П. р. наиболее эффективно проявляется при изменении параметров колебательной системы с периодом $T_н$, кратным полупериоду $T_0$ собств. колебаний системы:$$T_н≈nT_0/2,\quad ω_н=2ω_0/n,\qquad(1)$$ где $n$ – целое число, $ω_н=2π/T_н$ – частота накачки.
Рис. 2. Области значений m, в которых возможен параметрический резонанс: ω0 – частота собственных колебаний; ωн – частота накачки (изменения параметра).
Нарастание колебаний возможно не только при точном выполнении соотношений (1), но и в некоторых конечных интервалах значений $ω_н$ вблизи $2ω_0/n$ (в т. н. зонах неустойчивости, рис. 2). Ширина зон тем больше, чем сильнее изменяются параметры $C$ и $L$.
П. р. приводит к неустойчивости колебательной системы, т. е. к нарастанию малых начальных возмущений, напр. неизбежных во всякой системе флуктуаций, среди которых всегда найдётся составляющая с подходящей фазой по отношению к фазе изменения параметров. Если в системе имеются потери (напр., в контуре присутствует сопротивление $R$), то неустойчивость возникает только при достаточно больших изменениях $C$ или $L$, когда параметрич. накачка энергии превосходит потери. Зоны неустойчивости при этом соответственно уменьшаются или даже исчезают совсем (на рис. 2 эти зоны показаны тонкими линиями). Нарастание колебаний при П. р. не происходит беспредельно, а ограничивается при достаточно больших амплитудах разл.
Пример механич. системы, в которой возможен П. р., – маятник в виде груза массы $M$, подвешенного на нити, длину $l$ которой можно изменять. Eсли уменьшать $l$ в нижнем и увеличивать в крайних положениях, то колебания могут раскачиваться. На П. р. основано самораскачивание на качелях, когда эффективная длина маятника периодически изменяется при приседаниях и вставаниях качающегося. П. р. учитывается в небесной механике при расчёте возмущений планетных орбит, вызванных влиянием др.
В колебательных системах с несколькими степенями свободы (напр., в системе из двух связанных контуров или маятников) возможны собств. (нормальные) колебания (моды) с разл. частотами: $ω_1, ω_2,…$ Соответственно нарастание колебаний здесь возможно, напр., при изменении параметра с суммарной частотой: $ω_н=ω_1+ω_2$.
В системах с распределёнными параметрами (волновых системах), обладающих бесконечным числом степеней свободы, также возможно возбуждение нормальных колебаний в результате П. р. Классич. пример – опыт Мельде (1859), в котором наблюдалось возбуждение поперечных колебаний (стоячих волн) в струне, прикреплённой одним концом к ножке камертона, колебания которого периодически меняют натяжение струны с частотой, вдвое большей частоты собств. поперечных колебаний. Другой пример – опыт Фарадея (1831), в котором вертикальные колебания сосуда с водой приводят к возбуждению стоячей поверхностной волны с удвоенным периодом.
П. р. в волновых системах – это резонанс не только во времени, но и в пространстве. Напр., если накачка, изменяющая параметры среды, представляет собой бегущую волну с частотой $ω_н$ и волновым вектором $\boldsymbol k_н$, то возбуждение пары нормальных волн с частотами $ω_1$, $ω_2$ и волновыми векторами $\boldsymbol k_1$, $\boldsymbol k_2$ осуществляется, если выполняются условия: $$ω_н=ω_1+ω_2,\quad \boldsymbol k_н=\boldsymbol k_1+\boldsymbol k_2.\qquad(2)$$
На квантовом языке условия (2) означают, что при распаде кванта накачки на два др. кванта сохраняются как энергия $\hbar ω$, так и импульс $\hbar \boldsymbol k$ ($\hbar$ – постоянная Планка). Нарастание амплитуд волн во времени и в пространстве (распадная неустойчивость) также ограничивается нелинейными эффектами: если значит. часть энергии накачки израсходована на возбуждение волн, то возможен обратный процесс – рост энергии накачки за счёт ослабления волн на частотах $ω_1$, $ω_2$; в среде без потерь такой обмен энергией происходит периодически.
Параметрич. и нелинейные резонансные взаимодействия волн характерны, напр., для разл. типов волн в плазме, мощных световых волн (см. Параметрический генератор света), волн в электронных пучках и для др. волновых процессов.
Графен и плазмонный резонанс для будущего медицины
Конструкция чипа, предложенная исследователями из МФТИ: на золотую подложку наносится вещество — оксид графена.
Биочип на основе оксида графена.
Эффект поверхностного плазмонного резонанса: луч лазера отражается от поверхности металла.
‹
›
Открыть в полном размере
Исследователи из лаборатории нанооптики и плазмоники Московского физико-технического института смогли повысить чувствительность биосенсоров на основе поверхностного плазмонного резонанса с помощью оксида графена. Если концентрация научных терминов в этой фразе не ввергла вас в ужас, то мы расскажем вам обо всём подробно и доступно. Начнём, пожалуй, с биосенсора — что это вообще за устройство и что означает приставка «био»? Всё достаточно просто: биосенсор — это такой прибор, который может определять химические соединения с помощью какого-нибудь биологического компонента.
Суть работы биосенсора состоит в том, что определённый биологический компонент, а в этой роли могут выступать ферменты, антитела, клеточные рецепторы, а то и вовсе целые микроорганизмы, реагирует на изменение концентрации какого-нибудь химического вещества или другого компонента. Например, рецепторы на усиках насекомых могут «чувствовать» единичные молекулы особых веществ — феромонов. Если зафиксировать электрический импульс, который возникает, когда молекула феромона попадает на рецептор, то получится сверхчувствительный биосенсор для отдельных молекул. Кстати, такой метод есть, и называется он «электроантеннография».
Плазмонный резонанс связан с особенностью отражения света от границы двух сред. Из школьной физики мы знаем, что угол падения равен углу отражения — это один из основных законов геометрической оптики. Отражение луча происходит от границы двух сред с разными показателями преломления. Например, на поверхности озера видно отражение облаков и совсем не видно, что же там, под водой. Это проявление эффекта, который называется полным внутренним отражением — когда луч света полностью отражается от границы раздела фаз. Чтобы увидеть дно или обитателей водоёма, взгляд должен быть направлен практически вертикально вниз — тогда мы видим не только отражённые лучи, но и преломлённые, которые прошли через границу воздух — вода. А что происходит, если луч падает не на прозрачное вещество, а на совсем непрозрачное, такое как поверхность металла?
У металлов есть одна характерная особенность, которая кардинально отличает их от, скажем, воды, стекла или воздуха: в металлах есть свободные электроны, и именно по этой причине металлы проводят электрический ток.
Коллективные колебания свободных электронов физики назвали плазменными колебаниями, а виртуальную частицу, которой якобы соответствует такое колебание, — плазмоном. Как и у любого колебания, у плазменных есть своя частота, а значит, возможно явление резонанса. Плазмонный резонанс возникает, когда луч падающего света фиксированной частоты находится под определённым углом к поверхности, в результате нарушаются условия полного внутреннего отражения и интенсивность отражённого луча падает. Если световые лучи были в некотором диапазоне углов, то в отражённом луче будут отсутствовать те лучи, которые соответствовали углам возникновения плазмонного резонанса. Плазмонный резонанс весьма чувствителен к условиям, и если мы возьмём очень тонкий слой металла — толщиной меньше длины волны, — то резонанс будет сильно зависеть от свойств этой самой поверхности. Даже небольшие изменения в структуре поверхности заметно сдвигают условия возникновения резонанса, что позволяет использовать этот эффект для обнаружения сверхмалых количеств веществ.
- 1
- 2
- Следующая страница
Учебное пособие по физике: резонанс
Цель раздела 11 учебного пособия по физике — развить понимание природы, свойств, поведения и математики звука и применить это понимание к анализу музыки и музыкальных инструментов. До сих пор в этом разделе применялись принципы звуковых волн для обсуждения битов, музыкальных интервалов, акустики концертного зала, различий между шумом и музыкой и производства звука музыкальными инструментами. В Уроке 5 основное внимание будет уделено применению математических соотношений и концепций стоячей волны к музыкальным инструментам. Будут исследованы три основные категории инструментов: инструменты с вибрирующими струнами (включая гитарные струны, струны скрипки и струны фортепиано), инструменты с открытым концом (включая духовые инструменты, такие как тромбон, и деревянные духовые инструменты, такие как флейта и блокфлейта), а также инструменты с закрытым концом (в том числе органная труба и бутылки из-под оркестр поп-бутылки ).
Четвертая категория — вибрационные механические системы (к которым относятся все ударные инструменты) — обсуждаться не будет. Эти категории инструментов могут быть необычными для некоторых; они основаны на сходстве их моделей стоячих волн и математических соотношениях между частотами, создаваемыми инструментами.
Резонанс
Как уже упоминалось в Уроке 4, музыкальные инструменты приходят в колебательное движение с их естественной частотой, когда человек ударяет, ударяет, наигрывает, щипает или каким-либо образом мешает объекту. Каждая собственная частота объекта связана с одним из множества паттернов стоячих волн, по которым этот объект может вибрировать. Собственные частоты музыкального инструмента иногда называют гармоники прибора. Инструмент может быть вынужден вибрировать на одной из своих гармоник (с одной из его моделей стоячей волны), если другой взаимосвязанных объекта толкает его на одной из этих частот.
Это известно как -резонанс — когда один объект, вибрирующий с той же собственной частотой, что и второй объект, заставляет этот второй объект колебаться.
Слово резонанс происходит от латыни и означает “звучать” – издаваться вместе с громким звуком. Резонанс является частой причиной возникновения звука в музыкальных инструментах. Одна из наших лучших моделей резонанса в музыкальном инструменте — это резонансная трубка (полая цилиндрическая трубка), частично заполненная водой и приводящаяся в вибрацию камертоном. Камертон — это объект, который заставил воздух внутри резонансной трубы войти в резонанс. Поскольку зубцы камертона вибрируют на своей собственной частоте, они создают звуковые волны, которые воздействуют на отверстие резонансной трубы. Эти сталкивающиеся звуковые волны, создаваемые камертоном, заставляют воздух внутри резонансной трубки вибрировать с той же частотой. Тем не менее, в отсутствие резонанса звук этих вибраций недостаточно громкий, чтобы его можно было различить.
Резонанс возникает только тогда, когда первый объект вибрирует с собственной частотой второго объекта. Так что, если частота, с которой вибрирует камертон, не идентична одной из собственных частот столба воздуха внутри резонаторной трубы, резонанса не произойдет, и два объекта не будут звучать вместе с громким звуком. Но расположение уровня воды можно изменить, поднимая и опуская резервуар с водой, тем самым уменьшая или увеличивая длину столба воздуха. Как мы узнали ранее, увеличение длины колебательной системы (в данном случае воздуха в трубе) увеличивает длину волны и уменьшает собственную частоту этой системы. И наоборот, уменьшение длины колебательной системы уменьшает длину волны и увеличивает собственную частоту. Таким образом, поднимая и опуская уровень воды, собственная частота воздуха в трубке может быть согласована с частотой, с которой вибрирует камертон. Когда совпадение достигнуто, камертон заставляет столб воздуха внутри резонансной трубы вибрировать с собственной частотой, и достигается резонанс.
Результатом резонанса всегда является большая вибрация, то есть громкий звук.
Другая распространенная физическая демонстрация, которая служит прекрасной моделью резонанса, — знаменитая демонстрация «поющего жезла». В его центре удерживается длинный полый алюминиевый стержень. Будучи обученным музыкантом, учитель лезет в канифольный мешок, чтобы подготовиться к мероприятию. Затем с большим энтузиазмом он медленно проводит рукой по всей длине алюминиевого стержня, заставляя его издавать громкий звук. Это пример резонанса. Когда рука скользит по поверхности алюминиевого стержня, трение скольжения между рукой и стержнем вызывает вибрации алюминия. Вибрации алюминия заставляют столб воздуха внутри стержня вибрировать с собственной частотой. Совпадение колебаний воздушного столба с одной из собственных частот поющего жезла вызывает резонанс. Результатом резонанса всегда является большая вибрация, то есть громкий звук.
Знакомый шум моря , который слышен, когда к уху подносят морскую ракушку, также объясняется резонансом.
Даже в кажущейся тихой комнате существуют звуковые волны разного диапазона частот. Эти звуки в основном неслышны из-за их низкой интенсивности. Этот так называемый фоновый шум наполняет морскую раковину, вызывая вибрации внутри раковины. Но у морской раковины есть набор собственных частот, на которых она будет вибрировать. Если одна из частот в комнате заставляет воздух внутри морской раковины вибрировать на своей собственной частоте, создается резонансная ситуация. И всегда результатом резонанса является большая вибрация, то есть громкий звук. На самом деле, звук достаточно громкий, чтобы его можно было услышать. Итак, в следующий раз, когда вы услышите звук моря в ракушке, помните, что все, что вы слышите, это усиление одной из многочисленных фоновых частот в комнате.
Резонанс и музыкальные инструменты
Музыкальные инструменты воспроизводят выбранные звуки таким же образом. Духовые инструменты обычно состоят из мундштука, прикрепленного к длинной трубке, наполненной воздухом.
Трубку часто скручивают, чтобы уменьшить размер инструмента. Металлическая трубка просто служит контейнером для столба воздуха. Именно колебания этой колонны производят звуки, которые мы слышим. Длину вибрирующего столба воздуха внутри трубки можно регулировать либо сдвигая трубку для увеличения и уменьшения ее длины, либо открывая и закрывая отверстия, расположенные вдоль трубки, чтобы контролировать, где воздух входит и выходит из трубки. Духовые инструменты предполагают вдувание воздуха в мундштук. Вибрации губ относительно мундштука производят диапазон частот. Одна из частот в диапазоне частот соответствует одной из собственных частот столба воздуха внутри духового инструмента. Это заставляет воздух внутри колонны совершать резонансные колебания. Результатом резонанса всегда является большая вибрация, то есть громкий звук.
Деревянные духовые инструменты работают аналогичным образом. Только источником вибраций являются не губы музыканта, прижатые к мундштуку, а вибрация трости или деревянной планки.
Работа деревянного духового инструмента часто моделируется на уроках физики с помощью пластиковой соломинки. Концы соломинки обрезаются ножницами, образуя конусообразную тростинку . Когда воздух продувается через тростник, тростник вибрирует, создавая турбулентность с диапазоном вибрационных частот. Когда частота вибрации трости совпадает с частотой вибрации столба воздуха в соломинке, возникает резонанс. И еще раз, результатом резонанса является большая вибрация – тростник и воздушный столб звучат вместе, производя громкий звук. Как будто это было недостаточно глупо, длину соломинки обычно укорачивают, отрезая небольшие кусочки от ее противоположного конца. По мере того как соломинка (и столб воздуха, который она содержала) укорачивается, длина волны уменьшается, а частота увеличивается. По мере укорачивания соломинки наблюдаются все более высокие частоты. Деревянные духовые инструменты воспроизводят свои звуки так же, как демонстрация соломы. Вибрирующий тростник заставляет столб воздуха вибрировать на одной из его собственных частот.
Только для духовых инструментов длина воздушного столба регулируется открытием и закрытием отверстий в металлической трубке (поскольку трубки немного сложно разрезать и слишком дорого заменять каждый раз, когда они разрезаются).
Резонанс является причиной воспроизведения звука в музыкальных инструментах. В оставшейся части урока 5 математика стоячих волн будет применяться для понимания того, как резонирующие струны и воздушные столбы создают свои определенные частоты.
Следующий раздел:
Резонанс: Значение, Частота, Формула, Магнитный
Резонанс может возникнуть, когда существует периодическая внешняя движущая сила, вызывающая колебания системы. Когда частота движущей силы приближается к собственной частоте системы, она начинает вибрировать с гораздо большей амплитудой, которая продолжает увеличиваться до максимума, когда две частоты равны.
Факторы, ведущие к резонансу
Есть несколько факторов, которые приводят к резонансу, как мы рассмотрим ниже.
Собственная частота
Собственная частота объекта — это частота, с которой он колеблется во время свободных колебаний, то есть когда нет внешних сил, влияющих на его движение, и, следовательно, нет передачи энергии между объектом и его окружением.
В качестве примера рассмотрим систему масса-пружина. Если бы вы удержали массу вдали от положения равновесия, чтобы пружина растянулась, а затем отпустили бы массу, система колебалась бы с собственной частотой. Если никакая энергия не передается в окружающую среду, масса продолжает колебаться на этой частоте вечно. В действительности, однако, масса в конечном итоге замедляется силами трения, такими как сопротивление воздуха.
Рис. 1. Система масса-пружина, колеблющаяся с собственной частотой. Источник: Physics LibreTexts (CC BY-SA 4.0).
Вынужденные колебания
Периодическая внешняя движущая сила, действующая на систему, вызывает вынужденные колебания. Частота силы называется движущей частотой.
Если она равна собственной частоте системы, это вызывает очень большие колебания, и в этот момент система находится в резонансе.
Примером системы, которая может быть вызвана в резонанс движущей силой, являются качели на игровой площадке. Если кто-то толкает ее через промежутки времени, правильно совпадающие с ее возвратно-поступательным движением, т. е. если частоты толчков и раскачивания одинаковы, система резонирует, и колебания становятся намного выше.
Родитель толкает ребенка на качелях каждые 2 секунды, так что качели заканчиваются очень высоко – система резонирует.
Какова частота движущей силы (родительского толчка)? И каков временной интервал t между приложением родителем максимальной силы и моментом, когда ребенок достигает вершины качелей?
Частота связана с периодом периодического движения соотношением:
f =
f = 0,5 Гц
Родитель должен толкать, когда качели проходят положение равновесия. Это четверть периода движения качелей.
t =
t = 0,5 с
Разность фаз
Из предыдущего примера видно, что если человек толкает качели в неподходящее время, например, когда качели движутся к нему, система не будет резонировать. Чтобы увеличить высоту колебаний, наибольшую силу следует прикладывать, когда качели удаляются от человека, толкающего их, и проходят через положение равновесия, когда их скорость наибольшая. Время, затрачиваемое на то, чтобы качели переместились между высшей точкой и положением равновесия, равно четверти всего периода времени, и, следовательно, это должна быть разница во времени между моментом, когда качание находится в максимальном смещении, и моментом, когда сила равна применяемый.
При более высоких и более низких значениях частоты возбуждения, по сравнению с собственной частотой воздействующего объекта, передача энергии в систему значительно менее эффективна, а амплитуда значительно ниже.
- При низких частотах движения сила колеблется намного медленнее, чем объект, и между ними существует разность фаз, равная 0.
- При резонансе разность фаз равна , что вызывает наибольшую передачу энергии, так как сила всегда действует в том же направлении, что и движение, и сила наибольшая, когда объект проходит через состояние равновесия с максимальной скоростью. Это также называется резонансом скоростей — графики движущей силы и скорости осциллятора имеют одинаковую форму.
- Когда частота возбуждения продолжает увеличиваться после точки резонанса, разность фаз увеличивается до π, и сила полностью не совпадает по фазе с генератором. В этот момент осциллятор не может угнаться за движущей силой.
Рис. 2. Разность фаз между драйвером и генератором в зависимости от отношения их частот. Источник: Physics LibreTexts (CC BY-NC-SA 4.0).
Демпфирование
Настоящие колебательные системы не вибрируют вечно, так как они отдают энергию окружающей среде. Обычно это происходит из-за демпфирующих сил, которые представляют собой силы трения, такие как сопротивление воздуха или трение между движущимися частями системы.
Они уменьшают амплитуду колебаний и тем самым минимизируют эффект резонанса.
Влияние различных типов демпфирования на амплитуду
Световое демпфирование : объект останавливается долго. Примером этого является сопротивление воздуха, действующее на качающийся маятник, медленно уменьшающее амплитуду колебаний.
Рис. 3. Система со слабым демпфированием. Источник: Wikibooks IB Physics/Oscillations and Waves (CC BY-SA 3.0).
Сильное демпфирование : большая сила прикладывается к движению вибрирующего объекта. В этом случае для прекращения колебаний требуется гораздо меньше времени. Амплитуда сильно уменьшается в течение каждого периода. График зависимости смещения от времени будет иметь форму, аналогичную графику затухания света, но будет уменьшаться до нуля гораздо быстрее. Примером сильного демпфирования может быть использование объекта с очень большой площадью поверхности вместо груза на простом маятнике.
Сопротивление воздуха будет намного больше, и амплитуда уменьшится быстрее.
Критическое демпфирование : это точная величина силы сопротивления, необходимая для прекращения колебаний системы в кратчайшие сроки.
Передемпфирование : системы с передозировкой имеют большую силу сопротивления, действующую на них, чем системы с критическим демпфированием, но им требуется больше времени, чтобы вернуться к своему равновесию. Передемпфирование используется для очень больших и тяжелых дверей, чтобы заставить их закрываться медленно, а не захлопываться.
Рис. 4. Смещение во времени в системе с критическим демпфированием (A) и системе с избыточным демпфированием (B). Источник: Lumen Physics Damped Harmonic Motion (CC BY 4.0).
Влияние демпфирования на резонанс
Увеличение амплитуды, вызванное резонансом, зависит от демпфирования в колебательной системе. Слегка демпфированные системы имеют очень резкий пик амплитуды при резонансе: система очень чувствительна к моменту достижения резонансной частоты.
По мере увеличения демпфирующих сил пик резонансных кривых становится более пологим, и пик начинает возникать немного раньше резонанса – резонансная частота уменьшается.
Рисунок 5. Кривые резонанса для систем с различной степенью демпфирования. Амплитуда колебательных систем отложена по оси y, B — константа, представляющая степень демпфирования, а w 0 — резонансная частота объекта. Источник: Дэниел А. Рассел, «Акустика и вибрационная анимация» (CC BY-NC-ND 4.0).
Демпфирующие эффекты могут быть очень полезны в некоторых случаях, так как резонанс может вызвать проблемы в больших конструкциях, таких как мосты. Люди и объекты, движущиеся по мосту, могут вызвать легкую вибрацию моста, и если частота совпадает с собственной частотой моста, он может сильно колебаться и даже разрушиться. Этого можно избежать, сконструировав мост таким образом, чтобы было больше трения между движущимися частями, чтобы уменьшить амплитуду колебаний.
Применение резонанса
Хотя резонанс может быть источником опасности, он также играет важную роль во многих полезных приложениях, включая, например, МРТ и музыкальные инструменты.
МРТ
МРТ основаны на эффекте ядерного магнитного резонанса (ЯМР). Ядра водорода имеют собственную частоту, и если к одному из них приложить очень сильное магнитное поле, оно может поглощать энергию электромагнитного излучения (в диапазоне радиочастот), равную этой частоте. Контролируемая девозбуждение ядер водорода позволяет определять их местонахождение на основе испускаемого ими излучения, что позволяет картировать ткани тела.
Музыкальные инструменты
Музыкальные инструменты также зависят от резонанса. Например, когда дергают за гитарную струну, возникает волна, и суперпозиции этой волны образуют стационарную волну на струне (частота стационарной волны определяет высоту тона). Сами струны будут издавать только тихий звук, поскольку они легко перемещаются по воздуху, вызывая тем самым небольшую вибрацию молекул воздуха. Вибрации струн передаются на весь корпус гитары мостом на конце струн. Корпус рассчитан на те же резонансные частоты, что и частоты стоячих волн на струнах.