ΠΠ΅ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΠΎ Π²ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅”ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ”(Π΄Π»Ρ 26 Π³Ρ.)
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Β Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ . ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° Β ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎΠΌ: . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ , Π³Π΄Π΅ Β ΠΏΡΠΈ , ΠΈΠ»ΠΈ .
ΠΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Β ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡΡ , ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ Π³Π»Π°Π²Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ .
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Β Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Β Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π³Π»Π°Π²Π½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Β ΠΈΠ»ΠΈ : .
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ: Β ΠΈ ΡΠΎΠ³Π΄Π°Β , Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ Β Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ
.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π°Ρ . Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ².
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 1. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠΌΠΌΡ, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌΠΈ:
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° 2. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
Π’Π°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ²
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° Π² ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΡ
.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(x)=arctg x.
ΠΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:,
Ρ.Π΅..Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , ΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Β ΠΈ Β ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ’ = f ‘(Ρ ) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = f (x) Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ Ρ Β ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.
ΠΡΠ»ΠΈ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f ‘(Ρ
) Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°, ΡΠΎ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΈ
ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Ρ” (ΠΈΠ»ΠΈ f Β’Β’(x), , , ). ΠΡΠ°ΠΊ,
Ρ” = (yΒ’ )Β’.
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ n -Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° (ΠΈΠ»ΠΈ n -ΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ
(n Β – 1) ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°: Ρ(n) = (y(n β 1))Β’ .
ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π²ΡΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
ΠΠ°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠΈΠΌΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΡΠΈΡΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ Π² ΡΠΊΠΎΠ±ΠΊΠ°Ρ (Ρ V ΠΈΠ»ΠΈ Ρ(5) – ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΏΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ .Β ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ 13-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Ρ = sin x
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Ρ’ = (sin x)Β’ = cos x = , Ρ” = (yΒ’)Β’ = (cos x)Β’ = – sin x = ,
Ρ‘” = (yΒ’Β’)Β’ = (– sin x)Β’ = – cos x = ,Ρ(13) =
ΠΠ΅Ρ Π°Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°
ΠΡΠΎΡΠ°Ρ
ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ ΠΏΡΡΠΈ ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΡΡΠΊΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ
ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Ρ. Π΅. =
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Ρ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΠΎΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Π΅ Π²ΡΠΎΡΡΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°.Β ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅: dΒ²y=d(dy).
ΠΡΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ dx Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Ρ ΠΈ ΠΏΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Π²ΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΡΡ Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»Ρ.
ΠΡΠ°ΠΊ, dΒ²y=d(dy)=d(fΞ(x)dx)=(fΞ(x)dx)Ξdx=(fΞ(x))Ξ(dx)Β²=fΞΞ(x)dxΒ².Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β
ΠΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΡΠ΅ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΠΎΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ n-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΠΎΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° (n-1)-Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°:Β dny = d(dn-1y) = (f(n-1)(x)dn-1x)Ξ = f(n)(x)dnx. Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β
Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Π‘Π²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
1.Β Β Β ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°:Β Β Β Β .Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β
2.Β Β Β ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Ρ Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π°. ΠΡΠ»ΠΈ y=F(Ο(x))=F(u), Π³Π΄Π΅ u=Ο(x), ΡΠΎ dΒ²y=d(FΞ(u)du). ΠΠΎ du=ΟΞ(x)dx Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Ρ , ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ dΒ²y=d(FΞ(u))du+FuΞ(u)d(du)=FΞΞuu(u)(du)Β²+FuΞ(u)
ΠΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΠ°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = f (x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ
(ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ) Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅ Π₯, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΡΡ
x1, x2 β X ΠΈ x2 > x1 Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ
Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ f (x2 ) > f (x1 )Β Β Β ( f (x2 ) < f (x1 ) ).
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π° Π²Π½ΡΡΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° Π₯, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ). ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π° Π²Π½ΡΡΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ° Π₯, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠ΅.
ΠΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Β Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ : Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ >0, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°Π΅Ρ, Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ <0, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅.
Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° (Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ).
![](/800/600/https/present5.com/presentation/3/17170187_171446515.pdf-img/17170187_171446515.pdf-32.jpg)
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡΠΊΠ° Ρ 0 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) , Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Ρ 0 Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ f
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡΠΊΠ° Ρ 1 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) , Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Ρ 1 Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ f (x) β₯ f (x1 ) (ΡΠΈΡ. 11).
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ Ρ 0 ΠΈ Ρ 1 Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΊ-
ΡΠΈΠΌΡΠΌ ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΎΠ±ΡΠΈΠΌ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
![](/800/600/https/xn----8sbanwvcjzh9e.xn--p1ai/800/600/http/images.myshared.ru/6/533447/slide_4.jpg)
ΠΠ΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° . ΠΠ»Ρ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΠ±Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = f (x) ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Ρ 0, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠ°Π²Π½ΡΠ»Π°ΡΡ Π½ΡΠ»Ρ f β²(x0 ) = 0 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π»Π°.
Π’ΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°, Ρ.Π΅. ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° Π½ΡΠ»Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ). ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π²Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ, ΡΠΎ ΡΡΠ° ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ. ΠΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΡΠ²Π΅ΡΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π²Π΅ΡΠ½ΠΎ. ΠΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π²ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ.
Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ:
1.
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Β ΠΈ
ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
=0 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, Π° ΡΠ°ΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°,
ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Β Β
2Π°. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΒ Β ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Ρ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ Ρ ΠΎ:
1) Β ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ + Π½Π° -, ΡΠΎΒ Ρ ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°;
2) Β ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ – Π½Π° +, ΡΠΎΒ Ρ ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°;
3) Β Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, ΡΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅Β Ρ ΠΎ Π½Π΅Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ , ΠΏΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, – Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° 2Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ:
2Π±. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Β ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅.Β
ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Β Ρ ΠΎ, Π³Π΄Π΅Β :
1) >0, ΡΠΎΒ Ρ ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°;2) <0, ΡΠΎ Ρ ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°;
3) =0, ΡΠΎ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅Β Ρ ΠΎ ΠΎΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡΠΌ. Π’Π°ΠΊΡΡ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²ΡΡΠΊΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ 2Π°.
ΠΠ°Π»Π΅Π΅
ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Ρ.Π΅. Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ
ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ
ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°.
ΠΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°
ΠΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π²Π²Π΅ΡΡ , Π° Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π²ΡΡΠ΅ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π²Π½ΠΈΠ· Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅.
Π’ΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΅ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Β Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ : Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ >0, ΡΠΎ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»Π° Π²Π½ΠΈΠ·, Π° Π΅ΡΠ»ΠΈΒ <0, ΡΠΎ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»Π° Π²Π²Π΅ΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅.
ΠΠ±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉΒ , ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈΒ f(x), ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ . ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ:
1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Β ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Ρ , Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ =0 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ, Π° ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
2.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ Β ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ
ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ
ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Ρ
Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΎΡ Π½Π΅Π΅ Β ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°Π·Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ.
ΠΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ, Π³Π΄Π΅ ΠΊΡΠΈΠ²Π°Ρ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»Π° Π²Π²Π΅ΡΡ ΠΈ Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»Π° Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΈΡ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π°, ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° ΠΈ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΡ
ΠΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, ΠΊ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Π΅ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ:
Π°) Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ Ρ =Π° ΠΊΡΠΈΠ²Π°ΡΒ Β ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ°Π·ΡΡΠ², Ρ.Π΅. Π΅ΡΠ»ΠΈΒ Β ΠΏΡΠΈ , ΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ Ρ =Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΎΠΉ;
Π±) Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ Β ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ , Ρ.Π΅. , ΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ y=b Π³ΠΎΡΠΈΠ·ΠΎΠ½ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠ° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ;
3) Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ Β ΠΈ , ΡΠΎ ΠΏΡΡΠΌΠ°ΡΒ Ρ = kx + b ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Π°ΡΠΈΠΌΠΏΡΠΎΡΠΎΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ .
ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΒ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΒ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈΒ Π½Π°Β ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΒ ΡΒ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡΒ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉΒ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:
1.ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ f ‘ (x).
2.ΠΠ°Ρ
ΠΎΠ΄ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ f
‘(x)=0 (ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ).
3.ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ f ” (x).
4.ΠΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ; Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ; Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ, ΡΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡΡ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Ρ = 1/3Ρ 3 β 2Ρ 2 +3Ρ + 1.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
1)ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Ρ’ = Ρ 2– 4Ρ + 3;
2)Π Π΅ΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ 2– 4Ρ + 3= 0, Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Ρ 1 = 1, Ρ 2 = 3 β ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ;
Β
β | Β | ||
Β | Β | ||
1 | Β Β Β 3 | Ρ | Β |
3. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ’, Π½Π°Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ; ΠΏΡΠΈ Ρ
= 1ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅Ρ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ°, Π° ΠΏΡΠΈ Ρ
=3 ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅Ρ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.
4. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°Β Β Ρ(1) =7/3, Β Ρ(3) =1.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ
Ρ =Β 1/3Ρ 3 β 5/2 Ρ 2 + 6Ρ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
1.ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Ρ’ = Ρ 2– 5Ρ + 6;
2.Π Π΅ΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ 2– 5Ρ + 6 = 0, Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈΡ 1 = 2, Ρ 2 = 3 β ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ;
3.ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Ρ” = 2Ρ β 5;
4.ΠΠΎ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎ ΠΊΡΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
Ρ”(2)= 2β2 β 5 = – 1< 0, ΠΏΡΠΈ Ρ 1 = 2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ Ρ(2) =14/3 ;
5.Π’.ΠΊ. Ρ”(3)= 2β3 β 5 = 1 > 0, ΡΠΎ ΠΏΡΠΈ Ρ
2 = 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ Ρ(3) = 4,5 .
ΠΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΡ Π΄Π»Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π±ΠΎΡΡ.
1.Β Β Β ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΠ΅ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: Π°) Ρ = 3Ρ 4 +5Ρ 3 + 2Ρ 2 β Ρ , Π±) Ρ =(2Ρ + 5)3.
2.Β Β Β ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: Π°) Ρ = sin xβ ln 3x, Π±) Ρ = 6Ρ +2,5Ρ 6
3.Β Β Β ΠΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(x)= sin3Ρ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ f “(- p/2 ), f “(0).
4.Β Β Β ΠΠ°Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(x)= Ρ βΠ΅Ρ . ΠΠ°ΠΉΡΠΈ f ‘”(-3), f ‘”(2), f ‘”(0).
5.Β Β Β ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: Π°)f(x)= 2Ρ 3 + 6Ρ 2– 18Ρ + 120,Π±)Β Ρ = 3Ρ 4 – 4Ρ 3.
6.Β Β Β ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π° Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΡ, Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΡ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
Β Β Β Β Β Β Β Β Π°) Ρ = Ρ 3 β 3Ρ 2 + 1, Π±) Ρ = – Ρ 3 + 3Ρ 2.
7.Β Β Β
ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΊΠΈ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π²ΠΎΠ³Π½ΡΡΠΎΡΡΠΈ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉΒ Β Ρ
= Ρ
4 β 2Ρ
3 + 36Ρ
2 β Ρ
+ 7.
8.Β Β Β ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Ρ Π²ΡΠΏΡΠΊΠ»ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π³ΠΈΠ±Π° Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = x(x β1)3 .
4.20. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ
ΠΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. ΠΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΠΡΡΡΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½ΠΎ Ρ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ X (§ 1, ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ 1.5 ΠΈ 1.6):
(5.1)
ΠΠ΄Π΅ΡΡ β ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° X, Π° β ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Y.
ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π°Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΈΠΊΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ X. Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠ½ΠΎ (5.1),
ΠΏΡΠΈ (5.2)
Π ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΌΠ°Π»ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
(5.3)
ΠΡΠΈΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (5.3) Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠ½Π΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ (ΠΈ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ).
Π ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌ, Π° ΠΠ΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌ, ΠΈ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° x. ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ (ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡ ΠΠ΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡΡ) Π΄Π»Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅:
Dx β Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° X. (5.4)
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Dx Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° X β ΡΡΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ X β ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ (ΠΎΠ½Π° ΡΡΠΎΠ΄Π½ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΈΠ½Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ). ΠΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠ³Π°ΡΡ Π½Π°Ρ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π°.
ΠΡΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° X Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ (), ΡΠΎ ΠΈ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Y ΡΠΎΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΈΠΌΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌ Dy ΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Y. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , ΡΠΎ
β Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Y. (5.5)
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ Π² ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°Ρ
(5.3) Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΌΠ°Π»ΡΠ΅, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ Π½Π° Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠ΅ Dx ΠΈ Dy, ΡΠΎ ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ°Π½ΡΡ Π’ΠΎΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
(5.6)
ΠΠ±Π° ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° (5.6) ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠΌΡΡΠ». ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π΅Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Y ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Dy ΠΈ Dx ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. Π Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Dy ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° Dx.
ΠΡΡΠ°ΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ , ΡΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (5.6) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½Π΅Π΅:
(5.7)
Π Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅ΡΠ΅ ΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (5.5) Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ , ΡΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ:
(5.8)
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (5.8) ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ , Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΠΊ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ X, ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ X. ΠΡΠ° ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠ»ΠΈ Π² ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π΅ (5.8) Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ Dx Π½Π° ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ , ΡΠΎ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π½Π΅Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌ:
(5.9)
Π Π°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ (5.9) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΠΌ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠΎΠΌ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ°. ΠΡΠ° ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΎΡΠ½Π΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ . ΠΠ½Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌ ΠΈ . Π£ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (5.9) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ ΠΈ ΡΡΠ½ΡΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» β ΠΌΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠ°ΡΠ°Π³ΡΠ°ΡΠ΅. Π’Π°ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΉ Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ°.
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ; ; ; , ΠΈ Ρ. Π΄., ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ Π΄Π»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π° ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ:
1) ; ( β Π² ΡΠ°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ ) 2) ; (5.10)
3) ; ;
4) ; ;
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ:
.
ΠΠ»Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ: ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . Π’ΠΎ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΡΠ½ΡΡ, ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π»ΠΈΡΡ Π² ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅ Π·Π°ΠΏΡΡΠΎΠΉ.
ΠΠ΅ΡΠ½Π΅ΠΌΡΡ Π²ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ ΠΊ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π°ΠΌ (5.6) ΠΈ (5.7), ΡΠ»ΡΠΆΠ°ΡΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ . ΠΠ° Π±Π°Π·Π΅ ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅
< ΠΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ°Ρ | Β | Π‘Π»Π΅Π΄ΡΡΡΠ°Ρ > |
---|
ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ – Π§ΡΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΌΠ°?
ΠΡΠ΅ΠΆΠ΄Π΅ ΡΠ΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ
ΡΠΎΡΠΌΠ°Ρ
, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ
ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»ΡΡ
. \infty(M)$, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°Π²Π½Π° $\mathbb R$, ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌ: :
- $v(f+g)=v(f)+v(g)$
- $v(\Π»ΡΠΌΠ±Π΄Π° f)=\Π»ΡΠΌΠ±Π΄Π° v(f)$
- $v(fg)=v(f)g(x)+f(x)v(g)$
ΠΠ΄Π΅ $f$ ΠΈ $g$ β Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π° $M$, Π° $\lambda$ β Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ (ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΡ
ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ). Π§ΡΠΎ ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½ΠΎ Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΌΡ ΠΈΡ
ΠΏΡΠΈΠ²ΡΠΊΠ»ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ? ΠΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΡΠΊΠ»ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΡΠ΅ Π½Π°Π±ΠΎΡΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΠΎ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ ΠΎΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΡΠΎ Π΄Π°Π», Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡ. ΠΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π½ΡΠ°Π²ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, Π½Π΅ Π²ΠΎΠ»Π½ΡΠΉΡΠ΅ΡΡ; ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΡΠΈΠΌΠΈ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ $(x_1,\cdots,x_n)$ ΠΈ Π²Π°Ρ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ, Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π² Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²ΡΡ
ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°Ρ
Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $x$, ΡΠ°Π²Π΅Π½ $v=(v_1,\cdots,v_n)$, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡ ΡΠΎΡΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» Π²ΡΡΠ΅, Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π² $$v=v_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+v_n\frac{\partial}{\partial x_n}. $$ ΠΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f $ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: $$v(f)=v_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)+\cdots+v_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(x).$$ ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ
Π²ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ
ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ². 9\infty(M)$ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ
- $X(f+g)=X(f)+X(g)$
- $Π₯(\Π»ΡΠΌΠ±Π΄Π° f)=\Π»ΡΠΌΠ±Π΄Π° X(f)$
- $X(fg)=X(f)g+fX(g)$
ΠΡΠ»ΠΈ Π²Π°ΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ΅, ΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π±Π΅ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡΠΊΡΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΡ, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ, Π° Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ β ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΎΠΊ, ΠΏΠΎΠΊΡΡΠ²Π°ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠ΅. ΠΡΠΎ Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°Π· Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΡΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ Π±Π΅ΡΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌ. ΠΠΎ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΡΠΎ Β«Π½Π΅ΡΠΎΡΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ Π΄ΠΈΡΠΊΡΡΡΠΈΡΒ», ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡΠ΅.
ΠΠ°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ ΠΌΡ Π³ΠΎΡΠΎΠ²Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡ.
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ $k$-ΡΠΎΡΠΌΠΎΠΉ Π½Π° $n$-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΈ $M$ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π»ΡΠ±Π°Ρ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $\omega$, ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡΡΠ°Ρ Π½Π° Π²Ρ
ΠΎΠ΄ $k$ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ
Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ Π½Π° $M$, $X_1,\cdots,X_k $ ΠΈ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π° $M$ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎ $$\omega(X_1,\cdots,X_i,\cdots,X_j,\cdots,X_k)=-\omega(X_1,\cdots,X_j,\cdots,X_i ,\cdots,X_k). $$ ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π°Π½ΡΠΈΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΠ΅ΠΉ .
Π’Π°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΡΠΎΠΈΡ Π·Π° ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΠΎΠΌ? ΠΠ°ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΌΠ½Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΎΡΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ . ΠΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π±ΡΠ»Π° ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ-ΡΠΎ Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π° Π΄Π»Ρ ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΠΊΡΡΡΠΈΡ ΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΎ, Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ. ΠΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ Π΄ΡΠΌΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ± ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΈ, Π²Ρ Π΄ΡΠΌΠ°Π΅ΡΠ΅ ΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄ΠΈ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ°. Π $n$-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΠΈ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°Ρ ΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ°Π΄Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡ Π² $n$ Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ, ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠΉ $n$. Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π½Π° $M$, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ $k$-ΡΠΎΡΠΌΠ° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡ Π½Π°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ $k$-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ Π² ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, ΡΡΠΎ Π²Ρ ΠΏΡΠΎΡΠ»ΠΈ ΠΊΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Π²Ρ, Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌΠΈ.
ΠΠ°ΡΡΠΈΠ½ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠ΅ ΡΡΠΎΠΉ, ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°ΡΡ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°Π±ΠΎΡΠ°ΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡ. ΠΠ° ΡΠΈΡΡΠ½ΠΊΠ΅ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡΡ
$\theta$, $\phi$ ΠΈ $r$ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ, Π²ΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌΡΠΉ ΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅ΡΡ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»Ρ, Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ
Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΡΡΡ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ $\theta$, $\phi$ ΠΈ $r$ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ 3-ΡΠΎΡΠΌΠ° ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΠ»Π° Π±Ρ ΡΡΠΈ ΡΡΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠΎΠ»Ρ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌΠ°.
ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π°Π½ΡΠΈΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ? ΠΠ½ΡΠΈΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΡΡΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠ°Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ Π·Π½Π°Π΅ΡΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ Π² ΡΡΠ΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»Π΅ΠΉ ΠΊ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½Π°ΡΠ° ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ 4 ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ ΡΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π½ΠΎΡΠΌΠ°Π»ΠΈ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π½Π°ΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ, ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΠΈΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΡ. ΠΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΎΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌ.
ΠΠ°Π΄Π΅ΡΡΡ, Ρ ΠΎΡΠ²Π΅ΡΠΈΠ» Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π²Π°ΡΠΈ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΡ.
ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» – ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ½ΡΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΡ
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
1) ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $ f $ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ $ x $ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $ x $ Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ $ A $ ΡΠ°ΠΊ ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
$$ \Delta y = f ( x + \Delta x ) – f ( x) $$
ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ(Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ° $ x + \Delta x $ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅
$$ \ΠΠ΅Π»ΡΡΠ° Ρ = Π \ΠΠ΅Π»ΡΡΠ° Ρ + \ΠΎΠΌΠ΅Π³Π° , $$
Π³Π΄Π΅ $ \omega / \Delta x \rightarrow 0 $
ΠΊΠ°ΠΊ $ \Delta x \rightarrow 0 $.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ $A\Deltax$
ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ $dy$
ΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ $f$
Π² $Ρ
$.
ΠΠ»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ $ x $
Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» $dy$
ΠΏΡΠΎΠΏΠΎΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½Π° $ \Delta x $,
Ρ.Π΅. ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ $\Delta x $.
ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ $ \Delta x \rightarrow 0 $
Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ $ \omega $
Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠ΅ΠΌ $ \Delta x $(
Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠ΅ΠΌ $dy$
Π΅ΡΠ»ΠΈ $A \neq 0 $).
ΠΠΎΡ ΠΏΠΎΡΠ΅ΠΌΡ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
9{ \prime } ( x ) = dy / dx $,
Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΡΠ°Π²Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² $dy$
ΠΈ $Π΄Ρ
$. ΠΡΠ»ΠΈ $A\neq0$,
ΡΠΎΠ³Π΄Π° $ \Delta y / dy \rightarrow 1 $
ΠΊΠ°ΠΊ $ \Delta x \rightarrow 0 $,
Ρ. Π΅. Π΅ΡΠ»ΠΈ $ A \neq 0 $,
ΡΠΎΠ³Π΄Π° $ \Delta y $
ΠΈ $Π΄Ρ$
ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΡΠΎ ΠΈ $ \Delta x \rightarrow 0 $;
ΡΡΠΎΡ ΡΠ°ΠΊΡ, Π½Π°ΡΡΠ΄Ρ Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° (Ρ.Π΅. Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ $\Delta x $),
ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ
Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡΡ
, ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, ΡΡΠΎ $ \Delta y \ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ dy $
Π΄Π»Ρ ΠΌΠ°Π»ΡΡ
$ \Delta x $.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ $ f ( x + \Delta x ) $
ΠΏΠΎ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎΠΌΡ $f(x)$
ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ \Delta x $
ΠΌΠ°Π»ΠΎ, ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ
9{ \prime } ( x _ {0} ) \Delta x $.
ΠΡΠ°Π²Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $f$
Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $ x _ {0} $
ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ $ \Delta x $
ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» ΠΈΠ΄Π΅Π½ΡΠΈΡΠ΅Π½ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠ΅ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠΉ $ y = f ( x) $(
ΡΡ. ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ $NT$
Π½Π° ΡΠΈΡ. Π°). ΠΠ΄Π΅ΡΡ $\omega = \Delta y – dy$,
ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ $ | \ΠΎΠΌΠ΅Π³Π° | $
ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°Π΅Ρ Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° $TS$.
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ: d031810a
2) ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΡΡΡ Π½Π° Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡ $ n $
ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ $ n = 2 $
Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $(x,y)$
ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ $ x $
ΠΈ $ Ρ $
Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
$$ \Delta z = f (x + \Delta x, y + \Delta y) – f (x, y) $$ 9{2} } $; ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° $ ( x + \Delta x , y + \Delta y ) $ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΠΎΠΉ Π²ΡΡΠ΅ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ (ΡΠΈΡ. Π±).
Π ΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ: d031810b
ΠΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
$$ d z = d f ( x , y ) = A \Delta x + B \Delta y; $$
$ Π΄Π· $
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $f$
Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ $(x,y)$(
ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ°Π·Π° Β«ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ x ΠΈ yΒ»). ΠΠ»Ρ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ $(x,y)$
Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» $ dz $
ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ $ \Delta x $
ΠΈ $ \Delta y $;
ΡΠ°Π·Π½ΠΈΡΠ° $\alpha=\Delta z – dz$
Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, ΡΠ΅ΠΌ $\rho$.
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅ $dz$
β Π³Π»Π°Π²Π½Π°Ρ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΡΡΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ $\Delta z$.
9{ \prime } ( x , y ) dy $
ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ $y$. { \prime } $
Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π±) $A$
ΠΈ $Π$
Π²ΡΡΠ΄Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π² $D$
ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ $ x $
ΠΈ $y$[7], [8].
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ Π΄Π»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π²ΡΡΡΠΈΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ².
3) ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f$ Π±ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ $ E $ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», ΠΏΡΡΡΡ $ x $ β ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π°, ΠΏΡΡΡΡ $x\inE$, $ x + \Delta x \in E $, $ \Delta y = A \Delta x + \alpha $, Π³Π΄Π΅ $ \alpha / \Delta x \rightarrow 0 $ Π΅ΡΠ»ΠΈ $ \Delta x \rightarrow 0 $; ΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ $f$ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌ ΠΏΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ $E$ Π² $Ρ $, Π° $ dy = A \Delta x $ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ $ E $ Π² $Ρ $. ΠΡΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π°ΠΌ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Ρ Π² ΠΊΠΎΠ½ΡΠ°Ρ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π°, Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΈ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΡΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π» (ΡΡ. ΠΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΡ).
ΠΠ½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Ρ ΠΏΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ Π΄Π»Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΡ
ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ
Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ
ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ
.
4) ΠΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π°, Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ Π²ΡΡΠ΅, ΠΏΠΎΡΡΠΈ Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½Π΅Π½Ρ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ; ΠΊ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΡΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ ; ΠΈ ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡ-ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ . Π ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΡΡΡ Π½Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°. ΠΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΎ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°Π»Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅.
Π‘ΡΡΠ»ΠΊΠΈ
[1] | Π.Π. Π’ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ², “ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°”, 1β2 , ΠΠΎΡΠΊΠ²Π° (1974) (Π½Π° ΡΡΡΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ·ΡΠΊΠ΅) Fichtenholz, “Differential und Integralrechnung”, 1 , Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1964 Π³.)0167 |
[3] | L.D. Kudryavtsev, “Mathematical analysis” , 1 , Moscow (1973) (In Russian) MR1617334 MR1070567 MR1070566 MR1070565 MR0866891 MR0767983 MR0767982 MR0628614 MR0619214 Zbl 1080.![]() |
[4] | Π‘.Π. ΠΠΈΠΊΠΎΠ»ΡΡΠΊΠΈΠΉ, “ΠΡΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°”, 1 , ΠΠΠ (1977) (Translated from Russian) Zbl 0397.00003 Zbl 0384.00004 |
[5] | W. Rudin, “Principles of mathematical analysis” , McGraw-Hill (1953) MR0055409 Zbl 0052.05301 |
[6] | A.N. ΠΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡΠΎΠ², Π‘.Π. Π€ΠΎΠΌΠΈΠ½, “ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°”, 1β2 , Graylock (1957β1961) (ΠΠ΅ΡΠ΅Π²ΠΎΠ΄ Ρ ΡΡΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ)6 MR1530727 MR0118795 MR0085462 MR0070045 Zbl 0932.46001 Zbl 0672.46001 Zbl 0501.46001 Zbl 0501.46002 Zbl 0235.46001 Zbl 0103.08801 |
[7] | G.P. Π’ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠ², “Π ΠΊΡΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π°Ρ ”, , Π’Ρ. ΠΠ½ΡΡ. Π‘ΡΠ΅ΠΊΠ»ΠΎΠ². , 35 (1950) (Π½Π° ΡΡΡΡΠΊΠΎΠΌ ΡΠ·ΡΠΊΠ΅) MR44612 |
[8] | Π.![]() |
ΠΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠΈΠΈ
Π‘ΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΡ; ΠΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΡΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ»Ρ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡΠ° ΡΠΌ. Π£ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ; Π’Π΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ° Π Π°Π΄ΠΎΠ½Π°βΠΠΈΠΊΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ°, [a7].
ΠΠ»Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π°Π±ΡΡΡΠ°ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠΌ. ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ Π€ΡΠ΅ΡΠ΅; ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΠ°ΡΠΎ.
ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ $ f : \mathbf C \rightarrow \mathbf C $ ΡΠΌ. ΠΠ½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
ΠΠ°ΡΠ°Π»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ°
[a1] | Π’.Π. Apostol, “Calculus” , 1β2 , Blaisdell (1964) MR1908007 MR1182316 MR1182315 MR0595410 MR1536963 MR1535772 MR0271732 MR0248290 MR0247001 MR0261376 MR0250092 MR0236734 MR0236733 MR0214705 MR1532185 MR1531712 MR0087718 Zbl 0123.25902 |
[a2] | T.M. ΠΠΏΠΎΡΡΠΎΠ», “ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·”, Addison-Wesley (1974) MR0344384 Zbl 0309.![]() |