Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅: НСдопустимоС Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ | ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° | Fandom

ЛСкция ΠΏΠΎ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅”Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ”(для 26 Π³Ρ€.)

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Β Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ . ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°  опрСдСляСтся равСнством: . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ связи Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ , Π³Π΄Π΅ Β ΠΏΡ€ΠΈ , ΠΈΠ»ΠΈ .

ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ  состоит ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… слагаСмых, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ называСмая главная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ приращСния, линСйная ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ .

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅  называСтся главная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‘ приращСния, которая Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΈ обозначаСтся Β ΠΈΠ»ΠΈ : .

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ этой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ: Β ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°Β  , Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС: По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Β Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ .

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π°Ρ…. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ².

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» суммы, произвСдСния ΠΈ частного Π΄Π²ΡƒΡ… Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ опрСдСляСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ:

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» этой ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ²

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСниях

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎ .

РСшСниС. Рассмотрим Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ f(x)=arctg x.

По Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:,

Ρ‚.Π΅..Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Β ΠΈ Β ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρƒ’ = f ‘(Ρ…) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = f (x) Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ функция ΠΎΡ‚ Ρ…Β  ΠΈ называСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка.

Если функция f ‘(Ρ…) Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ°, Ρ‚ΠΎ Π΅Π΅ производная называСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΈ обозначаСтся Ρƒ” (ΠΈΠ»ΠΈ f Β’Β’(x), , , ). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

Ρƒ” = (yΒ’ )Β’.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка, Ссли ΠΎΠ½Π° сущСствуСт, называСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ порядка

ΠΈ обозначаСтся Ρƒ'” (ΠΈΠ»ΠΈ fΒ’Β’Β’(x),Β  , …). Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρƒ'” = (yΒ’Β’)Β’.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ n -Π³ΠΎ порядка (ΠΈΠ»ΠΈ n -ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ) называСтся производная ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ

(n Β – 1) порядка: Ρƒ(n) = (y(n – 1))Β’ .

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ порядка Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

Начиная с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ римскими Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ числами Π² скобках (Ρƒ V ΠΈΠ»ΠΈ Ρƒ(5) – производная пятого порядка).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ .Β  Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ 13-Π³ΠΎ порядка Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x

.

РСшСниС: Ρƒ’ = (sin x)Β’ = cos x = , Ρƒ” = (yΒ’)Β’ = (cos x)Β’ = sin x = ,

Ρƒ‘” = (yΒ’Β’)Β’ = ( sin x)Β’ = cos x = ,Ρƒ(13) =

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка

Вторая производная ΠΎΡ‚ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ускорСния прямолинСйного двиТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚. Π΅. =

VΒ’ = Π°.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» ΠΎΡ‚ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся Π΅Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка.Β  ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: dΒ²y=d(dy).

ΠŸΡ€ΠΈ вычислСнии Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ dx Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ Ρ… ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ выносится Π·Π° Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ постоянный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, dΒ²y=d(dy)=d(fΞ„(x)dx)=(fΞ„(x)dx)Ξ„dx=(fΞ„(x))Ξ„(dx)Β²=f΄΄(x)dxΒ².Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

dΒ³y=d(dΒ²y)=f΄΄΄(x)dΒ³x ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких порядков.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ n-Π³ΠΎ порядка называСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» ΠΎΡ‚ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° (n-1)-Π³ΠΎ порядка:Β  dny = d(dn-1y) = (f(n-1)(x)dn-1x)Ξ„ = f(n)(x)dnx. Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β  Бвойства Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

1.Β Β Β  ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ любого порядка ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ порядка:Β Β  Β Β .Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

2.Β Β Β  Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков Π½Π΅ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ свойством инвариантности.

ПокаТСм это Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π°. Если y=F(Ο†(x))=F(u), Π³Π΄Π΅ u=Ο†(x), Ρ‚ΠΎ dΒ²y=d(FΞ„(u)du). Но du=φ΄(x)dx зависит ΠΎΡ‚ Ρ…, поэтому dΒ²y=d(FΞ„(u))du+FuΞ„(u)d(du)=F΄΄uu(u)(du)Β²+FuΞ„(u)

dΒ²u, Π³Π΄Π΅ dΒ²u=φ΄΄(x)(dx)Β². Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° измСнилась ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ u.

ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция y = f (x) называСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ (ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ) Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Π₯, Ссли для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… x1, x2 ∈ X ΠΈ x2 > x1 Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ нСравСнство f (x2 ) > f (x1 )Β Β Β  ( f (x2 ) < f (x1 ) ).

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° (достаточноС условиС возрастания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ). Если производная Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° Π₯, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° возрастаСт Π½Π° этом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° (достаточноС условиС убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ). Если производная Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ° Π₯, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° этом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅.

ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ  характСризуСтся Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ : Ссли Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ >0, Ρ‚ΠΎ функция возрастаСт, Π° Ссли <0, Ρ‚ΠΎ функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° (Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ условиС монотонности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ).

Если функция возрастаСт (ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚) Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ Π₯, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ лишь ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π° (Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°) Π½Π° этом ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅: f β€²(x) β‰₯ 0 ( f β€²(x) ≀ 0 ), x ∈ X , Ρ‚.Π΅. Π² ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… производная ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ…0 называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) , Ссли Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ…0 выполняСтся нСравСнство f

(x) ≀ f (x0 ) (рис. 11).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ…1 называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) , Ссли Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ…1 выполняСтся нСравСнство f (x) β‰₯ f (x1 ) (рис. 11).

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρ…0 ΠΈ Ρ…1 Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ соотвСтствСнно максимумом ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Мак-

симум ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

.

НСобходимоС условиС экстрСмума . Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ функция y = f (x) ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° экстрСмум Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ…0, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΅Π΅ производная Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΡΠ»Π°ΡΡŒ Π½ΡƒΠ»ΡŽ f β€²(x0 ) = 0 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствовала.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ΅ условиС экстрСмума, Ρ‚.Π΅. производная Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ критичСскими (ΠΈΠ»ΠΈ стационарными). ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ссли Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ имССтся экстрСмум, Ρ‚ΠΎ эта Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° критичСская. ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ. ΠšΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° вовсС Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ экстрСмума.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ исслСдования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° экстрСмум.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ:

1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Β ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… =0 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт, Π° сама функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π°, ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Β Β 

2Π°. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΒ   слСва ΠΈ справа ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Если ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ… Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ…ΠΎ:

1)  мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с + Π½Π° -, Ρ‚ΠΎΒ  Ρ…ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума;

2)  мСняСт Π·Π½Π°ΠΊ с – Π½Π° +, Ρ‚ΠΎΒ  Ρ…ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°;

3) Β Π½Π΅ мСняСт Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅Β  Ρ…ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ экстрСмума.

Иногда ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ , ΠΏΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΡƒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, – вмСсто ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° 2Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ:

2Π±. Найти Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Β ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π·Π½Π°ΠΊ Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.Β 

Если Π² критичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Β Ρ…ΠΎ, Π³Π΄Π΅Β  :

1) >0, Ρ‚ΠΎΒ  Ρ…ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума;2) <0, Ρ‚ΠΎ Ρ…ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°;

3) =0, Ρ‚ΠΎ вопрос ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ экстрСмума Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅Β  Ρ…ΠΎ остаСтся ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΌ. Π’Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π²ΡΡΠΊΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ 2Π°.

Π”Π°Π»Π΅Π΅ слСдуСт Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ экстрСмумы Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚.Π΅. Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… экстрСмума.

Π’Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°

Если Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ кривая располоТСна Π½ΠΈΠΆΠ΅ любой своСй ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° называСтся Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Π° Ссли ΠΎΠ½Π° располоТСна Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ любой своСй ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ называСтся Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΠΉ Π²Π½ΠΈΠ· Π² этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Π³Π΄Π΅ мСняСтся Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π΅ выпуклости.

НаправлСниС выпуклости ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ  характСризуСтся Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ : Ссли Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ >0, Ρ‚ΠΎ кривая Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Π° Π²Π½ΠΈΠ·, Π° Ссли  <0, Ρ‚ΠΎ кривая Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Π° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π² этом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅.

Абсциссы Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉΒ  , ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ  f(x), ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ экстрСмума ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ:

1. Найти Β ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ…, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… =0 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ сущСствуСт, Π° кривая Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ области Π΅Π΅ располоТСния.

2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ  слСва ΠΈ справа ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌΠ°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ… Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ абсциссой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, Ссли ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ стороны ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π΅ Β ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹, Π³Π΄Π΅ кривая Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Π° Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… ΠΈ Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½Π° Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Π° Π²Π½ΠΈΠ·, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ· условия, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ абсциссы Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π°, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° ΠΈ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ области располоТСния ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ.

Асимптоты

Асимптотой ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ называСтся такая прямая, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ приблиТаСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Π΅ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Для нахоТдСния асимптот ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ полоТСниями:

Π°) Ссли ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…=Π° кривая  Β ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчный Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π², Ρ‚.Π΅. Ссли  Β ΠΏΡ€ΠΈ , Ρ‚ΠΎ прямая Ρ…=Π° являСтся Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптотой;

Π±) Ссли ΠΏΡ€ΠΈ  сущСствуСт ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Ρ‚.Π΅. , Ρ‚ΠΎ прямая y=b Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ;

3) Ссли ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Β ΠΈ , Ρ‚ΠΎ прямая  Ρƒ = kx + b являСтся Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ асимптотой Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΒ  исслСдования  Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ  Π½Π°Β  экстрСмум  с  ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽΒ  Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉΒ  ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ:

1.Находят ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f ‘ (x).

2.Находят Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния f ‘(x)=0 (критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ).

3.Находят Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ f ” (x).

4.Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎ всС критичСскиС значСния; Ссли ΠΏΡ€ΠΈ этой подстановкС вторая производная окаТСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ; Ссли ΠΆΠ΅ вторая производная окаТСтся ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ максимум. Если ΠΏΡ€ΠΈ подстановкС получится Π½ΡƒΠ»ΡŒ, Ρ‚ΠΎ исслСдованиС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

НапримСр 1. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρƒ = 1/3Ρ…3 – 2Ρ…2 +3Ρ… + 1.

РСшСниС:

1)Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρƒ’ = Ρ…2 4Ρ… + 3;

2)РСшаСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…2 4Ρ… + 3= 0, Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ…1 = 1, Ρ…2 = 3 – критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ;

Β 

–

Β 

Β 

Β 

1

Β Β Β  3

Ρ…

Β 

3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ Ρƒ’, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ экстрСмум; ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 1функция достигаСт максимума, Π° ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… =3 функция достигаСт ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠ°.

4. Находим Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… экстрСмума   Ρƒ(1) =7/3, Β Ρƒ(3) =1.

НапримСр 2. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ

Ρƒ =Β  1/3Ρ…3 – 5/2 Ρ…2 + 6Ρ….

РСшСниС:

1.Находим ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρƒ’ = Ρ…2 5Ρ… + 6;

2.РСшаСм ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ…2 5Ρ… + 6 = 0, Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈΡ…1 = 2, Ρ…2 = 3 – критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ;

3.Находим Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρƒ” = 2Ρ… – 5;

4.Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ подставляСм ΠΏΠΎΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎ критичСскиС значСния:

Ρƒ”(2)= 2βˆ™2 – 5 = – 1< 0, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…1 = 2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ максимум, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρƒ(2) =14/3 ;

5.Π’.ΠΊ. Ρƒ”(3)= 2βˆ™3 – 5 = 1 > 0, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ…2 = 3 ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ Ρƒ(3) = 4,5 .

Задания для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

1.Β Β Β  Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: Π°) Ρƒ = 3Ρ…4 +5Ρ…3 + 2Ρ…2 – Ρ…, Π±) Ρƒ =(2Ρ… + 5)3.

2.Β Β Β  Найти Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: Π°) Ρƒ = sin xβˆ™ ln 3x, Π±) Ρƒ = 6Ρ… +2,5Ρ…6

3.Β Β Β  Π”Π°Π½Π° функция f(x)= sin3Ρ…. Найти f “(- p/2 ), f “(0).

4.Β Β Β  Π”Π°Π½Π° функция f(x)= Ρ…βˆ™Π΅Ρ…. Найти f ‘”(-3), f ‘”(2), f ‘”(0).

5.Β Β Β  Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° экстрСмум Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Π°)f(x)= 2Ρ…3 + 6Ρ…2– 18Ρ… + 120,Π±)Β  Ρƒ = 3Ρ…4 – 4Ρ…3.

6.Β Β Β  Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π²ΠΎΠ³Π½ΡƒΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Β Β Β Β Β Β Β Β  Π°) Ρƒ = Ρ…3 – 3Ρ…2 + 1, Π±) Ρƒ = – Ρ…3 + 3Ρ…2.

7.Β Β Β  Найти ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ выпуклости ΠΈ вогнутости ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉΒ Β  Ρƒ = Ρ…4 – 2Ρ…3 + 36Ρ…2 – Ρ… + 7.

8.Β Β Β  Найти ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ выпуклости ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x(x βˆ’1)3 .

4.20. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ тСсно связано с понятиСм Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ. Как ΠΈ производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊ числу Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… понятий матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΈ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ с понятиСм ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Вспомним ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ X (§ 1, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ 1.5 ΠΈ 1.6):

(5.1)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ – ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° X, Π° – ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y.

Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ данная функция Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² рассматриваСмой фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ X. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ сущСствуСт ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, согласно (5.1),

ΠΏΡ€ΠΈ (5.2)

А это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… значСниях Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ:

(5.3)

ΠŸΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ равСнства (5.3) Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ мСньшС (ΠΈ соотвСтствСнно Ρ‡Π΅ΠΌ мСньшС ).

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ просто ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ, Π° БСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ, ΠΈ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° x. Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ (слСдуя Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Ρƒ) для Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Dx – Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° X. (5.4)

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Dx Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° X – это бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ этого Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ понятиС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ X – матСматичСская абстракция (ΠΎΠ½Π° сродни Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ). Но ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° постоянно ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ абстракциями, поэтому Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Π° абстракция ΠΏΡƒΠ³Π°Ρ‚ΡŒ нас Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π°.

Если ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° X бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎ (), Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ символом Dy ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ , Ρ‚ΠΎ

– Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y. (5.5)

Если Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… равСнствах (5.3) Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π° бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅ Dx ΠΈ Dy, Ρ‚ΠΎ эти равСнства станут Π’ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

(5.6)

Оба равСнства (5.6) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ смысл. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Dy ΠΈ Dx Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. А Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Dy Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Dx.

ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, Ссли ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , Ρ‚ΠΎ послСднСС равСнство (5.6) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅:

(5.7)

А Ссли Π΅Ρ‰Π΅ ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ исходноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (5.5) для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ , Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· послСднСго равСнства ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

(5.8)

РавСнство (5.8) позволяСт Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ , бСсконСчно Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ X, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π² самой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ X. Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ большоС тСорСтичСскоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Если Π² равСнствС (5.8) Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ Dx Π½Π° ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ , Ρ‚ΠΎ вмСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ станСт ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ:

(5.9)

РавСнство (5.9) называСтся ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°. Π­Ρ‚Π° приблиТСнная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ мСньшС . Она ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ вычислСния значСния ΠΏΠΎ значСниям ΠΈ . Π£ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (5.9) имССтся ΠΈ ясный гСомСтричСский смысл – ΠΌΡ‹ Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅. Π’Π°ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡ€Π°.

Π’ частности, примСняя эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ; ; ; , ΠΈ Ρ‚. Π΄., ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ интСрСсныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для производства ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСний:

1) ; ( – Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…) 2) ; (5.10)

3) ; ;

4) ; ;

Π’ частности, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ послСднюю Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

.

Для сравнСния: Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ . Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ, отличаСтся ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния лишь Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠ΅ послС запятой.

ВСрнСмся всС ΠΆΠ΅ ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ (5.6) ΠΈ (5.7), слуТащим для нахоТдСния Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ . На Π±Π°Π·Π΅ этих Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅

< ΠŸΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π°Ρ Β  Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ >

ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС – Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°?

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ…, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ многообразиях ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… полях. \infty(M)$, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° $\mathbb R$, ΠΈ которая удовлСтворяСт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ свойствам: :

  • $v(f+g)=v(f)+v(g)$
  • $v(\лямбда f)=\лямбда v(f)$
  • $v(fg)=v(f)g(x)+f(x)v(g)$

Π“Π΄Π΅ $f$ ΠΈ $g$ β€” Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° $M$, Π° $\lambda$ β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число (ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ произвСдСния). Π§Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ это связано с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ? ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, опрСдСляСмыС Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ΠΎΠ². Но ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ зависят ΠΎΡ‚ систСмы ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ для использования. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ я Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π», Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚. Но Ссли Π²Π°ΠΌ нравятся ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π½Π΅ Π²ΠΎΠ»Π½ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ; ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими двумя опрСдСлСниями. Если ваши ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ $(x_1,\cdots,x_n)$ ΠΈ ваш Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² Π΅Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°Ρ… Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $x$, Ρ€Π°Π²Π΅Π½ $v=(v_1,\cdots,v_n)$, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ я ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, написав $$v=v_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\cdots+v_n\frac{\partial}{\partial x_n}. $$ Он ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ $f $ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: $$v(f)=v_1\frac{\partial f}{\partial x_1}(x)+\cdots+v_n\frac{\partial f}{\partial x_n}(x).$$ Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это удовлСтворяСт ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… свойств. 9\infty(M)$ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

  • $X(f+g)=X(f)+X(g)$
  • $Π₯(\лямбда f)=\лямбда X(f)$
  • $X(fg)=X(f)g+fX(g)$

Если Π²Π°ΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΡƒΡŽ стрСлку, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ повСрхности, Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅ β€” ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… стрСлок, ΠΏΠΎΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ СстСствСнный ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· для Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΡ, Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ½ оказываСтся довольно бСсполСзным. Но ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ это Β«Π½Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ дискуссия», ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΠΉΡ‚Π΅.

НаконСц ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ $k$-Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΉ Π½Π° $n$-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΈ $M$ называСтся любая полилинСйная функция $\omega$, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄ $k$ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΉ Π½Π° $M$, $X_1,\cdots,X_k $ ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΡΠΊΠ°Π»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° $M$ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $$\omega(X_1,\cdots,X_i,\cdots,X_j,\cdots,X_k)=-\omega(X_1,\cdots,X_j,\cdots,X_i ,\cdots,X_k). $$ ПослСднСС свойство называСтся антисиммСтриСй .

Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ стоит Π·Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ? Насколько ΠΌΠ½Π΅ извСстно, Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ являСтся ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° многообразиях. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π±Ρ‹Π»Π° какая-Ρ‚ΠΎ другая ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° для ΠΈΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ открытия ΠΈ опрСдСлСния, Π½ΠΎ это Ρ‚ΠΎ, для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ. Когда Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ± ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Π²Ρ‹ Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎ вычислСнии ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΈ объСма. Π’ $n$-ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ объСм ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ любого подмногообразия Π² $n$ с любой Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, мСньшСй ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΉ $n$. Учитывая систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π½Π° $M$, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ $k$-Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ $k$-ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ объСм Π² соотвСтствии с этой систСмой ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΈ курс ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ исчислСния, Π²Ρ‹, вСроятно, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ элСмСнта объСма со сфСричСскими ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

ΠšΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ этой, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽΡ‚ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹. На рисункС ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅ измСнСния Π² направлСниях $\theta$, $\phi$ ΠΈ $r$ ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΉ объСм, Π²Ρ‹ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ этими измСнСниями. ВмСсто этого ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… поля, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ $\theta$, $\phi$ ΠΈ $r$ соотвСтствСнно. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ 3-Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° объСдинила Π±Ρ‹ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… поля Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ элСмСнт объСма.

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ антисиммСтрия? АнтисиммСтрия позволяСт Π½Π°ΠΌ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ. ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, Ссли Π²Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ исчислСниС, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ повСрхности Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ находятся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»Π΅ΠΉ ΠΊ повСрхности. Но Ссли наша ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ находится Π² пространствС 4 ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅Ρ‚ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ направлСния Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ, поэтому вмСсто этого ΠΌΡ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌ порядок Π½Π°ΡˆΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ для опрСдСлСния ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Если ΠΌΡ‹ помСняСм Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, ΠΌΡ‹ помСняСм ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎΡ‚ интСгрирования, Π·Π° ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ.

НадСюсь, я ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΠ» Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ваши вопросы.

Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» – ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энциклопСдия


Основная линСйная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

1) Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°Ρ функция $ f $ вСщСствСнной ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ $ x $ называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x $ Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ сущСствуСт число $ A $ Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅

$$ \Delta y = f ( x + \Delta x ) – f ( x) $$

ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ

(Ссли Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° $ x + \Delta x $ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² этой окрСстности) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅

$$ \Π”Π΅Π»ΡŒΡ‚Π° Ρƒ = А \Π”Π΅Π»ΡŒΡ‚Π° Ρ… + \ΠΎΠΌΠ΅Π³Π° , $$

Π³Π΄Π΅ $ \omega / \Delta x \rightarrow 0 $ ΠΊΠ°ΠΊ $ \Delta x \rightarrow 0 $. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ $A\Deltax$ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ обозначаСтся $dy$ ΠΈ называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ $f$ Π² $Ρ…$. Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ $ x $ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» $dy$ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° $ \Delta x $, Ρ‚.Π΅. являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ $\Delta x $. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈ $ \Delta x \rightarrow 0 $ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ $ \omega $ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого порядка, Ρ‡Π΅ΠΌ $ \Delta x $( Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Π΅ΠΌ $dy$ Ссли $A \neq 0 $). Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» являСтся основной Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ приращСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. 9{ \prime } ( x ) = dy / dx $, Ρ‚. Π΅. производная Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² $dy$ ΠΈ $Π΄Ρ…$. Если $A\neq0$, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° $ \Delta y / dy \rightarrow 1 $ ΠΊΠ°ΠΊ $ \Delta x \rightarrow 0 $, Ρ‚. Π΅. Ссли $ A \neq 0 $, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° $ \Delta y $ ΠΈ $Π΄Ρ‹$ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ порядка, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ $ \Delta x \rightarrow 0 $; этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚, наряду с простой структурой Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° (Ρ‚.Π΅. Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΏΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ $\Delta x $), часто ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… вычислСниях, прСдполагая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ $ \Delta y \ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ dy $ для ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… $ \Delta x $. НапримСр, Ссли трСбуСтся Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ $ f ( x + \Delta x ) $ ΠΏΠΎ извСстному $f(x)$ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° $ \Delta x $ ΠΌΠ°Π»ΠΎ, прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 9{ \prime } ( x _ {0} ) \Delta x $. ΠŸΡ€Π°Π²Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ прСдставляСт собой Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f$ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $ x _ {0} $ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ $ \Delta x $ рассматриваСтся. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ $ y = f ( x) $( ср. ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ $NT$ Π½Π° рис. Π°). Π—Π΄Π΅ΡΡŒ $\omega = \Delta y – dy$, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ $ | \ΠΎΠΌΠ΅Π³Π° | $ совпадаСт с Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° $TS$.

Рисунок: d031810a

2) ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ диффСрСнцируСмости ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° вСщСствСннозначныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ $ n $ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² случаС $ n = 2 $ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вСщСствСннозначная функция Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $(x,y)$ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ $ x $ ΠΈ $ Ρƒ $ Ссли ΠΎΠ½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΈ Ссли Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅

$$ \Delta z = f (x + \Delta x, y + \Delta y) – f (x, y) $$ 9{2} } $; прСдполагаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° $ ( x + \Delta x , y + \Delta y ) $ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ упомянутой Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ окрСстности (рис. Π±).

Рисунок: d031810b

Вводится ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

$$ d z = d f ( x , y ) = A \Delta x + B \Delta y; $$

$ Π΄Π· $ называСтся ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ просто Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $f$ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ $(x,y)$( ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° добавляСтся Ρ„Ρ€Π°Π·Π° Β«ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ x ΠΈ yΒ»). Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ $(x,y)$ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» $ dz $ являСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ $ \Delta x $ ΠΈ $ \Delta y $; Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° $\alpha=\Delta z – dz$ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокого порядка, Ρ‡Π΅ΠΌ $\rho$. Π’ этом смыслС $dz$ β€” главная линСйная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ приращСния $\Delta z$. 9{ \prime } ( x , y ) dy $ являСтся частным Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ $y$. { \prime } $ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Π±) $A$ ΠΈ $Π’$ Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ Π² $D$ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ $ x $ ΠΈ $y$[7], [8].

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ исчислСниС для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² вСщСствСнных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ² Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… порядков.

3) ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция $f$ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ мноТСствС $ E $ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ $ x $ β€” ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° этого мноТСства, ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ $x\inE$, $ x + \Delta x \in E $, $ \Delta y = A \Delta x + \alpha $, Π³Π΄Π΅ $ \alpha / \Delta x \rightarrow 0 $ Ссли $ \Delta x \rightarrow 0 $; Ρ‚ΠΎ функция $f$ называСтся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΌ ΠΏΠΎ мноТСству $E$ Π² $Ρ…$, Π° $ dy = A \Delta x $ называСтся Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ мноТСству $ E $ Π² $Ρ…$. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. К ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π°ΠΌ этого обобщСния относятся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΠΈ аппроксимативный Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π» (ср. ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ).

Аналогичным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ вводятся Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΠΎ мноТСству для вСщСствСннозначных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ….

4) ВсС опрСдСлСния диффСрСнцируСмости ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π°, Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ Π±Π΅Π· ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ распространСны Π½Π° комплСкснозначныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…; ΠΊ вСщСствСннозначным ΠΈ комплСкснозначным Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-функциям ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…; ΠΈ ΠΊ комплСксным функциям ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-функциям ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… комплСксных ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ…. Π’ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ абстрактного пространства. МоТно Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ диффСрСнцируСмости ΠΈ ΠΎ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ мноТСства ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Бсылки
[1] Π“.П. Волстов, “Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°”, 1–2 , Москва (1974) (Π½Π° русском языкС) Fichtenholz, “Differential und Integralrechnung”, 1 , Deutsch. Verlag Wissenschaft. (1964 Π³.)0167
[3] L.D. Kudryavtsev, “Mathematical analysis” , 1 , Moscow (1973) (In Russian) MR1617334 MR1070567 MR1070566 MR1070565 MR0866891 MR0767983 MR0767982 MR0628614 MR0619214 Zbl 1080. 00002 Zbl 1080.00001 Zbl 1060.26002 Zbl 0869.00003 Zbl 0696.26002 Zbl 0703.26001 Zbl 0609.00001 Zbl 0632.26001 Zbl 0485.26002 Zbl 0485.26001
[4] Π‘.М. Никольский, “ΠšΡƒΡ€Ρ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°”, 1 , МИР (1977) (Translated from Russian) Zbl 0397.00003 Zbl 0384.00004
[5] W. Rudin, “Principles of mathematical analysis” , McGraw-Hill (1953) MR0055409 Zbl 0052.05301
[6] A.N. ΠšΠΎΠ»ΠΌΠΎΠ³ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π‘.Π’. Π€ΠΎΠΌΠΈΠ½, “Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°”, 1–2 , Graylock (1957–1961) (ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ с русского)6 MR1530727 MR0118795 MR0085462 MR0070045 Zbl 0932.46001 Zbl 0672.46001 Zbl 0501.46001 Zbl 0501.46002 Zbl 0235.46001 Zbl 0103.08801
[7] G.P. Волстов, “О ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°Ρ…”, , Π’Ρ€. Π˜Π½ΡΡ‚. Π‘Ρ‚Π΅ΠΊΠ»ΠΎΠ². , 35 (1950) (Π½Π° русском языкС) MR44612
[8] Π“. П. Волстов, «О ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π΅Β», УМН. Π½Π°ΡƒΠΊ , 3 Β : 5 (1948) стр. 167–170 MR0027044
ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ДиффСрСнциация; ДиффСрСнциация отобраТСния.

Для Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π° см. Π£ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ; Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Радона–Никодима, [a7].

Для обобщСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ абстрактными пространствами см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Π€Ρ€Π΅ΡˆΠ΅; ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π“Π°Ρ‚ΠΎ.

Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ $ f : \mathbf C \rightarrow \mathbf C $ см. АналитичСская функция.

ΠšΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°
[a1] Π’.М. Apostol, “Calculus” , 1–2 , Blaisdell (1964) MR1908007 MR1182316 MR1182315 MR0595410 MR1536963 MR1535772 MR0271732 MR0248290 MR0247001 MR0261376 MR0250092 MR0236734 MR0236733 MR0214705 MR1532185 MR1531712 MR0087718 Zbl 0123.25902
[a2] T.M. Апостол, “ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·”, Addison-Wesley (1974) MR0344384 Zbl 0309.

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ