Что такое лимит алгебра: Вычисление пределов последовательностей — урок. Алгебра, 10 класс.

Пределы и ряды в системе Mathematica | Практическая информатика

Для вычисления пределов используется функция Limit. Необязательный параметр Direction применяется для вычисления односторонних пределов, которые используют, в частности, при исследовании функции на непрерывность.
Внимание:Direction -> 1 является указанием для вычисления предела слева, а Direction -> -1 – для предела справа.

Константа Infinity обозначает бесконечность, для ее ввода в виде символа можно использовать палитру Basic Input.

Не все пределы могут быть вычислены таким образом. Дополнительные возможности предоставляет пакет расширений Calculus, подпакет Limit которого переопределяет встроенную функцию Limit. Для загрузки используется команда

<

Пример Следующий предел может быть найден только с использованием указанного модуля расширений.

Limit[Cos[n!]/n, n -> Infinity]

Пример
Используем односторонние пределы для исследования функции на непрерывность.

Напомним, что функция называется непрерывной в точкеx, если она определена в ней и ее значение в этой точке совпадает с левым и правым пределами функции при стремлении к x. Точка x является точкой устранимого разрыва, если пределы слева и справа существуют (принимают конечные значения) и равны, но значение функции f(x) не существует или отлично от них. Точка x называется точкой разрыва первого рода, если пределы не совпадают, но конечны. Наконец, x есть точка разрыва второго рода, если в ней не существует хотя бы одного конечного предела.

Для функции sin(x)/x точка x = 0 является точкой устранимого разрыва, так как существуют пределы слева и справа, равные 1.

Довольно часто в процессе решения различных задач математического анализа приходится сталкиваться с рядами и разложением аналитических функций в ряды. Поэтому в программе Mathematica имеется обширный набор функций для решения подобного рода проблем. Для получения частичной суммы ряда используется функция

Sum[f, {i, imin, imax}]. Здесь f – общий член ряда, а imin и imax – границы суммирования.

Большинство достаточно гладких функций довольно точно локально аппроксимируются рядом Тейлора. Для нахождения n-го многочлена Тейлора в окрестности точки x0 применяется функция

Series[f, {x, x0, n}], а удаление остаточного члена ряда выполняется функциями Collect и Normal:

Пример
Для того чтобы наглядно представить себе точность апроксимации функции многочленами Тейлора, построим на одном рисунке график функции sin(x)/x и соответствующие ей многочлены Тейлора степеней 3 и 6.

f=Sin[x]/x;
f1= Normal[Series[f, {x, 0, 3}]];
f2= Normal[Series[f, {x, 0, 6}]];
Plot[{f, f1, f2}, {x, -10, 10}, 
 PlotStyle -> {
 {Hue[0], Thickness[.01]},
 {Hue[.6], Dashing[{.03}]},
 {Hue[.9], Dashing[{.01}]}}]

 

Задания

1. Вычислите пределы:
   а) ;   б) .
2. Найдите односторонний предел .
3. Исследуйте функции на непрерывность:
   а) ;   б) .

Математика на английском | Действия в математике на английском

29 мая 2021

7 мин. читать

Содержание статьи:

• Разделы математики на английском (areas of math)
• Действия в математике
• Геометрические фигуры на английском
• Набор слов: математика на английском

Это статья для тех, кто: учится на технической специальности за границей или планирует поступить, работает в сфере, связанной с математикой и общается с иностранцами по работе, и просто для тех, кто хочет освоить тему «математика на английском» наряду с другими темами по языку. Энивей, начнем.

Разделы математики на английском (areas of math)

Foundations (основы). Если не углубляться в детали, то это про логику и доказательство. Про решение логических задач с применением математических символов. Сюда входят в том числе proof theory (теория доказательств), set theory (теория множеств) и model theory (теория моделей).

Recreational mathematics («развлекательная математика»). Такие себе приколы для умных вроде Mandelbrot set (Множество Мандельброта). Хотя нередко забавы выливаются в серьезные математические теории.

Number theory (теория чисел). Изучает свойства чисел и операции с ними. Arithmetic (арифметика) – это подраздел теории чисел, которая занимается с основном сложением, вычитанием, умножением и делением простых чисел.

Algebra (алгебра) — крупная ветка математики, изучающая алгебраические системы. Она в свою очередь делится на подразделы. Linear algebra (линейная алгебра) сосредоточена на понятии векторов. Abstract algebra (абстрактная алгебра), помимо основных вещей, изучает еще и кольца и поля. Elementary algebra (элементарная алгебра) изучает все те же числа и арифметические операции с ними.

Combinatorics (комбинаторика) — область математики, связанная с подсчетом.

Geometry (геометрия) изучает положение фигур, линий и точек в пространстве.

Methematical analysis (математический анализ) изучает то, как множество вещей изменяются относительно друг друга.

Probability theory (теория вероятностей) — про то, с какой вероятностью случится то или иное событие при заданных условиях.

Statistics (статистика) занимается сбором и анализом данных для практических исследований и экспериментов. В основном в контексте людей.

Это зашло слишком далеко. Статья становится слишком сложной. Изучение английского — само по себе физическая нагрузка, а тут еще и в математическую терминологию нужно вникать. Математика на англ — тема правда сложная. Давайте сделаем несколько шагов назад и возьмемся за более простую тему.

Читай также

ООО на английском языке — это Ltd или LLC в чем разница?

Действия в математике

Как будет сложение, вычитание, умножение и деление на английском.

1. Plus (плюс, сложение)
2. Minus (минус, вычитание)
3. Divide (деление, делить)
4. Multiply (умножение, умножать)
5. Sign (знак)
6. Equal (равно, равняется)
7. To do sums (решать примеры)

Как звучат цифры и числа на английском, тут разбирать не будем. Предположим, вы это и так знаете. А если вдруг это не так, советуем сперва прочитать другую статью: Цифры и числа на английском языке.

Теперь попробуем перевести несколько простых арифметических примеров.

5+5=10

five plus five equals ten
or
five and five equals ten

*Слово and может заменять plus в примерах на сложение.

Пятерки в этом примере — added (слагаемое и слагаемое). Результат — sum of total (сумма).

40-25=15

Forty minus twenty-five equals fifteen
or
Forty minus twenty-five is fifteen

*Is можно использовать вместо equals.

Число 40 здесь выступает в роли minuend (уменьшаемое), 25 — subtrahend (вычитаемое), 15 в ответе — это difference (разница, разность).

1000:2=500

One thousand divided by two is five hundred

*Обратите внимание, что после hundred не стоит s.

Хоть интуитивно и хочется поставить окончание множественного числа — сотен ведь несколько — по правилам, тут окончание не ставится.

1000 — divided (делимое), 2 — divisor (делитель), и 500 в ответе — quotient (частное). Если бы число не делилось нацело, то у него остался бы remainder (остаток).

6×7=42

Six multiplied by seven equals forty-two
or
Six seven times is forty-two

*Вместо «умноженное на семь» можно просто сказать «взятое семь раз», seven times.

Шестерка и семерка в примере называются factor или multiplier (множитель). Число в ответе —

product (произведение).

Читайте также: Школьные предметы на английском

Геометрические фигуры на английском

 

Eng	Rus
Point (dot)	точка
Line	линия
Segment	отрезок
Angle	угол
Plane	плоскость
Circle	круг
Ellipse	эллипс (овал)
Square	квадрат
Triangle	треугольник
Rectangle	прямоугольник
Rhombus	ромб
Trapezium	трапеция
Pentagon	пятиугольник
Hexagon	шестиугольник
Dodecagon	двенадцатиугольник
Объемные фигуры
Cube	куб
Parallelepiped	параллелепипед
Pyramid	пирамида
Cone	конус
Cylinder	цилиндр
Sphere	сфера

 

И еще несколько слов по геометрии. К фигурам их отнести нельзя, поэтому вынесем отдельно:

• Length – длина
• Width – ширина
• High – высота
• Perimeter – периметр
• Area – площадь
• Formula – формула
• Theorem – теорема

Давайте разберем пример геометрической задачи на английском. Задача взята с англоязычного онлайн тренажера.

A rectangle has a perimeter of 320 meters and its length L is 3 times its width W. Find the dimensions W and L, and the area of the rectangle.
Прямоугольник имеет периметр 320 метров, и его длинна L в три раза больше ширины W. Найдите значения W и L, и площадь прямоугольника.

У нас тут школа английского, а не школа математики. Поэтому не будем томить и сразу перейдем к решению. Мы ведь не MathDom 🙂

2L+2W = 320
2(3 W)+2W = 320
8W = 320
W = 40 meters
L = 3W = 120 meters
Area = LW = 120*40 = 4800 sq meters

Хотя бы решение переводить не придется. К счастью, язык математики на весь мир один.

Кстати, эту задачу мы решили через equation (уравнение).

Перед новым набором слов предлагаем посмотреть видео.

Читай также

7 лексических игр на уроках английского

Набор слов: математика на английском

Вот вы немного отдохнули. Если это можно так назвать. Теперь возвращаемся к хардкору. Продвинутый словарь по теме «математика на английском». В нем новые слова и несколько из тех, что уже проскакивали в статье. Повторение — мать учения.

• Adjacent примыкающий
• Algorithm алгоритм
• Angle bisector биссектриса угла
• Annulus кольцо
• Array множество
• Asymmetry асимметрия
• Axes оси симметрии
• Azimuth азимут
• Base основание
• Basis основа, базис
• Bias наклон
• Binary бинарный
• Binomial двучлен
• Bounds границы
• Calculate подсчитывать
• Centroid центроид
• Circumcenter центр окружности
• Classify классифицировать
• Cluster кластер
• Coefficient коэффициент
• Coincident совпадающий
• Column столбец
• Common общий
• Complex number сложное число
• Composition произведение
• Compounding компаудирование
• Concave вогнутый
• Congruent конгруэнтный
• Conjugate сопряженный
• Constant константа, постоянный
• Converge сходиться в точке
• Convex выпуклый
• Coordinates координаты
• Correlation корреляция
• Cosine косинус
• Cot (cotangent) котангенс
• Curvature кривизна
• Curve кривой
• Decimal десятичный
• Degree градус
• Density плотность
• Diagonal диагональ
• Diameter диаметр
• Difference разница
• Digit цифра
• Discriminant дискриминант
• Distance расстояние
• Divide делить
• Dot точка
• Edge край, ребро
• Equal равный
• Equality равенство
• Equation уравнение
• Error ошибка
• Evaluate оценивать
• Expand расширять, расширяться
• Exponent экспонент
• Expression выражение
• Flat плоский
• Formula формула
• Fraction доля
• Frequency частота
• Function функция
• Geometric progression геометрическая прогрессия
• Graph график
• Grid сетка
• Gross валовой
• Horizontal горизонтальный
• Hyperbola гипербола
• Hypothesis гипотеза
• Increase увеличивать
• Indeterminate неопределенный
• Infinite бесконечный
• Infinity бесконечность
• Interest процент
• Intersect пересекаться
• Interval интервал
• Inverse обратный
• Isosceles равнобедренный
• Latitude обширность
• Law закон
• Limit предел
• Line линия, линейный
• Logarithm логарифм
• Majority большинство
• Measure мера, измерять
• Median медиана
• Minute минута (угла)
• Model модель
• Negative отрицательный
• Net чистый (нетто)
• Number число
• Oblique наклонный
• Odd нечетный
• Operation действие, операция
• Opposite противоположный
• Ordinate ордината
• Origin начало
• Outcome исход, вывод
• Parabola парабола
• Parallel параллель
• Parameter параметр
• Parity паритет
• Pattern паттерн
• Period период
• Periodic периодический
• Perpendicular перпендикуляр
• Plane плоскость
• Positive положительный
• Precision точность
• Prime простое число
• Probability вероятность
• Problem задача
• Proportion пропорция
• Radian радиан
• Radius радиус
• Random случайный
• Range диапазон
• Rate показатель
• Ratio соотношение
• Ray луч
• Real number действительное число
• Reduce сокращать
• Right правый
• Root корень
• Rounding округление
• Row ряд, строка
• Sample пример
• Scalar скалярный
• Scale масштаб
• Sector сектор
• Segment отрезок, сегмент
• Semicircle полукруг
• Sequence последовательность
• Solution решение
• Solve решать
• Square квадрат, квадратный
• Subset подмножество
• Subtract вычесть
• Surd иррациональный
• Surface поверхность
• Table таблица
• Theorem теорема
• Theory теория
• Total всего
• Trajectory траектория
• Unequal неравный
• Vector вектор
• Vertex вершина
• Vertical вертикальный
• Volume объем
• Wave волна
• Zero ноль

И это даже не все термины. Если вы хотите больше математических терминов на английском, их можно найти вот тут. Правда, там без перевода. Слова и объяснения — все на английском.

Это был очень большой набор слов. Его не выучить за день, да и за неделю вряд ли. Поэтому мы советуем сейчас сохранить слова на изучение в персональный словарь и учить по мере возможностей. Чтобы сохранить слово, выделите его мышкой, либо нажмите на него пальцем и подержите. Также советуем скачать наше приложение для изучения английских слов ED Words.

На этом все. Учите английский. Учите математику. Говорите о математике по-английски Don’t worry. Be happy.

EnglishDom #вдохновляемвыучить

Автор

Denis

Рейтинг статьи:

Спасибо, твой голос учтен

Исчисление: пределы – IntoMath

A Предел функции — это значение, к которому функция приближается на определенном входе. Пределы помогают нам определить, является ли функция непрерывной или прерывистой, а также то, как функция ведет себя в определенной области.

 означает, что когда     приближается к 3 слева и справа, значение   приближается к 7.

Прочитайте это как: “предел   при приближении   3 равен 7”

Для непрерывных функций оценка предела очень аналогично простому вычислению функции при определенном значении независимой переменной.

Однако, когда речь идет о прерывистой функции, оценка предела может включать несколько ситуаций, которые необходимо учитывать.

Оценка пределов (алгебраические пределы)

Давайте рассмотрим различные типы функций и научимся вычислять предел с помощью специального уравнения функции.

Пример 1 : Линейная функция

Оценка предела

Пример 2 : Квадратичная функция

Evaluate the limit

Example 3 : Exponential Function

Evaluate the limit

Example 4 : Square Root Function

Evaluate the limit

Ограничение не существует

Это связано с тем, что эта функция существует только после или после (справа) от  .

Пример : Rational Function

Оценить предел

Если мы будем следовать предыдущим примерам, мы получим следующее:

  что дает    

Мы не можем делить на ноль, и приведенный выше результат не имеет смысла.

Вместо этого всегда сначала разлагайте рациональные дроби и упрощайте. Только тогда оцените предел, используя упрощенное выражение функции:

   факторы будут полностью уменьшены

Предел существует в , но функция в этой точке не определена, так как есть ограничение (дырка).

Пределы по графикам

Иногда вас могут попросить определить предел функции по графику функции.

Предел также можно определить, подходя к значению входа слева и справа отдельно.

Рассмотрим следующий график функции f(x) :

Непрерывная :

  потому что функция непрерывна и определена в

---

Скачок Разрыв :

  потому что функция, поступающая слева, приближается к значению 

, поскольку функция поступает справа от функции, принимает значение

  потому что для того, чтобы существовал предел на конкретном входе, выходные значения слева и справа должны быть равны (на пределе получаются разные значения слева и справа)

т. к. слева и справа функция приближается к значению

, так как функция, идущая слева, приближается к значению

---

Бесконечный разрыв : 

, так как функция растягивается вдоль вертикальной асимптоты

, поскольку функция растягивается вдоль

асимптоты по вертикальной асимптоте как слева, так и справа и значение одинаково для обоих пределов

---

Устранимый (Точка) Разрыв :

  поскольку 1 – это значение, к которому функция приближается слева и справа  .

Однако функция определена по адресу 

Потренируйтесь, приняв участие в БЕСПЛАТНОМ ОНЛАЙН-ВИКТОРИНЕ ПО ПРЕДЕЛАМ

Помощь по ограничениям – Уроки Wyzant

Все вычисления основаны на том принципе, что мы всегда можем использовать аппроксимации возрастающей точности, чтобы
найти точный ответ, например, аппроксимируя кривую серией прямых линий
в дифференциальном исчислении (чем короче линии и чем расстояние между точками
приближается к 0, тем больше они напоминают кривую) или аппроксимация
сферического тела серией кубов в интегральном исчислении (как размер
кубов становится меньше и количество кубов приближается к бесконечности внутри сферы,
конечный результат становится ближе к фактической площади сферы).

С помощью современных технологий графики функций часто легко построить.
Основное внимание сосредоточено между геометрической и аналитической информацией и использованием
исчисления как для предсказания, так и для объяснения наблюдаемого локального и долгосрочного поведения
функции. На занятиях по исчислению ограничения обычно являются первой темой, которую вводят.

Чтобы понять работу дифференциального и интегрального исчисления, нам нужно
, чтобы понять концепцию предела. Пределы используются при дифференцировании при нахождении
аппроксимации для
наклона прямой в конкретной точке, а также при интегрировании при нахождении
0152 площадь под кривой. В исчислении пределы вводят компонент бесконечности .
Мы можем спросить себя, что происходит со значением функции, когда независимая переменная
становится бесконечно близкой к определенному значению?

На графике показано нахождение предела зависимой переменной f(x) при приближении
x к c . Способ найти это — подставить значения, которые получают 90 152, близкие к c слева, и значения, близкие к c, справа.

Чтобы еще больше проиллюстрировать концепцию предела, рассмотрим последовательность чисел
x:

.

Эти значения все ближе и ближе к 2 (т.е. они приближаются к 2 как
своему пределу). Мы можем сказать, что независимо от того, какое значение мы рассматриваем, 2 является наименьшим значением
, которое больше любого выхода f(x) в последовательности. Когда мы возьмем
разности этих чисел, они будут становиться все меньше и меньше. В исчислении разница между членами
последовательность и их предел можно сделать бесконечно малыми.

Иногда для нахождения предельного значения выражения достаточно просто подставить
числа.

(1) Найдите предел, когда t приближается к 10 выражения

Мы запишем это, используя предельное обозначение как

В этом примере мы просто подставляем и пишем

Сложности нет, потому что M = 3t + 7 — непрерывная функция, но
бывают случаи, когда мы не можем просто так подставить.

(2) Найдите предел при приближении x к 0

Обратите внимание, что мы не можем просто заменить 0, потому что ^sin(0) ⁄ ₀
не определено и, следовательно, не является непрерывным. Нет алгебраического процесса
, чтобы найти этот предел. Если мы подставим 0 вместо x , мы получим ⁰ ⁄ ₀ ,
, что не определено. Однако существует метод, использующий дифференцирование (см. Правило Лопиталя). Мы можем
найти предел без использования дифференцирования, рассматривая поведение функции
слева и справа от x = 0. Мы можем подставлять значения, которые все ближе и ближе
к 0 слева и справа, чтобы заключить, что

Способ проверить это — построить график и увидеть, что предел по мере приближения x к
равен 1.

Давайте посмотрим на уменьшенное изображение этого изображения и посмотрим на его поведение, когда x
становится бесконечно большим и бесконечно маленьким.

Этот образ кажется знакомым? Если это так, то это потому, что она похожа на функцию
звуковой волны, где ось x — время, а ось y — количество
децибел (громкость). Обратите внимание, что волна спадает в любом направлении, она
приближается к 0, но на самом деле никогда не устанавливается. Интересно подумать, что каждая когда-либо созданная звуковая волна все еще существует и колеблется на бесконечно малом уровне!

(3) Рассмотрим предел, когда x приближается к бесконечности функции f(x)
= ⁵ ⁄ _х

Мы можем обнаружить, что если мы берем все большие и большие значения x , значение дробей
становится все меньше и меньше, пока не приблизится к 0. Мы говорим, что
предел ⁵ ⁄ _x когда x приближается к бесконечности,
равно 0:

(4) Найдите предел этой функции как x приближается к бесконечности.

Для этой функции не очень очевидно, каков предел. Мы могли бы подставлять 90 152 больших и больших значений 90 103 x 90 104, пока не увидим, что происходит (попробуйте 100, затем 90 152 1000, затем 10 000 и так далее). Мы также можем изменить выражение и использовать тот факт
, что предел, когда x приближается к бесконечности ¹ ⁄ _x
, равен 0, чтобы найти предельное значение.

Мы делим все на x , чтобы получить выражение в форме, в которой мы можем вычислить его
.

Обратите внимание, что мы не можем подставить бесконечность в дробь, потому что это не имеет математического смысла (бесконечность не является числом). ⁵ ⁄ _x
и ¹ ⁄ _x переходят к 0 как x приближается к бесконечности,
, поэтому эти значения становятся равными 0. Мы оцениваем предел как ^-1 ⁄ ₂ .

(5) Пределы также могут существовать в точках графика, где выход f(x)
является другим значением.

Мы можем видеть, что хотя график прерывистый, поскольку x = 2, мы знаем, что
существует предел, потому что график приближается к 2 слева и справа.

(6) Рассмотрим функцию f(x)= ¹ ⁄ _x :

Как ведет себя эта функция при увеличении значения x ? Мы можем
увидеть, что график приближается к оси x , высота которой равна 0. Если
вспомнить в предварительном исчислении и алгебре, эта функция будет иметь асимптоту при y
= 0 . Можно сказать, что x приближается к бесконечности, f(x) приближается к
0.

Точно так же мы можем сказать, что когда 90 103 x 90 104 приближается к отрицательной бесконечности, оно также приближается к 90 152 0.

Мы можем заключить, что единица, превышающая бесконечность, и единица, превышающая отрицательную бесконечность, равны
0,

.

На самом деле любое число, превышающее положительную или отрицательную бесконечность, будет сходиться к 0, если не считать 9.0152 и числитель, и знаменатель равны положительной или отрицательной бесконечности, тогда они
будут сходиться к 1.

Имейте в виду, что положительная и отрицательная бесконечность — это просто идей . Это
почему в математических обозначениях мы используем ограничения, чтобы доказать, что число становится бесконечно большим
или маленьким, оно сходится к числу или не сходится вообще!

А как насчет того, когда x приближается к 0? Мы можем видеть, как он приближается к y
ось (x=0) справа становится очень большой, а по мере приближения к оси y
слева становится очень маленькой. Мы можем сделать вывод, что

Поэтому

Это невозможно! Поскольку предел слева и справа разный,
его не существует. Вот почему деление на 0 не определено — оно равно как положительному числу 90 152, так и отрицательной бесконечности!

(7) Вот геометрический пример предела. Давайте посмотрим на многоугольник, вписанный
в окружность. Если мы увеличим количество сторон многоугольника, что мы можем сказать
о многоугольнике по отношению к окружности?

По мере увеличения количества сторон многоугольник становится все ближе и ближе
к становлению кругом. Если мы обобщим многоугольник как n-угольников, , где
n количество сторон, мы можем сделать некоторые математические утверждения о многоугольнике
:

• По мере того, как n становится больше, n-угольник становится ближе к кругу.
• Когда n приближается к бесконечности, n-угольник приближается к окружности.
• Предел n-угольника , когда n уходит в бесконечность, есть окружность.

Мы также можем использовать дифференцирование для решения более сложных пределов, таких как неопределенный
предельный . Это пределы, при которых и числитель, и знаменатель приближаются к
0 или положительной или отрицательной бесконечности, например

.

В пределе слева, когда 90 103 x 90 104 приближается к 3, частное приближается к 90 152 0/0. Непонятно, что делает предел около x = 3. В пределе на
справа, когда x приближается к бесконечности, частное станет ^∞ ⁄ _∞ .
Опять же, не совсем ясно, каким будет предел при стремлении x к бесконечности. Поэтому
эти два предела считаются неопределенными.

Для решения неопределенных пределов см.