Что такое в математике предел: Пределы. Простое объяснение

Предел (математика)

Предел — одно из основных понятий математического анализа, на него опираются такие фундаментальные разделы анализа, как непрерывность, производная, интеграл, бесконечные ряды и др. Различают предел последовательности и предел функции.

Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

История

Обоснование термина

Операция взятия предела в математическом анализе называется предельным переходом. Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объёмов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.

При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века (и, прежде всего, Ньютон) также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» (XVII век), однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.

Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.

С помощью теории пределов в первой половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.

Символ предела

Общепринятый символ предела lim x → a f ( x ) {displaystyle lim _{x o a}f(x)} был предложен Симоном Люилье (1787 год) в следующем формате: l i m . ⁡ x : a ; {displaystyle operatorname {lim.} x:a;} это обозначение получило поддержку Коши (1821). Точка после lim вскоре исчезла. Близкое к современному обозначение предела ввёл Вейерштрасс, хотя вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства: Lim x = a {displaystyle operatorname {Lim} _{x=a}} . Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков.

Обозначения для одностороннего предела вида lim x → a + 0 f ( x ) {displaystyle lim _{x o a+0}f(x)} первым предложил Дирихле (1837) в виде: f ( a + 0 ) , f ( a − 0 ) . {displaystyle f(a+0),f(a-0).} Мориц Паш (1887) ввёл другие важные понятия — верхнего и нижнего предела, которые записывал в виде: lim sup {displaystyle lim sup } и lim inf {displaystyle lim inf } соответственно. За рубежом эта символика стала стандартной, а в отечественной литературе преобладают другие обозначения: lim ¯ n → ∞ ⁡ x n ,   lim _ n → ∞ ⁡ x n , {displaystyle varlimsup _{n o infty }x_{n}, varliminf _{n o infty }x_{n},} введенные Альфредом Прингсхаймом в 1898 году. .

Предел последовательности

Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются ростом номера.

Число a {displaystyle a} называется пределом последовательности x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . {displaystyle x_{1},x_{2},…,x_{n},…} , если

∀   ε > 0 ,  ∃   N ( ε ) ,  ∀   n > N ( ε )     | x n − a | < ε {displaystyle forall { ext{ }}varepsilon >0{ ext{, }}exists { ext{ }}N(varepsilon ){ ext{, }}forall { ext{ }}n>N(varepsilon ){ ext{ }}{ ext{ }}|x_{n}-a|<varepsilon } .

Предел последовательности обозначается lim n → + ∞ x n {displaystyle lim _{n o +infty }x_{n}} . Допускается обозначение lim x n {displaystyle lim x_{n}} .

Свойства:

• Если предел последовательности существует, то он единственный.
• lim c = c {displaystyle lim c=c} , c − c o n s t {displaystyle ,c-const}
• lim ( x n + y n ) = lim x n + lim y n {displaystyle lim(x_{n}+y_{n})=lim x_{n}+lim y_{n}} (если оба предела существуют)
• lim ( q x n ) = q lim x n {displaystyle lim(qx_{n})=qlim x_{n}} , q − c o n s t {displaystyle ,q-const}
• lim ( x n y n ) = lim x n lim y n {displaystyle lim(x_{n}y_{n})=lim x_{n}lim y_{n}} (если оба предела существуют)
• lim ( x n / y n ) = lim x n / lim y n {displaystyle lim(x_{n}/y_{n})=lim x_{n}/lim y_{n}} (если оба предела существуют и знаменатель правой части не ноль)
• Если a n > x n > b n ∀ n {displaystyle a_{n}>x_{n}>b_{n}forall n} и lim a n = lim b n {displaystyle lim a_{n}=lim b_{n}} , то lim x n = lim a n = lim b n {displaystyle lim x_{n}=lim a_{n}=lim b_{n}} (теорема «о зажатой последовательности», также известная, как «теорема о двух милиционерах»)

Предел функции

Функция f ( x ) {displaystyle f(x)} имеет предел A {displaystyle A} в точке x 0 {displaystyle x_{0}} , если для всех значений x {displaystyle x} , достаточно близких к x 0 {displaystyle x_{0}} , значение f ( x ) {displaystyle f(x)} близко к A {displaystyle A} .

Число b называется пределом функции f ( x ) {displaystyle f(x)} в точке a {displaystyle a} , если ∀ ε > 0 {displaystyle forall varepsilon >0} существует δ > 0 {displaystyle delta >0} , такое что ∀ x , 0 < | x − a | < δ {displaystyle forall x,0<|x-a|<delta } выполняется | f ( x ) − b | < ε {displaystyle |f(x)-b|<varepsilon } .

Для пределов функций справедливы свойства, аналогичные пределам последовательностей, например, lim x → x 0 ( f ( x ) + g ( x ) ) = lim x → x 0 f ( x ) + lim x → x 0 g ( x ) {displaystyle lim _{x o x_{0}}(f(x)+g(x))=lim _{x o x_{0}}f(x)+lim _{x o x_{0}}g(x)} — предел суммы равен сумме пределов, если все пределы существуют.

Понятие предела последовательности на языке окрестностей

Пусть X {displaystyle X} — некоторое множество, на котором определено понятие окрестности U {displaystyle U} (например, метрическое пространство). Пусть x i ∈ X {displaystyle x_{i}in X} — последовательность точек (элементов) этого множества. Говорят, что x ∈ X {displaystyle xin X} есть предел этой последовательности, если в любой окрестности точки x {displaystyle x} лежат почти все члены последовательности, или ∀   U ( x )   ∃   n ,   ∀   i > n     x i ∈ U ( x ) {displaystyle forall { ext{ }}U(x){ ext{ }}exists { ext{ }}n,{ ext{ }}forall { ext{ }}i>n{ ext{ }}{ ext{ }}x_{i}in U(x)}

Бесконечность — не предел

Федор Носков
«Квант» №8, 2019

Эта статья представляет собой попытку дать первичное описание порядковых чисел (ординалов). Похожий предмет в «Кванте» уже обсуждался в статье А. Кириллова, И. Клумовой и А. Сосинского «Сюрреальные числа» (№ 11 за 1979 г.), однако тогда ординалы были упомянуты вскользь, отмечалась лишь их связь с бесконечными последовательностями. Примерно этой связью руководствовались и мы, и Кантор, когда их, собственно, открыл.

Среди комиксов известного в интернете автора под псевдонимом Дюран стоит отметить «Бесконечную шутку». Этот комикс великолепный; в частности, в нем главный герой рассказывает бесконечному числу математиков анекдот про, собственно, рассказчика анекдота. Это порождает некую цикличность, но суть не в этом. Суть в анекдоте про бесконечное число математиков, заходящих в бар. Вот он:

Заходит бесконечное число математиков в бар. Первый говорит бармену: «Мне кружку пива». Второй говорит: «Мне полкружки». Третий: «Мне четверть». И так далее. «Ну вас к черту», — восклицает бармен и наливает две кружки.

Пусть бармен обслужил бесконечное число математиков за 2 секунды. n} \) секунды. Итак, все математики будут обслужены за 2 секунды. После этого в бар заходит еще один математик.

Каждому из предыдущих математиков мы могли присвоить номер. Нет вопросов в том, какого математика считать вторым, какого — нулевым, а какого — стотысячным. Но вот каким числом занумеровать этого нового математика, который зашел в бар? Присвоим ему номер ω, и количество математиков перед ним также будем обозначать ω. Да, это бесконечное число, но ничего страшного в этом нет. Следующего за ним математика назовем (ω + 1)-м, следующего за этим — (ω + 2)-м и так далее. Пусть и эти математики пройдут бар за 2 секунды так же, как это сделали первые ω математиков. Сколько же всего математиков прошло бар? Ответ прост: ω + ω = ω · 2. А пусть зайдут еще ω математиков! Теперь сколько их? ω · 3.

Хорошо, сделаем анекдот еще смешнее: теперь ω математиков заходят в бар за 1 секунду, потом еще ω математиков заходят в бар за полсекунды, потом еще ω математиков заходят в бар за четверть секунды и так далее. Сколько математиков окажется внутри бара за 2 секунды? Очевидно, ω · ω = ω².

Кажется, мы научились и складывать математиков, и умножать. Как же мы это делаем? Вот хотим сложить α математиков и β математиков. Что это значит? Все просто: в бар зашли сначала α математиков, потом β математиков, и их стало α + β. Однако не все так просто. Рассмотрим следующую ситуацию: в бар сначала зашли два математика, а потом ω математиков. Но возможно ли отличить этот случай от того, когда в бар заходят ω математиков? Внимательно смотрим на рисунок 1 и понимаем, что нет (более точное обоснование требует введения понятия изоморфизма). Значит, 2 + ω = ω. А вот если в бар зайдет ω математиков, а за ними 2 математика, то ситуация будет совсем другой. Итак, 2 + ω не равно ω + 2 . Тем самым, в общем случае α + β не равно β + α, как мы привыкли.

Более интересным является введение умножения. Чтобы умножить 2 на 3, надо вместо каждого из трех математиков подставить двух и получить шесть математиков. Обобщим этот принцип на наш случай.

Скажем, мы хотим умножить ω на 2. Рассмотрим ситуацию: стояли два математика. А мы вместо каждого поставили ω математиков, и вышло ω · 2 математиков (рис. 2). В другом случае мы хотим умножить ω на ω: стояли ω математиков, мы вместо каждого математика поставили ω математиков. Таким образом, если мы хотим умножить α на β, мы просто вместо каждого математика из β математиков подставляем α математиков.

Есть ли тут что-нибудь интересное? Оказывается, да: что будет, если мы 2 умножим на ω? Подставим вместо каждого математика из ω математиков двух математиков (рис. 3). Снова получим ω математиков. Получается, ω · 2 не равно 2 · ω, т.е. α · β не равно β · α в общем случае.

В качестве упражнения хочется предложить читателям доказать на математиках для произвольных α, β, γ такое соотношение: α · (β + γ) = α · β + α · γ, т.е. возможность раскрытия скобок слева. Еще интереснее обосновать некорректность раскрытия скобок справа, т.е. найти примеры, когда (β + γ) · α ≠ β · α + γ · α. (Подсказка. Рассмотрите выражение (ω + 1) · 2.)

Итак, было ω математиков, мы вместо каждого из ω математиков подставили ω математиков, получили ω² математиков. После вместо каждого из ω² математиков подставили ω математиков, получили ω³ математиков. Хорошо, я смогу получить хоть ω¹⁰⁰. Как же определить ω^ω математиков?

Представим сотворение нового, идеального мира. Жил на земле только один математик. Однажды на облаках в поднебесье собираются ω богов на совет. Говорит бог номер 0: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И стало ω математиков. Бог номер 1 говорит: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И появилось на земле ω² математиков. Бог номер 2 сказал: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И стало математиков на земле ω³. И каждый следующий бог говорил: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И стало на земле ω^ω математиков. ω} \) математиков. И поняли боги, что это хорошо.

Итак, как нам получить α в степени β математиков? Надо, чтобы на небесах сидели β богов, на земле жил только один математик и каждый бог сказал: «Да будет на земле вместо каждого математика α математиков!» Что делают боги? Они β раз умножают α на само себя. Делают то же, что обычно делаем в таких случаях мы, когда 2 возводим в куб.

Сейчас мы подходим к финалу истории. Вот ее окончание:

В поднебесье сидели ω богов. И нулевой бог сказал: «Да будет на земле ω математиков!» И первый бог сказал: «Да будет на земле ω математиков в такой степени, в какой их уже на земле есть!» И второй бог это сказал, и третий бог это сказал, и все следующие боги это сказали. И стало на земле ε₀математиков. И поняли боги, что это хорошо.

Но позавидовал дьявол тому, что делали боги. Пришел в поднебесье и сказал: «Да будет на земле ω математиков в такой степени, в какой их уже есть на земле!» Но математиков осталось все равно ε₀. {ε_0} = ε_0 \).

Все эти бесконечные числа называются ординалами. В действительности они обозначают специальный вид порядка на различных множествах, о чем мы здесь распространяться не будем. Подробнее об этом можно прочитать в книге Н. К. Верещагина и А. Шеня «Начала теории множеств» (М.: МЦНМО, 1999).

Пределы и непрерывность

Понятия пределов и непрерывности составляют основу изучения исчисления.

Пределы

Предел — это значение, к которому приближается функция, когда ее входное значение приближается к некоторому значению. Он предоставляет информацию о поведении функции вблизи точки, а не именно в этой точке, что важно, поскольку определить поведение функции в конкретной точке не всегда возможно.

Например, рассмотрим выражение . Если мы оценим выражение при x = 3, мы обнаружим, что оно не определено, так как x – 3 в знаменателе оценивается как 0. Концепция пределов позволяет нам изучать поведение функции по мере того, как x становится все ближе и ближе к данной точке (в данном случае 3), даже если мы не можем оценить ее именно в этой точке. Другими словами, вместо того, чтобы вычислять выражение при x = 3, мы находим предел, когда x приближается к 3. В предельной записи это обозначается как:

Существует несколько различных способов оценки предела функции в данной точке, в том числе графически, численно или, в некоторых случаях, путем простой оценки предела в данной точке. В этом случае можно оценить предел по третьему варианту, разложив числитель на множители, что позволит сократить знаменатель:

График функции представлен на рисунке ниже:

Как мы определили выше , функция не определена в точке x = 3. Пределы позволяют нам описать поведение функции в точке x = 3 и заявить, что функция приближается к 6, даже если в этой точке функция не определена. Это также дает нам возможность обсудить еще одно далеко идущее понятие в исчислении, понятие непрерывности. Говорят, что приведенная выше функция разрывна при x = 3, что изображено в виде незакрашенного кружка на рисунке выше.

Непрерывность

Функции могут быть как непрерывными, так и прерывистыми. Неформально функция называется непрерывной, если ее график представляет собой одну непрерывную кривую без отверстий. Один из способов определить, является ли график функции непрерывным, – попытаться нарисовать / проследить функцию, не поднимая карандаш; если ее можно нарисовать, не отрывая карандаша, функция непрерывна; в противном случае функция разрывна. Ссылаясь на рисунок выше, в точке (3, 6) нужно было бы поднять карандаш, чтобы нарисовать график, поэтому он прерывистый. С другой стороны, рисунок ниже является примером непрерывной функции:

Можно проследить всю функцию без необходимости поднимать карандаш. Здесь нет ни дыр, ни скачков, ни асимптот, ни какой-либо другой формы разрыва.

Непрерывность формально определяется с помощью ограничений. Функция непрерывна в точке x = a, если функция существует в этой точке и если тот интервал. Снова ссылаясь на пример и его график,

мы можем сказать, что f(x) непрерывна на интервалах (-∞, 3) и (3, ∞), но мы не можем сказать, что она непрерывна на интервале (-∞, ∞), потому что она разрывна at x = 3.

Вместе понятия пределов и непрерывности составляют основу для изучения исчисления, поскольку нам нужно иметь возможность определить, является ли функция непрерывной, прежде чем переходить к другим понятиям, таким как дифференцирование.

Лимиты — IB Math Stuff

Введение в лимиты

Пределы являются основой для большинства вычислений. Они также очень абстрактны. Развитие исчисления застопорилось отчасти из-за неспособности математиков иметь дело с пределами. Пределы тесно связаны с идеей бесконечности (как бесконечно большой, так и малой).

Пределы, неформально, представляют собой концепцию исследования того, что происходит с функцией по мере того, как ее аргумент становится все ближе и ближе к определенному значению. Большинство функций, которые вы видели, ведут себя хорошо (и поэтому довольно скучны), но некоторые ведут себя по-другому… Но прежде чем мы перейдем к функциям, давайте посмотрим на последовательности чисел. Ниже приведена последовательность чисел, которая приближается к значению по мере увеличения «числа термина»:

Номер термина	$n=1$	$n=2$	$n=3$	$n=4$	$n=5$
Стоимость срока	0,3	0,33	0,333	0,3333	0,33333

По мере развития последовательности значение члена становится больше, но значение каждого последующего члена приближается к значению. Подумайте об этом… Число становится все больше и больше, но есть 9.{-х}$. Давайте начнем со старого доброго plug-and-chug, сначала взглянем на большие положительные значения x и посмотрим, что произойдет с функцией:

Значение x	2	5	10	15
Значение функции	0,25	0,03125	0,000977	0,0000305

Так что же происходит с функцией x становится все больше и больше? Ясно, что функция стремится к нулю. Это можно легко (и быстрее) увидеть, просто построив график функции на калькуляторе. На самом деле многие (но не все) вопросы об ограничениях можно решить, просто построив график функции и наблюдая, что происходит. Метод plug-and-chug также может быть использован и в разы более точен…

Обозначение предела

Опять же, в пределах мы задаем вопрос, что происходит с функцией, поскольку переменная что-то делает.

Обозначение пределов выглядит примерно так: 92 = ? \end{align}

Это можно сделать графически или численно, но в этом случае численно может быть проще (ограничения по мере приближения аргумента к положительной или отрицательной бесконечности часто проще всего сделать графически).

Значение x	1	1,5	1,9	1,99
Значение функции	1	2,82	3,732	3,972 92}{х} = ? \end{align} Этот пример не простой, так как предыдущая функция не определена для $x=0$. Решение этого графически может не пролить весь свет, который необходимо пролить. Если бы вы могли увеличить масштаб или ваш калькулятор умен, вы бы увидели, что на графике есть пробел в точке $x=0$. Итак, еще раз, , мы исследуем то, что происходит с функцией, когда она приближается к 0, а не то, что происходит при 0! В этом случае нам потребуется немного алгебры. Оставить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Меню Поиск: