Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная простыми словами: ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ простыми словами

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ производная простыми словами β€” ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, история

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ простыми словами – это понятиС, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Π² ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ матСматичСских Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ скорости. Π•Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° – срСдний Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – это ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ диффСрСнцирования Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ понятиС диффСрСнцирования Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ процСсс, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° функция прСвращаСтся Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ процСсс диффСрСнцирования называСтся ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ исходным Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ.

@NK-TV.com

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прСдставлСния ΠΈ понимания Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΒ ΠΎΠ½ являСтся абстрактным ΠΈ Π² физичСском смыслС, наглядно, Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

Если ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, употрСбляСмыС Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ – ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, слоТСниС – ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ нСслоТно, Ρ‚ΠΎ смысл Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ – ΡƒΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ.

ΠšΠΎΡ€ΠΎΠ»Ρ‘Π² ΠΈ Π‘ΠΈΠ΄ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π·Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Β«4Β». ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ – Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»Π΅Π½ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΎΠΉ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ – Π½Π΅Ρ‚. ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ: ΠšΠΎΡ€ΠΎΠ»Ρ‘Π² Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Β«3Β» Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π», Π° Π‘ΠΈΠ΄ΠΎΡ€ΠΎΠ² – ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΈΠΊ, ΠΈ для Π½Π΅Π³ΠΎ такая ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° – трагСдия. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊ этому ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊ: Ρƒ ΠšΠΎΡ€ΠΎΠ»Ρ‘Π²Π° рост (функция растёт), Π° Ρƒ Π‘ΠΈΠ΄ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π° – ΠΏΠ°Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (производная Π² минусС). Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π», Π° производная – Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ этой ситуации ΠΈ Π΅Ρ‘ пСрспСктиву.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

Для понимания прСдставим любой ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ пСрСмСщаСтся Π² прямом Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ с ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ ускорСниСм. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΎ постоянно мСняСтся, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ слСдуСт Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Β«t0Β». Для этого опрСдСляСтся ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ «ΔtΒ», Π° вСсь ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ – «ΔSΒ».

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚: Ξ”S / Ξ”t. Π§Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‡Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ξ”t, Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. НаиболСС Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ускорСниС Π² ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ t0 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ расчётС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π° Ξ”t β€”>0:

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ физичСского смысла.

На ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ этого рисунка раскрыт гСомСтричСский смысл ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Из прСдставлСнный Ρ‚Ρ€Ρ‘Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² нСслоТно ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π²Ρ‹ΡΠΎΠΊΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ возникновСния Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π°

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π΅ относится ΠΊ XV Π²Π΅ΠΊΡƒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΡƒ Π’Π°Ρ€Ρ‚Π°Π»ΡŒΠΈ (Π˜Ρ‚Π°Π»ΠΈΡ). Он Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΡˆΡ‘Π» ΠΊ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ, проводя исслСдованиС: ΠΊΠ°ΠΊ влияСт Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΏΡƒΡˆΠΊΠΈ Π½Π° расстояниС ΠΏΠΎΠ»Ρ‘Ρ‚Π° ядра. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ соврСмСнной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ.

Из Π½Π°ΡˆΠΈΡ… соотСчСствСнников Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΠ» ΡƒΡ‡Ρ‘Π½Ρ‹ΠΉ-ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Висковатов Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ XVIII Π²Π΅ΠΊΠ°.

Российский ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Π§Π΅Π±Ρ‹ΡˆΡ‘Π², Π΅Ρ‰Ρ‘ Π² XIX Π²Π΅ΠΊΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π» Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΡƒΡŽ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π΅ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… извлСкаСтся прямая Π²Ρ‹Π³ΠΎΠ΄Π° Π² производствСнной Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. Π’Π΅ΠΌ самым,Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π» Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ для профСссий ΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сфСр:

  • Π’Π΅Ρ…Π½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ для максимального выпуска ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  • ΠŸΡ€ΠΈ конструкции самолётов, ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π΅Ρ‚Π°Π»Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΡƒ наимСньшСго вСса, для облСгчСния ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ конструкции.
  • Экономисты ΠΏΡ€ΠΈ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ прСдприятий ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ источников ΡΡ‹Ρ€ΡŒΡ Π² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ близости, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ расходы Π½Π° логистику.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹?

БСгодня ΠΌΠ½Π΅ хочСтся Π² ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄Π½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π· ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° вопрос ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ, Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅, нСприятнСС всСго ΡΠ»Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ школьников, Π½ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто Сго ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡΠ»Ρ‹ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΎΡ‚ взрослых людСй, Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ эти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅.

Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, вопрос ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ интСрСсный, особСнно для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ сСйчас Π² школС, ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°Π²Π½ΠΎ Π΅Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ» ΠΈ Π΄ΠΎ сих ΠΏΠΎΡ€ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚, Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ заставляли ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°Ρ…Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹, Π±Π΅ΡΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. Π’ этой ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ я ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΡŽΡΡŒ Π²Π°ΠΌ простыми словами Ρ‡Ρ‚ΠΎ это, Π³Π΄Π΅ это, ΠΈ Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ это сущСствуСт.Β 

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с самого понятия производная. Π’ школС (ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π² ΠΌΠΎΠ΅ΠΉ) Π½Π°ΠΌ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Π½Π΅ понятныС понятия всСх Ρ‚Π΅ΠΌ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π», ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», ΠΏΡ€ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ, Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ‚.Π΄, простыми ΠΆΠ΅ словами, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ я люблю ΠΎΠ±ΡŒΡΡΠ½ΡΡ‚ΡŒ своим ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ‰ΠΈ “ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ словом”, производная это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ смыслС ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ спроситС Π²Ρ‹, это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ для большСго понимания. Β 

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠΎΠ½Π΅Ρ‚Ρ‹. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ мСсяц Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² рСсторан 2 Ρ€Π°Π·Π°. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° какая функция Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ эти события? НС Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ думая ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠ΅ΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это f(y)=x (рис 1).

МоТСм Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ значСния y Π½Π΅ зависят ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡˆΠΊΠ°Π»Ρ‹ Ρ…. Как Π΄ΡƒΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π½Π° проивзодная этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ? Она Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ это Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ это просто Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ²Π·ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ константы Ρ€Π°Π²Π½Π° 0, соотвСствСнно y=Π‘, y’=0. И СствСствСнно графичСски, Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΠΆΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ сказано Ρ‡Ρ‚ΠΎ производная это ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли Π½Π΅Ρ‚ роста(Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅), Π½Π΅Ρ‚ ΠΈ скорости роста Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ я Π½Π΅ подошСл ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ, Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŒΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ простым языком Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½.Β 

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π³Π΄Π΅ проивзодная Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ мСсяц Π²Ρ‹ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚Π΅ колчиСство ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π² рСсторан Π½Π° 2. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ мСсяц Π²Ρ‹ сходили Π² рСсторан 2 Ρ€Π°Π·Π°, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ мСсяц 4, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ 6 ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. 2, y’=32-2x. ΠŸΡ€ΠΈΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ нашС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ…=16. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ наибольшая ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ 64 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ со стороной 16. А Ссли ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ со стороной 16. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ сСбС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ скаТитС Π²Ρ‹, ΠΊΠΎΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ производная ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° экономичСских стратСгий. Зная основноС свойство ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ – ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‹Ρ… Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ². К ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ слСдуя стратСгии А, компания ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΡŒ которая Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π»Π°ΡΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ f(y)=x, слСдуя ΠΆΠ΅ стратСгии Π’ компания ΠΈΠΌΠ΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΡŒ которая характСризуСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ p(y)=x. НС Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π² Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ названия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅. Как ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π±Π΅Π· Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… расчСтов, расчСтов Π±Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΠΈ Π·Π° исслСдуСмый ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, какая стратСгия эффСктивнСС? ЕстСствСнно ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ссли p'(y)=x большС f'(y)=x соотвСствСнно ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ p(y)=x Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΈ рост ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ слСпо ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ Π½Π΅ стоит, вСдь ΠΏΡ€ΠΈΠ±Ρ‹Π»ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈ мСньшС, Π½ΠΎ быстрСС рости, Π² Π΄Π°Π½ΠΎΠΌ случаС стратСгия Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ эффСктивной.

ПодвСдСм ΠΈΡ‚ΠΎΠ³ΠΈ, проивзодная Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠΈ – ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ для Π²Π°ΡˆΠΈΡ… Π΄Π°Ρ‡, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ для Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΡŠ стратСгий, послСднСС особСнно Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ ΡΠΎΠ±ΠΈΡ€Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ Π² дальнСйшСм ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ свою Тизнь ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ со сфСрой экономики.Β 

Derivative (ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°) β€” ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π°Ρ английская ВикипСдия, бСсплатная энциклопСдия

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ значСния этого Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° см. Π² Derivative.

Ѐункция (Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ) ΠΈ тангСнс (красный). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ (особСнно Π² Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ исчислСнии) производная β€” это способ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ функция измСняСтся Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, это Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ часто записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ dydx{\displaystyle {\tfrac {dy}{dx}}} (“dy Π½Π°Π΄ dx” ΠΈΠ»ΠΈ “dy Π½Π° dx”, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρƒ, дСлСнная Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ…). d Π½Π΅ являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ поэтому Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ распространСнноС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ – f ‘(x) {\ displaystyle f’ (x)} – производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f {\ displaystyle f} Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x {\ displaystyle x}, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ читаСмая ΠΊΠ°ΠΊ Β«f {\ displaystyle f} простоС число Ρ… {\ Displaystyle Ρ…}”.

[1] [2] [3]

Анимация, Π΄Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Β«ΠΊΠ°Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅Β» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ измСняСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ y ΠΏΠΎ x опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ x, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ x0{\displaystyle x_{0}} ΠΈ x1{\displaystyle x_{1}} становится бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ ( бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΉ). Π‘ матСматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния, [2] [3]

fβ€²(a)=limhβ†’0f(a+h)βˆ’f(a)h{\displaystyle f'(a)=\lim _{ h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ x (h) становится Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ линия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ приблиТаСтся ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ[ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ источник]

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° mx+c{\displaystyle mx+c} Π±Π΅Π· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ постоянными. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ мСстС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° останСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ.

Когда зависимая пСрСмСнная y{\displaystyle y} Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x{\displaystyle x} (y=x{\displaystyle y=x}), Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1 Π²ΠΎ всСх мСстах, поэтому ddx( Ρ…) = 1 {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (x) = 1} нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π³Π΄Π΅ находится позиция. 9{2}}}

ЛогарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ[ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ источник]

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ:

[2]

ddxln⁑(x)=1x{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{Ρ…}}}.

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ddxln⁑(5x){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)}. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ свСсти ΠΊ (ΠΏΠΎ свойствам Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²):

ddx (ln⁑ (5)) βˆ’ ddx (ln⁑ (x)) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ ln (5)) – {\ frac {d} {dx} }(\ln(x))}

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа 5 являСтся константой, поэтому Π΅Π³ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ln⁑(x){\displaystyle \ln(x)} Ρ€Π°Π²Π½Π° 1x{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Π’Π°ΠΊ,

0βˆ’ddxln⁑(x)=βˆ’1x{\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}

Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΏΠΎ основанию e , Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ddx (log10⁑ (x)) {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (\ log _ {10} (x))}, это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ:

ddxlog10⁑(x)=ddxln⁑xln⁑10=1ln⁑10ddxln⁑x=1xln⁑(10){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={ \ frac {d} {dx}} {\ frac {\ ln {x}} {\ ln {10}}} = {\ frac {1} {\ ln {10}}} {\ frac {d} {dx }}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ[ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ | change source]

Ѐункция косинуса являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ производная косинуса прСдставляСт собой ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ синус (ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…): [2]

ddxsin⁑(x)=cos⁑ (Ρ…) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x)}
ddxcos ⁑ (Ρ…) = – Π³Ρ€Π΅Ρ… ⁑ (Ρ…) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ cos (x) = – \ sin (x)}
ddxsec ⁑ (x) = sec ⁑ (x) Π·Π°Π³Π°Ρ€ ⁑ (x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sec (x) = \ sec (x) \ tan (x)}. 9{5}+2x\,}

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для поиска максимумов ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ поиска мСст, Π³Π΄Π΅ Π΅Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π΅ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ (ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для опрСдСлСния вогнутости Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ функция Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ разности
  • Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° исчислСния
  • НСявная производная
  • Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
  • Частная производная
  • Вторая производная
  1. ↑ «Бписок символов исчислСния ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Β». ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΠ»ΠΈΡ‰Π΅ . 2020-05-11. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½ΠΎ 15 сСнтября 2020 Π³. .
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Π’Π°ΠΉΡΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½, Π­Ρ€ΠΈΠΊ Π’. Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°ΡΒ». mathworld.wolfram.com . ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½ΠΎ 15 сСнтября 2020 Π³. .
  3. ↑ 3.0 3.1 Β«Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ – ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΈΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽΒ».
    themathpage.com . ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½ΠΎ 15 сСнтября 2020 Π³. .
  • Онлайн-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ этапы расчСта
  • Π Π΅ΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ…

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ (ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°) β€” ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π°Ρ английская ВикипСдия, бСсплатная энциклопСдия

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ значСния Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° см. Π² ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅.

Ѐункция (Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ) ΠΈ тангСнс (красный). ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ (особСнно Π² Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ исчислСнии) 9ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ 0007 β€” это способ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ³Π½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ измСнСния, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ функция измСняСтся Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, это Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ часто записываСтся ΠΊΠ°ΠΊ dydx {\ displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}} (Β«dy Π½Π°Π΄ dxΒ» ΠΈΠ»ΠΈ Β«dy Π½Π° dxΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚

Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ y, дСлСнная Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ x) . d Π½Π΅ являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ поэтому Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΎ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ распространСнноС ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ – f ‘(x) {\ displaystyle f’ (x)} – производная Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f {\ displaystyle f} Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x {\ displaystyle x}, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ читаСмая ΠΊΠ°ΠΊ Β«f {\ displaystyle f} простоС число Ρ… {\ Displaystyle Ρ…}”.
[1]
[2] [3]

Анимация, Π΄Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Β«ΠΊΠ°Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅Β» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ измСняСтся ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ y ΠΏΠΎ x опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ y ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ x, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ x0{\displaystyle x_{0}} ΠΈ x1{\displaystyle x_{1}} становится бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ ( бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΉ). Π‘ матСматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния, [2] [3]

fβ€²(a)=limhβ†’0f(a+h)βˆ’f(a)h{\displaystyle f'(a)=\lim _{ Ρ‡\ΠΊ 0}{\фракция {Π΅(Π°+Ρ‡)-Π΅(Π°)}{Ρ‡}}}

Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ x (h) становится Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ становится Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ[ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ источник]

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° mx+c{\displaystyle mx+c} Π±Π΅Π· ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высоких Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ постоянными. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ производная Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ мСстС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° останСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ.

Когда зависимая пСрСмСнная y{\displaystyle y} Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x{\displaystyle x} (y=x{\displaystyle y=x}), Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1 Π²ΠΎ всСх мСстах, поэтому ddx( Ρ…) = 1 {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (x) = 1} нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Π³Π΄Π΅ находится позиция. 9{2}}}

ЛогарифмичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ[ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ источник]

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ:

[2]

ddxln⁑(x)=1x{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{Ρ…}}}.

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ddxln⁑(5x){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln \left({\frac {5}{x}}\right)}. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ свСсти ΠΊ (ΠΏΠΎ свойствам Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²):

ddx (ln⁑ (5)) βˆ’ ddx (ln⁑ (x)) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (\ ln (5)) – {\ frac {d} {dx} }(\ln(x))}

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа 5 являСтся константой, поэтому Π΅Π³ΠΎ производная Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ ΠΎΡ‚ ln⁑(x){\displaystyle \ln(x)} Ρ€Π°Π²Π½Π° 1x{\displaystyle {\tfrac {1}{x}}} . Π’Π°ΠΊ,

0βˆ’ddxln⁑(x)=βˆ’1x{\displaystyle 0-{\frac {d}{dx}}\ln(x)=-{\frac {1}{x}}}

Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π½Π΅ ΠΏΠΎ основанию e , Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ ddx (log10⁑ (x)) {\ displaystyle {\ tfrac {d} {dx}} (\ log _ {10} (x))}, это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ:

ddxlog10⁑(x)=ddxln⁑xln⁑10=1ln⁑10ddxln⁑x=1xln⁑(10){\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{10}(x)={ \ frac {d} {dx}} {\ frac {\ ln {x}} {\ ln {10}}} = {\ frac {1} {\ ln {10}}} {\ frac {d} {dx }}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(10)}}}

ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ[ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ | change source]

Ѐункция косинуса являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ синуса, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ производная косинуса прСдставляСт собой ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ синус (ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x измСряСтся Π² Ρ€Π°Π΄ΠΈΠ°Π½Π°Ρ…): [2]

ddxsin⁑(x)=cos⁑ (Ρ…) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin (x) = \ cos (x)}
ddxcos ⁑ (Ρ…) = – Π³Ρ€Π΅Ρ… ⁑ (Ρ…) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ cos (x) = – \ sin (x)}
ddxsec ⁑ (x) = sec ⁑ (x) Π·Π°Π³Π°Ρ€ ⁑ (x) {\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sec (x) = \ sec (x) \ tan (x)}. 9{5}+2x\,}

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ для поиска максимумов ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ поиска мСст, Π³Π΄Π΅ Π΅Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π΅ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ (ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ для опрСдСлСния вогнутости Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ функция Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

  • ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ разности
  • Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° исчислСния
  • НСявная производная
  • Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»
  • Частная производная
  • Вторая производная
  1. ↑ «Бписок символов исчислСния ΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°Β». ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Ρ…Ρ€Π°Π½ΠΈΠ»ΠΈΡ‰Π΅ . 2020-05-11. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½ΠΎ 15 сСнтября 2020 Π³. .
  2. ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Π’Π°ΠΉΡΡˆΡ‚Π΅ΠΉΠ½, Π­Ρ€ΠΈΠΊ Π’. Β«ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°ΡΒ». mathworld.wolfram.com . ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½ΠΎ 15 сСнтября 2020 Π³. .
  3. ↑ 3.0 3.1 Β«Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ – ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΠΈΡΡ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽΒ».

ΠžΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ