Что такое производная функция: Производная функции – геометрический смысл и правила дифференцирования

Содержание

Что такое производная

Производная – главнейшее понятие математического анализа. Она характеризует изменение функции аргумента x в некоторой точке. При этом и сама производная является функцией от аргумента x

Производной функции в точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

То есть,

         (1)

Наиболее употребительны следующие обозначения производной:

Пример 1. Пользуясь определением производной, найти производную функции

.

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема её вычисления.

Дадим аргументу приращение (дельта) и найдём приращение функции:

.

Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Вычислим предел этого отношения при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, то есть требуемую в условии задачи производную:

К понятию производной привело изучение Галилео Галилеем закона свободного падения тел, а в более широком смысле – задачи о мгновенной скорости неравномерного прямолинейного движения точки.

Однако движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v падения постоянно возрастает. И средней скорости уже недостаточно для характеристики быстроты движения на различных участках пути. Такая характеристика тем точнее, чем меньше промежуток времени . Поэтому вводится следующее понятие: мгновенной скоростью прямолинейного движения (или скоростью в данный момент времени t) называется предел средней скорости при :

(при условии, что этот предел существует и конечен).

Так выясняется, что мгновенная скорость есть предел отношения приращения функции

s(t) к приращению аргумента t при Это и есть производная, которая в общем виде записывается так:.

.

Решение обозначенной задачи представляет собой физический смысл производной. Итак, производной функции y=f(x) в точке x называется предел (если он существует и конечен) приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю.

Пример 2. Найти производную функции

Решение. Из определения производной вытекает следующая схема для её вычисления.

Шаг 1. Дадим аргументу приращение и найдём

Шаг 2. Найдём приращение функции:

Шаг 3. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

Шаг 4. Вычислим предел этого отношения при , то есть производную:

Касательной к графику функции в точке М называется предельное положение секущей МР при , или, что то же при .

Из определения следует, что для существования касательной достаточно, чтобы существовал предел

,

причём предел равен углу наклона касательной к оси .

Теперь дадим точное определение касательной.

Из этого определения следует, что производная функции равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой

x. В этом состоит геометрический смысл производной:

где – угол наклона касательной к оси абсцисс, т.е. угловой коэффициент касательной.

Пример 3. Найти производную функции и значение этой производной при .

Решение. Воспользуемся схемой, приведённой в примере 1.

Шаг 1.

Шаг 2.

Шаг 3.

Шаг 4.

Выражение под знаком предела не определено при (неопределённость вида 0/0), поэтому преобразуем его, избавившись от иррациональности в числителе и затем сократив дробь:

Найдём значение производной при :

Весь блок “Производная”

Урок 10. определение производной. физический смысл производной – Алгебра и начала математического анализа – 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №10. Определение производной. Физический смысл производной.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Определение производной;

2) Физический смысл производной;

2) Приращение функции;

3) Скорость материальной точки в заданный момент времени по данному закону движения.

Глоссарий по теме

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

Определение.

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Изучая поведение функции y=f(x) около конкретной точки x0, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используют понятия приращений аргумента и функции.

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x

1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)-f(x0) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Δx (читают: дельта икс; Δ — прописная буква греческого алфавита “дельта”; соответствующая строчная буква пишется так: δ). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x1-x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.

f(x1)-f(x0)=Δy, значит, 

Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (1)

Нельзя истолковывать термин “приращение” как “прирост”.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=1,9

Решение:

Δx= x1−x

0=1,9-2=-0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=1,92-22=-0,39

Ответ: Δx=-0,1; Δf =-0,39

Пример 2.

Найдем приращение Δx и Δf в точке x0, если f(x)= x2, x0=2 и х=2,1

Решение:

Δx= x1−x0=2,1-2=0,1

Δf= f(1,9) –f(2)=2,12-22=0,41

Ответ: Δx=0,1; Δf =0,41

Пример 3.

Найдем приращение Δf функции в точке x0,если приращение аргумента равно x0.

Решение:

по формуле (1) находим:

.

Ответ: .

С помощью введенных обозначений приращений удобно также выражать среднюю скорость движения за промежуток времени [t0; t0+∆t]. Если точка движется по прямой и известна ее координата x(t), то

Эта формула верна и для ∆t<0 (для промежутка [t0

+∆t; t0]).

Аналогично выражение называют средней скорость изменения функции на промежутке с концами х0 и х0+∆х.

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение: y’ или f’(x)

Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция называется дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то эта функция дифференцируема на этом промежутке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Схема вычисления производной функции

  1. Найти приращение функции на отрезке [x; x+Δx]:

∆y=y(x+∆x)-y(x)

  1. Разделить приращение функции на приращение аргумента:

  1. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Пример 4.

Вычислить производную функции y=x2

Решение: Используем схему вычисления производной по действиям:

  1. ∆y=y(x+∆x)-y(x)= (х+∆х)²-х²= х²+2х·∆х+ ∆х²-х²= 2х·∆х+ ∆х²

Ответ: y’=2x.

Физический смысл производной: если положение точки при её движении задаётся функцией пути S(t), где t – время движения, то производная функции S есть мгновенная скорость движения в момент времени t: v(t)=S’(t).

Таким образом, скорость – есть производная от пути по времени.

Пример 5.

Точка движется по закону s(t)=1-2t. Найдите среднюю скорость движения за промежуток времени от t=0,8 до t=1.

Решение:

найдем ∆t= 1-0,8=0,2

S(0,8)= 1-2·0,8= -0,6=S(t)

S(1)= 1-2·1= -1=S(t+∆t)

.

Ответ: .

Необходимое и достаточное условие дифференцируемости

Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке x0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке она имела конечную производную. Следствие. Функция, дифференцируемая в точке, непрерывна в этой точке.

Замечание. Дифференциалом dx независимой переменной будем считать приращение Δx, т.е. dx ≡ Δx.

Что такое производная? Геометрический и физический смысл производной

Производная функции − это результат дифференцирования функции.

Дифференцирование в математике — это процесс, при котором функция f превращается в другую функцию f’ (“производная от f”).

Простыми словами, производная — это средний наклон между двумя точками:

Интегрирование — это обратный процесс, т. е. восстановление функции по данной производной.

Например, функция x² (на графике выше) является одним из интегралов от 2x (пунктирная синяя линия), поскольку производная x² равна 2x.

Геометрический смысл производной функции

Производная функции f(x) в данной точке — это наклон касательной f(x) в точке a, как показано на рисунке.

Эта прямая линия образует угол, который на данном рисунке мы назвали β и он зависит от наклона касательной (она является производной в данной точке). Таким образом: tan β = f´(a).

Физический смысл производной функции

Представьте точку, которая движется по прямой с постоянно меняющейся скоростью. Её скорость постоянно меняется, поэтому она рассчитывается в момент “t0”. Для этого нам нужно рассчитать короткий промежуток времени Δt, а расстояние, которое точка пройдёт за это время будет ΔS.

Таким образом её скорость будет примерно ΔS / Δt. Чем меньше промежуток времени Δt, тем точнее будет результат (скорость). Самую точную мгновенную скорость точки в момент t0 можно получить, если рассчитать предел Δt —>0. Таким образом:

Таблица производных функций

Как пользоваться этой таблицей?

Например, производная линейной функции a*x равна константе, стоящей вместе с переменной x, т. е.: (а*x)′ = а.

Или нужно найти производную функции f(x) = 2 cos x:

f’(x) = (2 cos x)’ = 2 (cos x)’ = 2 (– sin x) = –2 sin x

Как найти производную?

Пример 1

f(x) = 6x³

f′(x) = 3 * 6x²

f′(x) = 18x²

Степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1.

Пример 2

f(x) = 3x³ – 5x² + 6x − 5

f'(x) = 3*3x² – 2*5x¹ + 6 − 0

f(x) = 9x² – 10x + 6

Пример 3

f(x) = (x−4) (2x+x²)

Нужно сначала раскрыть скобки:

f(x) = (x−4) (2x+x²)=

f(x) = 2x² − 8x + x³ − 4x²

f(x) = x³ − 2x² − 8x

Теперь можно приступать к поиску производной, как и в предыдущих примерах степень от x спускается и из неё нужно вычесть 1:

f´(x) = (x³ − 2x² − 8x)´=

f´(x) = 3x² − 2*2x¹ − 8 =

f´(x) = 3x² − 4x − 8

Пример 4

f(x) = √x

Переведём сначала корень в степень:

f(x) = x ^ (½)

Теперь можно производить вычисления производной с обычной формулой степеней:

f´(x) = ½ * x ^ (½ – 1)

f´(x) = ½ * x ^ (– ½)

f´(x) = ½ * (1/√x)

Можно остановиться здесь, но бывает, что ответ с корнем в знаменателе не считается совсем правильным, поэтому умножаем всю вторую дробь на “√x/√x”.

(1/√x) * (√x/√x) = √x/x

Значит правильный и “красивый” ответ:

f´(x) = ½ * (√x/x)

Пример 5

f(x) = sin x − cos x

Из таблицы мы знаем:

(sin x)´ = cos x

(cos x)´ = − sin x

Так как это вычитание, осталось только подставить:

f´(x) = (sin x − cos x)´

f´(x) = cos x − (− sin x)

f´(x) = cos x + sin x

Сложные функции — примеры

Правило сложной функции:

(u (v))´ = u´ (v) * v´

Пример

1. Сначала нужно разобраться, что “arctg x” является нашей простой (внутренней) частью функции, это наше “v” формулы.

2. Применяем формулу корня из таблицы в левой части, получится 1/2 √arctg x, оставляя правую нерешённой.

3. Применяем формулу arctg x из таблицы (1/ (1 + x²)).

4. Совмещаем и готово

4.1. Если хотите “красивый” ответ, нужно убрать корень из знаменателя, умножая всю эту дробь на √arctgx / √arctgx.

Получится √arctgx / (2 (1 + x²) arctgx)

Как определить знак производной?

1. Определить точки, в которых производная равна нулю (также называются критическими точками).

2. Начертить таблицу, в которую вставляются все критические точки, а между ними оставляются незаполненными по одному окошку.

3. Выбрать значения x до и после полученного интервала, подставить в производную. Если значение получилось больше нуля, то знак будет плюс, если меньше — минус.

Пример:

y = x² – 6x + 17

Её производная y’ = 2x – 6.

Расчёт критических точек:

y’ = 0

2x – 6 = 0

2x = 6

x = 3

Значит в нашей таблице будет только одна критическая точка x = 3, и оставим место на “до” и “после”.

Далее выбираем любой x сначала меньше 3, а потом больше 3.

1. для x < 3 выбираем, например, x = 1 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(1) = 2 * 1 – 6 = -4 <0, значит в таблицу записываем “–” (это означает, что в этой точке функция убывает).

2. для x > 3 выбираем, например, x = 4 и подставляем в производную y’ = 2x – 6 ⇔ y’(4) = 2 * 4 – 6 = 2 >0, значит в таблицу записываем “+” (это означает, что в этой точке функция возрастает).

x < 3 x = 3 x > 3
0 +

Вторая производная

Можно вычислить и “производную производной”, обозначается она как y’’. Если использовать предыдущий пример:

y = x² – 6x + 17

  • её производная y’ = 2x – 6
  • вторая производная y’’ = (2x – 6)’ = 2

Её физический смысл: это скорость изменения скорости движения точки, которая принадлежит графику функции.

Что такое композиция функций?

Иногда называется сложной функцией.

Сложная функция обычно записывается как (f o g) (x), т. е. можно “изобразить g (x) через f (x)” или наоборот.

Например, даны две функции: f (x) = 2x + 3 и g (x) = – x² + 5.

Требуется узнать (f o g) (x), это означает “f (g (x))”.

Решение:

Нужно подставить в функцию f (вместо x) функцию g

(f o g) (x) = f (g (x)) = f (–x² + 5) = 2 (–x² + 5) + 3 = – 2x² + 10 + 3 = – 2x² + 13

Если нужно узнать (g o f) (x), это “g (f (x))”.

Решение:

(g o f) (x) = g (f (x)) = g (2x + 3) = – (2x + 3)² + 5 = – (4х² + 12x + 9) + 5 = – 4х² – 12x – 9 + 5 = – 4х² – 12x – 4

Узнайте также про Интегралы и Логарифмы.

Производная.Таблица производных. Найти производную функции.

Дифференциальное исчисление было изобретено Ньютоном и Лейбницем в конце \(17\) века. Это дало мощный толчок в развитии математических исследований. Дифференциальное исчисление радикально изменило математику, как в практических, так и в теоретических вопросах. Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

В учебной программе по естественным наукам и технике дифференциальное исчисление образует мост между элементарной математикой, такой как геометрия, алгебра и тригонометрия, векторный анализ и сложные переменные. Сложные переменные выполняют другие обязанности, помимо простого представления своих элементов. Для начала изучения дифференциальное исчисления необходимо знать понятие функции, непрерывной функции и пределов, а также некоторое представление о природе математического доказательства. В ходе курса вы должны быть ознакомлены с теорией кривых, бесконечных рядов, степенных рядов, элементарных функций и других тем, в качестве примеров, к которым может быть применено исчисление.

Дифференциальное исчисление использует определение производной и свободно использует такие понятия, как дифференциал \(dx\), который отличается от конечной разности Δx. Производная может быть записана \(\frac{dy}{dx}\). Символ \(\frac{dy}{dx}\) используется двояко –  как цельный символ производной и как частное дифференциалов.

                                                                                          

В самом определении производной в точке подставим  на \(x:\)

 

\(f'(x_0)=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{f(x_o+Δx)-f(x_0)}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{Δy}{Δx};\)

\(f'(x)=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}=\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{Δy}{Δx};\)

 

 

Итого функция определяется \(y=f(x)\) по закону:

 

\(\lim\limits_{Δx\to 0} \frac{f(x+Δx)}{Δx}\)

в соответствии другой функции \(y’=f'(x)\) , которая называется производной функцией или просто производной.\frac{5}{3}\).

 

Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

 

 

 

 

 

 

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Южно-Российский государственный политехнический университет им. М.И. Платова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-5 классов. Подготовка к школе, работаю с детьми с ОВЗ. В изучении любого предмета придерживаюсь принципа системной последовательности усвоения знаний: от простого к сложному, переход от одной ступени к другой может совершаться лишь тогда, когда хорошо усвоена предыдущая ступень, работаю над умениями применять правила и формулы, готовлю яркие презентации для индивидуальных занятий. Люблю математику, потому что это наука точная, развивает логическое мышление, внимание и память, формирует уверенность в себе, помогает строить алгоритмы не только для решения задач, но и для жизненных ситуаций. Независимо от сложности урока готовлюсь к каждому уроку, использую яркий красочный иллюстрационный материал, даю полезный видеоряд для изучения предмета.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Харьковский государственный университет им. А.М. Горького

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-11 классов. Имею высшую квалификационную категорию и педагогическое звание «Учитель – методист». В работе использую технологии развивающего, личностно-ориентированного обучения, успешно готовлю выпускников к итоговому независимому оцениванию. Я с детства люблю решать задачи. Мне кажется, что любой человек, который делает открытие, испытывает такое сильное чувство, которое хочется повторить. Любая задача, особенно трудная, позволяет испытать это чувство. Люди, которые увлекаются математикой более успешные в жизни. Ведь вся наша жизнь – это решение задач.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 7-11 классов. Математика – это ясный и логичный мир, который откроется вам, когда вы узнаете его поближе. Надеюсь, вам он тоже понравится, как нравится мне. Я помогу вам понять законы и правила математики, справиться с трудными и опасными местами там. Мы сможем спокойно и уверенно подготовиться к любым контрольным и экзаменам. Ни ОГЭ, ни ЕГЭ не будут для вас препятствием.

Курсы ОГЭ

  • – Индивидуальные занятия
  • – В любое удобное для вас время
  • – Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

ПРОИЗВОДНАЯ | Энциклопедия Кругосвет

Содержание статьи

ПРОИЗВОДНАЯ производной функции y = f(x), заданной на некотором интервале (a, b) в точке x этого интервала, называется предел, к которому стремится отношение приращения функции f в этой точке к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производную принято обозначать так:

.

Широко употребляются и другие обозначения:

Предел , где рассматривается только Dx > 0 или только Dx f в точке x. О функции f, заданной на отрезке [a, b] принято говорить, что она имеет на этом отрезке производную, если она имеет производную в любой точке интервала (a, b) и, кроме того, правую производную в точке a и левую в точке b.

Понятие производной возникло как результат многовековых усилий, направленных на решение таких задач, как задача о проведении касательной к кривой, о вычислении скорости неравномерного движения, задачи о вычислении площади криволинейной фигуры. В работах Исаака Ньютона и Готфрида Вильгельма Лейбница эта деятельность получила определенное теоретическое завершение. Ньютон и Лейбниц создали общие методы дифференцирования и интегрирования функций и доказали важную теорему, носящую их имя, устанавливающую тесную связь между операциями дифференцирования и интегрирования. Однако современное изложение этих вопросов существенно отличается от того, как они излагались во времена Ньютона и Лейбница. Современный математический анализ базируется на понятии предела, которое было дано (наряду с другими важнейшими понятиями – непрерывность, интеграл и т.д.) в работах французского математика Огюстена Луи Коши.

Мгновенная скорость.

Пусть точка M движется по прямой. Расстояние s движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения M0 , зависит от времени t , т.е. s есть функция времени t: s = f(t). Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка M находилась на расстоянии s от начального положения M0, а в некоторый следующий момент t + Dt оказалась в положении M1 – на расстоянии s + Ds от начального положения (см. рис.).

Таким образом, за промежуток времени Dt расстояние s изменилось на величину Ds. В этом случае говорят, что за промежуток времени Dt величина s получила приращение Ds.

Отношение представляет собой среднюю скорость движения точки за время Dt:

.

Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки M в момент времени t. Если, например, тело в начале промежутка Dt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать представление об истинной скорости ее движения в момент t. Чтобы точнее выразить истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Dt. Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент t тот предел, к которому стремится средняя скорость при Dt ® 0. Этот предел называют скоростью движения в данный момент:

.

Таким образом, скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути Ds к приращению времени Dt, когда приращение времени стремится к нулю. Так как

,

то.

Геометрическое значение производной. Касательная к графику функции.

Построение касательных – одна из тех задач, которые привели к рождению дифференциального исчисления. Первый опубликованный труд, относящийся к дифференциальному исчислению и принадлежащий перу Лейбница, имел название Новый метод максимумов и минимумов, а также касательных, для которого не служат препятствием ни дробные, ни иррациональные величины, и особый для этого род исчисления.

Пусть кривая есть график функции y = f(x) в прямоугольной системе координат (см. рис.).

При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям x и y на кривой соответствует точка M0(x, y). Если аргументу x дать приращение Dx, то новому значению аргумента x + Dx соответствует новое значение функции y+Dy = f(x + Dx). Соответствующей ему точкой кривой будет точка M1(x + Dx, y + Dy). Если провести секущую M0M1 и обозначить через j угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox, из рисунка непосредственно видно, что .

Если теперь Dx стремится к нулю, то точка M1 перемещается вдоль кривой, приближаясь к точке M0, и угол j изменяется с изменением Dx. При Dx ® 0 угол j стремится к некоторому пределу a и прямая, проходящая через точку M0 и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол a, будет искомой касательной. Ее угловой коэффициент:

.

Следовательно, f´(x) = tga

т.е. значение производной f´(x) при данном значении аргумента x равняется тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке M0(x,y) с положительным направлением оси Ox.

Дифференцируемость функций.

Определение. Если функция y = f(x) имеет производную в точке x = x0, то функция дифференцируема в этой точке.

Непрерывность функции, имеющей производную. Теорема.

Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–Ґ х x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях. Теорема о корнях производной (теорема Ролля). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах x = a и x = b обращается в нуль (f(a) = f(b) = 0), то внутри отрезка [a,b] существует, по крайней мере одна, точка x = с, a c b, в которой производная fў(x) обращается в нуль, т.е. fў(c) = 0.

Теорема о конечных приращениях (теорема Лагранжа). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [a, b] найдется по крайней мере одна точка с, a c b, что

f(b) – f(a) = f ў(c)(b a).

Теорема об отношении приращений двух функций (теорема Коши). Если f(x) и g(x) – две функции, непрерывные на отрезке [a, b] и дифференцируемые во всех внутренних точках этого отрезка, причем gў(x) нигде внутри этого отрезка не обращается в нуль, то внутри отрезка [a, b] найдется такая точка x = с, a c b, что

.

Производные различных порядков.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема на некотором отрезке [a, b]. Значения производной f ў(x), вообще говоря, зависят от x, т.е. производная f ў(x) представляет собой тоже функцию от x. При дифференцировании этой функции получается так называемая вторая производная от функции f(x), которая обозначается f ўў (x).

Производной n-го порядка от функции f(x) называется производная (первого порядка) от производной n-1го и обозначается символом y(n) = (y(n – 1))ў.

Дифференциалы различных порядков.

Дифференциал функции y = f(x), где x – независимая переменная, есть dy = f ў(x)dx, некоторая функция от x, но от x может зависеть только первый сомножитель f ў(x), второй же сомножитель (dx) является приращением независимой переменной x и от значения этой переменной не зависит. Так как dy есть функция от x, то можно определить дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка этой функции и обозначается d2y:

d(dx) = d2y = f ўў(x)(dx)2.

Дифференциалом n-го порядка называется первый дифференциал от дифференциала n-1го порядка:

dny = d(dn–1 y) = f(n)(x)dx(n).

Частная производная.

Если функция зависит не от одного, а от нескольких аргументов xi (i изменяется от 1 до n, i = 1, 2,… n), f(x1, x2,… xn), то в дифференциальном исчислении вводится понятие частной производной, которая характеризует скорость изменения функции нескольких переменных, когда изменяется только один аргумент, например, xi . Частная производная 1-ого порядка по xi определяется как обычная производная, при этом предполагается, что все аргументы, кроме xi, сохраняют постоянные значения. Для частных производных вводятся обозначения

fxn, или

Определенные таким образом частные производные 1-ого порядка (как функции тех же аргументов) могут, в свою очередь, также иметь частные производные, это частные производные второго порядка и т.д. Взятые по разным аргументам такие производные называются смешанными. Непрерывные смешанные производные одного порядка не зависят от порядка дифференцирования и равны между собой.

Анна Чугайнова

Производная

Производная – отношение приращения функции к приращению ее аргумента при приращении аргумента стремящемся…

ЭЙ-ЭЙ, СТОЙТЕ!!! Куда вы побежали-то? Сейчас легко и просто всё объясню! Приготовьтесь, текста будет много. Зато понятно и наглядно. Так же в конце будут разобраны примеры из ЕГЭ.

Понятие производной на интервале


Пусть у нас есть некоторая линейная функция, определенная на промежутке \([a;b]\). Что значит слово «определенная»? Это значит, что для любого \(x\) из этого промежутка значений мы можем найти соответствующий \(y\) (смотрите, например, следующий график).

Возьмем на этом промежутке \([a;b]\) некоторое значение аргумента – \(x_A\). Ему соответствует точка \(A\) на графике и значение функции \(y_A\).


Теперь дадим выбранному значению \(x_A\) некоторое приращение \(∆x\). Эта запись – \(∆x\) – читается как «дельта икс» и означает величину изменения икса.
То есть мы увеличиваем значение \(x_A\) на \(∆x\). Тогда мы сдвинемся по оси \(x\) и попадем в некое \(x_B\) равное \(x_A+∆x\).
Очевидно, что «расстояние» между \(x_B\) и \(x_A\) равно как раз \(∆x\) (см. график), то есть приращению аргумента. И это приращение аргумента есть «длина» интервала, который мы рассматриваем.


Значению аргумента \(x_B\) соответствует точка \(B\) на графике и значение функции \(y_B\).
Давайте обозначим «расстояние» между \(y_B\) и \(y_A\) как некоторое \(∆y\) (аналогично тому, как это было сделано на оси \(x\)).
Что такое \(∆y\)? Подумайте – был аргумент равный \(x_A\), ему соответствовало значение функции \(y_A\). Потом мы аргумент увеличили на \(∆x\) (до \(x_B\)), при этом значение функции тоже выросло до \(y_B\). Что такое тогда \(∆y\) равное разности между \(y_B\) и \(y_A\)? Верно, это приращение значения функции при соответствующем приращении аргумента!


Так вот – если мы теперь разделим \(∆y\) на \(∆x\), то получим производную функции на интервале \(∆x\) (от \(x_A\) до \(x_B\)). В этом суть понятия «производная» на интервале – это просто число, которое получится, если поделить длину отрезка ∆y на длину соответствующего ему отрезка \(∆x\).

Производная на интервале – это отношение приращения функции на интервале к ширине этого интервала (то есть приращению аргумента).

Внимание! Это определение не математически строгое, а «по смыслу», для понимания.

То есть, производная на интервале показывает насколько сильно изменилась функция по отношению к некоторому изменению аргумента этой функции. Или по-другому: производная на интервале характеризует скорость роста функции на этом интервале.

Действительно, посмотрите два графика ниже.

       

На первом графике при росте аргумента с \(3\) до \(4\), функция выросла с \(1\) до \(4\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=4-3=1\),
\(∆y=y_B-y_A=4-1=3\),
т.е. значение производной на интервале \((3;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{3}{1}=3\)

На втором графике при росте аргумента с \(3\) до \(4\), функция выросла с \(2\) до \(3\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=4-3=1\),
\(∆y=y_B-y_A=4-1=3\),
т.е. значение производной на интервале \((3;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{1}{1}=1.\)

Легко заметить, что график слева «круче», а график справа – более «пологий», т.е. \(f(x)\) растет быстрее, чем \(g(x)\). И производная слева – больше, чем справа. Это логично, ведь фактически производная – это дробь \(\frac{∆y}{∆x}\), а если числитель дроби увеличить, то и значение всей дроби тоже растет.

Производная на интервале характеризует скорость роста функции. Чем больше производная – тем быстрее растет функция на интервале.

Хорошо, теперь вопрос на засыпку тем, кто читал внимательно. А что будет с производной, если график линейной функции падает?
Давайте рассмотрим эту ситуацию.


Функция \(f(x)\) падает, то есть при росте аргумента, значение функции становиться все меньше.
Действительно, при росте аргумента с \(2\) до \(3\), функция упала с \(4\) до \(1\). Значит, \(∆x=x_B-x_A=3-2=1\),
\(∆y=y_B-y_A=1-4=-3\).
Тогда значение производной на интервале \((3;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{-3}{1}=-3\).

То есть, если функция на интервале падает – производная станет отрицательна.
Причем, чем круче падает функция, тем больше по модулю будет значение производной. Посмотрите на графики ниже, и вы в этом сами убедитесь.

       

На первом графике при росте аргумента с \(2\) до \(3\), функция упала с \(4\) до \(1\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=3-2=1\),
\(∆y=y_B-y_A=1-4=-3\),
т.е. значение производной на интервале \((2;3)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{-3}{1}=-3\).

На втором графике при росте аргумента с \(2\) до \(3\), функция упала с \(2\) до \(1\). Значит:
\(∆x=x_B-x_A=3-2=1\),
\(∆y=y_B-y_A=1-2=-1\),
т.е. значение производной на интервале \((2;3)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{-1}{1}=-1\).

Если функция падает – производная на интервале отрицательна.

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию – а если функция в точке не возрастает и не убывает? Что будет с производной в этом случае? Смотрите график ниже.


Вот, например, функция, имеющая прямолинейный участок, параллельный оси \(x\) на интервале \((2;4)\). Понятно, что если мы рассмотрим этот интервал, то изменение функции \(∆y\) на нем равно нулю, ведь на нем функция не растет и не падает и для любой точки равна \(2\).
И тогда производная равна \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{0}{∆x}=0\).

Если функция не растет и не падает – производная на интервале равна \(0\).


Понятие производной в точке

Хорошо, мы разобрали производную на интервале для линейной функции. А если функция отличается от прямой?

Первый порыв ответить: «да какая разница, делаем также!» – неверен. Дело в том, что на прямой была не важна длина рассматриваемого интервала, ведь для неё значение производной – постоянная величина на любом интервале. Смотрите на график ниже:


Если мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(4\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(3\). То есть, \(∆x=4-2=2\), \(∆y=3-1=2\), т.е. значение производной на интервале \((2;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{2}{2}=1\).

Если мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(3\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(2\). То есть, \(∆x=3-2=1\), \(∆y=2-1=1\), т.е. значение производной на интервале \((2;3)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{1}{1}=1\).

И на любом другом интервале будет тоже самое – и на \((2;5)\), и на \((3;4)\), и на \((3;5)\) – производная везде равна \(1\). Это и логично, ведь скорость роста функции везде одинакова.

Теперь давайте посмотрим график некоторой нелинейной функции.


Если мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(5\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(4\). То есть, \(∆x=5-2=3\), \(∆y=4-1=3\), т.е. значение производной на интервале \((2;5)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{3}{3}=1\).

Если же мы рассмотрим интервал по иксу с \(2\) до \(4\), то на нем прирост значения функции – с \(1\) до \(2\). То есть, \(∆x=4-2=2\), \(∆y=2-1=1\), т.е. значение производной на интервале \((2;4)\) равно \(\frac{∆y}{∆x}=\frac{1}{2}=0,5\).2\), построенный на компьютере с высокой точностью, на интервале от \(-5\) до \(5\). Видно, что график ну очень далек от прямой.

А если рассмотреть тот же график, но на более узком интервале?


Вот тот же график, но уже на интервале от \(0\) до \(2\). Видно, что он изрядно «распрямился».


А вот он же на интервале от \(1\) до \(1,1\). Визуально он уже мало отличается от прямой, хотя на самом деле очень небольшое искривление все же есть. Понятно, что если сжимать интервал еще сильнее, то вскоре график будет практически неотличим от прямой.

Таким образом, вся вышеописанная логика вполне применима и для нелинейных графиков, но только на очень маленьких интервалах. А что мы получим, если будем БЕСКОНЕЧНО уменьшать ширину интервал? Мы будем сжимать его до точки. А что такое «ширина интервала»? Это ни что иное как \(∆x\)! Значит, чтобы найти производную в точке, мы должны посмотреть приращение функции на бесконечно малом (или, говоря более научно, стремящемся к нулю) приращении аргумента. Именно так в математике и вводится понятие производной в точке:

Производная в точке – есть отношение приращения функции к соответствующему приращению ее аргумента при приращении аргумента, стремящемся к нулю.

Таким образом, вся описанная выше логика дифференцирования линейных функций, применима для бесконечно малых участков функций нелинейных. Значит, и все сделанные ранее выводы будут верны. Например, если нелинейная функция в точке (точнее, на бесконечно малом интервале в окрестности этой точки) возрастает, то производная в точке будет положительна. А если функция в точке убывает – производная будет отрицательна.

Остается вопрос – а есть ли на нелинейных функциях точки, где производная равна нулю? Ответ – да, в точках экстремумов. Помните, что это за точки такие?

Экстремумы – это точки максимумов и минимумов функции.

Напомню, что максимумом функции называется самая «высокая» точка на некотором интервале, а минимумом, соответственно, самая «низкая».2 (x+1)-15\).Она имеет максимум при \(x=1\) и минимум при \(x=5\).
И в этих точках функция действительно не растет и не падает.
Давайте посмотрим на большем масштабе, чтобы в этом убедится.


Вот окрестность точки максимума \(x=1\) с очень маленьким шагом.

А это окрестность точки минимума \(x=5\) с очень маленьким шагом.

Думаю, комментарии излишни. Вообще говоря, чтобы понять, что в максимумах и минимумах функция «останавливается» достаточно просто внимательно об этом подумать.

Вдумайтесь, как образуется, допустим, максимум? Функция растет, растет, но после какой-то точки начинает падать. Значит, функция меняет «направление движения» на противоположное. Но это невозможно сделать без остановки! Попробуйте бежать в одну сторону, а потом взять и резко побежать в обратную (не просто повернуть, а именно в противоположную сторону). Вы в любом случае остановитесь при смене направления хоть на долю секунды. Также и функции. С минимумом – аналогично.

Таким образом, получается, что в окрестности точек минимума и максимума функция идет параллельно оси \(x\). И в них производная равна нулю. Слово «в окрестности», употребленное выше, означает «очень-очень близко возле точки». Например, промежуток \((1,99999; 2,00001)\) можно назвать окрестностью точки со значением \(2\).

Подведем итоги:

– Чем больше значение производной функции в точке – тем быстрее в этой точке растет функция.


– Если производная в точке положительна, функция в этой точке растет, если производная в точке отрицательна, функция в ней падает.
– В точках максимумов и минимумов функции – производная равно \(0\).

Эти принципы стоит запомнить (а еще лучше просто понять), потому что с их помощью можно решать огромное количество задач на производные, в том числе и из ЕГЭ.

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график функции, определенной на интервале \((-3;7)\). Определите количество целых точек, в которых производная данной функции отрицательна.


Решение: Начинаем анализировать. Где производная будет отрицательна? Там, где функция падает, то есть от точки А до точки В и от точки С до точки D.


При этом в задаче просят найти количество ЦЕЛЫХ точек. А что такое «целая точка»? Это такая точка графика, у которой икс целое число (например, \(-5\), \(0\) или \(17\), но не \(3,25\) или \(0,7\)).


То есть нам нужны именно такие точки на участках АВ и CD графика. Всего их четыре (обозначены на графике красным ромбом). Обратите внимание, что точка С в ответ не входит, так как это точка максимума и в ней производная равно \(0\), а ноль неотрицателен.

Ответ: 4.

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график функции \(y=f(x)\) и отмечены точки \(−2\), \(1\), \(3\) и \(9\). В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.


Решение: Давайте думать.
В точке с координатой \(-2\) функция убывает (падает), значит производная будет отрицательна (ведь она показывает, как раз изменение функции).
В точке с координатой \(1\) – функция медленно растет, значит производная будет, во-первых, положительна, а во-вторых, мала по значению (ведь рост медленный).
В точке с координатой \(3\) – максимум, значит функция не растет и не падает, следовательно, производная будет равна нулю.
И наконец, в точке \(9\) – функция растет и быстро (по крайней мере, быстрее, чем в точке \(1\)). Значит здесь производная положительна и велика.
Таким образом, с учетом всех предыдущих рассуждений, делаем вывод: наибольшее значение производной будет в точке \(9\).

Ответ: \(9\).

Довольно часто в практике попадаются обратные задачи – когда дан график производной, а анализировать надо график функции. Вот, например, такая задача из ЕГЭ:

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график \(y'(x)\) -производной для функции \(y(x)\). Найдите количество точек экстремумов функции \(y(x)\) на изображенном интервале.


Решение: Экстремумы – это точки минимумов и максимумов функции. Но у нас дан график производной, а не функции. А что происходит с производной в тех точках, где на функции минимум или максимум?
Верно, в этих точках производная равна нулю. Значит, нам нужны все точки, где значение производной ноль! Это точки А, B, C, D и Е. Всего их \(5\), это и есть ответ задачи.


Ответ: \(5\).

Пример (ЕГЭ). На рисунке изображен график \(y'(x)\) – производной для функции \(y(x)\) определенной на интервале \((−7; 7)\). Найдите промежутки возрастания функции \(y(x)\). В ответе укажите длину наибольшего из них.


Решение: Мы знаем, что если функция возрастает – производная положительна, а если падает – то отрицательна. Однако верно и обратное:
– если производная положительна – функция растет,
– если производная отрицательна – функция падает.
Исходя из этого становиться очевидно, что исходная функция \(y(x)\) возрастает на участках \((-5;-2)\) и \((1;6)\) – они выделены зеленым. И длина наибольшего из них равна \(5\).


Ответ: \(5\).


Скачать статью

Полная таблица производных элементарных функций

Что такое производная и зачем она нужна

Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:

Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:

Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.

у = 10

у′ = 0

Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.

у = 10 + 3х

Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1.

у = 10 + 3х

у′ = 0 + 3

у′ = 3

Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.

Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.

Производные основных элементарных функций

Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции. Приведем несколько формул, которых достаточно для решения большинства задач.

Функция f (x)

Производная f’ (х)

С (т. е. константа, любое число)

0

х

1

х2

xn

n x xn-1

√x

1/(2√x)

1/x

-1/x2

sin x

cos x

cos x

-sin x

tg x

1/cos2(X)

ctg x

-1/sin2x

ex

ex

ax

ax * ln a

ln x

1/x

logax

1/(x * ln a)

arcsin x

1/(√1-x2)

arccos x

-1/(√1-x2)

arctg x

1/(1+x2)

arcctg x

-1/(1+x2)

Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции. Но для этого существуют определенные правила.

Общие правила дифференцирования

Для решения задач на дифференцирование нужно запомнить (или записать в шпаргалку) пять несложных формул:

(U + V)′ = U′ + V′

(U – V)′ = U′ – V′

(U × V)′ = U′V + V′U

(U/V)’ = (U’V – V’U)/V2

(C × F)′ = C × F′

В данном случае U, V, F — это функции, а C — константа (любое число).

Как видите, сложение и вычитание производных выполняется по правилам, которые знакомы нам еще из младших классов. С константой тоже все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.

Например: требуется найти производную функции y = (5 × x3).

y′ = (5 × x3)′

Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:

y′ = (5 × x3)’ = 5 × (x3)′ = 5 × 3 × х2 = 15х2

Правила дифференцирования сложных функций

Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x2)4? Чтобы решить эту задачку, требуется:


  1. упростить выражение, используя замену переменной;

  2. применить правило дифференцирования сложных функций.

Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: (f(y))′ = f′(y)×y′. Другими словами, нужно умножить производную, условно говоря, внешней функции на производную внутренней.

Пример 1

Допустим, нам нужно найти производную от y = (3 + 2x2)4.

Заменим 3 + 2x2 на u и тогда получим y = u4.

Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:

y = y′u × u′x = 4u3 × u’x

А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:

4u3 × u′x = 4 (3 + 2x2)3 × (3 + 2x2)′ = 16 (3 + 2x2)3 × х

Пример 2

Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.

Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.

y′ = (x3 + 4)′ × cos x + (x3 + 4) × cos x′ = 3x2 × cos x + (x3 + 4) × (-sin x) = 3x2 × cos x – (x3 + 4) × sin x

Полная таблица производных

Зная правила дифференцирования сложных функций и руководствуясь указанными выше формулами, можно успешно решать задачи из школьной программы. Но существует также полная таблица производных сложных функций для студентов и инженеров. Мы не будем приводить все формулы из нее, но дадим небольшую шпаргалку, которая сделает сложные функции не такими уж сложными.

Это таблица производных некоторых функций, которые могут встретиться в экзаменационных задачах.

Функция f (x)

Производная f’ (х)

(kx + b)c

kc (kx + b)c-1

( f (x))c

с x (f(х))c-1 x f'(х)

ekx+b

kekx+b

ef(x)

ef(x) x f'(х)

akx+b

akx+b x ln a x k

sin (kx + b)

k cos (kx + b)

sin ( f (x))

cos ( f (x)) x f'(х)

cos (kx + b)

-k sin (kx + b)

cos ( f (x))

-sin( f (x)) x f'(х)

arctg (kx + b)

1/(1+(kx+b)2)

arctg ( f (x))

f'(x)/(1+(f(x))2)

arcctg (kx + b)

-1/(1+(kx+b)2)

arcctg ( f (x))

-f'(x)/(1+(f(x))2)

Производная функции: определение и пример

Определение и формула

Найденное нами уравнение известно как производная функции. Как указывалось ранее, производная определяется как мгновенная скорость изменения или крутизна в определенной точке функции. Он дает вам точный уклон в определенной точке кривой. Производная обозначается ( dy / dx ), что просто означает производную y по отношению к x .

Нахождение производной или наклона кривой в определенной точке – это применение темы пределов, которую вы изучили ранее. Чтобы найти производную, используйте следующую формулу:

Пример определения мгновенной скорости изменения с использованием производной

Одной из наиболее полезных функций производной является ее способность облегчить бремя определения мгновенной скорости изменения. В приведенном ниже примере показано, как функцию производной можно использовать для простого расчета мгновенной скорости изменения в определенной точке кривой.2 +6) / h

dy / dx = lim h -> 0 h (8 x +4 h + 6) / h

dy / dx = lim h -> 0 8 x + 4 h + 6

dy / dx = 8 x +6

Что означает dy / dx = 8 x + 6 tell нас?

Он говорит нам, что мы можем использовать 8 x + 6, чтобы найти мгновенную скорость изменения (наклон касательной) в любой точке кривой, заданной как y = 4 x ^ 2 + 6 x .2 + 6 x при x = 2 равно 22.

Резюме урока

Производная может быть определена формулой, используемой для получения мгновенной скорости изменения (наклона) нелинейной функции. Легкий способ понять это – принять во внимание, что мгновенная скорость изменения – это просто наклон линии, касательной к функции в определенной точке кривой. Определение мгновенной скорости изменения намного точнее, чем использование традиционной формулы наклона, которая просто дает вам среднюю скорость изменения по кривой.Поскольку наклон кривой непостоянен, гораздо полезнее иметь возможность определять наклон при движении по кривой.

3.2 Производная как функция – Объем исчисления 1

Цели обучения

  • Определите производную функцию заданной функции.
  • Постройте производную функцию от графика заданной функции.
  • Укажите связь между производными и непрерывностью.
  • Опишите три условия, когда функция не имеет производной.
  • Объясните значение производной высшего порядка.

Как мы видели, производная функции в данной точке дает нам скорость изменения или наклон касательной к функции в этой точке. Если мы дифференцируем функцию положения в данный момент времени, мы получаем скорость в этот момент. Кажется разумным заключить, что знание производной функции в каждой точке может дать ценную информацию о поведении функции. Однако процесс нахождения производной даже для нескольких значений с использованием методов предыдущего раздела быстро стал бы довольно утомительным.В этом разделе мы определяем производную функцию и изучаем процесс ее нахождения.

Функция производной дает производную функции в каждой точке области определения исходной функции, для которой определена производная. Мы можем формально определить производную функцию следующим образом.

Определение

Позвольте быть функцией. Производная функция , обозначенная как, – это функция, область определения которой состоит из таких значений, что существует следующий предел:

.

Говорят, что функция дифференцируема на , если
существует. В более общем смысле говорят, что функция дифференцируема на , если она дифференцируема в каждой точке открытого набора, а дифференцируемая функция – это функция, которая существует в своей области определения.

В следующих нескольких примерах мы используем (рисунок), чтобы найти производную функции.

Нахождение производной функции квадратного корня

Найдите производную от.

Решение

Начните непосредственно с определения производной функции.Используйте (рисунок).

Нахождение производной квадратичной функции

Найдите производную функции.

Решение

Выполните здесь ту же процедуру, но без умножения на конъюгат.

Найдите производную от.

Решение

Мы используем множество различных обозначений для выражения производной функции. На (Рисунок) мы показали, что если, то. Если бы мы выразили эту функцию в форме, мы могли бы выразить производную как или.Мы могли бы передать ту же информацию письменно. Таким образом, для функции каждое из следующих обозначений представляет собой производную от:

.

Вместо мы также можем использовать. Использование обозначений (так называемых обозначений Лейбница) довольно распространено в технике и физике. Чтобы лучше понять это обозначение, напомним, что производная функции в точке – это предел наклона секущих линий, когда секущие линии приближаются к касательной. Наклоны этих секущих линий часто выражаются в виде где – разница значений, соответствующая разнице значений, которые выражаются как ((Рисунок)).Таким образом, производная, которую можно представить как мгновенную скорость изменения относительно, выражается как

. Рисунок 1. Производная выражается как.

Мы уже обсуждали, как построить график функции, поэтому, имея уравнение функции или уравнение производной функции, мы можем построить график. Учитывая и то, и другое, мы ожидаем увидеть соответствие между графиками этих двух функций, поскольку дает скорость изменения функции (или наклон касательной к).

На (рис.) Мы обнаружили, что для. Если мы построим график этих функций на тех же осях, что и на (Рисунок), мы сможем использовать графики, чтобы понять взаимосвязь между этими двумя функциями. Во-первых, мы замечаем, что он увеличивается по всей своей области, что означает, что наклон его касательных во всех точках положительный. Следовательно, мы ожидаем для всех значений в его области. Кроме того, по мере увеличения наклон касательных к уменьшается, и мы ожидаем увидеть соответствующее уменьшение.Мы также замечаем, что это не определено и соответствует вертикальной касательной к точке 0.

Рис. 2. Производная везде положительна, потому что функция возрастает.

На (рис.) Мы обнаружили, что для. Графики этих функций показаны на (Рисунок). Обратите внимание, что для. Для этих же значений. Для значений увеличивается и. Кроме того, имеет горизонтальную касательную в точках и.

Построение производной с помощью функции

Используйте следующий график, чтобы нарисовать график.

Нарисуйте график. На каком интервале находится график выше оси?

Решение

Теперь, когда мы можем построить график производной, давайте рассмотрим поведение графиков. Во-первых, мы рассматриваем взаимосвязь между дифференцируемостью и непрерывностью. Мы увидим, что если функция дифференцируема в точке, она должна быть непрерывной там; однако функция, непрерывная в какой-то точке, не обязательно должна быть дифференцируемой в этой точке.Фактически, функция может быть непрерывной в точке и не дифференцируемой в этой точке по одной из нескольких причин.

Проба

Если дифференцируем в, то существует и

.

Мы хотим показать, что это непрерывно, показав это. Таким образом,

Следовательно, поскольку определено и, заключаем, что непрерывно в точке.

Мы только что доказали, что дифференцируемость предполагает непрерывность, но теперь мы рассмотрим, подразумевает ли непрерывность дифференцируемость.Чтобы определить ответ на этот вопрос, исследуем функцию. Эта функция всюду непрерывна; однако не определено. Это наблюдение приводит нас к мысли, что непрерывность не предполагает дифференцируемости. Давайте изучим дальше. Для,

.

Этот предел не существует, потому что

.

См. (Рисунок).

Рисунок 4. Функция непрерывна в 0, но не дифференцируема в 0.

Рассмотрим некоторые дополнительные ситуации, в которых непрерывная функция не дифференцируема.Рассмотрим функцию:

.

Таким образом не существует. Беглый взгляд на график проясняет ситуацию. Функция имеет вертикальную касательную в точке 0 ((рисунок)).

Рисунок 5. Функция имеет вертикальную касательную в точке. Он непрерывен в 0, но не дифференцируем в 0.

У функции также есть производная, которая демонстрирует интересное поведение при 0. Мы видим, что

.

Этот предел не существует, главным образом потому, что наклон секущих линий непрерывно меняет направление по мере приближения к нулю ((Рисунок)).

Рисунок 6. Функция не дифференцируема в 0.

Итого:

  1. Заметим, что если функция не является непрерывной, она не может быть дифференцируемой, поскольку каждая дифференцируемая функция должна быть непрерывной. Однако, если функция непрерывна, она все равно не может быть дифференцируемой.
  2. Мы видели, что это невозможно дифференцировать в 0, потому что предел наклона касательных линий слева и справа не был одинаковым. Визуально это привело к резкому углу на графике функции в 0.Отсюда мы заключаем, что для того, чтобы быть дифференцируемой в точке, функция должна быть «гладкой» в этой точке.
  3. Как мы видели в примере, функция не может быть дифференцируемой в точке, где есть вертикальная касательная.
  4. Как мы видели, функция может быть не дифференцируемой в точке и более сложными способами.

Кусочная функция, которая является непрерывной и дифференцируемой

Производная функции сама по себе является функцией, поэтому мы можем найти производную от производной.Например, производная функции положения – это скорость изменения положения или скорости. Производная скорости – это скорость изменения скорости, которая является ускорением. Новая функция, полученная дифференцированием производной, называется второй производной. Кроме того, мы можем продолжать использовать производные для получения третьей производной, четвертой производной и так далее. В совокупности они называются производными более высокого порядка . Обозначения для производных высшего порядка от могут быть выражены в любой из следующих форм:

.

Интересно отметить, что обозначение для можно рассматривать как попытку выразить более компактно. Аналогично.

Поиск второй производной

Для, найдите.

В поисках ускорения

Положение частицы вдоль оси координат в момент времени (в секундах) определяется выражением (в метрах). Найдите функцию, описывающую его ускорение во времени.

  • Производная функция

В следующих упражнениях используйте определение производной для поиска.

1.

2.

3.

4.

Решение

5.

6.

Решение

7.

8.

Решение

9.

10.

Решение

Для следующих упражнений используйте график, чтобы нарисовать график его производной.

11. 12.
Решение

13. 14.
Решение

Для следующих упражнений данный предел представляет собой производную функции в. Найти и .

15.

16.

Решение

17.

18.

Решение

19.

20.

Решение

Для следующих функций:

    ,
  1. набросок графика и
  2. использует определение производной, чтобы показать, что функция не дифференцируема в точке.

21.

23.

Для следующих графиков

  1. определяет, для каких значений существует, но не является непрерывным, и
  2. определить, для каких значений функция является непрерывной, но не дифференцируемой при.
25.

Для следующих функций используйте, чтобы найти.

28.

29.

30.

Решение

Для следующих упражнений используйте калькулятор для построения графиков. Определите функцию, затем используйте калькулятор для построения графика.

31. [Т]

33. [Т]

35. [Т]

Для следующих упражнений опишите, что представляют собой эти два выражения в терминах каждой из данных ситуаций.Обязательно укажите единицы измерения.

37. обозначает население города в определенный период времени в годах.

38. обозначает общую сумму денег (в тысячах долларов), потраченную на концессии клиентами в парке развлечений.

Решение

а. Средняя ставка, с которой клиенты потратили на уступки, в тысячах на одного покупателя.
г. Скорость (в тысячах на одного покупателя), по которой покупатели тратили деньги на уступки, в тысячах на одного покупателя.

39. обозначает общую стоимость (в тысячах долларов) производства радиочасов.

40. обозначает оценку (в процентных пунктах), полученную по тесту за количество часов обучения.

Решение

а. Средняя оценка, полученная за тест, при среднем времени обучения между двумя суммами.
г. Скорость (в процентных пунктах в час), с которой оценка по тесту повышалась или понижалась за данное среднее время обучения в часах.

41. обозначает стоимость (в долларах) учебника социологии в университетских книжных магазинах США с 1990 года.

42. обозначает атмосферное давление на высоте футов.

Решение

а. Среднее изменение атмосферного давления между двумя разными высотами.
г. Скорость (торр на фут), с которой атмосферное давление увеличивается или уменьшается на высоте.

Решение

а.Скорость (в градусах на фут), с которой температура повышается или понижается для данной высоты.
г. Скорость изменения температуры при изменении высоты на высоте 1000 футов составляет -0,1 градуса на фут.

Решение

а. Скорость, с которой число людей, заболевших гриппом, меняется через несколько недель после первоначальной вспышки.
г. Скорость резко увеличивается до третьей недели, после чего она замедляется, а затем становится постоянной.

Для следующих упражнений используйте следующую таблицу, в которой показана высота ракеты Saturn V для миссии Apollo 11 через несколько секунд после запуска.

Время (секунды) Высота (метры)
0 0
1 2
2 4
3 13
4 25
5 32

47. В чем физический смысл? Какие единицы?

48.[T] Создайте таблицу значений и график для обоих и на том же графике. ( Подсказка: для внутренних точек, оцените оба предела слева и справа и усредните их.)

Решение
Время (секунды) (м / с)
0 2
1 2
2 5,5
3 10,5
4 9.5
5 7

Нежное введение в производные функции

Концепция производной является строительным блоком многих вопросов математического анализа. Это важно для понимания интегралов, градиентов, гессианов и многого другого.

В этом руководстве вы познакомитесь с определением производной, ее обозначениями и тем, как вы можете вычислить производную на основе этого определения. Вы также узнаете, почему производная функции является самой функцией.

После прохождения этого руководства вы будете знать:

  • Определение производной функции
  • Как вычислить производную функции на основе определения
  • Почему некоторые функции не имеют производной в точке

Приступим.

Нежное введение в производные функции Фото Мехрин Саид, некоторые права защищены

Обзор учебного пособия

Это руководство разделено на три части; их:

  1. Определение и обозначение производных функций
  2. Как вычислить производную функции, используя определение
  3. Почему у некоторых функций нет производной в точке

Какая производная функции

Проще говоря, производная функции f (x) представляет скорость ее изменения и обозначается либо f ‘(x), либо df / dx.Давайте сначала посмотрим на его определение и наглядную иллюстрацию производной.

Иллюстрация определения производной функции

На рисунке Δx представляет изменение значения x. Мы продолжаем делать интервал между x и (x + Δx) все меньше и меньше, пока он не станет бесконечно малым. Следовательно, мы имеем предел (Δ𝑥 → 0). Числитель f (x + Δx) -f (x) представляет соответствующее изменение значения функции f на интервале Δx. Это делает производной функции f в точке x скорость изменения f в этой точке.

Важно отметить, что Δx, изменение x может быть отрицательным или положительным. Следовательно:

0 <| Δx | <𝜖,

, где 𝜖 – бесконечно малое значение.

Об обозначениях

Производная функции может быть обозначена как f ‘(x), так и df / dx. Математический гигант Ньютон использовал f ‘(x) для обозначения производной функции. Другой математический герой Лейбниц использовал df / dx. Таким образом, df / dx – это единый термин, который не следует путать с дробью.Он читается как производная функции f по x, а также указывает, что x является независимой переменной.

Соединение со скоростью

Один из наиболее часто цитируемых примеров производных от скорости. Скорость – это скорость изменения расстояния относительно время. Следовательно, если f (t) представляет собой расстояние, пройденное в момент времени t, то f ‘(t) – это скорость в момент времени t. В следующих разделах показаны различные примеры вычисления производной.

Примеры дифференциации

Метод нахождения производной функции называется дифференцированием.В этом разделе мы увидим, как определение производной можно использовать для нахождения производной различных функций. Позже, когда вы освоитесь с определением, вы сможете использовать определенные правила для различения функции.

Пример 1: m (x) = 2x + 5

Начнем с простого примера линейной функции m (x) = 2x + 5. Мы видим, что m (x) изменяется с постоянной скоростью. Мы можем дифференцировать эту функцию следующим образом.

Производная m (x) = 2x + 5

На приведенном выше рисунке показано, как изменяется функция m (x), а также показано, что независимо от того, какое значение x мы выбираем, скорость изменения m (x) всегда остается равной 2.2

Поскольку g ‘(x) = 2x, следовательно, g’ (0) = 0, g ‘(1) = 2, g’ (2) = 4 и g ‘(- 1) = -2, g’ (- 2 ) = -4

Из рисунка видно, что значение g (x) очень велико для больших отрицательных значений x. Когда x <0, увеличение x уменьшает g (x) и, следовательно, g '(x) <0 при x <0. График выравнивается для x = 0, где производная или скорость изменения g (x) становится равной нулю. Когда x> 0, g (x) увеличивается квадратично с увеличением x, и, следовательно, производная также положительна.

Пример 3: h (x) = 1 / x

Предположим, у нас есть функция h (x) = 1 / x.2) также не определен при x = 0. Если функция не является непрерывной в какой-либо точке, то в этой точке у нее нет производной. Ниже приведены несколько сценариев, в которых функция не дифференцируема:

  1. Если функция не определена в точке
  2. Функция не имеет ограничения в этот момент
  3. Если функция не является непрерывной в точке
  4. Функция имеет внезапный скачок в точке

Ниже приведены несколько примеров:

Примеры точек, в которых нет производной

Расширения

В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

  • Скорость и мгновенные скорости изменения
  • Правила для деривативов
  • Интеграция

Если вы изучите какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать. Публикуйте свои выводы в комментариях ниже.

Дополнительная литература

В этом разделе представлены дополнительные ресурсы по теме, если вы хотите углубиться.

Учебники

ресурсов

Книги

  • Исчисление Томаса, 14-е издание, 2017 г.(на основе оригинальных работ Джорджа Б. Томаса, переработанных Джоэлем Хассом, Кристофером Хейлом, Морисом Вейром)
  • Calculus, 3rd Edition, 2017. (Гилберт Стрэнг)
  • Исчисление, 8-е издание, 2015 г. (Джеймс Стюарт)

Сводка

В этом руководстве вы открыли для себя производные функций и основы дифференцирования функций.

В частности, вы выучили:

  • Определение и обозначение производной функции
  • Как отличить функцию с помощью определения
  • Когда функция не дифференцируема

Есть вопросы? Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я постараюсь ответить.

Модуль 10 – Производная функции

В этом уроке вы будете использовать несколько различных функций TI-83 для поиска и понимания производных.


В модуле 9 вы видели, что скорости соответствуют наклонам на графике положения во времени. Средняя скорость соответствует наклону

Секущая линия – это линия, проходящая через две точки на кривой.
секущая линия, соединяющая две точки, а мгновенная скорость соответствует наклону касательной к кривой.

Средняя скорость определяется как , который представляет собой наклон секущей линии через точки
( a , f ( a )) и ( a + h , f ( a + h )) .

Мгновенная скорость определяется выражением , который представляет собой наклон касательной к кривой в точке ( a , f ( a )).

Наклон касательной к графику функции в точке называется производной функции в этой точке. Формальное определение производной приведено ниже.

Формальное определение производной

Производная функции f при x = a равна

при условии, что лимит существует.

Иллюстрация схождения секущей линии

Для функций, имеющих касательную, если точка ( a , f ( a )) на кривой зафиксирована, поскольку h приближается к нулю, вторая точка ( a + h , f ( a + h )) приближается к фиксированной точке, и соответствующие секущие линии сходятся к касательной в этой точке.

В описанной ниже процедуре будет найдено значение производной функции f ( x ) = 2 x x 2 в точке (0,5, 0,75) с использованием метода, аналогичного тому, который вы использовали для найти мгновенные скорости.

  1. Найдите наклоны нескольких секущих линий и используйте их, чтобы оценить наклон касательной как x = 0,5.
  2. Затем определите предел наклона секущих линий, чтобы найти производную.

На приведенном ниже графике показано f ( x ) = 2 x x 2 в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1] с тремя секущими линиями через фиксированные точка (0,5, 0,75), которая приближается к касательной в точке (0,5, 0,75).

Нахождение наклонов секущих линий

Первый шаг в описанной выше процедуре – найти наклон секущих линий, которые будут использоваться для оценки производной.Чтобы найти уклоны, вам нужно ввести функцию f ( x ) = 2 x x 2 в редакторе Y =.

Наклон секущей линии через точки (0,5, f (0,5)) и (0,5 + h , f (0,5 + h )) можно найти, оценив коэффициент разности

.

Нас интересуют значения h , которые малы, так что две точки находятся близко друг к другу.Результирующая секущая линия будет приближаться к касательной.

Вы можете оценить коэффициент разницы для ч = 0,1 на TI-83, используя команду, состоящую из двух частей. Первая часть команды будет хранить 0,1 в h , а вторая часть команды будет оценивать коэффициент разницы. Две команды будут объединены вместе с символом двоеточия.

Наклон секущей линии, содержащей (0.5, f (0,5)) и (0,6, f (0,6)) составляет 0,9.

Использование меньших значений ч

Когда точка (0,5 + h , f (0,5 + h )) приближается к точке (0,5, f (0,5)), h приближается к 0, и секущие линии сходятся к касательной.

Чтобы оценить коэффициент разницы для меньших значений h , измените значение H в последнем выражении на главном экране с 0.От 1 до 0,01 и оцените коэффициент разницы.

Наклон соответствующей секущей линии равен 0,99.

  • Оцените коэффициент разницы с ч = 0,001 и ч = 0,0001.

Наклон секущих линий равен 0,999 и 0,9999 соответственно.

10.1.1 Предскажите производную в (0,5, f (0,5)). Нажмите здесь, чтобы получить ответ.

Коэффициенты левой разности

В описанной выше процедуре использовались правые разностные коэффициенты. Коэффициенты левой разности могут быть найдены, если принять отрицательное число h .

  • Оцените коэффициент разницы: ч = -0,01 и ч = -0.001.
    Вставьте отрицательный знак, а затем используйте чтобы удалить нули в предыдущем выражении.
Коэффициенты левой разности

Наклон соответствующих секущих линий равен 1,01 и 1,001. С фиксированной точкой (0,5, 0,75) одна секущая проходит через (0,49, f (0,49)), а другая через (0,499, f (0,499)).

Нахождение производной в точке

Как указывалось ранее, производная x = 0.5 определяется как предел

.

Прежде чем этот предел можно будет оценить, выражение должны быть расширены и упрощены. Напомним, что интересующая функция равна f ( x ) = 2 x x 2 .

Следовательно, и производная f ( x ) = 2 x x 2 при x = 0.5 равно 1.

Использование числовой производной команды

Вы также можете аппроксимировать производную функции в точке с помощью числовой производной команды nDeriv (, которая находится в меню Math. Синтаксис для поиска производной в точке: nDeriv (выражение, переменная, значение ).

  • Перейдите на главный экран, нажав [ПОКИДАТЬ].
  • Откройте меню Math, нажав . nDeriv ( – восьмой пункт меню.
  • Вставьте nDeriv ( на главный экран, нажав .
  • Выполните команду nDeriv (Y 1 , X, 0.5).
  • Выполните команду, нажав .

Команда nDeriv

nDeriv ( фактически вычисляет коэффициент симметричной разности и аппроксимирует производную.Вы можете добавить необязательный четвертый параметр, чтобы изменить значение по умолчанию h , которое установлено на 0,001. Например, чтобы оценить коэффициент симметричной разности при x = 0,5 с h = 0,01, введите команду

nDeriv (Y 1 , X, 0,5, 0,01)

Рисование касательной линии

Поскольку точка на кривой и производная в этой точке известны, уравнение для касательной можно найти с помощью

Уравнение для прямой, проходящей через точку (x1, y1) с уклоном м , составляет y y 1 = м ( x x 1).
точечно-наклонная форма линии. Если наклон касательной в точке (0,5, 0,75) равен 1, то уравнение для касательной линии составляет y – 0,75 = 1 ( x – 0,5).

График f ( x ) = 2 x x 2 и его касательная линия в точке (0.5, 0,75).

  • Установить Y 1 = 2 X X 2 .
  • Установить Y 2 = (X-0,5) + 0,75.
  • Постройте график функции и касательной в окне [-1, 3, 1] x [-1, 2, 1].

Линия кажется касательной к кривой при x = 0,5.

Определение производной – концепция

Определение производной – это наклон линии, которая касается кривой в определенной точке.Предел мгновенной скорости изменения функции при уменьшении времени между измерениями до нуля является альтернативным определением производной . Производная – это функция, и можно найти производные многих видов функций, включая линейные, степенные, полиномиальные, экспоненциальные и логарифмические функции.

Я хочу поговорить об определении производной.Теперь определение производной связано с темами средней скорости изменения и мгновенной скорости изменения. Средняя скорость изменения действительно фундаментальна для идеи производной, давайте начнем со средней скорости изменения, мы называем это средней скоростью изменения функции – это наклон секущей линии, проведенной между двумя точками функции. И наклон секущей линии, как и любой другой наклон линии, будет увеличиваться за счет пробега. Теперь, если вы заметили, что я получил эти две точки с координатами, подъем будет f на плюс h минус f на a.И бег будет а + ч-а, а это просто ч. Вот почему наклон секущей линии, если f плюс h-f a больше h.
Это наклон секущей линии, которая представляет собой среднюю скорость изменения функции. Мгновенная скорость изменения – это то, что происходит, когда мы берем среднюю скорость изменения за все более короткие промежутки времени. Итак, мы позволяем h стать равным нулю, и по мере того, как мы это делаем, секущая линия приближается к касательной, вот что это такое. Теперь, как мы это делаем, мы получаем h до нуля, беря пределы.Таким образом, предел, когда h стремится к нулю, средней скорости изменения f для a плюс h минус f для a в течение h, и принятие предела этой средней скорости изменения – вот что дает нам мгновенную скорость изменения. Эта величина настолько важна для исчисления, что ей дан гораздо более простой символ f, простое число от a, это производная функции f в точке a, и этот символ означает, что предел h приближается к нулю f из плюс h минус f из a над h. Эта концепция является центральной для всего дифференциального исчисления, что составляет половину того, чем мы собираемся заниматься в этом курсе.

World Web Math: определение дифференциации

World Web Math: определение дифференциации Суть исчисления – это производная . В производная мгновенная скорость изменения функции по отношению к одному из ее переменные. Это эквивалентно нахождению наклона касательная к функции в точке. Воспользуемся представлением о производных как касательные, чтобы мотивировать геометрическое определение производной.
Мы хотим найти наклон касательной к графику в точке П . Наклон можно приблизительно определить, проведя линию через точка P и еще одна точка рядом, а затем нахождение наклона этой линии, называемой секущей линией . Наклон линия определяется используя следующую формулу ( м представляет уклон):

Пусть P = ( x , y ) и Q & nbsp: = ( a , b ).Позволять

Тогда наклон линия

Теперь мы выбрал произвольный интервал Delta- x . Каким образом размер Delta – x влияет на нашу оценку наклона касательная линия? Чем меньше Delta- x , тем точнее это приближение. Есть замечательная анимация этого Дугласа. Арнольд. Посмотрите на это здесь. Вы можете увидеть слева от анимации, как Delta- x уменьшается, в результате чего секущая приближается к касательной, где она увеличивает масштаб справа.Еще одна анимация этого (также от Дугласа Арнольд) здесь.

Что мы хотим сделать, так это уменьшить размер Delta- x как как можно больше. Мы делаем это, принимая предел как Дельта – х приближается к нулю. В пределе, принимая предел существует, мы найдем точный наклон касательной к кривой в точке данный пункт. Это значение является производной;


Есть несколько разных, но эквивалентных версий этого определения. В более общих соображениях h часто используется вместо Дельта – х .Или Delta- y используется вместо

Это приводит к трем часто используемым способам выражения определение производной:


Обозначения, относящиеся к производной | Когда функция дифференцируема?

Вернуться на страницу исчисления | Вернуться на главную страницу World Web Math


[email protected]
Последнее изменение 14 октября 1999 г.

Значение производной

5

Скорость изменения функции
при определенном значении x

Уклон прямой

Наклон касательной к кривой

Секунда кривой

Коэффициент разницы

Определение производной

Производная от f ( x ) = x 2

Дифференцируемая при x

Обозначения для производной

Коэффициент простой разности

Раздел 2: Проблемы

Производная от f ( x ) = 2 x – 5

Уравнение касательной к кривой

Производная от f ( x ) = x 3

РАСЧЕТ ПРИМЕНЯЕТСЯ К ВЕЩАМ, которые не изменяются с постоянной скоростью.Скорость из-за силы тяжести, рождений и смертей в популяции, единицы y для каждой единицы x . Значения функции, называемой производной, будут иметь переменную скорость изменения.

Теперь, поскольку мы считаем x независимой переменной, а y зависимой, то любое изменение Δ x в значении x приведет к изменению Δ y в значении . y . На прямой линии скорость изменения – такое количество единиц x на каждую единицу x – постоянна и называется наклоном линии.

Наклон прямой – это число:

Δ y
Δ x
= = Изменение в и -кладе
Изменение в x -кладе
.

(Тема 8 Precalculus.)

Прямая линия имеет один и только один наклон; одна и только одна скорость изменения.

Если, например, x представляет время, а y представляет расстояние, тогда

прямолинейный график, который их связывает, указывает на постоянную скорость. Скажем, 45 миль в час – в каждый момент времени.

Наклон касательной к кривой

Однако исчисление связано со скоростью изменения, которая не является постоянной.

Если эта кривая представляет расстояние Y в зависимости от времени X , то скорость изменения – скорость – в каждый момент времени непостоянна.Вопрос, который задает расчет: «Какова скорость изменения точно в точке P ?» Ответом будет наклон касательной к кривой в этой точке. И метод определения этого наклона – этого числа – был замечательным открытием Исаака Ньютона (1642-1727) и Готфрида Лейбница (1646-1716). Это метод нахождения того, что называется производной.

Секунда кривой

Касательная – это прямая линия, которая касается кривой.Секущая – это прямая линия, пересекающая кривую. Следовательно, рассмотрим секущую линию, которая пересекает кривую в точках P и Q . Тогда наклон секущей равен

Δ y
Δ x
=

Но еще раз вопрос, который задает исчисление: как функция изменяется точно при x 1 ?

Каков наклон касательной к кривой на P ?

Однако мы не можем оценить точно при P – потому что Δ y и Δ x тогда оба будут равны 0, а значение будет совершенно неоднозначным.

Поэтому мы будем рассматривать все более короткие и более короткие расстояния Δ x , что приведет к последовательности секущих –

– череда спусков. А определим касательной в точке P как предел этой последовательности уклонов.

Этот наклон, этот предел будет значением того, что мы будем называть производной.

Коэффициент разницы

Пусть y = f ( x ) будет непрерывной функцией, и пусть координаты фиксированной точки P на графике будут ( x , f ( x )). (Тема 4 Precalculus.) Пусть теперь x изменится на величину Δ x . Тогда новое значение x равно x + Δ x .
Это x -кординат Q на графике.

Но когда значение x изменяется, возникает результирующее изменение Δ y
в значении y , то есть в значении f ( x ). Его новое значение – f ( x + Δ x ). Координаты Q равны ( x + Δ x , f ( x + Δ x )).

Затем

Итак, это определение наклона касательной в точке P :

Наклон касательной на P
– это предел изменения функции (числитель)
, деленный на изменение независимой переменной
, когда это изменение приближается к 0.

Поскольку Δ x , а не x – это переменная, которая приближается к 0, x остается постоянной, и этот предел будет функцией x . Поскольку она будет производной от f ( x ), мы называем ее производной функцией или производной f ( x ). Чтобы напомнить нам, что он был производным от f ( x ), мы обозначим его как f ‘ ( x ) – « f-prime из x

Это частное –

– называется частным Ньютона, или разностным коэффициентом. Его вычисление и упрощение – фундаментальная задача дифференциального исчисления.

Опять же, коэффициент разности является функцией Δ x . Но для упрощения письменных вычислений вместо Δ x будем писать h .

Δ x = ч
Δ y = f ( x + h ) – f ( x )

Тогда коэффициент разницы станет:

Теперь выразим определение производной следующим образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5. Под производной функции f ( x ) мы подразумеваем следующий предел, если он существует:

Мы называем это ограничение функцией f ‘ ( x ) – « f -простое число x » – и когда этот предел существует, мы говорим, что f само по себе является дифференцируемым при x . , и что f имеет производную.

Итак, мы берем предел коэффициента разницы, равный h , приближающемуся к 0.Когда этот предел существует, это означает, что коэффициент разницы можно сделать как можно ближе к этому пределу – « f ‘ ( x )» – как нам угодно. (Урок 2.)

Что касается x , мы должны считать его фиксированным. Это конкретное значение, при котором мы оцениваем f ‘ ( x ).

На практике мы должны упростить коэффициент разности, прежде чем позволить h приблизиться к нулю. Мы должны выразить числитель –

f ( x + h ) – f ( x )

– таким образом, чтобы мы могли разделить его на h .

Подводя итог: производная – это функция – правило, которое присваивает каждому значению x наклон касательной в точке ( x , f ( x )) на график f ( x ). Это скорость изменения f ( x ) в этот момент.

В качестве примера мы применим определение, чтобы доказать, что наклон касательной к функции f ( x ) = x 2 , в точке ( x , x 2 ), равно 2 x .

ТЕОРЕМА. f ( x ) = x 2
подразумевает
f ‘ ( x ) = 2 х .

Доказательство. Вот коэффициент разницы, который мы продолжим для упрощения:

1) ( x + h ) 2 x 2
h
2) = x 2 + 2 xh + h 2 x 2
h
3) = 2 xh + h 2
h
4) = 2 x + h .

При переходе от строки 1) к строке 2) мы возводим в квадрат бином x + h . (Урок 18 алгебры.)

Переходя к строке 3), мы вычли x 2 с. То есть мы вычли f ( x ).

В строке 4) мы разделили числитель на h . (Урок 20 из Алгебра.)

Мы можем это сделать, потому что h никогда не равно , равному и 0, даже когда мы берем предел (Урок 2).

Завершим определение производной и возьмем предел:

f ‘ ( x ) = (2 x + h )
= 2 х .

Это то, что мы хотели доказать.

Всякий раз, когда мы применяем определение, мы должны алгебраически манипулировать коэффициентом разности, чтобы мы могли просто заменить h на 0. Фактически, вся теория пределов со всеми ее сложностями и тонкостями была изобретена, чтобы оправдать именно это. (Бедного Ньютона и Лейбница критиковали за то, что они предлагали оправдания, которые не нравились изобретателям ограничений в XIX веке.) многочлен от h .

Проблема. Пусть f ( x ) = x 2 , и вычислим наклон касательной к графику –

а) при x = 5.

Поскольку f ‘ ( x ) = 2 x , то при x = 5 наклон касательной составляет 10.

б) при x = −3. −6.

c) при x = 0.0.

Дифференцируемая при x

Согласно определению, функция будет дифференцируемой при x , если там существует определенный предел. Графически это означает, что график при этом значении x будет иметь касательную линию. Тогда при каких значениях функция , а не будет дифференцируемой?

Без касательной

Выше представлены два примера.Функция слева не имеет производной при x = 0, потому что там функция является разрывной. При x = 0 тангенса, очевидно, нет.

Что касается графика справа, это функция абсолютного значения, y = | x |. (Тема 5 Precalculus.) И невозможно определить касательную линию при x = 0, потому что график образует там острый угол. Фактически, наклон касательной, когда x приближается к 0 слева, равен -1.Однако наклон, приближающийся справа, равен +1. Наклон касательной при 0, который был бы производной при x = 0, поэтому не существует. (Определение 2.2.)

Тем не менее, функция абсолютного значения является непрерывной при x = 0. Так, левый предел самой функции, когда x приближается к 0, равен , равному правому пределу, а именно 0. Это иллюстрирует эту непрерывность. в точке не является гарантией дифференцируемости – существования касательной – в этой точке.

(И наоборот, если функция дифференцируема в точке – если есть касательная – она ​​также будет непрерывной там. График будет гладким и без изломов.)

Поскольку дифференциальное исчисление – это изучение производных, оно в основном занимается функциями, дифференцируемыми при всех значениях их областей определения. Такие функции называются дифференцируемыми.

Можете ли вы назвать элементарный класс дифференцируемых функций?

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала подумайте об этом сами!

Полиномы.

Обозначения для производной

Поскольку производной является этот предел: тогда символ самого лимита (читается: «dee- y , dee- x .»)

Например, если

л = x 2 ,
тогда, как мы видели,
= 2 х .

«Dee- y , dee- x – производная от y по отношению к x – составляет 2 x ».

Так же пишем

y ‘ ( x ) = 2 x .

y – простое число x равно 2 x .”

Сам по себе символ: d
dx
(“dee, dee- x “) , называется

дифференцирующий оператор .Мы должны взять производную от того, что следует за ней.

Например,

d
dx
f ( x ) означает производную по отношению к x от f ( x ).
d
dt
(4 т 3 -5) означает производный инструмент по отношению к т
из (4 т 3 – 5).

И так далее.

Коэффициент простой разности

Коэффициент разницы является версией. И иногда мы будем использовать последнее. То есть изменение значения функции y = f ( x ) равно y + Δ y . Следовательно, коэффициент разницы составляет

Иногда бывает удобно выразить коэффициент разницы как

Примечание : Когда Δ x приближается к 0 – когда точка Q приближается к P по кривой – тогда Δ y или, что эквивалентно, Δ f также приближается к 0.То есть

Теперь ученик должен выполнить Задачи, требующие определения производной.

Содержание | Дом


Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.


Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Эл.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *