9. Момент инерции твердого тела
Из формулы (7.24) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции тела; чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении, как и масса при поступательном движении. В отличие от массы тела момент инерции зависит от радиуса окружности, описываемой точкой приложения силы, а, следовательно, от выбора оси вращения.
Из формулы следует, что единицей измерения момента инерции является кг.мІ.
Из определения момента инерции
(7.25)
видно, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей:
(7.26)
Момент
инерции существует безотносительно к
вращению. Каждое тело независимо от
того, вращается оно или покоится, обладает
определенным моментом инерции относительно
любой оси.
Для неоднородных тел и тел неправильной формы момент инерции определяют экспериментально, а для однородных тел геометрически правильной формы – посредством интегрирования.
Как было ранее указано, в силу формулы (7.3) элементарная масса равна произведению плотности тела в данной точке на соответствующий элементарный объем: .
Следовательно, момент инерции можно представить в виде: .
Если плотность тела постоянна, её можно вынести за знак суммы задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:
(7.27)
Интегралы в (7.27) берутся по всему объему тела. Величины и r в этих интегралах являются функциями точки.
В качестве примера вычислим момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 7.10).
Рис. 7.10.
Разобьем
диск на кольцевые слои толщиной
.
Все точки одного слоя будут находиться
на одинаковом расстоянии от оси, равном
.
Объем такого слоя равен
,
где – толщина диска. Поскольку диск однороден,
плотность его во всех точках одинакова,
(7.27) можем вынести за знак интеграла:
,
где
–
радиус диска.
Так как масса диска , то получим
Для однородных и симметричных тел обычно основной осью вращения является ось симметрии. В этом случае момент инерции, как мы видели, легко вычисляется.
Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.
Таблица 2
Форма тела | Расположение оси | Величина момента инерции |
Обруч | ||
Цилиндр | ||
Шар | ||
Примечание: m – масса тела, R0 – его радиус | ||
Рассмотрим
произвольное тело и две параллельные
друг другу оси, одна из которых (ось С)
проходит через центр масс тела, а другая
(ось О) отстоит от первой на расстояние а (рис.
Рис. 7.11
Момент инерции относительно оси О определяется выражением
Разобьем это выражение на три суммы:
Первая сумма представляет собой момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Сумма дает массу тела . Наконец, , где – координата центра масс, которая при сделанном выборе начала координат равна нулю. Таким образом, мы приходим к соотношению:
(7.29)
Это соотношение выражает теорему Штейнера, которая гласит, что момент инерции
В
соответствии с теоремой Штейнера момент
инерции диска относительно оси ОґОґ,
отстоящей на расстоянии от
оси, проходящей через центр масс, равен
найденному нами моменту инерции (7.
28) относительно
оси, проходящей через центр диска, плюс : .
1234Следующая ⇒
Момент инерции тела характеризует способность тела, имеющего ось вращения, раскрутиться вокруг этой оси под действием внешних сил. Он является мерой инертности тела при вращении подобно тому, как масса является мерой инерции при поступательном движении (напомним, что инертность тела это стремление сохранять состояние покоя или движения при попытках изменить это состояние). Чем больше момент инерции, тем труднее раскрутить тело одной и той же силой, имеющей ненулевой момент относительно оси вращения. Момент инерции относительно оси определяется не только массой тела, но и тем как эта масса распределена в пространстве относительно выбранной оси. Момент инерции твердого тела относительно оси определяется следующим образом. Все тело разбивается на бесконечное число бесконечно малых элементарных массс , каждая из которых удалена от оси на расстояние (см. рис. 1). После этого вычисляется сумма . На практике процедура суммирования заменяется интегрированием по объему тела. Моменты инерции простейших тел, обладающих той или иной симметрией относительно оси, вычислены и хорошо известны. Существует ряд полезных приемов, позволяющих вычислять моменты инерции относительно тех или иных осей (теорема Штейнера, теорема о моменте инерции плоской фигуры относительно трех взаимно перпендикулярных осей и т.д.). У тел неправильной формы момент инерции может быть определен экспериментально. Показать, как это делается – цель этой лабораторной работы.
1234Следующая ⇒
|
Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!
..
Момент инерции | Физика Фургон
Категория Выберите категориюО фургоне физикиЭлектричество и магнитыВсе остальноеСвет и звукДвижение вещейНовая и захватывающая физикаСостояния материи и энергииКосмосПод водой и в воздухе
Подкатегория
ПоискЗадайте вопрос
Последний ответ: 22.10.2007
Q:
Хорошо, я решаю задачу в 192 или
килограмм метров в квадрате. Этот блок, вероятно, мало что значит для вас
хотя, и вам может быть интересно, что в мире килограмм-метр
квадрат есть. Инерция — это в основном то, насколько трудно что-то сдвинуть. Если
объект имеет большую инерцию, его труднее заставить двигаться или получить
остановиться.
Например, у грузовика инерция больше, чем у человека.
Момент инерции показывает, насколько трудно вращать объект вокруг определенная ось. (Для одного объекта существует множество различных моментов инерция, потому что есть много разных осей, по которым объект может быть вращается вокруг.) Например, возьмите метровую палку и две гири, и поместите два груза в центр измерительной палки. крутить счетчик воткни как дубинку и почувствуй как тяжело ее крутить. Теперь возьмите одинаковые веса и вместо того, чтобы класть их в центр, поместите их в концы метровой палочки. Снова покрутите измерительную линейку и сравните, как тяжело его крутить.
В обоих случаях масса была одинаковой (метровая палка плюс два
гири), так как же может быть, что измерительная линейка труднее вращается, когда
гири на концах, а не посередине? Ответ
что момент инерции больше, когда грузы находятся на концах.
Помните, что у инерции есть странная единица измерения — килограмм-метры в квадрате?
Это получается из произведения массы и квадрата расстояния.
Этот
имеет смысл – если объект имеет большую массу, то его труднее сдвинуть
и имеет больший момент инерции. Кроме того, как вы обнаружили с помощью
метровая палка, если масса находится дальше от того места, где вы вращаетесь
объект, его труднее сдвинуть с места и он имеет больший момент
инерции.
Подводя итог, насколько сложно вращать объект вокруг определенной оси
зависит не только от массы объекта, но и от того, где находится масса
расположен относительно оси. Сложность вращения объекта
вокруг оси называется моментом инерции.
(опубликовано 22.10.2007)
Дополнение к этому ответу
Связанные вопросы
натяжение спиннингового стержня
- необходимый крутящий момент для ротора0003
гравитация и центробежная сила
сохранение углового момента
Проблемы с полетом на север/юг из-за вращения Земли.
вращение от гравитации
Земля вращается вокруг двух осей?
Почему высокие обороты могут быть неудобными в условиях искусственной гравитации?
Напряжение в коническом маятнике
Почему у электронов есть спин?
Все еще интересно?
Вопросы и ответы по Expore в связанных категориях
- Вращающиеся вещи
Что такое единица момента инерции в физике?
Механика
Изображение, сделанное с помощью canva.
Первый закон движения Ньютона познакомил нас с понятием инерции. Инерция тела — это его неспособность самостоятельно изменять состояние покоя или линейного равномерного движения.
Теперь вопрос заключается в том, есть ли у нас подобная концепция, когда речь идет о вращающихся телах, и ответ: да, у нас есть инерция вращения. Давайте сначала 94$
Единица момента инерции выражается в миллиметрах $(мм)$ в данном случае площади момента инерции.
Момент инерции, с которым мы работаем в механике, это момент инерции массы.
Единица момента инерции в системе МКС
Единица момента инерции в системе МКС кг.м 2
Что такое единица момента инерции в системе СИ?
Единица момента инерции является производной единицей измерения. В Международной системе (СИ) масса $m$ измеряется в килограммах, а расстояние $r$ измеряется в метрах, при этом $I$ (момент инерции) имеет размерность килограмм-метр в квадрате.
Итак, единица момента инерции в системе СИ равна кг.м 2 . Это то же самое, что и система единиц МКС.
Единица момента инерции в системе СГС
В системе СГС единицей измерения является г·см 2
Это связано с тем, что в системе единиц СГС единицей массы является грамм, а для измерения длины в качестве единицы используется сантиметр.
Преобразование единиц
Ниже приведена таблица преобразования единиц момента инерции:
| Единица измерения | кг. м 2 | г.см 2 | фунтов m ft 2 | lb m in 2 |
kg. m 2 | 1 | 1×10 7 | 2.37×10 | 3.42×10 3 |
| g.cm 2 | 1×10 -7 | 1 | 2,37×10 -6 | 3.42×10 -4 |
| lb m ft 2 | 4.21×10 -2 | 4.21×10 5 | 1 | 1.44×10 2 |
| lb m in 2 | 2.93×10 -4 | 2.93×10 3 | 6,94×10 -3 | 1 |
Часто задаваемые вопросы
Является ли момент инерции скалярным или векторным?
Момент инерции является скалярной величиной.
В его формулу входят масса и расстояние в квадрате. Мы знаем, что масса скалярна, как и расстояние, и даже сам квадрат расстояния не имеет направления. Произведение обеих этих скалярных величин, т. Е. Квадрат массы на время, дает скалярную величину.
От каких факторов зависит момент инерции?
Момент инерции зависит от следующих факторов,
1. Плотность материала
2. Форма и размеры тела
3. Ось вращения
4. Распределение массы (распределение массы) относительно ось
В чем именно разница между моментом инерции и моментом инерции площади?
Момент инерции, как и инерция, представляет собой сопротивление вращению вокруг оси, тогда как
момент инерции площади является мерой сопротивления формы изгибу вокруг определенной оси.
Влияет ли момент инерции на угловой момент?
Да, угловой момент $(L)$ пропорционален угловой скорости $(\omega)$
В механике вращения угловое ускорение пропорционально моменту инерции тела.