Действие с матрицами: умножение, сложение, вычитание. Как решать, с чего начать

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник/ / Линейная алгебра. (Вектора, матрицы) / / Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц. Матрицы (и соответственно математический раздел – матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин “матрица” появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков. Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m – строк и n – столбцов. Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ. Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,…, ann . Равенство матриц. A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n) Действия над матрицами. 1. Сложение матриц – поэлементная операция 2. Вычитание матриц – поэлементная операция 3. Произведение матрицы на число – поэлементная операция 4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B) Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сijматрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B , т. е. Покажем операцию умножения матриц на примере 5. Возведение в степень m>1 целое положительное число. А – квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц 6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A’ Строки и столбцы поменялись местами Пример Свойства опрераций над матрицами A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) λ(A+B)=λA+λB A(B+C)=AB+AC (A+B)C=AC+BC λ(AB)=(λA)B=A(λB) A(BC)=(AB)C (A’)’=A (λA)’=λ(A)’ (A+B)’=A’+B’ (AB)’=B’A’ Виды матриц 1. Прямоугольные: m и n – произвольные положительные целые числа 2. Квадратные: m=n 3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) – во многих практических задачах такая матрица называется вектором 4. Матрица столбец: n=1. Например 5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например 6. Единичная матрица: m=n и 7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,…,m j=1,2,…,n 8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0. Пример. 9. Симметрическая матрица: m=n и aij=aji(т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A’=A Например, 10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii) Пример. Ясно, A’=-A 11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãii (ãji– комплексно – сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно – сопряженное Ã=3-2i) Пример

Дополнительная информация от TehTab.ru:

1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Матрицей размерности называется прямоугольная таблица, состоящая изэлементов, расположенных в

m строках и n столбцах.

Элементы матрицы (первый индексi − номер строки, второй индекс j − номер столбца) могут быть числами, функциями и т. п. Матрицы обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

Матрица называется квадратной, если у нее число строк равно числу столбцов (m = n). В этом случае число n называется порядком матрицы, а сама матрица называется матрицей n-го порядка.

Элементы с одинаковыми индексами образуют

главную диагональ квадратной матрицы, а элементы (т.е. имеющие сумму индексов, равнуюn+1) − побочную диагональ.

Единичной матрицей называется квадратная матрица, все элементы главной диагонали которой равны 1, а остальные элементы равны 0. Она обозначается буквой Е.

Нулевая матрица − это матрица, все элементы которой равны 0. Нулевая матрица может быть любого размера.

К числу линейных операций над матрицами относятся:

1) сложение матриц;

2) умножение матриц на число.

Операция сложения матриц определена только для матриц одинаковой размерности.

Суммой двух матриц А и В называется матрица С, все элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В:

.

Произведением матрицы А на число k называется матрица В, все элементы которой равны соответствующим элементам данной матрицы А, умноженным на число k:

.

Операция умножения матриц

вводится для матриц, удовлетворяющих условию: число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Произведением матрицы А размерности на матрицу В размерности называется матрицаС размерности , элементi-ой строки и j-го столбца которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В:

.

Произведение матриц (в отличие от произведения действительных чисел) не подчиняется переместительному закону, т.

е. в общем случае А В В А.

Понятие определителя вводится только для квадратных матриц.

Определителем матрицы 2-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу

.

Определителем матрицы 3-го порядка называется число, вычисляемое по следующему правилу:

Первое из слагаемых со знаком «+» представляет собой произведение элементов, расположенных на главной диагонали матрицы (). Остальные два содержат элементы, расположенные в вершинах треугольников с основанием, параллельным главной диагонали (и). Со знаком «-» входят произведения элементов побочной диагонали () и элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными этой диагонали (и).

Это правило вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольников (или правилом Саррюса).

Свойства определителей рассмотрим на примере определителей 3-го порядка.

1. При замене всех строк определителя на столбцы с теми же номерами, что и строки, определитель своего значения не меняет, т.е. строки и столбцы определителя равноправны

.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет свой знак.

3. Если все элементы некоторой строки (столбца) нули, то определитель равен 0.

4. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен 0.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

7. Если каждый элемент некоторого столбца (строки) определителя представляет сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых в том же столбце (строке) стоят первые слагаемые, а в другом − вторые. Остальные элементы у обоих определителей одинаковые. Так,

.

8. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.

Следующее свойство определителя связано с понятиями минора и алгебраического дополнения.

Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, на пересечении которых этот элемент расположен.

Например, минором элемента определителя называется определитель .

Алгебраическим дополнением элементаопределителя называется его минор, умноженный на, гдеi − номер строки, j − номер столбца, на пересечении которых находится элемент . Алгебраическое дополнение обычно обозначается. Для элементаопределителя 3-го порядка алгебраическое дополнение

9. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения.

Например, определитель можно разложить по элементам первой строки

,

или второго столбца

.

Свойства определителей применяются для их вычисления.

Матричное действие

Матричное действие

Введение Матричное действие перфреймов, Элайнеры и вешалки Носилки Координаты прогнозов СВД матричных подпространств Линейные системы Псевдоинверсия Номер состояния Норма матрицы Первый ранг Сжатие изображений Фильтрация шума Тодд Уилл UW-Ла-Кросс	Матрица Хиты 2D-экшн		3Д Действие Упражнения
	Матрица хитов Когда вы попадаете в точку с матрицей, вы получаете еще одну точку. Когда матрица хиты Вы получаете . Два разных способа вычисления матрицы, умноженной на точку. COLUMN WAY для вычисления : Возьмите линейную комбинацию СТОЛБОВ A, используя веса из . Например. ROW WAY для вычисления : Поставьте точки в каждом ряду буквы . напр. 2D Matrix Action На приведенном ниже графике показаны некоторые цветные точки на единичной окружности. Переместите свой наведите курсор на график, чтобы увидеть, что происходит, когда матрица попадает точки на единичной окружности. Вы видите, что матрица растягивается и вращает единичный круг — это Матричное действие. Посмотрите еще несколько. Наведите курсор на матрицу, чтобы увидеть, как матрица попала в единичный круг. Вы можете ударить и по другим кривым. Проверьте те же три матрицы, попадающие в затухающую синусоиду. 3D Матрица Действие Если у вас есть матрица 3 на 3, вы можете ударить по 3D-поверхностям. Проверить матрицу попадание на эту поверхность. Кажется, что матрица вращается и растягивает поверхность. Это 3D матричный экшн. Упражнения На графике справа показано попадание матрицы A в единичный круг. Дайте оценки для А и А . Дайте оценки для двух разных точек, которые A отправляет {0,0}.

---

© 1999 Тодд Уилл
Последнее изменение: 03 января 1999 г.

Действие матрицы на внешней алгебре

Позвольте мне расширить свой комментарий до полного ответа.

9{33}\end{pmatrix}$$

Позвольте мне закончить одним последним замечанием.