Что такое частная производная: Частные производные, дифференциал, производная по направлению, градиент.

Содержание

Частные производные, все формулы и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Составим отношение Если при стремлении к нулю указанное соотношение стремится к определенному пределу, то этот предел называется частной производной по переменной и обозначается:

   

Итак,

   

Аналогично определяются частные производные заданной функции по переменным и Частная производная по переменной

   

а по переменной

   

Частные производные нескольких переменных

Вычисление частных производных функции нескольких независимых переменных проводится по тем же правилам, что и для производных функции одной переменной. При этом нужно иметь в виду, что при нахождении частной производной по одной из переменных все остальные переменные считаются константами.

Если продифференцировать, например, первую частную производную заданной функции по переменной еще раз по этой переменной, то получим частную производную второго порядка, взятую два раза по то есть производную

   

Аналогично получаем еще две вторые производные по переменным и

   

   

Если же продифференцировать по переменной первую производную взятую по переменной то получим смешанную производную

   

Аналогично вводятся и остальные смешанные производные:

   

Известен тот факт, что значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования, то есть

   

Примеры вычисления частных производных

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Частные производные | Высшая математика | Студенту | Статьи и обсуждение вопросов образования в Казахстане | Образовательный сайт Казахстана

Пусть функция Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки M(x,y) Придадим переменной x в точке M произвольное приращение Δx, оставляя значение переменной y неизменным. Тогда соответствующее приращение функции ΔxZ=f(x+Δx,y)-f(x,y) называется частным приращением функции по переменной x в точке M(x,y). Аналогично определяется частное приращение функции по переменной y: ΔyZ=f(x,y+Δy)-f(x,y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если существует предел , то он называется частной производной функции Z=f(M) в точке М по переменной х (по переменной у) и обозначается одним из следующих символов:

Из определения следует, что частная производная функции двух переменных по переменной х представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной х при фиксированном значении переменной у. Поэтому частные производные вычисляют по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной.

Пример 3. Найти частные производные функции Z=x2-2xy2+y3

Частную производную находим как производную функции Z=f(x,y) по аргументу х в предположении, что y=const. Поэтому

=(x2-2xy2+y3)’x=2x-2y2+0=2(x-y2)

Аналогично, =(x2-2xy2+y3)’y=0-4xy+3y2=y(3y+4x)

Пример 4. . Найти ,

Рассматривая y как постоянную величину, получим:

Рассматривая x как постоянную величину, находим:

Пример 5. z=xe-xy. Найти ,

=(xe-xy)’x=e-xy-xye-xy=e-xy(1-xy)

=(xe-xy)’y=-x2e-xy

Пример 6. . Найти ,

Порядок вывода комментариев: По умолчаниюСначала новыеСначала старые

3.4.1. Частные производные MathCAD 12 руководство

Примеры отыскания частных производных функции двух переменных приведены в листингах 3.11 и 3.12. В первой строке обоих листингов определяется сама функция, а в последующих (символьным или численным образом) рассчитываются ее производные по обеим переменным — х и k. Чтобы определить частную производную в точке, необходимо предварительно задать значения всех аргументов, что и сделано в следующих строках листинга 3.12. Обратите внимание, что для символьного поиска производной функции нет необходимости задавать значения всех ее аргументов (третья строка листинга 3.

12), а вот для численного дифференцирования (последняя строка листинга) должны быть предварительно определены все аргументы функции, иначе вместо результата появится сообщение об ошибке.

Листинг 3.11. Аналитическое вычисление частных производных

Листинг 3.12. Символьное и численное вычисления частных производных в точке

 

Частные производные высших порядков рассчитываются точно так же, как и обычные производные высших порядков (см. разд. 3.3). Листинг 3.13 иллюстрирует расчет вторых производных функции по переменным х и у, а также смешанной производной.

Листинг 3.13. Вычисление второй частной производной

Возможно, вы обратили внимание, что во всех трех листингах 3.11—3.13 оператор дифференцирования записан в традиционной форме частной производной (с округлыми символами дифференциала). Запись оператора не влияет на вычисления, а служит лишь более привычной формой представления расчетов.

Рис. 3.8. Изменение вида оператора дифференцирования


Для того чтобы изменить вид оператора дифференцирования на представление частной производной, следует:

1. Вызвать контекстное меню из области оператора дифференцирования нажатием правой кнопки мыши.

2. Выбрать в контекстном меню верхний пункт View Derivative As (Показывать производную как).

3. В появившемся подменю (рис. 3.8) выбрать пункт Partial Derivative (Частная производная).

Чтобы вернуть вид производной, принятый по умолчанию, выберите в подменю пункт Default (По умолчанию) либо, для представления ее в обычном виде, — Derivative (Производная).

Частные производные – Справочник химика 21

    При фиксированной температуре равновесная степень полноты реакции зависит только от исходных концентраций Заметим, что частная производная [c.52]

    Таким образом, АН представляет собой частную производную полной энтальпии по степени полноты реакции. [c.42]

    Коэффициенты ро> Рг1 Рг.ь Ргг называются коэффициентами регрессии. Их физический смысл вытекает из характера частных производных, которыми они оцреде-ляются.

[c.135]


    Проблемы численного решения полной системы уравнений в частных производных, описывающей неподвижный слой катализатора, обсуждаются в приведенной выше статье Бика. Уравнения массо- и теплопереноса в цилиндрическом слое сферических частиц с реакцией, описываемой линеаризованным кинетическим выражением, решены в работе  [c.301]

    Зависимости с. п Т от и Г могут быть очень сложны. Если с и Т изменяются в масштабах, меньших размера частицы, то необходимо проводить усреднение. Пусть Р — некоторая точка внутри частицы и йКр — окружаюш,ий эту точку элемент объема, содержащий активную поверхность площадью 8 = Значения с и Г в данной точке будут функциями ее положения с . Р), Т [Р). Эти функции определяются как решение некоторой системы дифференциальных уравнений в частных производных, граничными условиями для которых являются величины с ., Т. Тогда функция г из формулы (VI. 1) определяется соотношением  

[c. 122]

    Частные производные и следует, разумеется, вычислять 

[c.171]

    Упражнение IX. 1. Исследуйте случай, когда О и gJo постоянны, но температура изменяется во времени. Считая Р в. Т функциями не только координаты г, но и времени I, выведите дифференциальное уравнение первого порядка в частных производных  [c.259]

    От уравнения в частных производных (IX.36) можно перейти к обыкновенному дифференциальному уравнению  [c.268]

    Исходная задача для уравнения в частных производных, заданного в непрерывной области О с начальными и граничными условиями, заменяется задачей для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, определенных на прямых г =. г,, где / = 1,2,…, М — 1 с начальными условиями. [c.385]

    Эти модели представляют в вида дифференциальных уравнений в частных производных. [c.9]

    При таких допущениях модель описывается следующим дифференциальным уравнением в частных производных  [c. 30]

    Т. е. сумма произведений частных производных функции 6, взятых по каждой пз переменных, на соответственные перемен- [c.28]

    Так как уравнение (6.6) или (6.8) представляет собой сложное нелинейное уравнение в частных производных, оно в большинстве случаев не имеет точных аналитических решений. Его можно проинтегрировать численно с помощью ЭВМ или решить приближенным способом. Приближенные способы хорошо разработаны. Некоторые из них уже были рассмотрены применительно к задачам упругого режима (метод последовательной смены стационарных состояний, метод интегральных соотношений, метод усреднения). 

[c.183]

    Квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка. [c.411]

    В этом состоит сущность метода прямых, который мы фактически только что рассмотрели. Преимущество его заключается в том, что решать обыкновенные дифференциальные уравнения, в принципе, значительно проще, чем уравнения в частных производных. Эти преимущества особенно проявляются в том случае, когда область решения имеет прямоугольную форму, а уравнения являются линейными с постоянными коэффициентами. Если же форма области решения оказывается достаточно сложной, а уравнения имеют переменные коэффициенты или являются нелинейными, использование метода прямых вызывает серьезные затруднения. [c.385]


    Коэффициент Ро представляет собой константу и равен значению аппроксимирующей функции ф ( 1, Х2,. … .., Хп) в точке разложения с координатами Жщ, 20функции отклика каждой из переменных Хг. Коэффициент Р пропорционален смешанной частной производной и его величина характеризует совместное влияние на функцию обеих переменных Хг и х . Коэффициентом [c.135]

    Частная производная по времени обычно заменяется односторонней разностью  [c.385]

    С учетом дискретного аналога второй частной производной по пространственной координате (13. 2) рассматриваемое дифференциальное уравнение упругого режима в конечно-разностной форме сводится к системе уравнений  [c.386]

    Дифференциальное уравнение в частных производных уравнение, содержащее одну зависимую, две или более независимых переменных и частные производные по независимым переменным. [c.411]

    В гл. 6 были приведены некоторые дифференциальные уравнения (в том числе и в частных производных), применимые для производственно-технических расчетов. Мы будем рассматривать решение уравнений различных процессов только с позиций химической инженерной практики. Если придерживаться точных математических методов, то предложенные уравнения можно решить лишь в простейших случаях. Возникающие при этом трудности могут иметь двоякое основание. [c.81]

    Коэффициенты р, определяют из системы уравнений, получаемых из условия 2 ( 1 12…п) = П1ш приравниванием нулю частных производных по Ра, Рз,…, п- [c.141]

    Если поверхность отклика локально может быть описана линейным уравнением, то частные производные [c. 159]

    Мы выбрали наиболее элементарный метод вывода основных уравнений материального и теплового балансов реактора. Другой способ, который мы могли бы использовать, состоит в том, чтобы начать с дифференциальных уравнений в частных производных, описываюпщх процесс в элементе объема реактора, проинтегрировать их по всему объему и усреднить по турбулентным флуктуациям в результате мы получим те же обыкновенные дифференциальные уравнения. [c.158]

    В выражении (5-20) взята частная производная по времени, хотя р обычно бывает функцией не только времени, но и места. Составим уравнение массового баланса  [c.50]

    Зависимости (10-1) представляют собой уравнение Дамкелера (6-49), написанное для псевдолинейного случая. Это упрощение, допустимое для многих реальных случаев, вместо уравнения в частных производных позволяет получить более наглядное обыкновенное дифференциальное уравнение. [c.145]

    Г. И. Баренблаттом показано, что в такой постановке задача автомодельна, т. е. давление зависит от некоторого единого комплекса, включающего в себя обе переменные-г и I, а дифференциальное уравнение в частных производных (6.26) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое легко интегрируется. Чтобы установить, от каких аргументов будет зависеть давление, проведем анализ размерностей. Распределение давления в пласте зависит, как следует из постановки задачи, от пяти определяющих параметров (п= 5) г, Г, р , к/ 2цто), О.тРлт Цт кИ). [c.189]

    Если в системе существуют источники, они будут учтены в уравнении (6-48) четвертым аддитивным членом (сумма таких четырех слагаемых в соответствии с принципом сохранения равна частной производной обобщенной плотности по времени). Этот член называют также локальной составляющей. Его значение в стационарном случае равно нулю. [c.70]

    Частная производная, развернутая по известному отношению между частными производными от функций многих переменных [2], может быть написана следующим образом  [c. 127]

    Самым грубым приближением к у (х h) было бы Ь hf (а, Ъ). Для более точной квадратичной аппроксимации нужно вычислять частные производные функции / [х, у) в точке (а, Ь). Это, однако, неудобно. Поэтому обычно пользуются другим методом, известным как метод Рунге — Кутта, позволяющий аппроксимировать у х h) с точностью до первых четырех членов ряда Тейлора путем вычисления ироизводной в нескольких определенным образом [c.114]

    Выше указывалось, что возможность изменения состояния равновесия имеет важное значение для инженера-практика. Изложение условий состояния равновесия было дано без сведений о том, какие интенсивные характерные для равновесия величины состояния следует изменять, чтобы передвинуть равновесие. Кроме того, важно знать, в какую сторону сдвинется равновесие, если какую-либо величину состояния равновесной системы изменить определенным образом. Ответ на этот вопрос дает принцип Ле Шателье — Брауна, известный из термодинамики Если в термодинамической системе, находящейся в состоянии стабильного равновесия, изменить какую-либо интенсивную величину состояния, то равновесие при этом передвинется таким образом, чтобы изменение соответствующих сопряженных экстенсивных величин состояния было по возможности наименьшим . Вывод этого правила можно найти в учебниках по термодинамике, и мы ограничимся только описанием конкретных случаев. С нашей точки-зрения, большую роль играют интенсивные переменные состояния — такие как температура, давление и химический потенциал. Рассмотрим, какое передвижение равновесия числа пробегов реакции будет происходить при изменении этих величин, т. е. какой знак будет перед частными производными [c.140]

    Решения различных краевых задач неустановившейся фильтрации упругой жидкости в упругой пористой среде в условиях как бесконечного, так и конечного пластов можно получить при помощи хорошо известных методов интегрирования линейного дифференциальйого уравнения в частных производных-уравнения теплоп юводности (5.14). [c.159]


    До сих пор в основном рассматривались процессы, установившиеся во времени (стационарные). В гл. 2 обращалось внимание на то, что возможны также процессы, для которых частная производная от обобщенной плотности по времени не равна нулю  [c. 294]

    Четыре рассматриваемых типа реакторов связаны между собой как в физическом, так и в математическом отношении. Реактор с принудительным перемешиванием, или реактор идеального смешения, отличается от трубчатого реактора как по конструкции, так и по описывающим его уравнениям однако трубчатый реактор с достаточно интенсивным продольным перемешиванием потока приближается к режиму идеального смешения. Периодический реактор представляет собой реактор идеального смешения, в котором существует проток реагентов, но описывается он теми же уравнениями, что и простейшая модель трубчатого реактора. Термин адиабатический относится скорее к режиму реактора, чем к его конструкции, так как и реактор идеального смешения, и трубчатый, и периодический реактор могут быть адиабатическими. При исследовании различных типов реакторов нельзя в равной мере дать характеристику каждого реактора — частично из-за того, что различные вопросы изучены неодинаково полно, а частично из-за того, что некоторые проблемы трудно изложить на том доступном уровне, которого мы собираемся придерживаться в этой книге. Например, нестационарные уравнения для реактора идеального смешения являются обыкновенными дифференциальными уравнениями, и мы можем провести их анализ достаточно полно. Стационарный режим трубчатого реактора уже описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, а для описания его поведения в нестационарном режиме требуются дифференциальные уравнения в частных производных, анализ которых представляет весьма трудную задачу. Там, где это возможно, мы стараемся представить результаты более глубокого лнализа сложных задач в виде качественных описани11 и графиков, [c.10]

    Нелинейный характер и очевидная незамкнутость системы дйфференциаль-ных уравнений в частных производных (16.1 не дает возможности исследовать задачу без введения предположений, существенно упрощающих постановку проблемы. Если учесть, однако, условия прилипания, из которых следует, что пуль-са1 ии скорости на стенке исчезают [и = и = ш = О при у = 0), то выясняется, что вблизи стенки должна существовать такая область, где произведения компонент вектора пульсационной скорости существенно меньше самих пульсаций. Это обстоятельство позволяет пренебречь нелинейными членами системы (16.1) без существенной потери точности в области вязкого подслоя  [c.171]

    В тех случаях, когда принято допущение о распределенности параметров У в пространстве, система уравнений маториального и теплового балансов должна содержать дифференциальные уравнения с частными производными по пространственным координатам. [c.15]

    Взяв частные производные по времени и пространственноыу параметру, а также, обозначая [c.34]

    Частные производные дС/дт от экстенсивного свойства по числу молей компопонтов прп постоянных р ш Т называются парциальными молярными величинами и обозначаются Сг. [c.29]

    Для получения единственного решения при интегрировании этой системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно давлений р ир2та ней необходимо добавить начальные и граничные условия (см. гл. 2, 7). [c.357]

    Математические модели представляют собой совокупность математических объектов и отношений (уравнений), описываюших изучаемый физический процесс на основе некоторых абстракций и допущений, опирающихся на эксперимент и необходимых с практической точки зрения для того, чтобы сделать задачу разрешимой. При моделировании процессов разработки нефтегазовых месторождений эти соотношения в общем виде представляют собой сложные (обычно нелинейные) дифференциальные уравнения в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями (см. гл. 2, 8, 10). [c.379]


Что такое частная производная | diplomtime.bitballoon.com

В математическом анализе частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.

В явном виде частная производная функции в точке определяется следующим образом:

Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции по переменной . Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . [1] .

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.

Объём конуса зависит от высоты и радиуса основания

Объём V конуса зависит от высоты h и радиуса r, согласно формуле

Частная производная объема V относительно радиуса r

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его радиус меняется, а его высота остаётся неизменной. Например, если считать единицы измерения объёма , а измерения длины , то вышеуказанная производная будет иметь размерность скорости измерения объёма , т. е. изменение величины радиуса на 1 м будет соответствовать изменению объёма конуса на .

которая показывает скорость, с которой изменяется объём конуса, если его высота меняется, а его радиус остаётся неизменным.

Различие между полной и частной производной — устранение косвенных зависимостей между переменными в последней.

Если (по некоторым причинам) пропорции конуса остаются неизменными, то высота и радиус находятся в фиксированном отношении k,

Определение 1.11 Пусть задана функция двух переменных z=z(x,y), (x,y)D. ТочкаM0(x0;y0) – внутренняя точка области D.

Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами функции z(x,y). На рис. 1.4 поясняется геометрический смысл локального максимума: M0 – точка максимума, так как на поверхности z =z (x,y) соответствующая ей точка C0 находится выше любой соседней точки C (в этом локальность максимума).

Заметим, что на поверхности в целом есть точки (например, В), которые находятся выше C0, но эти точки (например, В) не являются “соседними” с точкой C0.

В частности, точке В соответствует понятие глобального максимума:

Нахождение глобальных максимумов и минимумов будет рассмотрено в п.1.10.

Пусть задана функция z =z (x,y), (x,y)D. Точка M0(x0;y0D – точка локального экстремума.

Геометрическое доказательство “очевидно”. Если в точке C0 на (рис.1.4) провести касательную плоскость, то она “естественно” пройдет горизонтально, т. е. под углом к оси Ох и к оси Оу.

Тогда в соответствии с геометрическим смыслом частных производных (рис. 1.3):

Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).

Пусть задана z =z (x,y), (x,y)D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0)D. Причем M0 – стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:

Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.

по теореме 1.4 в точке – минимум. Причём

Все табличные случаи деления в которых делитель равен 4
Темы для рефератов по математике

Курс по математическому анализу

Вашему вниманию предлагается курс по математическому анализу.

 

 

Наверх

1. Предел числовой последовательности.

Последовательность  – это функция, заданная на множестве натуральных чисел . Число  называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер, что для всех  c номерами  справедливо неравенство . Неравенство , эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер , что все  c номерами расположены между и . Последовательность, предел которой – конечное число , называется сходящейся, и ее предел обозначают. Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами  , то неравенства означают, что все точки  с номерами расположены между параллельными оси абсцисс прямыми и .

 

Бесконечно малая последовательность. Последовательность  , предел которой равен нулю , называется бесконечно малой.   

Бесконечно большая последовательность. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа  , как бы велико оно ни было, существует такой номер  , что для всех с номерамисправедливо неравенство  , записываем .

 

 

Наверх

2. Методы вычисления пределов последовательностей.

Пусть заданы две последовательности  и . Если существуют  и , то существуют и пределы суммы и произведения последовательностей, а при и предел частного, причем   ,        ,  . Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой последовательности.

Неопределенности и их раскрытие.

Если    и  , то может существовать  . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа  . Также может существовать   , в этом случае имеем неопределенность типа  . Если   и  , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа   . Поскольку в перечисленных случаях не применимы теоремы о пределе суммы, произведения и частного, используют другие способы вычисления, которые называют методами раскрытия неопределенностей. Это, как правило, алгебраические преобразования, приводящие выражения к виду, при котором можно пользоваться упомянутыми теоремами.

 

 

Наверх

3. Предел функции в точке.

 

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки  , , , за исключением, быть может, самой точки  . Число  называется пределом функции  при , стремящемся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех   , удовлетворяющих неравенству  , справедливо неравенство . Говорят “предел функции  в точке  ” и обозначают  . Неравенство  для всех , эквивалентное неравенствам , , означают, что для любого существует такое , что для  график функции   расположен на плоскости в прямоугольнике . При вычислениях на компьютере мы имеем дело с дискретными значениями переменных. Поэтому удобнее пользоваться другим, эквивалентным приведенному, определением предела. А именно:  , если для любой, сходящейся к  последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу . Отсюда следует, в частности, что для любого существует такое , что для любой последовательности , сходящейся к , точки с координатами  находятся на плоскости внутри прямоугольника   .  

Бесконечно большие функции.

Если для любой последовательности  значений аргумента соответствующая последовательность значений функции бесконечно большая, то функция называется бесконечно большой в точке . Если  бесконечно большая в точке , то для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство ; обозначают  .

 

 

Наверх

4. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций.

Рассмотрим функцию, определенную в некоторой окрестности точки , ,  за исключением, быть может, самой точки . Функция  называется бесконечно малой при , стремящемся к , если . Если — бесконечно малая в точке , то для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Неравенства  для всех , эквивалентные неравенствам , , означают, что для любого существует такое , что для график функции расположен на плоскости в прямоугольнике . Важно, что слова “за исключением, быть может, самой точки ” означают, что нас не интересует сама эта точка. Это можно понять, если рассмотреть функцию.  При x, стремящемся к нулю, функция-таки стремится к нулю, независимо от того, какое значение она принимает в точке x=0. Следовательно, предел равен нулю и функция является бесконечно малой.   

Сравнение бесконечно малых функций.

Пусть и  — две функции, бесконечно малые в точке . Если , то говорят, что  более высокого порядка малости, чем и обозначают . Если же , то  более высокого порядка малости, чем ; обозначают . Бесконечно малые функции  и называются бесконечно малыми одного порядка малости, если  , обозначают  .  И, наконец, если   не существует, то бесконечно малые функции и  несравнимы.   

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и  называются эквивалентными, обозначают ~ .

 

 

Наверх

5. Методы вычисления пределов функций.

Пусть заданы две функции и . Если существуют  и  , то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а при и предел частного, причем        

,

,      

 .

Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной функции равен этой постоянной, то есть   . Из приведенных формул следует полезное утверждение: 

 , то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если сделать замену переменной , то вычисление предела при  всегда можно свести к вычислению предела при . Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает со значением функции в этой точке. Доказывают, что все элементарные функции непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке  в выражение для функции. 

 

Неопределенности и их раскрытие.

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если  и   , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Также может существовать   , в этом случае имеем неопределенность типа   . Если   и   , то может существовать  .   В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Если     и   , то может существовать  – неопределенность типа  . Рассматривают также неопределенности типа , и т. д. Основным признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой в выражение для функции. Полезно запомнить замечательные пределы: 

      (е = 2.71828… – основание натуральных логарифмов) – неопределенность типа .

       – неопределенность типа .

Использование эквивалентных бесконечно малых.

Если мы имеем неопределенность типа    , то это означает, что мы вычисляем предел отношения двух бесконечно малых функций. Напомним, что функция называется бесконечно малой, если ее предел в точке  равен нулю. Пусть, , ,  – бесконечно малые функции при  , причем эквивалентна  , т. е. ~ , ~ (напомним, что две бесконечно малых называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1). Тогда, т.е. при вычислении пределов отношений бесконечно малых любую из них можно заменять на эквивалентную. 

Правило Лопиталя.

Неопределенности типа  или удобно раскрывать с помощью правила Лопиталя. Пусть  и  две бесконечно малые или бесконечно большие функции при  и существует предел отношения их производных при . Тогда  . Если в результате применения правила Лопиталя снова получится неопределенность, то его можно применить еще раз. 

 

Формула Тейлора.

Пусть функция имеет в точке  производные всех порядков до -го включительно. Тогда для    справедлива формула Тейлора:

где  называется остаточным членом формулы Тейлора.

 

 

Наверх

6. Непрерывность функции в точке, на отрезке.

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке . Функция  непрерывна в точке , если предел функции в точке  равен значению функции в этой точке,.  

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке , справедливы следующие утверждения. 

Функция, непрерывная на отрезке  , достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке  существуют точки  такие, что

Если функция  непрерывна на отрезке  и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале  существует точка   , в которой функция обращается в нуль, т.е.   . Это утверждение применяют для отделения корней уравнений  с непрерывной левой частью — если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.

Если функция   непрерывна на отрезке    , дифференцируема хотя бы на интервале  , то на интервале  существует точка , такая, что  . Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

 

 

Наверх

7. Классификация точек разрыва

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке . Функция непрерывна в точке , если предел функции в точке  равен значению функции в этой точке, . 

Односторонние пределы функции в точке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Если функция определена на промежутке , , то при исследовании поведения функции в окрестности точки  имеет смысл говорить о пределе функции  в точке  справа, а при исследовании в окрестности точки – о пределе функции в точке  слева. Число называется пределом справа функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число  , что для всех  , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство  . Говорят “предел справа функции в точке ” и обозначают . Аналогично говорят “предел слева функции в точке ” и обозначают , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство  . Для существования предела функции в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы функции в этой точке. По той же схеме вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Функция, определенная на отрезке , , непрерывна справа в точке , если и непрерывна слева в точке  , если. Для того чтобы функция была непрерывна в точке  необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке:. Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке . 

Классификация разрывов.

Если хотя бы одно из равенств  нарушается, говорят о разрыве в точке . Если  и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

 

 

Наверх

8. Производная, ее вычисление, геометрический смысл.

Производная функции в точке – Пусть функция  определена на промежутке . Точка — произвольная точка из области определения функции,   — приращение функции в точке , вызванное приращением независимой переменной .  Производной функции по независимой переменной  в точке ,  называется предел отношения приращения функции к приращению  при стремлении  к нулю, т.е.   

,  

— производная функции в точке . 

Односторонние производные – Если определена при , то можно определить правую производную функции в точке :

Аналогично, если  определена при , определяется левая производная функции в точке :

 Функция  имеет в точке  производную тогда и только тогда, когда в точкесовпадают ее левая и правая производные:  . 

Секущая графика функции – Пусть — функция, определенная на промежутке . Прямая, проходящая через точки , , ,  называется секущей графика функции  . Угловой коэффициент  секущей равен   и ее уравнение имеет вид  . 

Касательная и нормаль к графику функции – Касательной к графику функции  в точке  называется предельное положение секущей, проходящей через точки  , , когда . Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке и ее уравнение имеет вид . Нормалью к графику функции  в точке называется прямая , проходящая через эту точку перпендикулярно касательной. Угловой коэффициент нормали равен    и ее уравнение имеет вид  .

 

 

Наверх

9. Производные сложных, обратных функций.

Пусть    – функция, дифференцируемая в точке  ,   – функция, дифференцируемая в точке   , причем  . Тогда   – сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке    и ее производная в этой точке вычисляется по формуле   .

Обычно    называют внешней функцией, а – внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.  

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке   определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к  , а ее производная вычисляется по формуле .

 

 

Наверх

10. Дифференцируемость, дифференциал.

Дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки  . Рассмотрим приращение функции в этой точке:  . Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно записать в виде , где – приращение независимой переменной, А – постоянная, не зависящая от , – бесконечно малая функция при . 

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции  в точке называется линейная по  часть приращения . Дифференциал обозначается   , то есть  . Рассматривая функцию , нетрудно убедиться, что  , если  – независимая переменная. 

Связь дифференциала и производной.

Воспользуемся определением производной для дифференцируемой функции в точке : . Таким образом, дифференциал функции выражается формулой  , то есть для вычисления дифференциала необходимо лишь вычислить производную и умножить ее на  . Поэтому часто слова “вычисление производной” и “дифференцирование” считают синонимами. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная. 

 

 

Наверх

11. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке   . Вычислим производную , которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции  называется производная от ее производной:   . Аналогично определяют производную любого порядка:  . 

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции  в произвольной точке промежутка : . Здесь  – приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Сам же дифференциал есть функция от , и можно вычислить дифференциал от этой функции:   При  этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка .

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции  в произвольной точке промежутка : . Здесь – приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Пусть теперь   – функция независимого переменного , определенная на промежутке  . Тогда  – сложная функция переменного . Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции: . Заметим, что и выражение для дифференциала принимает ту же форму , хотя здесь  уже функция переменного  . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что  – функция переменного  . Поэтому и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.

 

 

Наверх

12. Исследование функций и построение графиков.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке (возможно,  ) . Характер поведения функции в области определения можно исследовать, опираясь на следующие утверждения.  

Если , то график функции пересекает ось абсцисс в точке  . 

Если , то график функции пересекает ось ординат в точке  .

Если в точке  функция имеет бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту  (Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. В случае бесконечного разрыва расстояние от кривой до вертикальной асимптоты стремится к нулю при справа, слева или с обеих сторон). 

Если , или , существуют и конечны пределы и , то прямая — асимптота графика функции. 

Если , то график функции имеет на левой границе области сходимости вертикальную асимптоту  ; аналогично, если , то график функции имеет на правой границе области сходимости вертикальную асимптоту . 

Если и существует такое число , что для любого , то исследуемая функция периодична с периодом ; в этом случае достаточно построить график функции на промежутке  и доопределить его по периодичности на всю числовую ось.

Если , то исследуемая функция четная; этом случае график симметричен относительно оси ординат; достаточно построить график функции на промежутке и отобразить его симметрично относительно оси ординат на . 

Если  , то исследуемая функция нечетная; этом случае график симметричен относительно начала координат; достаточно построить график функции на промежутке  и отобразить его симметрично относительно начала координат на . 

Исследование функций с помощью производной.

Если функция дифференцируема на промежутке , за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то можно дополнить изучение поведения функции исследованием на экстремум (точки максимума и точки минимума функции имеют общее название — точки экстремума), используя следующие утверждения. 

Для того, чтобы дифференцируемая на функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы () на . 

Пусть в точке  производная  или не существует. Если существует окрестность точки , такая, что для  из этой окрестности при  и при , то функция имеет в точке максимум. Если же при  и  при  , то функция имеет в точке  минимум (в этом случае говорят, что “производная меняет знак при переходе через точку ”).

Если непрерывная в точке функция дифференцируема на , при этом на  и на , то функция имеет в точке максимум; если же при  и  при , то функция имеет в точке  минимум.   

Исследование функций с помощью второй производной.

Если функция дважды дифференцируема на промежутке , за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости.

График функции называется выпуклым (выпуклым вниз) на промежутке , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке , . Если же график функции лежит ниже касательной, — то он называется вогнутым (выпуклым вверх). 

Если дважды дифференцируемая на промежутке  функция имеет на нем положительную вторую производную, то функция выпуклая на . Если же вторая производная отрицательна на промежутке , то функция на нем вогнута.  

Если вторая производная равна нулю в точке , а слева и справа от нее имеет значения разных знаков, точка  — точка перегиба.

 

 

Наверх

13. Кривые на плоскости.

Кривые на плоскости в декартовых координатах.

Кривая на плоскости в прямоугольных (декартовых) координатах — это множество точек, координаты которых связаны соотношениями , , , или ; первые два соотношения задают кривую явно, последнее — неявно. Кривая, заданная уравнением  , , называется гладкой, если функция дифференцируема на промежутке . В каждой точкегладкой кривой можно провести касательную , уравнение которой . Уравнение нормали в той же точке имеет вид  или  . Кривая, заданная неявно уравнением , называется гладкой, если на ней нет особых точек (точка линии называется особой, если в ней одновременно обращаются в нуль обе частные производные функции : ). Уравнения касательной и нормали к такой кривой, проходящих через точку , , имеют соответственно вид   и

Кривые, заданные параметрически.

Уравнения , , устанавливающие зависимость декартовых координат точки плоскости от значения параметра , определяют на плоскости кривую, заданную в параметрической форме (говорят еще — заданную параметрически). Поскольку производная функции , заданной параметрически уравнениями , в точке, которая не является особой точкой кривой, вычисляется по формуле , то уравнения касательной и нормали к кривой, проходящих через точку , имеют соответственно вид: .   

Кривые в полярных координатах.

Декартовы координаты точки  на плоскости связаны с полярными координатамисоотношениями . Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции радиуса-вектора и полярного угла — в полярных координатах. Так, уравнение единичной окружности в полярных координатах имеет вид  . Уравнение кривой в полярных координатахобычно имеет вид . Угловой коэффициент касательной к графику функции, заданной уравнением , в точке   равен   , а декартовы координаты точки равны соответственно  и   .

 

 

Наверх

14.

Формула Тейлора.

Остаточный член формулы Тейлора – Пусть функция имеет в точке  производные всех порядков до -го включительно. Тогда для справедлива формула Тейлора:

 ,

где ,  называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано; — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Если отбросить остаточный член, то получится приближенная формула Тейлора

 

,

правая часть которой называется многочленом Тейлора функции ; его обозначают . Приближенная формула позволяет заменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора. 

Из формулы Тейлора видно, что чем точка  ближе к точке , тем выше точность такой аппроксимации и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных имеет функция в некоторой окрестности точки , тем выше точность, с которой многочлен Тейлора аппроксимирует функцию в этой окрестности. 

Разложение основных элементарных функций – Положив  и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций: 

Разложение функций с использованием стандартных разложений – Для разложения по формуле Тейлора функции в окрестности произвольной точки необходимо сделать замену переменной , то есть  , и воспользоваться одним из приведенных выше разложений основных функций в окрестности точки  .

 

 

Наверх

15. Неопределенный интеграл, простейшие методы интегрирования.

Первообразная и неопределенный интеграл – Рассмотрим функцию , определенную на промежутке (здесь возможно ). Дифференцируемая на промежутке     функция , производная которой в каждой точке равна , называется первообразной функции  : . Поскольку  , то можно говорить о семействе первообразных — множестве функций вида  , . Семейство первообразных   функции называется неопределенным интегралом функции  и обозначается символом : для всех . Здесь    — знак интеграла, — подынтегральное выражение,  — подынтегральная функция,  — переменная интегрирования, — значение неопределенного интеграла, семейство первообразных функции , . То есть производнаянеопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Наоборот,    , следовательно, дифференцирование и вычисление неопределенного интеграла, – взаимно обратные операции. Не представляет труда с помощью таблицы производных составить таблицу неопределенных интегралов. Важным свойством неопределенного интеграла является линейность: , здесь    – постоянные. Вычисление неопределенного интеграла обычно сводится к преобразованию подынтегрального выражения так, чтобы можно было воспользоваться таблицей интегралов. 

Интегрирование заменой переменной – Если — непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая   , получим формулу интегрирования заменой переменной    . Если замена переменной выбрана правильно, то интеграл в правой части должен легко вычисляться. Для некоторых классов функций существуют стандартные замены, сводящие интеграл к табличному. 

Интегрирование по частям – Пусть   – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям . Название “по частям” связано с тем, что для записи интеграла в правой части нужно проинтегрировать “часть”     подынтегрального выражения в левой части. Метод интегрирования по частям используется для интегралов вида   ,  ,  ,  и некоторых других.

 

 

Наверх

16.

Интегрирование некоторых классов функций.

Интегрирование рациональных функций – Функция называется рациональной, если она вычисляется с помощью четырех арифметических действий, то есть в общем случае является частным от деления двух многочленов: . Если , рациональная дробь называется правильной. Неопределенный интеграл от рациональной функции всегда можно вычислить. Для этого: 

Если , выделяем целую часть рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен. Правильную рациональную дробь (или правильный остаток от деления) раскладываем на простейшие дроби. Вид разложения определяется корнями многочлена   , а именно: 

Каждому действительному корню кратности 1 в разложении соответствует член   . 

Каждому действительному корню  кратности  в разложении соответствует набор из  членов     . 

Каждой паре комплексно сопряженных корней   кратности 1 в разложении соответствует член    ( – корни уравнения ).

Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности  в разложении соответствует набор из членов       .  

В приведенных выражениях – неопределенные коэффициенты, которые можно найти, приводя разложение обратно к общему знаменателю , приравнивая полученные коэффициенты при степенях   к соответствующим коэффициентам  и решая систему относительно  . 

Наконец, полученное разложение интегрируем почленно. 

Интегрирование тригонометрических функций – Интегралы вида , где  – рациональная функция своих аргументов, вычисляются с помощью универсальной замены переменной  . При этом . Однако универсальная замена обычно связана с большими вычислениями, поэтому в некоторых случаях можно ее избежать. 

Интегралы вида   вычисляются с помощью замены  . Интегралы вида  вычисляются с помощью замены  . Интегралы вида  , если , то есть четная рациональная функция своих аргументов вычисляются с помощью замены    . 

Интегралы вида  вычисляются с помощью формул понижения степени  . 

Интегрирование иррациональных функций – Общий принцип интегрирования иррациональных выражений заключается в замене переменной, позволяющей избавиться от корней в подынтегральном выражении. Для некоторых классов функций эта цель достигается с помощью стандартных замен. 

Интегралы вида , где  – рациональная функция своих аргументов, вычисляются заменой . 

Интегралы вида   вычисляются заменой или . 

Интегралы вида   вычисляются заменой   или . Интегралы вида вычисляются заменой или .

 

 

Наверх

17. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница.

Определенный интеграл, его геометрический смысл.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке . Разобьем промежуток на  произвольных частей точками   и обозначим , , . На каждом промежутке    возьмем произвольную точку  и вычислим в ней значение функции. Выражение   называется интегральной суммой функции на  .Если при  существует и конечен предел последовательности частичных сумм  , не зависящий ни от способа разбиения промежутка  точками  , ни от выбора , то этот предел называют определенным интегралом от функции по промежутку , а саму функцию — интегрируемой на . Обозначают    . 

Из приведенного определения естественно следует геометрический смысл определенного интеграла: если , то   равен площади фигуры, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми . 

Формула Ньютона-Лейбница.

Значение определенного интеграла может быть вычислено по формуле Ньютона-Лейбница =, здесь символ  означает, что из значения  при верхнем пределе b нужно вычесть значение при нижнем пределе a , — первообразная функция для . Таким образом, вычисление определенного интеграла сводится к нахождению первообразной, то есть неопределенного интеграла. 

Методы вычисления определенного интеграла.

Если — непрерывно дифференцируемая на отрезке  функция, , и , когда  изменяется на  , то, положив  , получим формулу замены переменной в определенном интеграле  .

Пусть  – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям   . Эта формула применяется для тех же классов функций, что и при вычислении неопределенного интеграла.

 

 

Наверх

18. Применение определенного интеграла для площадей и длин дуг.

Вычисление площадей и длин дуг кривых в декартовых координатах.

Пусть на плоскости задана область, ограниченная снизу кривой  , заданной в декартовых координатах, сверху – кривой  , слева – прямой   (ее может и не быть, если  ), справа – прямой  . Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь этой области можно вычислить по формуле   . Здесь не нужно заботиться, какая из функций и где положительная, а какая отрицательная. Если, например, , то формула сама прибавит нужную площадь. Более сложные области всегда можно разбить так, чтобы выполнялись указанные условия. 

Пусть на отрезке  уравнением  задана плоская кривая. Ее длина вычисляется по формуле  

Вычисление площадей и длин дуг при параметрическом задании кривых.

Если область на плоскости снизу ограничена кривой, заданной параметрически, то есть   , при этом  , а сверху – кривой   . Тогда площадь такой плоской фигуры вычисляем по формуле . Эта формула совпадает с формулой вычисления площади в декартовых координатах, если учесть, что  . 

Пусть кривая на плоскости задана параметрически   . Тогда длина этой кривой вычисляется по формуле  .

Вычисление площадей и длин дуг кривых в полярных координатах.

Когда кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах , то площадь этой области вычисляем по формуле  . Основная трудность в использовании этой формулы заключается в определении пределов интегрирования  . Здесь нужно понимать, что кривая  определена только, если . Поскольку в формуле присутствует , то она учтет и не существующую площадь, когда  . Решив уравнение , найдем пределы интегрирования. 

Если кривая, ограничивающая область, задана в полярных координатах  , то ее длина вычисляется по формуле . Пределы интегрирования определяются из тех же соображений, что и при вычислении площади.

 

 

Наверх

19.

Несобственные интегралы.

Интеграл как функция верхнего предела.

Для функции , интегрируемой для всех  , значение интеграла  зависит от значения верхнего предела ; можно рассмотреть функцию переменной : каждому значению ставится в соответствие число, равное значению интеграла  . Таким образом, можно рассматривать определенный интеграл как функцию верхнего предела: ; функция определена в области интегрируемости подынтегральной функции . Если — первообразная для , то значение можно вычислить по формуле Ньютона—Лейбница: . Функцию можно исследовать, не вычисляя первообразной. Для интегрируемой при функции справедливы следующие утверждения:   непрерывна на промежутке , причем ; если при , то     монотонно возрастает на промежутке ; если непрерывна при , то дифференцируема на промежутке , причем . 

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку.

Пусть функция  интегрируема для всех  и   . Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом по неограниченному промежутку и обозначают его  . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле . Аналогично определен интеграл для интегрируемой при  функции  и интеграл для функции , интегрируемой на . Если рассмотренные пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится. 

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция  интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежутке, и бесконечно большая в точке . Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции по и обозначают его . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле . Аналогично определен интеграл от интегрируемой на любом конечном отрезке, содержащемся в , бесконечно большой в точке  функции . Если пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится. 

Исследование несобственных интегралов на сходимость.

Вычисление несобственных интегралов сводится к вычислению первообразной, использованию формулы Ньютона-Лейбница и вычислению предела. Каждый из этапов сам по себе достаточно сложен, и разумно приступать к ним, если есть уверенность, что интеграл сходится, то есть предел конечен. Поэтому, в конечном счете, самым важным в теории несобственных интегралов является исследование их на сходимость: если интеграл расходится, то его и вычислять не надо. Одним из главных инструментов исследования несобственных интегралов на сходимость являются теоремы сравнения.

Рассмотрим две неотрицательные функции  и , определенные при . Пусть  для всех  , начиная с некоторого числа . Тогда, если сходится интеграл от большей функции , то сходится и интеграл от меньшей, то есть. Если расходится интеграл от меньшей функции  ,то расходится и интеграл от большей – . 

Если   , то несобственные интегралы от этих функций или оба сходятся или оба расходятся. 

Аналогичные утверждения, которые называют признаками сравнения, имеют место и для интегралов по конечному промежутку от неограниченных функций.

 

 

Наверх

20. Числовые ряды.

Числовой ряд. Рассмотрим произвольную числовую последовательность и формально составим сумму ее членов    Это выражение называют числовым рядом, или просто рядом. Члены последовательности называют членами ряда. Конечно, невозможно вычислить сумму бесконечного числа слагаемых, но легко вычислить сумму первых n членов ряда . Эта сумма называется n-ой частичной суммой. 

 

Сходимость числового ряда. Ряд    называют сходящимся, если существует и конечен предел последовательности     частичных сумм ряда. Сам предел при этом называют суммой ряда и обозначают   , . Если предел частичных сумм не существует или бесконечен, то ряд расходится. Разность  называется остатком ряда. Очевидно, что для сходящегося ряда    . Это означает, что сумму сходящегося ряда можно вычислить с любой точностью, заменяя ее частичной суммой соответствующего порядка. Для расходящегося ряда это не так. Поэтому сходимость или расходимость конкретного ряда является основным вопросом для исследования. Если ряд сходится, то  (необходимое условие сходимости ряда). Обратное, вообще говоря, неверно. Члены ряда могут стремиться к нулю, но ряд при этом может расходиться. 

 

 

Суммирование числовых рядов. Если возможно найти общий член последовательности    , то по определению можно найти и сумму ряда, вычисляя предел этой последовательности.

 

 

Наверх

21. Сходимость знакоположительных рядов.

Теоремы сравнения.

1. Рассмотрим два числовых ряда с неотрицательными членами   и  , . Если при всех n, начиная с некоторого номера,  , то из сходимости ряда  следует сходимость ряда. Наоборот, из расходимости ряда следует расходимость ряда. 

2. Если для таких же двух рядов   , то оба ряда или сходятся или расходятся одновременно. При использовании теорем сравнения нужно иметь ряд-эталон, с которым сравнивать и про сходимость которого известно заранее. В качестве таких рядов чаще всего берут обобщенный гармонический ряд   , который сходится при и расходится при , или геометрический ряд , который сходится при  и расходится при  .  

Признаки сходимости. Признаки сходимости Даламбера. Для ряда с положительными членами , вычислим   . Если , то ряд сходится, – расходится. При признак Даламбера ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться. 

Признак сходимости Коши. Для ряда с неотрицательными членами   , вычислим . Если   , то ряд сходится, – расходится. При    признак Коши ответа не дает: ряд может как сходиться, так и расходиться.

 

 

Наверх

22. Сходимость знакопеременных рядов.

Абсолютная и условная сходимость. Если в последовательности  бесконечно много положительных и отрицательных членов, то ряд называется знакопеременным. Ряд   называется знакочередующимся. Знакопеременный ряд   называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд   . Если ряд из модулей расходится, а сам ряд сходится, то его называют условно сходящимся. Исследование знакопеременного ряда   начинают с исследования на сходимость ряда из модулей  методами для рядов с неотрицательными членами. Если такой ряд сходится, то получен ответ: ряд сходится абсолютно. 

 

Исследование знакочередующихся рядов. Если ряд из модулей расходится, то для знакочередующегося ряда можно применить признак Лейбница: если последовательность   стремится к нулю, монотонно убывая,   , то ряд    сходится, по крайней мере, условно. Для знакочередующегося ряда очень просто оценивается остаток ряда: .

 

 

Наверх

23. Функциональные ряды, равномерная сходимость.

Функциональный ряд, его сходимость. Рассмотрим ряд,   , членами которого являются функции, определенные на промежутке   . При каждом фиксированном   имеем числовой ряд, сходимость которого может быть исследована рассмотренными ранее методами. Сумма функционального ряда   также является функцией от х:   . По определению предела последовательности: если для   можно указать номер  ( что интересно, для каждого фиксированного   – свой номер, т.е.  ), такой, что для    выполняется неравенство  , то это и означает, что функциональный ряд сходится к функции. Множество , для которого это выполняется, называется областью сходимости функционального ряда. 

 

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть   , т.е. функциональный ряд сходится. Если для   можно указать номер  независимо от  , такой, что для выполняется неравенство  , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве .   

  

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд   с положительными членами, такой, что для всех  , начиная с некоторого номера и всех  выполняется неравенство , то функциональный ряд   сходится на равномерно. Числовой ряд   в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

 

 

Наверх

24. Ряд Тейлора.

Степенные ряды. Функциональный ряд     , где – числовая последовательность, называется степенным рядом. Степенной ряд сходится на интервале   с центром в точке   . Число  – радиус сходимости степенного ряда может быть вычислено по формулам , или     . Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке, целиком лежащем внутри интервала сходимости. Сходимость степенного ряда на границах интервала сходимости необходимо исследовать специально для конкретного ряда. 

 

Разложение функций в ряд Тейлора. При исследовании свойств бесконечно дифференцируемых функций изучают их степенные ряды ряды Тейлора. Пусть функция   определена в некоторой окрестности точки   и имеет в этой точке производные всех порядков. Ряд 

называется рядом Тейлора для функции    в точке . При такой ряд называют также рядом Маклорена:    . Функция  может быть разложена в степенной ряд на интервале , если существует степенной ряд, сходящийся к  на этом интервале. Если функция раскладывается в степенной ряд в некоторой окрестности точки , то это ряд Тейлора. Пусть функция   бесконечно дифференцируема на интервале и все ее производные ограничены в совокупности на этом интервале, то есть существует число   , такое, что для всех    и для всех   справедливо неравенство . Тогда ряд Тейлора сходится к   для всех   . Приведем разложения в ряд Тейлора для основных элементарных функций. 

 

 

Наверх

25. Ряд Фурье.

Ряд Фурье, его сходимость. Пусть функция  абсолютно интегрируема на отрезке  , то есть существует   . Тогда ей можно поставить в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье: . Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера-Фурье: . Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если   – сумма ряда Фурье, то для любого        . То есть, если   непрерывна в точке  , то   . Если в точке   у   разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке . 

  

Разложение в ряд Фурье на произвольном отрезке. Для кусочно-гладкой на отрезке  функции задача о разложении в ряд Фурье на этом отрезке линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке  :   , .

 

 

Наверх

26. Сходимость ряда Фурье.

Сходимость ряда Фурье, явление Гиббса. Если функция  кусочно-гладкая на отрезке , то ее тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка. При этом, если – сумма ряда Фурье, то для любого  . То есть, если  непрерывна в точке  , то  . Если в точке  у     разрыв первого рода, то ряд Фурье сходится к среднеарифметическому левого и правого пределов функции в точке  . В окрестности точек непрерывности функции   разность между значением функции в точке и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при  , что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае   . В окрестности точек разрыва   частичные суммы ряда Фурье ведут себя иначе. Эта особенность поведения частичных сумм Фурье в окрестности точек разрыва называется явлением Гиббса. Оно состоит в том, что для некоторых функций в точке ее скачка      существуют такие значения    , что

Это не противоречит теории, поскольку у Гиббса рассмотрен предел  , а в теории v     .  

Приближение функций, минимальное свойство коэффициентов Фурье. Функция , где    – произвольные числа, называется тригонометрическим многочленом. Тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени для функции     на отрезке   называется такой многочлен , среднеквадратичное отклонение  которого от функции  минимально:    . Для любой ограниченной интегрируемой на    функции частичная сумма   ее ряда Фурье является тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени. 

 

Зависимость скорости сходимости от гладкости функций. Скорость сходимости ряда Фурье функции зависит от ее гладкости (количества непрерывных производных). Если   непрерывно дифференцируема r раз на отрезке   , то справедливо неравенство , где  . Для среднеквадратичного отклонения справедлива оценка   , где  .

 

 

Наверх

27. Функции многих переменных.

Функция двух переменных. Переменная  (с областью изменения  ) называется функцией независимых переменных  в множестве  , если каждой паре их значений из   по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение   из множества . Множество v область определения функции, множество   v область ее значений. Функциональная зависимость   от обозначается так:  и т.п. Выберем в пространстве систему координат  , изобразим на плоскости   множество  ; в каждой точке этого множества восстановим перпендикуляр к плоскости и отложим на нем значение . Геометрическое место полученных таким образом точек и является пространственным графиком функции двух переменных. 

Линии и поверхности уровня. Линией уровня функции двух переменных   называется геометрическое место точек на плоскости   , в которых функция    принимает одно и то же значение. Линии уровня функции определяются уравнением  , где . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Поверхностью уровня функции трех переменных    называется геометрическое место точек в пространстве, в которых функция  принимает одно и то же значение. Уравнение поверхностей уровня имеет вид:  . Поскольку график функции трех переменных нам недоступен, поверхности уровня являются единственным средством изучения таких функций.  

  

Локальные экстремумы. Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции , определенной в области , если существует окрестность этой точки, такая, что  для всех точек этой окрестности, отличных от . Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства.

 

 

Наверх

28. Частные производные, градиент.

Частные производные. Пусть  – функция двух переменных, определенная в некоторой окрестности точки . Если существует конечный предел   , то говорят, что функция   имеет в точке частную производную по переменной   . Аналогично определяется частная производная по    . Обозначают:

 . 

Пусть – функция n переменных, определенная в области   n-мерного пространства. Частной производной функции по переменной  называется предел 

Из определения частной производной следует правило: при вычислении производной по одной из переменных все остальные переменные считаем постоянными, учитывая, что производная постоянной равна нулю и постоянную можно выносить за знак производной.  

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных   ,  – направляющие косинусы вектора  . 

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора   и вектора с координатами   , который называется градиентом функции    и обозначается    . Поскольку   , где   – угол между   и   , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции   , а его модуль равен производной по этому направлению. 

Полный дифференцал. Для приращения дифференцируемой функции   справедливо равенство    . Линейная по приращениям аргументов часть приращения функции называется полным дифференциалом функции и обозначается    . 

Производные и дифференциалы высших порядков. Дифференцируя частную производную как функцию нескольких переменных по одной из переменных, получим производные второго порядка. Например, для функции двух переменных: . Если смешанные производные     и     непрерывны, то они равны, то есть не зависят от порядка дифференцирования. Аналогично определяются, например,     . Если при вычислении полного дифференциала от дифференциала первого порядка учесть, что приращения аргументов есть числа и оставить их неизменными, то получим дифференциал второго порядка. Например, для функции двух переменных:    . Здесь учтено равенство смешанных производных второго порядка и принято    . При этих допущениях формулу дифференциала любого порядка можно получить из символического выражения:   .

 

 

Наверх

29. Неявные функции.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области   плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением   , является графиком некоторой функции   , определяемой уравнением    . В этом случае говорят, что функция    задана неявно уравнением   . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция   и ее частная производная по    непрерывны в     , . Тогда в некоторой окрестности точки   существует единственная непрерывная функция     , задаваемая уравнением   , так, что в этой окрестности   . 

  

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение     задает неявно функцию   . Это же уравнение может задавать неявно функцию или      . 

 

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение  : . Отсюда получим формулу для производной функции    , заданной неявно:   . Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением   : , .

 

 

Наверх

30. Формула Тейлора для многих переменных.

Формулы Тейлора и Маклорена. Если функция   имеет в некоторой окрестности точки непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно, то для любой точки из этой окрестности справедлива формула Тейлора n-го порядка:  , где ,

 ,

 

и т. д. Формула Тейлора, записанная в окрестности точки (0,0) называется формулой Маклорена. Например, для функции двух переменных при n=2: . 

 

Аппроксимация функции многочленом. Выражение

называется многочленом Тейлора n-го порядка. Поскольку , то в окрестности точки функцию можно приближенно заменить, или, как говорят, аппроксимировать, ее многочленом Тейлора, т.е.  . Чем ближе точка  к точке , тем выше точность такой аппроксимации; кроме того, точность возрастает с ростом n. Это означает, что, чем больше непрерывных производных имеет функция  , тем точнее представляет ее многочлен Тейлора.

 

 

Наверх

31. Исследование на экстремум.

Локальные экстремумы. Точка   называется точкой локального минимума (максимума) функции , определенной в области , если существует окрестность этой точки, такая, что   для всех точек этой окрестности, отличных от . Такие экстремумы (максимумы и минимумы) называются нестрогими. Строгие экстремумы имеют место в случае, когда выполнены строгие неравенства.  

 

Исследование на экстремум функции двух переменных. Обозначим через приращение функции   в точке  . Если – точка локального минимума функции  , то существует окрестность   , в которой   (обратное неравенство в случае максимума). Из формулы Тейлора первого порядка   следует, что приращение   дважды непрерывно дифференцируемой функции   может сохранять знак, если главная линейная часть приращения функции в точке экстремума (максимума или минимума) равна нулю, т.е. выполнено необходимое условие экстремума: если точка   – точка экстремума, то   . Такая точка называется стационарной точкой функции. Приращение функции в стационарной точке имеет вид . Обозначим . Справедливо следующее достаточное условие экстремума. Пусть функция    дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки   и  . Если   , то в точке  функция достигает экстремума. Если при этом , то этот экстремум v минимум, при – максимум. Если же    , то в точке   экстремума нет. Геометрически достаточное условие означает, что в окрестности экстремума график функции   близок к поверхности . Если    , то для определения знака приращения   необходимо изучить члены формулы Тейлора более высокого порядка.

 

 

Наверх

32. Условный экстремум.

Условные экстремумы. Пусть функция  определена в некоторой области  и в этой области задана кривая уравнением . Условным экстремумом функции двух переменных  называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить , то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной . 

 

Метод множителей Лагранжа. Если уравнение  не разрешимо ни относительно  , ни относительно , то рассматривают функцию Лагранжа. Необходимым условием существования условного экстремума функции  при условии  является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа:   . 

  

Наибольшее и наименьшее значение функции в области. Поскольку функция  , непрерывная в ограниченной замкнутой области достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений, задача об их нахождении разделяется на две части: найти экстремумы функции двух переменных внутри области, найти ее условные экстремумы на границе области, при условии, что граница задана уравнением .

 

 

Наверх

33. Двойной и тройной интегралы.

Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть   ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на  . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями  (разбиение ). Пусть – наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число    называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует    и он не зависит от выбора разбиения  и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции  по области и обозначается    или   . Двойной интеграл существует, если  непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в . 

 

Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла: 

Линейность:  

. Аддитивность: 

, если S1 и S2 две области без общих внутренних точек. 

Если для каждой точки  выполнено неравенство  , то . 

Если  интегрируема на , то функция   также интегрируема, причем . 

Если  и  наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее  площадь, то . 

Теорема о среднем значении: если  непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что   . 

Вычисление двойного интеграла. 

Если  , где –    непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     . 

Тройной интеграл и его свойства. Пусть – ограниченная замкнутая пространственная область, границей которой является кусочно-гладкая поверхность, и пусть функция  определена и ограничена в  . Посредством сетки кусочно-гладких поверхностей разобьем на конечное число элементарных областей   с объемами  (разбиение). Пусть . наибольший из диаметров областей  , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число ставится в соответствие каждому разбиению  и каждому выбору точек и называется интегральной суммой. Если существует   и он не зависит от выбора разбиения и точек,  то функция называется интегрируемой по Риману в области  , а сам предел называется тройным интегралом от функции   по области  и обозначается  . Свойства тройных интегралов такие же, как и у двойных интегралов. 

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Пусть  является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость  есть область  и которое ограничено снизу поверхностью , а сверху v поверхностью , где   – непрерывные функции в . Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области . Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.

 

 

Наверх

34. Замена переменных в кратных интегралах.

Замена переменных в двойном интеграле. Пусть функции взаимно однозначно отображают открытое множество, содержащее область плоскости на открытое множество, содержащее область , и пусть является образом . Если и их частные производные непрерывны, а определитель   , то . Выражение  называется элементом площади в криволинейных координатах, функциональный определитель – якобианом. 

 

Вычисление площади.

Замена переменных в тройном интеграле. Пусть посредством функций производится взаимно однозначное отображение открытого множества, содержащего область пространства на открытое множество, содержащее область пространства и  есть образ . Если эти три функции непрерывны вместе со своими первыми частными производными в области и якобиан, то . Выражение  называется элементом объема в криволинейных координатах . 

 

Вычисление объема.

Двойной интеграл в полярных координатах. Введем на плоскости полярные координаты. Пусть – область, полученная взаимно однозначным отображением области плоскости , определяемым функциями . Тогда , а двойной интеграл в полярных координатах вычисляется по формуле: .Элемент площади в полярных координатах есть .

 

 

Наверх

35. Сферические и цилиндрические координаты.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах. Введем в пространстве цилиндрические координаты. Для этого на плоскости используем полярные координаты, а третья координата произвольной точки остается . Учитывая связь полярных координат с декартовыми, получим выражение декартовых координат через цилиндрические:  . Тогда  и тройной интеграл в цилиндрических координатах вычисляется по формуле: . Элемент объема в цилиндрической системе координат есть  . 

  

Тройной интеграл в сферических координатах. Введем в пространстве сферическую систему координат. Для этого рассмотрим произвольную точку  в декартовой системе координат. Спроектируем ее на плоскость , получив точку  . Положение точки в пространстве будем характеризовать ее расстоянием от начала координат , углом между отрезком и положительной полуосью , углом между отрезком и положительной полуосью . Декартовы координаты точки выражаются через сферические по формулам: . В этом случае    . Тогда тройной интеграл в сферических координатах вычисляется по формуле: 

.

Элемент объема в сферической системе координат есть  .

 

 

Наверх

36. Поверхностный интеграл по площади поверхности.

Площадь гладкой поверхности. Рассмотрим кусок поверхности  , заданной уравнением . Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность сеткой гладких кривых на элементарные области ( разбиение ). Пусть   – наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения  существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть    однозначно проектируется на плоскость и  – эта проекция. Элементу площади области на плоскости  соответствует элемент площади поверхности , равный , где – угол между нормалью к поверхности и осью . Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла  по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , то     и площадь поверхности вычисляется по формуле   , здесь – проекция поверхности на плоскость . Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности. 

 

Поверхностный интеграл 1-го рода. Пусть некоторая функция определена и ограничена на гладкой поверхности . Выберем разбиение поверхности и точки на каждой элементарной области   и составим интегральную сумму . Если независимо от выбора разбиения и точек существует , то он называется поверхностным интегралом по площади поверхности (1-го рода) от функции и обозначается    . 

 

Свойства и вычисление поверхностного интеграла по площади поверхности. Если поверхность задана уравнением  и однозначно проектируется на плоскость , то поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле . Нетрудно получить аналогичные формулы, если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости. Поскольку вычисление поверхностного интеграла сводится к двойному интегралу, то, естественно, все свойства поверхностного интеграла 1-го рода такие же, как и у двойного.

 

 

Наверх

37. Криволинейный интеграл по длине дуги.

Криволинейный интеграл 1-го рода. Пусть – отрезок кусочно-гладкой кривой с началом в точке и концом в точке и – ограниченная функция, определенная в некоторой области, содержащей кривую . Выберем на кривой произвольные точки , разбивая ее на элементарные отрезки (разбиение ), длина каждого  . Обозначим . Пусть  – произвольная точка на элементарном отрезке . Составим интегральную сумму . Если независимо от разбиения и выбора точек существует    , то он называется криволинейным интегралом по длине кривой (1-го рода) и обозначается  . Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода      от функции трех переменных   по отрезку пространственной кривой. 

 

Свойства и вычисление криволинейного интеграла по длине дуги. Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой , то есть. Это единственное свойство, которое не совпадает с обычными свойствами интегралов, определеямых через предел интегральной суммы. Если – отрезок кусочно-гладкой кривой, заданной параметрически:

 , то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:

. Если плоская кривая задана в явном виде, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле: .

 

 

Наверх

38. Скалярное поле.

Скалярное поле. Если каждой точке пространства ставится в соответствие скалярная величина , то возникает скалярное поле (например, поле температуры, поле электрического потенциала). Если введены декартовы координаты, то обозначают также

 или      . Поле может быть плоским, если   , центральным (сферическим), если   , цилиндрическим, если .

 

Поверхности и линии уровня. Свойства скалярных полей можно наглядно изучать с помощью поверхностей уровня. Это поверхности в пространстве, на которых   принимает постоянное значение. Их уравнение:  . В плоском скалярном поле линиями уровня называют кривые, на которых поле принимает постоянное значение:   . В отдельных случаях линии уровня могут вырождаться в точки, а поверхности уровня в точки и кривые. 

 

Производная по направлению и градиент скалярного поля. Пусть   – единичный вектор с координатами  ,  – скалярное поле. Производная по направлению характеризует изменение поля в данном направлении и вычисляется по формуле  . Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора   и вектора с координатами  , который называется градиентом функции  и обозначается  . Поскольку  , где  – угол между   и  , то вектор  указывает   направление скорейшего возрастания поля , а его модуль равен производной по этому направлению. Так как компоненты градиента являются частными производными, нетрудно получить следующие свойства градиента: 

 

 

Наверх

39.

Векторное поле.

Векторное поле. Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят, что задано векторное поле (поле скоростей частиц движущейся жидкости, силовое поле, поле электрической напряженности). В декартовой системе координат векторное поле можно записать в виде: . Скалярные функции однозначно определяют векторное поле. Векторное поле может быть плоским, если , сферическим, когда , , цилиндрическим, когда , . 

 Векторные линии (линии тока). Для наглядного представления векторных полей используют векторные линии (линии тока). Это кривые, в каждой точке которых вектор является касательным вектором. Через каждую точку проходит одна линия тока. За исключением точек, где поле не определено или , линии тока никогда не пересекаются. В декартовых координатах дифференциальные уравнения линий тока имеют вид:

 

 

Наверх

40. Поток векторного поля.

Поток векторного поля. Рассмотрим кусок поверхности , заданной уравнением . Пусть выполняется условие  , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Выберем одну из сторон поверхности следующим образом: построим на поверхности достаточно малый замкнутый контур, на котором задано направление обхода. Построим вектор нормали в точке поверхности, лежащей внутри контура. Если из конца вектора нормали обход контура кажется происходящим против часовой стрелки, то будем называть сторону поверхности, обращенную к вектору нормали положительной стороной. Таким образом, будем рассматривать ориентированную двухстороннюю поверхность, а односторонние поверхности лист Мебиуса, бутылку Клейна оставим в покое. Потоком векторного поля   через ориентированную поверхность называется поверхностный интеграл по площади поверхности (1-го рода)  , где –     единичный вектор нормали, направленный в положительную сторону. Выбор положительной стороны обычно диктуется физическими условиями задачи. 

 

Непосредственное вычисление потока. Поскольку поток векторного поля определен с помощью поверхностного интеграла, вычисление потока сводится к вычислению такого интеграла от функции , где  – компоненты векторного поля,  – направляющие косинусы вектора нормали.

 

 

Наверх

41. Формула Остроградского.

Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Рассмотрим кусочно-гладкую двухстороннюю замкнутую ориентированную поверхность  . Поток векторного поля   через замкнутую поверхность является важной характеристикой поля и позволяет судить о наличии источников и стоков поля. При непосредственном вычислении потока через замкнутую поверхность приходится разбивать ее на части, однозначно проектируемые на координатные плоскости. 

Формула Остроградского. Пусть замкнутая поверхность ограничивает некоторый объем  . Тогда в декартовых координатах справедлива формула Остроградского: , где  – компоненты векторного поля. 

 

 

Дивергенция векторного поля. Дивергенцией   векторного поля  называется . Точка  находится внутри замкнутой поверхности , ограничивающей объем   , который при вычислении предела стягивается в эту точку.  является скалярной величиной и служит мерой источников поля. Если в некоторой области поля  , то источников поля в этой области нет. Такое поле называют соленоидальным. Используя формулу Остроградского, нетрудно получить выражение для вычисления дивергенции в декартовых координатах: . Из свойств частных производных следуют свойства дивергенции векторного поля: 

 

 

Наверх

42. Криволинейный интеграл в векторном поле.

Криволинейный интеграл в векторном поле. Пусть заданы некоторое векторное поле  и кривая АВ (А – начальная точка, В – конечная). Криволинейный интеграл в векторном поле     есть скаляр, полученный следующим образом: 

Разобьем кривую точками А=А0, А1, А2-Аn=В на n частей, приближенно изображаемых векторами  (разбиение ). 

Обозначим  . 

На границе или внутри каждой элементарной дуги Аi-1Ai выберем точку, которой соответствует радиус-вектор   и составим интегральную сумму   .  

Если существует     и он не зависит от разбиения  и выбора точек, то этот предел называется криволинейным интегралом в векторном поле. В декартовой системе координат:, где – компоненты векторного поля.

Если кривая задана в параметрической форме:

, то вычисление криволинейного интеграла сводится к определенному интегралу: 

. Используя определение и формулу для вычисления нетрудно получить свойства криволинейного интеграла: 

Подчеркнем, что, в отличие от криволинейного интеграла по длине дуги, криволинейный интеграл в векторном поле меняет знак при изменении направления интегрирования. 

Если   векторное поле, описывающее физическое силовое поле, то криволинейный интеграл выражает работу, которую совершает   сила при переносе материальной точки из пункта А в пункт В вдоль кривой АВ. 

 

Циркуляция векторного поля. Важной характеристикой векторного поля является циркуляция векторного поля, которая равна криволинейному интегралу по замкнутой кривой в области поля, или, как говорят, по замкнутому контуру:   . Циркуляция векторного поля является скалярной величиной и характеризует вихревые свойства поля. Если в некоторой области поля циркуляция равна нулю, то поле называют безвихревым.

 

 

Наверх

43. Формула Стокса.

Формула Стокса. Рассмотрим в пространстве кусок двухсторонней кусочно-гладкой поверхности , край которой образуется кусочно-гладкой кривой . Выберем положительную сторону поверхности (из конца единичного вектора нормали      обход границы представляется против часовой стрелки). Для циркуляции векторного поля     вдоль контура границы имеет место формула Стокса: , где   – компоненты векторного поля,   – направляющие косинусы вектора нормали. 

  

Ротор векторного поля. Рассмотрим в пространстве замкнутый контур  с выбранным направлением обхода, лежащий в ориентированной плоскости на ее положительной стороне (из конца единичного вектора нормали   обход контура представляется против часовой стрелки). Ротором    (или вихрем) векторного поля в точке  называется вектор, проекция которого на направление вектора нормали есть    . Точка лежит  на плоскости внутри контура  , который стягивается в эту точку при вычислении предела. Поскольку ротор поля определяется через циркуляцию, то он тоже является мерой завихренности поля. Найдем компоненты ротора в декартовой системе координат, воспользовавшись формулой Стокса. Для этого выберем сначала координатную плоскость y0z с нормальным вектором   , затем x0z,     , затем x0y,   . Применяя каждый раз теорему о среднем для интеграла, получим:    

Теперь теорема Стокса может быть сформулирована следующим образом: циркуляция векторного поля вдоль контура равна потоку ротора поля через поверхность, натянутую на этот контур. Выражение для ротора поля проще запомнить, если записать его в виде определителя:. Используя свойства частных производных и определителей, получим следующие свойства ротора векторного поля:

 

 

 

Наверх

44. Потенциальное поле.

Потенциальное поле. Если векторное поле  , то оно называется потенциальным, а скалярное поле , соответственно, его потенциалом. Самым известным примером такого соответствия является электрическое поле, напряженность которого  , где – потенциал электрического поля. Минус в формуле связан с историческим выбором направления вектора напряженности от плюса к минусу, когда уже умели тереть шерсть об янтарь, но не знали, как это описывать математически. 

  

Условие потенциальности поля. Пусть задано скалярное поле  , причем данная функция дважды непрерывно дифференцируема. Напомним, что в этом случае смешанные частные производные второго порядка не зависят от порядка дифференцирования. Вычислим  . 

Нетрудно видеть, что при этих условиях получается тождественный ноль. То есть, если поле потенциальное, то его  . 

 

 

Вычисление потенциала векторного поля. Если мы убедились, что поле  является потенциальным, то есть его ротор равен нулю, то представляет интерес вычислить потенциал этого поля. Для этого рассмотрим криволинейный интеграл в данном векторном поле:  , где точки А и В – начальная и конечная точки кривой. Поскольку  , то скалярное произведение векторов     и      является полным дифференциалом функции  : . Поэтому из свойств криволинейного интеграла следует, что . Смысл полученной формулы состоит в том, что работа поля по перемещению материальной точки из А в В не зависит от пути интегрирования, а только от конечной и начальной точек, точнее, от разности потенциалов в этих точках. Понятие разности потенциалов хорошо известно из физики. Для вычисления потенциала поля в произвольной точке В выберем начальную точку А, от которой начнем отсчет (в физике часто это – бесконечно удаленная точка). Тогда . Поскольку интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем его так, как нам удобно: сначала параллельно оси 0х, потом параллельно 0у, наконец, параллельно 0z. Обозначая , получим: 

.

Здесь    – компоненты векторного поля    . Поскольку выбор начальной точки произволен, потенциал поля определяется с точностью до произвольной постоянной, которая определяется физическими соображениями.

Производная частная – Энциклопедия по машиностроению XXL

Свойства тела являются функциями независимых термодинамических переменных, определяющих состояние тела. Изменение свойств тела в зависимости от его состояния определяется соответствующими термодинамическими уравнениями в частных производных. Частным видом этих соотношений являются термическое и калорическое уравнения состояния. Наличие термодинамических уравнений делает возможным применение методов подобия к установлению характера зависимости свойств вещества от состояния. Это очевидно из того, что любое физическое свойство представляет собой следствие движения структурных частиц материи и поэтому должно описываться молекулярной динамикой. При введении молекулярных  [c.394]
В многомерном случае схема долины усложняется, но смысл и последствия ситуации остаются такими же, как и в двумерном случае. Для того чтобы избежать ошибок при поиске экстремума на поверхности с гребнем или долиной, применяется метод параллельного поиска, описание которого можно найти в работе [26]. Следует отметить еще одно свойство функции затрат 5 (со), встречающееся на практике. Эта функция, по-видимому, довольно часто достигает минимума на дне долины, которая иногда размещается под острым углом к тем или иным осям координат. В этих условиях не только собственно градиентный метод, но и его дискретные аналоги с заменой-частной производной частным  [c.174]

Производные частные 145 Функции специальные 221  [c.590]

Производные частные 145 Функции специальные 221 –степенные 89  [c.565]

Вдоль L уравнения (1), (2) образуют систему линейных алгебраических уравнений относительно первых частных производных. Частные производные определяются единственным образом, кроме случая, когда вдоль L определитель системы обращается в нуль, т. е.  [c. 312]

Здесь использована полная производная по времени, так как эта производная характеризует. изменение во времени величины, связанной с движущейся в пространстве частицей, в данном случае изменение величины Ат (полную производную по времени часто называют субстанциональной производной). Напомним, что в отличие от полной производной частная производная по времени характеризует изменение некоторой величины со временем в данной точке пространства (частную производную по времени называют, также локальной производной).  [c.470]

Производные частные 1 — 145 Функции специальные 1 — 221 – степенные 1 — 89  [c.491]

Затем, взяв частные производные от объема по коэффициентам А, н получим условия для их определения  [c.97]

Частная производная дхг,/д1 равна  [c.570]

Сравнивая левую часть уравнения (1-4.5) с уравнением (1-2.8), видим, что она представляет собой систему ковариантных компонент V/. Таким образом, ковариантные компоненты градиента скалярного поля / (X) являются частными производными функции / (ж ) по координатам.  [c.31]

Правая часть уравнения (1-1.3), отнесенная к единице объема системы, есть частная производная вектора pv по времени. Таким образом, рассматривая уравнения (1-7.3), (1-7.5) и (1-7.9), получим окончательно динамическое уравнение в форме Эйлера  [c.45]

Термодинамическое давление можно определить прп помоши энергетического уравнения состояния как частную производную внутренней энергии по удельному объему, взятую с обратным знаком. Частное дифференцирование энергии предполагает, что все остальные независимые переменные, среди которых находятся и кинематические переменные, описывающие деформацию, остаются постоянными. Это вносит некоторую внутренне при-  [c.46]


В уравнении (4-4.2) функции Ui ( ) отличаются друг от друга, хотя их значения совпадают. Возникает некоторая путаница, когда один и тот же символ используется для обозначения функции и ее значения. Этой путаницы можно избежать, если при записи частных производных добавлять соответствующие индексы, например  [c.147]

Важно показать значение частной производной от а по Т, появляющейся в приведенных выше уравнениях (4-4.15) и (4-4.17). ри таком частном дифференцировании подразумевается, что изменение температуры рассматривается в момент наблюдения, хотя бы и в условиях постоянной Г (s), т. е. в предположении, что прошлая история температуры поддерживается постоянной. Это означает, что рассматриваются разрывы в момент наблюдения.  [c.156]

В дальнейшем будем считать частные производные такого типа мгновенными производными они измеряют изменение зависимой переменной в ответ на мгновенное изменение некоторой независимой переменной. В классической термодинамике время никогда не фигурирует явно, поскольку скорость протекания рассматриваемых явлений считается величиной несущественной. При рассмотрении жидкостей, обладающих памятью, скорость становится важным фактором, и результаты, аналогичные соответствующим  [c.156]

Уравнения второго типа можно представить себе как частные случаи уравнения (4-3.12) для простой жидкости, когда функционал определяется при помощи одного или нескольких интегралов. Уравнения состояния как дифференциального, так и интегрального тина разрешены относительно тензора напряжений. Этого нельзя сказать об уравнениях состояния релаксационного типа. Действительно, они содержат по меньшей мере одну производную по времени от тензора напряжений. Скорость изменения (или релаксация) напряжений, фигурирующая в уравнениях такого типа, дает название этому типу уравнений.  [c.211]

Теперь можно лучше понять на интуитивной основе смысл приближения га-го порядка к уравнению (4-3.12) для медленных течений, которое было приведено в разд. 4-3. Уравнения (4-3.21) — (4-3.23) дают явные выражения для приближений нулевого, первого и второго порядков соответственно. Можно непосредственно установить, что такие уравнения представляют собой частные случаи уравнения (6-2.1) (вспоминаем, что = 2D см. уравнение (3-2.28)). Понятие медленных течений можно сделать точным при помощи методики замедления см. уравнение (4-3.20). Если задана предыстория, непрерывная в момент наблюдения, то предыстория замедления, полученная из нее введением замедляющего множителя а, становится с уменьшением а непрерывной со всеми своими производными на все более и более широком интервале времени, предшествующем моменту наблюдения. В самом деле, если в определенной предыстории существует некоторая особая точка, то с убыванием а она смещается все дальше и дальше в прошлое. Таким образом, при помощи уравнения (6-2.1) все более увеличивается надежность предсказания правильного поведения. Одновременно уменьшается и значение п, необходимое для разложения предыстории в рамках заданного приближения.  [c.213]

Рассмотрим теперь частные значения а (а именно О, 1, —1). Для а = О, т. е. в том случае, когда предполагается, что в уравнение (6-4.1) входит вращательная производная, разности пер-  [c.232]

Рассмотрим теперь класс возможных обобщений уравнения Максвелла. Очевидно, что уравнение Максвелла, в котором используется верхняя конвективная производная, эквивалентно частной форме уравнения (6-3.3)  [c.237]

Хотя программа исследований в классической гидромеханике устанавливается без труда, следовать этой программе — задача чрезвычайно трудная из-за аналитической сложности системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (7-1.1) и (7-1.2). На практике точные или приближенные решения этой системы можно получить лишь в случае, когда либо граничные условия имеют чрезвычайно простой вид, либо проведены некоторые предварительные упрощения. Фактически в соответствии с типом производимых упрощений задачи гидромеханики можно разделить на ряд категорий. Отнесение какой-либо частной проблемы к одной из этих категорий основывается, по существу, на анализе размерностей.[c.253]

Частная производная от давления р использована потому, что давление, так же как и скорость v, является функцией двух переменных — I и t, а уравнение движения записано для определенного момента времени. В правой же части уравнения записана полная производная от v по t, т. е. полное ускорение, которое равно  [c.136]


Эта частная производная может быть функцией и температуры и давления.  [c.33]

Эта проблема рассматривает частицу, вынужденную двигаться в ограниченной области пространства, определенного прямоугольным ящиком с размерами ребер а, Ь и с. Волновое уравнение для этой системы дано уравнением (2-12). Решение этого дифференциального уравнения с частными производными с тремя неизвестными переменными можно получить, если принять, что  [c.77]

Изменение внутренней энергии может быть выражено в функции изменения и Z путем нахождения частных производных  [c. 130]

Выразить полный дифференциал термодинамической величины ф в функции ее частных производных по двум произвольно выбранным независимым переменным л и у, используя математическое уравнение  [c.150]

Вычислить первую из частных производных, входящих в уравнение (5-2), делением уравнения, полученного в п. 2, на dx, приняв затем постоянство у. Другую частную производную уравнения (5-2) можно вычислить делением уравнения, полученного в п. 2, на dy, введя затем условие, что л постоянно.  [c.150]

Любые частные производные энтропии, полученные в п. 3, могут быть вычислены дифференцированием каждого уравнения, полученного в п. 3 по второй переменной, приняв во внимание,  [c.150]

Вычислить полный дифференциал в функции р, v и Т, используя подстановку для частных производных в уравнении. (5-2).  [c.151]

Эти расчеты проиллюстрированы ниже примерами. Наиболее важные частные производные приведены ниже.[c.151]

Полный дифференциал термодинамической функции может быть получен подстановкой соответствующих выражений для частных производных в уравнение (5-2).  [c.152]

Первая из частных производных — теплоемкость при постоянном объеме  [c.152]

Различными авторами получен ряд автомодельных решений уравнения (3) или (5) и более общих уравнений для различных задач фильтрации А. М. Пирвердяном, Н. Н. Веригиным, В. М. Ентовым, Т. А. Дадашевой и др. (см. [1]). М. Д. Розенберг показал что общая система дифференциальных уравнений в частных производных, частными случаями которой я]вляю ся уравнения движения газированйой нефти и трехфазной смеси  [c.208]

Очевидно, при ы/L 1 можно заменять полную производную любой величины, характеризующей частицу жидкости, локальной производной — частной производной по времени выше это было сделано для скорости частиц. В этом приближении дифференциальные и интегральные (по времени и координатам) операции над величинами, характеризующими частицу, независимы и, в частности, можно менять порядок дифференцирования и интегрирования по времени и по координатам. Проинтегрируем по времени уравнение (13.2) и сделаем перестановку порядка интегрирования (по времени) и ди( еренцирования (по координатам)  [c.38]

Вдоль L уравнения (1), (2) образуют систему неоднородных линейных алгебраических уравнений относительно первых частных производных. Частные производные определяются неединственным образом, если вдоль I определитель системы А и надлежаш,ие числители А , Аз, Ад, А4 в формулах Крамера обраш,аются в нуль. Выпишем первое условие  [c.406]

Если за независимые переменные принять коэффициенты Kj, то объем будет представлять собой непрерывную функщ1ю от этих коэф-фищ1ентов. Условием минимального объема является равенство нулю частных производны с от функции объема по независимым переменным, а именно  [c.96]

Обратимся теперь к более подробному анализу свойств релаксационных уравнений состояния, предложенных в литературе. Олдройд [25] исследовал поведение материалов, описываемых уравнениями (6-4. 39) или (6-4.47) для частного случая, когда а = Ь = с = О, т. е. когда в обеих частях уравнения состояния используется вращательная производная  [c.245]

Наиболее интересно проследить влияние первого сомножителя на критерий Е, отражающего структуру укладки шаровых твэлов в активной зоне. Для бесканальной цилиндрической активной зоны можно определить оптимальную объемную пористость т, при которой критерий энергетической оценки Е достигает экстремальных значений. Для этого определим частную производную dEldm и приравняем ее нулю  [c.92]


2) как константу, и просто возьмем производную sin ( y ).

Вот и все! Теперь давайте разберемся, для чего нужны частные производные.

Интерпретация как скорость изменения

Вспомните из расчетов, производная f ‘( x ) функции одной переменной y = f ( x ) измеряет скорость, с которой y -значения изменяются при увеличении x . Чем круче f увеличивается в данной точке x = a , тем больше значение f ‘( a ).

Итак, что происходит, когда существует более одной переменной? Давайте рассмотрим случай с двумя вариантами: z = f ( x , y ). Частная производная f по отношению к x измеряет скорость, с которой значения z изменяются при увеличении x , в то время как y остается постоянным. Точно так же частная производная f по отношению к y измеряет скорость, с которой значения z изменяются при увеличении y , в то время как x остается постоянным.Смущенный? Возможно, конкретный пример может прояснить ситуацию.

Предположим, вы заядлый путешественник и в настоящее время путешествуете по пересеченной местности с множеством холмов и долин. Назовем восток положительным направлением x , а север – положительным направлением y . Теперь, когда вы в какой-то момент отправитесь из своего местоположения ( a , b ), вам, возможно, придется взбираться на холм, когда вы идете на восток. Это будет соответствовать положительному значению частной производной по отношению к x , оцененному в точке ( a , b ).С другой стороны, если вы вместо этого повернете на север, возможно, вы сможете спуститься в долину. Это даст отрицательное значение для частной производной по отношению к y , оцененному как ( a , b ). Частные производные – это математические инструменты, используемые для измерения увеличения или уменьшения по отношению к определенному направлению движения.

Очень ухабистая местность. Значения частных производных в любой заданной точке указывают, путешествуете ли вы вверх по холму или вниз по долине.

Другие примеры

Давайте попрактикуемся в нахождении частных производных нескольких функций. Помните, что все обычные правила и формулы для поиска производных по-прежнему применимы – единственное новшество здесь в том, что одну или несколько переменных следует считать постоянными.

Пример 1

Найдите частные производные по x и y для следующей функции. Затем оцените обе частные производные в точке (2, -1).

Функция например 1

Работа показана ниже. Обратите внимание на обозначение частной производной ∂ / ∂ x в первой строке? Это просто означает, что вы возьмете частную производную по отношению к x от всего, что следует в скобках (и аналогично для ∂ / ∂ y ниже). Для ясности я заключил в круглые скобки те части функции, которые не считаются постоянными в каждом вычислении ( x выражений, когда частичное относится к x , и y выражений, когда частичное относится к л ).

Частная производная по x
Частная производная по y

Теперь, когда мы вычислили частные производные, мы можем вставить заданную точку, чтобы завершить задачу. 5 загар ( x + 3 y ).2 tan ( x + 3 y ) считается константой в этой задаче (поэтому его производная равна просто 0), потому что переменная z в ней не отображается.

f / ∂ z = xy (1) + 0 = xy .

Резюме урока

Частная производная функции многих переменных по заданной переменной – это просто обычная производная по этой переменной, но все остальные переменные рассматриваются как константы.∂ f / ∂ x измеряет скорость изменения f в направлении x , и аналогично для ∂ f / ∂ y , ∂ f / ∂ z и т. Д.

Неполная производная

Неполная производная

Предположим, у нас есть функция трех переменных: f (x, y, z). Тогда частная производная f с относительно x написано:

[Уравнение 1]

Частная производная означает скорость изменения . То есть уравнение [1] означает что скорость изменения f (x, y, z) по отношению к x сама по себе новая функция, которую мы называем g (x, y, z) . По “скорости изменения по x” мы имеем в виду, что если мы наблюдаем функцию в любой момент, мы хотим знать, как быстро функция f изменяется, если мы перемещаемся в направлении + x.

Чтобы дать общий, но конкретный пример, предположим, что f – линейный или медленно меняющийся функция. Предположим, что f (0,0,0) = 3, и что f (1,0,0) = 5.Тогда мы бы говорят, что скорость изменения f в + x-направлении, оценивается как (0,0,0) +2. Это связано с тем, что функция f увеличилась на 2 в диапазоне x = 1 . Это скорость изменения f по отношению к x. Наконец, скорость изменения может быть положительным, отрицательным или нулевым.

Для большей строгости или, если сказанное выше неясно, мы определим (обычные) производные а затем посмотрите на производные от векторные функции.

Производные инструменты

На этой странице мы упростим вещи и обсудим обычные производные. Это проще, потому что мы смотрим на функции с одной переменной. Если у нас есть функция p (x) , то производная p относительно x записывается:

[Уравнение 2]

Производная p (x) – это еще одна функция, которую мы запишем как q (x) . Как Например, давайте рассмотрим несколько простых функций.Первый – p (x) = 3 . Функции p (x) и производная hte q (x) показаны на рисунке 1:

Рисунок 1. Постоянная функция (слева) и ее производная (справа).

Имеет ли для вас смысл рисунок 1? Слева на рисунке 1 у нас есть постоянная функция p (x) . Обратите внимание, что p вообще не меняется. Следовательно, скорость изменения (производная от p ) должен быть равен нулю (без изменений). И это именно то, что мы получаем, правый график на Рисунке 1.

Когда это имеет смысл, давайте рассмотрим более сложный пример: p (x) = x . Это простая линейная функция, ее производная показана на рисунке 2:

Рис. 2. Линейная функция (слева) и ее производная (справа).

Вы снова должны спросить себя, является ли q (x) правильной производной. Это? Здесь у нас есть функция, которая увеличивается с постоянной скоростью – линейно возрастающая функция. Это означает что функция всегда изменяется с одинаковой скоростью, поэтому производная должна быть постоянной.И q (x) = 1 , что является константой. Так что это правильно. Есть смысл? Давай сделаем третий Пример, который снова немного сложнее – квадратичная функция:

Рис. 3. Квадратичная функция (слева) и ее производная (справа).

Если вы понимаете рисунок 3 и никогда раньше не видели производных, значит, у вас хорошая интуиция. Квадратичная функция p убывает, если x меньше нуля. Ровно в x = 0 , функция фактически не меняется – на мгновение, когда она переключается с плавно уменьшается до увеличения.Наконец, выше x равно нулю, функция p увеличивается. Кроме того, увеличивается ставка p . увеличивается по мере увеличения x – наклон становится все более крутым.

Это дает производную p , правая часть рисунка 3. Производная q – линейная функция 2 * x. Это означает, что скорость изменения p постоянно увеличивается. Имеет ли это смысл? Это сложная концепция, но вы должны смотреть на нее, пока это имеет смысл, если вы хотите понять деривативы.

Вернуться к частным производным

Когда мы возвращаемся к функциям с несколькими переменными, то есть смотрим на f (x, y, z) вместо f (x) , тогда определение частной производной лишь немного сложнее. Математический факт в том, что если мы берем производную с относительно x , тогда мы можем рассматривать другие переменные ( y и z ) как константы. То есть, мы можем относиться к ним так же, как к любым числам, например +5 или -3.Причина в том, что частная производная f относительно x должна только посмотреть, что происходит с f , когда x немного изменяется, а другие остаются постоянными.

В качестве быстрого примера давайте оценим частную производную f (x, y, z) относительно y для функции в уравнении [3]. Я использую небольшой расчет, но мы сохраняем переменные x и z постоянными и получаем:

[Уравнение 3]

Частные производные векторных функций

Производная также может применяться к векторным функциям в очень естественной форме.Для уравнений Максвелла мы используем трехмерные векторные функции. Итак, если у нас есть векторная функция A в уравнении [4]:

[Уравнение 4]

Тогда частная производная от A относительно x будет просто частная производная каждого из компонентов в отдельности:

[Уравнение 5]

Уравнение [5] показывает, что частная производная вектор-функции является естественным продолжением частной производной скалярной функции. И это должно дать вам всю информацию вам нужно знать о частных производных, которые вам нужно знать для уравнений Максвелла.


Уравнения Максвелла

Эта страница, посвященная частным производным инструментам и обычным производным финансовым инструментам, защищена авторским правом, в частности применение его к уравнениям Максвелла. Авторские права принадлежат Maxwells-Equations.com, 2012.

Частичная производная латекса – Javatpoint

Производная

Производная в математике означает скорость изменения.Частная производная определяется как метод хранения переменных констант.

Команда \ partial используется для записи частной производной в любое уравнение.

Есть разные порядки деривативов.

Запишем порядок производных с помощью латексного кода. Мы можем рассмотреть выходное изображение для лучшего понимания.

Код приведен ниже:

\ documentclass [12pt] {статья} \ usepackage {mathtools} \ usepackage {xfrac} \ begin {document} \ [ Первый \; приказ \; производная = f ‘(x)% \; команда используется для интервала \] \ [ Второй \; приказ \; производная = f ” (x)% здесь мы использовали отдельные среды для отображения текста в разных строках \] \ [ Третий \; приказ \; производная = f ” ‘(x) \] \ [ \ vdots \] \ [ Kth \; приказ \; производная = f ^ {k} (x) \] \ конец {документ}

Выход:

Давайте воспользуемся приведенными выше производными, чтобы написать уравнение. k} \] \ конец {документ}

Выход:

Рассмотрим пример записи уравнений с использованием частной производной.3 F} {\ partial x \ partial y \ partial z} \] \ конец {документ}

Выход:

Мы можем изменить уравнение и параметры в соответствии с требованиями.


Дифференциация

Команда \ diff используется для отображения символа различия.

Чтобы реализовать дифференциацию, нам нужно использовать пакет diffcoeff .

В пакете написано:

\ usepackage {diffcoeff}

Давайте рассмотрим несколько примеров дифференциации.

Первый пример – отображение дифференциального уравнения первого порядка.

Код приведен ниже

\ documentclass [12pt] {статья} \ usepackage {mathtools} \ usepackage {diffcoeff} \ begin {document} \ [ \ diff [1] yx 3x = 3 \] \ [ \ diff {y} {x} 2x = 2 \] % мы можем использовать любой из двух методов для записи дифференциального уравнения первого порядка \ конец {документ}

Выход:

Второй пример – отображение дифференциального уравнения второго порядка. 2 + 4x + 3) = 4x + 4 \] \ конец {документ}

Выход:


Дифференциация с частными производными

Команда \ diffp используется для отображения символа дифференцирования с частными производными.

Рассмотрим несколько примеров дифференцирования с частными производными.

Первый пример – отображение дифференциального уравнения с частной производной первого порядка.

Код приведен ниже:

\ documentclass [12pt] {статья} \ usepackage {mathtools} \ usepackage {diffcoeff} \ begin {document} \ [ \ diffp {u} {t} = \ diffp {u} {x} + \ diffp {u} {y} \] \ конец {документ}

Выход:

Второй пример – отображение дифференциального уравнения с частной производной второго порядка.

Код приведен ниже:

\ documentclass [12pt] {статья} \ usepackage {mathtools} \ usepackage {diffcoeff} \ begin {document} \ [ \ diffp [2] ut = \ diffp [2] ux + \ diffp [2] uy \] \ конец {документ}

Выход:

В третьем примере будет отображаться частная производная, содержащая постоянное значение.

Он также будет включать другие примеры, которые прояснят концепцию.

Код для такого примера приведен ниже:

\ documentclass [12pt] {статья} \ usepackage {mathtools} \ usepackage {diffcoeff} \ begin {document} \ [ \ diffp {G (x, y)} x [(1,1)] \] \ [ \ diffp ST [D] \] \ [ \ diffp ut [] \] \ [ \ diffp [1,3] F {x, y, z} \] \ [ \ diffp [2,3,2] F {x, y, z}% степень числителя – это сумма степеней переменных знаменателя.\] \ конец {документ}

Выход:


10. Частные производные инструменты

М. Борна

До сих пор в этой главе мы имели дело только с функциями одиночных переменных . Однако многие функции в математике включают 2 или более переменных. В этом разделе мы увидим, как найти производные от функций более чем одной переменной.

Этот раздел связан с неявной дифференциацией, с которой мы встречались ранее, но не совпадает с ней.

Пример 1 – Функция двух переменных

Вот функция двух переменных, x и y :

F ( x , y ) = y + 6 sin x + 5 y 2

Чтобы построить такую ​​функцию, нам нужно использовать трехмерную систему координат.

Частичная дифференциация относительно

x

«Частная производная по отношению к x » означает «рассматривать все другие буквы как константы и просто различать части x ».

В нашем примере (и аналогично для каждой функции с двумя переменными) это означает, что (по сути) мы должны развернуть наш график и посмотреть на него с дальнего конца оси y . Мы рассматриваем только плоскость x z .

Мы видим синусоидальную кривую по оси x , и это происходит из части “6 sin x ” нашей функции F ( x , y ) = y + 6 sin x + 5 y 2 .Части и считаются константами (в данном случае фактически 0).

Теперь о частной производной от

F ( x , y ) = y + 6 sin x + 5 y 2

относительно x :

`(del F) / (del x) = 6 cos x`

Производная от части 6 sin x равна 6 cos x . Производная частей y равна нулю, поскольку они считаются константами.

Обратите внимание, что мы используем фигурный символ ∂ для обозначения «частичного дифференцирования», а не «d», который мы используем для нормального дифференцирования.

ПРИМЕЧАНИЕ: Вы можете изучить этот пример с помощью этого интерактивного трехмерного апплета в главе «Векторы». В выпадающем списке примеров это последний.

Частичная дифференциация по y

Выражение

Частная производная по y

означает

«Считайте все остальные буквы константами, просто дифференцируйте части и ».

Как и выше, мы развернем наш график и смотрим на него с дальнего конца оси x . Итак, мы видим (и рассматриваем вещи) только плоскость y z . (Обратите внимание на горизонтальную ось на следующем графике, обозначенную как y , а не x . )

Мы видим параболу. Это происходит из членов y 2 и y в F ( x , y ) = y + 6 sin x + 5 y 2 .2` вниз на 6 ед.)

Теперь о частной производной от

.

F ( x, y ) = y + 6 sin x + 5 y 2

по отношению к у .

`(delF) / (dely) = 1 + 10y`

Производная частей y по отношению к y равна 1 + 10 y . Производная части 6 sin x равна нулю, поскольку она рассматривается как константа, когда мы производим дифференцирование относительно y .

ПРИМЕЧАНИЕ: Еще раз, вы можете изучить этот конкретный пример (повернуть его, просмотреть с разных осей и т. Д.) С помощью интерактивного 3D-апплета в главе «Векторы». 2)`, нам нужно найти производную по y от `(delF) / (dely)`.2) = del / (dely) [(delF) / (dely)] `

`= del / (dely) [1 + 10y]`

`= 10`

Частная производная – Исчисление Как к

Деривативы>

Частная производная – это производная, в которой одна или несколько переменных остаются постоянными.

Если у вас есть многомерная функция с более чем одной независимой переменной, например z = f ( x , y ), обе переменные x и y могут влиять на z .Частная производная содержит одну переменную-константу, что позволяет исследовать, как небольшое изменение второй переменной влияет на результат функции. Например, частная производная z по отношению к x содержит константу y . По сути, вы находите производную только для одной из переменных функции.

Формально, частная производная для однозначной функции z = f (x, y) определяется для z относительно x (т. Е. Где y остается постоянным) как:

И для z относительно y (где x остается постоянным) как:

В функциях одной переменной есть только одна переменная, поэтому частная производная и обычная производная концептуально одинаковы (De la Fuente, 2000).

Обозначение

Частная производная может быть обозначена разными способами .

Распространенный способ – использовать индексы, чтобы показать, какая переменная дифференцируется. Например, D x i f (x), f x i (x), f i (x) или f x .

Используемые обозначения зависят от предпочтений автора, преподавателя или конкретной области, в которой вы работаете. Например, в термодинамике (∂z.∂x i ) x ≠ x i (с фигурными обозначениями d) является стандартным для частной производной функции z = (x i ,…, x n ) по x i (Сычев, 1991).

Вы находите частные производные так же, как и обычные производные (например, с помощью правила цепочки или правила продукта. Единственное отличие состоит в том, что перед тем, как вы найдете производную для одной переменной, вы должны сохранить другую константу.

Пример вопроса: Найдите частную производную следующей функции по x:
f (x, y) = x 2 + y 4 .

Шаг 1. Измените переменную, которую вы не дифференцируете, на константу. Неважно, какую константу вы выберете, потому что все константы имеют нулевую производную. В этом вопросе вы дифференцируете по x, поэтому я собираюсь ввести произвольную цифру «10» в качестве константы:
f (x, y) = x 2 + 10.

Шаг 2: Дифференцируйте как обычно. Для этой конкретной функции используйте правило мощности:
f ′ x = 2x (2-1) + 0 = 2x.

Частная производная этой функции по x равна 2x.

Список литературы

Абрамовиц М. и Стегун И. А. (ред.). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, 9-е издание. Нью-Йорк: Довер, стр. 883-885, 1972.
De la Fuente, A. (2000). Математические методы и модели для экономистов. Издательство Кембриджского университета.
Сычев В. (1991). Дифференциальные уравнения термодинамики. CRC Press.
Томас Г. Б. и Финни Р. Л. §16.8 в исчислении и аналитической геометрии, 9-е изд. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, 1996.

————————————————– ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!



Частичная производная – Academic Kids

От академических детей

В математике частная производная функции нескольких переменных является ее производной по одной из этих переменных, при этом остальные остаются постоянными. Они полезны в векторном исчислении и дифференциальной геометрии.

Частная производная функции f по переменной x представлена ​​как \ frac {\ partial f} {\ partial x} или \ partial_xf или f x (где \ partial – это округленная буква «d», известная как «символ частной производной», которая совпадает с курсивной кириллической буквой «де» и произносится как ее английский аналог «d» – это, кстати, обозначение, впервые введенное Лежандром).2 <математика>

Частная производная A относительно r равна

<математика> \ frac {\ partial A} {\ partial r} = 2 \ pi r <математика>

Уравнения, включающие частные производные неизвестной функции, называются уравнениями в частных производных и широко используются в науке.

Обозначение

Для следующих примеров пусть f будет функцией в x , y и z . {(i, j, k)} <математика>

При работе с функциями нескольких переменных некоторые из этих переменных могут быть связаны друг с другом, и может потребоваться явно указать, какие переменные остаются постоянными. В таких областях, как статистическая механика, частная производная от f по отношению к x , содержащая постоянные y и z , часто выражается как

<математика> \ left (\ frac {\ partial f} {\ partial x} \ right) _ {y, z}

Формальное определение и свойства

Как и обычные производные финансовые инструменты, частная производная определяется как предел.Пусть U будет открытым подмножеством R n и f : U -> R функции. Определим частную производную f в точке a = ( a 1 , …, a n ) ∈ U относительно i -я переменная x i как

<математика> \ frac {\ partial} {\ partial x_i} f (\ mathbf {a}) =

\ lim_ {h \ rightarrow 0} { f (a_1, \ dots, a_ {i-1}, a_i + h, a_ {i + 1}, \ dots, a_n) – f (a_1, \ точки, a_n) \ над h} <математика>

Даже если все частные производные ∂ f / ∂ x i ( a ) существуют в данной точке a , функция не обязательно должна быть непрерывной там.

Оставить комментарий