойства легко проверить), которые будут полезны в дальнейшем (см. пример 3.3.2).

3.2.4 Пример

(i).

Если мы определим операцию * на [0.5,1] как x * y  = max( xy ,0.5), то ([0.5,1],*,≤) является коммутативным, полностью упорядоченная топологическая полугруппа с аннулятором 0,5 и нейтральным элементом 1, которая также является архимедовой.

(ii).

Пусть X будет множеством всех строго возрастающих последовательностей ann∈ℕ∈ℕℕ, которые являются собственными подпоследовательностями nn∈ℕ=123…. Определить обратный лексикографический порядок  на X с помощью if и ann∈ℕ≺¯bnn∈ℕ, только если ann∈ℕ=bnn∈ℕ или существует n0∈ℕ с a n

0 > B 0 N 0 и A N = B N для всех N < N 0 .1=ann∈ℕ⋄nn∈ℕ), который содержит ( X , , ), как подполугруппу.

(iii).

Пусть x = ℕ∪0 ×] 0,1] и предположим, что ( м , x ) ( n , y ) Если и только IF2 м х ≤ 2 н г.

Определим операцию * над X с помощью

mx*ny=m+n,x⋅y,

тогда ( X , *, ) является коммутативной, сокращаемой, вполне упорядоченной полугруппой с нейтральной элемент (0,1), который не является архимедовым.≺¯ с аннулятором 0 и нейтральным элементом (0,1), который содержит ( X , *, ) в качестве подполугруппы.

Изоморфизм между двумя (возможно, частично упорядоченными или полностью упорядоченными или топологическими) полугруппами должен, конечно, сохранять алгебраическую структуру и, если применимо, также частичный (линейный) порядок и топологическую структуру.

3.2.5 Определение

(i).

Две полугруппы ( X , *) и ( Y ,⋄) называются изоморфными , если существует биекция φ : X  →  1 5 90 90 Y 900 90 такая, что для всех у X

(3.1)фх*у=фх⋄фу.

(ii).

Две частично или вполне упорядоченные полугруппы ( X , *, ) и ( Y ,⋄,⊑) называются изоморфными , если существует биекция φ: 901 15 10014 X 900 удовлетворяет (3.1) и также сохраняет порядок , т. е. для всех x , y X

φx⊑φy, когда x≼y.

(iii).

Две топологические полугруппы X*J1 и Y⋄J2 называются изоморфными , если существует гомеоморфизм φ: X Y (т. т. е. такую ​​биекцию, что обе функции φ и φ − 1 непрерывны), которая удовлетворяет (3.1).

(iv).

Две частично или полностью упорядоченные топологические полугруппы ( X , *, ), ( Y ,⋄,⊑) называются изоморфными , если существует гомеоморфизм φ 0 → 1 0 1 Y , сохраняющее порядок и удовлетворяющее (3.1).

Поскольку в основном мы будем иметь дело с полугруппами, определенными на (замкнутых) подинтервалах расширенной вещественной прямой [−∞, ∞], отметим, что в этом контексте функции, сохраняющие порядок, являются просто неубывающими функциями, а биекции, сохраняющие порядок, обязательно непрерывные строго возрастающие функции.Чтобы подчеркнуть строгую монотонность в последнем случае, мы обычно, несмотря на избыточность этого понятия, будем говорить о строго возрастающих биекциях, а не о биекциях, сохраняющих порядок. Точно так же биекции, меняющие порядок между двумя реальными интервалами, будут называться строго убывающими биекциями. В случае двух изоморфных полугрупп ( X , *) и ( X , ⋄) мы будем иногда просто говорить (если не получится путаницы), что сами операции * и ⋄ изоморфны.

Очевидно, если φ: X Y является изоморфизмом между полугруппами ( X , *) и ( Y . ⋄) и если e и a и a аннулятор ( X , *) соответственно, то φ( e ) и φ( a ) являются нейтральным элементом и аннулятором ( X , *) соответственно. Кроме того, если x является идемпотентным или нильпотентным элементом ( X , *), то φ( x ) является идемпотентным или нильпотентным элементом ( Y ,⋄) соответственно.

Свойство Архимеда – Бесконечность действительно велика

Аксиома полноты является достаточным условием для доказательства архимедова свойства, но необходимо ли это?

Справка по изучению реального анализа для малыша Рудина, часть 1. 5

Свойство Архимеда — это название факта, который позволяет нам быть уверенными, что мы можем найти такое натуральное число

. Но что такое свойство Архимеда? Что в нем говорится? Это теорема или аксиома?

Ответ на этот последний вопрос в некотором роде дело вкуса, но традиционно принято рассматривать архимедово свойство как теорему.

В этой пятой статье, посвященной изучению реального анализа для Малыша Рудина, мы рассмотрим свойство Архимеда, уделив особое внимание тому, как его можно доказать, используя свойство полноты действительных чисел. Нам также потребуется просмотреть определение упорядоченного поля. Попутно у нас будет возможность рассмотреть примеры расширений полей.

Свойство Архимеда и его доказательство можно найти на странице 9 третьего издания Малыша Рудина.

Упорядоченные поля и аксиома полноты

Кратчайший способ описать набор действительных чисел

— это сказать, что это полное упорядоченное поле. На самом деле, «с точностью до изоморфизма», это единственное полное упорядоченное поле . Любое другое полное упорядоченное поле должно быть по существу «таким же», как . Это другое поле может быть математически сконструировано иначе, но оно «действует» так же, как .

Но что все это значит?

Поля и упорядоченные поля

В двух словах, поле — это алгебраическая структура с двумя бинарными операциями (обычно некоторая форма сложения и умножения), которая настолько «красива», насколько это возможно .Он удовлетворяет всем стандартным свойствам, на которые мы могли надеяться: замкнутость, ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность. Вдобавок (каламбур) существует аддитивная идентичность («ноль») и аддитивные инверсии для всех элементов. Существует также мультипликативная идентичность («единица») и мультипликативные инверсии для всех ненулевых элементов.

Упорядоченное поле — это поле, которое является не только полностью упорядоченным набором, но и обладает свойством «совместимости» порядка с полевыми операциями (см. Учебная помощь для Малыша Рудина, часть 1.2 , «Определения упорядоченного набора и упорядоченного поля»). В частности, любое неравенство сохраняется при добавлении:

. Кроме того, произведение любых двух положительных элементов также положительно: .
Упорядоченное поле рациональных чисел

Множество рациональных чисел

образует поле при обычном сложении и умножении дробей. Другими словами, это поле, когда мы определяем и .

Рациональное число

становится упорядоченным полем , когда мы определяем его как истинное тогда и только тогда, когда В свою очередь, это верно тогда и только тогда, когда и имеют один и тот же знак (они либо оба положительны, либо оба отрицательны).В качестве альтернативы, если без ограничения общности мы выбираем и , мы можем определить, что оно истинно тогда и только тогда, когда (подумайте об этом с точки зрения перекрестного умножения, когда неравенство остается в том же направлении).
Упорядоченное поле рациональных чисел примыкает к квадратному корню из двух

Как обсуждалось в Study Help for Baby Rudin, Part 1. 2 , «Определения упорядоченного множества и упорядоченного поля», множество

также является упорядоченным полем. Это, конечно, поле. Обратите внимание, в частности, что если либо или , то мы можем вычислить .По факту, . Это может быть вычислено, потому что так как с или или , и так как . (Однако будьте уверены, что это существует.)

Как мы также видели в части 1.2, ссылка на которую приведена в абзаце выше, на самом деле существует два различных (неизоморфных) порядка, которые делают

упорядоченным полем. Здесь мы не будем вдаваться в подробности. Достаточно сказать, что с этого момента мы будем считать, что имеет свой «стандартный» порядок. Это порядок, который он наследует как подполе упорядоченного поля действительных чисел.
Упорядоченное поле действительных чисел

Но возникает вопрос. Как определить порядок, чтобы сделать его упорядоченным полем?

Это пункт, в котором Бэби Рудин, за исключением приложения к Главе 1, по существу использует аксиоматический подход. На самом деле, это делается в большинстве учебников по реальному анализу.

Другими словами, мы не описываем, как определить порядок

, который делает его упорядоченным полем. Мы также не доказываем, что это упорядоченное поле. Вместо этого мы просто предполагаем, что это упорядоченное поле и работаем оттуда.

Это может показаться «мошенничеством», но с чего-то надо начинать. Это, конечно, большая экономия времени.

Интуитивно лучший способ описать порядок на

— это рассмотреть примеры, использующие десятичные представления действительных чисел. Например, мы говорим, что, поскольку первое действительное число имеет меньшую цифру на 7-м месте после запятой, чем второе действительное число (несмотря на то, что мы не знаем, какие цифры стоят на 9-м месте после запятой и далее).

Но это всего лишь интуиция, которая доверяет своему прошлому образованию. Мы не тратим время на то, чтобы сделать это полностью точным.

Аксиома полноты действительных чисел

Технически, свойство полноты (также известное как свойство наименьшей верхней границы) действительных чисел доказано в книге Малыша Рудина, хотя оно находится в приложении к главе 1. В приложении концепция разреза Дедекинда используется для математического построения действительных чисел. чисел и докажите, что это полное упорядоченное поле.

Мы можем потратить или не потратить время на изучение приложения в будущих статьях. Но на данный момент это не имеет значения. По существу, мы придерживаемся аксиоматической точки зрения в отношении полноты, т. е. будем считать ее аксиомой, которая считается истинной для

.
Наименьшая верхняя граница (верхняя граница) и полнота

Сначала мы рассмотрим пару фоновых определений.

Вспомните следующее определение из Study Help for Baby Rudin, Part 1.3 , «Наименьшая верхняя граница (верхняя грань) в упорядоченном наборе». Если

является упорядоченным множеством и является непустым подмножеством, ограниченным сверху, то супремум (наименьшая верхняя граница) для if: (i) и (ii) если , то не является верхней границей для . В этом случае мы пишем .

Тогда говорят, что упорядоченное множество

имеет свойство наименьшей верхней границы (также известное как «полное»), если каждое непустое подмножество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань в .

Как показано в основном примере Учебная помощь для Малыша Рудина, часть 1.1 , «Малыш Рудин: Позвольте мне помочь вам понять это!», поле рациональных чисел

обладает свойством наименьшей верхней границы , а не (не является полным).

Итак, вот Аксиома Полноты (обозначенная как Теорема 1.19 на странице 8 3-го издания Малыша Рудина и доказанная в Приложении к Главе 1).

Аксиома полноты: Существует упорядоченное поле

(действительные числа), обладающее свойством наименьшей верхней границы. Более того, содержит (рациональные числа) как подполе.

Как сказано в «Малышке Рудине», второе предложение означает

с теми же полевыми операциями (которые соответствуют полевым операциям над описанными выше с точки зрения отношений целых чисел). Кроме того, положительные рациональные числа также являются положительными действительными числами.

Аксиома полноты и свойство Архимеда

Что теперь говорит Свойство Архимеда? И как это можно доказать с помощью аксиомы полноты? Вот как это формулируется в части (а) теоремы 1. 20 в Малышке Рудине.

Архимедово свойство : Если

и , то существует положительное целое такое, что .

Конечно, это тривиально верно, если

. В случае, когда это можно визуализировать, как показано на анимации ниже с и . Наименьшее положительное целое значение, которое составляет . Визуализация архимедова свойства в случае, когда и . Наименьшее положительное целое значение, которое составляет .

Визуально истинность свойства Архимеда кажется очевидной. С какой стати аксиома Полноты нужна для доказательства?

Доказательство свойства Архимеда у Малыша Рудина

Прежде чем обсуждать этот вопрос, давайте поработаем над доказательством в Малыше Рудине.

Доказательство от противного и довольно короткое. Для вашего удобства я добавлю больше поясняющих деталей, чем содержится в «отшлифованном» доказательстве Рудина.

Доказательство архимедова свойства действительных чисел:

Предположим противное, что

. Позволять . Тогда из нашего предположения следует, что оно ограничено сверху.

Здесь мы используем свойство полноты

. Поскольку и удовлетворяет свойству наименьшей верхней границы, существует в

Поскольку мы предполагаем, что

, мы можем сказать, что это не является верхней границей (поскольку является наименьшей верхней границей ). Но что это значит? Это значит что так то и .

Последнее неравенство эквивалентно

. Но . Это, в свою очередь, означает, что .

Но это противоречие! Два только что сделанных вывода, что

и , подразумевают, что не является верхней границей . Но это означает, что равно верхней границе .

Это логическое противоречие означает наше исходное предположение, что

должно быть ложным. Следовательно, существует такое, что .

К.Э.Д.

Упорядоченное поле рациональных чисел удовлетворяет архимедову свойству

Таким образом, в приведенном выше доказательстве явно использовалась аксиома полноты. Но опять же, зачем это нужно? Ведь заказанные поля

и не заполнены. Но, безусловно, для них справедливо архимедово свойство хотя бы по той причине, что они являются подполями поля . Разве мы не можем каким-то другим способом доказать архимедово свойство для этих упорядоченных полей?

И снова вопрос стиля (или «вкуса»). Другими словами, то, что мы можем доказать, зависит от выбранного нами подхода. Это зависит от наших аксиом и определений.

Как и выше, мы определяем

как набор отношений целых чисел (или, точнее, набор классов эквивалентности таких отношений) и определяем символ «меньше» также, как это было сделано выше.

В качестве «новой» аксиомы мы также предполагаем, что множество натуральных чисел

не ограничено сверху. Это можно было бы доказать как теорему, а не сформулировать как аксиому, если бы мы нашли время, чтобы подойти к этому с использованием аксиоматической теории множеств (например, теории множеств Цермело-Френкеля). Но мы этого делать не будем.

Теперь мы можем сформулировать и доказать архимедово свойство рациональных чисел без ссылки на действительные числа.

Архимедово свойство : Если

и , то существует положительное целое такое, что .
Доказательство архимедова свойства рациональных чисел:

Если

, берите . Теперь предположим. Тогда мы можем написать и с .

По нашему предположению, что

не ограничено сверху, мы можем выбрать такое, что .Потом .

К.Э.Д.

В качестве упражнения вы можете попробовать доказать, не обращаясь к действительным числам, что

удовлетворяет свойству Архимеда. Вы можете использовать тот факт, что делает.

Один из уроков здесь заключается в том, что каким бы способом математические факты ни доказывались, нам нужно начинать с предположений, то есть с аксиом. Опять же, это может показаться «обманом», но это единственный способ начать работу.

Неархимедовы упорядоченные поля

Прежде чем рассматривать следствия свойства Архимеда (многие из которых ему эквивалентны), давайте рассмотрим, существуют ли какие-либо упорядоченные поля, удовлетворяющие свойству Архимеда , а не . Чтобы быть немного более точным, мы могли бы задаться вопросом, существует ли одно или несколько упорядоченных расширений поля

, в которых удовлетворяется архимедово свойство , а не . То есть это неархимедовы упорядоченные поля.

Мы могли бы также задаться вопросом, обязательно ли такие расширения поля

должны быть также расширениями поля (конечно, они могут быть , а не подполями ).

Давайте к делу. Вот ответы. Да , существует (бесконечно) множество расширений поля

, которые не являются архимедовыми.А нет , они не обязательно должны быть расширениями полей (хотя такие примеры есть).

Поля рациональных функций

Чтобы рассмотреть эти примеры, начнем с общей конструкции.

Кольцо многочленов с коэффициентами из поля

Пусть

представляет произвольное поле. В этом контексте символ представляет так называемое кольцо многочленов с коэффициентами в . Например, если , то , но (где ).

Такие многочлены можно складывать и умножать обычным способом. Кроме того, когда коэффициенты берутся из поля, произведение двух ненулевых многочленов никак не может быть нулевым многочленом. В этом случае также говорят, что кольцо

является доменом целостности.

Однако обратите внимание, что

— это , а не поле. На самом деле, любой непостоянный полином (такой как ) не будет иметь мультипликативного обратного в (обратите внимание, что поскольку это не полином).
Поле F естественным образом вкладывается в кольцо F[x]

Заметим также (и это очень важно ), что любой постоянный многочлен (с одним «членом» и без «переменных») в

может рассматриваться как элемент , даже если мы изначально думаем о нем как многочлен.

Точнее, существует «естественное» отображение

, которое отображает элемент в постоянный полином . Это отображение является изоморфизмом на его образ, который «вкладывается» в «большее» множество .

Таким образом, мы можем эффективно «притворяться», что

, и даже (или, если хотите, ), даже если вместо этого «реальность» такова.
Если F — упорядоченное поле, то F[x] — упорядоченное кольцо

На самом деле, если

— упорядоченное поле, то упорядоченное кольцо. Определить полином как положительный (написанный ) тогда и только тогда, когда его старший коэффициент (коэффициент высшей степени) положителен в .Обратите внимание, что это означает, что , а не , «выходные данные» , когда значения из заменяются на , будут положительными в .

Затем, если

, определите, что оно больше (записано ) тогда и только тогда, когда . Тогда это определение порядка согласуется с порядком, определенным на .

Например, в

, если и , то , , и так как имеет положительный старший коэффициент. С другой стороны, если , то так как .
Построение поля рациональных функций

Пусть

— упорядоченное поле.Учитывая любые два ненулевых многочлена, где ненулевое, мы можем сформировать отношение . Оказывается, мы можем считать, не ограничивая общности, что эта дробь была приведена к младшим членам (путем сокращения любых общих множителей) и что старший коэффициент положителен (если это не так, умножьте верхний и нижний на ).

Такое отношение полиномов часто называют рациональной функцией, хотя мы делаем акцент на его алгебраическом характере, а не на его графике или каком-либо другом понятии, относящемся к функциям.

На самом деле множество всех таких рациональных функций можно превратить в упорядоченное поле. Это упорядоченное поле обозначается

, когда коэффициенты являются элементами упорядоченного поля (не путайте , а не с обозначением функции). И, как и в случае с кольцом полиномов , существует естественное вложение (которое является изоморфизмом упорядоченного поля) в (как и в ). Это вложение отображает элемент в рациональную функцию.

В конце концов, мы можем «притвориться», что

.(Математики относятся к этому «притворству» серьезно — это не шутка. )

Здесь мы только что описали частный случай более общей конструкции: поле частных, построенное из произвольной области целостности.

Определение порядка на

Как определяется порядок на

? Мы можем быть положительными тогда и только тогда, когда старший коэффициент полинома положителен (напомним, что мы предполагаем, что старший коэффициент положителен).Тогда мы можем сказать, если и только если , где вычитание выполняется путем получения общего знаменателя, упрощения и обеспечения конечного результата в стандартной форме, которую мы предполагали в начале.
Упорядоченное поле неархимедово

Мы утверждаем, что упорядоченное поле

не удовлетворяет свойству Архимеда; и мы говорим, что оно неархимедово.

Чтобы показать это, мы докажем, что никакое положительное целое число, кратное

, никогда не будет больше постоянной рациональной функции .В этом легко убедиться, проведя краткий расчет с использованием приведенных выше определений: для любого . Поэтому для всех . Вот оно! Это доказывает, что оно неархимедово.

Из-за этого мы иногда говорим, что

является «бесконечно малым» по сравнению с (см. https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedean_property#Non-Archimedean_ordered_field).

Наряду со связанным примером из Study Help for Baby Rudin, Part 1.2 , «Definitions of Ordered Set and Ordered Field», большая часть этого содержания также может быть найдена в книге «Контрпримеры в анализе» Гелбаума и Олмстеда.

Альтернативные (эквивалентные) версии свойства Архимеда

Следующая теорема представляет архимедово свойство числа

в четырех различных, но эквивалентных формах.

Теорема: Следующие утверждения эквивалентны (TFAE) и все они верны.

  1. Если и , то существует положительное целое такое, что .
  2. Множество натуральных чисел не ограничено сверху.
  3. Для каждого существует такое, что .И существует также такое, что . (Когда , то . А когда , то .)
  4. Для каждого с существует такое, что (см. начало статьи).

Доказательство эквивалентности этих утверждений — хорошее упражнение. Вы должны убедиться, что вы делаете это! Для этого докажите, что из (1) следует (2), из (2) следует (3), из (3) следует (4) и из (4) следует (1).

Я обсуждаю эти свойства без доказательства в следующей лекции.

Введение в реальный анализ, Лекция 5: Безумные функции, Архимедово свойство R, Теорема Кантора, Последовательности

Следствие архимедова свойства: плотность в

Вероятно, правильно будет сказать ( без доказательства — LOL!), что свойство Архимеда имеет бесконечно много применений . Один из самых непосредственных, но также довольно значимых в реальном анализе, подразумевает, что множество рациональных чисел «плотно» в множестве действительных чисел. Между любыми двумя различными действительными числами можно найти хотя бы одно рациональное число. (На самом деле, бесконечно много рациональных чисел.) Это часть (b) теоремы 1.20 на странице 9 третьего издания Малыша Рудина.

Теорема (Плотность рациональных чисел в вещественных числах): Если

, то такое, что

Доказательство этого немного сложно и является для вас достойным упражнением.Его также можно найти у Малыша Рудина, если у вас возникнут проблемы. Я дам вам подсказку, что вам нужно будет применить свойство Архимеда более одного раза, чтобы доказать это.

Также оказывается, что множество иррациональных чисел

также плотно. Между любыми двумя различными действительными числами существует хотя бы одно иррациональное число. (На самом деле бесконечно много иррациональных чисел. )

Однако, несмотря на то, что оба

и оба являются бесконечными множествами, которые оба плотны в , неожиданно оказывается, что это «больше, чем» .

Что означает «больше чем», когда речь идет об относительном «размере» двух бесконечных множеств? Это может означать несколько разных вещей. Наибольший интерес для нас на первых этапах изучения реального анализа представляет понятие «величина», присущее понятию так называемой мощности множества. Гораздо позже мы также рассмотрим эту идею относительного размера с точки зрения так называемой меры множества.

Недвижимость Архимеда | eMathZone

Недвижимость Архимеда

Теорема : Если $$x > 0$$, то для любого $$y \in \mathbb{R}$$ существуют $$n \in \mathbb{N}$$ такие, что $$nx > у$$.

Доказательство : Когда $$y \leqslant 0$$, теорема очевидна. Пусть для $$y > 0$$ теорема неверна, так что $$nx \leqslant y{\text{ }}\forall n \in \mathbb{N}$$. Таким образом, $$S = \left\{ {nx:n \in \mathbb{N}} \right\}$$ — непустое множество, ограниченное сверху (для $$nx \leqslant y$$ ). Следовательно, по аксиоме полноты $$S$$ имеет супремум. Пусть $$\alpha = \sup S$$. Тогда $$nx \leqslant \alpha {\text{}}\forall n \in\mathbb{N} \Rightarrow \left( {n + 1} \right)x \leqslant \alpha {\text{}}\forall n \in \mathbb{N}$$ $$ \Rightarrow nx \leqslant \alpha – x{\text{ }}\forall n \in \mathbb{N}$$.Таким образом, $$\alpha – x$$ также является верхней границей $$S$$. Но $$\alpha – x ​​< \alpha $$. Это противоречит тому, что $$\alpha = \sup S$$. Следовательно, предположение $$nx \leqslant y{\text{ }}\forall n \in \mathbb{N}$$ неверно, а значит, утверждение теоремы верно.

Следствие 1: Для любого $$x \in \mathbb{R}{\text{ }}\существует {\text{ }}n \in \mathbb{N}$$ такое, что $$n > х$$.
Это следует из теоремы о замене $$y$$ на $$x$$ и взятии $$1$$ вместо $$x$$.+ }$$ существуют $$n \in \mathbb{N}$$ такие, что $$x > 1/n$$.

Следствие 4: Для любого $$x \in \mathbb{R}$$ существуют $$n,m \in \mathbb{Z}$$ такие, что $$n > x > m$$.

Следствие 5: Для любого $$x \in \mathbb{R}$$ существует единственный $$n \in \mathbb{Z}$$ такой, что $$n + 1 > x \geqslant n$ $.

Доказательство : По аксиоме полноты ограниченное сверху множество $$\left\{ {m:m < x \wedge m \in \mathbb{Z}} \right\}$$ имеет супрему, скажем $$n,n \in \mathbb{Z}$$.Таким образом, $$x \geqslant n \wedge n + 1 > x$$, т. е. $$n + 1 > x \geqslant n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$. Так как $$n$$ является супремой и, следовательно, единственной.

Приведенное выше целое число $$n$$ обычно обозначается $$\left[ x \right]$$ и называется целой частью числа $$x$$.

Следствие 6: Для любого $$x \in \mathbb{R}$$ существует единственный $$n \in \mathbb{N}$$ такой, что $$x \geqslant n > x – 1$ $. 2} – n \]

я.е.

\[\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} > x \geqslant \frac{{n\left( {n – 1} \right)}}{2}\ ]

Приведенный выше пример показывает, что каждое натуральное число $$n$$ может быть однозначно выражено как $$n = \frac{{i\left( {i – 1} \right)}}{2} + j$$, для уникальный $$i,j \in \mathbb{N} \wedge 1 \leqslant j \leqslant i$$.

Такое уникальное представление натуральных членов иногда очень полезно при исследовании перечислимости некоторых множеств.

Архимедово свойство: новые горизонты и перспективы

  • 1.

    Альяно, П., Монтанья, Ф.: Многообразия BL-алгебр I: общие свойства. J. Pure Appl. Алгебра 181 (2–3), 105–129 (2003)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 2.

    Андерсон, М., Фейл, Т.: Решетчатые упорядоченные группы: введение. Рейдель, Дордрехт (1988)

    Книга Google Scholar

  • 3.

    Бахлс П., Коул Дж., Галатос Н., Джипсен П., Цинакис, К.: Сократительные решетки с вычетами. Алгебра Универс. 50 (1), 83–106 (2003)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 4.

    Блаунт К., Тсинакис К. Структура остаточных решеток. Междунар. Дж. Алгебра. 13 (4), 437–461 (2003)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 5.

    Ботур, М., Кюр, Дж., Лю, Л., Цинакис, К.: Программа Конрада: от \(\ell\)-групп к алгебрам логики. J. Алгебра 450 , 173–203 (2016)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 6.

    Ботур, М., Кюр, Дж., Тсинакис, К.: Строгая простота и состояния в упорядоченных алгебрах: расширение границ (в процессе подготовки)

  • 7.

    Чиньоли, Р., Д’Оттавиано, И.М.Л., Мундичи, Д.: Алгебраические основы многозначных рассуждений. Клувер, Дордрехт (1999)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 8.

    Ciungu, LC: Классы решеток с вычетами. Аня. ун-т Крайова Мат. Комп. науч. сер. 33 , 189–207 (2006)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 9.

    Конрад, П.: Структура упорядоченной группы с конечным числом непересекающихся элементов. Мичиган Математика. J. 7 , 171–180 (1960)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 10.

    Конрад, П.: Некоторые структурные теоремы для групп, упорядоченных по решетке. Транс. Являюсь. Мат. соц. 99 , 212–240 (1961)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 11.

    Конрад, П.: Решетка всех выпуклых \(\ell\)-подгрупп решеточно упорядоченной группы. Чехослов. Мат. J. 15 , 101–123 (1965)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 12.

    Конрад, П.: Lex-подгруппы решеточно-упорядоченных групп. Чехослов. Мат. J. 18 , 86–103 (1968)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 13.

    Дарнел, М.: Теория решетчато-упорядоченных групп. Деккер, Нью-Йорк (1995)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 14.

    Дилворт, Р.П.: Некоммутативные решетки с вычетами. Транс. Являюсь. Математика соц. 46 (3), 426–444 (1939)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 15.

    Двуреченский А.: О псевдо-MV-алгебрах. Мягкий компьютер. 5 , 347–354 (2001)

    Статья Google Scholar

  • 16.

    Двуреченский А.: Псевдо-MV-алгебры — это интервалы в \(\ell\)-группах. Дж. Ост. Мат. соц. 72 , 427–445 (2002)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 17.

    Двуреченский, А.: Разложение типа Альяно–Монтаньи линейных псевдообручей и его приложения.J. Pure Appl. Алгебра 221 (3), 851–861 (2007)

    Статья Google Scholar

  • 18.

    Двуреченский А., Ковальски Т.: Мультипотентные GBL-алгебры. Алгебра Универс. 64 (1), 25–38 (2010)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 19.

    Двуреченский А., Пулманнова С.: Новые тенденции в квантовых структурах. Клювер, Дордрехт (2000)

    Книга Google Scholar

  • 20.

    Фонт, Дж. М., Родригес, А. Дж., Торренс, А.: Алгебры Вайсберга. Стохастика 8 , 5–31 (1984)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 21.

    Фукс, Л.: Частично упорядоченные алгебраические системы. Pergamon Press, Оксфорд (1963)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 22.

    Галатос, Н., Джипсен, П., Ковальски, Т., Оно, Х.: Остаточные решетки: алгебраический взгляд на субструктурную логику, исследования в области логики и основы математики.Эльзевир, Амстердам (2007)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 23.

    Галатос, Н., Цинакис, К.: Обобщенные MV-алгебры. J. Алгебра 283 , 254–291 (2005)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 24.

    Джорджеску, Г., Леуштян, Л., Преотеаса, В.: Псевдообручи. Дж. Мульт. Ценный журнал. Мягкий компьютер. 11 , 153–184 (2005)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 25.

    Жиль Ферес, Дж., Ледда, А., Паоли, Ф., Тсинакис, К.: Проектируемые \(\ell\)-группы и алгебры логики: категориальные и алгебраические связи. J. Pure Appl. Алгебра 220 (10), 3345–3572 (2016)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 26.

    Гил Ферес, Дж., Ледда, А., Тсинакис, К.: Оболочки упорядоченных алгебр: проектируемость, сильная проектируемость и латеральная полнота. J. Алгебра 483 , 429–474 (2017)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 27.

    Гёльдер, О.: Die Axiome der Quantität und die Lehre vom Mass. Leipziger Berichte 53 (1), 1–64 (1901). (немецкий)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 28.

    Holland, WC: Наибольшее правильное разнообразие групп, упорядоченных на решетке. проц. Являюсь. Мат. соц. 57 (1), 25–28 (1976)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 29.

    Джипсен П., Тсинакис К.: Обзор остаточных решеток. В: Мартинес, Дж. (ред.) Упорядоченные алгебраические структуры, стр. 19–56. Клювер, Дордрехт (2002)

    Глава Google Scholar

  • 30.

    Jónsson, B., Tsinakis, C.: Произведения классов остаточных структур. Студия Логика 77 , 267–292 (2004)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 31.

    Kühr, J.: Обобщения псевдоMV-алгебр и обобщенных алгебр псевдоэффектов.Чехослов. Мат. J. 58 (2), 395–415 (2008)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 32.

    Ледда, А., Паоли, Ф., Цинакис, К.: Теоретико-решеточные свойства алгебр логики. J. Pure Appl. Алгебра 218 , 1932–1952 (2014)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 33.

    Мартинес, Дж.: Архимедовы решетки. Алгебра Универс. 3 , 247–260 (1973)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 34.

    Меткалф Г., Паоли Ф., Тсинакис Т.: Упорядоченные алгебры и логика. В: Хосни, Х., Монтанья, Ф. (ред.) Неопределенность и рациональность, том. 10, стр. 1–85. Публикации Scuola Normale Superiore, Пиза (2010)

    МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 35.

    Мостерт, П.С., Шилдс, А.Л.: О строении полугрупп на компактном многообразии с краем. Аня. Мат. 65 , 117–143 (1957)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 36.

    Мундичи, Д.: Интерпретации алгебр AF C* в исчислении высказываний Лукасевича. Дж. Функц. Анальный. 65 , 15–63 (1986)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 37.

    Оно, Х.: Логика без правил сокращения и остаточных решеток I, машинопись (2001)

  • 38.

    Паоли, Ф.: Субструктурные логики: Букварь. Клювер, Дордрехт (2002)

    Книга Google Scholar

  • 39.

    Рахунек, Дж.: Радикалы в некоммутативных обобщениях MV-алгебр. Мат. Словака 52 , 135–144 (2002)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 40.

    Turunen, E.: Гиперархимедовы BL-алгебры являются MV-алгебрами. Мат. Бревно. Q. 53 (2), 170–175 (2007)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • 41.

    Вольфенштейн, С.: Нормальные оценки в сети групп, Atti Accademia Nazionale dei Lincei. Ренд. Кл. науч. Фис. Мат. Натур. 8 (44), 337–342 (1968)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

  • 42.

    Янг В.: Многообразия, порожденные унитальными абелевыми \(\ell\)-группами. J. Pure Appl. Алгебра 219 (1), 161–169 (2015)

    MathSciNet Статья Google Scholar

  • архимедово свойство в предложении

    SentencesMobile
    • Архимедово свойство связано с понятием кофинальности.
    • Свойство Архимеда ставит его на несколько более прочную основу.
    • Но полнота Коши и свойство Архимеда, вместе взятые, эквивалентны остальным.
    • Из аксиомы 4 следует свойство Архимеда.
    • Они также дают пример «неархимедова поля» (см. Архимедово свойство).
    • Вместо непрерывности можно принять альтернативную аксиому, которая не включает точное равенство, называемую архимедовым свойством.
    • :Еще одно замечание: последний шаг, описанный выше, имеет тенденцию использовать так называемое архимедово свойство действительных чисел.
    • Кроме того, свойство Архимеда, заявленное в определении 4 книги Евклида V, изначально принадлежит не Архимеду, а Евдоксу.
    • Это исключается архимедовым свойством действительных чисел. talk ) 01 : 22, 27 декабря 2013 г. (UTC)
    • Некоторые доказательства того, что 0,999 & = 1, основаны на архимедовом свойстве действительных чисел: не существует ненулевых бесконечно малых.
    • Трудно увидеть архимедово свойство в предложении.
    • Теорема Ао [ не применима к архимедову свойству, потому что архимедово свойство не может быть сформулировано в логике первого порядка.
    • Теорема Ао [ не применима к архимедову свойству, потому что архимедово свойство не может быть сформулировано в логике первого порядка.
    • Причина в том, что эти числа известны (по теореме) как иррациональные, а действительная система счисления удовлетворяет архимедову свойству.
    • На самом деле архимедово свойство ложно для гипердействительных чисел, как показано построением гипердействительного числа “?” выше.
    • :: : К сожалению, чтобы прочитать об архимедовом свойстве, нужно пройти по ссылке.talk ) 17 : 19, 27 декабря 2013 (UTC)
    • Последний шаг, что?! 0 как “н”?! “, часто оправдывается архимедовым свойством действительных чисел.
    • Если мы допустим больше параметров, например, все действительные числа, мы можем указать тип \ { 0, который реализуется бесконечно малым гипердействительным числом, нарушающим архимедово свойство.
    • Критически важным свойством действительных чисел является то, что это архимедово поле, то есть оно обладает архимедовым свойством, согласно которому для любого действительного числа существует целое число, большее его по абсолютной величине.
    • Есть два смысла, в которых может использоваться этот термин, относящийся к геометриям над полями, которые нарушают один из двух смыслов архимедова свойства (т. е. относительно порядка или величины).
    • Супердедекиндова полнота подразумевает дедекиндовую полноту; Полнота по Дедекинду подразумевает как полноту по Дедекинду, так и свойство проекции; И дедекиндова ?-полнота, и свойство проекции по отдельности влекут за собой главное свойство проекции; а свойство главной проекции влечет свойство Архимеда.
    • Другие предложения:  1  2

    Как вы доказываете свойство Архимеда?

    Как доказать свойство Архимеда?

    Определение Упорядоченное поле F обладает архимедовым свойством, если для любых положительных x и y в F существует целое число n > 0, так что nx > y. Теорема. Множество действительных чисел (упорядоченное поле со свойством наименьшей верхней границы) обладает архимедовым свойством. Это доказательство, которое я представил в классе.

    Что такое свойство полноты действительных чисел?

    Свойство полноты действительных чисел: Каждое непустое подмножество действительных чисел, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань в . Свойство полноты также часто называют «свойством наименьшей верхней границы». Приведенное выше свойство полноты является ключевой аксиомой.

    Полные ли рациональные числа?

    Пространство Q рациональных чисел со стандартной метрикой, заданной абсолютным значением разности, не является полным.Рассмотрим, например, последовательность, определяемую x1 = 1 и. Открытый интервал (0,1), опять же с метрикой абсолютного значения, также не является полным.

    Полны ли действительные числа?

    Аксиома Полноты: Действительные числа полны. Теорема 1-14. Если существуют наименьшая верхняя граница и наибольшая нижняя граница множества действительных чисел, то они уникальны. Обратите внимание: в предыдущем разделе мы определили мощности, когда показатель степени был рациональным: теперь мы расширим это определение, включив в него иррациональные мощности.

    Почему действительные числа должны быть полными?

    Аксиома полноты действительных чисел утверждает, что любое ограниченное сверху подмножество действительных чисел имеет верхнюю грань. Легко видеть, что у него есть верхняя граница, но, как сказано в статье в Википедии, у него нет супремума, поскольку для любого заданного числа в наборе можно найти другое число, большее, чем это в наборе.

    Какое число не является действительным?

    Мнимые числа — это числа, которые невозможно измерить, например, квадратный корень из -1.Число, обозначаемое как i, можно использовать в уравнениях и формулах, но оно не является действительным числом, которое можно использовать в базовой арифметике. Вы не можете складывать или подвергать мнимые числа. Другим примером мнимого числа является бесконечность.

    Является ли 0 действительным числом?

    Что такое реальные числа? Редактировать. Действительные числа состоят из нуля (0), положительных и отрицательных целых чисел (-3, -1, 2, 4) и всех дробных и десятичных значений между ними (0,4, 3,1415927, 1/2). Действительные числа делятся на рациональные и иррациональные числа.

    Является ли 3 действительным числом?

    К действительным числам относятся натуральные числа или счетные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа (дроби и повторяющиеся или заканчивающиеся десятичные дроби) и иррациональные числа. Множество действительных чисел — это все числа, которые расположены на числовой прямой. Целые числа …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

    Является ли 6 действительным числом?

    Это набор всех счетных чисел, таких как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ……. Действительные числа — это числа, в состав которых входят как рациональные, так и иррациональные числа.Рациональные числа, такие как целые числа (-2, 0, 1), дроби (1/2, 2,5) и иррациональные числа, такие как √3, π(22/7) и т. д., являются действительными числами.

    Является ли квадратный корень из 7 действительным числом?

    Откуда мы знаем, что √7 иррационально? Для начала, 7 — простое число, поэтому его единственные положительные целые делители — это 1 и 7.

    Какие 5 подмножеств действительных чисел?

    Действительные числа имеют следующие важные подмножества: рациональные числа, иррациональные числа, целые числа, целые числа и натуральные числа.

    Является ли 34 действительным числом?

    34 — рациональное число, потому что его можно представить как частное двух целых чисел: 34 ÷ 1.

    Что такое диаграмма действительных чисел?

    Ниже приведена схема реальной системы счисления. Вещественные числа в основном делятся на рациональные и иррациональные числа. К рациональным числам относятся все целые числа и дроби. Все отрицательные целые числа и целые числа составляют множество целых чисел. Целые числа состоят из всех натуральных чисел и нуля.

    2/3 рациональное или иррациональное число?

    В математике рациональное означает «соотношение подобное». Итак, рациональное число — это такое, которое можно записать как отношение двух целых чисел. Например, 3=3/1, −17 и 2/3 — рациональные числа.

    Что такое 2/3 как действительное число?

    23 — рациональное число (то есть число, которое можно представить в виде дроби). Поскольку любое рациональное число является действительным числом, число 23 можно рассматривать и как действительное, и как рациональное. Таким образом, чтобы подвести итог, число можно рассматривать как рациональное число, так и действительное число.

    Является ли 2/3 иррациональным числом?

    Число, которое можно записать как отношение двух целых чисел, знаменатель которых не равен нулю, называется рациональным числом.Таким образом, 23 является рациональным числом. 23 — рациональное число.

    Является ли 2/9 иррациональным числом?

    Объяснение: Это также действительное число, поскольку рациональные числа являются подмножеством действительных чисел (как и все остальные).

    Является ли минус 8 действительным числом?

    Отрицательное число 8, которое также можно записать как -8, является рациональным числом.

    Какие 5 иррациональных чисел?

    Каковы пять примеров иррациональных чисел? Есть много иррациональных чисел, которые нельзя записать в упрощенной форме.Некоторые из примеров: √8, √11, √50, число Эйлера e = 2,718281, золотое сечение, φ = 1,618034.

    Рационально или иррационально число 8?

    Рациональное число — это число, которое можно записать в виде отношения. Это означает, что его можно записать в виде дроби, в которой и числитель (число сверху), и знаменатель (число внизу) являются целыми числами. Число 8 является рациональным числом, потому что его можно записать как дробь 8/1.

    Рационален ли квадратный корень из 8?

    Следовательно, квадратный корень из 8 не является рациональным числом.Это иррациональное число.

    Является ли квадратный корень из 10 иррациональным?

    Квадратный корень из 10 не является рациональным числом.

    Является ли 8 действительным числом?

    Число 8 — единственное целое число. 2. Целые числа — это целые числа, их противоположности и 0. Из заданных чисел −7 и 8 — целые числа.

    Является ли квадратный корень действительным числом?

    3 и -3 считаются квадратными корнями из 9. Квадратный корень записывается с подкоренным символом √, а число или выражение внутри подкоренного символа, обозначенное ниже a, называется подкоренным.Иррациональные числа вместе с рациональными числами составляют действительные числа. …

    Какой тип числа 7 8?

    2 ответа от опытных наставников. Рациональные числа — это дроби, состоящие из целых чисел. Целое число — это число без дробной части. Итак, 7/8 — это отношение целых чисел, что делает его рациональным.

    Является ли квадратный корень из 5 действительным числом?

    Это иррациональное алгебраическое число.

    5 Архимедово свойство действительных чисел и связанное с ним следствие

    12 сентября 2012 г. BY vidhi (0 комментариев)

    Архимедово свойство R объясняет, что для любого действительного числа x всегда существует натуральное число после него i.е. х

    В следующем видео мы докажем следствие этого свойства, которое объясняет, почему множество всех чисел вида 1/n будет иметь инфимум равный 0.

    В третьем видео мы увидим, как свойство Архимеда используется для доказательства того, почему для любого действительного числа можно найти натуральное число, такое что 0< 1/n

    В четвертом видео в этом посте нам даются еще два следствия архимедова свойства, которые говорят нам о том, что любой интервал [n,n+1) будет содержать множество действительных чисел, а также о существовании квадратного корня.

    В финальном видео мы обсудим теорему о плотности, которая проистекает из свойства Архимеда и утверждает существование множества рациональных чисел между любыми двумя действительными числами.

    Оставить комментарий