Что такое производная простыми словами: Производная простыми словами

Что такое производная простыми словами — примеры, история

Производная простыми словами – это понятие, подразумевающее проведение анализа в изменении математических величин, например, функции скорости. Ещё одно определение термина – средний наклон между двумя точками.

Производная функции – это итог дифференцирования функции. В математике понятие дифференцирования расшифровывается, как процесс, в результате которого одна функция превращается в другую.

Обратный процесс дифференцирования называется интегрированием, то есть возвращением к исходным данным.

@NK-TV.com

Сложность представления и понимания термина в том, что он является абстрактным и в физическом смысле, наглядно, его представить невозможно.

Если привычные величины, употребляемые в математике – площадь, разность, сложение – объяснить несложно, то смысл функции производной – уловить трудно.

Королёв и Сидоров за контрольную работу по физике получили «4». Первый – доволен оценкой, второй – нет. Потому что: Королёв выше «3» никогда не получал, а Сидоров – круглый отличник, и для него такая оценка – трагедия. При применении к этому принципа динамик: у Королёва рост (функция растёт), а у Сидорова – падение (производная в минусе). То есть, оценка показывает общее положение дел, а производная – развитие этой ситуации и её перспективу.

Примеры производных

Для понимания представим любой объект, который перемещается в прямом направлении с изменяющимся ускорением. Так как оно постоянно меняется, то определить его следует в определённый момент «t0». Для этого определяется минимальный отрезок времени «Δt», а весь путь – «ΔS».

Следовательно, его скорость будет: ΔS / Δt. Чем короче период Δt, тем точнее будет скорость. Наиболее актуальное ускорение в момент t0 можно понять при расчёте предела Δt —>0:

Это пример физического смысла.

На примере этого рисунка раскрыт геометрический смысл производной.

Из представленный трёх графиков несложно понять, что третий вариант имеет более высокую скорость изменения, то есть производную.

История возникновения термина

Первое упоминание в мировом масштабе относится к XV веку и знаменитому математику Тартальи (Италия). Он вплотную подошёл к этой формулировки, проводя исследование: как влияет наклон пушки на расстояние полёта ядра. В результате у него возникло название и назначение современной формулировки производной.

Из наших соотечественников термин впервые употребил учёный-математик Висковатов в начале XVIII века.

Российский математик Чебышёв, ещё в XIX веке обращал внимание на то, что главную значимость приобретают те научные методы, с помощью которых извлекается прямая выгода в производственной деятельности. Тем самым,доказал значение производной для профессий и специальностей различных сфер:

• Технологи применяют методы для максимального выпуска продукции.
• При конструкции самолётов, составляющие деталей подбираются по принципу наименьшего веса, для облегчения общей конструкции.
• Экономисты при строительстве предприятий учитывают нахождение источников сырья в конкретной близости, чтобы минимизировать расходы на логистику.

Что такое производные и зачем они нужны?

Сегодня мне хочется в очередной раз попытаться ответить на вопрос который, наверное, неприятнее всего слышать от школьников, но очень часто его можно услышать и от взрослых людей, зачем вообще нужны эти производные.

Действительно, вопрос очень интересный, особенно для тех, кто учиться сейчас в школе, или давно ее закончил и до сих пор не понимает, зачем его заставляли учить, кахалось бы, бессконечную таблицу производных. В этой статье я попытаюсь вам простыми словами что это, где это, и зачем это существует. 

Давайте начнем с самого понятия производная. В школе (по крайней мере в моей) нам дают абсолютно не понятные понятия всех тем математического анализа, включая интеграл, предел, прозводную, дифференцирование и т.д, простыми же словами, или как я люблю обьяснять своим ученикам такие вещи “одним словом”, производная это скорость. В каком смысле скорость спросите вы, это скорость роста функции, рассмотрим примеры для большего понимания.  

Первый пример. Представим что вы коллекционируете монеты. Каждый месяц вы ходите в ресторан 2 раза. Тогда какая функция будет задавать эти события? Не долго думая мы поймем что это f(y)=x (рис 1).

Можем заметить, что график функции и значения y не зависят от временной шкалы х. Как думаете, чему равна проивзодная этой функции? Она равна 0. Доказать это легко, первый вариант это просто взять проивзодную из таблицы производных. Производная константы равна 0, соотвественно y=С, y’=0. И ествественно графически, выше уже было сказано что производная это скорость роста функции, следовательно, если нет роста(что мы видим на графике), нет и скорости роста функции. Здесь я не подошел к решения производных и близко, но важно обьяснить простым языком термин. 

Теперь давайте рассмотрим вариант где проивзодная не будет равняться нулю. Предположим что каждый месяц вы увеличиваете колчиество походов в ресторан на 2. Первый месяц вы сходили в ресторан 2 раза, второй месяц 4, третий 6 и так далее. 2, y’=32-2x. Приравниваем наше уравнение к нулю и получаем что х=16. Следовательно наибольшая площадь прямоугольника имеющего периметр 64 будет со стороной 16. А если уточнить то это будет квадрат со стороной 16. Такой себе пример скажите вы, кому нужно сторить ограждение для дачи. Возможно, также производная используется для анализа экономических стратегий. Зная основное свойство производной – показывает скорость роста функции, можно интегрировать ее в анализ тех или иных временых промежутков. К примеру следуя стратегии А, компания имела прибыль которая характеризовалась функцией f(y)=x, следуя же стратегии В компания имела прибыль которая характеризуется функцией p(y)=x. Не берите в внимание названия функций, они могут быть совершенно любые. Как узнать без больших расчетов, расчетов базовой и относительной динамики прибыли за исследуемый период времени, какая стратегия эффективнее? Естественно путем нахождения производной если p'(y)=x больше f'(y)=x соотвественно скорость роста функции p(y)=x выше, и рост прибыли выше. Конечно, использовать слепо производные в анализе не стоит, ведь прибыль то может быть и меньше, но быстрее рости, в даном случае стратегия будет возможно менее эффективной.

Подведем итоги, проивзодная в общем понимании – скорость роста функции. Производные могут использоваться как в строительстве ограждений для ваших дач, так и для анализа экономическиъ стратегий, последнее особенно важно если вы собираетесь в дальнейшем связывать свою жизнь и образование со сферой экономики. 

Derivative (математика) — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Другие значения этого термина см. в Derivative.

Функция (черный) и тангенс (красный). Производная в точке есть наклон касательной.

В математике (особенно в дифференциальном исчислении) производная — это способ показать мгновенную скорость изменения, то есть величину, на которую функция изменяется в данной точке. Для функций, которые действуют на действительные числа, это наклон касательной в точке на графике. Производная часто записывается как dydx{\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}} (“dy над dx” или “dy на dx”, что означает разность по у, деленная на разность по х). d не является переменной и поэтому не может быть отменено. Другое распространенное обозначение – f ‘(x) {\ displaystyle f’ (x)} – производная функции f {\ displaystyle f} в точке x {\ displaystyle x}, обычно читаемая как «f {\ displaystyle f} простое число х {\ Displaystyle х}”.

[1] ^{[2] [3]}

Анимация, дающая интуитивное представление о производной, поскольку «качание» функции изменяется при изменении аргумента.

Производная y по x определяется как изменение y по сравнению с изменением x, поскольку расстояние между x0{\displaystyle x_{0}} и x1{\displaystyle x_{1}} становится бесконечно малым ( бесконечно малый). С математической точки зрения, ^{[2] [3]}

f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h{\displaystyle f'(a)=\lim _{ h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

То есть, когда расстояние между двумя точками x (h) становится ближе к нулю, наклон линия между ними приближается к касательной.

Линейные функции[изменить | изменить источник]

Производные линейных функций (функции вида mx+c{\displaystyle mx+c} без квадратичных или более высоких членов) являются постоянными. То есть производная в одном месте графика останется такой же в другом.

Когда зависимая переменная y{\displaystyle y} напрямую принимает значение x{\displaystyle x} (y=x{\displaystyle y=x}), наклон линии равен 1 во всех местах, поэтому ddx( х) = 1 {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (x) = 1} независимо от того, где находится позиция. 9{2}}}

Логарифмические функции[изменить | изменить источник]

Производная логарифмов является обратной величиной:

[2]

ddxln⁡(x)=1x{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{х}}}.

Возьмем, например, ddxln⁡(5x){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)}. Это можно свести к (по свойствам логарифмов):

ddx (ln⁡ (5)) − ddx (ln⁡ (x)) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ ln (5)) – {\ frac {d} {dx} }(\ln(x))}

Логарифм числа 5 является константой, поэтому его производная равна 0. Производная от ln⁡(x){\displaystyle \ln(x)} равна 1x{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Так,

0−ddxln⁡(x)=−1x{\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}

Для производные логарифмов не по основанию e , такие как ddx (log10⁡ (x)) {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (\ log _ {10} (x))}, это можно уменьшить к:

ddxlog10⁡(x)=ddxln⁡xln⁡10=1ln⁡10ddxln⁡x=1xln⁡(10){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={ \ frac {d} {dx}} {\ frac {\ ln {x}} {\ ln {10}}} = {\ frac {1} {\ ln {10}}} {\ frac {d} {dx }}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}

Тригонометрические функции[изменить | change source]

Функция косинуса является производной функции синуса, в то время как производная косинуса представляет собой отрицательный синус (при условии, что x измеряется в радианах): ^[2]

ddxsin⁡(x)=cos⁡ (х) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x)}

ddxcos ⁡ (х) = – грех ⁡ (х) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ cos (x) = – \ sin (x)}

ddxsec ⁡ (x) = sec ⁡ (x) загар ⁡ (x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sec (x) = \ sec (x) \ tan (x)}. 9{5}+2x\,}

Производная функции может использоваться для поиска максимумов и минимумов функции путем поиска мест, где ее наклон равен нулю.

Производные используются в методе Ньютона, который помогает найти нули (корни) функции. Производные также можно использовать для определения вогнутости функции и того, является ли функция возрастающей или убывающей.

• Коэффициент разности
• Основная теорема исчисления
• Неявная производная
• Интеграл
• Частная производная
• Вторая производная

1. ↑ «Список символов исчисления и анализа». Математическое хранилище . 2020-05-11. Проверено 15 сентября 2020 г. .
2. ↑ ^{2.0 2.1 2.2 2.3 2.4} Вайсштейн, Эрик В. «Производная». mathworld.wolfram.com . Проверено 15 сентября 2020 г. .
3. ↑ ^{3.0 3.1} «Значение производной – подход к исчислению».
   themathpage.com . Проверено 15 сентября 2020 г. .

• Онлайн-калькулятор производных, показывающий промежуточные этапы расчета
• Решенные задачи в производных

Производные (математика) — Простая английская Википедия, бесплатная энциклопедия

Другие значения термина см. в Производные.

Функция (черный) и тангенс (красный). Производная в точке есть наклон касательной.

В математике (особенно в дифференциальном исчислении) 9Производная 0007 — это способ показать мгновенную скорость изменения, то есть величину, на которую функция изменяется в данной точке. Для функций, которые действуют на действительные числа, это наклон касательной в точке на графике. Производная часто записывается как dydx {\ displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}} («dy над dx» или «dy на dx», что означает

разность по y, деленная на разность по x) . d не является переменной и поэтому не может быть отменено. Другое распространенное обозначение – f ‘(x) {\ displaystyle f’ (x)} – производная функции f {\ displaystyle f} в точке x {\ displaystyle x}, обычно читаемая как «f {\ displaystyle f} простое число х {\ Displaystyle х}”. ^{[1] [2] [3]}

Анимация, дающая интуитивное представление о производной, поскольку «качание» функции изменяется при изменении аргумента.

Производная y по x определяется как изменение y по сравнению с изменением x, поскольку расстояние между x0{\displaystyle x_{0}} и x1{\displaystyle x_{1}} становится бесконечно малым ( бесконечно малый). С математической точки зрения, ^{[2] [3]}

f′(a)=limh→0f(a+h)−f(a)h{\displaystyle f'(a)=\lim _{ ч\к 0}{\фракция {е(а+ч)-е(а)}{ч}}}

То есть по мере того, как расстояние между двумя точками x (h) становится ближе к нулю, наклон линии между ними становится ближе к касательной.

Линейные функции[изменить | изменить источник]

Производные линейных функций (функции вида mx+c{\displaystyle mx+c} без квадратичных или более высоких членов) являются постоянными. То есть производная в одном месте графика останется такой же в другом.

Когда зависимая переменная y{\displaystyle y} напрямую принимает значение x{\displaystyle x} (y=x{\displaystyle y=x}), наклон линии равен 1 во всех местах, поэтому ddx( х) = 1 {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (x) = 1} независимо от того, где находится позиция. 9{2}}}

Логарифмические функции[изменить | изменить источник]

Производная логарифмов является обратной величиной:

[2]

ddxln⁡(x)=1x{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{х}}}.

Возьмем, например, ddxln⁡(5x){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)}. Это можно свести к (по свойствам логарифмов):

ddx (ln⁡ (5)) − ddx (ln⁡ (x)) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ ln (5)) – {\ frac {d} {dx} }(\ln(x))}

Логарифм числа 5 является константой, поэтому его производная равна 0. Производная от ln⁡(x){\displaystyle \ln(x)} равна 1x{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Так,

0−ddxln⁡(x)=−1x{\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}

Для производные логарифмов не по основанию e , такие как ddx (log10⁡ (x)) {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (\ log _ {10} (x))}, это можно уменьшить к:

ddxlog10⁡(x)=ddxln⁡xln⁡10=1ln⁡10ddxln⁡x=1xln⁡(10){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={ \ frac {d} {dx}} {\ frac {\ ln {x}} {\ ln {10}}} = {\ frac {1} {\ ln {10}}} {\ frac {d} {dx }}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}

Тригонометрические функции[изменить | change source]

Функция косинуса является производной функции синуса, в то время как производная косинуса представляет собой отрицательный синус (при условии, что x измеряется в радианах): ^[2]

ddxsin⁡(x)=cos⁡ (х) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x)}

ddxcos ⁡ (х) = – грех ⁡ (х) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ cos (x) = – \ sin (x)}

ddxsec ⁡ (x) = sec ⁡ (x) загар ⁡ (x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sec (x) = \ sec (x) \ tan (x)}. 9{5}+2x\,}

Производная функции может использоваться для поиска максимумов и минимумов функции путем поиска мест, где ее наклон равен нулю.

Производные используются в методе Ньютона, который помогает найти нули (корни) функции. Производные также можно использовать для определения вогнутости функции и того, является ли функция возрастающей или убывающей.

• Коэффициент разности
• Основная теорема исчисления
• Неявная производная
• Интеграл
• Частная производная
• Вторая производная

1. ↑ «Список символов исчисления и анализа». Математическое хранилище . 2020-05-11. Проверено 15 сентября 2020 г. .
2. ↑ ^{2.0 2.1 2.2 2.3 2.4} Вайсштейн, Эрик В. «Производная». mathworld.wolfram.com . Проверено 15 сентября 2020 г. .
3. ↑ ^{3.0 3.1} «Значение производной – подход к исчислению».