Дифференциальные уравнения
Определение 1. Дифференциальным уравнением будем называть уравнение, связывающее аргумент, неизвестную функцию этого аргумента и производную этой функции, т.е. в самом общем виде дифференциальное уравнение может быть записано:
.
Определение 2. Старший из порядков производных входящих в дифференциальное уравнение называют порядком дифференциального уравнения.
В частности дифференциальное уравнение первого порядка запишется так:
. | (1) |
Определение 3. Решить дифференциальное уравнение, значит найти такую функцию, которая обратит это уравнение в верное равенство.
Пример 1. Покажем, например, что, функция ,
где является решением дифференциального
уравнения .
.
Заметим, что в общем случае при решении дифференциального уравнения первого порядка получаем не одну функцию, а целое семейство, зависящее от одного параметра.
Пример 2. Решить уравнение: .
Решение: Чтобы найти функцию, которая является решением данного уравнения необходимо проинтегрировать обе части уравнения:
.
Такое семейство будет называть общим решением дифференциального уравнения, а для каждого конкретного значения параметра будем получать
Определение 4. Общим
решением дифференциального уравнения (1) называется
функция зависящие от и произвольной постоянной, если она
является решением уравнения (1) при любом
значении постоянной .
Определение 5. Условия при , в силу которых, функция принимает заданное значение в заданной точке называют начальными условиями
Определение 6. Частным решением уравнения (1) называется функция, которая получается из общего решения при определённом значении постоянной , которое получается с помощью начальных условий.
Вернемся к примеру 2. Функция является общим решением дифференциального уравнения. Найдем частное решение данного уравнения, удовлетворяющего начальным условиям: . Подставим начальные условия в общее решение дифференциального, получим:
, , .
− частное решение уравнение, удовлетворяющее данным начальным условиям.
В наиболее общем случае однопараметрическое семейство кривых являющееся решение дифференциального уравнения первого порядка имеет вид:
.
Определение 7. Уравнение неразрешимое относительно называют общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка, а кривые входящие в данное семейство называют интегральными кривыми.
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс отыскания всех решений − интегрированием дифференциального уравнения.
Таким образом, мы будем говорить, что получено решение дифференциального уравнения, если найдена неизвестная функция, удовлетворяющая этому уравнению или получен общий интеграл этого уравнения.
Определение 8. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
|
youtube.com/embed/eIfxgIuZXZU” frameborder=”0″ allowfullscreen=”allowfullscreen”> 
А как устроена частота встреч? Если кролики живут в каком-то лесу, каждый кролик занимает какое-то место, надо поделить площадь леса на площадь кроликов и так далее.
Эти два уравнения должны выполняться одновременно, так модель усложняется и усложняется.
Это вполне большая развитая наука, продолжающая развиваться.
В школе, конечно, учат, что бывает меньше, а потом если кто доучивается дальше, то учит, что нет, на самом деле столько же. Здесь есть аналогия: если уравнение -того порядка, то у него не решений, конечно, их бесконечно много, но множество решений параметризуется параметрами . Если есть уравнение второго порядка (наш камень), надо задать начальное положение и начальную скорость. И вообще, для уравнения -того порядка надо задать начальных данных, и тогда будет всегда существовать решение. Если уравнение линейное, то эти начальных данных — это просто его координаты в -мерном конечномерном векторном пространстве решений.
Это была попытка как-то решать уравнения, которые возникали при тогдашнем развитии науки. В явном и конечном виде решения не выписывались, но это совершенно не мешало заниматься их анализом: исследовать свойства, связи, асимптотики. Современная наука занимается более сложными уравнениями. Сейчас, например, вполне популярная деятельность — исследование уравнений Пенлеве. Это такие новые специальные функции — решения уравнений Пенлеве, сейчас занимаются их исследованиями, асимптотикой, связями, геометрическим смыслом, содержанием и так далее по аналогии с физикой XIX века.
Возможно, вы знаете, что для того, чтобы такие часы запустить, маятник нужно немного качнуть в сторону. Но после того, как вы его качнете, вы можете его качнуть совсем слабенько или вы можете его качнуть достаточно сильно, вне зависимости от того, как сильно вы это сделаете, маятник достаточно быстро начнет колебаться с той частотой и с той амплитудой, с которой он должен это делать. Именно это позволяет ему аккуратно отмерять время. С точки зрения математика, маятник переходит в режим, который называется движением по предельному циклу. Что это означает?
(С этим и связаны слова «то решаем, то рисуем» в названии книги.) Рассмотрено несколько физических примеров. На максимально упрощённом уровне рассказано о некоторых достижениях XX века, включая понимание механизма возникновения «хаоса» в поведении детерминированных объектов. Книга рассчитана на интересующихся математикой школьников старших классов. От них требуется лишь понимание смысла производной как мгновенной скорости.
Поэтому в дифурах немало лишнего, вычурного, случайного — и одно лишь наведение порядка высвобождает массу свободного места. Данный мини-курс адресован «всем», поскольку преподносит некую общую часть. Не простую и не сложную, но дающую представление об основах и позволяющую при необходимости быстро войти в предмет и двигаться дальше.
Ньютон понял, что эти процессы описываются дифференциальными уравнениями, и что эти уравнения полезно решать. В последующие полтора столетия стало ясно, что большинство дифференциальных уравнений решить нельзя. Пуанкаре создал новую ветвь математики — качественную или геометрическую теорию дифференциальных уравнений, которая изучает свойства решений непосредственно по уравнению, минуя попытки это уравнение решить. Оказалось, что даже на качественном уровне поведение решений может быть очень сложным. Ситуация резко упрощается, если «все» уравнения заменить на «типичные». С физической точки зрения интересны именно типичные дифференциальные уравнения. В лекциях будет рассказано об эволюции этих концепций и сформулированы некоторые нерешенные проблемы.
Теперь бросим в воду несколько щепок и нарисуем траектории их движения. Получится фазовый портрет векторного поля. По картинке стало видно, что происходит со щепками: некоторые приближаются к внешнему предельному циклу, от другого цикла все щепки отдаляются. Куда ещё могут накапливаться траектории щепок (теорема Пуанкаре-Бендиксона). Как ещё могут быть устроены фазовые портреты. Также мы обсудим бифуркации: перестройки фазовых портретов, когда векторное поле слегка меняется. Будут свежие результаты и открытые вопросы.производных – Что именно означает решение дифференциального уравнения?
Ваш вопрос — отличный вопрос, который я задавал себе очень давно.
В самом деле, почему концепция решения уравнений преподается так, как она преподается, а не таким образом, чтобы уточнить, что именно вы ищете? Причина в том, что начальное образование, даже на уровне бакалавриата, преподает математику не для того, чтобы вы понимали ее концептуально, а для того, чтобы вы могли хорошо овладеть вычислительными методами и символическими манипуляциями. Лично я считаю, что это неправильный способ преподавания математики, но, тем не менее, так оно и есть, и именно так устроено образование в большинстве стран мира. Вот почему учителя, учебники и образовательные ресурсы в Интернете не могут по-настоящему объяснить, что значит решить уравнение.
Итак, что означает для решения уравнения? Каждое уравнение в конечном счете можно свести к записи $f(x)=y,$, где $f$ — функция $X\to{Y}$ (другими словами, область определения — $X,$, а область значений — $ Y$), $x$ — некоторый объект в множестве $X,$ и $y$ — некоторый объект в множестве $y.$ Идея состоит в том, чтобы найти, какие объекты в множестве $X$ составляют уравнение $f( x)=y.
$ Это все, что это значит.
Но есть проблема. Очень часто уравнение, которое вам дают, дает явное выражение для $f,$, но не определяет домен из $f.$ Таким образом, это делает неоднозначным то, что вы должны искать. Рассмотрим, например, уравнение $x+x=0.$ Каковы решения этого уравнения? Вы можете подумать, что легко сказать, каковы решения: очевидно, $x=0,$ и ничего больше. Но вы были бы неправы. Если у меня есть алгебраическая структура, в которой $0+0=0,$ $1+0=0+1=1,$ и $1+1=0,$, то $x+x=0$ подразумевает $x=0$ или $x =1.$ Это совершенно правильный ответ? Да, поскольку вы никогда не указывали домен $X$, вы просто дали мне то, что фактически представляет собой бессмысленную строку символов, и сказали мне заполнить пробел. Теперь, если вы скажете мне, что домен $\mathbb{R},$, тогда это изменит ситуацию. Указание домена делает так, что множество решений определено корректно: очевидно, это некоторое подмножество $\mathbb{R},$, и оно единственно. Вот более экстремальный пример: рассмотрим уравнение $x\cdot{x}=1.
$ Сколько у него решений? Ну, это зависит от домена. Если областью является $\mathbb{N},$, то она имеет решение $1$. Если домен $\mathbb{R},$, то у него есть два решения. Но если областью является множество матриц $2\times2$, то решений бесконечно много. Все три множества можно снабдить алгебраической структурой, в которой понятие умножения, обозначаемое $\cdot,$, определено корректно. Поскольку я указал символ $\cdot,$, но не область определения функции, которую он представляет, я не указал однозначно эту функцию, и поэтому просьба решить уравнение более или менее бессмысленна. Хорошо написанный вопрос всегда будет спрашивать что-то вроде «найти все $x\in{S}$ такие, что $x\cdot{x}=1$». Указание $S$ делает этот вопрос хорошо написанным.
Дифференциальные уравнения ничем не отличаются. базовое дифференциальное уравнение первого порядка выглядит так: $$F(x,f(x),D[f](x))=0,$$, но это не очень хорошо написанный вопрос, на который нужно ответить, потому что область $F$ не указан, и домен $f$ не указан.
Даже простейшее уравнение $D[f]=g$ решить неоднозначно. Почему? Потому что я знаю, что $D$ означает оператор производной, но конкретный класс дифференцируемых функций, который будет областью определения $D$, не указан. Меня спрашивают обо всех функциях, дифференцируемых в $(0,1)$? Дифференцируемость на $(0,\infty)$? Или дифференцируем по всему $\mathbb{R}$? Хорошо написанный вопрос для решения дифференциального уравнения выглядит так: «Найдите все $y\in{C(\mathbb{R})}$ такие, что $D[y]=f$», где $C(\mathbb {R})$ — множество всех функций $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, которые всюду дифференцируемы. И уравнение $D[y]=f$ по определению эквивалентно $y'(x)=f(x)$ для всех $x\in\mathbb{R}$ в этом случае. Таким образом, двусмысленности нет, если $f$ определено корректно. А в настройках более высокого уровня вы обнаружите, что вопросы написаны лучше и недвусмысленны. Но если вы только знакомитесь с темой дифференциальных уравнений, то обычно бывает так, что тексты и преподаватели будут очень неряшливыми. Они будут думать, что «домен подразумевается из контекста» или что-то в этом роде, и они будут думать так даже в ситуациях, когда контекста на самом деле нет вообще или он очень сильно не подразумевается. В таких ситуациях я советую вам задавать вопросы и уточнять, чтобы вы могли получить представление о том, что на самом деле означает текст или что на самом деле имеет в виду ваш профессор, когда он что-то говорит. В конечном итоге все сводится к общению.
Но, с учетом сказанного, большинство обыкновенных дифференциальных уравнений, которые нас интересуют решить, — это уравнения, в которых неизвестная функция имеет область определения $\mathbb{R}$, дифференцируема везде в области определения и удовлетворяет уравнению повсюду в области определения. В конце концов, на самом деле мало пользы в уравнении, которое удовлетворяется только в какой-то ограниченной части области. В таких случаях мы просто ограничиваем домен и указываем его явно. Опять же, это вопрос общения, а общение часто сопровождается условностями. хотя я думаю, что эти соглашения чаще всего используются неправильно.
исчисление – Что означает пространство решений дифференциального уравнения?
спросил
Изменено 2 года, 9 месяцев назад
Просмотрено 109 раз
$\begingroup$
Я пытаюсь понять, что я на самом деле получаю, когда решаю дифференциальное уравнение. Например, последнее, что я решил, было 9{x \cos(x)- \sin(x)}$$
Я проверил его график на GeoGebra, но что он на самом деле означает? Как я должен думать о решениях для такого рода уравнений? Хотелось бы интуитивного объяснения.
- исчисление
- обыкновенные дифференциальные уравнения
$\endgroup$
7
$\begingroup$
Дифференциальное уравнение, которое вы рассматриваете, является развернутым дифференциальным уравнением первого порядка. \prime=f(x,y)$ означает нахождение дифференцируемой функции $y:I\rightarrow\mathbb{R}$, $I\subseteq\mathbb{R}$, такой, что график $y$ лежит в $D$ и подходит к полю направлений в том смысле, что в каждой точке наклон касательной к графику совпадает с наклоном, заданным полем направлений. Следовательно, имея график поля направлений в достаточно высоком разрешении и начальное значение $(x_0,y_0)\in D$, через которое должен проходить график искомого решения, можно (почти) нарисовать этот график вручную. В приведенном ниже примере показаны четыре решения и поле направлений линейного дифференциального уравнения; ; координаты $(t,x)$ вместо $(x,y)$ (извините).
$\endgroup$
$\begingroup$
В каждой точке $(x,y)$ можно вычислить $f'(x,y)=-xy\sin(x)$
Например, $f'(1,1)=-1\times1\times\sin(1)$. Это означает, что градиент отрезка линии в точке $(1,1)$ должен быть нанесен примерно как $-0,84$.