Что такое производная?
Где применяется
Немного о твоей будущей зарплате
Попробую объяснить несколько иначе, чем в школе.
Вы заканчиваете школу, поступаете в университет и начинаете подрабатывать:
В первый год после школы вы зарабатываете 0,5 у.е. (условных единиц).
Вы хорошо учитесь, устраиваетесь по специальности или находите свое призвание, и ваши дела постепенно, но идут в гору!
Какой молодец! Заработок растет не по годам, а по часам!
Если посмотреть на этот график внимательнее, то можно увидеть сходство с ветвью параболлы, которая в самом простом случае задается уравнением y = x². Если это понятно, то дальше все проще!
Интересно, а на сколько увеличивался заработок из года в год:
I год: 0,5 − 0 = 0,5 .
II год: 2 − 0,5 = 1,5.
III год: 4,5 − 2 = 2,5.
IV год: 8 − 4,5 = 3,5.
…
Получается, что наш доход каждый год возрастал равномерно. Вот что выйдет, если построить график:
Получается прямая!
То есть все наши старания каждый год были постоянными, достаточно было ежегодно улучшать свой доход на 1 у.
е.
Нетрудно заметить, что график заработка задается уравнением y = 0,5x².
А график увеличения заработка залается прямой y = x − 0,5.
Кто знает толк в производных, скажет «Неверно!». Конечно, производная от 0,5x² не будет равна x − 0,5, и это мы обсудим ближе к концу статьи.
Изменение заработка для нескольких лет
Для того, чтобы посчитать скорость изменения заработка, нужно взять один из «треугольников» с графика, например первый, и разделить длину вертикального катета (Δy) (в данном случае это 12,5 − 8 = 4,5) на длину горизонтального (Δx) (тут он равен 1).
Получится 4,5 / 1 = 4,5.
Таким образом, разделив вертикальный катет на горизонтальный, мы получаем скорость изменения функции, что показывает второй график.
Но как же это все относится к производным?
А так, что производная показывает «скорость» изменения функции!
Функция заработка предсталяет из себя график параболы (график функции) .
В тоже время функция увеличения заработка каждый год представляет прямую (график производной функции).
Однако прежде, чем ты расскажешь это своим друзьям, давай проверим, а если мы возьмем другой треугольник (в этот раз второй).
Вертикальный катет: 24,5 − 18 = 6,5.
Горизонтальный катет: 1.
Разделим: 6,5 / 1 = 6,5 — не сходится с первым треугольником!
А если объединить второй и третий треугольник?
Вертикальный катет: 40,5 − 18 = 22,5.
Горизонтальный катет: 9 − 6 = 3.
Разделим: 22,5 / 3 = 7,5 — опять не сходится!
Какая же тогда производная правильная?
Для того, чтобы верно найти производную, нужно взять как можно меньший горизонтальный катет – максимальное приближение (Δх)!
Сам график задается уравнением y = 0,5x².
Тогда возьмем x₁ = 4 => y₁ = 0,5 × 4² = 8, а при x₂ = 4,001 => y₂ = 0,5 × 4,001² ≈ 8,004.
Получается: Δy = 8,004 − 8 = 0,004, Δх= 4,001 − 4 = 0,001.
Производная: Δy / Δх = 0,004 / 0,001 = 4.
И что же тогда производная?
Производная — это скорость изменения функции при самых маленьких значениях Δх (наименьших значениях горизонтального катета).
Именно поэтому производную и называют тангенсом (отношение противолежащего катета к прилежащему) угла наклона этой функции.
Если же мы посчитаем производную для каждой точки, получится такой график функции:
А это уже похоже на правду!
Производная от y = 0,5x² будет равна y = х (именно такой график получился у нас).
Погрешность в данном графике вызвана плохим приближением по оси х (в данном случае Δх = 1), из-за чего появляется неточность.
Конечно, можно не делать такое большое количество действий, проверяя точки.
Есть готовые формулы для базовых функций, пользуйтесь ими, если хотите облегчить себе жизнь.
Выводы:
- Производные встречаются почти во всех областях: от медицины до финансов, по сути дела производная, показывая скорость изменения функции, предсказывает дальнейшее поведение функции.
- Представьте матрешку, так же как в каждой матрешке внутри есть следующая, так и функция скрывает в себе производную.
У каждой функции есть своя производная функции. Так же можно брать от производной функции еще одну производную и повторять действие до бесконечности. - Производная функции показывает скорость изменения самой функции. Так же, как у вас есть родители и предки (предыдущии поколения), которые вам передали какие-то отличительные особенности, так и у функции есть производная, которая передает ей скорость ее изменения.
У каждой функции есть своя производная функции. Так же можно брать от производной функции еще одну производную и повторять действие до бесконечности. Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
Понятие производной функции и ее применение
- Филипова Елена Константиновна, учитель математики МБОУ-лицей г. Владикавказ
Разделы: Математика
Ключевые слова: производная функции, математический анализ
На сегодняшний день производная является одним из базовых математических понятий, которое используется при решении огромного множества различных задач по физики, математики и в других областях.
Тематическая рубрика: Средняя школа, СПО.
История возникновения формулы производной начинается ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос – на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия – применяет её в своих трудах. Формула производной часто встречается в работах известных математиков 17 века. Её применяют Ньютон и Лейбниц.
Русский термин «производная функции» впервые употребил русский математик В.И.Висковатов (1780-1812).
Обозначение приращения (аргумента/функции) греческой буквой Δ (дельта) впервые употребил швейцарский математик и механик Иоганн Бернулли (1667-1748). Манера обозначать производную по времени точкой над буквой – x – идёт от английского математика, механика и физика Исаака Ньютона (1642-1727). Краткое обозначение производной штрихом – 
Символ частной производной ∂/∂x активно применял в своих работах немецкий математик Карл Г.Я.Якоби (1805-1051), а затем выдающийся немецкий математик Карл Т.В.Вейерштрасс (1815-1897), хотя это обозначение уже встречалось ранее в одной из работ французского математика А.М.Лежандра (1752-1833). Символ дифференциального оператора ∇ придумал выдающийся ирландский математик, механик и физик У.Р.Гамильтон (1805-1865) в 1853 году, а название «набла» предложил английский ученый-самоучка, инженер, математик и физик Оливер Хевисайд (1850-1925) в 1892 году.
Английский учёный И.Ньютон в 1666 году разработал теорию производных, названую дифференциальным исчислением, которая заключалась в том, что аргумент функции был рассмотрен в качестве времени, где функция времени – флюента, то есть текущая величина, а её производная рассматривалась как скорость течения, изменения функции и была названа флюксией.С 17 по середину 19 века математики были уверенны, что любая непрерывная функция имеет производную.
Касаемо обозначения производной, математиками постепенно были предложены разнообразные варианты, например, Л.Эйлер (1707-1783) в середине 18 века предложил при обозначении приращения переменной величины пользоваться греческой буквой ∆, то есть
Список литературы
- Выготский М.Я. Справочник по элементарной математики// М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954 г. с/ 412.
- Виленкин, Н.Я. Задачник по курсу математического анализа: учеб. пособие для пед. ин-тов в 2 ч. Ч. 1 // М.: Просвещение, 1971. С. З43.
- Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: в 2 ч. Ч.1 // М.: Айрис-пресс, 2011. С. 288.
- Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа: в 2 ч. Ч.1// СПб: Лань, 2001. с. 448.
с/ 412.
2.6 Скорость изменения и производная – методы исчисления 1
Скорость изменения и производная
Когда мы введем понятие производной функции, мы увидим, что оно связано с известными понятиями из алгебры, такими как наклон и скорость изменения.
Нас часто интересует скорость изменений, таких как изменение численности населения, изменение концентрации лекарства в кровотоке, изменение дохода компании, изменение скорости автомобиля и т. д.
Следующий пример позволяет нам исследовать скорость изменения скорости падающего объекта.
Предположим, мы роняем помидор с крыши 100-футового здания и измеряем время его падения.
Рисунок 2.48 Подробное описание: Каждая точка имеет измерение времени в секундах, соответственно как 0, 0,5, 1,0, 1,5, 2 и 2,5.
На некоторые вопросы легко ответить прямо из таблицы:
- Сколько времени потребовалось помидору, чтобы упасть на 100 футов? (2,5 секунды)
- На какое расстояние упал помидор за первую секунду? (100 – 84 = 16 футов)
- На какое расстояние упал помидор за последнюю секунду? (64 – 0 = 64 фута)
- Как далеко помидор упал между [латекс]t = 0,5[/латекс] и [латекс]t = 1[/латекс]? (96 – 84 = 12 футов)
Некоторые вопросы требуют небольшого расчета:
- Какова была средняя скорость помидора во время его падения? \[\text{Средняя скорость}=\frac{\text{расстояние падения}}{\text{общее время}}=\frac{\Delta\text{позиция}}{\Delta\text{время}}=\ frac{-100 \text{ ft}}{2. 5 \text{ s}}=-40 \text{ ft/s}\]
- Какова была средняя скорость между [latex]t=1[/latex] и [latex]t=2[/latex] секундами? \[\text{Средняя скорость}=\frac{\Delta\text{позиция}}{\Delta\text{время}}=\frac{36\text{фут}- 84\text{фут}}{2\ text{ s} – 1\text{ s}}=\frac{-48 \text{ ft}}{1 \text{ s}}=-48 \text{ ft/s}\]
5 \text{ s}}=-40 \text{ ft/s}\]Некоторые вопросы сложнее:
- С какой скоростью падал помидор через 1 секунду после падения? Этот вопрос существенно отличается от двух предыдущих вопросов о средней скорости. Здесь мы хотим мгновенная скорость , скорость в момент времени. К сожалению, помидор не оснащен спидометром, поэтому нам придется дать приблизительный ответ. Одно грубое приближение мгновенной скорости через 1 секунду — это просто средняя скорость за все время падения, -40 футов/с. Но помидор падал медленно в начале и быстро ближе к концу, поэтому оценка «-40 футов/с» может быть или не быть хорошим ответом. Мы можем получить лучшее приближение мгновенной скорости при [латексе]t=1[ /latex] путем вычисления средних скоростей за короткий промежуток времени вблизи [latex]t = 1[/latex].
В целом, чем короче временной интервал, для которого мы вычисляем среднюю скорость, тем лучше средняя скорость будет аппроксимировать мгновенную скорость. Средняя скорость за интервал времени равна [latex]\dfrac{\Delta\text{position}}{\Delta\text{time}}[/latex], что представляет собой наклон секущей через две точки на график зависимости высоты от времени. Мгновенная скорость в определенное время и на определенной высоте представляет собой наклон касательной
49 Подробное описание: На горизонтальной оси указано время в секундах. Вертикальная ось обозначена как высота в футах. Линия касается кривой в точке (0,5, 96) с меткой m = -24 фута/с. Пунктирная касательная показана в точке (1.0, 84) с меткой m = -40 ft/s.
Средняя против мгновенной скорости
Средняя скорость = [латекс]\dfrac{\Delta\text{position}}{\Delta\text{время}}[/latex] = наклон секущей через 2 точки.
Мгновенная скорость = наклон касательной к графику.
Растущие бактерии
Предположим, мы настроили машину для подсчета количества бактерий, растущих на чашке Петри. Сначала бактерий мало, поэтому популяция растет медленно. Затем нужно разделить больше бактерий, чтобы популяция росла быстрее. Позже для растущей популяции становится больше бактерий и меньше места и питательных веществ, поэтому популяция снова растет медленно. Наконец, бактерии израсходовали большую часть питательных веществ, и их популяция сокращается по мере того, как бактерии умирают.
Рисунок 2.50
Подробное описание: пик кривой приходится приблизительно на (13, 5). Кривая помечена как бактерии. Горизонтальная ось простирается от 0 до 20 со временем метки в днях. Вертикальная ось простирается от 0 до 5 с количеством меток в тысячах.
График населения можно использовать для ответа на ряд вопросов.
- Какова популяция бактерий в момент времени [latex]t = 3[/latex] дней? Судя по графику, в момент времени [latex]t = 3[/latex] популяция составляет около 0,5 тысячи, или 500 бактерий.
- Каков прирост населения от [latex]t = 3[/latex] до [latex]t =10[/latex] дней? При [latex]t = 10[/latex] население составляет около 4,5 тысяч, поэтому прирост составляет около 4000 бактерий.
- Какова скорость роста населения от [латекс]t = 3[/латекс] до [латекс]t = 10[/латекс] дней?Скорость роста от [латекс]t = 3[/латекс] до [latex]t = 10[/latex] — среднее изменение численности населения за это время:
\[ \begin{align*}
\text{среднее изменение численности населения }=& \frac{\text{изменение численности населения} }{\text{изменение во времени}}\\
=& \frac{\Delta\text{население}}{\Delta\text{время}} \\
=& \frac{4000\text{ бактерии}}{7\text{ дней}} \\
\ приблизительно 570\text{ бактерий/день}.
\end{align*} \]Это наклон секущей, проходящей через две точки (3, 500) и (10, 4500). - Какова скорость прироста населения на третий день при [latex]t = 3[/latex]? Этот вопрос касается мгновенной скорости изменения населения, наклон линии которой равен касательной к кривой населения в точке (3, 500). Если мы нарисуем линию, приблизительно касательную к кривой в точке (3, 500), и выберем две точки рядом с концами отрезка касательной, мы можем оценить, что мгновенная скорость роста популяции составляет примерно 320 бактерий/день.
Подробное описание: Пик кривой приходится приблизительно на (13, 5). Кривая помечена как бактерии. Горизонтальная ось простирается от 0 до 20 со временем метки в днях. Вертикальная ось простирается от 0 до 5 с количеством меток в тысячах. Показана касательная, проходящая через (3, 500) с меткой касательной m = 320/день. Секущая проходит через точки (3, 500) и (10, 4500) с меткой секущей m = 570/сут.
Касательные линии
Попробуйте это!
График ниже представляет собой график [латекс]у=f(х)[/латекс]. Мы хотим найти наклон касательной в точке (1, 2).
Рисунок 2.52Подробное описание: График начинается с (1, 0) и увеличивается до максимума в (0,8, 2,1). Затем график уменьшается и достигает минимума в точке (2, -1), а затем график увеличивается до точки (2,6, 0,3).
Сначала проведите секущую между (1, 2) и (2, −1) и вычислите ее наклон. Примечание: секущая линия — это прямая линия, соединяющая две точки на кривой. Теперь нарисуйте секущую линию между (1, 2) и (1,5, 1) и вычислите ее наклон.
Сравните две нарисованные линии. Что было бы лучшим приближением касательной к кривой в точке (1, 2)?
Теперь проведите секущую между (1, 2) и (1,3, 1,5) и вычислите ее наклон. Является ли эта линия еще лучшим приближением касательной?
Теперь нарисуйте касательную и измерьте ее наклон. Вы видите закономерность на склонах?
Вы должны были заметить, что по мере того, как интервал становился все меньше и меньше, секущая становилась ближе к касательной, а ее наклон приближался к наклону касательной.
Это хорошая новость — мы знаем, как найти наклон секущей.
В некоторых приложениях нам нужно знать, где график функции [latex]f(x)[/latex] имеет горизонтальные касательные линии (наклоны = 0).
Пример 1
Ниже приведен график [латекс]у = г(х)[/латекс]. При каких значениях [latex]x[/latex] график [latex]g(x)[/latex] имеет горизонтальные касательные?
Рисунок 2.53
Подробное описание: График уменьшается, затем увеличивается, затем уменьшается, затем увеличивается, затем уменьшается.
2[/латекс] в точке (2,4).
Мы могли бы оценить наклон [latex]L[/latex] по графику, но не будем. Вместо этого мы воспользуемся идеей, что секущие через крошечные промежутки приближаются к касательной.
Рис. 2.54 (a) Подробное описание: ось x проходит от -1 до 3, а ось y проходит от 0 до 10. Показана касательная, проходящая через (2, 4). Показана секущая, проходящая через (2, 4) и (3, 9) с меткой m = 5.
Мы видим, что линия, проходящая через (2,4) и (3,9) на графике [latex]f[/latex] является аппроксимацией наклона касательной, и мы можем вычислить этот наклон точно : [латекс] м = \ гидроразрыва {\ Delta y} {\ Delta x} = \ гидроразрыва {9-4} {3-2} = 5 [/латекс]. Но [latex]m = 5[/latex] — это всего лишь оценка наклона касательной, а не очень хорошая оценка. Это слишком большое. Мы можем получить лучшую оценку, выбрав вторую точку на графике [latex]f[/latex], которая ближе к (2,4) — точка (2,4) фиксирована и должна быть одной из точек мы используем.
Из второго рисунка видно, что наклон линии, проходящей через точки (2,4) и (2,5,6,25), является лучшим приближением наклона касательной в точках (2,4): [латекс ]m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6,25 – 4}{2,5 – 2} = \frac{2,25}{0,5} = 4,5[/latex], лучшая оценка, но все же приближение. Мы можем продолжать выбирать точки все ближе и ближе к (2,4) на графике [latex]f[/latex], а затем вычислять наклоны линий через каждую из этих точек и точку (2,4): 92[/латекс]
2[/латекс], наклоны линий, проходящих через точки и (2,4), становятся лучше. аппроксимации наклона касательной, и эти наклоны все ближе и ближе к 4,92 \справа)[/латекс]. По мере того, как [latex]h[/latex] становится все меньше и меньше, этот наклон приближается к наклону касательной к графику [latex]f[/latex] в точке (2,4). Более формально мы могли бы написать: \ [\text{Наклон касательной} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{h\to 0} (4+h). \]Мы можем легко вычислить этот предел с помощью прямой подстановки, обнаружив, что по мере того, как интервал [latex]h[/latex] сжимается до 0, наклон секущей приближается к наклону касательной, 4.
Задача касательной прямой и мгновенная проблема скорости – это та же проблема. В каждой задаче мы хотели знать, насколько быстро что-то было меняется в момент времени , и ответом оказалось нахождение наклона касательной , которую мы аппроксимировали наклоном секущей .
Эта идея является ключом к определению наклона кривой.
Производная
Мы можем рассматривать производную по-разному. Вот три из них:
- Производная функции [latex]f[/latex] в точке (x, f(x)) представляет собой мгновенную скорость изменения.
- Производная — это наклон касательной к графику [latex]f[/latex] в точке [latex](x, f(x))[/latex].
- Производная — это наклон кривой [latex]f(x)[/latex] в точке [latex](x, f(x))[/latex].
Функция называется дифференцируемой в [латекс](х, f(х))[/латекс], если ее производная существует в [латекс](х, f(х))[/латекс].
Обозначение производной
Производная [латекс]у = f(x)[/латекс] по отношению к [латекс]х[/латекс] записывается как \[f'(x)\] ( читать вслух как «[latex]f[/latex] prime of [latex]x[/latex]») или \[y’\] (читать вслух как «почему Prime») или \[\frac{dy}{ dx}\] (читается вслух как «ди почему ди экс») или \[\frac{df}{dx}.\]
Обозначение, похожее на дробь, называется Обозначение Лейбница .
Он отображает не только имя функции ([latex]f[/latex] или [latex]y[/latex]), но и имя переменной (в данном случае [latex]x[/latex]) . Это похоже на дробь, потому что производная — это наклон. На самом деле это просто [латекс]\frac{\Delta y}{\Delta x}[/latex], написанное латинскими буквами, а не греческими.
Глагольные формы
Мы находим производную функции, или взять производную функции, или продифференцировать функцию.
Мы используем адаптацию нотации [latex]\frac{df}{dx}[/latex] для обозначения «найти производную от [latex]f(x)[/latex]:» \[\frac{d }{dx}\left[f(x)\right]=\frac{df}{dx}.\] [В книге используются круглые скобки вместо квадратных скобок — обе формы записи допустимы.]
Формальная алгебраическая Определение
\[f'(x)=\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\]
Практическое определение
Производную можно аппроксимировать, глядя на среднюю скорость изменения или наклон секущей на очень маленьком интервале.
Чем меньше интервал, тем ближе он к истинной мгновенной скорости изменения, наклону касательной или наклону кривой.
Заглядывая вперед
Скоро у нас будут методы для вычисления точных значений производных по формулам. Если функция дана вам в виде таблицы или графика, вам все равно придется аппроксимировать таким образом.
Это основа нашего обсуждения деривативов. Примечательно, что такая простая идея (наклон касательной) и такое простое определение (для производной [латекс]f'(x)[/латекс]) приведут к столь многим важным идеям и приложениям.
Пример 3
Найдите наклон касательной к [latex]f(x)=\frac{1}{x}[/latex] при [latex]x = 3[/latex].
Наклон касательной представляет собой значение производной [latex]f'(3)[/latex]. [latex]f(3)=\frac{1}{3}[/latex] и [latex]f(3+h)=\frac{1}{3+h}[/latex], поэтому, используя формальное предельное определение производной, \[ f'(3)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\lim\limits_{h \to 0}\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{1}{3}}{h}.
\]
Мы можем упростить, приведя дроби к общему знаменателю:
\[ \begin{align*}
\lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3+h}-\frac{ 1}{3}}{h}=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{1}{3+h}\cdot\frac{3}{3}-\frac{1} {3}\cdot\frac{3+h}{3+h}}{h} \\
=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{3}{9+3h}- \frac{3+h}{9+3h}}{h} \\
=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{3-(3+h)}{9+3h} }{h} \\
=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{\frac{3-3-h}{9+3h}}{h} \\
=& \lim\limits_{ ч \ до 0} \ гидроразрыва {\ гидроразрыва {-ч} {9+3h}}{h} \\
=& \lim\limits_{h\to 0}\frac{-h}{9+3h}\cdot\frac{1}{h} \\
=& \lim \limits_{h\to 0}\frac{-1}{9+3h} \\
\end{align*} \] и оценка с использованием прямой замены: \[\lim\limits_{h\to 0}\ frac{-1}{9+3h}=\frac{-1}{9+3(0)}=-\frac{1}{9}.\]
Таким образом, наклон касательной к [ латекс]f(x)=\frac{1}{x}[/latex] при [latex]x = 3[/latex] равно [latex]-\frac{1}{9}[/latex].
Производная как функция
Теперь мы знаем, как найти (или хотя бы приблизительно) производную функции для любого [latex]x[/latex]-значения; это означает, что мы также можем думать о производной как о функции.
Входные данные те же самые [latex]x[/latex]; вывод представляет собой значение производной при этом значении [latex]x[/latex].
Пример 4
Ниже приведен график функции [latex]y=f(x)[/latex]. Мы можем использовать информацию на графике, чтобы заполнить таблицу со значениями [latex]f'(x):[/latex]
Рисунок 2.57 -ось простирается от 0 до 2. Максимум достигается в (1,1), а минимум достигается в (3, -1).
При различных значениях [latex]x[/latex] нарисуйте наиболее приближенную линию касательной и измерьте ее наклон. Возможно, вам придется расширить свои линии, чтобы вы могли прочитать некоторые моменты. В общем, ваша оценка наклона будет лучше, если вы выберете точки, которые легко читаются и находятся далеко друг от друга. Вот оценки для нескольких значений [latex]x[/latex] (части используемых касательных линий показаны выше на графике):
| [латекс]х[/латекс] | [латекс]y=f(x)[/латекс] | [latex]f'(x)=[/latex] расчетный наклон касательной к кривой в точке [latex](x,y)[/latex]. |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | -1 |
| 3 | -1 | 0 |
| 3,5 | 0 | 2 |
Мы также можем оценить значения [латекс]f'(x)[/латекс] при некоторых нецелочисленных значениях [латекс]х[/латекс]: [латекс]f'(0,5) \приблизительно 0,5[/латекс] и [латекс]f'(1,3) \приблизительно -0,3[/латекс].
Мы можем думать даже о целых интервалах. Например, если [латекс]0 \lt x \lt 1[/латекс], то [латекс]f(x)[/латекс] возрастает, все наклоны положительны, и поэтому [латекс]f'(x) [/латекс] положительный.
Значения [latex]f'(x)[/latex] определенно зависят от значений [latex]x[/latex], а [latex]f'(x)[/latex] является функцией [ латекс]х[/латекс]. Мы можем использовать результаты в таблице, чтобы набросать график [latex]f'(x).
[/latex]
Подробное описание: ось x простирается от 0 до 5, а ось y простирается от -1 до 2. Метка на графике m(x) = наклон f(x).
Пример 5
Показан график высоты [латекс]h(t)[/латекс] ракеты в момент времени [латекс]t[/латекс].
Рис. 2.59 Подробное описание: Ось X простирается от 0 до 10 и помечена как время в секундах. Вертикальная ось простирается от 0 до 300 и отмечена высотой в футах. График начинается с (0, 0) и достигает максимума в (5, 300), а затем уменьшается.
Нарисуйте график скорости ракеты в момент времени [latex]t[/latex]. (Скорость — это производная функции высоты, поэтому она представляет собой наклон касательной к графику положения или высоты.) Мы можем оценить наклон функции в нескольких точках. На нижнем графике ниже показана скорость ракеты. Это [латекс]v(t) = h'(t)[/латекс].
Подробное описание: Верхний график показывает, что сначала увеличивается, а затем уменьшается.
Ось X простирается от 0 до 10. Вертикальная ось проходит от 0 до 300 и обозначается как рост в футах. График начинается с (0, 0) и достигает максимума в (5, 300), а затем уменьшается. На нижнем графике показана убывающая линия, проходящая через (5, 0). Вертикальная ось отмечена как скорость в футах в секунду. 92-4h}{h} \qquad \text{(Теперь упростим.)}\\
=& \lim\limits_{h\to 0} \frac{h(4x+2h-4)}{h} \qquad \text{(Убрать h, затем отменить.)} \\
=& \lim\limits_{h\to 0} (4x+2h-4)
\end{align*} \]
Мы можем найти предел этого выражения прямой подстановкой: \[ f'(x)=\lim\limits_{h\to 0} (4x+2h-4)=4x-4\]
Обратите внимание, что производная зависит от [латекс] x,[/latex] и что эта формула сообщит нам наклон касательной к [latex]f[/latex] при любом значении [latex]x[/latex]. Например, если бы мы хотели узнать наклон касательной [латекс]f[/латекс] при [латекс]х = 3[/латекс], мы просто вычислили бы: [латекс]f'(3)=4(3) -4=8[/латекс].
Формула для производной функции очень мощная, но, как вы видите, вычисление производной с использованием определения предела занимает очень много времени.
В следующем разделе мы определим некоторые шаблоны, которые позволят нам начать создавать набор правил для поиска производных без необходимости определения предела.
Интерпретация производной
До сих пор мы подчеркивали производную как наклон линии, касательной к графику. Эта интерпретация очень наглядна и полезна при изучении графика функции, и мы продолжим ее использовать. Однако производные используются в самых разных областях и приложениях, и в некоторых из этих областей используются другие интерпретации. Ниже приведены несколько интерпретаций производной, которые обычно используются.
Общее
Скорость изменения: [latex]f ‘(x)[/latex] — это скорость изменения функции в [latex]x[/latex]. Если единицами для [latex]x[/latex] являются годы, а единицами для [latex]f(x)[/latex] являются люди, то единицы для [latex]\frac{df}{dx}[/latex ] представляют собой [латекс]\frac{\text{люди}}{\text{год}}[/латекс], скорость изменения численности населения.
Графический
Наклон: [латекс]f ‘(x)[/латекс] — это наклон прямой, касательной к графику [латекс]f[/латекс] в точке [латекс]( х, f(x))[/латекс] .
Физическая
Скорость: Если [latex]f(x)[/latex] — это положение объекта в момент времени [latex]x[/latex], то [latex]f ‘(x)[/latex] ] — это скорость объекта в момент времени [latex]x[/latex]. Если единицами измерения [latex]x[/latex] являются часы, а [latex]f(x)[/latex] — расстояние, измеренное в милях, то единицы измерения для [latex]f ‘(x) = \frac{df} {dx}[/latex] — [латекс]\frac{\text{миль}}{\текст{час}}[/латекс], миль в час, что является мерой скорости.
Ускорение: если [latex]f(x)[/latex] — это скорость объекта в момент времени [latex]x[/latex], то [latex]f ‘(x)[/latex] — это ускорение объекта в момент времени [latex]x[/latex]. Если единицами измерения для [латекс]х[/латекс] являются часы, а [латекс]f(х)[/латекс] имеет единицы измерения [латекс]\фракция{\текст{мили}}{\текст{час}}[ /латекс], то единицы измерения ускорения [латекс]f ‘(x) = \frac{df}{dx}[/latex] равны [латекс]\frac{\text{мили/час}}{\text{ час}} =\frac{\text{миль}}{\текст{час}^2}[/латекс], мили в час в час.
Бизнес
Предельные затраты, предельный доход и предельная прибыль. Мы рассмотрим эти термины более подробно позже в этом разделе. По сути, предельные издержки равны примерно дополнительным затратам на создание еще одного объекта после того, как мы уже создали [латекс]x[/латекс] объектов. Если единицами измерения [латекс]x[/латекс] являются велосипеды, а единицами измерения [латекс]f(x)[/латекс] являются доллары, то единицы измерения [латекс]f ‘(x) = \frac{df} {dx}[/latex] равны [латекс]\frac{\text{доллары}}{\text{велосипед}}[/латекс], стоимость одного велосипеда.
В контексте бизнеса слово « предельный » обычно означает производную или скорость изменения некоторой величины.
Одной из сильных сторон исчисления является то, что оно обеспечивает единство и экономию идей среди различных приложений. Словарь и задачи могут быть разными, но идеи и даже обозначения исчисления по-прежнему полезны.
Пример 7
Предположим, что кривая спроса на виджеты имеет вид [latex]D(p)=\frac{1}{p}[/latex], где [latex]D[/latex] — количество виджетов тысячами по цене [латекс]п[/латекс] долларов.
Интерпретируйте производную от [latex]D[/latex] по адресу [latex]p =[/latex]$3.
Обратите внимание, что мы рассчитали [латекс]D'(3)[/латекс] ранее как [латекс]D'(3)=-\frac{1}{9}\приблизительно -0,111[/латекс].
Поскольку [latex]D[/latex] имеет единицы тысячи виджетов
, а единицы для [latex]p[/latex] — это цены в долларах, единицы для [latex]D'[/latex] будут [ латекс]\frac{\text{тысячи виджетов}}{\text{стоимость в долларах}}[/latex]. Другими словами, он показывает, как изменится спрос при повышении цены.
В частности, [латекс]D'(3)\приблизительно -0,111[/латекс] говорит нам, что при цене 3 доллара спрос будет уменьшают примерно на 0,111 тыс. штук на каждый доллар увеличения цены.
онлайн-книга по исчислению
Глава 8. Понимание производнойГлава 8. Понимание производной
- Раздел 8.1 — Использование первой производной
- Раздел 8.2 — Использование второй производной
- Раздел 8.3 – Систематическое использование производных финансовых инструментов
Раздел 8.
1. Использование первой производнойВ этой главе мы подробно рассмотрим посмотрите на определение производной и ее связь с ее антипроизводная. Мы увидим, каким может быть график антипроизводной. точно описать, просто взглянув только на производную функцию.
Из определения производной, является производной от функция . Производная функции говорит нам, насколько быстро f изменяется относительно независимой переменной x. Таким образом, производная относится в частности, скорость изменения антипроизводной функции по отношению к Икс. Скорость изменения также является синонимом наклона касательной к график в определенной точке.
Таким образом, функция и ее производная тесно связаны и
знание только производной может многое сказать нам о поведении ее
антипроизводная. Поскольку производная функции получается из
определение производной как: , мы можем работать с определением, чтобы найти антипроизводную
когда известна только производная. Вспомните также, как дифференциация основана на
процесс ограничения или вычитания и деления; поэтому работает в обратном направлении
сказал бы нам, что мы должны складывать и умножать.
Мы будем развивать это позже, однако, давайте сначала посмотрим, как мы можем использовать f(x) для получения точек равновесия на графике антипроизводная или f(x).
точек равновесия определение, точки на графике относятся к статическим ситуациям где скорость изменения равна нулю. Таким образом, изменение независимой переменной не приводит к изменению зависимой переменной. Состояние равновесия в целом возникает, когда ситуация достигает критического максимального значения, а затем снижается или когда ситуация достигла критического минимального значения, затем увеличивается.
Равновесие и критические значения функция может относиться к разным вещам в зависимости от того, какие явления изучал. Поэтому ограничимся геометрической интерпретацией равновесия как точки на графике, где скорость изменения равна нулю. Поскольку скорость изменения равна нулю, касательная к графику в этой точке будет быть горизонтальной линией.
Горизонтальная касательная говорит нам, что
значение производной в точке равновесия равно нулю.
Такие ситуации случаются
когда график достигает максимального или минимального значения.
Также может существовать горизонтальная касательная, но не обязательно, когда изменяется вогнутость графика.
Изменение вогнутости происходит на точки на графике называются перегиба точки. Как мы вскоре узнаем, значение производной на перегибе не изменяется. должны быть равны нулю. Поэтому мы ограничим наше определение равновесия точек для отображения максимальных или минимальных значений на графике.
Например, чтобы найти равновесие баллы за функцию, . нам сначала нужно дифференцировать его, чтобы получить, . производная, , сообщает нам мгновенную скорость изменение функции, , в любой точке х. Так как мы хотим найти точки, где скорость изменения f(x) равно нулю, нам нужно набор равным нулю, чтобы найти те значения x, которые удовлетворяют уравнению, . Делая это для результат:
Это говорит нам о том, что и при x=0, и при x=2/3 существует точка равновесия, что подтверждается графиком функция,
Наличие
найдены критические точки, как мы можем классифицировать их как максимумы или
минимумы? Очевидно, это можно сделать, просто взглянув на график , но цель этой главы состоит в том, чтобы понять, как использовать только
производная, приблизить
поведение функции .
Чтобы определить, являются ли наши точки равновесия либо
максимум или минимум нам нужно оценить точки слева и справа от
точки равновесия, чтобы определить, где функция, , увеличивается или уменьшается.
Минимум определяется как нижняя часть U-образного или вогнутого вверх графика. Если график вогнутый, то наклон или скорость изменения положительны. справа от точки равновесия, а функция возрастает справа от эта точка. Слева от точки равновесия наклон отрицателен, что означает, что функция убывает до он достигает точки равновесия. Чтобы лучше понять это, посмотрите на следующий график вогнутой части графика. Обратите внимание, как функция снижается, пока не достигнет точки равновесия, а после ее прохождения возрастает.
Аналогично, если скорость изменения были отрицательными на
с правой стороны и положительным с левой стороны точки равновесия, то получим
перевернутый U-образный или вогнутый вниз график. Таким образом, вогнутый вниз график отражает
максимальное значение в точке равновесия.