Исследование: время в квантовой механике может идти и вперед, и назад | Технологии
Команда физиков из университета Бристоля выяснила, что граница между временем, движущимся вперед и назад, может размыться в квантовой механике.
Авторы новой работы показали, что время в квантовых системах может развиваться по двум противоположным направлениям, как вперед, так и назад.
На протяжении веков философы и физики размышляли о существовании времени. В классическом понимании, у нас нет вопроса, существует ли время и как оно движется. В физике это понятие описывается с помощью «энтропии» — это физическая величина, определяющая степень беспорядка в системе. Рост энтропии необходимое условие любого движения просто. На основе этого можно построить стрелу времени.
Если явление производит большое количество энтропии, наблюдение за его изменением в течение времени практически невозможно.
Но когда произведенная энтропия достаточно мала, то изменение времени произойдет естественным образом.
Джулия Рубино, доктор из лаборатории квантовых инженерных технологий Бристольского университета
Но когда произведенная энтропия достаточно мала, то изменение времени произойдет естественным образом.Исследователи применили эту идею к квантовой области. Одна из ее особенностей — принцип квантовой суперпозиции, согласно которому, если возможны два состояния квантовой системы, то она может находиться в них одновременно.
Если распространить эту идею на привычный ход времени, то получится, что квантовые системы, развивающиеся в том или ином временном направлении могут идти и в обратную сторону.
Доктор Гонсало Мансано, из Университета Балеарских островов, заявил, что в работе они количественно оценили энтропию, которую создает система, развивающаяся в квантовой суперпозиции:
Мы обнаружили, что это чаще всего приводит к проецированию системы на четко определенное направление времени, которое соответствует наиболее вероятному процессу из двух.
Гонсало Мансано, доктор и соавтор исследования из Университета Балеарских островов
И все же, когда действие произвело небольшое количество энтропии, тогда можно физически наблюдать последствия того, что система развивалась одновременно в прямом и обратном временных направлениях. Эта работа также имеет практическое значение в квантовой термодинамике, если учитывать альтернативный вариант развития событий, то можно улучшить качество работы техники.
Квантовая механика – Студенты и физика
НазадКоротун Марк Юрьевич
Квантовая механика
Введение
Квантовая механика — раздел теоретической физики,
описывающий физические явления, в которых действие сравнимо по величине с постоянной Планка, которая является чрезвычайно малой величиной по сравнению с действием макроскопических объектов, квантовые эффекты в основном проявляются в микроскопических масштабах.
Если физическое действие системы намного больше постоянной Планка, квантовая механика органически переходит в классическую механику.
Классическая механика и электродинамика
при попытке применить полученные объяснения к атомным явлениям приводили к результатам, находящимся в резком противоречии с экспериментом. Наиболее яркий тому пример – попытка применения классической электродинамики к модели атома, в которой электроны движутся вокруг ядра по классическим орбитам. При таком движении, как и при всяком движении зарядов с ускорением, электроны должны были бы непрерывно излучать энергию в виде электромагнитных волн и, в конце концов, – неизбежно упасть на положительно заряженное ядро. Таким образом – с точки зрения классической электродинамики – атом неустойчив. Как мы видим – этот тезис не соответствует действительности. Такое глубокое противоречие теории с экспериментом свидетельствует о том, что описание микрообъектов требует фундаментального изменения в основных классических представлениях и законах.
Это и обуславливало необходимость изучения микромира в отдельности и создание квантовой механики.
История возникновения и создание квантовой механики
В результате углубления представлений о природе света
выяснилось, что в оптических явлениях обнаруживается своеобразный дуализм. Наряду с такими свойствами света, которые самым непосредственным образом свидетельствуют о его волновой природе (интерференция, дифракция), имеются и другие свойства, столь же непосредственно обнаруживающие его корпускулярную природу (фотоэффект, явление Комптона).
В 1924 г. Луи де-Бройль выдвинул смелую гипотезу,
что дуализм не является особенностью одних только оптических явлений, но имеет универсальное значение. Допуская, что частицы вещества наряду с корпускулярными свойствами имеют также и волновые, де-Бройль перенес на случай частиц вещества те же правила перехода от одной картины к другой, какие справедливы в случае света. Фотон обладает энергией
и импульсом
По идее де-Бройля,
движение электрона или какой-либо другой частицы связано с волновым процессом, длина волны которого равна
а частота
Гипотеза де-Бройля вскоре была подтверждена экспериментально.
При выполнении некоторых условий, пропуская пучок электронов через материал можно зафиксировать дифракционную картину, соответствующую структуре материала. Данный процесс рассеяния электронов на совокупности частиц вещества, при котором электрон проявляет, волновые свойства называется корпускулярно-волновым дуализмом, в том смысле, что частица вещества (в данном случае взаимодействующие электроны) может быть описана, как волна.
Математический смысл квантовой механики
Из этого следует, что квантовая механика – должна быть основана
на представлениях о движении, принципиально отличных от представлений классической механики. В квантовой механике не существует понятия траектории частиц, а, следовательно – и других динамических характеристик. Этот тезис сформулирован в принципе неопределенности Гейзенберга:
Неопределенность между координатой и импульсом
Пусть — среднеквадратическое отклонение координаты частицы М,
движущейся вдоль оси х, и — среднеквадратическое отклонение её импульса.
Эти величины связаны следующим неравенством:где — постоянная Планка с чертой.
Согласно соотношению неопределённостей,
невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и импульс частицы. С повышением точности измерения координаты, максимальная точность измерения импульса уменьшается и наоборот.Неопределенность между временем и энергией Пусть — среднеквадратическое отклонение
при измерении энергии некоторого состояния квантовой системы, и — время жизни этого состояния. Тогда выполняется следующее неравенство,
В развитие идеи де-Бройля о волновых свойствах вещества
Э. Шрёдингер получил в 1926 г. свое знаменитое уравнение. Шрёдингер сопоставил движению микрочастицы комплексную функцию координат и времени, которую он назвал волновой функцией и обозначил греческой буквой «пси» . Которую называют пси-функцией.
Пси-функция характеризует состояние микрочастицы.
Вид функции получается из решения уравнения Шрёдингера, которое выглядит следующим образом:
Здесь m — масса частицы, i — мнимая единица,
— оператор Лапласа, результат действия которого на некоторую функцию представляет собой сумму вторых частных производных по координатам:Буквой U в уравнении Щредингера обозначена функция координат и времени, градиент которой, взятый с обратным знаком, определяет силу, действующую на частицу.
В случае, когда функция U не зависит явно от времени, она имеет смысл потенциальной энергии частицы.Из уравнения Шредингера следует, что вид пси-функции
определяется функцией U, т. е. в конечном счете характером сил, действующих на частицу.
Уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерелятивистской квантовой механики. Оно не может быть выведено из других соотношений. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия самым точным образом согласуются с опытными фактами.
Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно,
то функция U не зависит явно от времени и имеет, как уже отмечалось, смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шрёдингера распадается на два множителя, один из которых зависит только от координат, другой — только от времени:
Здесь Е — полная энергия частицы, которая в случае стационарного поля остается постоянной.
Чтобы убедиться в справедливости последнего выражения, подставим его в уравнение Шредингера. В результате получим соотношение
Сократив на общий множитель e-i(E/h)t придем к дифференциальному уравнению, определяющему функцию «пси»
Полученное уравнение называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний.
В квантовой механике большую роль играет понятие оператора.
Под оператором подразумевают правило, посредством которого одной функции (обозначим ее «фи») сопоставляется другая функция (обозначим ее f). Символически это записывается следующим образом:
Здесь — символическое обозначение оператора (с таким же успехом можно было взять любую другую букву с «шляпкой» над ней).
Под символом оператора скрывается совокупность действий,
с помощью которых исходная функция «пси» превращается в другую функцию (f) Например, под символом V2 скрывается двукратное дифференцирование по всем трем координатам х, у и z с последующим суммированием полученных выражений.
2 и UОператор Н называют гамильтонианом.
Гамильтониан является оператором энергии Е. В квантовой механике другим динамическим переменным также сопоставляются операторы. Соответственно рассматриваются операторы координат, импульса,момента импульса и т. д. Для каждой динамической переменной q составляется уравнение, которое имеет вид:
где Q — оператор, сопоставляемый динамической переменной
физик объясняет квантовую теорию поля — T&P
Квантовая механика, не говоря уже о квантовой теории поля, имеет репутацию странной, пугающей и контринтуитивной науки. В научном сообществе есть те, кто по сей день ее не признает. Однако же квантовая теория поля — единственная подтвержденная экспериментом теория, способная объяснить взаимодействие микрочастиц при низких энергиях. Почему это важно? Андрей Ковтун, студент МФТИ и сотрудник кафедры фундаментальных взаимодействий, рассказывает, как с помощью этой теории добраться до главных законов природы или придумать их самим.
Андрей Ковтун
Как известно, все естественные науки подчиняются определенной иерархии. Например, биология и химия имеют физические основания. И если смотреть на мир через лупу и каждый раз увеличивать ее силу, проводя таким образом редукцию знания, мы потихоньку придем к квантовой теории поля. Это наука, которая описывает свойства и взаимодействия самых маленьких крупиц матери, из которых мы состоим, — частиц, которые принято называть элементарными. Некоторые из них — такие, как, например, электрон — существуют сами по себе, другие же объединяются и образуют составные частицы. Всем известные протоны и нейтроны как раз являются таковыми — они состоят из кварков. А вот сами по себе кварки уже элементарны. Так вот задача физиков — понять и вывести все свойства этих частиц и ответить на вопрос, есть ли еще что-то, что лежит глубже в иерархии фундаментальных физических законов.
Наша реальность — полевая, она состоит из полей, а мы лишь элементарные возбуждения этих полей
Для радикальных ученых конечная цель — полная редукция знаний о мире, для менее радикальных — более глубинное проникновение в тонкости микромира или сверхмикромира.
Векторы вместо координат и скоростей
Основное отличие квантовой механики — в том, что мы больше не будем описывать физические тела с помощью координат и скоростей. Основное понятие в квантовой механике — это вектор состояния. Это шкатулка с квантово-механической информацией о физической системе, которую мы изучаем. Причем я использую слово «система», потому что вектор состояния — это штука, которая может описывать состояние как электрона, так и бабушки, лузгающей семечки на скамейке.
То есть это понятие имеет очень широкий круг охвата. И мы хотим найти все векторы состояния, которые содержали бы в себе всю необходимую нам информацию об изучаемом объекте.
Далее естественно задаться вопросом «А как же нам эти векторы найти, а потом извлечь из них то, что хочется?». Здесь нам на помощь приходит следующее важное понятие квантовой механики — оператор. Это правило, по которому одному вектору состояния ставится в соответствие другой. Операторы должны обладать определенными свойствами, и некоторые из них (но не все) извлекают информацию из векторов состояния о нужных нам физических величинах. Такие операторы называются операторами физических величин.
Измерить то, что трудно измерить
Квантовая механика последовательно решает две задачи — стационарную и эволюционную, причем по очереди. Суть стационарной задачи состоит в том, чтобы определить все возможные векторы состояния, которые могут описывать физическую систему в данный момент времени. Такие векторы являются так называемыми собственными векторами операторов физических величин.
Образование пары позитрон — электрон © iStock
Пусть мы также решаем задачу о переходе физической системы из состояния-1 в состояние-2. Допустим, у вас есть шарик. Он хочет попасть из точки A в точку B, и существует множество мыслимых путей, по которым он мог бы совершить это путешествие. Но повседневный опыт показывает, что если вы кидаете шарик под определенным углом и с определенной скоростью, то у него есть только один реальный путь. Квантовая же механика утверждает другое. Она говорит, что шарик путешествует одновременно по всем этим траекториям. Каждая из траекторий вносит свой (больший или меньший) вклад в вероятность перехода из одной точки в другую.
Поля
Квантовая теория поля называется так потому, что она описывает не частицы сами по себе, а некоторые более общие сущности, которые называются полями. Частицы же в квантовой теории поля являются элементарными переносчиками полей. Представьте воды мирового океана. Пусть наш океан спокоен, на его поверхности ничего не бурлит, нет волн, пены и так далее.
Наш океан есть поле. А теперь представьте уединенную волну — только один гребень волны в форме горки, родившийся в результате какого-то возбуждения (например, удара по воде), который теперь путешествует по бескрайним просторам океана. Это частица. Эта аналогия иллюстрирует главную идею: частицы есть элементарные возбуждения полей. Таким образом, наша реальность — полевая, а мы состоим лишь из элементарных возбуждений этих полей. Будучи рожденными этими самыми полями, их кванты содержат в себе все свойства своих прародителей. Такова роль частиц в мире, в котором одновременно существует множество океанов, именуемых полями. С классической точки зрения поля сами по себе — это обычные числовые функции. Они могут состоять только из одной функции (скалярные поля), а могут — из множества (векторные, тензорные и спинорные поля).
Действие
Вот теперь пришло время снова вспомнить о том, что каждая траектория, по которой физическая система переходит из состояния-1 в состояние-2, формируется некоторой амплитудой вероятности.
В основе мироздания, по сути, лежит понятие красоты, которое получило отражение в термине «симметрия»
С действием связан основной принцип, на котором сейчас строятся все разумные модели, описывающие физику. Это принцип наименьшего действия, и, коротко говоря, суть его состоит в следующем. Пусть у нас есть физическая система — это может быть как точка, так и шарик, который хочет переместиться из одного места в другое, или это может быть какая-то конфигурация поля, которая хочет измениться и стать другой конфигурацией.
Они могут сделать это множеством способов. Например, частичка пытается в поле тяготения Земли попасть из одной точки в другую, и мы видим, что, в общем-то, путей, по которым она может это сделать, бесконечно много. Но жизнь подсказывает, что в действительности при заданных начальных условиях траектория, которая позволит ей попасть из одной точки в другую, только одна. Теперь — к сути принципа наименьшего действия. Мы каждой траектории по определенному правилу приписываем число, называемое действием. Потом сравниваем все эти числа и выбираем только те траектории, для которых действие будет минимальным (в некоторых случаях — максимальным). Используя такой способ выбора путей наименьшего действия, можно получать законы Ньютона для классической механики или уравнения, описывающие электричество и магнетизм!
Остается осадок оттого, что не очень понятно, что это за число такое — действие? Если сильно не приглядываться, то это некоторая абстрактная математическая величина, которая, на первый взгляд, не имеет никакого отношения к физике — кроме того, что она случайным образом выплевывает известный нам результат.
На самом деле все намного интереснее. Принцип наименьшего действия в самом начале был получен как следствие законов Ньютона. Потом на его основе сформулировали законы распространения света. Также его можно получить из уравнений, описывающих законы электричества и магнетизма, а потом в обратную сторону — из принципа наименьшего действия прийти к этим же законам.
Атом азота © iStock
Замечательно, что разные, на первый взгляд, теории обретают одинаковую математическую формулировку. И это наталкивает нас на следующее предположение: не можем ли мы сами придумывать какие-нибудь законы природы с помощью принципа наименьшего действия, а потом искать их в эксперименте? Можем и делаем! В этом и состоит значение этого неестественного и сложного для понимания принципа. Но он работает, что заставляет задуматься о нем именно как о некоторой физической характеристике системы, а не как об абстрактной математической формулировке современной теоретической науки. Важно также отметить, что мы не можем писать любые действия, которые подскажет нам наше воображение.
Пытаясь придумать, как должно выглядеть действие очередной физической теории поля, мы используем симметрии, которыми обладает физическая природа, и наряду с фундаментальными свойствами пространства-времени мы можем использовать множество других интересных симметрий, которые подсказывает нам теория групп (раздел общей алгебры, изучающий алгебраические структуры, называемые группами, и их свойства. — Прим. ред.).
О красоте симметрии
Замечательно, что мы получили не просто сводку законов, описывающую какие-то природные явления, а именно способ теоретически получать законы типа ньютоновских или уравнений Максвелла. И хотя квантовая теория поля описывает элементарные частицы лишь на уровне низких энергий, она уже сослужила хорошую службу физикам во всем мире и пока является единственной теорией, здраво описывающей свойства самых мелких кирпичиков, составляющих наш мир. То, чего, собственно, хотят ученые, — это написать такое вот действие, только квантовое, которое содержало бы в себе сразу все возможные законы природы.
Хотя даже если бы это удалось, то не разрешило бы всех интересных нам вопросов.
В основе глубинного понимания законов природы лежат некоторые сущности, которые имеют чисто математическую природу. И сейчас, чтобы попытаться проникнуть в глубины мироздания, приходится отказываться от качественных, интуитивно понятных аргументов. Рассказывая о квантовой механике и квантовой теории поля, очень тяжело найти понятные и наглядные аналогии, но самое главное, что я хотел бы донести, — это то, что в основе мироздания лежит, по сути, понятие красоты, которое получило отражение в термине «симметрия». Симметрия поневоле ассоциируется с красотой, как это было, например, у древних греков. И именно симметрии наряду с законами квантовой механики лежат в основе устройства самых маленьких кирпичиков мира, до которых к настоящему моменту удалось добраться физикам.
Не пропустите лекцию Андрея:
Колебание устоев: физики зафиксировали сдвиг 40-килограммового зеркала под действием квантового шума
Физики совершили почти невозможное: измеренный ими сдвиг огромного сорокакилограммового зеркала детектора LIGO во столько же раз меньше атома водорода, во сколько сам атом мал по сравнению с зеркалом.
Никогда еще экспериментаторам не удавалось фиксировать «квантовую дрожь» объекта массой в десятки килограммов. Все предыдущие эксперименты имели дело с телами, в миллиарды раз более легкими. Чем этот результат важен для физики и технологий?
Инструмент, позволивший ученым выполнить такие тонкие измерения, вовсе не предназначен для проверки квантовой механики. Его задача — регистрация гравитационных волн, о которых шла речь в недавней заметке в Forbes. Речь идет о детекторе LIGO. Потратив $365 млн, ученые создали, вероятно, самый точный в истории человечества научный прибор.
Гравитационная волна, пришедшая на Землю, слегка раскачивает 40-килограммовые зеркала, подвешенные на специальных нитях. «Слегка» — это смещение на 10-18 метров (17 нулей после запятой, или одна миллионная доля от одной триллионной). Это в тысячи раз меньше диаметра протона. Чтобы измерять такие сдвиги, приходится учитывать даже тепловое движение молекул в зеркалах.
И для работников коллаборации LIGO это обыденность: новые всплески гравитационных волн фиксируются несколько раз в месяц.
Реклама на Forbes
Теперь физики пошли дальше. Они изменили смещение зеркал на величину еще в сотни раз меньшую: порядка 10-20 метров.
«Размер атома водорода составляет 10-10 метров, поэтому это смещение зеркал по сравнению с атомом водорода — то же, что атом водорода по сравнению с нами. И мы его измерили!» — отмечает Ли МакКаллер (Lee McCuller) из Массачусетского технологического института, соавтор исследования, опубликованного в одном из самых престижных в мире научных журналов, Nature.
Положение зеркал на LIGO регистрируется с помощью лазерного луча, путешествующего по двум четырехкилометровым туннелям. Теперь исследователи измерили колебания зеркал, которые вызываются квантовым шумом, присутствующим в этом луче.
Предел точностиОбъектами микроскопического размера, будь то атомы, фотоны в лазерном луче или электроны в микросхеме, управляют законы квантовой механики.
В быту мы не сталкиваемся с отдельными атомами или фотонами. Мы имеем дело с телами, состоящими из колоссального числа частиц: молекул в стакане воды больше, чем стаканов воды в Мировом океане. Когда частицы собираются такими большими компаниями, квантовые законы становятся почти неотличимыми от законов классической физики, знакомых нам со школьной скамьи. Именно поэтому квантовый шум сдвигает 40-килограммовый груз только на 10-20 метров. Исследователям потребовались невероятно точные измерения, чтобы обнаружить этот эффект.
Что такое квантовый шум? Это следствие одного из фундаментальных квантовых законов: принципа неопределенности Гейзенберга. Он гласит, что некоторые физические величины (например, координаты и импульс частицы) не могут одновременно иметь абсолютно точные значения. Другими словами, некоторые величины невозможно абсолютно точно измерить даже не потому, что наши технологии несовершенны, а потому, что это прямо запрещено физическими законами.
Что это означает на практике? В данных любого измерительного прибора присутствует квантовый шум, неустранимый никакими усилиями.
Правда, обычно нет нужды устранять то, что невозможно даже заметить. Квантовый шум настолько мал, что безнадежно тонет в куда более мощных шумах другой природы.
Измеряя колебания груза на подвесе, физик может столкнуться с вибрациями от собственных шагов и проезжающих мимо автомобилей, с влиянием витающих по лаборатории сквозняков, с реакцией нити на перепады температуры. Однако он не столкнется с квантовым шумом, если только не потратит сотни миллионов долларов на постройку LIGO, инструмента, предельно защищенного от всех этих и огромного количества других воздействий.
Управление хаосомШумы на LIGO настолько малы, что по сравнению с ними даже квантовый шум уже не является неразличимо малым. Но все же как отличить его от других шумов? Для этого ученые использовали устройство, управляющее уровнем квантового шума.
Поясним. Принцип неопределенности Гейзенберга утверждает, что невозможно абсолютно точно измерить пару физических величин. Однако можно уменьшить неопределенность в одной из них, увеличив при этом неопределенность в другой.
В случае LIGO такой парой является давление света на зеркала и количество фотонов в лазерном луче. При этом на положение зеркал влияет только первая из этих двух величин. Квантовый шум LIGO — это неопределенность в давлении света.
Исследователи применили прибор, который уменьшал эту неопределенность (за счет увеличения неопределенности в числе фотонов). Зная, насколько они уменьшили квантовый шум, физики проверяли, как изменился суммарный шум от всех источников. Это и позволило им измерить вклад квантового шума в смещения зеркал и убедиться, что он составлял 10-20 метров. К слову, именно такое значение и предсказывала теория.
Зачем проверять проверенноеКвантовая механика — одна из самых хорошо проверенных научных теорий. Она не просто подтверждена многочисленными опытами. Законы квантовой механики лежат в основе технологий, которыми мы пользуемся каждый день. Именно на них основана работа микроэлектроники: при расчете движения электронов в полупроводнике без квантовой теории никак не обойтись.
Так что, включая компьютер, смартфон и вообще любой прибор умнее лампы накаливания, мы каждый раз проводим эксперимент, подтверждающий, что квантовые законы исправно работают.
Тем не менее ученые не устают изобретать все новые способы проверки. Наверное, каждый экспериментатор в глубине души мечтает поставить опыт, в котором теория наконец не сработает. С таких опытов начинаются революции в физике: чтобы объяснить их, приходится создавать новые более глубокие теории.
Однако на сей раз квантовая механика снова с честью выдержала испытание. Так что прорыв на просторы новой физики опять откладывается. Зато это исследование наверняка войдет в анналы экспериментальной науки как образец точности измерений.
Между тем измерение квантового шума на LIGO интересует не только физиков, но и астрономов. Напомним, что основная задача инструмента — наблюдение гравитационных волн. Сейчас ученые выделяют из данных детектора только сигналы, которые в сотни раз превышают квантовый шум. Более слабые гравитационные волны остаются неизученными.
Реклама на Forbes
Точное измерение квантового шума и уменьшение его (вышеописанным способом) повышает чувствительность детектора. Это значит, что инструмент будет фиксировать больше столкновений черных дыр и нейтронных звезд (которые и порождают гравитационные волны). Благодаря этому астрономы наверняка узнают о Вселенной немало нового и интересного.
Квантовая теория поля при конечной температуре и во внешних полях
Курс посвящён квантовой теории поля в плазме при конечной температуре, а также во внешних электромагнитных полях. Первая часть курса описывает квантовую теорию поля во внешней среде, находящейся в термодинамическом равновесии. Для вычисления физических величин, не зависящих от времени, применяется формализм Мацубары. Согласно ему, средние от статических операторов по каноническому статистическому ансамблю выражаются с помощью квантовой теории поля с евклидовым временем. Для вычисления средних от динамических величин будет используется неравновесная техника Швингера-Келдыша.
Температурная теория поля используется как в космологии для описания процессов в ранней Вселенной на горячей стадии (фазовые переходы в квантовой хромодинамике и для хиггсовского поля), так и при изучении продуктов столкновения тяжёлых ионов (кварк-глюонной плазмы и других фаз кварковой материи). Также её методы используются в физике конденсированного состояния.
Во второй части курса вместо внешней среды, находящейся в термодинамическом равновесии, исследуется внешнее электромагнитное поле. Эта область науки начала развиваться ещё в 1930-е годы (уровни Ландау, лагранжиан Эйлера-Гейзенберга). Значительный вклад был в квантовую теорию поля во внешнем поле был сделан во второй половине 20 века как отечественными (Никишов, Ритус, Шабад и др.), так и зарубежными (Швингер и др.) учёными. Тем не менее на текущий момент также активно продолжаются исследования, в основном сконцентрированные на приложениях в двух областях физики: физике сверхсильных световых полей (получаемых на современном поколении лазеров) и в астрофизике (космические лучи, влияние магнитных полей и плазмы на их источники и распространение в межзвёздной среде).
В физике сверхсильных световых полей происходит попытка зарегистрировать нелинейные и непертурбативные процессы (рассеяния света на свете, многофотонный процесс Брейта-Уиллера, индуцированный эффект Швингера и др.) в текущих и будущих лабораторных экспериментах со сверхсильными световыми полями, что подстёгивает и теоретические исследования по этой теме. Для определённых астрофизических и лабораторных процессов необходим одновременный учёт как электромагнитного поля, так и термальной среды.
Ссылка на страницу курса: http://ppc.inr.ac.ru/QFT_in_EF…
Список всех тем лекций
Лекция 1. Введение.
Представление лектора, общий план и особенности курса
Обзор
Статистическая физика для квантовых полей, некоторые замечания
Термальное равновесие
Неравновесная теория
Обзор применения моделей статистической физики
Список литературы
Обзор
Матрица плотности
Новый вид матрицы плотности
Лекция 2.
Введение в формализм континуального интеграла.
Введение
Формализм континуального интеграла в квантовой механике
Континуальный интеграл в термальной квантовой механике
Континуальный интеграл в КТП
Лекция 3. Континуальный интеграл. Фермионные поля.
Представления о континуальном интеграле в квантовой и термальной механике
Континуальный интеграл в в квантовой механике
Матрица плотности для частицы в термальной бане/ Континуальный интеграл в термальной теории
Различия между континуальным интегралом в обычной и термальной квантовой механике
Континуальный интеграл в квантовой теории поля
Статистическая теория в представлениях континуального интеграла
Среднее от одного оператора фи
Среднее от нескольких операторов фи
Корреляторы через производящий функционал, зависящий от источников
Вычисление двухточечной функции Грина для свободного скалярного поля для обычной теории поля и термальной теории
Вычисление двухточечной функции Грина для свободного скалярного поля для обычной теории поля
Вычисление двухточечной функции Грина для свободного скалярного поля для термальной теории поля и ее отличия от обычной теории
Фермионные поля
Грассман переменные
Кратко о теории поля
Вывод фермионного пропагатора для термальной теории поля
Лекция 4.
Вычисление свободной энергии.
Бозоны и фермионы: отличия.
Выражение свободной энергии
Вычисление свободной энергии
Представление суммы в виде интеграла
Вычисление плотности свободной энергии, зависящей от температуры для скалярного поля
Вычисление плотности свободной энергии, зависящей от температуры для скалярного поля при p много большем чем m
Плотность свободной энергии для фермионного газа
Лекция 5. Континуальный интеграл в теории возмущений.
Свободное скалярное поле
Химический потенциал
Большой канонический ансамбль
Статистический оператор
Большой термодинамический потенциал (омега-потенциал)
Термодинамический потенциал в лагранжевом формализме
Континуальный интеграл в теории возмущений
Свободная теория
Четырехточечная теория
Четырехточечная теория в диаграммах
Теория со взаимодействием
Выражение для пропагатора
Выражение для поправки пропагатора
Введение перенормировки массы
Вычисление для поправки к массе частицы при T много большем чем m
Вычисление свободной энергии
Поправки первого порядка
Коротко о поправках второго и более высоких порядков
Применение теории поля
Лекция 6.
Теория возмущений. Поправки второго порядка.
Введение
Теория лямбда фи4
Ring и deisy диаграммы n-ного порядка
Поправка к эффективной массе
Лекция 7. Эффективный потенциал.
Введение
Лямбда фи-4
Массивная теория поля
ИК расходимости
Потенциал типа “мексиканская шляпа”
Эффективная теория Ландау – Гинзбурга
Фазовый переход
рода
рода
Отличия между фазовыми переходами 1-го и 2-го родов
Зависимость эффективного потенциала от температуры
Фазовый переход 2-го порядка
Вклад материи в эффективный потенциал
Инфракрасная расходимость
Выводы
Лекция 8.
Безмассовые калибровочные поля.
Термальная масса для скалярного поля
Безмассовые калибровочные поля
Фотоны
Калибровка Лоренца во временной теории поля и псевдокалибровка Лоренца в термальной теории поля
Суммирование одночастично приводимых диаграмм с поляризационным оператором
Термальная теория поля
Мацубаровские частоты для реальных фотонов
Кулоновский потенциал в термальной бане
Интеграл по d3k в случаях m много больше чем t, m много меньше чем t
Скалярный потенциал для статического электромагнитного поля с однопетлевой поправкой
Лекция 9. Квантовая хромодинамика.
Пропагатор
Квантовая хромодинамика
Классическая хромодинамика
Квантование
Духи и антидухи
Вклад в f от свободного лагранжиана
Поправка f(1) от t
Диаграмма
Четвертый порядок
Разложение по малому параметру m/t
степени и поправка альфа с в степени 3/2
Эффективные теории и эффективные лагранжианы для квантовой хромодинамики
Расстояния L много больше обратной дебаевской массы
Dimensiond reduction
Лекция 10.
Теория линейного отклика.
Введение
Теория линейного отклика на внешние возмущения, зависящие от времени
Вывод формулы Кубо
Обобщение формулы Кубо (квантовая механика)
Вывод временной двухточечной функции Грина в термальной бане
Ретардед (запаздывающая функция Грина)
Связь между запаздывающим realtime пропагатором и мацубароским пропагатором для подсчета линейных откликов по формуле куба к внешнему взаимодействию/ связь между realtime и термальными пропагаторами
Спектральная функция
Выражение для спектральной функции
Термальный пропагатор
Лекция 11. Применение теории линейного отклика. Техника Келдыша.
Формула Кубо
Поправка к поляризационному оператору
Возбуждение в плазме на языке квазичастиц
Плоская затухающая волна
Вклады продольной и поперечной волн
Плазменная частота
Применение теории линейного отклика
Тензор энергии-импульса для идеальной жидкости
Тензор энергии-импульса для неидеальной жидкости
Формулы Кубо
Техника Келдыша
Двухточечные корреляторы
Построение теории возмущения
Лекция 12. Квантовая теория поля во внешних электромагнитных полях.
Квантовая теория поля во внешних электромагнитных полях
Магнитное поле
Решение уравнения Дирака в магнитном поле
Представление уравнения Дирака в форме уравнения Шрёдингера
Стационарное уравнение Шрёдингера
Оператор Тo
Тау 0
Переход к виду гамильтониана гармонического осциллятора
Квантовые “уровни Ландау”
Выражение для гамильтониана
Выражение Po
Уровни энергии
Собственные функции
Состояние с определенным спином
Нулевой уровень Ландау
Диаграмма Фейнмана
Решение уравнения Дирака для скрещенных полей
Лекция 13.
Фейнмановские правила для квантовой электродинамики во внешнем магнитном поле.
Описание процессов в квантовой электродинамики во внешнем магнитном поле
Диаграммная техника Фейнмана
Поляризационные векторы
Распад фотона на электрон-позитронную пару в сильном поле
Волновые функции электрона и позитрона
Матричный элемент
Квадрат матричного элемента
Интегрирование квадрата матричного элемента по импульсам выходящих частиц
Пропагатор с однопетлевой поправкой для фотона
Мнимая часть поляризационного оператора
Метод собственного времени Фока-Швингера
Лекция 14. Методы квантовой механики.
Метод собственного времени Фока-Швингера
Пропагатор для комплексных скаляров
Пропагатор для электрона во внешнем магнитном поле
Решение по Швингеру
Решение уравнения для частицы единичной массы во внешнем электромагнитном поле
Метод для пропагатора
Эффективное действие для электромагнитного поля
Интегрирование по частям
Второй метод через производящий функционал
Анонс следующей лекции
Лекция 15. Лагранжиан Эйлера-Гейзенберга.
Эффективное действие для фотонов и электромагнитного поля
След гамма-матриц
Гамильтониан в магнитном поле
Эффективный лагранжиан
Лагранжиан Эйлера- Гейзенберга
Разложение по малым е
Перенормировка эффективного лагранжиана
Полный перенормированный лагранжиан
Многофотонные процессы и диаграммы
Эффективный лагранжиан в электрическом поле
Мнимая часть эффективного лагранжиана
Лекция 16.
Эффект Швингера.
Сумма по полюсам
Мнимая часть эффективного лагранжиана
Производящий функционал z
Вероятность того, что вакуум останется вакуумом за промежуток T=tf-ti
Эффект Швингера
Квантово-механическое туннелирование
Согласованная картина эффекта Швингера с описанием эффекта квантово-механического туннелирования
Выражение эффективного действия
Мнимая часть эффективного действия в представлении функционального интеграла
Евклидовый функциональный интеграл
Квазиклассика, седловое решение уравнения движения, подстановка решений в показатель экспоненты
Седловое уравнение по S
Уравнения движения
Решения уравнений движения
Wordline
и больше
Подстановка решения в эффективное действие
Условия швингеровского рождения пар
Распад фотона в электрическом и магнитном поле
Электрическое поле
Магнитное поле
Выводы
Квантовая механика
Eckher Dictionary is a modern pronunciation dictionary of the English language.
Every pronunciation in Eckher Dictionary is written in IPA (International Phonetic Alphabet). Example English pronunciations: “bamlanivimab”.
Eckher’s Periodic Table of the Elements is the modern and accessible version of the periodic table that allows you to easily navigate all 118 elements and view detailed information about each element. It supports both the 18 column (IUPAC) and 32 column (long form) versions of the periodic table and provides the mobile- and touch-friendly interface for viewing the table.
Create sequence logos for protein and DNA/RNA alignments using Eckher Sequence Logo Maker.
Compose speech audio from IPA phonetic transcriptions using Eckher IPA to Speech.
Browse place name pronunciation on Eckher IPA Map.
Enter IPA characters using Eckher IPA Keyboard.
Navigate the Semantic Web and retrieve the structured data about entities published on the web using Eckher Semantic Web Browser.
Turn your phone into a compass using Eckher Compass.
Author, enrich, and query structured data using Eckher Database for RDF.
Create TeX-style mathematical formulas online with Eckher Math Editor.
Create knowledge graphs using Eckher RDF Graph Editor.
Send messages and make P2P calls using Eckher Messenger.
Build event-sourced systems using Eckher Database for Event Sourcing.
View PDB files online using Eckher Mol Viewer.
Listen to your text using Eckher Text to Speech.
View FASTA sequence alignments online with Eckher Sequence Alignment Viewer.
Convert Punycode-encoded internationalized domain names (IDNs) to Unicode and back with Eckher Punycode Converter.
Explore the human genome online with Eckher Genome Browser.
Edit text files online with Eckher Simple Text Editor.
Send test emails with Eckher SMTP Testing Tool.
В морфемном словаре русского языка МОРФЕМА.РУС приведен разбор слов по составу (морфемный разбор, морфемный анализ).
Даный словарь поможет в проведении морфемного анализа не только начальных (словарных) форм слов, но и всех их словоформ (всех грамматических форм слов русского языка). В основу морфемного словаря “Морфема” положена наиболее полная лексика русского языка.
Разбор слова “грибочек” по составу (морфемный анализ) представлен в словаре МОРФЕМА.РУС (выделение корня, суффикса, основы и окончания).
Demonym is an online dictionary of demonyms (words used to identify the people from a particular place). Some of these words aren’t well-known or easy to remember, and Demonym can help you quickly find the answer. Examples: Barbados.
Розбір слів за будовою: “ходити”.
Разбор слоў па саставе: “рассыпаць”.
Ударения в словах: “Шеншин”.
Синонимы к словам: “потешить”.
Антонимы к словам: “сжать”.
Постулаты квантовой механики | ON LEARNING
Постулат I
Любое состояние системы полностью описывается некоторой функцией Ψ(q1,q2,.
2C22.
Постулат VII
Волновая функция системы частиц с полуцелым спином (в частности, электронов) должна быть антисимметрична относительно перестановки координат любых двух частиц:
ψ(q1,q2,q3,…,qn,t)=−ψ(q1,q3,q2,…,qn,t)\psi(q_1,q_2,q_3,…,q_n,t)=-\psi(q_1,q_3,q_2,…,q_n,t)ψ(q1,q2,q3,…,qn,t)=−ψ(q1,q3,q2,…,qn,t)
Важно. При перестановке q2q_2q2 и q3q_3q3 волновая функция становится с отрицательным знаком.
Антисимметрия волновой функции электронов была постулирована В. Паули (1925).
действие | физика | Британика
действие , в теоретической физике абстрактная величина, описывающая общее движение физической системы. Движение в физике может быть описано как минимум с двух точек зрения: крупным планом и панорамным видом. Крупный план включает в себя мгновенное построение графика поведения объекта. Панорама, напротив, раскрывает не только полную картину фактического поведения объекта, но и все возможные пути развития, связывающие исходную ситуацию с конечной ситуацией.
С точки зрения панорамы, каждый маршрут между двумя ситуациями характеризуется определенной числовой величиной, называемой его действием. Действие можно представить себе как удвоенную среднюю кинетическую энергию системы, умноженную на интервал времени между изучаемым начальным и конечным положением, или, опять же, как средний импульс системы, умноженный на длину пути между начальным и конечным положением. позиции.
Значение действия для любого фактического движения системы между двумя конфигурациями всегда минимальное или максимальное.В большинстве случаев поведение системы следует по пути минимального или наименьшего действия. В оптической системе, такой как микроскоп, свет распространяется по пути наименьшего действия, поскольку он изгибается в линзах. Для света действие пропорционально времени прохождения, так что свет проходит путь, который занимает наименьшее время.
Британская викторина
Физика и естественное право
Какая сила замедляет движение? Каждому действию есть равное и противоположное что? В этом викторине по физике нет ничего, что E = mc было бы квадратным.
С появлением квантовой теории (1900 г.) концепция действия приобрела новое значение. При описании поведения молекулярных или атомных частиц приходилось прибегать к ранее не подозревавшемуся ограничению. Возможны только те состояния движения, в которых действия являются целыми числами, кратными определенному очень малому числу, известному как постоянная Планка, названная в честь немецкого ученого Макса Планка, который первым предложил дискретное или квантованное поведение для объектов субатомных размеров. .Таким образом, постоянная Планка является естественной единицей или квантом действия.
8.5: Как это классическое действие связано с фазой в квантовой механике
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
Связь между классической и квантовой механикой особенно очевидна в приведенном выше выражении для интеграла действия.
{(i / \hbar)(p x-E t)} \]
, где амплитудная функция \(A(x, t)\) изменяется только на расстояниях, намного превышающих длину волны, и во времена, намного превышающие период колебаний. Это выражение справедливо почти во всех классически доступных областях, неверно в окрестности точек поворота, но размер этих окрестностей стремится к нулю в классическом пределе.
Как мы обсуждали ранее, в формулировке квантовой механики Дирака-Фейнмана, чтобы найти амплитуду вероятности распространения частицы из одной точки в другую, мы добавляем вклады от всех возможных путей между двумя точками, каждый путь вносит член с фазой, равной \(i / \hbar\), умноженной на интеграл действия вдоль пути.
Из приведенной выше полуклассической волновой функции Шрёдингера видно, что изменение фазы от небольшого изменения конечной точки равно \(\begin{equation}
(i / \hbar)(pd xE dt)
\end{equation }\) точно совпадающий с приростом вклада в действие в
\begin{equation}
S=\int d S=\int\left(\sum_{i} p_{i} d q_{i}-H d t\right)
\end{equation}
Таким образом, мы снова видим здесь очень прямо, как действие на классическом пути кратно квантово-механическому фазовому изменению на пути.
h
l t|t`@
4
[
q@3
+t|,q
+tq$,4@5hl ,q
+q$,4@5(34)
Собственные значения +t|t,@3>4>.Однако для таких переменных, в которых +t,5@+t
|
,
5@
3, суммирование заканчивается после q@4. Следовательно, это единственные собственные значения оператора
. На самом деле легко видеть, что волновые функции этих состояний задаются формулой
?t
|
mqA@+t
|
,
q
+q$,4@5>?qmtA@+t,
q
+q$,4@5(35)
3. Квантовая механика и интегралы по траекториям получены Feyn
5 формулировка нерелятивистской квантовой механики, которая в основе своей является гранжианской формулировкой Ла-
.w4>w
5`
на Qподинтервалы.
кв. = W4 @
W3>
W4>
W5>
W5> >
W
q @ w
5>
W
M
W
m4@> m @4>>Q (39)
c
?1997 NRC Canada
Насколько страшна квантовая физика? Ответ может быть неисчислимым
Квантовая запутанность находится в центре математического доказательства.
Предоставлено: Виктор Де Шванберг/Science Photo Library
Альберт Эйнштейн сказал, что квантовая механика должна позволять двум объектам мгновенно влиять на поведение друг друга на огромных расстояниях, что он назвал «жутким действием на расстоянии» 1 . Спустя десятилетия после его смерти эксперименты подтвердили это. Но по сей день остается неясным, насколько природа допускает координацию между удаленными объектами. Теперь пятеро исследователей говорят, что они решили теоретическую проблему, которая показывает, что ответ в принципе непознаваем.
Доказательство команды, представленное в виде 165-страничного документа, было размещено в репозитории препринтов arXiv 14 января 2 и еще не прошло рецензирование. Если это выдержит, то одним махом будет решен ряд связанных проблем чистой математики, квантовой механики и раздела компьютерных наук, известного как теория сложности. В частности, он ответит на математический вопрос, который не решался более 40 лет.
Если их доказательство подтвердится, «это супер-красивый результат», — говорит Стефани Венер, квантовый физик-теоретик из Делфтского технологического университета в Нидерландах.
В основе статьи лежит доказательство теоремы теории сложности, касающейся эффективности алгоритмов. Более ранние исследования показали, что эта проблема математически эквивалентна проблеме жутких действий на расстоянии, также известной как квантовая запутанность 3 .
Теорема касается задачи теории игр с командой из двух игроков, которые способны координировать свои действия посредством квантовой запутанности, даже если им не разрешено разговаривать друг с другом.Это позволяет обоим игрокам «выигрывать» гораздо чаще, чем без квантовой запутанности. Но, как показывают авторы, двум игрокам принципиально невозможно рассчитать оптимальную стратегию. Это означает, что невозможно подсчитать, какой степени координации они могли бы достичь теоретически. «Нет алгоритма, который скажет вам, какое максимальное нарушение вы можете получить в квантовой механике», — говорит соавтор Томас Видик из Калифорнийского технологического института в Пасадене.
«Удивительно, что квантовая теория сложности стала ключом к доказательству», — говорит Тоби Кубит, теоретик квантовой информации из Университетского колледжа Лондона.
Новости о газете быстро распространились по социальным сетям после того, как работа была опубликована, вызвав волнение. «Я думал, что это окажется одним из тех вопросов теории сложности, на ответ на которые может уйти 100 лет», — написал в Твиттере Джозеф Фитцсаймонс, исполнительный директор Horizon Quantum Computing, стартапа в Сингапуре.
«Я тут какаю кирпичами», — прокомментировал другой физик Матеус Араужо из Австрийской академии наук в Вене. «Я никогда не думал, что увижу решение этой проблемы в своей жизни».
Observable properties
С точки зрения чистой математики эта проблема была известна как проблема вложения Конна в честь французского математика и медалиста Филдса Алена Конна. Это вопрос теории операторов, раздела математики, который сам возник в результате усилий по созданию основ квантовой механики в 1930-х годах.
Операторы — это матрицы чисел, которые могут иметь конечное или бесконечное число строк и столбцов. Они играют решающую роль в квантовой теории, где каждый оператор кодирует наблюдаемое свойство физического объекта.
В статье 1976 года 4 , используя язык операторов, Конн задался вопросом, могут ли квантовые системы с бесконечным числом измеримых переменных быть аппроксимированы более простыми системами с конечным числом.
Но статья Видика и его сотрудников показывает, что ответ отрицательный: в принципе существуют квантовые системы, которые нельзя аппроксимировать «конечными» системами.Согласно работе физика Бориса Цирельсона 5 , который переформулировал задачу, это также означает, что невозможно вычислить величину корреляции, которую две такие системы могут отображать в пространстве при запутывании.
Разрозненные поля
Доказательство стало неожиданностью для большей части сообщества. «Я был уверен, что у проблемы Цирельсона есть положительный ответ», — писал Араужо в своих комментариях, добавляя, что результат поколебал его базовое убеждение в том, что «природа в каком-то смутном смысле фундаментально конечна.
”
Но исследователи только начали понимать последствия результатов. Квантовая запутанность лежит в основе зарождающихся областей квантовых вычислений и квантовых коммуникаций и может быть использована в качестве основы сверхзащищенных сетей. В частности, измерение степени корреляции между запутанными объектами в системе связи может предоставить доказательство того, что она защищена от прослушивания. Но результаты, вероятно, не имеют технологического значения, говорит Венер, потому что все приложения используют квантовые системы, которые являются «конечными».На самом деле, может быть трудно даже придумать эксперимент, который мог бы проверить квантовую странность на изначально «бесконечной» системе, говорит она.
Слияние теории сложности, квантовой информации и математики означает, что очень немногие исследователи говорят, что они способны понять все грани этой статьи. Сам Коннес сказал Nature , что не имеет права давать комментарии. Но он добавил, что был удивлен тем, как много разветвлений оно имело.
«Удивительно, что проблема зашла так глубоко, а я этого не предвидел!»
Действие (физика)
В физике действие является атрибутом динамики физической системы. Это математический функционал, который принимает траекторию, также называемую путем или историей, системы в качестве аргумента и имеет действительное число в качестве результата. Как правило, действие принимает разные значения для разных путей.[1] Действие имеет размерность [энергия] · [время], а его единицей в системе СИ является джоуль-секунда.Это та же единица, что и для углового момента.
Введение
Эмпирические законы часто выражаются в виде дифференциальных уравнений, которые описывают, как физические величины, такие как положение и импульс, непрерывно изменяются во времени. Учитывая начальные и граничные условия ситуации, «решение» этих эмпирических уравнений представляет собой неявную функцию, описывающую поведение системы.
Существует альтернативный подход к поиску уравнений движения.
Классическая механика постулирует, что путь, по которому фактически движется физическая система, — это путь, для которого действие минимизируется или, в более общем смысле, является стационарным. Другими словами, действие удовлетворяет вариационному принципу: принципу стационарного действия (см. также ниже). Действие определяется интегралом, и классические уравнения движения системы могут быть получены путем минимизации значения этого интеграла.
Этот простой принцип обеспечивает глубокое понимание физики и является важной концепцией современной теоретической физики.
Эквивалентность этих двух подходов содержится в принципе Гамильтона, который утверждает, что дифференциальные уравнения движения любой физической системы могут быть переформулированы в виде эквивалентного интегрального уравнения. Это относится не только к классической механике отдельной частицы, но и к классическим полям, таким как электромагнитное и гравитационное поля. Принцип Гамильтона также был распространен на квантовую механику и квантовую теорию поля – в частности, в формулировке интеграла по путям используется эта концепция, – где физическая система следует одновременно по всем возможным путям, причем амплитуды вероятности для каждого пути определяются действием для пути.
[2]
История
Действие было определено несколькими, ныне устаревшими, способами во время разработки концепции.[3]
Готфрид Лейбниц, Иоганн Бернулли и Пьер Луи Мопертюи определили действие света как интеграл его скорости или обратную скорость по длине пути.
Леонард Эйлер (и, возможно, Лейбниц) определил действие для материальной частицы как интеграл скорости частицы на ее пути в пространстве.
Пьер Луи Мопертюи ввел несколько специальных и противоречивых определений действия в рамках одной статьи, определяя действие как потенциальную энергию, как виртуальную кинетическую энергию и как гибрид, обеспечивающий сохранение импульса при столкновениях.[4]
Математическое определение
Выражаясь математическим языком, используя вариационное исчисление, эволюция физической системы (т. е. то, как система фактически переходит из одного состояния в другое) соответствует стационарной точке (обычно минимуму) действия.
В физике широко используются несколько различных определений «действия».
[3][5] Действие обычно является интегралом во времени. Но для действия, относящегося к полям, его можно интегрировать и по пространственным переменным.{t_2} L \, dt\,, \)
, где подынтегральная функция L называется лагранжианом. Чтобы интеграл действия был корректно определен, траектория должна быть ограничена во времени и пространстве.
Действие имеет размерность [энергия]·[время], и его единицей СИ является джоуль-секунда. По размерности действие имеет те же единицы измерения, что и угловой момент.
Действие в классической физике (значения)
В классической физике термин «действие» имеет несколько значений.
Действие (функциональное)
Чаще всего этот термин используется для функционала \mathcal{S}, который принимает функцию времени и (для полей) пространства в качестве входных данных и возвращает скаляр.{t_2} L[\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t]\, dt \)
, где конечные точки эволюции фиксированы и определены как \( \mathbf{q}_{1} = \mathbf{q}(t_{1}) и \mathbf{q}_{2} = \mathbf{q }(t_{2}) \).
Согласно принципу Гамильтона истинная эволюция qtrue(t) — это эволюция, для которой действие \( \mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] \) является стационарным (минимум, максимум или седловая точка ). Этот принцип приводит к уравнениям движения в лагранжевой механике.
Сокращенное действие (функциональное)
Обычно обозначается как \(\mathcal{S}_{0} \), это тоже функционал.Здесь входной функцией является путь, по которому движется физическая система без учета ее параметризации временем. Например, путь планетарной орбиты — эллипс, а путь частицы в однородном гравитационном поле — парабола; в обоих случаях путь не зависит от того, насколько быстро частица проходит путь. Сокращенное действие \( \mathcal{S}_{0} \) определяется как интеграл обобщенных импульсов вдоль пути в обобщенных координатах
\( \mathcal{S}_{0} = \int \mathbf{p} \cdot d\mathbf{q} = \int p_i \,dq_i \)
Согласно принципу Мопертюи, истинный путь — это путь, для которого сокращенное действие \( \mathcal{S}_{0} \) является стационарным.
Основная функция Гамильтона
Основная статья: основная функция Гамильтона
Главная функция Гамильтона определяется уравнениями Гамильтона – Якоби (HJE), еще одной альтернативной формулировкой классической механики. Эта функция S связана с функционалом \( \mathcal{S} \) фиксированием начального времени t1 и конечной точки q1 и возможностью изменения верхних пределов t2 и второй конечной точки q2; эти переменные являются аргументами функции S.Другими словами, функция действия S представляет собой неопределенный интеграл лагранжиана по времени.
Характеристическая функция Гамильтона
При сохранении полной энергии E уравнение Гамильтона–Якоби можно решить с аддитивным разделением переменных
\( S(q_{1},\dots,q_{N},t)= W(q_{1},\dots,q_{N}) – E\cdot t, \)
, где не зависящая от времени функция W(q1, q2 … qN) называется характеристической функцией Гамильтона. Физический смысл этой функции можно понять, взяв ее полную производную по времени
\( \frac{d W}{d t}= \frac{\partial W}{\partial q_i}\dot q_i=p_i\dot q_i.
\)
Можно интегрировать для получения
\(W(q_{1},\dots,q_{N}) = \int p_i\dot q_i \,dt = \int p_i\,dq_i, \)
, что является сокращенным действием.
Другие решения уравнений Гамильтона – Якоби
Уравнения Гамильтона–Якоби часто решаются методом аддитивной разделимости; в некоторых случаях отдельные члены решения, например, Sk(qk), также называются «действием».[3]
Действие обобщенной координаты
Это одна переменная Jk в координатах действие-угол, определяемая путем интегрирования одного обобщенного импульса по замкнутому пути в фазовом пространстве, соответствующем вращательному или колебательному движению
\( J_{k} = \oint p_{k} dq_{k} \)
Переменная Jk называется «действием» обобщенной координаты qk; соответствующая каноническая переменная, сопряженная с Jk, является его «углом» wk по причинам, более подробно описанным в разделе «координаты действие-угол».Интегрирование выполняется только по одной переменной qk и, следовательно, в отличие от интегрированного скалярного произведения в приведенном выше сокращенном интеграле действия.
Переменная Jk равна изменению Sk(qk) при изменении qk по замкнутому пути. Для нескольких представляющих интерес физических систем Jk либо является постоянной величиной, либо изменяется очень медленно; поэтому переменная Jk часто используется в расчетах возмущений и при определении адиабатических инвариантов.
Действие для гамильтонова потока
См. тавтологическую форму.
Уравнения Эйлера–Лагранжа для интеграла действия
Как отмечалось выше, требование стационарности интеграла действия при малых возмущениях эволюции эквивалентно системе дифференциальных уравнений (называемых уравнениями Эйлера–Лагранжа), которые можно определить с помощью вариационного исчисления. Мы иллюстрируем этот вывод здесь, используя только одну координату, x; расширение до нескольких координат простое.[1][7]
Принимая принцип Гамильтона, мы предполагаем, что лагранжиан L (подынтегральная функция интеграла действия) зависит только от координаты x(t) и ее производной по времени dx(t)/dt, а также может явно зависеть от времени.
{t_2}\; L(х,\точка{х},т)\,дт\)
, где начальное и конечное время (t1 и t2), а также конечная и начальная позиции указаны заранее как \(x_{1} = x(t_{1}) и x_{2} = x(t_{2}) \). Пусть xtrue(t) представляет собой истинную эволюцию, которую мы ищем, и пусть \(x_{\mathrm{per}}(t) будет ее слегка искаженной версией, хотя и с теми же конечными точками, \(x_{\mathrm{per }}(t_{1})=x_{1} \) и \(x_{\mathrm{per}}(t_{2})=x_{2} \). Разница между этими двумя эволюциями, которую мы вызов \(\varepsilon(t), всегда бесконечно мал
\( \varepsilon(t) = x_{\mathrm{per}}(t) – x_{\mathrm{true}}(t) \)
В конечных точках разница исчезает, т.е.{t_2}\; \left( \varepsilon{\partial L\over \partial x} – \varepsilon{d\over dt}{\partial L\over\partial \dot x} \right)\,dt. \)
Требование стационарности \( \mathcal{S} \) означает, что изменение первого порядка должно быть равно нулю для любого возможного возмущения ε(t) относительно истинной эволюции,
Принцип стационарного действия
\(\дельта\mathcal{S}=0 \)
Это может быть правдой, только если
Уравнение Эйлера–Лагранжа
\({\partial L\over\partial x} – {d\over dt}{\partial L\over\partial \dot{x}} = 0 \)
Уравнение Эйлера–Лагранжа выполняется при условии, что функциональная производная интеграла действия тождественно равна нулю:
\( \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta x(t)}=0.
\)
Величина \( \frac{\partial L}{\partial\dot x} \) называется сопряженным импульсом для координаты x. Важным следствием уравнений Эйлера–Лагранжа является то, что если L не содержит явно координату x, т. е.
, если \(\frac{\partial L}{\partial x}=0, то \frac{\partial L}{\partial\dot x} \) постоянна во времени.
В таких случаях координата x называется циклической координатой, и ее сопряженный импульс сохраняется.
Пример: свободная частица в полярных координатах
Простые примеры помогают оценить использование принципа действия через уравнения Эйлера–Лагранжа.2 &= 0 \\ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}} \right) – \frac{\partial L}{\partial \varphi } &= 0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{\varphi} + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi} &= 0 \end{align} \)
Решение этих двух уравнений дано
\( \begin{align} r\cos\varphi &= a t + b \\ r\sin\varphi &= c t + d \end{align} \)
для набора констант a, b, c, d, определяемых начальными условиями.
Таким образом, действительно, решение есть прямая, заданная в полярных координатах.
Принцип действия
Основная статья: принцип стационарного действия
Классические поля
Смотрите также: действие Эйнштейна – Гильберта
Принцип действия может быть расширен для получения уравнений движения для полей, таких как электромагнитное поле или гравитационное поле.
Уравнение Эйнштейна использует действие Эйнштейна-Гильберта как ограниченное вариационным принципом.
Траекторию (путь в пространстве-времени) тела в гравитационном поле можно найти, используя принцип действия.Для свободно падающего тела эта траектория является геодезической.
Законы сохранения
Основная статья: Законы о сохранении
Последствия симметрии в физической ситуации можно найти с помощью принципа действия вместе с уравнениями Эйлера–Лагранжа, которые выводятся из принципа действия. Примером может служить теорема Нётер, утверждающая, что каждой непрерывной симметрии в физической ситуации соответствует закон сохранения (и наоборот).
Эта глубокая связь требует принятия принципа действия.[2]
Квантовая механика и квантовая теория поля
Основные статьи: Квантовая механика и квантовая теория поля
В квантовой механике система не следует единственному пути, действие которого стационарно, но поведение системы зависит от всех разрешенных путей и величины их действия. Действие, соответствующее различным путям, используется для вычисления интеграла по путям, который дает амплитуды вероятности различных результатов.
Хотя в классической механике принцип действия эквивалентен законам Ньютона, он лучше подходит для обобщений и играет важную роль в современной физике.Действительно, этот принцип является одним из величайших обобщений в физической науке. Лучше всего это можно понять в рамках квантовой механики. В частности, в формулировке интеграла по путям квантовой механики Ричарда Фейнмана, где он возникает из-за деструктивной интерференции квантовых амплитуд.
Уравнения Максвелла также могут быть получены как условия стационарного действия.
2 \int_{C} \, d \tau .2}}.[8]
Современные расширения
Принцип действия можно обобщить еще больше. Например, действие не обязательно должно быть интегральным, потому что возможны нелокальные действия. Конфигурационное пространство даже не обязательно должно быть функциональным пространством с учетом некоторых особенностей, таких как некоммутативная геометрия. Однако физическую основу для этих математических расширений еще предстоит установить экспериментально.[6]
См. также
Вариационное исчисление
Функциональная производная
Функциональный интеграл
Гамильтонова механика
Лагранжиан
Лагранжева механика
Мера (физика)
Теорема Нётер
Формулировка интеграла по путям
постоянная Планка
Принцип наименьшего действия
Квантовая физика
Энтропия (принцип наименьшего действия и принцип максимальной вероятности или энтропии можно рассматривать как аналогичные)
Ссылки
Энциклопедия физики McGraw Hill (2-е издание), C.
Б. Паркер, 1994, ISBN 0-07-051400-3
Квантовая механика, Э. Аберс, редактор Пирсона, Аддисон Уэсли, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
Аналитическая механика, Л.Н. Хэнд, Дж. Д. Финч, издательство Кембриджского университета, 2008 г., ISBN 978-0-521-57572-0
Œuvres de Mr de Maupertuis (коллекция импринтов до 1801 г. в Библиотеке Конгресса).
Энциклопедия физики (2-е издание), Р.Г. Лернер, Г. Л. Тригг, издательство VHC, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
Дорога к реальности , Роджер Пенроуз, Винтажные книги, 2007 г., ISBN 0-679-77631-1
Классическая механика, T.W.B. Киббл, Европейская серия по физике, McGraw-Hill (Великобритания), 1973, ISBN 0-07-084018-0
Л.Д. Ландау и Э. М. Лифшиц Классическая теория полей Аддисон-Уэсли 1971 сек 8. стр. 24-25
Источники и дополнительная литература
Аннотированную библиографию см. у Эдвина Ф. Тейлора [1], который перечисляет, среди прочего, следующие книги:
Кембриджский справочник физических формул, Г.
Воан, издательство Кембриджского университета, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2.
Корнелиус Ланцос, Вариационные принципы механики (Dover Publications, Нью-Йорк, 1986). ISBN 0-486-65067-7. Ссылка, наиболее цитируемая всеми теми, кто исследует эту область.
Ландау Л.Д., Лифшиц Э.М. Механика. Курс теоретической физики. 1. ISBN 0-7506-2896-0. Начинается с принципа наименьшего действия.
Томас А. Мур «Принцип наименьшего действия» в Энциклопедии физики Macmillan (Simon & Schuster Macmillan, 1996), том 2, ISBN 0-02-897359-3, OCLC 35269891, страницы 840–842.
Джеральд Джей Сассман и Джек Уиздом, Структура и интерпретация классической механики (MIT Press, 2001). Начинается с принципа наименьшего действия, использует современные математические обозначения и проверяет ясность и непротиворечивость процедур, программируя их на компьютерном языке.
Дэйр А. Уэллс, Lagrangian Dynamics, Schaum’s Outline Series (McGraw-Hill, 1967) ISBN 0-07-069258-0, 350-страничный исчерпывающий «план» предмета.
Роберт Вайншток, Вариационное исчисление с приложениями к физике и технике (Dover Publications, 1974).ISBN 0-486-63069-2. Старенький, но добрый, с формализмом, тщательно определенным перед использованием в физике и технике.
Вольфганг Юрграу и Стэнли Мандельштам, Вариационные принципы в динамике и квантовой теории (Dover Publications, 1979). Хорошая трактовка, которая не избегает философских последствий теории и восхваляет фейнмановскую трактовку квантовой механики, которая сводится к принципу наименьшего действия в пределе большой массы.
Страница Эдвина Ф. Тейлора [2]
Принцип наименьшего интерактивного действия Отличное интерактивное объяснение/веб-страница
Энциклопедия физики
Получено с “http://en.wikipedia.org/”
Весь текст доступен на условиях лицензии GNU Free Documentation License
Дом – Hellenica World
| ||
Мало того, что наименьшее действие
Принцип предлагает средство формулировки классической механики, т.
более гибкая и мощная, чем ньютоновская механика, [но также] вариации
по принципу наименьшего действия оказались полезными в общей теории относительности
теория, квантовая теория поля и физика элементарных частиц. Как результат,
этот принцип лежит в основе большинства современных теоретических
физика. 
Открытый исходный код JAVA программы также
доступный.
Тейлор, Славомир Тулея.
Конференция, посвященная
подытоживает действие, начиная с театрализованных выступлений
от Ферма и Мопертюи до Гамильтона и Фейнмана.Последующие статьи вводят формализм действия, применяют его к обучению
введение в квантовую механику и проследить область применения
действия от квантовой теории поля до космологии. 
В ОТО частица движется по мировой линии
максимального собственного времени (максимального старения). В пределе малой кривизны пространства-времени
и низкой скорости это сводится к принципу наименьшего действия, как показано
в этой статье для свободной частицы, внешней по отношению к сферически-симметричному невращающемуся
центр гравитационного притяжения.
, стр.
603-610. Эвристические выводы сокращенного действия Эйлера-Мопертюи и
действие Гамильтона. 
В этой статье они выводятся с помощью элементарного исчисления.
Тейлор, American Journal of Physics , Vol.72, нет.
4, апрель 2004 г., стр. 514–521. Закона сохранения энергии достаточно, чтобы предсказать
движение в одном
измерения и для систем, движение которых может быть выражено одной независимой координатой.
Это предсказание также можно использовать для введения принципа наименьшего действия и
Уравнения Лагранжа. 
Г. Грей и Эдвин Ф. Тейлор, 90 031, американец.
Журнал физики , Vol. 75, № 5, май 2007 г., стр. 434-458. Действие
является минимумом вдоль достаточно короткой мировой линии во всех потенциалах
и по мировым линиям любой длины в некоторых потенциалах.Надолго
достаточно мировых линий в большинстве потенциалов, однако действие
является седловой точкой, т. е. минимумом относительно некоторого близкого
альтернативные кривые и максимум по отношению к другим. Действие
никогда не бывает истинным максимумом. Гельмут Трибуч, О фундаментальном значении принципа наименьшего действия и последствиях для «динамической» квантовой физики
Принцип наименьшего действия, который так успешно применялся в различных областях физики, восходит к трем столетиям философских и математических дискуссий и споров.
Они не могли объяснить, почему природа применяет этот принцип и почему скалярные величины энергии успешно описывают динамическое движение. Когда интеграл наименьшего действия разбивается на бесконечно малые части, каждая из них должна сохранять способность к минимизации. Это, однако, имеет математическое следствие, заключающееся в том, что функция Лагранжа в данной точке траектории, динамическое движение, порождающее доступную энергию, сама должна иметь фундаментальное свойство минимизировать. Поскольку скалярная величина, чистое число, не может этого сделать, энергия должна быть принципиально динамичной и ориентированной на время для последовательного понимания.Он должен иметь векторные свойства, направленные на уменьшение свободной энергии на состояние (что также позволило бы вывести второй закон термодинамики). Современная физика игнорирует это и применяет вариационное исчисление в качестве формального математического инструмента, чтобы навязать минимизацию скалярных предполагаемых величин энергии для получения динамического движения.
Однако, когда к динамическому свойству энергии относятся серьезно, оно является фундаментальным и должно также применяться к квантовым процессам. Следствием этого является то, что частица и волна не эквивалентны, а волна (распределенная энергия) следует из первой (концентрированная энергия).Информация, даваемая изначально, информационный самообраз материи, дополнительно необходима для воссоздания частицы из волны, формирования «динамического» корпускулярно-волнового дуализма. Показано, что эта новая концепция «динамического» квантового состояния рационально объясняет квантование, эксперимент с двумя щелями и квантовую корреляцию, что ранее было невозможно. Высказываются и некоторые более общие соображения о связи между квантовыми процессами, гравитацией и космологическими явлениями.
