Быстрое умножение двузначных чисел в уме: Быстрое умножение двузначных. Что поможет в быстром обучении. Деление на однозначное число

Содержание

Быстрый способ умножения двузначных чисел в уме. Способы быстрого устного умножения чисел

Маленькие хитрости. К счастью, математика полна сокращений. Научите своего ребенка этим хитростям, и он будет благодарен вам.

  • Чтобы запомнить таблицу на 9, используйте пальцы. Вытяните обе ладони перед собой. 9*1, загните левый мизинец. Что вы показываете? 9. 9х2, загните безымянный палец на левой ладони. Что вы показываете? 1 и 8. 18. Загните средний палец – 2 и 7. 27. Это работает до 9х9 (8 и 1. 81)
  • Если ребенок умеет удваивать число, будет проще умножать на 4. Просто удвойте число дважды. Возьмем 6х4. Удвоим число 6, будет 12. Удвоим число 12, будет 24. 6х4=24. Используйте этот прием, чтобы ответы стали автоматическими.
  • Чтобы умножить любое число на 11, просто продублируйте его. 3*11=33. Две тройки. 4*11=44. Две четверки. Ответ в вопросе.
  • Если ваш ребенок гений математики, научите его такой хитрости умножения 11 на двузначное число. Возьмите двузначное число и разделите его на цифры.
    11*17 = 1__7. Сложите эти цифры, получившееся число поставьте в середину: 187.

Запоминание ответов

  1. Сделайте обучение веселым. С этой точки зрения вы можете удивиться, что в этих загогулинах что-то есть. Привнесите элемент игры и соревнования в обучение.

    • Попросите ребенка сделать набор карточек. Написать пример, 4х9, на одной стороне и ответ, 36, на обратной стороне. Выписывание примеров – это еще одна возможность повторения. Используйте таймер, чтобы узнать, сколько карточек ребенок сможет пройти через минуту. Сможет ли он побить этот счет завтра?
      • Вы также можете делать это в пустой таблице. Таблица позволяет отследить слабые места, над которыми еще надо поработать.
    • “Захватить колоду карт” – эта игра похожа на войну, но с умножением. Каждый из вас получает половину колоды и размещает лицом вниз перед собой. Не смотрите на карты! Игроки переворачивают свою первую карту одновременно – первый, кто скажет свой ответ, перемножив числа на двух картах, получает обе карты (цель игры состоит в том, чтобы собрать все карты). Если вы перевернули 7 и 5, ответ будет 35. Для валетов, дам, и королей, можно использовать 11, 12, и 13, использовать их в качестве 0 или совсем убрать их из колоды.
    • Скажите число. Например, 30. Сможет ли ребенок назвать все возможные случаи, когда в результате получается 30? 5*6? 3*10=?
    • Скажите число и попросите сделать следующее умножение. Например, начните с 30 и попросите сделать следующее умножение на 6. Или начните с 18 и попросите сделать следующие два умножения на 9. Вы даже можете начать с 22 и спросить следующее умножение на 4, даже несмотря на то, что 22 не кратно 4. Будьте хитрыми.
    • Попробуйте игру бинго. Ваш ребенок заполняет квадрат шесть на шесть любыми числами. Вы называете пример, “5 * 7.” Если у него есть число 35 на карточке, то он зачеркивает его. Продолжайте, пока кто-нибудь не зачеркнет все числа на своей карточке. Что за приз он может выиграть?

Поощряйте вашего ребенка

  1. Используйте стимулы. Не стоит использовать деньги или материальные ценности в качестве стимула – это может убить тягу к знаниям.

    • Приберегите награды для школьных тестов. Если ребенок сможет решать примеры под давлением, вы достигли успеха.
  2. Хвалите ребенка. Не забывайте делать паузы и отдыхать между серьезными занятиями. Если вы порадуетесь успехам ребенка, он захочет добиться успеха в следующий раз. Выражайте словами, как здорово ребенок занимается.

    • Если он занимается медленнее, чем мог бы, отдохните. Негативные эмоции могут привести к прекращению занятий. Плохое настроение может свести на нет все усилия. Поощряйте ребенка сделать усилие.
  3. Будьте добры и терпеливы. Если это будет необходимо, просто работайте с одной комбинации в течение нескольких дней, пока ребенок полностью не поймет.
  4. Изучение большого объема слишком быстрыми темпами вызовет непонимание и разочарование. Работайте постепенно, чтобы облегчить обучение умножению, но твердо двигайтесь вперед, постоянно и последовательно улучшая навыки умножения.
  5. Обратите внимание, что сложение может быть сделано двумя путями: 2+1=3 и 1+2=3.
    То же самое с умножением.
  6. Сложное оставляйте на потом: 10 в квадрате очень похожа на 1 в квадрате. 1 в квадрате равно 1, 10 в квадрате равно 100. Легко заметить, что 20 в квадрате составляет 400, 30 в квадрате будет 900, 40 в квадрате 1600, и так далее.
  7. Предупреждения

  • Никогда, никогда не используйте слова “глупый”, “паршивый” или любые другие ярлыки. Не используйте их, обращаясь к ребенку, к себе или к материалу.
  • Поймите, что ребенок – не счетная машина. Быстрый ответ достигается только запоминанием. Устный счет полезен на начальном этапе, но он становится ненужным, как только таблица будет твердо усвоена.
  • Не утомляйте ребенка, изучая слишком много строк или шаблонов за один раз – не забывайте улыбаться и делать короткие перерывы между занятиями.

С лучшей бесплатной игрой учится очень быстро. Проверьте это сами!

Учить таблицу умножения – игра

Попробуйте нашу обучающую электронную игру. Используя её, вы уже завтра сможете решать математические задачи в классе у доски без ответов, не прибегая к табличке, чтобы умножить числа. Стоит только начать играть, и уже минут через 40 будет отличный результат. А для закрепления результата тренируйтесь несколько раз, не забывая о перерывах. В идеале – каждый день (сохраните страницу, чтобы не потерять). Игровая форма тренажера подходит как для мальчиков, так и для девочек.

Смотрите ниже шпаргалки в полной форме.


Умножение прямо на сайте (онлайн)

*
Таблица умножения (числа от 1 до 20)
× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
6 6 12 18 24 30 36 42 48
54
60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160
9
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200
11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121
132
143 154 165 176 187 198 209 220
12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240
13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260
14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280
15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320
17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340
18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360
19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380
20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

Как умножать числа столбиком (видео по математике)

Чтобы потренироваться и быстро выучить, можно также попробовать умножать числа столбиком.

На чтение 9 мин.

В наше время многие родители считают, что ребенок еще до поступления в первый класс должен научиться не только писать и считать, но и знать основные приемы алгебры: сложение, вычитание, умножение и деление. Именно поэтому перед мамами и папами встает серьезный вопрос: “как научить ребенка выучить таблицу умножения”?

Основные правила для получения оптимального результата

Безусловно, можно учить ребенка с помощью базовых методов (они описаны ниже). Однако, родители, настроенные на то, как легко выучить таблицу умножения ребенку, должны не только выучить специальные приемы (с помощью которых можно научить ребенка таблице умножения гораздо проще и быстрее), но и подобрать для своего малыша самый оптимальный метод.

Несмотря на то, какой метод Вы изберете, необходимо тщательное соблюдение следующих правил:

  1. Чтобы учеба легко давалась ребенку, необходимы частые перерывы;
  2. Необходимо объективное оценивание способностей малыша: дошкольник просто физически не сможет выучить всю таблицу умножения за три часа;
  3. Обязательно хвалите ребенка за каждый, пусть и небольшой успех;
  4. Категорически запрещено ругать ребенка, если он не может что-то выучить. Лучше всего в таком случае сделать небольшой перерыв, а затем снова вернуться к камню преткновения;
  5. Старайтесь превратить изучение таблицы умножения в игру: если ребенку будет интересно и весело, то все знания будут усваиваться намного быстрее, чем в том случае, если родители будут заставлять непоседу сидеть за скучными книжками.

Базовый способ изучения таблицы умножения

Родитель, всерьез задумавшийся над тем, как выучить таблицу умножения с ребенком, может в порыве вдохновения вспомнить собственное детство: счетные палочки, школьная доска, строгая учительница и огромная таблица, полностью заполненная цифрами. Именно такую таблицу чаще всего используют в школах, поэтому рекомендуется хотя бы первое занятие провести именно с ней.

Для начала следует распечатать (или нарисовать) два варианта таблиц: первая – полностью заполненная, а вторая – лишь с числами по краям. Желательно, чтобы вторая таблица была крупной, поскольку ребенок будет самостоятельно вписывать числа.

На первом занятии постарайтесь объяснить ребенку основной смысл умножения: это такое же сложение, только многократное. В качестве примера возьмите небольшие числа, чтобы с их помощью показать, как происходит умножение. Примерный вариант может выглядеть так:

“Вот числа два и три. Для того, чтобы умножить три на два, нам понадобится сложить три и три. Сколько получится? Правильно, шесть!”

Что следует делать после первого “пробного” занятия с таблицей?

Если все прошло хорошо, попробуйте снова поработать с таблицей: объясните ребенку своеобразную “зеркальность” умножения:
“А теперь посмотрим, сколько будет два умножить на три. Для того, чтобы это посчитать, нам понадобится к двойке прибавить двойку, а потом еще раз прибавить двойку. Давай запишем их в столбик. Сколько получится? Умница, шесть! Видишь, три умножить на два – это шесть, и два умножить на три равно шесть. Вот ты выучил первое правило умножения: от перемены множителей (это числа, которые ты перемножал) произведение (это число, которое ты получил в ответе) не изменится!”
Обязательно хвалите ребенка.
“Видишь, как быстро ты посчитал! Выучить таблицу умножения проще, чем кажется на первый взгляд!”

Будьте терпеливы.

Если ребенок не может быстро произвести операцию сложения, не нужно ему подсказывать: он обязательно сосчитает сам, просто ему нужно больше времени, чем взрослому.

Если на объяснение этого правила ушло небольшое количество времени, то можно начать заполнять часть таблицы умножения с числом 1 (обычно дети быстро понимают смысл умножения на 1). Как только внимание малыша начнет рассеиваться, следует прекратить занятие – больше материала дошкольник не усвоит.

При клике у вас будет большая таблица пригодная для печати

Последующие занятия

Сделайте большое количество карточек с примерами из таблицы умножения. Перед каждым занятием обязательно давайте малышу решать знакомые примеры, иначе знания просто забудутся.
Небольшие хитрости помогут легче запоминать результаты
После того, как малыш выучит умножение с участием единицы, можно попробовать умножение числа на десятку, либо десятки на число. Научить ребенка приписывать дополнительный нолик к каждому числу будет значительно легче, чем, скажем, научить его умножать числа на шестерку.

Умножение на двойку, тройку и четверку. Обычно эти действия не составляют особого труда, поскольку их можно с легкостью посчитать на пальцах.

Как научить ребенка умножению на пятерку? Очень просто: любое четное число закончится на 0, а нечетное – на 5. Посчитать их – дело техники.

Вот практически выучена вся таблица умножения. Но как выучить легко и быстро умножения на самые сложные числа: шестерка, семерка и восьмерка?

Скорее всего, их придется просто заучивать: в умножении этих чисел зачастую путаются даже взрослые люди.

Есть ли альтернатива таблице?

Если во время первых занятий Вы видите, что ребенку явно тяжело запоминать даже простейшие примеры, ни в коем случае не ругайтесь на него, а начинайте пробовать альтернативные методы.

Интересной кажется методика изучения таблицы умножения с помощью стихов: сейчас имеются целые книги, позволяющие не только легко подтянуть “западающие” числа, но и выучить таблицу умножения с нуля. Также интересны сказки про числа: они в шуточной форме могут рассказать об одном из самых сложных для понимания действий математики: умножении.

Однако, изучение с помощью одних лишь стихов или сказок может быть бесконечно долгим без использования такой дополнительной методики, как карточки с примерами. Помните, что мозг ребенка нуждается в неустанном повторении – только тогда информация будет не только механически выучена, но и осознана. А это является гарантией того, что таблицу умножения малыш не забудет до самой старости.

Как заранее понять, проще выучить таблицу умножения путем простой таблицы или же добавления стихотворных игр с ребенком? Вспомните характер малыша: если он ярко выраженный гуманитарий, то игры определенно придутся ему по вкусу, тем самым делая процесс обучения увлекательнее.

Игрушки всегда помогут


Если у Вас совершенно нет идей, как можно быстро помочь своему чаду выучить эту сложную таблицу умножения, то воспользуйтесь беспроигрышным вариантом: любимые игрушки малыша.

Единственный критерий к игрушкам – любой посторонний должен легко понять, что они иллюстрируют именно умножение. Например, при умножении трех колес от машинки на два должно получиться именно шесть колесиков, а не четыре колеса, бампер и фара (в таком случае научить ребенка будет крайне трудно!). Также, если Вы выбрали обучение с помощью игрушек, то не надо вместо этого пытаться научить ребенка считать на пальцах – это два совершенно разных метода!

Одной из самых интересных идей являлась мысль одного отца пустить в дело огромное количество деталей от ЛЕГО, которые в огромных количествах были разбросаны по всей квартире. Взяв самую маленькую деталь за единичку, отец стал показывать своему сыну основы умножения на два, на три и на четыре (ведь ЛЕГО было крайне много, поэтому недостатка в кусочках они не испытывали). В итоге все занятия прошли в форме игры, а отец даже и подумать не мог, что научить сына умножению будет так легко и быстро!

Многие родители помогли используют в обучении интерактивные звуковые плакаты. В этом случае запоминание происходит лучше, чем в процессе обычного урока или зубрежки наизусть.

Пальцы и умножение

Как ни странно, но можно быстро выучить таблицу умножения даже на собственных пальцах!

Многие родители не одобряют привычку детей проверять все результаты вычислений на пальцах, аргументируя это тем, что на пальцах легко считать лишь небольшие числа.

На самом деле, это не совсем правдиво: можно легко выучить таблицу умножения (причем, довольно быстро!), используя лишь собственные пальцы и знания интересных математических закономерностей (однако, это не будет избавлять малыша от решения примеров на повторение материала).


Умножение на ДЕВЯТЬ с помощью пальцев – результат моментальный

Безусловно, с простейшими примерами все понятно: десяти пальцев вполне достаточно для вычисления. Но как быть с умножением на девять?

На самом деле, можно: например, умножение на девять выполняется безумно быстро: всего лишь в одно действие. Необходимо посчитать (начиная с левого большого пальца) до числа, которое мы умножаем на девять (или на которое мы умножаем девять). Числа, находящиеся левее его, будут давать десятки, а числа правее – единицы. Это поистине фантастический способ. Значительно облегчающий умножение на девять.

Конечно же, без повторения выучить таким способом таблицу крайне сложно, поэтому при выборе данного подхода требуется большое количество практических заданий.

Переменки необходимы

Вне зависимости от возраста малыша, ему требуется большое количество перерывов (желательно каждый 10-15 минут), иначе легко выучить основные законы умножения не получится: после 10 минут непрерывных занятий дитятко будет то и дело отвлекаться на кота, лучик Солнца, заглянувший в окно, раздавшийся на улице звон и так далее.

Как же максимально повысить уровень эффективности занятий? Во-первых, стоит начертить таблицу с четким планом занятий (в ней должны присутствовать небольшие перерывы) и все время следовать ей.

Во-вторых, необходимо проявлять фантазию: выучить материал можно и в игровой форме. Например, можно создать собственную карточную игру.

Пример игры: создаются карточки (их количество может варьироваться, возможны повторы и бонусные карты). Главное, чтобы ребенок знал все примеры на карточках, участвующих в игре. Основное правило игры – игрок, не глядя, вытягивает карту и за определенное время решает пример. Победит тот, кто наберет больше всего баллов. Бонусные карты могут добавлять количество времени, давать возможность выбора примера и так далее.

В-третьих, не стесняйтесь делить на части: выучить одну большую таблицу сложнее, чем много маленьких табличек.

В дополнение

  • Хорошей идеей будет повесить таблицу над кроватью малыша, а также в его игровой комнате: даже не занимаясь, он будет машинально скользить по ней взглядом, тем самым понемногу запоминая числа;
  • Почаще тренируйте все навыки ребенка: вместо произведения семерки на восьмерку предложите ребенку назвать числа, которые при умножении друг на друга дадут 56;
  • Если малыш уже ходит в школу, спросите учительницу про ее методы преподавания. Может быть, стоит использовать похожий метод, чтобы выучить материал быстрее;
  • Набирайтесь терпения: малышу проще выучить материал, когда его не ограничивают во времени хотя бы на первых порах.

Если вы озадачены вопросом, как помочь ребенку выучить таблицу умножения, наша статья для вас. Не такая уж она страшная, эта таблица, если знать, с какой стороны к ней подойти. Раскрываем секреты!

sovetclub.ru

– Пятью пять – двадцать пять?
– Совершенно верно!

Дважды два – четыре, это всем известно в целом мире! Всем, может, и известно, но таблица умножения на этом не заканчивается, есть варианты и посложнее, там простым стишком не обойдешься.

Риторический вопрос

Закончив школу и в силу своей профессиональной деятельности не особо сталкиваясь со сложными математическими вычислениями, как-то словила себя на мысли о том, что уже не так быстро всплывают в памяти результаты умножения из банальной таблицы, которую все школьники просто обязаны знать, как «Отче наш». Хм… может, не настолько обязательно учить таблицу умножения в век калькуляторов и специальных компьютерных программ, которые за считанные минуты выдадут нужный результат?

В наше время уже не встретишь бухгалтера со счетами или студента с логарифмической линейкой, а сдачу в магазине можно «прикинуть», воспользовавшись мобильным телефоном. Может ну ее, эту таблицу умножения? Чего мозг засорять, вдруг что-то важное не поместиться? Оставим этот вопрос риторическим, пусть каждый взрослый ответит на него сам. Сейчас речь о другом.

Второклассник льет горючие слезы (может и не лить, но трудности испытывает все равно), тщетно зазубривая «шестью восемь – сорок восемь». Смотреть на такие страдания равнодушно не сможет ни один родитель, поэтому предлагаем учить таблицу умножения вместе!

Как подготовить ребенка к изучению таблицы умножения?

Свекровь, проработавшая в школе много лет, подсказала простой способ подготовить ребенка к изучению таблицы умножения. Он подходит даже для дошкольников.

Надеюсь, вы уже поняли, к чему я клоню. Да! Сам того не замечая, ребенок УЖЕ учит таблицу умножения , просто выглядит это совсем не так страшно, как неприступные колонны циферок и арифметических действий, воинственно и грозно смотрящие со страниц учебников и зловеще подмигивающие с обложки тетради по математике.

Воспитатели в детском саду и школьные учителя, как правило, учат детей считать двойками, пятерками, десятками, но дальше этого дело не идет, а зря. Способ действительно отличный, проверенный и действенный. Попробуйте!

Секреты таблицы умножения: как избежать зубрежки


kapitoshi.ru

Перед вами таблица умножения. Десять столбиков по десять примеров в каждом! Ужас! Целых сто правил, которые нужно вызубрить? Не паникуйте сами и не пугайте бедного Незнайку. На самом деле, правил ГОРАЗДО меньше.

Первый столбец примеров можно не зубрить , все и так знают, что число, умноженное на единицу, равно самому себе, а на 10 умножать – проще простого, дописываем нолик в десятки, и делов там столько. Вот у вас уже не 100, а 80 примеров. Согласитесь, выглядит не так страшно?

Так… Дальше объясните ребенку, что от перемены мест множителей результат не меняется : 5 х 2 – совершенно столько же, что и 2 х 5. Любой первоклассник знает, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется – здесь действует такой же закон. И вот у вас не 80 примеров для зубрежки, а всего-навсего 36. Существенная разница, не так ли?

Ребенок прекрасно умеет складывать одинаковые числа. Например, 2 + 2, 5 + 5. Объясните ему, что сложить два одинаковых числа – это то же самое, что умножить на 2 . Вот и еще пару примеров в таблице умножения можно не зубрить. Складывать мы умеем!


kakchto.com

Дальше выбрасываем из списка для зубрежки легкие примеры, такие как «дважды два – четыре», «пятью пять – двадцать пять», «шестью шесть – тридцать шесть». Можно спеть хорошо знакомую детскую песенку и считайте, что таблица умножения у вас в кармане. Останется совсем немного, что реально нужно зазубрить.

По факту, всего 15 примеров из ста подлежат зубрежке.

Как вам? Осилим?

Секрет таблицы умножения на 9

Попробуйте умножать на 10 и отнимать лишнее! Так гораздо проще, вот увидите.


razvitiedetei.info

Тут можно немножко схитрить и воспользоваться такой интересной особенностью. Запишите в столбик таблицу умножения на 9, а в ответы впишите цифры следующим образом: от 1 до 9 сверху вниз («0» не пишем) и от 9 до 1 в обратную сторону. Проверьте, если не верите! Так и есть!

А еще на 9 можно умножать на пальцах! И в этом нет ничего плохого. Смотрите, как это делается.

nnm.me

Положите обе руки на стол и пронумеруйте пальцы (можно приложить на лист бумаги и подписать сверху). Как умножить 3 на 9, например? Загибаем на левой руке третий палец и смотрим, что получилось. Два пальца слева – это 2 десятка, 7 пальцев справа от загнутого – это 7 единиц. Итого – 27!

Проверим еще раз, как это работает на примере 7 x 9. Загибаем седьмой палец (считаем слева направо). Все, что находится слева, – это десятки, справа – единицы. Считаем пальцы – 6 десятков и 3 единицы. Ура! 7 x 9 = 63. Все верно!

Умножение на пальцах: видео

Оказывается, на пальцах можно умножать любые примеры из таблицы умножения. Возможно, вариант на видео вам пригодится. Смотрите внимательно, все не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Немного о других способах запоминания таблицы умножения

1. Стихотворная таблица умножения

Закрепить таблицу умножения помогут стихи. Рекомендуем книгу А. Усачева «Таблица умножения в стихах» или аналогичные книги других авторов. Вряд ли выучить наизусть все сто четверостиший проще, чем запомнить примеры, но в особо «безнадежных» случаях стихи могут пригодиться, даже просто картинка в книжке может помочь вспомнить нужные ответы.

2. Музыкальная таблица умножения

Аудиодиски, настенные плакаты – тоже варианты изучения таблицы умножения.

3. Плакат своими руками

Распечатать на принтере или купить готовый плакат при желании может каждый. А вы попробуйте сделать таблицу умножения вместе с ребенком своими руками. Результат вас удивит! Пока любознательный и старательный ученик пропишет все сто примеров, он выучит их назубок без всякой зубрежки. Пусть плакат висит на видном месте и мозолит глаза! Это лучше, чем ежедневные напоминания: «Иди повтори таблицу умножения».

4. Примеры из жизни

К каждому ребенку важно найти свой подход. Возможно, мальчику будет легче запомнить таблицу умножения, если привести пример из жизни: «Сколько колес у трех машин?». Девочкам понятнее будет такой пример: «Сколько нужно резинок, чтобы заплести по две косички трем куклам?».

Уважаемые читатели! Расскажите, как ваши дети подружились с таблицей умножения. Возможно, у вас есть свои секреты, как помочь ребенку запомнить таблицу умножения? Ждем комментариев, возможно, другим родителям они помогут.

Некоторые способы быстрого устного умножения мы уже с Вами разобрали, теперь давайте подробнее разберемся, как быстро умножать числа в уме, используя различные вспомогательные способы. Вы, возможно, уже знаете, а некоторые из них довольно экзотические, например, древний китайский способ умножения чисел.

Раскладка по разрядам

Является самым простым приемом быстрого умножения двухзначных чисел. Оба множителя нужно разбить на десятки и единицы, а затем все эти новые числа перемножить друг на друга.

Данный способ требует умения удерживать в памяти одновременно до четырех чисел, и делать с этими числами вычисления.

К примеру, нужно перемножить числа 38 и 56 . Делаем это следующим образом:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Еще проще будет делать устное умножение двухзначных чисел в три действия. Сначала нужно перемножить десятки, затем прибавить два произведения единиц на десятки, и затем прибавить произведение единиц на единицы. Выглядит это так: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Для того, чтобы успешно пользоваться этим способом, нужно хорошо знать таблицу умножения, уметь быстро складывать двухзначные и трехзначные числа, и переключаться между математическими действиями, не забывая промежуточные результаты. Последнее умение достигается с помощью и визуализации.

Данный способ не самый быстрый и эффективный, потому стоит изучить еще и другие способы устного умножения.

Подгонка чисел

Можно попробовать привести арифметическое вычисление к более удобному виду. Например, произведение чисел 35 и 49 можно себе представить таким образом: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715
Этот способ может оказаться более эффективным, чем предыдущий, но он не универсальный, и подходит не ко всем случаям. Не всегда можно найти подходящий алгоритм для упрощения задачи.

На эту тему вспомнился анекдот про то, как математик проплывал по реке мимо фермы, и заявил собеседникам, что ему удалось быстро подсчитать количество овец в загоне, 1358 овец. Когда его спросили, как ему это удалось, он сказал, что все просто — нужно подсчитать количество ног, и разделить на 4.

Визуализация умножения в столбик

Этот один из самых универсальных способов устного умножения чисел, развивающий пространственное воображение и память. Для начала следует научиться умножать в столбик в уме двухзначные числа на однозначные. После этого Вы легко сможете умножать двухзначные числа в три действия. Сначала двухзначное число нужно умножить на десятки другого числа, затем умножить на единицы другого числа, и после этого просуммировать полученные числа.

Выглядит это таким образом: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Визуализация с расстановкой чисел

Очень интересный способ перемножения двухзначных чисел следующий. Нужно последовательно перемножить цифры в числах, чтобы получились сотни, единицы и десятки.

Допустим, Вам нужно умножить 35 на 49 .

Сначала перемножаете 3 на 4 , получаете 12 , затем 5 и 9 , получаете 45 . Записываете 12 и 5 , с пробелом между ними, а 4 запоминаете.

Получаете: 12 __ 5 (запоминаете 4 ).

Теперь умножаете 3 на 9 , и 5 на 4 , и суммируете: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Теперь нужно к 47 прибавить 4 , которое мы запомнили. Получаем 51 .

Пишем 1 в середине, а 5 прибавляем к 12 , получаем 17 .

Итого, число, которое мы искали, 1715 , оно является ответом:

35 * 49 = 1715
Попробуйте таким же образом перемножить в уме: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Китайское, или японское, умножение

В азиатских странах принято умножать числа не в столбик, а рисуя линии. Для восточных культур важно стремление к созерцанию, и визуализации, поэтому, наверное, они и придумали такой красивый метод, позволяющий перемножать любые числа. Сложен этот способ только на первый взгляд. На самом деле, большая наглядность позволяет использовать этот способ гораздо эффективнее, чем умножение в столбик.

Кроме того, знание этого древнего восточного етода повышает Вашу эрудицию. Согласитесь, не каждый может похвастаться тем, что знает древнюю систему умножения, которой китайцы пользовались еще 3000 лет назад.

Видео о том, как китайцы перемножают числа

Более подробные сведения Вы можете получить в разделах “Все курсы” и “Полезности”, в которые можно перейти через верхнее меню сайта. В этих разделах статьи сгруппированы по тематикам в блоки, содержащие максимально развернутую (насколько это было возможно) информацию по различным темам.

Также Вы можете подписаться на блог, и узнавать о всех новых статьях.
Это не займет много времени. Просто нажмите на ссылку ниже:

Решётчатое умножение | Наука и жизнь

Чтобы освоить умножение многозначных чисел, нужно всего лишь знать таблицу умножения и уметь складывать числа. В сущности, вся сложность заключается в том, как правильно разместить промежуточные результаты умножения (частичные произведения). Стремясь облегчить вычисления, люди придумали множество способов умножения чисел. За многовековую историю математики их набралось несколько десятков.

Умножение способом решётки. Иллюстрация из первой печатной книги по арифметике. 1487 год.

Палочки Непера. Этот простой счётный прибор впервые был описан в сочинении Джона Непера «Рабдология». 1617 год.

Джон Непер (1550—1617).

Модель счётной машины Шиккарда. Это не дошедшее до нас вычислительное устройство изготовлено изобретателем в 1623 году и описано им годом позже в письме Иоганну Кеплеру.

Вильгельм Шиккард (1592—1635).

Наследие индусов — способ решётки

Индусы, с давних времён знавшие десятичную систему счисления, предпочитали устный счёт письменному. Они изобрели несколько способов быстрого умножения. Позже их заимствовали арабы, а от них эти способы перешли к европейцам. Те, однако, ими не ограничились и разработали новые, в частности тот, что изучается в школе, — умножение столбиком. Этот способ известен с начала XV века, в следующем столетии он прочно вошёл в употребление у математиков, а сегодня им пользуются повсеместно. Но является ли умножение столбиком лучшим способом осуществления этого арифметического действия? На самом деле существуют и другие, в наше время забытые способы умножения, ничуть не хуже, например способ решётки.

Этим способом пользовались ещё в древности, в Средние века он широко распространился на Востоке, а в эпоху Возрождения — в Европе. Способ решётки именовали также индийским, мусульманским или «умножением в клеточку». А в Италии его называли «джелозия», или «решётчатое умножение» (gelosia в переводе с итальянского — «жалюзи», «решётчатые ставни»). Действительно, получавшиеся при умножении фигуры из чисел имели сходство со ставнями-жалюзи, которые закрывали от солнца окна венецианских домов.

Суть этого нехитрого способа умножения поясним на примере: вычислим произведение 296 × 73. Начнём с того, что нарисуем таблицу с квадратными клетками, в которой будет три столбца и две строки, — по количеству цифр в множителях. Разделим клетки пополам по диагонали. Над таблицей запишем число 296, а с правой стороны вертикально — число 73. Перемножим каждую цифру первого числа с каждой цифрой второго и запишем произведения в соответствующие клетки, располагая десятки над диагональю, а единицы под ней. Цифры искомого произведения получим сложением цифр в косых полосах. При этом будем двигаться по часовой стрелке, начиная с правой нижней клетки: 8, 2 + 1 + 7 и т.д. Запишем результаты под таблицей, а также слева от неё. (Если при сложении получится двузначная сумма, укажем только единицы, а десятки прибавим к сумме цифр из следующей полосы.) Ответ: 21 608. Итак, 296 x 73 = 21 608.

Способ решётки ни в чём не уступает умножению столбиком. Он даже проще и надёжнее, при том, что количество выполняемых действий в обоих случаях одинаково. Во-первых, работать приходится только с однозначными и двузначными числами, а ими легко оперировать в уме. Во-вторых, не требуется запоминать промежуточные результаты и следить за тем, в каком порядке их записывать. Память разгружается, а внимание сохраняется, поэтому вероятность ошибки уменьшается. К тому же способ решётки позволяет быстрее получить результат. Освоив его, вы сможете убедиться в этом сами.

Почему способ решётки приводит к правильному ответу? В чём заключается его «механизм»? Разберёмся в этом с помощью таблицы, построенной аналогично первой, только в этом случае множители представлены как суммы 200 + 90 + 6 и 70 + 3.

Как видим, в первой косой полосе стоят единицы, во второй — десятки, в третьей — сотни и т.д. При сложении они дают в ответе соответственно число единиц, десятков, сотен и т.д. Дальнейшее очевидно:


Иначе говоря, в соответствии с законами арифметики произведение чисел 296 и 73 вычисляется так:


296 x 73 = (200 + 90 + 6) x (70 + 3) = 14 000 + 6300 + 420 + 600 + 270 + 18 = 10 000 + (4000 + 6000) + (300 + 400 + 600 + 200) + (70 + 20 + 10) + 8 = 21 608.

Палочки Непера

Умножение способом решётки лежит в основе простого и оригинального счётного прибора — палочек Непера. Его изобретатель Джон Непер, шотландский барон и любитель математики, наряду с профессионалами занимался усовершенствованием средств и методов вычисления. В истории науки он известен, прежде всего, как один из создателей логарифмов.

Прибор состоит из десяти линеек, на которых размещена таблица умножения. В каждой клетке, разделённой диагональю, записано произведение двух однозначных чисел от 1 до 9: в верхней части указано число десятков, в нижней — число единиц. Одна линейка (левая) неподвижна, остальные можно переставлять с места на место, выкладывая нужную числовую комбинацию. При помощи палочек Непера легко умножать многозначные числа, сводя эту операцию к сложению.

Например, чтобы вычислить произведение чисел 296 и 73, нужно умножить 296 на 3 и на 70 (сначала на 7, затем на 10) и сложить полученные числа. Приложим к неподвижной линейке три другие — с цифрами 2, 9 и 6 наверху (они должны образовать число 296). Теперь заглянем в третью строку (номера строк указаны на крайней линейке). Цифры в ней образуют уже знакомый нам набор.

Складывая их, как в способе решётки, получим 296 x 3 = 888. Аналогично, рассмотрев седьмую строку, найдём, что 296 x 7 = 2072, тогда 296 x 70 = 20 720. Таким образом,
296 x 73 = 20 720 + 888 = 21 608.

Палочки Непера применялись и для более сложных операций — деления и извлечения квадратного корня. Этот счётный прибор не раз пытались усовершенствовать и сделать более удобным и эффективным в работе. Ведь в ряде случаев для умножения чисел, например с повторяющимися цифрами, нужны были несколько комплектов палочек. Но такая проблема решалась заменой линеек вращающимися цилиндрами с нанесённой на поверхность каждого из них таблицей умножения в том же виде, как её представил Непер. Вместо одного набора палочек получалось сразу девять.

Подобные ухищрения в самом деле ускоряли и облегчали расчёты, однако не затрагивали главный принцип работы прибора Непера. Так способ решётки обрел вторую жизнь, продлившуюся ещё несколько столетий.

Машина Шиккарда

Учёные давно задумывались над тем, как переложить непростую вычислительную работу на механические устройства. Первые успешные шаги в создании счётных машин удалось осуществить только в XVII столетии. Считается, что раньше других подобный механизм изготовил немецкий математик и астроном Вильгельм Шиккард. Но по иронии судьбы об этом знал лишь узкий круг лиц, и столь полезное изобретение более 300 лет не было известно миру. Поэтому оно никак не повлияло на последующее развитие вычислительных средств. Описание и эскизы машины Шиккарда были обнаружены всего полвека назад в архиве Иоганна Кеплера, а чуть позже по сохранившимся документам была создана её действующая модель.

По сути, машина Шиккарда представляет собой шестиразрядный механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. В ней три части: множительное устройство, суммирующее устройство и механизм для сохранения промежуточных результатов. Основой для первого послужили, как нетрудно догадаться, палочки Непера, свёрнутые в цилиндры. Они крепились на шести вертикальных осях и поворачивались с помощью специальных ручек, расположенных наверху машины. Перед цилиндрами располагалась панель с девятью рядами окошек по шесть штук в каждом, которые открывались и закрывались боковыми задвижками, когда требовалось увидеть нужные цифры и скрыть остальные.

В работе счётная машина Шиккарда очень проста. Чтобы узнать, чему равно произведение 296 x 73, нужно установить цилиндры в положение, при котором в верхнем ряду окошек появится первый множитель: 000296. Произведение 296 x 3 получим, открыв окошки третьего ряда и просуммировав увиденные цифры, как в способе решётки. Точно так же, открыв окошки седьмого ряда, получим произведение 296 x 7, к которому припишем справа 0. Остаётся только сложить найденные числа на суммирующем устройстве.

Придуманный некогда индусами быстрый и надёжный способ умножения многозначных чисел, много веков применявшийся при расчётах, ныне, увы, забыт. А ведь он мог бы выручить нас и сегодня, если бы под рукой не оказалось столь привычного всем калькулятора.

Что такое возведение в квадрат. Быстрое возведение чисел в квадрат без калькулятора

Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. {2}}+n+(n+1) \\\end{align}\]

— аналогичная формула для чисел, больших на 1.

Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!

Если умножить число само на себя, получится возведение в квадрат . Даже первоклассник знает, что «двукратно два – четыре». Трехзначные, четырехзначные и т.д. числа отменнее перемножать в столбик либо на калькуляторе, а вот с двузначными справляйтесь без электронного помощника, умножая в уме.

Инструкция

1. Разложите всякое двузначное число на составляющие, выделив число единиц. В числе 96 число единиц – 6. Следственно дозволено записать: 96 = 90 + 6.

2. Возведите в квадрат первое из чисел: 90 * 90 = 8100.

3. Подобно сделайте со вторым число м: 6 * 6 = 36

4. Перемножьте числа между собой и удвойте итог: 90 * 6 * 2 = 540 * 2 = 1080.

5. Сложите итоги второго, третьего и четвертого шагов: 8100 + 36 + 1080 = 9216. Это и есть итог возведения в квадрат числа 96. Позже некоторой тренировки сумеете стремительно делать шаги в уме, поражая родителей и одноклассников. Пока не освоились, записывайте итоги всего шага, дабы не запутаться.

6. Для тренировки возведите в квадрат число 74 и проверьте себя на калькуляторе. Последовательность действий: 74 = 70 + 4, 70 * 70 = 4900, 4 * 4 = 16, 70 * 4 * 2 = 560, 4900 + 16 + 560 = 5476.

7. Возведите во вторую степень число 81. Ваши действия: 81 = 80 + 1, 80 * 80 = 6400, 1 * 1 = 1, 80 * 1 * 2 = 160, 6400 + 1 + 160 = 6561.

8. Запомните нестандартный метод возведения в квадрат двузначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5. Выделите число десятков: в числе 75 их 7 штук.

9. Умножьте число десятков на следующую цифру в число вом ряду: 7 * 8 = 56.

10. Припишите справа число 25: 5625 – итог возведения в квадрат числа 75.

11. Для тренировки возведите во вторую степень число 95. Оно оканчивается на цифру 5, следственно последовательность действий: 9 * 10 = 90, 9025 – итог.

12. Обучитесь возводить в квадрат негативные числа: -95 в квадрат е равно 9025, как в одиннадцатом шаге. Подобно -74 в квадрат е равно 5476, как в шестом шаге. Это связано с тем, что при умножении 2-х негативных чисел неизменно получается правильное число : -95 * -95 = 9025. Следственно при возведении в квадрат можете легко не обращать внимания на знак «минус».

Возведение числа в степень является одним из простейших алгебраических действий. В обыденной жизни возведение используется редко, а вот на производстве при выполнении расчетов – фактически повсюду, следственно пригодно припомнить, как это делается.

Инструкция

1. Представим, что мы имеем какое-то число а, степенью которого является число n. Построить число в степень обозначает, что нужно умножить число а на самоё себя n раз.

2. Разглядим несколько примеров. Дабы построить число 2 во вторую степень, нужно произвести действие:2х2=4

3. Дабы построить число 3 в пятую степень, нужно исполнить действие:3х3х3х3х3=243

4. Существует общепринятое обозначение 2-й и третьей степени чисел. Словосочетание «вторая степень» обыкновенно заменяется словом «квадрат», а взамен словосочетания «третья степень» традиционно говорят «куб».

5. Как видно из приведенных выше примеров, продолжительность и трудоемкость вычислений зависит от величины показателя степени числа. Возведение в квадрат либо куб – достаточно простая задача; возведение числа в пятую либо огромную степень теснее требует огромнее времени и аккуратности в вычислениях. Для убыстрения данного процесса и исключения ошибок дозволено воспользоваться особыми математическими таблицами либо инженерным калькулятором.

Для короткой записи произведения одного и того же числа самого на себя математики придумали представление степени. Следственно выражение 16*16*16*16*16 дозволено записать больше коротким методом. 2». Скажем, квадрат десятичной дроби 3,14 будет равен: 3,14? = 9,8596.

2. Дабы построить в квадрат десятичную дробь на обыкновенном (бухгалтерском) калькуляторе, умножьте это число само на себя. Кстати, в некоторых моделях калькуляторов предусмотрена вероятность возведения числа в квадрат даже при отсутствии особой кнопки. Следственно заблаговременно ознакомьтесь с инструкцией к определенному калькулятору. Изредка примеры «хитроумного» возведения в степень приведены на задней крышке либо на коробке калькулятора. Скажем, на многих калькуляторах для возведения числа в квадрат довольно нажать кнопки «х» и «=».

3. Для возведения в квадрат обычной дроби (состоящей из числителя и знаменателя), возведите в квадрат по отдельности числитель и знаменатель этой дроби. То есть воспользуйтесь дальнейшим правилом:(ч / з)? = ч? / з?, где ч – числитель дроби, з – знаменатель дроби.Пример: (3/4)? = 3?/4? = 9/16.

4. Если возводимая в квадрат дробь – смешанная (состоит из целой части и обычной дроби), то заранее приведите ее к обычному виду. То есть примените следующую формулу:(ц ч/з)? = ((ц*з+ч) / з)? = (ц*з+ч)? / з?, где ц – целая часть смешанной дроби.Пример: (3 2/5)? = ((3*5+2) / 5)? = (3*5+2)? / 5? = 17? / 5? = 289/25 = 11 14/25.

5. Если возводить в квадрат обычные (не десятичные) дроби доводится непрерывно, то воспользуйтесь программой MS Excel. Для этого введите в одну из клеток таблицы следующую формулу: =СТЕПЕНЬ(A2;2) где А2 – адрес ячейки, в которую будет вводиться возводимая в квадрат дробь .Дабы осведомить программе, что с вводимым числом нужно обращаться как с обычной дробь ю (т.е. не преобразовывать ее в десятичный вид), наберите перед дробь ю цифру «0» и знак «пробел». То есть для ввода, скажем, дроби 2/3 надобно ввести: «0 2/3» (и нажать Enter). При этом в строке ввода отобразится десятичное представление введенной дроби. Значение и представление дроби непринужденно в клетке сохранится в начальном виде. Помимо того, при применении математических функций, доводами которых являются обычные дроби, итог также будет представлен в виде обычной дроби. Следственно квадрат дроби 2/3 будет представлен как 4/9.

Способ выделения квадрата двучлена используется при облегчении массивных выражений, а также для решения квадратных уравнений. На практике его традиционно комбинируют с другими приемами, включая разложение на множители, группировку и пр.

Инструкция

1. Способ выделения полного квадрата двучлена основан на применении 2-х формул сокращенного умножения многочленов. Эти формулы являются частными случаями Бинома Ньютона для 2-й степени и разрешают упростить желанное выражение так, дабы дозволено было провести дальнейшее сокращение либо разложение на множители:(m + n)² = m² + 2·m·n + n²;(m – n)² = m² – 2·m·n + n².

2. Согласно этому способу из начального многочлена требуется выделить квадраты 2-х одночленов и сумму/разность их двойного произведения. 4

3. Для решения задачи необходимо воспользоваться способом выделения полного квадрата. Выходит, выражение состоит из 2-х одночленов с переменными четной степени. Следственно, дозволено обозначить всякий из них через m и n:m = 2·y²; n = z².

4. Сейчас надобно привести начальное выражение к виду (m + n)². В нем теснее присутствуют квадраты этих слагаемых, но не хватает двойного произведения. Необходимо добавить его неестественно, а потом вычесть:(2·y²)² + 2·2·y²·z² + (z²)² – 2·2·y² ·z² = (2·y² + z²)² – 4·y²·z².

5. В получившемся выражении дозволено увидеть формулу разности квадратов:(2·y² + z²)² – (2·y·z)² = (2·y² + z² – 2·y·z)· (2·y² + z² + 2·y·z).

6. Выходит, способ состоит из 2-х этапов: выделение одночленов полного квадрата m и n, прибавление и вычитание их двойного произведения. Способ выделения полного квадрата двучлена может использоваться не только самосильно, но и в комбинации с другими способами: вынесения за скобки всеобщего множителя, замена переменной, группировки слагаемых и пр.

7. Пример 2.Выделите полный квадрат в выражении:4·y² + 2·y·z + z².Решение.4·y² + 2·y·z + z² = = (2·y)² + 2·2·y·z + (z) ² – 2·y·z = (2·y + z)² – 2·y·z.

8. Способ используется при нахождении корней квадратного уравнения. Левая часть уравнения представляет собой трехчлен вида a·y? + b·y + c, где a, b и c – какие-то числа, причем a ? 0. a·y? + b·y + c = a·(y? + (b/a)·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y) + c = a·(y? + 2·(b/(2·a))·y + b?/(4·a?)) + c – b?/(4·a) = a·(y + b/(2·a)) ? – (b? – 4·a·c)/(4·a).

9. Эти расчеты приводят к представлению дискриминанта, тот, что равен (b? – 4·a·c)/(4·a), а корни уравнения равны:y_1,2 = ±(b/(2 a)) ± ? ((b? – 4·a·c)/(4·a)).

Операция возведения в степень является «бинарной», то есть имеет два непременных входных параметра и один выходной. Один из начальных параметров именуется показателем степени и определяет число раз, которое операция умножения должна быть применена ко второму параметру – основанию. Основание может быть как правильным, так и негативным числом .

Инструкция

1. Используйте при возведении в степень негативного числа обыкновенные для этой операции правила. Как и для позитивных чисел, возведение в степень обозначает умножение начальной величины на саму себя число раз, на единицу меньшее показателя степени. Скажем, дабы построить в четвертую степень число -2, его надобно трижды умножить на себя: -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)=16.

2. Умножение 2-х негативных чисел неизменно дает позитивное значение, а итогом этой операции для величин с различными знаками будет число негативное. Из этого дозволено сделать итог, что при возведении негативных значений в степень с четным показателем неизменно должно получаться число позитивное, а при нечетных показателях итог неизменно будет поменьше нуля. Используйте это качество для проверки произведенных расчетов. Скажем, -2 в пятой степени должно быть числом негативным -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32, а -2 в шестой – позитивным -2?=-2*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=64.

3. При возведении негативного числа в степень показатель может быть приведен в формате обычной дроби – скажем, -64 в степени?. Такой показатель обозначает, что начальную величину следует построить в степень, равную числителю дроби, и извлечь из нее корень степени, равной знаменателю. Одна часть этой операции рассмотрена в предыдущих шагах, а тут вам следует обратить внимание на иную.

4. Извлечение корня – нечетная функция, то есть для негативных вещественных чисел она может использоваться только при нечетном показателе степени. При четном эта функция значения не имеет. Следственно, если в условиях задачи требуется построить негативное число в дробную степень с четным знаменателем, то задача решения не имеет. В остальных случая проделайте вначале операции из первых 2-х шагов, применяя в качестве показателя степени числитель дроби, а после этого извлеките корень со степенью знаменателя.

Степенной формат записи числа – это сокращенная форма записи операции умножения основания на само себя. С числом, представленным в такой форме, дозволено осуществлять те же операции, что и с всякими другими числами, в том числе и возводить их в степень . Скажем, дозволено построить в произвольную степень квадрат числа и приобретение итога на современном ярусе становления техники не составит какой-нибудь сложности.

Вам понадобится

  • Доступ в интернет либо калькулятор Windows.

Инструкция

1. Для возведения квадрат а в степень используйте всеобщее правило возведения в степень числа, теснее имеющего степенной показатель. При такой операции показатели перемножаются, а основание остается бывшим. Если основание обозначить как x, а начальный и добавочный показатели степени – как a и b, записать это правило в всеобщем виде дозволено так: (x?)?=x??.

2. Для утилитарных расчетов проще каждого воспользоваться поисковой системой Google – в нее встроен дюже легкой в применении калькулятор. (2*5). Для всякого из этих вариантов калькулятор поисковика вернет идентичный результат: 60 466 176.

3. При отсутствии доступа в интернет вычислитель Google дозволено заменить, скажем, встроенным калькулятором Windows. Если вы используете версии Seven либо Vista этой ОС, раскройте основное меню системы и наберите каждого две буквы: «ка». Система отобразит в основном меню все программы и файлы, которые у нее ассоциируется с этим сочетанием. В первой строке будет ссылка «Калькулятор» – кликните по ней мышкой, и приложение будет запущено.

4. Нажмите сочетание клавиш Alt + 2, дабы в интерфейсе приложения возникла кнопка с функцией возведения в произвольную степень . После этого введите основание – в примере из второго шага это число 6 – и кликните вначале по кнопке x?, а после этого по кнопке x?. Введите показатель степени, в которую надобно построить квадрат – в использованном примере это число 5. Нажмите кнопку Enter, и калькулятор отобразит окончательный итог операции.

Видео по теме

Полезный совет
Дабы тренировка не была тоскливой, позовите на подмога друга. Пускай он пишет двузначное число, а вы – вывод возведения этого числа в квадрат. После этого меняйтесь местами.

Умение считать в уме квадраты чисел может пригодиться в разных жизненных ситуациях, например, для быстрой оценки инвестиционных сделок, для подсчета площадей и объемов, а также во многих других случаях. Кроме того, умение считать квадраты в уме может служить демонстрацией ваших интеллектуальных способностей. В данной статье разобраны методики и алгоритмы, позволяющие научиться этому навыку.

Квадрат суммы и квадрат разности

Одним из самых простых способов возведения двузначных чисел в квадрат является методика, основанная на использовании формул квадрата суммы и квадрата разности:

Для использования этого метода необходимо разложить двузначное число на сумму числа кратного 10 и числа меньше 10. Например:

  • 37 2 = (30+7) 2 = 30 2 + 2*30*7 + 7 2 = 900+420+49 = 1 369
  • 94 2 = (90+4) 2 = 90 2 + 2*90*4 + 4 2 = 8100+720+16 = 8 836

Практически все методики возведения в квадрат (которые описаны ниже) основываются на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Эти формулы позволили выделить ряд алгоритмов упрощающих возведение в квадрат в некоторых частных случаях.

Квадрат близкий к известному квадрату

Если число, возводимое в квадрат, находится близко к числу, квадрат которого мы знаем, можно использовать одну из четырех методик для упрощенного счета в уме:

На 1 больше:

Методика: к квадрату числа на единицу меньше прибавляем само число и число на единицу меньше.

  • 31 2 = 30 2 + 31 + 30 = 961
  • 16 2 = 15 2 + 15 + 16 = 225 + 31 = 256

На 1 меньше:

Методика: из квадрата числа на единицу больше вычитаем само число и число на единицу больше.

  • 19 2 = 20 2 – 19 – 20 = 400 – 39 = 361
  • 24 2 = 25 2 – 24 – 25 = 625 – 25 – 24 = 576

На 2 больше

Методика: к квадрату числа на 2 меньше прибавляем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 меньше.

  • 22 2 = 20 2 + 2*(20+22) = 400 + 84 = 484
  • 27 2 = 25 2 + 2*(25+27) = 625 + 104 = 729

На 2 меньше

Методика: из квадрата числа на 2 больше вычитаем удвоенную сумму самого числа и числа на 2 больше.

  • 48 2 = 50 2 – 2*(50+48) = 2500 – 196 = 2 304
  • 98 2 = 100 2 – 2*(100+98) = 10 000 – 396 = 9 604

Все эти методики можно легко доказать, выведя алгоритмы из формул квадрата суммы и квадрата разности (о которых сказано выше).

Квадрат чисел, заканчивающихся на 5

Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу приписываем 25.

  • 15 2 = (1*(1+1)) 25 = 225
  • 25 2 = (2*(2+1)) 25 = 625
  • 85 2 = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Это верно и для более сложных примеров:

  • 155 2 = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Квадрат чисел близких к 50

Считать квадрат чисел, которые находятся в диапазоне от 40 до 60 , можно очень простым способом. Алгоритм таков: к 25 прибавляем (или вычитаем) столько, насколько число больше (или меньше) 50. Умножаем эту сумму (или разность) на 100. К этому произведению добавляем квадрат разности числа, возводимого в квадрат, и пятидесяти. Посмотрите работу алгоритма на примерах:

  • 44 2 = (25-6)*100 + 6 2 = 1900 + 36 = 1936
  • 53 2 = (25+3)*100 + 3 2 = 2800 + 9 = 2809

Квадрат трехзначных чисел

Возведение в квадрат трехзначных чисел может быть осуществлено при помощи одной из формул сокращенного умножения:

Нельзя сказать, что этот способ является удобным для устного счета, но в особо сложных случаях его можно взять на вооружение:

436 2 = (400+30+6) 2 = 400 2 + 30 2 + 6 2 + 2*400*30 + 2*400*6 + 2*30*6 = 160 000 + 900 + 36 + 24 000 + 4 800 + 360 = 190 096

Тренировка

Если вы хотите прокачать свои умения по теме данного урока, можете использовать следующую игру. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что числа каждый раз разные.

В книге «Магия чисел» рассказывается о десятках трюков, которые упрощают привычные математические операции. Оказалось, что умножение и деление в столбик – это прошлый век, а есть гораздо более эффективные способы деления в уме. 2

  • Умножаем 7 на 8 и получаем 56.
  • Добавляем к числу 25 и получаем 5 625.
  • Деление на однозначное число

    Деление в уме – это достаточно полезный навык. Задумайтесь о том, как часто мы делим числа каждый день. К примеру, счёт в ресторане.

    Пример : 675: 8

    1. Найдём приближенные ответы, умножив 8 на удобные числа, которые дают крайние результаты (8 × 80 = 640, 8 × 90 = 720). Наш ответ – 80 с хвостиком.
    2. Вычтем 640 из 675. Получив число 35, нужно разделить его на 8 и получить 4 с остатком 3.
    3. Наш финальный ответ – 84,3.

    Мы получаем не максимально точный ответ (правильный ответ – 84,375), но согласитесь, что даже такого ответа будет более чем достаточно.

    Простое получение 15%

    Чтобы быстро узнать 15% от любого числа, нужно сначала посчитать 10% от него (перенеся запятую на один знак влево), затем поделить получившееся число на 2 и прибавить его к 10%.

    Пример : 15% от 650

    1. Находим 10% – 65.
    2. Находим половину от 65 – это 32,5.
    3. Прибавляем 32,5 к 65 и получаем 97,5.

    Банальный трюк

    Пожалуй, все мы натыкались на такой трюк:

    Задумайте любое число. Умножьте его на 2. Прибавьте 12. Разделите сумму на 2. Вычтите из неё исходное число.

    Вы получили 6, верно? Что бы вы ни загадали, вы всё равно получите 6. И вот почему:

    1. 2x (удвоить число).
    2. 2x + 12 (прибавить 12).
    3. (2x + 12) : 2 = x + 6 (разделить на 2).
    4. x + 6 − x (вычесть исходное число).

    Этот трюк построен на элементарных правилах алгебры. Поэтому, если вы когда-нибудь услышите, что кто-то его загадывает, натяните свою самую надменную усмешку, сделайте презрительный взгляд и расскажите всем разгадку. 🙂

    Магия числа 1 089

    Этот трюк существует не одно столетие.

    Запишите любое трёхзначное число, цифры которого идут в порядке уменьшения (к примеру, 765 или 974). Теперь запишите его в обратном порядке и вычтите его из исходного числа. К полученному ответу добавьте его же, только в обратном порядке.

    Какое бы число вы ни выбрали, в результате получите 1 089.

    Быстрые кубические корни

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    1 8 27 64 125 216 343 512 729 1 000

    Как только вы запомните эти значения, находить кубический корень из любого числа будет элементарно просто.

    Пример : кубический корень из 19 683

    1. Берём величину тысяч (19) и смотрим, между какими числами она находится (8 и 27). Соответственно, первой цифрой в ответе будет 2, а ответ лежит в диапазоне 20+.
    2. Каждая цифра от 0 до 9 появляется в таблице по одному разу в виде последней цифры куба. 3. Следовательно, последняя цифра ответа – 7.
    3. Ответ – 27.

    Примечание: трюк работает только тогда, когда исходное число является кубом целого числа.

    Правило 70

    Чтобы найти число лет, необходимых для удвоения ваших денег, нужно разделить число 70 на годовую процентную ставку.

    Пример : число лет, необходимое для удвоения денег с годовой процентной ставкой 20%.

    70: 20 = 3,5 года

    Правило 110

    Чтобы найти число лет, необходимых для утроения денег, нужно разделить число 110 на годовую процентную ставку.

    Пример : число лет, необходимое для утроения денег с годовой процентной ставкой 12%.

    110: 12 = 9 лет

    Математика – волшебная наука. Если даже такие простые трюки удивляют, то какие ещё фокусы можно придумать?

    Возведение в квадрат трехзначных чисел – впечатляющее проявление искусности в ментальном фокусничестве. Так же как при возведении в квадрат двузначного числа выполняется его округление в большую или меньшую сторону для получения кратного 10, для возведения трехзначного числа в квадрат его нужно округлить в большую или меньшую сторону для получения кратного 100. Возведем в квадрат число 193.

    Путем ок ругления 193 до 200 (второй сомножитель стал равным 186) задача типа «3 на 3» преобразовалась в более простую типа «3 на 1», так как 200 х 186 – это всего лишь 2 х 186 = 372 с двумя нулями в конце. Почти готово! Теперь все, что нужно сделать, это прибавить 7 2 = 49 и получить ответ – 37 249.

    Попробуем возвести в квадрат 706.


    При округлении числа 706 до 700 необходимо еще и изменить это же число на 6 в большую сторону для получения 712.

    Так как 712 х 7 = 4984 (простая задача типа «3 на 1»), 712 х 700 = = 498 400. Прибавив 6 2 = 36, получаем 498 436.

    Последние примеры не так уж страшны, потому что не включают в себя сложения как такового. Кроме того, вы наизусть знаете, чему равняются 6 2 и 7 2 . Возводить в квадрат число, которое отстоит от кратного 100 больше чем на 10 единиц, значительно труднее. Попробуйте свои силы с 314 2 .


    В этом примере число 314 уменьшилось на 14 ради округления до 300 и увеличилось на 14 до 328. Умножаем 328 х 3 = 984 и добавляем два нуля в конце, чтобы получить 98 400. Затем прибавляем квадрат 14. Если вам мгновенно приходит на ум (благодаря памяти или быстрым вычислениям), что 14 2 = 196, то вы в хорошей форме. Далее просто сложите 98 400 + 196 для получения окончательного ответа 98 596.

    Если вам нужно время для подсчета 14 2 , повторите «98 400» несколько раз, прежде чем продолжить. Иначе можно вычислить 14 2 = 196 и забыть, к какому числу нужно прибавить произведение.


    Если у вас есть аудитория, которую вы хотели бы впечатлить, можете произнести вслух «279 000», прежде чем найдете 292. Но такое не пройдет в случае каждой решаемой задачи.

    Например, попытайтесь возвести в квадрат 636.


    Теперь ваш мозг по-настоящему заработал, не правда ли?

    Не забывайте повторять «403 200» самому себе несколько раз, пока будете возводить в квадрат привычным способом 36, чтобы получить 1296. Самое сложное – суммировать 1296 + 403 200. Делайте это по одной цифре за раз, слева направо, и получите ответ 404 496. Даю слово, что, как только вы лучше ознакомитесь с возведением в квадрат двузначных чисел, задачки с трехзначными значительно упростятся.

    Вот еще более сложный пример: 863 2 .


    Первая проблема – надо решить, какие числа перемножать. Несомненно, одно из них будет 900, а другое – больше 800. Но какое именно? Это можно рассчитать двумя способами.

    1. Сложный способ: разность между 863 и 900 составляет 37 (дополнение для 63), вычитаем 37 из 863 и получаем 826.

    2. Легкий способ: удваиваем число 63, получаем 126, теперь последние две цифры этого числа прибавляем к числу 800, что в итоге даст 826.

    Вот как работает легкий способ. Поскольку оба числа имеют одинаковую разность с числом 863, их сумма должна равняться удвоенному числу 863, то есть 1726. Одно из чисел 900, значит, другое будет равно 826.

    Затем проводим следующие вычисления.


    Если вам трудно вспомнить число 743 400 после возведения в квадрат числа 37, не расстраивайтесь. В следующих главах вы узнаете систему мнемотехники и научитесь запоминать такие числа.

    Попробуйте свои силы на самой трудной пока задаче – на возведении в квадрат числа 359.


    Для получения 318 либо отнимите 41 (дополнение для 59) от 359, либо умножьте 2 х 59 = 118 и используйте последние две цифры. Далее умножьте 400 х 318 = 127 200. Прибавление к этому числу 412 = 1681 даст в сумме 128 881. Вот и все! Если вы сделали все правильно с первого раза, вы молодец!

    Завершим этот раздел большой, но легкой задачей: вычислим 987 2 .


    УПРАЖНЕНИЕ: ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

    1. 409 2 2. 805 2 3. 217 2 4. 896 2

    5. 345 2 6. 346 2 6. 276 2 8. 682 2

    9. 413 2 10. 781 2 11. 975 2

    Что за дверью номер 1?

    Математической банальностью 1991 года, которая поставила всех в тупик, оказалась статья Мэрилин Савант – женщины с самым высоким в мире IQ (что зарегистрировано в Книге рекордов Гиннесса) – в журнале Parade. Этот парадокс стал известен как «проблема Монти Холла», и заключается он в следующем.

    Вы участник шоу Монти Холла «Давайте совершать сделки» (Let’s Make a Deal). Ведущий дает вам возможность выбрать одну из трех дверей, за одной из которых находится большой приз, за двумя другими – козы. Допустим, вы выбираете дверь № 2. Но прежде чем показать, что скрывается за этой дверью, Монти открывает дверь № 3. Там коза. Теперь в своей дразнящей манере Монти спрашивает вас: вы хотите открыть дверь № 2 или рискнете посмотреть, что находится за дверью № 1? Что вам следует сделать? Если предположить, что Монти собирается подсказать вам, где нет главного приза, то он всегда будет открывать одну из «утешительных» дверей. Это оставляет вас перед выбором: одна дверь с большим призом, а вторая – с утешительным. Сейчас ваши шансы составляют 50 на 50, не так ли?

    А вот и нет! Шанс, что вы правильно выбрали в первый раз, по-прежнему 1 к 3. Вероятность того, что большой приз окажется за другой дверью, увеличивается до 2/3, потому что вероятности в сумме должны давать 1.

    Таким образом, изменив свой выбор, вы удвоите шансы на выигрыш! (В задаче предполагается, что Монти всегда будет давать игроку возможность сделать новый выбор, показывая «невыигрышную» дверь, и, когда ваш первый выбор окажется правильным, откроет «невыигрышную» дверь наугад.) Поразмышляйте об игре с десятью дверями. Пусть после вашего первого выбора ведущий откроет восемь «невыигрышных» дверей. Здесь ваши инстинкты, скорее всего, потребуют поменять дверь. Люди обычно ошибаются, думая, что если Монти Холл не знает, где главный приз, и открывает дверь № 3, за которой оказывается коза (хотя мог бы быть и приз), то дверь № 1 с вероятностью в 50 процентов будет нужной. Такое рассуждение противоречит здравому смыслу, тем не менее Мэрилин Савант получила груды писем (многие от ученых, и даже математиков), в которых говорилось, что ей не следовало писать о математике. Конечно, все эти люди были неправы.

    Лайфхак – Как быстро считать в уме — несколько простых…

    Как быстро считать в уме — несколько простых приемов для сложных повседневных вычислений в голове

    Этот список нескольких малоизвестных математических трюков покажет вам как быстро считать в уме в случаях, посложнее чем 5 умножить на 10, а ещё ваши знакомые смогут пользоваться вами, как калькулятором.

    1. Умножаем на 11
    Все мы знаем, как быстро умножить число на 10, нужно лишь добавить ноль в конце, но знаете ли вы, что есть фишка как легко умножить двузначное число на 11?
    Допустим, нам нужно умножить 63 на 11. Возьмите двузначное число, которое нужно умножить на 11 и представьте между его двумя цифрами место:
    6_3
    Теперь сложите первую и вторую цифру этого числа и поместите в это место:
    6_(6+3)_3
    И наш результат умножения готов:
    63*11=693
    Если же результат сложения первой и второй цифры двузначное число, вставляйте только вторую цифру, а к первой цифре исходного числа прибавляйте единицу:
    79*11=
    7_(7+9)_9
    (7+1)_6_9
    79*11=869

    2. Быстрое возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5
    Если вам нужно возвести возвести в кадрат двузначное число, заканчивающееся на 5, то вы можете сделать это очень просто в уме. Умножьте первую цифру числа на саму себя плюс единица и добавьте в конце 25, и это всё:
    45*45=4*(4+1)_25=2025

    3. Умножение на 5
    Для большинства людей умножение на 5 не составляет труда для небольших чисел, но как быстро считать в уме большие числа, умноженные на 5?
    Вам нужно взять это число и разделить на 2. Если результат целое число, то добавьте к нему 0 в конце, если нет, отбросьте остаток и добавьте 5 в конце:
    1248*5=(1248/2)_(0 или 5)=624_(0 или 5)=6240 (результат деления на 2 целое число)
    4469*5=(4469/2)_(0 или 5)=(2234.5)_(0 или 5)=22345 (результат деления на 2 число с остатком)

    4. Умножение на 4
    Это очень простая и, с первого взгляда, очевидная фишка умножения любого числа на 4, но насмотря на это люди не догадываются о ней в нужный момент. Чтобы просто умножить любое число на 4, нужно уножить его на 2, а потом снова умножить на 2:
    67*4=67*2*2=134*2=268

    Хитрости Умножения. – Маркетинг, Психология, Mind Maps — LiveJournal

    Можно ли научиться считать в уме быстро и аккуратно? Можно! Используйте хитрые приёмы, разработанные нашими предшественниками.
    1. Умножение на 9 с помощью пальцев
    Поверните к себе раскрытые ладони. Перед нами десять пальцев. Теперь загните первый палец слева. Осталось девять пальцев. Мы умножили девять на один.
    Теперь попробуем умножить на 2: нужно загнуть второй палец слева. С одной стороны от загнутого остался один палец, а с другой – восемь. Один, восемь – получилось 18
    Умножим 9 на 7? Загибаем седьмой по счету палец. Слева остается шесть, а справа три – 63!

    2. Умножение на 10
    Легче всего умножать числа на 10. Надо просто дописать 0 к числу.
    • Пример:
    2•10=20,
    43•10=430.

    3. Быстрое умножение на 11
    Умножать на 11 тоже очень легко – надо к данному числу дописать такое же число.
    • Пример:
    3•11=33
    7•11=77

    4. Быстрое умножение ДВУЗНАЧНЫХ чисел на 11
    Умножим 35 на 11.
    Запишем число 35 с промежутком между цифрами: 3_5. А в серединку запишем сумму этих цифр:
    • Пример:
    3(3+5)5=385

    5. Быстрое умножение ДВУЗНАЧНЫХ чисел на 11 ЕСЛИ у вас получается ДВУЗНАЧНОЕ число
    Тогда на место пробела подставим вторую цифру полученной суммы. А первую цифру этой суммы прибавим к первой “отделенной” цифре.
    • Пример:
    93•11= 9 _ 3= 9 (9+3) 3= 9 (12) 3= (9+1) 2 3= 10 2 3= =1023
    58•11=5 _ 8= 5 (5+8) 8= 5 (13) 8=(5+1) 3 8= 6 3 8= 638

    6. Умножение двузначных чисел, оканчивающихся на “1”
    Пример:
    51 •31 =5•3• 100+(5 + 3)•10+1=1500+80+1=1581.
    Обоснование :
    (10а+1)•(10b -1)=100ab+10(a+b)+1

    7. Умножение чисел, заключенных между 10 и 20
    Пример:
    17•14=(17+4)•10+7•4=210+28=238
    Обоснование
    (10+a)•(10+b)=100+10(a+b)+a•b

    8. Быстрое возведение в квадрат чисел , близких к 50
    вычти из этого числа 25,
    припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.
    Пример:
    1) 582 = 3364.
    Объяснение. 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.
    2) 642 = 4096.
    Объяснение. 64 – 25 = 39, 64 – 50 = 14, 142 = 196,
    1
    642 =3996 = 4096.

    9. Умножение двух чисел, близких к 100
    найди недостатки сомножителей до сотни;
    вычти из одного сомножителя недостаток второго до сотни;
    к результату припиши двумя цифрами произведение недостатков сомножителей до сотни.
    Пример:
    Пишем: 94•97= 9118 (девяносто один – восемнадцать).
    Узнаем, каков недостаток первого сомножителя (94) до 100. Это будет 6. Недостаток второго сомножителя (97) до 100 равен 3. Затем из одного сомножителя (94) вычитаем недостаток (3) второго сомножителя до 100; получаем 91. Приписываем к результату произведения 3•6, то есть 18.

    10. Умножение на 99
    Умножение на 99 выполняется по формуле:
    АС • 99 = [АС – (А+1)] •102 + (102 – С),
    где С – две (т.к. 102) заключительные цифры числа, а А — цифры слева от С.
    Пример:
    368 • 99 = (368-(3+ 1)) • 100 + (100-68) = 36400 + 32 = 36432.

    11. Умножение на 999
    АС• 999 = АС – (А + 1)) • 103 + (103 – С),
    где С – три (999 = 103 – 1) заключительные цифры числа, а А – цифры слева от С.
    Пример:
    368 • 999 = (368 – (0 + 1)) • 1000 + (1000 – 368) = 367000 + 632 = =367632.

    12. Деление с использованием умножения (или деления) делимого и делителя на одно и то же число
    А : С = (а • х) : (с • х) = а : с
    Примеры:
    405 : 15 = (405 • 2) : (15 • 2) = 810 : 30 = 27;
    224 : 28 = (224 : 4) : (28 : 4) = 56 : 7 = 8;
    5134 : 34 = 302 : 2 = 151;
    324 : 27 = 108 : 9 = 12.

    13. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 25
    (А25)2 = (А•А + А:2)•10•1000 + 625
    Примеры:
    2252 = (2•2 + 2:2) •10•1000 + 625 = 50625;
    13252 = [(132 + 13:2)•10•1000] + 625 = 1755625.
    Обоснование:
    (А•100 + 25) •(А•100 + 25) = (А2 + 0,5•А)•10•1000 + 625= =(А•100)2+ 2• (А•100)•25 + 252 = (А•100 + 25)2

    14. Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 75
    ( А75 )2 = [(А || 5) • (А + 1)] || 625
    • Примеры:
    1752 = (15 • (1 + 1)) || 625 = 30625;
    3752 = (35 • (3 + 1)) || 625 = 140625;
    11752 = (115 • (11 + 1)) || 625 = 1380625.
    || означает «дописать к числу»

    15. Возведение в квадрат трехзначных чисел, оканчивающихся на цифру 5.
    (АС5)2 = (А • 10 + С5:5) • А • 1000 + (С5)2,
    где С – число десятков, а А – цифры слева от него.
    • Примеры:
    4252 = (4•10 + 25:5)•4•1000+252 =45•4•1000 + 625 = 180625;
    1452 = (10 + 45:5)•1•1000 + 452 = 19•1000 + 2025 = 21025.
    Автор: Учитель математики: Тарасик Евгения Александровна

    Лучший способ умножения трехзначных чисел

    В этом уроке вы узнаете приемы умножения трехзначных чисел ведической математики. В предыдущем уроке по двузначному умножению мы рассмотрели технику вертикального и крестообразного умножения или технику Урдхва Тирьяк из Ведической математики. Метод трехзначного умножения, который мы собираемся изучить, является расширением метода двухзначного умножения.

    К концу этого поста вы научитесь следующим приемам:

    • Умножение 3 цифр на 3 цифры
    • Умножение 3 цифр на 2 цифры
    • Умножение 3 цифр на 1 цифру

    Умножение 3 цифр на 3 Видео

    Математическая хитрость для умножения трехзначных номеров

    Как объяснено на видео выше, мы в основном собираемся использовать урдхва Тиряк Хитрость ведической математики для расчета продукта из трехзначных чисел. Теперь давайте рассмотрим этот трюк с умножением на примерах.

    Здесь мы объясняем трюк с трехзначным умножением путем вычисления слева направо, однако его также можно вычислять справа налево. Но мы рекомендуем делать это слева направо, так как идея изучения этих трюков состоит в том, чтобы помочь улучшить наши навыки счета в уме. Прежде всего, умственный расчет — это расчет слева направо.

    Пример 1: Произведение чисел 121 и 231

    • Для вычисления произведения трехзначных чисел разделим решение на 5 частей.Количество частей здесь получается как 2x$n$-1, где $n$ представляет значение в n-разрядном умножении. Следовательно,

    121
    x 231
     ————————
    ? | ? | ? | ? | ?

    • Самая левая часть получается путем умножения крайних левых цифр 1 из 121 и 2 из 231 => 1×2 = 2.

     121
    x 231 
    ————————
    2 | ? | ? | ? | ?

    • Вторая часть получается путем перекрестного умножения первых двух цифр 1 и 3 и 2 и 2 с последующим сложением соответствующих произведений => 1×3 + 2×2 = 7

     121
    x 231 
    —— ——————
    2 | 7 | ? | ? | ?

    • Средняя часть получается путем перекрестного умножения трехзначного числа 1 и 1, 2 и 3, 1 и 2, а затем сложения соответствующих произведений => 1×1 + 2×3 + 1×2 = 9

     121
    x 231 
    ————————
    2 | 7 | 9 | ? | ?

    • Четвертая часть получается путем перекрестного умножения двух последних цифр 2 и 1 и 1 и 3 с последующим сложением соответствующих произведений => 2×1 + 1×3 = 5

     121
    x 231 
    —— ——————
    2 | 7 | 9 | 5 | ?

    • Правая часть получается путем умножения самых правых цифр в обоих числах => 1×1 = 1

     121
    x 231 
    ————————
    2 | 7 | 9 | 5 | 1

    Пример 2: Произведение чисел 415 и 326

    • Подобно примеру 1, найдем произведение, разделив решение на 5 частей:

     415
    x 326  5—045 ————— | ? | ? | ? | ?

    • Первая часть получается произведением 4 и 3 => 4×3 = 12

     415
    x 326 
    ————————
    12 | ? | ? | ? | ?

    • Теперь следующая часть получается путем перекрестного умножения первых двух цифр 4 и 2 и 1 и 3, а затем сложения соответствующих произведений => 4×2 + 1×3 = 11

     415
    x 326 
    ————————
    12 | 11 | ? | ? | ?

    Примечание. За исключением левой части, все остальные части должны содержать только одну цифру, лишняя цифра, если таковая имеется, будет перенесена влево.Следовательно, избыток 1 из 11 будет перенесен в левую часть. Таким образом:

     415
    x 326 
    ————————
    13 | 1 | ? | ? | ?

    • Затем третья часть получается путем перекрестного умножения трехзначного числа 4 и 6, 1 и 2, 5 и 3 и сложения соответствующих произведений => 4×6 + 1×2 + 5×3 = 41

    415
    x 326
    ————————
    13 | 1 | 41 | ? | ?

    => 13 | 5 | 1 | ? | ?

    • Теперь четвертая часть вычисляется путем перекрестного умножения между двумя последними цифрами 1 и 6 и 5 и 2, а затем сложения соответствующих произведений => 1×6 + 5×2 = 16

     415
    x 326 
    ————————

    13 | 1 | 41 | 16 | ?

    => 13 | 5 | 2 | 6 | ?

    • Последняя часть получается путем умножения самых правых цифр в обоих числах => 5×6 = 30

     416
    x 326 
    ————————
    13 | 5 | 2 | 6 | 30

     = 13 | 5 | 2 | 9 | 0

    • Таким образом, мы вычислили произведение 416 и 326, используя вертикальную и поперечную технику слева направо без использования калькулятора.

     

    Как умножать трехзначные числа на двузначные

    Умножение трехзначных чисел на два можно выполнить путем преобразования его в трехзначное умножение на трехзначное. То есть мы в основном преобразуем двузначное число в трехзначное число, добавляя к нему 0. Если ABC — трехзначный множитель, а DE — двузначное множимое, то ABC x DE можно рассматривать как:

         ABC
    x 0 DE
    —————-
    =====>

    Пример: произведение 246 и 34

    • Чтобы вычислить произведение 246 и 34, мы сначала прибавляем 34 к 0

    90  456 246

    • Далее мы действуем аналогично умножению трех цифр выше

     246
    x 034 
     ————————
    ? | ? | ? | ? | ?

    • Вычислить большую часть слева: 2×0 = 0

     246
    x 034 
    ————————
    0 | ? | ? | ? | ?

    • Затем вторая часть с использованием двух левых цифр => 2×3 + 4×0 = 6

     246
    x 034 
    ————————
    0 | 6 | ? | ? | ?

    • Вычислите среднюю часть, используя вертикальное и поперечное умножение => 2×4 + 4×3 + 6×0 = 20. Так как он содержит более одной цифры, лишняя цифра 2 будет перенесена влево:

     246
    x 034 
    ————————
    0 | 6 | 20 | ? | ?

    0 | 8 | 0 | ? | ?

    • Вычислить четвертую часть, используя вертикальное и перекрестное умножение двух последних цифр, и сложить полученные произведения => 4×4 + 6×3 = 34

     246
    x 034 
    ————————
    0 | 8 | 0 | 34 | ?

    0 | 8 | 3 | 4 | ?

    • Найти правую большую часть => 6×4 = 24

     246
    x 034 
    ————————
    0 | 8 | 3 | 4 | 24

    0 | 8 | 3 | 6 | 4

     

    Таким образом, путем преобразования 3-значного на 2-значное умножение в 3-значное на 3-значное умножение, мы вычислили произведение 246 и 34, которое равно 8364

     

    Трюк умножения трех цифр на одну цифру

    2 ABC — это трехзначное число, которое нужно умножить на однозначное число, скажем, D.Затем подход слева направо к умножению 3 цифр на 2 цифры выполняется путем умножения A на D, B на D и затем C на D.

    ABC
    x     D
    ————
    ==== =>

    Во время этого процесса умножения, если произведение B и D или C и D дает более 1 цифры, лишняя цифра будет перенесена влево.

    Пример: Произведение 456 и 3

    В 456 x 3 сначала умножьте крайнюю левую цифру 4 на 3 => 4×3 = 12 | ? | ?

    Затем умножьте вторую цифру 5 на 3 => 5×3 = 15.Перенесите излишек 1 из 15 влево, как показано ниже:

      4 5 6
    x      3
    ————–
    12 | 15 | ?

    13 | 5 | ?

    Теперь умножьте цифру единиц 6 на 3: 6×3 = 18, а затем перенесите лишнюю 1 в среднюю часть. Таким образом, 5 становится 6. Следовательно, мы имеем 456 x 3 = 1368

      4 5 6
    x      3
    ————–
    13 | 5 | 18 

    13 | 6 | 8 

     

    Что дальше?

    Как видно из приведенных выше двух, трехзначное умножение является простым расширением двузначного умножения.Этот трюк требует значительной практики. Но как только вы овладеете им, вы будете поражены тем, какой умственной тренировкой это окажется. Для практики вы можете начать с умножения 3 цифр на 1 цифру слева направо, что поможет вам попрактиковаться в расчете переноса в уме, а затем начать с умножения 3 цифр на 3 цифры.

    Помните, что вы не сможете освоить умножение слева направо за одну ночь, но, приложив значительные усилия, вы обязательно влюбитесь в эту технику.Теперь пройдите тест ниже и упражнения, связанные с этим уроком, чтобы начать.

     

    Умножение двузначного числа на однозначное — видео и расшифровка урока

    Использование традиционного умножения

    Метод традиционного умножения используется большинством людей для умножения чисел. Этот метод включает в себя запись чисел вертикально и их выравнивание по разрядности (единицы должны быть в одном столбце, десятки должны быть в одном столбце и т. д.).Давайте воспользуемся традиционным умножением, чтобы найти ответ на нашу задачу о мармеладных мишках.

    Начните с написания задачи вертикально:

    Теперь умножьте цифры в столбце единиц. Итак, мы умножаем 3 единицы на 7 единиц. Так как это равно 21 единице, 1 помещается в столбец единиц, а 2 переносится — поместите его над столбцом десятков, чтобы добавить позже (так же, как перенос при добавлении!):

    Затем умножьте 1 на 7, чтобы получить произведение 7.Не забудьте добавить перенесенные 2, чтобы получить сумму 9. Напишите 9 в разделе ответов рядом с 1:

    Вы только что нашли свой продукт: 91.

    Используя модель площади

    Если у вас возникли проблемы с традиционным методом, есть другой способ найти произведение двузначного числа и единицы -цифровое число. Модель площадей использует квадраты, чтобы помочь нам визуализировать каждый шаг проблемы и увидеть, как числа влияют на продукт.(Его также называют методом ящика!)

    Начните с рисования блока модели области. Поскольку наше самое большое число состоит из двух цифр, нам нужно будет разделить его на два столбца. Разделите его на секцию десятков (которая должна быть больше, чтобы соответствовать большему продукту) и секцию единиц. Поскольку другое число в задаче однозначное, нам нужна только одна строка.

    Далее мы разобьем двузначное число на десятки и единицы. Например, число 24 будет 20 плюс 4.Число 17 будет 10 плюс 7. Угадали?

    В этом примере давайте снова воспользуемся нашей задачей о мармеладном мишке: 13 x 7. Двузначное число отделено и написано сверху. Сбоку написан однозначный номер:

    Затем мы умножаем десятки и единицы двузначного числа на однозначное число. Когда мы используем модель площади, не имеет значения, начинаем ли мы сначала с десятков или единиц.

    Чтобы получить окончательный ответ, мы сложим два произведения: 70 + 21 = 91.Это означает, что 13 x 7 = 91. Это тот же ответ, который мы получили, используя традиционный метод!

    Краткий обзор урока

    Существует два основных метода умножения для нахождения произведения или ответа двузначного числа и однозначного числа. Традиционный метод умножения на включает в себя запись чисел по вертикали и их выравнивание по разрядности. Модель площадей (блочный метод) использует блоки, чтобы помочь нам визуализировать каждый шаг проблемы и увидеть, как числа влияют на продукт.

    эффективных стратегий обучения многозначному умножению

    Многозначное умножение — сложная для обучения концепция. Давно прошли те времена, когда мы обучали одному методу, такому как длинное умножение, и просто *надеялись*, что все наши ученики поймут и смогут эффективно использовать этот метод. Сегодня мы знаем, как важно обучать многозначному умножению более стратегически. Это гарантирует, что каждый ученик в вашем классе сможет добиться успеха в той или иной степени. Это также гарантирует, что знания учащихся построены на стратегической основе и что они действительно ПОНИМАЮТ процесс многозначного умножения.

    Теперь, прежде чем я начну говорить о некоторых методах многозначного умножения, я хочу сообщить вам, что у меня есть бесплатный мини-курс по этой теме — Обучение многозначному умножению и делению для РЕАЛЬНОГО понимания . Если вы готовы, наконец, разработать план успеха ученика, обязательно приходите! ЗАРЕГИСТРИРУЙТЕСЬ ЗДЕСЬ.

     

    В качестве альтернативы, если вы ищете ресурс, где вся работа будет сделана за вас, вас может заинтересовать эта станция многозначного умножения, где учащиеся работают с различными стратегиями в своем собственном темпе, осваивая каждую из них по мере того, как они идти. Стратегии интегрированы стратегическим образом, гарантируя, что учащиеся постепенно наращивают свое понимание. См. Станцию ​​многозначного умножения ЗДЕСЬ.

     

     

     

    Итак, с чего начать обучение многозначному умножению?

    Важно начать со стратегий, которые помогут учащимся решать многозначные уравнения в уме. Вместо того, чтобы сразу переходить к длинному умножению или эффективной альтернативе, начните со следующего:

     

    1.  Коммутативные и ассоциативные свойства . В первую очередь важно, чтобы учащиеся запомнили эти свойства. Свойство коммутативности утверждает, что порядок множителей не меняет произведения. Например, 4 × 3 и 3 × 4 равны 12. Ассоциативное свойство утверждает, что факторы могут быть сгруппированы по-разному. Например, (7×2)x5 дает тот же результат, что и (2×5)x7.Эти свойства помогают учащимся понять, что они могут манипулировать уравнениями, чтобы упростить их решение.

    2.  Использование факторов. Это отличный способ научить учащихся тому, что числами можно манипулировать, чтобы упростить решение уравнения. Когда мы учим многозначному умножению, наша цель не всегда состоит в том, чтобы как можно быстрее получить правильный ответ. Иногда наша цель состоит в том, чтобы уметь мыслить творчески, когда дело доходит до числа. Это один из таких случаев. Мы могли бы взять уравнение 4×15 и разбить 15 на его множители, 3 и 5.Теперь у нас есть это уравнение: 4x3x5. Теперь мы можем решить это так: (4×3)x5 -> 12×5 -> 60. Это просто для того, чтобы показать, что существует не только один правильный способ решения этого уравнения.

    3.  Умножение на 10, 100 и 1000, а также кратное 10, 100 и 1000.  Хотя я сгруппировал эти два понятия вместе для целей этой записи в блоге, этому следует обучать медленно и осторожно , кусочек за кусочком. Когда вы обучаете этой концепции, важно сосредоточиться на правилах разрядности, прежде чем обучать таким приемам, как прием «добавление нулей».Например, когда учащиеся сталкиваются с уравнением 45×100, они должны понимать, что разрядные значения увеличиваются на 2 разряда, чтобы получилось 4500. Точно так же при умножении уравнения типа 3×1000 разрядные значения увеличиваются на 3. мест, чтобы получить 3000. После того, как учащиеся усвоили эту концепцию, мы можем научить их тому, что когда в множителях есть 2 нуля, мы добавляем 2 нуля к произведению. Имейте в виду, что этим трюкам следует обучать только ПОСЛЕ того, как ученики отлично разбираются в математике, лежащей в основе концепции.

    4.  Разделение чисел. Это одна из самых полезных математических стратегий в уме. Он включает в себя разбиение одного из факторов, умножение на группы, а затем сложение этих групп вместе. Вот пример: в этом примере мы разбиваем 12 на 10 и 2, а затем умножаем на части. Таким образом, 12×30 становится (10×30) + (2×30). Это гораздо проще решить!

    Мы также можем использовать эту стратегию для умножения больших чисел, например 103×9. Мы можем разбить 103 на 100 и 3, а затем умножить по частям, например: (100×9) + (3×9).

    5.   Метод окна/окна. Мне нравится метод «ящик/окно», потому что он использует расширенную форму каждого фактора, что делает его отличной стратегией для закрепления концепций восприятия чисел. Чтобы использовать эту стратегию, мы рисуем прямоугольник (количество столбцов и строк зависит от количества цифр в факторах), а затем записываем развернутые формы факторов сверху и сбоку. Затем мы умножаем каждую часть и складываем части вместе, когда закончим. Если вам нужно более подробное руководство по этой стратегии, см. ЭТО сообщение в блоге, которое также включает видеоурок.

    6. Частичные продукты. Это одна из самых важных стратегий обучения в качестве альтернативы длинному умножению. В частичных произведениях уравнение настроено так же, как и в традиционном длинном умножении, но способ умножения отличается. Например, для уравнения 35×3 мы сначала умножаем 3×5, чтобы получить 15. Затем мы умножаем 3×30, чтобы получить 90. Обратите внимание, что мы умножаем на ТРИДЦАТЬ, а не на три. Это потому, что 3 представляет 30. Это дает нам 90. Теперь мы складываем 15 и 90 вместе, чтобы получить 105.Если вам нужно более подробное руководство по этой стратегии, см. ЭТО сообщение в блоге, которое также включает видеоурок.

    Стратегии, которые я изложил выше, являются НАИБОЛЕЕ важными для обучения многозначному умножению. Все эти стратегии делают упор на понимание чисел и гарантируют, что учащиеся действительно понимают, что означают числа в каждом уравнении. Но как насчет таких стратегий, как традиционное длинное умножение?

    Это спорная тема.Некоторые учителя считают, что наше обучение должно быть сосредоточено ТОЛЬКО на чувстве числа, поэтому мы не обучаем стратегиям, которые не фокусируются на понимании числа. Эти учителя, как правило, используют такие стратегии, как частичные произведения, в течение всего года как очень эффективную альтернативу традиционному длинному умножению. Другие учителя считают, что мы должны учить так, как много лет назад учили умножению. Тогда это работало, так почему бы не работать сейчас?! Эти учителя, как правило, больше сосредотачиваются на стратегиях, таких как традиционное длинное умножение, и меньше на более современных методах, таких как ящик/окно или частичные произведения.

     

    Я здесь не для того, чтобы говорить вам, какой способ лучше 🙂 Это зависит от вас и ваших учеников. Тем не менее, я скажу вам свое личное убеждение. Лично я склонен не впадать ни в одну крайность. Я большой сторонник стратегий, которые способствуют пониманию числа. Однако я также считаю, что для НЕКОТОРЫХ ваших учеников есть место традиционным методам. Вам придется быть судьей здесь. Если у вас есть ученики, которые борются с многозначным умножением, вы, вероятно, решите, чтобы они сосредоточились на частичных произведениях и коробках/окнах, и остановитесь на этом.Зачем добавлять еще больше путаницы? Они могут быть очень успешными с этими стратегиями. ОДНАКО, у вас могут быть ученики, которые отлично понимают то, чему вы учили до сих пор, и готовы к более сложной задаче! Эти учащиеся могут преуспеть в других, менее ориентированных на числа методах, поскольку они уже хорошо разбираются в математических концепциях. Для этих студентов я собираюсь рассказать о нескольких других стратегиях.

    Следующие стратегии в меньшей степени ориентированы на числовое восприятие, но они могут стать интересным способом умножения для тех учащихся, которые готовы к испытаниям.

     

    1. Решетчатое умножение. Это действительно забавный метод, который включает в себя рисование сетки и использование этой сетки для организации чисел. Некоторые учителя считают, что учащимся, использующим этот метод, легче переносить числа, потому что числа расположены диагональными рядами, поэтому легче увидеть, где их нужно добавить. Объяснение этой стратегии требует некоторого времени, поэтому, пожалуйста, просмотрите ЭТУ запись в блоге, которая также включает видеоурок по стратегии.

    1. Разделение пополам и удвоение. Это очень хорошая стратегия при умножении на такие числа, как 5, 10, 25, 50 и т. д. Все, что вам нужно сделать, это разделить один множитель пополам и удвоить другой, чтобы изменить уравнение и упростить его решение. Например, если у нас есть уравнение типа 25×14, мы можем удвоить 25, чтобы получить 50, и разделить 14 пополам, чтобы получить 7. Теперь у нас есть 50×7, что НАМНОГО проще решить! Мы можем вычислить это в уме, очень быстро, и получить наше произведение 350. Для этой стратегии студенты должны понимать, что она хорошо работает только с определенными числами, и им потребуется много практики, чтобы знать, с какими уравнениями она хорошо работает.
    2. Традиционное длинное умножение. Это подводит нас к традиционному длинному умножению. Я не буду объяснять, как это сделать, потому что я думаю, что большинство из нас уже знает, но этому можно научить студентов, готовых к дополнительным испытаниям.

     

     

    Если вам нужна дополнительная поддержка по этим стратегиям, я рекомендую зарегистрироваться на мини-курс Многозначное умножение и стратегии деления. Это займет всего около часа, и вы уйдете с планом действий по решению многозначного умножения и деления в вашем классе.

     

     

     

    Хорошего дня,

     

    Шелли

     

     

    математических трюков, ментальная арифметика

    Умножьте в уме до 19×19.

    Это полезная часть арифметики в уме, которую стоит запомнить, она позволяет умножать до 19 х 19 без использования калькулятора, бумаги и карандаша.

    Например, рассмотрим 19 x 17. Представьте большее число в верхней строке и возьмите последнюю цифру нижнего числа, т.е.7 и прибавьте к 19. 19 + 7 = 26.

    Умножить 26 х 10 = 260.

    Возьмите цифры единиц (9 x 7) = 63 и добавьте их к 260

    260 + 63 = 323.

    Умножение больших чисел

    Этот прием позволяет умножать большие числа, используя простое умножение и сложение. Возьмем простой пример, если мы хотим умножить 26 на 72. Мы записываем числа обычным способом.

    26
    72

    Можно представить, что каждое из чисел находится в одной из четырех ячеек, расположенных в виде квадрата.

    Первый шаг — умножить цифры в первом столбце. (6 х 2 = 12)

    Если там больше 9, запомнить значение десятков цифр. В этом случае запишите 2 и запомните 1.

    Умножьте две диагонали и сложите их вместе. Итак, слева вверху, справа внизу, слева внизу и справа вверху. (2 х 2) + (6 х 7) = 4 + 42 = 46. Прибавляем с последней ступени = 47. Итак, пишем 7 и запоминаем 4.

    Наконец, мы умножаем правый столбец.(2 x 7) = 14 и добавьте 4 из последнего шага. = 18.

    Тогда наш ответ будет 1872.

    Трехзначные числа

    Начинаем так же, 6 х 8 = 48. Запишем, 8 и запомним, 4.

    (6 x 6) + (2 x 8) = 36 + 16 = 52. Не забудьте добавить 4 = 56. Запишите 6 и запомните 5.

    Теперь для третьей цифры у нас есть три маленьких числа, которые нужно умножить и сложить. Начиная с (4 х 6) + (2 х 6) + (5 х 8) = 24 + 12 + 40 = 76. И 5 из предыдущего шага, 81.Напишите 1 и запомните 8.

    Мы возвращаемся к использованию ячеек 2 x 2, но на этот раз слева. Итак, (4 х 2) + (5 х 6) = 8 + 30 = 38 и 8 из предыдущего шага = 46. Итак, напишите 5 и запомните 4.

    Наконец, самый левый столбец, (4 x 5) = 20. Плюс 4 = 24.

    Тогда ответ: 246168.

    Таким же образом можно продолжить и умножить четыре числа.

    Четырехзначные числа

    Теперь вы должны уловить идею, мы используем этот довольно надуманный пример для 4-значных чисел, чтобы было ясно, какие числа умножаются, и просто показываем работу. Мы также вводим обозначение w для обозначения числа, которое вы записываете, и c для обозначения числа, которое вы носите с собой.

    (4 x 8) = 32 = w 2, c 3.

    (3 х 8) + (7 х 4) = 52, 52 + 3 = 55, ш 5, с 5.

    (2 x 8) + (6 x 4) + (3 x 7) = 61. 61 + 5 = 66. w 6, c 6

    (1 x 8) + (5 x 4) + (2 x 7) + (6 x 3) = 60. 60 + 6 = 66. w 6, c 6

    (1 х 7) + (5 х 3) + (2 х 6) = 34.34 + 6 = 40. ш 0, в 4

    (1 x 6) + (5 x 2) = 16. 16 + 4 = 20. w 0, c 2

    (1 х 5) = 5. 5 + 2 = 7

    Ответ: 7 006 652

    Использование ментальной арифметики для умножения 2-значных чисел · PDF-файлИспользование ментальной арифметики для . Умножение двузначных чисел. … 5 >

  • Имя ~~___________~__~____~..____ Повторное обучение 6-1

    Использование ментальной арифметики для умножения двузначных чисел

    Вы можете умножать с помощью ментальной арифметики, используя основные факты и закономерности.

    Пример A: 5 x 5 = 25

    5 х 50 = 250

    Произведение содержит количество нулей в каждом множителе.

    Пример B: 5 x 6 = 30

    5 x 60 = 300

    50 x 60 = 3000

    50 x 600 30 000

    Когда произведение основного факта включает ноль, например 0, x 6 5 этот ноль не является частью шаблона.

    Умножить. Используйте ментальную арифметику.

    1. 20 х 20 =: 2. 50 х 1 = 3. 40 х 40 =

    4. 30 х 80 = 5.60 x 600 6. 50 x 900 =

    7. 70 x 300 = 8. 70 x 600 = 9. 40 x 500 =

    —-,~.–~–

    10. Распознавание чисел какие числа идут в пробелах.

    Чтобы найти 90 х 300, умножьте ___ и ____ .

    Затем в конце напишите ___ нулей.

    75

  • Имя _______________________~ _____________________________ ~~ l p~:t~ce J Использование ментальной арифметики для умножения двузначных чисел Умножение. Используйте ментальную арифметику.

    1. 4 х 30 = 2. 5 х 90 =

    3.9 х 200 4. 6 х 500 =

    5. 3 х 600 = 6. 0 х 600 =

    7. 90 х 70 = 8. 70 х 400

    9. 50 х 800 = 10. 30 х 800 =

    11. 90 х 500 == 12. 30 х 4000 =

    13. Смысл числа Сколько нулей в произведении 60 х 900? Объясните откуда вы знаете.

    Грузовик А может перевозить 400 фунтов за одну поездку. Грузовик B может перевозить 300 фунтов за одну поездку.

    14. Сколько фунтов может перевезти грузовик А за 9 рейсов?

    15. Сколько фунтов может перевезти грузовик B за 50 поездок?

    16.Сколько фунтов может перевезти грузовик А за 70 поездок?

    A 280 B 2,800 C 28,000 o 280,000

    17. Письмо для объяснения В каждой баскетбольной команде лиги есть 9 игроков. Объясните, как можно найти общее количество игроков в лиге, если в ней 30 команд.

    76

  • ————–

    Имя ___~__~_~~~ ______~_____~______~______~____~_ Повторное обучение 6-2

    Оценка Продукты

    Оценка 11 x 94.

    С округлением С использованием совместимых чисел

    Округление от 11 до 10. Замените 11 на 10.

    Округлите 94 до 90. Замените 94 на 100.

    10 x 90 = 900 10 x 100 = 1000 11 x 94 равно примерно 900. 11 x 94 равно примерно 1000.

    Используйте округление для оценки каждого продукта.

    1. 62 x 82 2. 59 x 48 3. 74 x 302

    —_.._–

    4. 47 x 790 5. 498 x 63 6. 687 x 38

    12,18×4 385 x 75 9. 62 x 147

    Используйте совместимые числа для оценки каждого продукта.

    10. 32 х 83 11. 37 х 22 12. 51 х 296

    13.65 x 34 14. 108 x 81 15. 43 x 620

    16. 426 x 71 17. 59 x 701 18. 87 x 87

    19. Чувство чисел Чтобы оценить произведение 37 x 99,

    Крис умножил x 100. Расскажите, как узнать, является ли это продуктом

  • Norne Practice .~.~–.~~-6-2

    Оценка продуктов l J Используйте округление для оценки каждого продукта.

    1. 38 x 29 2. 71 x 47 ~.—~-~-

    3. 54 x 76 4. 121 x 62

    5. 548 x 28 6. 823 x 83 __.

    7.67 x 289 8. 183 x 34

    Используйте совместимые числа для оценки каждого продукта.

    9. 28 x 87 10. 673 x 85

    —_._———-

    11. 54 x 347 ______ 12. 65 x 724 —-.-. .-.~.-.–

    13. 81 x 643 14. 44 x 444

    15. 72 x 285 16. 61 x 761

    17. У Веры есть 8 коробок скрепок. В каждой коробке 275 скрепок. Сколько скрепок у Веры?

    A 240 B 1 600 C 2 400 D 24 000

    18. Письмо для объяснения Ветряная электростанция производит 550 киловатт электроэнергии каждый день.Примерно сколько киловатт производит ветряная электростанция в неделю? Объяснять.

    .—-.~——

    78

  • Имя ________~_._._________________________________________ Повторное обучение

    Массивы и 6-3

    Вот как

    Расширенный алгоритм3

    чтобы найти произведение 12 x 24 с помощью массива.

    Нарисуйте прямоугольник длиной 24 единицы и шириной 12 единиц.

    Разделите прямоугольник на десятки и единицы для каждого фактора. Найдите

    число квадратов в каждом меньшем квадрате.

    !

    ! о

    j

    I

    I

    I

    -r ii,

    ,–+-,. ..-+–r-10 X 20

    : IIII : ! I

    1

    ~~~~~~t-:-;-:i~71-r i :-rl~~1

    I . \ ! 1 I j

    x 26 -r-:-I

    , I

    Затем сложите числа квадратов в четырех прямоугольниках:

    200 + 40 + 40 + 8 = 288

    Итак, 12 x 24 288

    Разделите прямоугольник на десятки и единицы для каждого фактора.Затем завершите расчет.

    1.

    79

    22

  • Название Практика J 6-3

    , ;Массивы и расширенный алгоритм Используйте сетку для рисования прямоугольника. Затем завершите расчет.

    1. ~~’-rr–rT~~, ii T”–‘—;

    ! J i

    ~-1

    ..L

    23

    3. 26 4. 33 x 22 x 1 4

    2.

    —..-.~- —~

    +

    5. 24 x 57 6. 44 x 48 = ~..___._~.__..__._

    7. Рыжий кенгуру может преодолеть 40 футов за 1 прыжок. Сколько метров может преодолеть рыжий кенгуру за 12 прыжков?

    8. Упражнения Барб по 14 часов за 1 неделю. Сколько часов она тренируется за 32 недели?

    A 496 т-Ir B 448 ч C 420 ч o 324 ч . ,. u

    9. Письмо для объяснения Объясните, как произведение 16 x 34 равно c ~. Ci u ~ как произведение 6 x 34 плюс 10 x 34. u :…;J

    ~ nc ”

    80

  • Имя ________________________________________________ Повторное обучение 6-4

    Умножение двузначных чисел: числа и кратные of lf~n

    Чтобы найти произведение 60 и 26, вы можете использовать разбиение.

    Выделите часть сетки, чтобы показать 60 x 26.

    Подсчитайте количество строк. Подсчитайте количество квадратов в каждом ряду.

    Всего 60 строк. В каждом ряду 26 квадратов.

    Нарисуйте линию, чтобы разделить множитель :26 на разряд десятков и разряд единиц. Покажите 26 как 20 -+- 6. 20

    I

    I

    На сколько частей вы разделили большую часть? ИИТ I 20..60 = 1.200 d,.

    Есть 2 секции. Отметьте одну секцию 660 360 II I’

    60 x 20, а другую секцию 60 x 6.60

    Умножьте, чтобы найти продукты. 11 II II

    60 рядов по 20 1200 Доп. IIII I 0,60 строк по 6 x 360

    —- i: I I1,560 —.-LJ11.-1__

    Используйте сеточные модели для разделения каждого продукта и решения.

    1. 23 x 40

    2. 16 >< 30

    3. 34 x 50 —————————- ————————————–

    4. 60 x 47

    5. 17 x 80

  • PracticeName 6-4

    Умножение двузначных чисел и чисел, кратных десяти Используйте сетку для отображения частичных произведений.Умножьте, чтобы найти произведение.

    1. 23 x 50 2. 30 x 82 80 2

    20 x 50 100 000 30; <80 2.40030

    30 x 2 = 60

    3. 14 x 40 4. 20 x 63 60 3

    ~

    40

    1 0 >~ 40 = 400 20i I 20 x 60 1.2001jl 41 4 x 40 == 160 II ;fT

    20 x 3 = 60 7

    …–~…..– —–

    5. Мартика работает секретарем по правовым вопросам. Она зарабатывает 20 долларов в час. Сколько

    заработает Мартика, если она будет работать 32 часа? ——

    6.Какие числа являются частичными произведениями 77 x 30?

    A 210 и 700 B 2100 и 210 C 511 и 2100 0 4900 и 210

    7. Письмо для объяснения Объясните, как можно найти произведение 40 x 16, разбив числа.

    —….–~….———–~

    82

  • Имя __~ Повторное обучение 6-5

    Умножение двузначных чисел на Двузначные числа

    В гонке участвуют 24 машины. У каждой машины есть экипаж из 13 человек в боксе.Сколько работников пит-зоны участвует в гонке?

    Шаг 1

    Умножьте единицы.

    При необходимости перегруппируйте,

    1

    24 x13

    72

    Шаг 2

    Умножьте десятки.

    При необходимости перегруппируйтесь.

    1

    24 x 13

    72 240

    Шаг 3

    Добавьте частичные продукты.

    1

    24 x13

    72 240 312

    24 13 == 312, значит, в гонке участвуют 312 рабочих пит-зоны.

    1. 38 2. 67 3. 47 4. 88 х 26 х 27 х 85 х 32

    5. Написание объяснения Корина умножила 62 х 22 и получила произведение 1042. Объясните, почему ответ Корины неразумен.

    83

  • l I

    jName _______________ Практика 6-5 Умножение двузначных чисел на двузначные

    5. 37 6. 62 7. 91 8. 28

    >< 83 x 17 x 49 x 56

    9.70 10. 58 11. 97 12. 64

    x 39 x 90 x 42 x 88

    13. В коробке 24 бутылки сока. Сколько бутылок сока в 15 коробках?

    14. Сколько весит 21 бушель [ Овощной массы 1 бушеля сладкой кукурузы? I Спаржа 241b

    Свекла 521b ——-{

    Морковь 50 фунтов

    Сахарная кукуруза 35 фунтов15. Сколько весят 18 бушелей спаржи?

    16. Насколько 13 бушелей свеклы весят больше, чем 13 бушелей моркови?

    17.Что из следующего является разумным ответом для 92 x 98?

    A 1 800 B 9 000 C 10 000 o 90 000 “.18. Объяснение Гарт умножает 29 x 16. У него ~

    174 после умножения единиц и 290 после умножения g на десятки. Объясните, как Гарт может найти конечный продукт .]

    () “л

    с 5?

    ID —-.———-.——~-~-.———-.—-.—- .–.–.—_.__._—– CL ”

    84

  • Имя __~~_~~___~ Повторное обучение 6-6

    Умножение больших чисел на 2- Цифры

    Трех- или четырехзначное число умножается так же, как двузначное.

    Найдите 457 x 32.

    Шаг 1 Умножьте на Шаг 2 Запишите ноль Шаг 3 Сложите единицы. Перегруппируйтесь, как на месте. продукты. нужный. Умножить на десятки 1 2

    1 1

    1 1 цифра. Перегруппируйтесь по мере необходимости 457 457. x 32

    L32 1 2 914

    1 1

    457 + 13,710 140002 457 + 13,710 14 200242 :: 32

    914 13,710

    Вот почему это работает:

    457 x 32 = 457 x (30 + 2)

    = (457 x 30) + (457 x 2)

    = 13 710 + 914

    :::: 14 624

    Проверить оценкой.500 х 30 = 15 000; Ответ разумен, потому что 15 000 близко к 14 624.

    135 4. 3,2661. 442 2. 3. 5371 x 7~ x 27 ~~ x 15

    5. 512 6. 936 7. 7386 8. 7923 ~

    x 73 X 78 Умножение больших чисел на двузначные

    “Чтобы умножить два 2- цифры без показа работы, сначала умножить единицы цифры вместе, затем “перекрестно- умножить ,” и, наконец, умножить десятки цифр 9Обязательно носите каждый раз, когда продукт превышает 9. Как вы увидите в приведенных ниже примерах, вы должны двигаться справа налево, чтобы выполнить этот трюк.

    Нажмите, чтобы увидеть полный ответ.

    Исходя из этого, как быстрее всего умножить 2 цифры в уме?

    “Чтобы умножить два 2 цифры без показа произведения, сначала умножить на цифры вместе, затем “перекрестить- умножить ” и, наконец, умножить десятки 903Обязательно носите с собой всякий раз, когда продукт превышает 9. Как вы увидите в примерах ниже, вы должны работать с справа налево, чтобы выполнить этот трюк.

    Также знаете, что такое ментальная стратегия? Умственные способности вычисления стратегии Крайне важно, чтобы учащиеся разработали надежные, эффективные и гибкие методы сложения и вычитания целых чисел и десятичных дробей. Способность учащихся уверенно и эффективно решать задачи на сложение и вычитание часто зависит от использования ими умственной стратегии .

    Что касается этого, как вы делите трюки?

    Другие трюки с делением на число

    1. Деление на 1. Каждый раз, когда вы делите на 1, ответ совпадает с делимым.
    2. Деление на 2 – Если последняя цифра в числе четная, то все число делится на 2.
    3. Деление на 4 – Если две последние цифры делятся на 4, то все число делится на 4.

    Что такое стратегии ментальной арифметики?

    Итак, давайте перейдем к практической части этого письма: стратегии ментальной арифметики для ВСЕХ.

    • “9-трюк”. Чтобы добавить 9 к любому числу, сначала прибавьте 10, а затем вычтите 1.
    • Удвоение + 1.
    • Используйте факты сложения при сложении больших чисел.
    • Вычитание путем сложения.
    • Пятикратное число.
    • Четыре и восемь раз число.
    • Умножать по частям.

    Возведение в квадрат двузначных чисел в уме

    Всю свою жизнь я занимался ментальной арифметикой «неправильным способом»: я считал слева направо, а не справа налево. Поэтому, когда я делаю что-то вроде 24 + 35, я сначала увижу 50, а затем 9. Это даже применимо, когда есть перенос, и я сделаю что-то вроде 36 + 56 как 80 + 12. Я делаю то же самое для умножения также.

    Оказывается, я не такой уж и странный (ну, если не считать того, что занимаюсь арифметикой в ​​уме). Я читал Secrets of Mental Math: The Mathemagician’s Guide to Lightning Calculation и Amazing Mental Math Tricks, и автор, Майкл Шермер, такой же, как и я: он работает слева направо.

    Он, как и я, нашел эту систему хорошей, потому что она позволяет отбрасывать цифры раньше и не держать в голове какие-то громоздкие вычисления. Например, в расчете 124 + 353 можно сразу сказать «четыреста», прежде чем делать остальную часть суммы. Это, кажется, освобождает свободное пространство (по крайней мере, для меня), и позвольте мне сделать остальную часть вычислений. Я бы сделал это так: 124 + 353 = 400 + 24 + 53 = 400 + 70 + 4 + 3 = 477.

    Книги полны приемов для выполнения всех видов вычислений в уме, включая хороший раздел об оценках. (Я всегда был оценщиком) и занимался такими вещами, как чаевые и налоги с продаж.Но самым забавным для меня был трюк, который позволял вам очень, очень быстро составлять в уме двузначные квадраты.

    Быстро, что 27 2 . Конечно, грубый способ сделать это состоит в том, чтобы вычислить 27 x 27, что немного мучительно, потому что включает в себя что-то вроде 27 x 20 + 27 x 7 = 540 + 189 = 729. Но есть гораздо более быстрый способ.

    Обратите внимание, что 27 2 = 30 х 24 + 3 2 . Поскольку вы, вероятно, знаете, что 3 2 = 9, это означает, что вам нужно вычислить 30 x 24 + 9, что относительно легко, потому что умножение включает число, кратное десяти, что означает, что на самом деле это 3 x 24, а затем добавить ноль.

    Таким образом, если вы хотите возвести в квадрат число X, вы сначала округляете его до ближайшего числа, кратного 10, что называется X + r, а затем вычисляете X – r (т. е. округляете ту же сумму в обратном направлении). Вы вычисляете (X + r) x (X – r) и прибавляете квадрат суммы, на которую вы округлили, r 2 , что будет равно 1, 4, 9, 16 или 25.

    Это работает, потому что ( X + r ) x ( X – r ) + r 2 = X 2 – rX ​​+ rX – r 2 + r 2 = X 2 .

    Пример: 67 2 равно 70 x 64 + 3 2 , что довольно легко сделать в уме. И, естественно, один и тот же трюк работает независимо от того, сколько у вас цифр, просто умножение становится сложнее.

    Трюк особенно впечатляет/легко работает с числами около 100, потому что умножение становится невероятно простым. Например, 96 2 — это 100 x 92 + 4 2 , что вы (или, по крайней мере, я) почти сразу видите — это 9216.

    .
  • Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.