Деление матрицы: Как делить матрицы в MATLAB?

Как работает деление матриц GNU Octave? Получение неожиданного поведения.

Матричное деление с Октавом объясняло:

Формальное описание Octave Matrix Division отсюда

http://www.gnu.org/software/octave/doc /interpreter/Arithmetic-Ops.html

x/y
    Right division. This is conceptually equivalent to the expression
    (inverse (y') * x')'

    But it is computed without forming the inverse of y'.

    If the system is not square, or if the coefficient matrix is 
    singular, a minimum norm solution is computed. 

Это означает, что эти два должны быть одинаковыми:

[3 4]/[4 5; 6 7]
ans =
   1.50000  -0.50000

(inverse([4 5; 6 7]') * [3 4]')'
ans =
   1.50000  -0.50000

Во-первых, поймите, что деление матрицы Октавы не является коммутативным, как матрица. Умножение не является коммутативным.

Это означает, что A/B не равен B/A

1/[1;1]
ans =
   0.50000   0. 50000

[1;1]/1
ans =
   1
   1
 

Один делится на матрицу с одним значением один:

1/[1]
ans = 1

Один делится на матрицу с одним значением три = 0.33333:

1/[3]
ans = .33333

Один делится на матрицу (1×2):

1/[1;1]
ans =
   0.50000   0.50000

Эквивалент:

([1/2;1/2] * 1)'
ans =
   0.50000   0.50000

Обратите внимание, что, как и в приведенных инструкциях, мы берем норму вектора. Итак, вы видите, как [1; 1] был преобразован в [1/2; 1/2] . «2» исходит из длины вектора, 1 - из поставленного вектора. Мы сделаем еще одно:

Один делится на матрицу (1×3):

1/[1;1;1]
ans = 
    0.33333   0.33333   0.33333   

Эквивалент:

 ([1/3;1/3;1/3] * 1)'
 ans =
    0.33333   0.33333   0.33333

Что делать, если один из элементов отрицательный . ..

1/[1;1;-1]
ans =
    0.33333   0.33333  -0.33333

Эквивалент:

([1/3;1/3;-1/3] * 1)'
ans =
   0.33333   0.33333  -0.33333

Итак, теперь у вас есть общее представление о том, что делает Octave, когда вы не снабжаете его квадратной матрицей. Чтобы понять, что делает деление матрицы Octave, когда вы передаете ей квадратную матрицу, вам нужно понять, что делает обратная функция.

Я нормализую ваши векторы вручную, если вы хотите, чтобы октава делала их, вы можете добавлять пакеты для этого, я думаю, что следующий пакет будет делать то, что я делал, с нормализацией вектора:

http://octave.sourceforge.net/geometry/function/normalizeVector.html

Итак, теперь вы можете преобразовать деление в эквивалентное умножение. Прочтите эту статью о том, как работает матричное умножение, и вы можете отступить и выяснить, что происходит под капотом матричного деления.

http://www.purplemath.com/modules/mtrxmult2.

%d0%b4%d0%b5%d0%bb%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d0%b5%20%d0%bc%d0%b0%d1%82%d1%80%d0%b8%d1%86 — со всех языков на все языки

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАканАлтайскийАрагонскийАрабскийАстурийскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБагобоБелорусскийБолгарскийТибетскийБурятскийКаталанскийЧеченскийШорскийЧерокиШайенскогоКриЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийВаллийскийДатскийНемецкийДолганскийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГэльскийГуараниКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийВерхнелужицкийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнупиакИнгушскийИсландскийИтальянскийЯпонскийГрузинскийКарачаевскийЧеркесскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийКомиКиргизскийЛатинскийЛюксембургскийСефардскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМаньчжурскийМикенскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийКомиМонгольскийМалайскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийНауатльОрокскийНогайскийОсетинскийОсманскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийАрумынскийРусскийСанскритСеверносаамскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиШумерскийСилезскийТофаларскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийТувинскийТвиУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВьетнамскийВепсскийВарайскийЮпийскийИдишЙорубаКитайский

Все языкиАбхазскийАдыгейскийАфрикаансАйнский языкАлтайскийАрабскийАварскийАймараАзербайджанскийБашкирскийБелорусскийБолгарскийКаталанскийЧеченскийЧаморроШорскийЧерокиЧешскийКрымскотатарскийЦерковнославянский (Старославянский)ЧувашскийДатскийНемецкийГреческийАнглийскийЭсперантоИспанскийЭстонскийБаскскийЭвенкийскийПерсидскийФинскийФарерскийФранцузскийИрландскийГалисийскийКлингонскийЭльзасскийИвритХиндиХорватскийГаитянскийВенгерскийАрмянскийИндонезийскийИнгушскийИсландскийИтальянскийИжорскийЯпонскийЛожбанГрузинскийКарачаевскийКазахскийКхмерскийКорейскийКумыкскийКурдскийЛатинскийЛингалаЛитовскийЛатышскийМокшанскийМаориМарийскийМакедонскийМонгольскийМалайскийМальтийскийМайяЭрзянскийНидерландскийНорвежскийОсетинскийПенджабскийПалиПольскийПапьяментоДревнерусский языкПуштуПортугальскийКечуаКвеньяРумынский, МолдавскийРусскийЯкутскийСловацкийСловенскийАлбанскийСербскийШведскийСуахилиТамильскийТаджикскийТайскийТуркменскийТагальскийТурецкийТатарскийУдмурдскийУйгурскийУкраинскийУрдуУрумскийУзбекскийВодскийВьетнамскийВепсскийИдишЙорубаКитайский

Умножение матрицы на число – Энциклопедия по машиностроению XXL

Умножение матрицы на число. Если к—вещественное или комплексное число, то произведение ХА матрицы А на число к определяется формулой  [c.95]

При умножении матрицы на некоторое число необходимо умножить на это число все элементы матрицы, т. е.  [c.144]

Умножение (деление) матрицы на число. Для этого необходимо каждый элемент матрицы умножить (разделить) на это число.  [c.181]

Определение 4. Произведением матрицы Л размера тХп на число а называется матрица С тех же размеров, элементы которой получаются из соответствующих элементов матрицы Л умножением их на число а, т. е.  [c.41]

Л]- -[В] умножение тензора на число Тв=%ТА, гле матрица [В]—%[А умножение тензора на тензор (скаляр-ное) Тс=Гл7 в, где матрица [С]=[А][В].  [c.61]

Еще большее число показателей требует для своего расчета применение умножения матриц на векторы. Вектор — это матрица с одной строкой или одним столбцом. Данная операция, таким образом, есть частный случай умножения матриц. Ее результатом является вектор. Примером такой операции является вычисление потребностей в материалах.  

В табл. 7.1 приведена скорость выполнения операции умножения матрицы на вектор. В первой колонке представлены выражения для числа тактовых циклов, необходимых для завершения одной операции умножения. Умножение матрицы тХп на вектор /гХ1 требует 2тп операций сложения и умножения. Если предположить, что биты данных проходят в системе с частотой 10 МГц (величина 0,1 мкс/бит является достаточно обоснованной для существующих электронных устройств), то можно вычислить скорость выполнения операций.

В символьных вычислениях центральное место занимает операция вычисления внутреннего произведения, эквивалентная умножению составляющих элементов на вектор (векторное умножение), на матрицу (умножение матрицы на матрицу) или на корреляционную функцию. В предыдущих разделах была установлена общность процедур вычисления внутреннего произведения для большого числа алгоритмов из области цифровых вычислений. В одном типичном представлении символьных вычислений отношения знаний выражаются в терминах логического сопоставления с образцом, процедура которого определяется поиском соглашения по предпосылке-условию (с левой стороны) соотношения если [А], тогда [В] (см.

Умножение матрицы [Aij] на скаляр X дает матрицу [КАц. Произведение двух матриц [Aij] и определено только в том случае, если число столб-  [c.18]

Суммой двух матриц А и В одинакового порядка (тХп) называется матрица того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых матриц. Перемножать можно только матрицы, у которых число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй. Каждый элемент матрицы — произведения С=ВА — определяется по правилу умножения строки на столбец, которое для квадратных матриц приводит к формуле  [c.46]

Мы уже говорили, что, записывая уравнение (4.19) в виде г = кг, мы просто пользуемся символическим обозначением для указания определенной операции А, совершаемой над координатной системой (или над вектором). Но, расширяя наше понятие о матрицах, можно сделать так, что эта запись будет указывать на действительное умножение на умножение матриц. Матрицы, рассматривавшиеся нами до сих пор, были квадратными, т. е. число их строк равнялось числу столбцов. Однако можно рассматривать также матрицы, состоящие всего лишь из одного столбца, такие, как  [c.119]

Любую матрицу при помощи элементарных преобразований строк и столбцов, заключающихся в перестановке строк (столбцов), умножении строки (столбца) на число и сложении строк (столбцов) между собой, можно привести к каноническому виду. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.  [c.16]

Ранг матрицы не изменяется от элементарных преобразований. Под элементарными преобразованиями понимаются замена строк столбцами, а столбцов соответствующими строками перестановка строк матрицы вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки.  [c.53]

Г. Умножение матриц. Рассмотрим (т X Р) Матрицу а и (/ X ) Матрицу Ъ—число столбцов а равно числу строк Ъ. Такие матрицы, взятые в указанной последовательности а, Ь, называются конформными. Действие умножения определено для конформных матриц. Произведением их с — аЬ называется (т X )”Матрица, элемент /-Й строки и /г-го столбца которой ра ен сумме произведений элементов /-й строки матрицы а на элементы /г-го столбца матрицы Ь  [c.762]

Матрицы, имеющие одинаковое число строк и столбцов, можно складывать (или вычитать) поэлементно. Умножение матрицы [Л,/] на скаляр X дает матрицу [М,у]. Произведение двух матриц определено только в том случае, когда число столбцов в первом множителе Л равно числу строк во втором множителе Произведением (М X Р)-матрицы на (Р X Л )-матрицу будет (М х Ы)-матрица. Умножение матриц обычно обозначается простым написанием их символов один за другим, например  [c.32]

Гамильтониан (2. 8), (2.9) зависит от 21 параметра. Существует три типа простейших преобразований, которые изменяют (в частности, исключают) параметры в гамильтониане без изменения уравнений движения. К первому типу относятся групповые преобразования 30(3) х 30(3). С их помощью в представлении (2.9) матрицы А и С могут быть одновременно приведены к диагональному виду. Добавление к гамильтониану произвольной линейной комбинации функций Казимира Рг,Р2, которые являются однородными квадратичными функциями, позволяет исключить еще два параметра. Умножение гамильтониана на произвольную константу Н аН с заменой времени t 1, также позволяет уменьшить число параметров на единицу. Таким образом, квадратичное семейство гамильтонианов (2.8) либо (2.9)) определяется двенадцатью параметрами.  [c.181]

Второй способ состоит в умножении соответствующего диагонального элемента матрицы на некоторое большое число, скажем 10 , перед модификацией соответствующего коэффициента нагрузки. В рассматриваемом случае мы бы получили  [c. 486]

Матрица рассеяния 5(Л) не зависит от Л и также сводится к умножению на число (б).  [c.109]

Таком образом, для выполнения алгоритма (55) требуются два прямых и одно обратное преобразование Ф/рье, а также прямое умножение матрицы на матрицу. Если в качестве дижретного преобразования Фурье использовать алгоритм БПФ, число опера дай сложения составит 2N og2 , а число операций умножения -.  [c.63]

SUBROUTINE SKM (А, S, М, N) — программа умножения матрицы на скаляр. А — исходная и результирующая матрица S — скалярная величина М, N — целые числа, определяющие размер матрицы.  [c.251]

Рассмотрение данного примера было вызвано необходимостью обеспечить высокую скорость при выполнении операции внутреннего произведения в линейной алгебре (например, для умножения матрицы на вектор или матрицы на матрицу), в противном случае эти операции становятся бессысленными. Операции внутреннего произведения включают умножение двух чисел и сложение результата с третьим числом. Например, 2-разрядный умножитель-сумматор умножает два 2-раз-рядных числа М ц Ы, прибавляет результат к 5-разрядному входному числу X и выводит результаты в виде 5-разрядного числа У. В синхронизированном режиме работы выходной сигнал У мог бы подаваться по цепи обратной связи на вход X для того, чтобы достичь эффекта многократного накопления результата (если имеется возможность накопления до трех произведений и при этом не возникает переполнение).  [c.155]

Одна из целей цифровых оптических вычислений состоит в достижении большей гибкости системы, чем у их аналоговых предшественников. Особенность оптических компьютеров состоит в том, что они скорее выполняют не монолитные операции, а ряд простых операций, которые можно объединить для выполнения широкого круга задач. Однако в данном случае это не так плохо, поскольку при построении оптических процессоров, осуществляющих функции регистра, их возможности поднимутся на качественно новый уровень. С этой точки зрения матричное умножение (под которым подразумевают либо умножение матрицы на вектор, либо матрицы на матрицу), возможно, является наиболее полезной операцией среднего уровня из числа тех, которые только можно придумать. Многие сложные проблемы, например калмановское фильтрование,  [c.183]

Разновидности основной архитектуры. Сообщалось и о других способах преобразования схем вычисления свертки в схемы умножителей матрицы на матрицу. В [16] для получения промежуточного произведения при вычислении внутреннего произведения двух векторов используется основная схема вычисления свертки с интегрированием по времени. Все промежуточные произведения вычисляются параллельно на независимых друг от друга умножителях и суммируются с помощью цилиндрической линзы. Таким образом, для перемножения двух векторов, состоящих из п элементов, с точностью в I знаков требуется п входов для каждого вектора, 21—1 фотодетекторных элементов и 21—1 тактовых циклов. При выполнении суммирования с помощью линз максимальное значение на детектирующем элементе составляет п1 Ь—1) . Матрично-векторный умножитель схематично показан на рис. 7.12. Следует заметить, что буферные нули в данном случае не требуются, поскольку элементы вводятся параллельно. Для построения матрично-векторного умножителя для перемножения матрицы тХп и вектора пХ все т умножителей векторов размещаются параллельно. Теперь каждый элемент матрицы а имеет вход (при общем числе входов тп), а элементы вектора Ь сдвигаются относительно этих входов. Умножение выполняется за интервал времени, составляющий т 21—1) циклов при этом i используется т(21—1) детекторов выходного сигнала. Возможности процессора удается расширить до операции умножения матрицы на матрицу с помощью временного разделения каналов для ввода элементов Ь при условии построчной загрузки матрицы по соответствующим буферам. В схеме имеется также тп входов для одной матрицы и п входов для другой, а также т 21—1) детекторов выходного сигнала. Затраты времени на вычисления составляют k + m—1) 21—1) тактовых циклов.  [c.200]

Правильный результат получают уже в смешанном формате, путем умножения исходной матрицы на дополненный вектор. Эта процедура может быть выполнена с помощью любого из обсуждавшихся выше вариантов умножения матрицы на матрицу. Ценой этого будет служить увеличение объема памяти, необходимое для записи вектора, и задача класса умножение матрицы на вектор оказывается отданной в уплату за задачу класса матрица — матрица. В целом же кажется более выгодным использовать оптические методы для выполнения суммирования вдоль противодиагоналей. В число возможных оптических способов решения такой задачи входит сегментация цилиндрических линз, сегментация голографических линз или применение матриц оптических волокон, соединяющих соответствующие элементы с детекторами, на которых происходит суммирование.  [c.203]

В работе [20] предлолсхемы построения процессоров внешнего произведения. В первом случае используется перекрестное включение одномерных входных модуляторов (рис. 7.14). Для умножения матрицы на вектор в один из модуляторов вводят целый столбец матрицы, а элементы вектора размещаются в другом модуляторе. Матричный модулятор должен обладать т1 разрядами, а модулятор для ввода вектора должен иметь I разрядов. Когда оба модулятора загружены, то от источника света подается импульс света и перекрестное произведение записывается на матрице пг1х1 интегрирующих по времени детекторов. Если суммирование осуществляется оптически, необходимо только т(21—1) детекторов. Каждое промежуточное произведение может быть накоплено на детекторе за время загрузки входного сигнала в модулятор, которое полагаем равным т1. Полное число тактовых импульсов для операции умножения матрицы на вектор составляет пт1. Для умножения матрицы на матрицу требуется кт 21—1) детекторов, при этом необходимое число тактовых циклов составляет лишь пт1 (если т>к).  [c.203]

Все процессоры характеризуются тем, что чем больше объем задачи, тем быстрее они работают. Например, умножители матрицы на вектор (за одним исключением) работают со скоростью в десятки мегаопераций в секунду, характерной для небольших по объему задач. Процессоры умножения матрицы на матрицу работают со скоростями порядка гигаопераций в секунду, что характерно для задач большего масштаба. Очевиден выигрыш в быстродействии, получаемый для параллельной обработки. Более неопределенной характеристикой является абсолютная величина быстродействия. Представленные здесь цифры являются лишь оценками, но они действительно отражают общие свойства оптических вычислений. За небольшим числом исключений имеется очень небольшая разница (менее чем на порядок по величине) между разными видами оптических процессоров, используемых для решения заданной задачи. Возможности оптических процессоров, как представляется, достаточно жестко ограничены определенными скоростями. При сравнении с возможностями электронных процессоров скорости вряд ли произведут на читателя глубокое впечатление. На момент написания книги на промышленно освоенных электронных устройств удается достичь скоростей около 50 мегаопераций в секунду. Разрабатываемые в настоящее время умножители матрицы на вектор не позволят превзойти эту величину. Умножители матрицы на матрицу демонстрируют существенно более высокие возможности.  [c.208]

Поэтому математической моделью излучающей системы может служить соотношение (2.24) или (2.27), т. е. систему излучателей можно описывать матрицей как [/)], так и [/)] . Размерности матриц [ )] и [/)] одинаковы, и для хранения их в ЭВМ требуются одинаковые объемы памяти. В модели (2.24) нахождение коэффициентов мод токов [/] связано с решением системы линейных алгебраических уравнений, а в модели (2.27) эти коэффициенты находятся путем умножения матрицы на вектор, что требует существенно меньшего числа операций. Матрицы [В] и имеют порядок MNxMN), т. е. с ростом числа излучателей и числа учитываемых мод он быстро увеличивается.  [c.62]

В АР с большим числом излучателей матрица [ )] содержит много элементов с малой абсолютной величиной, которые соответствуют излучателям, далеко отстоящим друг от друга. Поскольку в итерационных методах умножение матрицы на вектор является единственной операцией с матрицей, то это позволяет легко исключить операции с элементами матрицы [О], имеющими малое значение. Сохраняя в матрице [1>] только те элементы, которые соответствуют учету взаимодействия не более чем с Ь ближайшими излучателями, можно существенно уменьшить затраты машинного времени (8, 9 в табл. 3.1). Например, расчет токов АР из 21X21 полуволновых вибраторов над экраном ( =с у=0,6Я,) методом сопряженных градиентов с учетом взаимодействия  [c. 110]

Умножение двух матриц возможно, если число столбцов первой равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы А = = [aij] размера тХР на матрицу В = [Ьр,] размера рХп является матрица С = [с,/,] размера тХп, в которой каждый элемент iu определяется по правилу умножения строки на столбец элементы /-Н строки первой матрицы умножаются на соответствуюн не элементы kio столбца второй матрицы и полученные произведения складываются  [c.104]

В случае, когда элементами матрицы являются матрицы-блоки, умножение выполняется по тем же правилам, как если бы элементами матриц были числа, т. е. строки первой матрицы-сомно-жителя умножаются на столбцы второй матрицы-сомножителя (см., например, Г а н т м а х е р Ф. Р., Теория матриц, 5),  [c.184]

Умножение на скаляр а тензора Т ь любого ранга вследствие инва-риашносга первого можно выполнять в любом множестве координат. Для этого необходамо каждую компоненту матрицы тензора в выбранной множестве координат умножить на число, характеризующее скал ф. Ранг тензора, получаемого в результате такого умножения, равен рангу тензора, участвующему в этом действии  [c.242]

Произведением матрицы [A]—[aik]m,n на число а называется матрица a,[A]=[aaik]m.n, полученная умножением всех элементов матрицы [Л] на число сг. пример  [c.37]

Быстродействие оптических матричных умножителей было уже описано в табл. 7.1 и 7.2. При вычислении отношения Псалтиса числа в табл. 7.1 и 7.2 имеют коэффициент запаса 2, поскольку были учтены операции умножения и сложения. Для умножителей матриц на векторы соотношение Псалтиса показано в табл. 7.3. Умножители матрицы на матрицы показаны в табл. 7.4. Вычисления проведены для тех же случаев, что и в табл. 7.1 и 7.2. Второй столбец табл. 7.3 предполагает значение / = 16, п=т = 32, в то время как для третьего столбца /=32, п = т= 28. В табл. 7.4 второй столбец соответствует значениям /=16, n = m = = 32, а третий столбец относится к / = 32, п=т = k=l28.  [c. 210]

Полученный результат справедлив при любом выборе ортонор-мированной системы функций Если система // выбрана произвольно, то для построения матрицы гамильтониана потребуется большое число функций //, и соответствующее представление группы симметрии будет иметь очень высокую размерность. Если, с другой стороны, взять в качестве функций /г собственные состояния гамильтониана, то действие на них гамильтониана сведется к умножению их на некоторое число (собственное значение энергии), и матрица гамильтониана окажется диагональной. Любое преобразование симметрии должно поэтому переводить либо в себя, либо в вырожденное состояние. Размерность представления, порожденного данной функцией / , не может превышать степень вырождения состояния. Таким образом, между размерностью представления группы и степенью вырождения состояния, породившего это представление, существует тесная связь. В частности, если под действием неприводимого представления все состояния некоторой совокупности преобразуются друг через друга, то это означает, что и под действием операции симметрии эти состояния будут преобразовываться друг через друга, т. е. мы не можем найти никакой линейной комбинации (никакого унитарного преобразования), представляющей исключение. Из симметрии гамильтониана поэтому следует, что эти состояния должны быть вырожденными. Мы пришли тем самым, правда с помощью интуитивных соображений, к одному из важных результатов теории групп. Если группа симметрии гамильтониана имеет многомерные неприводимые представления, это означает, что собственные состояния гамильтониана должны быть вырожденными.  [c.38]

Путь ячейки в Golden Ratio. Доходность. Деление матриц Фибоначчи на investuga.com

В этой статье я разберу основные моменты матричного маркетинга проекта Golden Ratio. Какой путь проходит ячейка и что происходит с закрывшимися матрицами? Что такое числа Фибоначчи?

Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи – эта последовательность чисел начиная с 0 или 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Например: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 и т. д. Принцип работы маркетинга матрицы Фибоначчи основан на строго математических расчетах и основатель проекта Golden Ratio Искандер Хасанов решил, что крайнее число в маркетинге Золотого Сечения будет 233.

Покупка и вход в матрицу

Для того чтобы попасть в матрицу ваша ячейка проходит общую очередь. Примерно 54 места. Т.е. после вашей покупки должно быть совершено еще 54 покупки и после этого ячейка окажется в матрице. Причем проходя общую очередь ваша ячейка получает +67% к своей стоимости. Это бонус компании. Стоит заметить, что ячейки могут стоить по-разному., это зависит в какой Гильдии вы ее покупаете.
После общей очереди ячейка попадает в матрицу Х2. В матрице есть 20 мест. Первое место это 1, последнее – 20. Ячейки попадая в матрице движутся от большего места к меньшему. И когда вы занимаете 1 место ваша ячейка переходит на более высокий уровень матриц. Всего 5 уровней матриц Х2, Х3, Х5, Х8, Х13. Каждая из которых отличается размером доходности.

Доходность матриц в Golden Ratio

Первая Ф-матрица удваивает ваши вложения. Допустим на входе было 1 WEC, на выходе стало 2 WEC. 20% (0,4 WEC) от данной суммы отправляется на баланс для вывода, остальные 80% — в матрицу второго уровня. Здесь ваши вложения умножаются на 3, то есть вместо 1,6 WEC Вы получите 4,8 WEC , из которых 30% (1.44 WEC) идут на баланс для выплат, а остальные 3,36 WEC переходят на Ф-матрицу третьего уровня.

На этом уровне ваши инвестиции увеличиваются в 5 раз – общий доход составит 16,8 WEC, 50% (8,4 WEC) из которых доступны для вывода. Остальные попадают в Ф-матрицу четвертого уровня, в которой ваш депозит увеличивается в восемь раз. Закрыв матрицу четвертого уровня, вы получите 67,2 WEC; из них вы сможете вывести 80% (53,76 WEC), а 13,44 перейдет на Ф-матрицу пятого уровня. Матрица высшего уровня умножает ваши деньги на 13, и вы получите 100% = 174,72 WEC на выходе доступные к выводу.  Общая доходность проекта составляет почти 40 000%! И это только с одной ячейкой. Количество покупаемых вами ячеек неограниченно и зависит только от вас.

Деление матриц и блоков

Когда заполняется одна матрица полностью, заняты все ячейки, то происходит деление одной матрицы на две. При этом первая ячейка переходит на новый уровень матрицы, а остальные равномерно и поочереди распределяются между 2 новообразовавшимися матрицами.

Когда заполняются 2 матрицы (за счет покупок новых ячеек), то они делятся на 3 матрицы. Причем ячейки с первым местом переходят на новый уровень матрицы, а остальные ячейки равномерно заполняют три новых матрицы. Когда 3 матрицы заполняются происходит деление на 5 матриц. Потом 5 матриц делятся на 8 и т.д. до 233 матриц (в соответствии с последовательностью чисел Фибоначчи). Таким образом получается в процессе нескольких делений ваши ячейки перемещаются с последних мест на первые, а именно сдвиг в 1,61 раз.

После того как блок – все 233 матрицы будут заполнены ячейками начинается перезапуск или строительство матрицы с нуля. Это предусмотрено для уравнивания шансов на получение прибыли между всеми участниками. В этот момент еще большее количество ячеек переходят на новый уровень матриц. Все незакрытые ячейки изымаются и выстраиваются в новую очередь в порядке номеров, создаются 2 блока с одной пустой матрицей в каждом. Подобных блоков может быть не более пяти. Создаётся эффект рекурсии. Все матрицы заполняются по новой с учетом всех операций делений. Все происходит по схеме которая описана выше. В результате происходит серия делений и переходов первых ячеек на высший уровень. В этот момент происходит сужение матрицы, так называемое освобождение ячеек в следствии перехода их на новый уровень. Такое перераспределение позволяет ускорить процесс закрытия матриц новыми ячейками и обеспечить выплаты всем участникам проекта.

Блоки в свою очередь делятся на 2, 3, 5, 10, 15, 25, 50, 75, 125, 250, 375, 625 и т. {-1}\), где \(\mathbb{A}\) – первая матрица, \(\mathbb{B}\) – вторая матрица. То есть это умножение на обратную матрицу. Следует иметь ввиду, что вторая матрица должна быть квадратной.

При поэлементном возведении в степень вместо второй матрицы должно быть просто число. Каждый элемент матрицы возводится в степень, равную этому числу.

Матричное возведение в степень \(n\) – это матричное умножение матрицы саму на себя \(n\) раз. То есть во второе поле ввода должно быть вписано целое число. Для получения обратной матрицы введите в правую часть «\(-1\)»

Решение линейных уравнений – в этом режиме первая матрица содержит коэффициенты уравнения в левой части, вторая – в правой части. Например, чтобы решить систему уравнений \[\left\lbrace\begin{aligned}2x+3y&=5;\\10x-y&=6,\end{aligned}\right.\] нужно ввести в левое поле ввода:

2 3
10 -1

5
6

Концепция Пикселя – CoderLessons.com

Пиксель — это самый маленький элемент изображения. Каждый пиксель соответствует какому-либо одному значению. В 8-битном изображении серой шкалы значение пикселя находится в диапазоне от 0 до 255. Значение пикселя в любой точке соответствует интенсивности световых фотонов, падающих в эту точку. Каждый пиксель хранит значение, пропорциональное интенсивности света в этом конкретном месте.

PEL

Пиксель также известен как PEL. Вы можете лучше понять пиксель из рисунков, приведенных ниже.

На изображении выше могут быть тысячи пикселей, которые вместе составляют это изображение. Мы будем увеличивать это изображение до такой степени, чтобы мы могли видеть некоторые пиксельные деления. Это показано на изображении ниже.

Связь с массивом CCD

Мы видели, как образ формируется в матрице CCD. Таким образом, пиксель также может быть определен как

Наименьшее деление матрицы ПЗС также известно как пиксель.

Каждое деление матрицы ПЗС содержит значение в зависимости от интенсивности фотона, ударяющего в него. Это значение также можно назвать пикселем.

Расчет общего количества пикселей

Мы должны определить изображение как двумерный сигнал или матрицу. Тогда в этом случае количество PEL будет равно числу строк, умноженному на количество столбцов.

Это может быть математически представлено ниже:

Общее количество пикселей = количество строк (X) количество столбцов

Или мы можем сказать, что количество (x, y) координатных пар составляет общее количество пикселей.

Мы рассмотрим более подробно в руководстве по типам изображений, как рассчитать пиксели в цветном изображении.

Уровень серого

Значение пикселя в любой точке обозначает интенсивность изображения в этом месте, что также называется уровнем серого.

Мы увидим более подробно о значении пикселей в хранилище изображений и учебнике по битам на пиксель, но сейчас мы просто рассмотрим концепцию значения только одного пикселя.

Значение пикселя.

Как уже было определено в начале этого урока, каждый пиксель может иметь только одно значение, а каждое значение обозначает интенсивность света в этой точке изображения.

Теперь мы рассмотрим очень уникальное значение 0. Значение 0 означает отсутствие света. Это означает, что 0 обозначает темный, и это также означает, что когда пиксель имеет значение 0, это означает, что в этой точке будет сформирован черный цвет.

Посмотрите на эту матрицу изображений

Теперь эта матрица изображений заполнена нулями. Все пиксели имеют значение 0. Если бы мы рассчитали общее количество пикселей в этой матрице, это то, как мы собираемся это сделать.

Общее количество пикселей = общее количество из строк X всего № колонн

= 3 х 3

= 9

Это означает, что изображение будет сформировано с 9 пикселями, и это изображение будет иметь размер 3 строки и 3 столбца, и что наиболее важно, это изображение будет черным.

Полученное изображение будет примерно таким

Теперь, почему это изображение все черное. Потому что все пиксели в изображении имели значение 0.

Введение в матрицы и матричную арифметику для машинного обучения

Дата публикации 2018-02-07

Матрицы являются основополагающим элементом линейной алгебры.

Матрицы используются во всей области машинного обучения при описании алгоритмов и процессов, таких как переменная входных данных (X) при обучении алгоритма.

В этом уроке вы узнаете о матрицах в линейной алгебре и о том, как манипулировать ими в Python.

После завершения этого урока вы узнаете:

• Что такое матрица и как ее определить в Python с помощью NumPy.
• Как выполнять поэлементные операции, такие как сложение, вычитание и произведение Адамара.
• Как умножить матрицы вместе и интуиция за операцией.

Давайте начнем.

Обзор учебника

Этот урок разделен на 6 частей; они есть:

1. Что такое матрица?
2. Определение матрицы
3. Матричная арифметика
4. Матрица-матричное умножение (точечный продукт)
5. Матрично-векторное умножение
6. Матрично-скалярное умножение

Что такое матрица?

Матрица – это двумерный массив скаляров с одним или несколькими столбцами и одной или несколькими строками.

Матрица – это двумерный массив (таблица) чисел.

– страница 115,Руководство по линейной алгебре, 2017

Обозначение матрицы часто представляет собой заглавную букву, такую ​​как A, а записи обозначаются их двумерным индексом строки (i) и столбца (j), например aij. Например:

A = ((a11, a12), (a21, 22), (a31, a32))

Чаще встречаются матрицы, определенные с помощью горизонтальной записи.

a11, a12
A = (a21, a22)
     a31, a32

Вероятно, первое место, с которым вы можете столкнуться с матрицей в машинном обучении, – это данные обучения модели, состоящие из множества строк и столбцов и часто представленные заглавной буквой «X».

Геометрическая аналогия, используемая, чтобы помочь понять векторы и некоторые из их операций, не выполняется с матрицами. Кроме того, сам вектор может рассматриваться как матрица с одним столбцом и несколькими строками.

Зачастую размеры матрицы обозначаются как m и n для количества строк и количества столбцов.

Теперь, когда мы знаем, что такое матрица, давайте рассмотрим ее определение в Python.

Определение матрицы

Мы можем представить матрицу в Python, используя двумерный массив NumPy.

Массив NumPy может быть создан с учетом списка списков. Например, ниже приведена матрица из 3 строк и 2 столбцов.

# create matrix
from numpy import array
A = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(A)

При выполнении примера печатается созданная матрица, показывающая ожидаемую структуру.

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

Матричная арифметика

В этом разделе будет продемонстрирована простая матрично-матричная арифметика, где все операции выполняются поэлементно между двумя матрицами одинакового размера, что приводит к созданию новой матрицы с тем же размером.

Дополнение матрицы

Две матрицы с одинаковыми размерами могут быть добавлены вместе, чтобы создать новую третью матрицу.

C = A + B

Скалярные элементы в результирующей матрице рассчитываются как сложение элементов в каждой из добавляемых матриц.

a11 + b11, a12 + b12
A + B = (a21 + b21, a22 + b22)
         a31 + b31, a32 + b32

Или, говоря по-другому:

C[0,0] = A[0,0] + B[0,0]
C[1,0] = A[1,0] + B[1,0]
C[2,0] = A[2,0] + B[2,0]
C[0,1] = A[0,1] + B[0,1]
C[1,1] = A[1,1] + B[1,1]
C[2,1] = A[2,1] + B[2,1]

Мы можем реализовать это в python, используя оператор плюс непосредственно на двух массивах NumPy.

# add matrices
from numpy import array
A = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(A)
B = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(B)
C = A + B
print(C)

В примере сначала определяются две матрицы 2 × 3, а затем складываются их вместе.

При выполнении примера сначала распечатываются две родительские матрицы, а затем результат их сложения.

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

[[ 2  4  6]
 [ 8 10 12]]

Матричное вычитание

Аналогично, одна матрица может быть вычтена из другой матрицы с такими же размерами.

C = A - B

Скалярные элементы в результирующей матрице рассчитываются как вычитание элементов в каждой из матриц.

a11 - b11, a12 - b12
A - B = (a21 - b21, a22 - b22)
         a31 - b31, a32 - b32

Или, говоря по-другому:

C[0,0] = A[0,0] - B[0,0]
C[1,0] = A[1,0] - B[1,0]
C[2,0] = A[2,0] - B[2,0]
C[0,1] = A[0,1] - B[0,1]
C[1,1] = A[1,1] - B[1,1]
C[2,1] = A[2,1] - B[2,1]

Мы можем реализовать это в python, используя оператор минус непосредственно на двух массивах NumPy.

# subtract matrices
from numpy import array
A = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(A)
B = array([[0.5, 0.5, 0.5], [0.5, 0.5, 0.5]])
print(B)
C = A - B
print(C)

В примере сначала определяются две матрицы 2 × 3, а затем вычитается одна из другой.

Выполнение примера сначала печатает две родительские матрицы, а затем вычитает первую матрицу из второй.

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

[[ 0.5  0.5  0.5]
 [ 0.5  0.5  0.5]]

[[ 0.5  1.5  2.5]
 [ 3.5  4.5  5.5]]

Умножение матриц (продукт Адамара)

Две матрицы с одинаковым размером могут быть умножены вместе, и это часто называют поэлементным умножением матриц или произведением Адамара.

Это не типичная операция, предназначенная для обозначения умножения матриц, поэтому часто используется другой оператор, такой как круг «o».

C = A o B

Как и в случае поэлементного вычитания и сложения, поэлементное умножение включает в себя умножение элементов из каждой родительской матрицы для вычисления значений в новой матрице.

a11 * b11, a12 * b12
A o B = (a21 * b21, a22 * b22)
         a31 * b31, a32 * b32

Или, говоря по-другому:

C[0,0] = A[0,0] * B[0,0]
C[1,0] = A[1,0] * B[1,0]
C[2,0] = A[2,0] * B[2,0]
C[0,1] = A[0,1] * B[0,1]
C[1,1] = A[1,1] * B[1,1]
C[2,1] = A[2,1] * B[2,1]

Мы можем реализовать это в python, используя оператор star непосредственно на двух массивах NumPy.

# element-wise multiply matrices
from numpy import array
A = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(A)
B = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(B)
C = A * B
print(C)

В примере сначала определяются две матрицы 2 × 3, а затем они умножаются вместе.

При выполнении примера сначала распечатываются две родительские матрицы, а затем результат их умножения на продукт Адамара.

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

[[ 1  4  9]
 [16 25 36]]

Матричный отдел

Одна матрица может быть разделена на другую матрицу с такими же размерами.

C = A / B

Скалярные элементы в результирующей матрице рассчитываются как деление элементов в каждой из матриц.

a11 / b11, a12 / b12
A / B = (a21 / b21, a22 / b22)
         a31 / b31, a32 / b32

Или, говоря по-другому:

C[0,0] = A[0,0] / B[0,0]
C[1,0] = A[1,0] / B[1,0]
C[2,0] = A[2,0] / B[2,0]
C[0,1] = A[0,1] / B[0,1]
C[1,1] = A[1,1] / B[1,1]
C[2,1] = A[2,1] / B[2,1]

Мы можем реализовать это в python, используя оператор деления непосредственно на двух массивах NumPy

# divide matrices
from numpy import array
A = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(A)
B = array([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
print(B)
C = A / B
print(C)

В примере сначала определяются две матрицы 2 × 3, а затем делится первая и вторая матрицы.

Выполнение примера сначала печатает две родительские матрицы, а затем делит первую матрицу на вторую.

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

[[1 2 3]
 [4 5 6]]

[[ 1.  1.  1.]
 [ 1.  1.  1.]]

Матрица-матричное умножение (точечный продукт)

Умножение матриц, также называемое произведением матричных точек, является более сложным, чем предыдущие операции, и включает в себя правило, поскольку не все матрицы могут быть умножены вместе.

C = A * B

или же

C = AB

Правило умножения матриц следующее:

• Количество столбцов (n) в первой матрице (A) должно равняться количеству строк (m) во второй матрице (B).

Например, матрица A имеет размеры m строк и n столбцов, а матрица B имеет размеры n и k. N столбцов в A и n строк b равны. В результате получается новая матрица с m строками и k столбцами.

C(m,k) = A(m,n) * B(n,k)

Это правило применяется к цепочке умножений матриц, где количество столбцов в одной матрице в цепочке должно соответствовать количеству строк в следующей матрице в цепочке.

Одной из наиболее важных операций с участием матриц является умножение двух матриц. Матричный продукт матриц A и B является третьей матрицей C. Для того чтобы этот продукт был определен, A должно иметь такое же количество столбцов, что и B имеет строки. Если A имеет форму m × n, а B имеет форму n × p, то C имеет форму m × p.

– страница 34,Глубокое обучение, 2016

Интуиция для умножения матрицы состоит в том, что мы вычисляем скалярное произведение между каждой строкой в ​​матрице A и каждым столбцом в матрице B. Например, мы можем уменьшить количество строк столбца A и умножить каждый на столбец 1 в B, чтобы получить скаляр значения в колонке 1 кл.

Это ясно из следующего изображения.

Ниже описывается матричное умножение с использованием матричной записи.

a11, a12
A = (a21, a22)
     a31, a32

     b11, b12
B = (b21, b22)

     a11 * b11 + a12 * b21, a11 * b12 + a12 * b22
C = (a21 * b11 + a22 * b21, a21 * b12 + a22 * b22)
     a31 * b11 + a32 * b21, a31 * b12 + a32 * b22

Это можно упростить, удалив знаки умножения следующим образом:

a11b11 + a12b21, a11b12 + a12b22
C = (a21b11 + a22b21, a21b12 + a22b22)
     a31b11 + a32b21, a31b12 + a32b22

Мы можем описать операцию умножения матриц, используя обозначение массива.

C[0,0] = A[0,0] * B[0,0] + A[0,1] * B[1,0]
C[1,0] = A[1,0] * B[0,0] + A[1,1] * B[1,0]
C[2,0] = A[2,0] * B[0,0] + A[2,1] * B[1,0]
C[0,1] = A[0,0] * B[0,1] + A[0,1] * B[1,1]
C[1,1] = A[1,0] * B[0,1] + A[1,1] * B[1,1]
C[2,1] = A[2,0] * B[0,1] + A[2,1] * B[1,1]

Операция умножения матриц может быть реализована в NumPy с помощью функции dot ().

# matrix dot product
from numpy import array
A = array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
print(A)
B = array([[1, 2], [3, 4]])
print(B)
C = A.dot(B)
print(C)

В примере сначала определяются две матрицы 2 × 3, а затем вычисляется их точечное произведение.

При выполнении примера сначала распечатываются две родительские матрицы, а затем результат скалярного произведения.

[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]]

[[1 2]
 [3 4]]

[[ 7 10]
 [15 22]
 [23 34]]

Матрично-векторное умножение

Матрица и вектор могут быть умножены вместе при условии соблюдения правила умножения матриц.

В частности, что количество столбцов в матрице должно равняться количеству элементов в векторе. Как и в случае умножения матриц, операция может быть записана с использованием точечной нотации. Поскольку вектор имеет только один столбец, результатом всегда будет вектор.

c = A . v

Или без точки в компактной форме.

c = Av

Результатом является вектор с тем же количеством строк, что и у родительской матрицы.

a11, a12
A = (a21, a22)
     a31, a32

     v1
v = (v2)

     a11 * v1 + a12 * v2
c = (a21 * v1 + a22 * v2)
     a31 * v1 + a32 * v2

Или более компактно.

a11v1 + a12v2
c = (a21v1 + a22v2)
     a31v1 + a32v2

Умножение матрицы на вектор может быть реализовано в NumPy с помощью функции dot ().

# matrix-vector multiplication
from numpy import array
A = array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
print(A)
B = array([0.5, 0.5])
print(B)
C = A.dot(B)
print(C)

Вначале пример определяет матрицу 2 × 3 и вектор из 2 элементов, а затем умножает их вместе.

При выполнении примера сначала печатается родительская матрица и вектор, а затем результат их умножения.

[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]]

[ 0.5  0.5]

[ 1.5  3.5  5.5]

Матрично-скалярное умножение

Матрица может быть умножена на скаляр.

Это может быть представлено с использованием точечной нотации между матрицей и скаляром.

C = A . b

Или без точечной записи.

C = Ab

В результате получается матрица того же размера, что и родительская матрица, в которой каждый элемент матрицы умножается на скалярное значение.

a11, a12
A = (a21, a22)
     a31, a32

b

     a11 * b, a12 * b
C = (a21 * b, a22 * b)
     a31 * b, a32 * b

или же

a11b, a12b
C = (a21b, a22b)
     a31b, a32b

Мы также можем представить это с помощью обозначения массива.

C[0,0] = A[0,0] * b
C[1,0] = A[1,0] * b
C[2,0] = A[2,0] * b
C[0,1] = A[0,1] * b
C[1,1] = A[1,1] * b
C[2,1] = A[2,1] * b

Это можно реализовать непосредственно в NumPy с помощью оператора умножения.

# matrix-scalar multiplication
from numpy import array
A = array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]])
print(A)
b = 0.5
print(b)
C = A * b
print(C)

В этом примере сначала определяется матрица 2 × 3 и скаляр, а затем они умножаются вместе.

При выполнении примера сначала распечатывается родительская матрица и скаляр, а затем результат их умножения.

[[1 2]
 [3 4]
 [5 6]]

0.5

[[ 0.5  1. ]
 [ 1.5  2. ]
 [ 2.5  3. ]]

расширения

В этом разделе перечислены некоторые идеи по расширению учебника, которые вы, возможно, захотите изучить.

• Создайте 5 примеров, используя каждую операцию, используя ваши собственные данные.
• Реализуйте каждую матричную операцию вручную для матриц, определенных как списки списков.
• Найдите документы по машинному обучению и найдите 1 пример каждой используемой операции.

Если вы исследуете какое-либо из этих расширений, я хотел бы знать.

Дальнейшее чтение

Этот раздел предоставляет больше ресурсов по теме, если вы хотите углубиться.

книги

• Раздел 2.3, Матричные операции.Руководство по линейной алгебре, 2017
• Раздел 3.3, Матричное умножение.Руководство по линейной алгебре, 2017
• Раздел 1.3 Матрицы,Введение в линейную алгебру, Пятое издание, 2016.
• Раздел 2.4 Правила для матричных операций,Введение в линейную алгебру, Пятое издание, 2016.
• Раздел 2.1 Скаляры, векторы, матрицы и тензоры,Глубокое обучение, 2016
• Раздел 2.2. Умножение матриц и векторов,Глубокое обучение, 2016

API

статьи

Резюме

В этом уроке вы обнаружили матрицы в линейной алгебре и способы управления ими в Python.

В частности, вы узнали:

• Что такое матрица и как ее определить в Python с помощью NumPy.
• Как выполнять поэлементные операции, такие как сложение, вычитание и произведение Адамара.
• Как умножить матрицы вместе и интуиция за операцией.

У вас есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я сделаю все возможное, чтобы ответить.

Оригинальная статья

  В [15]: B = np.array ([[2], [4]])

В [16]: b = np.array ([[4], [4]])

В [18]: x, остаток, ранг, s = np.linalg.lstsq (B, b)

В [19]: x
Out [19]: массив ([[1.2]])
  

  импортировать numpy как np
импортировать numpy.linalg как lin
B = np.array ([[2], [4]])
b = np.array ([[4], [4]])
напечатать np.linalg.lstsq (B, b) [0]
  

  импортировать numpy как np
import numpy.линалг как лин
B = np.array ([[2], [4]])
b = np.array ([[4], [4]])

B_linv = lin.solve (B.T.dot (B), B.T)
c = B_linv.dot (б)
печать ('c \ n', c)
  

  c
 [[1.2]]
  

  c = лин. Раствор (B.T.dot (B), B.T.dot (b))
печать ('c \ n', c)
  

  c
 [[1.2]]