C вычисление определенного интеграла: Вычисление интеграла на Си — Программирование на C, C# и Java

Сообщество Экспонента

  • вопрос
  • 24.04.2023

Системы управления, Электропривод и силовая электроника, Другое, Автоматизация испытаний

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

Необходимо рассмотреть различные режимы работы энергосистемы в зависимости от загрузки двигателей,но в схеме это просто мощность,активная и реактивная соответсвенно. Так же для этих параметеров рассчи…

1 Ответ

  • Simulink

24.04.2023

  • вопрос
  • 23.04.2023

ПЛИС и СнК

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog. Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

Здравствуйте! Требуется помощь в написании кода на verilog.

Генератор импульсной последовательности с заданными параметрами реализован в виде блок-схемы. Результат этого проектирования, временные диаг…

1 Ответ

  • вопрос
  • 19.04.2023

Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Математика и статистика

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

Вроде как схема у меня получилась но при добавлении зависимости от температуры и старения возникли проблемы кто-нибудь знает как сделать по красоте?

  • вопрос
  • 14.04.2023

Глубокое и машинное обучение(ИИ), Математика и статистика, Системы управления

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

Прошу помощи в создании модели газотранспортной системы в Simulink/Simscape. Спасибо

6 Ответов

  • Simulink
  • modeling
  • газ

14. 04.2023

  • вопрос
  • 12.04.2023

Математика и статистика, Робототехника и беспилотники, Системы связи, Цифровая обработка сигналов

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…

Всем привет. Мне нужно собрать схему FSK-модема для моей научной работы в университете. Требования:1. Модулятор в передатчике должен быть реализован на GMSK или 4-FSK (желательно не брать библиотечный…

2 Ответа

  • вопрос
  • 06.04.2023

Цифровая обработка сигналов

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

Добрый день, уважаемые участники форума! Подскажите, пожалуйста, как можно забрать те данные, по которым был построен график спектра сигнала? Они мне нужны для дальнейшей нормировки в excel.

1 Ответ

  • вопрос
  • 04.04.2023

Цифровая обработка сигналов

  End

  End

3 Ответа

  • вопрос
  • 02.04.2023

Другое

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

Добрый день/вечер! подскажите, пожалуйста, как настроить матлаб чтобы можно было работать с ним удаленно. то есть он развернут на одной ПЭВМ, а мне нужно подключится с другой ПЭВМ, но не к виндоус чер…

  • Публикация
  • 29.03.2023

Глубокое и машинное обучение(ИИ)

Но давайте будем честными, для не технических менеджеров продуктов, дизайнеров и предпринимателей, внутреннее устройство ChatGPT может показаться как волшебный черный ящик. Не волнуйтесь! В этой статье я постараюсь объяснить технологию и модель, лежащие в осно.

..

Это перевод статьи: https://bootcamp.uxdesign.cc/how-chatgpt-really-works-explained-for-non-technical-people-71efb078a5c9

Автор: Guodong (Troy) Zhao

Выход ChatGPT, созданного OpenAI в конце прошлого года, был явлением феноменальным – даже моя бабушка спрашивает об этом. Его возможности генерировать язык, похожий на человеческий, вдохновляют людей экспериментировать с его потенциалом в различных продуктах. Его крайне успешный запуск даже поставил давление на гигантов технологической отрасли, таких как Google, чтобы спешить выпустить свою собственную версию ChatGPT.

  • ИИ
  • ChatGPT
  • OpenAI
  • Искусственный интеллект
  • NLP
  • GPT

29.03.2023

  • вопрос
  • 27.03.2023

Цифровая обработка сигналов, Системы связи, Математика и статистика, Автоматизация испытаний, Встраиваемые системы, Радиолокация, Другое, Изображения и видео

Прошу помочь в реализации программы написанной в AppDesigner.   оптический волновод , входные параметры, законы геометрической оптики , построение мод (волн) учитывая вышеперечисленные параметры,…

Прошу помочь в реализации программы написанной в AppDesigner.  оптический волновод , входные параметры, законы геометрической оптики , построение мод (волн) учитывая вышеперечисленные параметры,…

  • оптика
  • Оптические системы
  • Волоконная оптика

27.03.2023

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2

Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
  

Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов.—13-е изд.— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 560 с.

Хорошо известное учебное пособие по математике для втузов с достаточно широкой математической подготовкой.

Второй том включает разделы: дифференциальные уравнения, кратные и криволинейные интегралы, интегралы по поверхности, ряды, уравнения математической физики, операционное исчисление, элементы теории вероятностей и математической статистики, матрицы.

Для студентов высших технических учебных заведений.



Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
ГЛАВА XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Постановка задачи. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнение цепной линии
§ 2. Определения
§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
§ 4. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Задача о распаде радия
§ 5. Однородные уравнения первого порядка
§ 6. Уравнения, приводящиеся к однородным
§ 7. (n) = f(x)
§ 18. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Задача о второй космической скорости
§ 19. Графический метод интегрирования дифференциального уравнения второго порядка
§ 20. Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства
§ 21. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 22. Линейные однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
§ 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка
§ 24. Неоднородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
§ 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков
§ 26. Дифференциальное уравнение механических колебаний
§ 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний
§ 28. Вынужденные колебания
§ 29. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений
§ 30. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 31. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Поведение траектории дифференциального уравнения в окрестности особой точки
§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
§ 33. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Метод Адамса
§ 34. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка
Упражнения к главе XIII
ГЛАВА XIV. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 2. Вычисление двойного интеграла
§ 3. Вычисление двойного интеграла (продолжение)
§ 4. Вычисление площадей и объемов с помощью двойных интегралов
§ 5. Двойной интеграл в полярных координатах
§ 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)
§ 7. Вычисление площади поверхности
§ 9. Момент инерции площади плоской фигуры
§ 10. Координаты центра масс площади плоской фигуры
§ 11. Тройной интеграл
§ 12. Вычисление тройного интеграла
§ 13. Замена переменных в тройном интеграле
§ 14. Момент инерции и координаты центра масс тела
§ 15. Вычисление интегралов, зависящих от параметра
Упражнения к главе XIV
ГЛАВА XV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§ 2. Вычисление криволинейного интеграла
§ 3. Формула Грина
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
§ 5. Поверхностный интеграл
§ 6. Вычисление поверхностного интеграла
§ 7. Формула Стокса
§ 9. Оператор Гамильтона. Некоторые его применения
Упражнения к главе XV
ГЛАВА XVI. РЯДЫ
§ 1. Ряд. Сумма ряда
§ 2. Необходимый признак сходимости ряда
§ 3. Сравнение рядов с положительными членами
§ 4. Признак Даламбера
§ 5. Признак Коши
§ 6. Интегральный признак сходимости ряда
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
§ 8. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость
§ 9. Функциональные ряды
§ 10. Мажорируемые ряды
§ 11. Непрерывность суммы ряда
§ 12. Интегрирование и дифференцирование рядов
§ 13. Степенные ряды. Интервал сходимости
§ 14. Дифференцирование степенных рядов
§ 15. Ряды по степеням x-a
§ 16. Ряды Тейлора и Маклорена
§ 17. Примеры разложения функций в ряды
§ 18. Формула Эйлера
§ 19. Биномиальный ряд
§ 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов
§ 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов
§ 22. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
§ 23. Уравнение Бесселя
§ 24. Ряды с комплексными членами
§ 25. Степенные ряды с комплексной переменной
§ 26. Решение дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений (метод итераций)
§ 27. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Оценка погрешности при приближенном решении
§ 28. Теорема единственности решения дифференциального уравнения
Упражнения к главе XVI
ГЛАВА XVII. РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье
§ 3. Одно, замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье
§ 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l
§ 6. О разложении непериодической функции в ряд Фурье
§ 7. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена
§ 8. Интеграл Дирихле
§ 9. Сходимость ряда Фурье в данной точке
§ 10. Некоторые достаточные условия сходимости ряда Фурье
§ 11. Практический гармонический анализ
§ 12. Ряд Фурье в комплексной форме
§ 13. Интеграл Фурье
§ 14. Интеграл Фурье в комплексной форме
§ 15. Ряд Фурье по ортогональной системе функций
§ 16. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов
Упражнения к главе XVII
ГЛАВА XVIII. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
§ 1. Основные типы уравнений математической физики
§ 2. Вывод уравнения колебаний струны. Формулировка краевой задачи. Вывод уравнений электрических колебаний в проводах
§ 3. Решение уравнения колебаний струны методом разделения переменных (методом Фурье)
§ 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи
§ 5. Распространение тепла в пространстве
§ 6. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом конечных разностей
§ 7. Распространение тепла в неограниченном стержне
§ 8. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Формулировка краевых задач
§ 9. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле для кольца с постоянными значениями искомой функции на внутренней и внешней окружностях
§ 10. Решение задачи Дирихле для круга
§ 11. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей
Упражнения к главе XVIII
ГЛАВА XIX. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Начальная функция и ее изображение
§ 2. Изображение функций …
§ 3. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Изображение функций sin at, cos at
§ 4. Свойство линейности изображения
§ 5. Теорема смещения
§ 6. Изображение функций …
§ 7. Дифференцирование изображения
§ 8. Изображение производных
§ 9. Таблица некоторых изображений
§ 10. Вспомогательное уравнение для данного дифференциального уравнения
§ 11. Теорема разложения
§ 12. Примеры решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом
§ 13. Теорема свертывания
§ 14. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дифференциальные уравнения теории электрических цепей
§ 15. Решение дифференциального уравнения колебаний
§ 16. Исследование свободных колебаний
§ 17. Исследование механических и электрических колебаний в случае периодической внешней силы
§ 18. Решение уравнения колебаний в случае резонанса
§ 19. Теорема запаздывания
§ 20. Дельта-функция и ее изображение
Упражнения к главе XIX
ГЛАВА XX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей
§ 2. Классическое определение вероятности и непосредственный подсчет вероятностей
§ 3. Сложение вероятностей. Противоположные случайные события
§ 4. Умножение вероятностей независимых событий
§ 5. Зависимые события. Условная вероятность. Полная вероятность
§ 6. Вероятность гипотез. Формула Байеса
§ 7. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной случайной величины
§ 8. Относительная частота и вероятность относительной частоты при повторных испытаниях
§ 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины
§ 10. Дисперсия. Среднеквадратичное отклонение. Понятие о моментах
§ 11. Функции от случайных величин
§ 12. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
§ 13. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Закон равномерного распределения вероятностей
§ 14. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
§ 15. Нормальный закон распределения. Математическое ожидание нормального распределения
§ 16. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение случайной величины, подчиненной нормальному закону распределения
§ 17. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Функция Лапласа. Интегральная функция распределения для нормального закона
§ 18. Вероятное (срединное) отклонение или срединная ошибка
§ 19. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Приведенная функция Лапласа
§ 20. Правило трех сигм. Шкала вероятностей распределения ошибок
§ 21. Среднеарифметическая ошибка
§ 22. Мера точности. Соотношение между характеристиками распределения ошибок
§ 23. Двумерная случайная величина
§ 24. Нормальный закон распределения на плоскости
§ 25. Вероятность попадания двумерной случайной величины в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, при нормальном законе распределения
§ 26. Вероятность попадания двумерной случайной величины в эллипс рассеивания
§ 27. Задачи математической статистики. Статистический материал
§ 28. Статистический ряд. Гистограмма
§ 29. Определение подходящего значения измеряемой величины
§ 30. Определение параметров закона распределения. Теорема Ляпунова. Теорема Лапласа
Упражнения к главе XX
ГЛАВА XXI. МАТРИЦЫ. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМ И РЕШЕНИЙ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Линейные преобразования. Матрица
§ 2. Общие определения, связанные с понятием матрицы
§ 3. Обратное преобразование
§ 4. Действия над матрицами. Сложение матриц
§ 5. Преобразование вектора в другой вектор с помощью матрицы
§ 6. Обратная матрица
§ 7. Нахождение матрицы, обратной данной
§ 8. Матричная запись системы линейных уравнений
§ 9. Решение системы линейных уравнений матричным методом
§ 10. Ортогональные отображения. Ортогональные матрицы
§ 11. Собственный вектор линейного преобразования
§ 12. Матрица линейного преобразования, при котором базисные векторы являются собственными векторами
§ 13. Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому
§ 14. Квадратичные формы и их преобразования
§ 15. Ранг матрицы. Существование решений системы линейных уравнений
§ 16. Дифференцирование и интегрирование матриц
§ 17. Матричная запись системы дифференциальных уравнений и решений системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
§ 18. Матричная запись линейного уравнения n-го порядка
§ 19. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами методом последовательных приближений с использованием матричной записи
Упражнения к главе XXI
ПРИЛОЖЕНИЯ

5.2: Определенный интеграл — Mathematics LibreTexts

  1. Последнее обновление
  2. Сохранить как PDF
  • Идентификатор страницы
    13803
    • OpenStax
    • OpenStax
    9∗_i)Δx. \]

    Однако это определение имело ограничения. Мы требовали, чтобы \(f(x)\) было непрерывным и неотрицательным. К сожалению, реальные проблемы не всегда соответствуют этим ограничениям. В этом разделе мы рассмотрим, как применить понятие площади под кривой к более широкому набору функций посредством использования определенного интеграла.

    Определение и обозначения

    Определенный интеграл обобщает понятие площади под кривой. Мы снимаем требования непрерывности и неотрицательности \(f(x)\) и определяем определенный интеграл следующим образом. Определение 9∗_i)Δx,\]

    при условии существования предела. Если этот предел существует, то функция \(f(x)\) называется интегрируемой на [a,b] или является интегрируемой функцией.

    Символ интеграла в предыдущем определении должен показаться вам знакомым. Мы встречали похожие обозначения в главе о применении производных, где мы использовали неопределенный целочисленный символ (без a и b сверху и снизу) для обозначения первообразной. Хотя обозначения неопределенных интегралов могут выглядеть аналогично обозначениям определенных интегралов, они не совпадают. Определенный интеграл – это число. Неопределенный интеграл — это семейство функций. Позже в этой главе мы рассмотрим, как связаны эти понятия. Однако всегда следует уделять пристальное внимание обозначениям, чтобы мы знали, работаем ли мы с определенным интегралом или с неопределенным интегралом.

    Интегральная система обозначений восходит к концу семнадцатого века и является одним из вкладов Готфрида Вильгельма Лейбница , которого часто считают одним из первооткрывателей исчисления вместе с Исааком Ньютоном. Символ интегрирования ∫ представляет собой удлиненную букву S, что указывает на сигму или суммирование. В определенном интеграле выше и ниже символа суммы находятся границы интервала \([a,b].\) Числа a и b являются значениями x и называются пределами интегрирования ; в частности, a — это нижний предел, а b — верхний предел. Чтобы пояснить, мы используем предел слова двумя разными способами в контексте определенного интеграла. Во-первых, мы говорим о пределе суммы при \(n→∞.\). Во-вторых, границы области называются 9∗_i)∆x\) существует и единственна. Это приводит к следующей теореме, которую мы сформулируем без доказательства.

    Непрерывные функции интегрируемы

    Если \(f(x)\) непрерывна на \([a,b]\), то f интегрируема на \([a,b].\)

    Функции которые не непрерывны на \([a,b]\), все же могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов. Например, интегрируемы функции с конечным числом скачков на отрезке.

    Здесь также стоит отметить, что мы сохранили использование регулярного разбиения в суммах Римана. Это ограничение не является строго необходимым. Любое разбиение можно использовать для формирования суммы Римана. Однако, если для определения определенного интеграла используется нерегулярное разбиение, недостаточно принять предел, поскольку количество подынтервалов стремится к бесконечности. Вместо этого мы должны принять предел, поскольку ширина наибольшего подынтервала стремится к нулю. Это вводит немного более сложные обозначения в наши пределы и усложняет вычисления, не получая при этом особого дополнительного понимания, поэтому мы придерживаемся регулярных разбиений для сумм Римана. 92dx.\) Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

    Решение

    Сначала мы хотим установить сумму Римана. Исходя из пределов интегрирования, имеем \(a=0\) и \(b=2\). Для \(i=0,1,2,…,n\) пусть \(P={x_i}\) будет правильным разбиением \([0,2].\) Тогда

    \[Δx=\ dfrac{b−a}{n}=\dfrac{2}{n}.\]

    Поскольку мы используем аппроксимацию правой конечной точки для получения сумм Римана, для каждого i нам нужно вычислить значение функции в точке правый конец интервала \([x_{i−1},x_i].\) Правый конец интервала равен \(x_i\), и, поскольку P является обычным разделом, 93_0(2x−1)dx\).

    Используйте аппроксимацию правой конечной точки для получения суммы Римана.

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из примера \(\PageIndex{1}\).

    Ответить

    \(6\)

    Вычисление определенных интегралов

    Вычисление определенных интегралов таким способом может быть довольно утомительным из-за сложности вычислений. Далее в этой главе мы разработаем методы вычисления определенных интегралов без ограничения сумм Римана. Однако пока мы можем полагаться на тот факт, что определенные интегралы представляют площадь под кривой, и мы можем вычислить определенные интегралы, используя геометрические формулы для вычисления этой площади. Мы делаем это, чтобы подтвердить, что определенные интегралы действительно представляют площади, поэтому мы можем затем обсудить, что делать в случае, когда кривая функции опускается ниже оси x.

    Пример \(\PageIndex{2}\): использование геометрических формул для вычисления определенных интегралов 94_2(2x+3)dx\).

    Подсказка

    Построить график функции \(f(x)\) и вычислить площадь под функцией на интервале \([2,4].\)

    Ответить

    18 квадратных блоков

    Площадь и определенный интеграл

    Когда мы определили определенный интеграл, мы сняли требование неотрицательности \(f(x)\). Но как мы интерпретируем «площадь под кривой», когда \(f(x)\) отрицательно? 9∗_i)Δx=\]

    (Площадь прямоугольников над осью x) − (Площадь прямоугольников под осью x)

    Рисунок \(\PageIndex{2}\): Для функция, которая является частично отрицательной, сумма Римана представляет собой площадь прямоугольников над осью x за вычетом площади прямоугольников под осью x.

    Принимая предел как \(n→∞,\), сумма Римана приближается к площади между кривой над осью x и осью x за вычетом площади между кривой под осью x и x- оси, как показано на рисунке. Затем 9nf(c_i)Δx=A_1−A_2.\]

    Величина \(A_1−A_2\) называется чистой областью со знаком .

    Рисунок \(\PageIndex{3}\): В пределе определенный интеграл равен площади A1 минус площадь A2 или чистой площади со знаком.

    Обратите внимание, что чистая область со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой. Если площадь над осью x больше, чистая площадь со знаком положительна. Если площадь под осью x больше, чистая площадь со знаком отрицательна. Если площади выше и ниже оси x равны, чистая площадь со знаком равна нулю.

    Пример \(\PageIndex{3}\): нахождение чистой площади со знаком

    Найти чистую площадь со знаком между кривой функции \(f(x)=2x\) и осью x на интервале \ ([−3,3].\)

    Решение

    Функция создает прямую линию, образующую два треугольника: один из \(x=−3\) в \(x=0\), а другой из \(x=0\) до \(x=3\) (рисунок). Используя геометрическую формулу площади треугольника \(A=\dfrac{1}{2}bh\), площадь треугольника A1 над осью равна 93_{−3}2xdx=A_1−A_2=9−9=0. \)

    Рисунок \(\PageIndex{4}\): Площадь над кривой и под осью x равна область под кривой и над осью x.

    Анализ

    Если A1 — это площадь над осью x, а A2 — площадь под осью x, то чистая площадь равна \(A_1−A_2\). Поскольку площади двух треугольников равны, чистая площадь равна нулю.

    Упражнение \(\PageIndex{3}\)

    Найдите чистую площадь со знаком \(f(x)=x−2\) на интервале \([0,6]\), показанном на следующем рисунке. .

    Подсказка

    Используйте метод решения, описанный в примере \(\PageIndex{3}\).

    Ответить

    6

    Общая площадь

    Одним из применений определенного интеграла является нахождение смещения при заданной функции скорости. Если \(v(t)\) представляет собой скорость объекта как функцию времени, то площадь под кривой говорит нам, насколько далеко объект находится от своего исходного положения. Это очень важное применение определенного интеграла, и мы рассмотрим его более подробно далее в этой главе. А пока мы просто рассмотрим некоторые основы, чтобы понять, как это работает, изучая постоянные скорости. 92_075dt=150\).

    Рисунок \(\PageIndex{5}\): Площадь под кривой \(v(t)=75\) говорит нам, как далеко автомобиль находится от начальной точки в данный момент времени.

    В контексте перемещения чистая площадь со знаком позволяет учитывать направление. Если автомобиль движется прямо на север со скоростью 60 миль в час в течение 2 часов, он находится на 120 миль к северу от своего начального положения. Если затем автомобиль развернется и поедет на юг со скоростью 40 миль в час в течение 3 часов, он вернется в исходное положение (рисунок). Опять же, используя интегральное обозначение, мы имеем 95_2−40\,dt=120−120=0.\]

    В этом случае смещение равно нулю.

    Рисунок \(\PageIndex{6}\): Площадь над осью и площадь под осью равны, поэтому чистая площадь со знаком равна нулю.

    Предположим, мы хотим узнать, как далеко проезжает машина в целом, независимо от направления. В этом случае мы хотим знать площадь между кривой и осью x, независимо от того, находится ли эта площадь выше или ниже оси. Это называется 95_240dt=120+120=240.\]

    Формально объединяя эти идеи, мы формулируем следующие определения.

    Определение: чистая площадь со знаком

    Пусть \(f(x)\) – интегрируемая функция, определенная на интервале \([a,b]\). Пусть \(A_1\) представляет собой площадь между \(f(x)\) и осью x, лежащей над осью, а \(A_2\) представляет площадь между \(f(x)\) и x -ось, лежащая ниже оси. Затем чистая область со знаком между \(f(x)\) и осью x определяется как 9b_a|f(x)|dx=A_1+A_2.\]

    Пример \(\PageIndex{4}\): Нахождение общей площади

    Найти общую площадь между \(f(x)=x−2\ ) и ось x на интервале \([0,6].\)

    Решение

    Вычислить точку пересечения по оси x как \((2,0)\) (установить \(y=0,\ ) найти х). Чтобы найти общую площадь, возьмите площадь под осью x на подинтервале \([0,2]\) и добавьте ее к площади над осью x на подинтервале \([2,6]\) ( Фигура).

    96_0|(x−2)|dx=A_2+A_1.\)

    Тогда, используя формулу площади треугольника, получаем

    \(A_2=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac {1}{2}⋅2⋅2=2\)

    \(A_1=\dfrac{1}{2}bh=\dfrac{1}{2}⋅4⋅4=8\).

    Общая площадь равна

    \(A_1+A_2=8+2=10\).

    Упражнение \(\PageIndex{4}\)

    Найдите общую площадь между функцией \(f(x)=2x\) и осью x на интервале \([−3,3].\)

    Подсказка

    Просмотрите стратегию решения в примере \(\PageIndex{4}\).

    Ответить

    \(18\)

    Свойства определенного интеграла

    Свойства неопределенных интегралов применимы и к определенным интегралам. Определенные интегралы также обладают свойствами, относящимися к пределам интегрирования. Эти свойства вместе с правилами интегрирования, которые мы рассмотрим позже в этой главе, помогают нам манипулировать выражениями для вычисления определенных интегралов.

    92_1f(x)dx.\)

    Подсказка

    Используйте стратегию решения из Примера \(\PageIndex{6}\) и правило о свойствах определенных интегралов.

    Ответить

    \(−7\)

    Сравнительные свойства интегралов

    Изображение иногда может рассказать о функции больше, чем результаты вычислений. Сравнение функций по их графикам, а также по их алгебраическим выражениям часто может дать новое представление о процессе интегрирования. Интуитивно можно сказать, что если функция \(f(x)\) выше другой функции \(g(x)\), то площадь между \(f(x)\) и осью x больше, чем площадь между \(g(x)\) и осью x. Это верно в зависимости от интервала, по которому производится сравнение. Свойства определенных интегралов действительны как \(ab\). Однако следующие свойства относятся только к случаю \(a≤b\) и используются, когда мы хотим сравнить размеры интегралов. 92}\) и \(g(x)=\sqrt{1+x}\) на интервале \([0,1]\).

    Решение

    График этих функций необходим для понимания того, как они сравниваются на интервале \([0,1].\) Первоначально при построении графика на графическом калькуляторе \(f(x)\) кажется выше \(g(x)\) всюду. Однако на интервале \([0,1]\) графики кажутся наложенными друг на друга. Нам нужно увеличить масштаб, чтобы увидеть, что на интервале \([0,1],g(x)\) выше \(f(x)\). Две функции пересекаются в точках \(x=0\) и \(x=1\) (рисунок). 91_0f(x)dx\) (рисунок). Тонкая, заштрихованная красным область показывает, насколько велика разница между этими двумя интегралами на интервале \([0,1].\)

    Рисунок \(\PageIndex{9}\): ( а) Из графика видно, что на интервале \([0,1],g(x)≥f(x),\), где равенство выполняется только на концах интервала. (b) Просмотр того же графика с большим увеличением показывает это более четко.

    Ключевые понятия

    • Определенный интеграл можно использовать для вычисления чистой площади со знаком, которая представляет собой площадь над осью x за вычетом площади под осью x. Чистая площадь со знаком может быть положительной, отрицательной или нулевой.
    • Составными частями определенного интеграла являются подынтегральная функция, переменная интегрирования и пределы интегрирования.
    • Непрерывные функции на отрезке интегрируемы. Функции, которые не являются непрерывными, могут быть интегрируемыми, в зависимости от характера разрывов.
    • Свойства определенных интегралов можно использовать для вычисления интегралов.
    • Площадь под кривой многих функций можно рассчитать по геометрическим формулам. 9b_cf(x)dx\)

      Глоссарий

      определенный интеграл
      первичная операция исчисления; площадь между кривой и осью x на заданном интервале представляет собой определенный интеграл
      интегрируемая функция
      функция является интегрируемой, если существует предел, определяющий интеграл; другими словами, если предел сумм Римана, когда n стремится к бесконечности, существует
      подынтегральная функция
      функция справа от символа интегрирования; подынтегральная функция включает интегрируемую функцию
      пределы интегрирования
      эти значения появляются вверху и внизу знака интеграла и определяют интервал, по которому должна быть интегрирована функция
      чистая площадь со знаком
      область между функцией и осью x такая, что область ниже 9ось 0645 x вычитается из области над осью x ; результат такой же, как определенный интеграл функции
      общая площадь
      общая площадь между функцией и осью x рассчитывается путем сложения площади над осью x и площади под осью x ; результат такой же, как определенный интеграл от абсолютного значения функции
      переменная интегрирования
      указывает, по какой переменной вы интегрируете; если это x , то за функцией в подынтегральном выражении следует dx

      Авторы


      Эта страница под названием 5. 2: The Definite Integral распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована OpenStax.

      1. Наверх
        • Была ли эта статья полезной?
        1. Тип изделия
          Раздел или Страница
          Автор
          ОпенСтакс
          Лицензия
          CC BY-NC-SA
          Версия лицензии
          4,0
          Показать страницу TOC
          да
          Включено
          да
        2. Теги
          1. среднее значение функции
          2. расчетный участок: да
          3. определенный интеграл
          4. интегрируемая функция
          5. подынтегральная функция
          6. чистая область со знаком
          7. общая площадь
          8. переменная интегрирования

        Определенный интеграл | Как вычислить определенный интеграл?

        EПусть p(x) первообразная непрерывной функции f(x), определенной на [a, b], тогда определенный интеграл от f(x) по [a, b] обозначается  и равен [p (б) – р(а)].

           = P(b) – P(a)

        Числа a и b называются пределами интегрирования, где a называется нижним пределом, а b называется верхним пределом. Интервал [a, b] называется интервалом интегрирования.

        Примечание

        • Постоянное интегрирование не включается в вычисление определенного интеграла.
        •  читается как «интеграл от f(x) от a до b»

        Шаги для нахождения определенных интегралов

        Чтобы найти определенный интеграл от f(x) по интервалу [a, b], т.е.  у нас есть следующие шаги:

         

        1. Найдите неопределенный интеграл ∫f(x)dx .
        2. Вычислить P(a) и P(b), где P(x) — первообразная f(x), P(a) — значение первообразной при x=a, а P(b) — значение первообразной при x=b .
        3. Рассчитать P(b) – P(a).
        4. Результат – желаемое значение определенного интеграла.

        Определенные интегралы путем замены

        Для интеграла . Пусть g(x) = t, тогда g'(x) dx = dt, где при x = a t = g(a) и при x = b t = g(b).

        Если переменная изменяется в определенном интеграле, то замена новой переменной влияет на подынтегральную функцию, дифференциал (т.е. dx) и пределы.

        Пределами новой переменной t являются значения t, соответствующие значениям исходной переменной x. Его можно получить, подставив значения x в отношение подстановки x и t.

        Свойства определенного интеграла

        Свойство 1)

        Доказательство:

        Пусть p(x) — первообразная f(x). Затем

        и  = p(b) – p(a)                                      ——————-(ii)

        Из (i) и (ii) 

        9 0031 Свойство 2)  

        Если пределы определенные интегралы меняются местами, его значение меняется только на знак минус.

        Доказательство:

        Пусть p(x) будет первообразной f(x). Тогда

         = p(b) – p(a)  

        и  = -[p(a) – p(b)]  = p(b) – p(a)  

        Свойство 3) где a < c < b

        Доказательство:

        Пусть p(x) будет первообразной f(x). Тогда

         = p(b) – p(a)                                                                                             —— ————(i)

         = [p(c) – p(a)] + [p(b) – p(c)] = p(b) – p(a)             ——————(ii)

        Из (i ) и (ii)

        Свойство 4)  

        Доказательство:

        Пусть x = a – t . Тогда dx = d(a – t) ⇒ dx = -dt

        .                                [ По второму свойству ]

        ⇒                                                                [ По первому свойству ]

        Свойство 5)  

        Доказательство:

        Использование третьего свойства

                                        ——————–(i)

        Пусть x = – t , dx = -dt

        Пределы: x= -a  ⇒ t = a   и x = 0 ⇒ t = 0

              [По второму свойству]

        ⇒                                                    [По первому собственность] ————(ii)

        Из (i) и (ii)

        9Свойство 6) Если f(x) — непрерывная функция, определенная на [0, 2a],

                                     ——————(

        Рассмотрим 1

        ⇒                                        [ Используя второе свойство]

        ⇒                                         [ Используя первое свойство]

        Замена в (i)

        Свойство 7)  

        Доказательство

        9003 1 Пусть t = a + b – x ⇒ dt = -dx

        Пределы: x = a, y = b  и x = b , y = a

        После помещения значения и предела t в  

         ⇒                                                                                    [ Используя второе свойство]                 

         ⇒                                      [Используя первое свойство]

        Решенный пример для определенных интегралов

        Задача 1. Вычисление: 032

        (ii)         

        (iii) 

        Решение:

        (i)   =  

                                   = [2 3 – 1 3

                                   = 8 – 1 

         dx = 7

        (ii)     =  

                                              = (1/2)[log|-1| – лог|-3| ] 

                                                = (1/2)[ log 1 – log 3] 

                                   031   = (1/2)log 3

        (iii)  =  (сек 2 x – 1) dx

                                         = [tan(π/4) – (π/4)] – [tan 0 – 0 ]

        = 1 – (π/4)

        Задача 2: вычислить:  

        Решение:

        Пусть 5x 2 + 1 = t. Тогда d(5x 2 + 1) = dt ⇒ 10 x dx = dt

         Для пределов: нижний предел ⇒ x = 0, тогда t = 5x 2 +1 = 1, и верхний предел ⇒ x = 1, тогда t = 5x 2 + 1 = 6

                           = 

                                                      = (1/5) [лог. 6 – лог. 1]

          = (1/5) лог. 6

        Задача 3. Оценка:  

        Решение:

         

         

                [Используя определение f(x)]

                                                 =  [0 – ( -1 – 1)] +  [ (1 + 1) – (0)]

         

        Задача 4. Вычисление:

        Решение:

         

         

          ⇒

          ⇒ 

                                = 1 + 1

         

        Задача 5. Оценка: 

        Решение:

        I =          ———————(i) 90 032

        I = 

        Использование 

        I =           —————— -(ii)

        Добавление (i) и (ii)

        2I =

        2I =

        2I =

        2I =

        I = 0

        908 70

        Задача 6: Оценка: 

        Решение:

        I =                  ——————(i)

        Использование свойства 

        I = 

        I =         —————(ii)

        Добавление (i) и (ii)

        2I = 

        2I =  

        2I = 2 – 1

        2I = 1

        I = 1/2

        Часто задаваемые вопросы по определенным интегралам

        Вопрос 1: Что подразумевается под определенными интегралами?

        Ответ:

        Определенные интегралы — это интегралы, которые определены в соответствующих пределах, т.

      Оставить комментарий