Главная
Диф уравнения для чайников: примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Диф уравнения для чайников: примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Содержание

примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру.

С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения  определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

 

Решение уравнений

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

 

Математика

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и  взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все “игреки”, а в другой – “иксы”:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать.

И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему “Как решать дифференциальные уравнения”:

 

Дифференциальные уравнения Учебное пособие для чайников Шпаргалка – манекены 2021

Стивен Хольцнер

Как только вы выяснили тип дифференциального уравнения, с которым имеете дело, вы можете перейти к решению проблемы с помощью метода неопределенных коэффициентов или мощности серия способ. Если у вас будет упрямое уравнение, попробуйте использовать решения преобразования Лапласа, чтобы помочь.

Как сказать одно дифференциальное уравнение из другого

Прежде чем вы сможете решить дифференциальное уравнение, вам нужно знать, что это такое. Существует несколько различных типов уравнений, в том числе линейных, отделимых, точных, однородных и неоднородных.

Линейные дифференциальные уравнения касаются исключительно производных до первой мощности (забудьте о производных, поднятых до любой высшей мощности).

Сила, о которой идет речь здесь, – это сила, к которой производная относится, а не порядок производной. Вот довольно типичное линейное дифференциальное уравнение:

Разделимые дифференциальные уравнения могут быть записаны так, что все члены в x и все члены в y появляются на противоположных сторонах уравнения, как вы можете видеть в этом примере:

, который также можно записать как

Точные дифференциальные уравнения – это те, где вы можете найти функцию, чьи частные производные соответствуют членам дифференциального уравнения.

Вот пример:

Однородные дифференциальные уравнения содержат только производные от y и термины с участием y . Как вы можете видеть в этом уравнении, они также установлены в 0:

Неоднородные дифференциальные уравнения такие же, как однородные дифференциальные уравнения, но за одним исключением: они могут иметь только члены с x и / или константы с правой стороны. Приведем пример неоднородного дифференциального уравнения:

Общее решение этого неоднородного дифференциального уравнения:

где c 1 y 1 ( x ) + c 2 y 2 ( x ) является общим решением соответствующего однородного дифференциального уравнения

и y > p ( x ) является частным решением неоднородного уравнения. Два эффективных способа решения дифференциальных уравнений

Вы можете решить дифференциальное уравнение несколькими способами. Двумя наиболее эффективными методами, которые вы можете использовать, являются метод неопределенных коэффициентов и метод степенных рядов.

Метод неопределенных коэффициентов является полезным способом решения дифференциальных уравнений. Чтобы применить этот метод, просто подключите решение, которое использует неизвестные постоянные коэффициенты в дифференциальном уравнении, а затем решите для этих коэффициентов с помощью заданных начальных условий.

Ряды мощности – еще один инструмент в вашем инструментарии для решения дифференциальных уравнений. Вы можете заменить ряд степеней, такой как следующий, на дифференциальное уравнение:

Затем вам нужно найти отношение повторения, которое дает вам коэффициент

a n . Решение дифференциальных уравнений с использованием решений преобразования Лапласа

Преобразования Лапласа – это тип интегрального преобразования, который отлично подходит для того, чтобы сделать неуправляемые дифференциальные уравнения более управляемыми. Просто возьмем преобразование Лапласа рассматриваемого дифференциального уравнения, решим это уравнение алгебраически и попытаемся найти обратное преобразование.

Вот преобразование Лапласа функции

f ( t ): Проверьте эту удобную таблицу преобразований Лапласа для общих функций, когда вы не хотите тратить время на вычисление преобразование Лапласа по своему усмотрению.

Дифференциальные уравнения: виды, методы решения

Существует целый ряд задач, в которых установить прямую связь между величинами, применяемыми для описания процесса, не получается. Единственное, что можно сделать, это получить равенство, запись которого включает производные исследуемых функций, и решить его. Решение дифференциального уравнения позволяет установить непосредственную связь между величинами.

В этом разделе мы займемся разбором решений дифференциальных уравнений, неизвестная функция в которых является функцией одной переменной. Мы построили теоретическую часть таким образом, чтобы даже человек с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях мог без труда получить необходимые знания и справиться с приведенными задачами.

Если какие-то термины окажутся для вас новыми, обратитесь к разделу «Определения и понятия теории дифференциальных уравнений». А тем временем перейдем к рассмотрению вопроса о видах дифференциальных уравнений.

Для каждого из видов дифференциальных уравнений применяется свой метод решения. В этом разделе мы рассмотрим все эти методы, приведем примеры с подробными разборами решения. После ознакомления с темой вам необходимо будет определять вид дифференциального уравнения и выбирать наиболее подходящий из методов решения поставленной задачи.

Возможно, прежде чем приступить к решению дифференциальных уравнений, вам придется освежить в памяти такие темы как «Методы интегрирования» и «Неопределенные интегралы».

Начнем ознакомление с темой мы с видов обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Эти уравнения могут быть разрешены относительно производной. Затем перейдем в ОДУ 2-го и высших порядков. Также мы уделим внимание системам дифференциальных уравнений.

Напомним, что y’=dxdy, если y является функцией аргумента x.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида y’=f(x)

Начнем с примеров таких уравнений.

Пример 1

y’=0, y’=x+ex-1, y’=2xx2-73

Оптимальным для решения дифференциальных уравнений f(x)·y’=g(x) является метод деления обеих частей на f(x). Решение относительно производной позволяет нам прийти к уравнению вида y’=g(x)f(x). Оно является эквивалентом исходного уравнения при f(x) ≠ 0.

Пример 2

Приведем примеры подобных дифференциальных уравнений:

ex·y’=2x+1, (x+2)·y’=1

Мы можем получить ряд дополнительных решений в тех случаях, когда существуют значения аргумента х, при которых функции f(x) и g(x)одновременно обращаются в 0. В качестве дополнительного решения в уравнениях f(x)·y’=g(x) при заданных значениях аргумента может выступать любая функция, определенная для заданного значения х.

Пример 3

Наличие дополнительных решений возможно для дифференциальных уравнений x·y’=sin x, (x2-x)·y’=ln(2×2-1)

Ознакомиться с теоретической частью и примерами решения задач таких уравнений вы можете в разделе «Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка».

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными вида f1(y)·g1(x)dy=f2(y)·g2(x)dx или f1(y)·g1(x)·y’=f2(y)·g2(x)

Поговорим теперь об уравнениях с разделенными переменными, которые имеют вид f(y)dy=g(x)dx. Как следует из названия, к данному виду дифференциальных уравнений относятся выражения, которые содержат переменные х и у, разделенные знаком равенства. Переменные находятся в разных частях уравнения, по обе стороны от знака равенства.

Решить уравнения с разделенными переменными можно путем интегрирования обеих его частей: ∫f(y)dy=∫f(x)dx

Пример 4

К числу дифференциальных уравнений с разделенными переменными можно отнести следующие из них:

y23dy=sin xdx, eydy=(x+sin 2x)dx

Для того, чтобы прийти от ДУ с разделяющимися переменными к ДУ с разделенными переменными, необходимо разделить обе части уравнения на произведение f2(y) ⋅ g1(x). Так мы придем к уравнению f1(y)f2(y)dy=g2(x)g1(x)dx. Преобразование можно будет считать эквивалентным в том случае, если одновременно f2(y) ≠ 0 и g1(x) ≠ 0. Если хоть одно из условий не будет соблюдаться, мы можем потерять часть решений.

Пример 5

В качестве примеров дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными можно привести следующие из них: dydx=y·(x2+ex), (y2+arccos y)·sin x·y’=cos xy.

К уравнениям с разделяющимися переменными мы можем прийти от ряда дифференциальных уравнений других видов путем замены переменных. Например, мы можем подставить в исходное уравнение z = ax+by. Это позволит нам перейти к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными от дифференциального уравнения вида y’=f(ax+by), a,b∈R.

Пример 6

Подставив z = 2x+3y в уравнение y’=1e2x+3y получаем dzdx=3+2ezez.

Заменив z=xy или z=yx в выражениях y’=fxy или y’=fyx, мы переходим к уравнениям с разделяющимися переменными.

Пример 7

Если произвести замену z=yx в исходном уравнении y’=yx·lnyx+1, получаем x·dzdx=z·ln z.

В ряде случаев прежде, чем производить замену, необходимо произвести преобразования исходного уравнения.

Пример 8

Предположим, что в условии задачи нам дано уравнение y’=y2-x22xy. Нам необходимо привести его к виду y’=fxy или y’=fyx. Для этого нам нужно разделить числитель и знаменатель правой части исходного выражения на x2 или y2.

Пример 9

Нам дано уравнение y’=fa1x+b1y+c1a2x+b2y+c2, a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈R.

Для того, чтобы привести исходное уравнение к виду y’=fxy или y’=fyx, нам необходимо ввести новые переменные u=x-x1v=y-y1, где (x1;y1) является решением системы уравнений a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0

Введение новых переменных u=x-1v=y-2 в исходное уравнение y’=5x-y-33x+2y-7 позволяет нам получить уравнение вида dvdu=5u-v3u+2v.

Теперь выполним деление числителя и знаменателя правой части уравнения на u. Также примем, что z=uv. Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными u·dzdu=5-4z-2z23+2z.

Подробный разбор теории и алгоритмов решения задач мы привели в разделе «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка y’+P(x)·y=Q(x)

Приведем примеры таких уравнений.

Пример 10

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 1-го порядка относятся:

y’-2xy1+x2=1+x2;y’-xy=-(1+x)e-x

Для решения уравнений этого вида применяется метод вариации произвольной постоянной. Также мы можем представить искомую функцию у в виде произведения y(x) = u(x)v(x). Алгоритмы применения обоих методов мы привели в разделе «Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка».

Дифференциальное уравнение Бернулли y’+P(x)y=Q(x)ya

Приведем примеры подобных уравнений.

Пример 11

К числу дифференциальных уравнений Бернулли можно отнести:

y’+xy=(1+x)e-xy23;y’+yx2+1=arctgxx2+1·y2

Для решения уравнений этого вида можно применить метод подстановки z=y1-a, которая выполняется для того, чтобы свести исходное уравнение к линейному дифференциальному уравнению 1-го порядка. Также применим метод представления функции у в качестве y(x) = u(x)v(x).

Алгоритм применения обоих методов приведен в разделе «Дифференциальное уравнение Бернулли». Там же можно найти подробный разбор решения примеров по теме.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Уравнения в полных дифференциалах P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

Если для любых значений x и y выполняется ∂P(x,y)∂y=∂Q(x,y)∂x, то этого условия необходимо и достаточно, чтобы выражение P(x, y)dx+Q(x, y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции U(x, y)=0, то есть, dU(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy. Таким образом, задача сводится к восстановлению функции U(x, y)=0 по ее полному дифференциалу.

Пример 12

Выражение, расположенное в левой части записи уравнения (x2-y2)dx-2xydy=0 представляет собой полный дифференциал функции x33-xy2+C=0

Для более подробного ознакомления с теорией и алгоритмами решения примеров можно обратиться к разделу «Уравнения в полных дифференциалах».

Дифференциальные уравнения второго порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами  y”+py’+qy=0, p,q∈R

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами обычно решается достаточно просто. Нам необходимо найти корни характеристического уравнения k2+pk+q=0. Здесь возможны три варианта в зависимости от различных p и q:

  • действительные и различающиеся корни характеристического уравнения k1≠k2, k1, k2∈R;
  • действительные и совпадающие k1=k2=k, k∈R;
  • комплексно сопряженные k1=α+i·β, k2=α-i·β.

Значения корней характеристического уравнения определяет, как будет записано общее решение дифференциального уравнения. Возможные варианты:

  • y=C1ek1x+C2ek2x;
  • y=C1ekx+C2xekx;
  • y=ea·x·(C1cos βx+C2sin βx).
Пример 13

Предположим, что у нас есть линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами y”+3y’=0. Найдем корни характеристического уравнения k2+3k=0. Это действительные и различные k1 =-3 и k2=0. Это значит, что общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y=C1ek1x+C2ek2x⇔y=C1e-3x+C2e0x⇔y=C1e-3x+C2

Восполнить пробелы в теоретической части и посмотреть подробный разбор примеров по теме можно в статье «Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”+py’+qy=f(x), p,q∈R

Основным способом решение уравнений данного вида является нахождение суммы общего решения y0, которое соответствует линейному однородному дифференциальному уравнению y”+py’+qy=0, и частного решения y~ исходного уравнения. Получаем: y=y0+y~.

Способ нахождения y0 мы рассмотрели в предыдущем пункте. Найти частное решение y~ мы можем методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x), которая расположена в правой части записи исходного выражения. Также применим метод вариации произвольных постоянных.

Пример 14

К числу линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами относятся:

y”-2y’=(x2+1)ex;y”+36y=24sin(6x)-12cos(6x)+36e6x

Теоретические выкладки и подробный разбор примеров по теме можно найти в разделе «ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x)

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения и постоянными коэффициентами являются частными случаями дифференциальных уравнений этого вида.

На некотором отрезке [a; b] общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=0 представлено линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y1 и y2 этого уравнения, то есть, y=C1y1+C2y2.

Частные решения мы можем выбрать из систем независимых функций:

1) 1, x, x2, . .., xn2) ek1x, ek2x, …, eknx3) ek1x, x·ek1x, …, xn1·ek1x,ek2x, x·ek2x, …, xn2·ek2x,…ekpx, x·ekpx, …, xnp·ekpx4) 1, chx, shx

Однако существуют примеру уравнений, для которых частные решения не могут быть представлены в таком виде.

Пример 15

Возьмем для примера линейное однородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=0.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y”+p(x)·y’+q(x)·y=f(x) мы можем найти в виде суммы y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ частное решение исходного дифференциального уравнения. Найти y0 можно описанным выше способом. Определить y~ нам поможет метод вариации произвольных постоянных.

Пример 16

Возьмем для примера линейное неоднородное дифференциальное уравнение xy”-xy’+y=x2+1.

Более подробно этот раздел освещен на странице «Линейные дифференциальные уравнения второго порядка».

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Мы можем провести замену y(k)=p(x) для того, чтобы понизить порядок исходного дифференциального уравнения F(x, y(k), y(k+1), . .., y(n))=0, которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка.

В этом случае y(k+1)=p'(x), y(k+2)=p”(x), …, y(n)=p(n-k)(x), и исходное дифференциальное уравнение сведется к F1(x, p, p’, …, p(n-k))=0. После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене y(k)=p(x) и определить неизвестную функцию y.

Пример 17

Дифференциальное уравнение y”’xln(x)=y” после замены y”=p(x) станет уравнением с разделяющимися переменными y”=p(x), и его порядок с третьего понизится до первого.

В уравнении, которое не содержит аргумента х и имеет вид F(y, y’, y”, …, y(n))=0, порядок может быть заменен на единицу следующим образом: необходимо провести замену dydx=p(y), где p(y(x)) будет сложной функцией. Применив правило дифференцирования, получаем:

d2ydx2=dpdydydx=dpdyp(y)d3ydx3=ddpdyp(y)dx=d2pdy2dydxp(y)+dpdydpdydydx==d2pdy2p2(y)+dpdy2p(y)
Полученный результаты подставляем в исходное выражение. При этом мы получим дифференциальное уравнение, порядок которого на единицу меньше, чем у исходного.

Пример 18

Рассмотрим решение уравнения 4y3y”=y4-1. Путем замены dydx=p(y) приведем исходное выражение к уравнению с разделяющимися переменными 4y3pdpdy=y4-1.

Более подробно решения задач по теме рассмотрены в разделе «Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=0 и y(n)+fn-1·y(n-1)+…+f1·y’+f0·y=f(x)

Решение уравнений данного вида предполагает выполнение следующих простых шагов:

  • находим корни характеристического уравнения kn+fn-1·kn-1+…+f1·k+f0=0;
  • записываем общее решение ЛОДУ y0 в стандартной форме, а общее решение ЛНДУ представляем суммой y=y0+y~, где y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения. 

Нахождение корней характеристического уравнения подробно описано в разделе «Решение уравнений высших степеней». Для нахождения y~ целесообразно использовать метод вариации произвольных постоянных.

Пример 19

Линейному неоднородному ДУ с постоянными коэффициентами y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=xcosx+sinx соответствует линейное однородное ДУ y(4)+y(3)-5y”+y’-6y=0.

Более детальный разбор теории и примеров по теме вы можете найти на странице « Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами».

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 и y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=f(x)

Найти решение ЛНДУ высших порядков можно благодаря сумме y=y0+y~, где y0 – общее решение соответствующего ЛОДУ, а y~ – частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

y0 представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций y1, y2, …, yn, каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство y(n)+fn-1(x)·y(n-1)+…+f1(x)·y’+f0(x)·y=0 в тождество. Частные решения y1, y2, …, yn обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

После того, как мы найдем общее решение ЛОДУ, найти частное решение соответствующего ЛНДУ можно благодаря методу вариации произвольных постоянных. Итак, y=y0+y~=∑Cj·yj+y~j=1n

Получить более подробную информацию по теме можно в разделе «Дифференциальные уравнения высших порядков».

Системы дифференциальных уравнений вида dxdt=a1x+b1y+c1dydt=a2x+b2y+c2

Данная тема подробно разобрана на странице «Системы дифференциальных уравнений». Там же приведены примеры задач с подробных разбором.

Простейшие дифференциальные уравнения примеры решения

Контрольная работа по математике

ВНИМАНИЕ!
Здесь приводятся только задания для контрольной работы. Полную версию контрольной работы по математике (Дифференциальные уравнения примеры решения) можно скачать бесплатно по указанной выше ссылке.


Общие решения дифференциальных уравнений

Задача № 1. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка

Задача № 2. Решить дифференциальное уравнение 2-го порядка понижением порядка:

y’’(1+y) – 5(y’)2 = 0

Написать вид частного решения дифференциального уравнения

Задача № 3. Не находя общего решения дифференциального уравнения, написать вид частного решения:

y’’ + 2y’ + y = 2x2e-3x + (x+1)e-x

Найти частное решение дифференциального уравнения

Задача № 4. Найти частное решение дифференциального уравнения

y’’ – 5y’ + 6y = (12x – 7)e-x
удовлетворяющее начальным условиям:

у(0) = 0, y’(0) = 0

Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Задача № 5. Дана система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Требуется найти общее решение системы, сводя ее к одному дифференциальному уравнению 2-го порядка последовательным дифференцированием одного из ее уравнений.

Найти уравнение кривой

Задача № 6. Кривая проходит через точку А(1; 2) и обладает тем свойством, что отношение ординат любой ее точки к абциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой точке, с коэффициентом пропорциональности k = 3. Найти уравнение кривой.

Решить дифференциальное уравнение методом вариации

Задача № 7. Решить методом вариации:


y’’ + y = tg2x

Примечание

Данная контрольная работа по высшей математике не является пособием типа дифференциальные уравнения для чайников. Даже простейшие дифференциальные уравнения чайнику решить будет не просто. Однако, если вы внимательно изучите эту работу и примеры решения задач, то вы сможете хотя бы немного продвинуться в этом направлении и выйти из категории чайников. Кроме того, вы можете использовать эту контрольную работу как шпаргалку по теме дифференциальные уравнения.

ТАУ для чайников – Стр 3

© К.Ю. Поляков, 2008

Полная модель объекта в пространстве состояний содержит еще одно уравнение – уравнение выхода, которое показывает, как формируется выход объекта y(t) :

x&(t) = A x(t) + B u(t)

(15)

y(t) = C x(t) + D u(t)

Эта модель называется моделью вход-состояние-выход. Выходная координата для двигателя постоянного тока – это угол поворота вала:

= [1 0] x(t) ,

так что C = [1 0] и D = 0 . Если же в качестве выхода принять угловую скорость, то C = [0 1].

С помощью модели (15), изменяя матрицы C и D , можно принять за выход любую линейную комбинацию переменных состояния и входа. Во многих практических задачах выход – это одна или несколько переменных состояния, которые мы можем измерить.

Поскольку момент инерции J , сопротивление якоря R и коэффициенты k1 и k2 не зави-

сят от времени, матрицы A , B , C и D в модели (15) – постоянные. Такие объекты называются стационарными, в отличие от нестационарных объектов, параметры которых изменяются во времени.

Запись моделей в единой форме (15) позволяет отвлечься от смысла переменных состояния и исследовать системы разной природы стандартными методами, которые хорошо разработаны и реализованы в современных компьютерных программах.

Покажем, как уравнения вида (15) могут быть решены и чем удобна именно такая форма записи. Предположим, что мы знаем начальные условия, то есть вектор состояния x(0) при

t = 0 . Вспомним, что знание x(0) и входа u(t) при всех t > 0 дает возможность однозначно оп-

ределить дальнейшее поведение этого объекта.

Первое уравнение в (15) позволяет найти производную, то есть, скорость изменения вектора состояния x(t) в любой момент времени. Будем считать, что при 0 ≤ t ≤ ∆t , где ∆t – ма-

лый интервал времени, эта производная не меняется. Тогда значение вектора состояния при t = ∆t приближенно определяется формулой

x(∆t) ≈ x(0) + x&(0) ∆t = x(0) +[A x(0) + B u(0)] ∆t ,

то есть, его можно легко вычислить. Зная x(∆t) и сигнал управления u(∆t) , находим выход

системы в тот же момент

y(∆t) ≈ C x(∆t) + D u(∆t) .

Эту методику можно применять и дальше, в конце второго интервала получаем x(2 ∆t) ≈ x(∆t) + x&(∆t) ∆t = x(∆t) +[A x(∆t) + B u(∆t)] ∆t ,

y(2 ∆t) ≈ C x(2 ∆t) + D u(2 ∆t) .

Таким образом, можно (приближенно) рассчитать выход системы при всех t > 0 . Конечно, точность будет тем выше, чем меньше ∆t , однако объем вычислений при этом также увеличится. Этот метод приближенного решения дифференциальных уравнения называется методом Эйлера. Так как мы не делали никаких предположений о постоянных матрицах A , B , C и D , его (как и другие, более совершенные методы) можно использовать без изменений для решения любых уравнений вида (15).

3.3. Переходная функция

Один из методов построения моделей «вход-выход» – определение реакции объекта на некоторый стандартный сигнал. Один из простейших сигналов – так называемый «единичный скачок» («единичный ступенчатый сигнал»), то есть мгновенное изменение входного сигнала с 0 до 1 в момент t = 0 . Формально этот сигнал определяется так:

0, t < 0

1(t) = ≥1, t 0

Вычислить интеграл методом замены – Telegraph

Вычислить интеграл методом замены

Интегральное исчисление

=== Скачать файл ===

Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов — методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами:. На уроке Неопределенный интеграл. Примеры решений мы научились раскрывать дифференциал, напоминаю пример, который я приводил: Смотрим на таблицу интегралов и находим похожую формулу: Раскрывая дифференциал, легко проверить, что: Но, тем не менее, остался вопрос, а как мы пришли к мысли, что на первом шаге нужно записать наш интеграл именно так: Почему так, а не иначе? Поэтому мысленное рассуждение при решении должно складываться примерно так: Я посмотрел в таблицу и нашел похожую формулу. Если я запишу , тогда. В ходе примерно таких мысленных рассуждений и рождается запись:. Теперь можно пользоваться табличной формулой:. Открываем таблицу производных и дифференцируем ответ: Обратите внимание, что в ходе проверки мы использовали правило дифференцирования сложной функции. Смотрим в таблицу интегралов и находим наиболее похожую вещь: Те, кому трудно сразу сообразить, на какую дробь нужно домножать, могут быстренько на черновике раскрыть дифференциал: Ага, получается , значит, чтобы ничего не изменилось, мне надо домножить интеграл на. Далее используем табличную формулу: Получена исходная подынтегральная функция, значит, интеграл найден правильно. При определенном опыте решения интегралов, подобные примеры будут казаться лёгкими, и щелкаться как орехи:. Строго говоря, решение должно выглядеть так: Поэтому на практике таким длинным решением часто пренебрегают и сразу записывают, что. Но будьте готовы при необходимости объяснить преподавателю, как Вы решали! В качестве примера я взял интеграл, который мы рассматривали в самом начале урока. Идея метода замены состоит в том, чтобы сложное выражение или некоторую функцию заменить одной буквой. В данном случае напрашивается: Вторая по популярности буква для замены — это буква. В принципе, можно использовать и другие буквы, но мы всё-таки будем придерживаться традиций. Но при замене у нас остаётся! С дифференциалами, думаю, дружба уже у всех налажена. Так как , то. После разборок с дифференциалом окончательный результат рекомендую переписать максимально коротко: Теперь по правилам пропорции выражаем нужный нам: В заключении осталось провести обратную замену. И коротко, и удобно. А теперь самое время вспомнить первый способ решения: Это фактически одно и то же. Но с точки зрения оформления задания метод подведения функции под знак дифференциала — гораздо короче. Если первый способ короче, то зачем тогда использовать метод замены? Как видите, в результате замены исходный интеграл значительно упростился — свёлся к обычной степенной функции. Это и есть цель замены — упростить интеграл. Ленивые продвинутые люди запросто решат данный интеграл методом подведения функции под знак дифференциала: Другое дело, что такое решение очевидно далеко не для всех студентов. Кроме того, уже в этом примере использование метода подведения функции под знак дифференциала значительно повышает риск запутаться в решении. Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока. Время от времени в ходе решения интегралов встречается следующий трюк: Наверняка некоторые обратили внимание, что в моей справочной таблице нет правила замены переменной. Правило внесло бы путаницу в объяснение и понимание, поскольку в вышерассмотренных примерах оно не фигурирует в явном виде. Настало время рассказать об основной предпосылке использования метода замены переменной: В этой связи при нахождении интегралов довольно часто приходится заглядывать в таблицу производных. В рассматриваемом примере замечаем, что степень числителя на единицу меньше степени знаменателя. В таблице производных находим формулу , которая как раз понижает степень на единицу. Кстати, здесь не так сложно подвести функцию под знак дифференциала: Интегрировать некоторые дроби можно научиться на уроке Интегрирование некоторых дробей. Смотрим в таблицу производных и находим наш арккосинус: У нас в подынтегральном выражении находится арккосинус и нечто похожее на его производную. Осталось выяснить, во что превратится оставшаяся часть подынтегрального выражения. По правилу пропорции выражаем нужный нам остаток: Внимательные читатели заметили, что я рассмотрел мало примеров с тригонометрическими функциями. И это не случайно, поскольку под интегралы от тригонометрических функций отведён отдельный урок. Более того, на указанном уроке даны некоторые полезные ориентиры для замены переменной, что особенно актуально для чайников, которым не всегда и не сразу понятно, какую именно замену нужно проводить в том или ином интеграле. Также некоторые типы замен можно посмотреть в статье Определенный интеграл. Более опытные студенты могут ознакомиться с типовой заменой в интегралах с иррациональными функциями. Замена при интегрировании корней является специфической, и её техника выполнения отличается от той, которую мы рассмотрели на этом уроке. Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Я выполнил проверку, а Вы? Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.

Тема детства в стихах русских поэтов

Какой прогноз погоды в башкирии на неделю

Леди бюст челябинск каталог

Интегрирование заменой

С какого возраста делают ээг детям

Как правильно готовить раков

Анекдоты про какашки

Работа в челябинске график 3 3

Сколько идет исполнительный лист

Интегрирование методом замены переменной

Сколько стоят очки 6

Акт приема передачи помещения образец

Сони st26i характеристики

Гостья из будущего фильм 1985 сколько серий

Тесты шевроле трекер

Стихи день учителя начальных классов

Первый триместр беременности по неделям

Интегрирование с помощью замены переменной.

Банковская карта google platinum

На газоне растут грибы что делать

Департамент сша результаты розыгрыша грин карт

Глобальная история земли

Сколько стоит поставить газ на ваз

Дифференциальные уравнения. Часть 1 | Открытые видеолекции учебных курсов МГУ

Курс лекций «Дифференциальные уравнения» читается для студентов второго курса механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова.

Курс знакомит с видами дифференциальных уравнений и методами их решений, геометрической интерпретацией уравнения первого порядка, с первыми интегралами, с теорией линейных уравнений и систем, в том числе с постоянными и периодическими коэффициентами, с вопросами существования, единственности и продолжаемости решений, их непрерывности и дифференцируемости по параметру, устойчивости по Ляпунову.  Рассматриваются также вопросы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения с частными производными первого порядка, теорема об альтернативе, периодические системы дифференциальных уравнений.

Список всех тем лекций

Лекция 1. Введение в дифференциальные уравнения.
Определение дифференциального уравнения и смежные определения Определение поля направлений Решение дифференциального уравнения Определение интегральной кривой  Примеры интегральной кривой Эквивалентность уравнения в дифференциалах и обычного дифференциального уравнения 

Лекция 2. Виды дифференциальных уравнений.
Продолжение доказательства с прошлой лекции Уравнение первообразной и его решение Теорема об общем решении интегрального уравнения Примеры интегралов Уравнение в полных дифференциалах и его свойства Автономные уравнения Определение точки единственности и существования

Лекция 3. Задача Коши.
Лемма о точках единственности Пример применения леммы к эксперименту с остыванием тела Пример применения леммы к эксперименту вытекание жидкости Уравнения с разделяющимися переменными и его решение Однородные уравнения и их решения Существование и единственность решений задачи Коши Эквивалентная задаче Коши задача

Лекция 4. Задача Коши.
Доказательство эквивалентности задач Обобщение теоремы Лагранжа на многомерное пространство

Лекция 5. Задача Коши.
Завершение доказательства теоремы об эквивалентности задач и пример применения Вариации условий теоремы существования и единственности Теорема глобального решения  Продолжаемость Лемма о продолжаемости решения и следствие из нее

Лекция 6. Системы дифференциальных уравнений.
Теорема о продолжаемости решения  Пример применения теоремы о продолжаемости решения  Линейная система дифференциальных уравнений Лемма об интегральном неравенстве (Гронуолла-Беллмана) Лемма о дифференциальном неравенстве  Доказательство теоремы о решении линейной системы

Лекция 7. Обобщенные дифференциальные уравнения.
Определение обобщенного дифференциального уравнения n-го порядка Каноническая замена и её свойства Теорема о изоморфности замены  Локальная теорема единственности уравнения n-го порядка Глобальная теорема единственности уравнения n-го порядка Теорема о продолжаемости решения уравнения n-го порядка Линейное неоднородное уравнение n-го порядка Существование и единственность непродолжаемости решение неоднородного уравнения Уравнения неразрешенные относительно производной Теорема существования и единственности уравнения неразрешенного относительно производной Определение дискриминантного множества Теорема о связи дискриминантного множества и особого решения

Лекция 8. Линейные дифференциальные уравнения.
Расширенная задача Коши Доказательство теоремы о связи дискриминантного множества и особого решения Нахождение дискриминантного множества для пример вытекания воды Уравнения колебаний маятника  Общая теория линейных дифференциальных уравнений Теорема об изоморфизме решения линейных уравнений и n-мерным пространством Следствие из теоремы об изоморфизме решения линейных уравнений и n-мерным пространством Оператор Коши Лемма о корректном определении оператора

Лекция 9. Методы решения дифференциальных уравнений.
Матрица решений дифференциального уравнения Лемма о свойствах матрицы решений Матрица Коши и ее свойства Удовлетворение оператора Коши задачи Коши Определитель Вронского Теорема об эквивалентности утверждений о линейной зависимости  Формула Ляувиля-Остроградского Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений Метод вариации постоянной 

Лекция 10. Краевая задача для уравнения второго порядка.
Доказательство эквивалентности уравнений Теорема об изоморфности множества решений неоднородного уравнения и n-мерного пространства и следствие из нее Следствие из теоремы Метод вариации постоянных Определитель Вронского для линейных уравнений Формула Ляувиля-Остроградского для линейных уравнений Теорема о фундаментальной системе решений для линейных дифференциальных уравнений Теорема о связи линейной зависимости и определителя Вронского Постановка краевой задачи для уравнения второго порядка Определение вырожденной и невырожденной краевой задачи

Лекция 11. Теорема об альтернативе.
Формулировка и доказательство теорема об альтернативе Нули решений однородного уравнения второго порядка Перемежающиеся нули решения Теорема о расположениях нулей однородного уравнения Теорема сравнения (Штурма) и следствия Лемма о приведении уравнения к более простому виду Примеры применения теоремы штурма Уравнение маятника

Лекция 12. Методы решения линейного дифференциального уравнения.
Определение экспоненты от матрицы Лемма о равномерной сходимости ряда экспоненты Теорема о решении линейного уравнения с постоянными коэффициентами  Следствия из теоремы о решении линейного уравнения с постоянными коэффициентами Расширение теоремы на комплексной плоскости Напоминание свойств жордановой клетки Вычисление экспоненты от матрицы Теорема о комплексных решениях  Определение векторного квазимногочлена

Лекция 13. Однородные и неоднородные дифференциальные уравнения.
Теорема о методе неопределенных коэффициентов Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Теорема о решениях однородных уравнений с постоянными коэффициентами Применение теоремы о решениях однородных уравнений с постоянными коэффициентами для уравнения колебания маятника Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Определение резонанса кратности К Теорема о существовании и единственности решения в случае резонанса Применение теоремы к уравнению колебания маятника

Лекция 14. Периодические системы дифференциальных уравнений.
Определение периодических систем дифференциальных уравнений Определение оператора монодромии Определение мультприликатора Лемма о решениях периодических систем дифференциальных уравнений Задача о поиске периодических решениях Теорема о невырожденности задачи Определение логарифма от матрицы Логарифм от жордановой клетки Формулировка теоремы Флаке-Ляпунова

Хольцнер, Стивен: 9780470178140: Amazon.com: Книги

Прокладывайте себе путь через обычные и особые точки

Разберитесь в дифференциальных уравнениях с помощью практических советов и примеров

Доставляют ли вам страдания дифференциальные уравнения? Не волнуйтесь! Это дружелюбное руководство объясняет этот пугающий предмет на простом английском языке, шаг за шагом проводя вас через все ключевые концепции – от линейных и разделимых дифференциальных уравнений первого порядка до уравнений более высокого порядка, степенных рядов и преобразований Лапласа.Вы найдете множество примеров, чтобы улучшить свои навыки решения проблем, а также множество полезных определений и объяснений, которые помогут справиться даже с самыми сложными дифференциальными уравнениями.

Узнайте, как:

  • Классифицировать дифференциальные уравнения

  • Решить с помощью интегрирующих коэффициентов

  • Работа с коэффициентами

  • Используйте удобные теоремы

  • Развлекайтесь с

    • Применяйте дифференциальные уравнения в реальной жизни

Прокладывайте себе путь через обычные и особые точки

Разберитесь в дифференциальных уравнениях с помощью практических советов и примеров

Доставляют ли вам страдания дифференциальные уравнения? Не волнуйтесь! Это дружелюбное руководство объясняет этот пугающий предмет на простом английском языке, шаг за шагом знакомя вас со всеми ключевыми понятиями – от линейных и разделимых дифференциальных уравнений первого порядка до уравнений более высокого порядка, степенных рядов и преобразований Лапласа.Вы найдете множество примеров, чтобы улучшить свои навыки решения проблем, а также множество полезных определений и объяснений, которые помогут справиться даже с самыми сложными дифференциальными уравнениями.

Узнайте, как:

  • Классифицировать дифференциальные уравнения

  • Решить с помощью интегрирующих коэффициентов

  • Работа с коэффициентами

  • Используйте удобные теоремы

  • Развлекайтесь с

    • Применяйте дифференциальные уравнения в реальной жизни

Об авторе

Стивен Хольцнер – отмеченный наградами автор книг по естествознанию, математике и техническим наукам.Он прошел обучение по дифференциальным уравнениям в Массачусетском технологическом институте и в Корнельском университете, где получил степень доктора философии. Он работал преподавателем в Массачусетском технологическом институте и Корнельском университете и написал такие бестселлеры, как Physics For Dummies и Physics Workbook For Dummies.

Дифференциальные уравнения для чайников Хольцнера, Стивена (электронная книга)

Эта игра будет выпущена.
Этой книги больше нет в продаже.
Эта электронная книга недоступна в вашей стране.

Интересный и простой способ понять и решить сложные уравнения

Многие фундаментальные законы физики, химии, биологии и экономики можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений. Это руководство на простом английском языке исследует множество применений этого математического инструмента и показывает, как дифференциальные уравнения могут помочь нам понять мир вокруг нас. Дифференциальные уравнения для чайников – идеальный компаньон для курса дифференциальных уравнений в колледже и идеальный дополнительный ресурс для других классов математического анализа, а также естественных и инженерных дисциплин. Он предлагает пошаговые методы, практические советы, многочисленные упражнения и ясные, краткие примеры, которые помогут читателям улучшить свои навыки решения дифференциальных уравнений и повысить свои результаты тестов.

  • ;
  • ISBN:
  • Выпуск:
  • Название:
  • Ряд:
  • Автор:
  • Выходные данные:
  • Язык:
Читать онлайн

Если вы используете ПК или Mac, вы можете читать эту электронную книгу в Интернете в веб-браузере, ничего не загружая и не устанавливая программное обеспечение.

Скачать форматы файлов

Для этой электронной книги доступны следующие типы файлов:

Эта электронная книга доступна на:

После того, как вы купили эту электронную книгу, вы можете загрузить либо версию в формате PDF, либо ePub, либо и то, и другое.

DRM Бесплатно

Издатель предоставил эту книгу в формате DRM Free с цифровыми водяными знаками.

Необходимое программное обеспечение

Вы можете читать эту электронную книгу на любом устройстве, которое поддерживает формат EPUB без DRM или PDF без DRM.

Управление цифровыми правами (DRM)

Издатель предоставил эту книгу в зашифрованном виде, что означает, что вам необходимо установить бесплатное программное обеспечение, чтобы разблокировать и прочитать ее.

Необходимое программное обеспечение

Чтобы читать эту электронную книгу на мобильном устройстве (телефоне или планшете), вам необходимо установить одно из следующих бесплатных приложений:

Чтобы загрузить и прочитать эту электронную книгу на ПК или Mac :

  • Adobe Digital Editions (Это бесплатное приложение, специально разработанное для электронных книг.Это не то же самое, что Adobe Reader, который, вероятно, уже установлен на вашем компьютере.)
Ограничения на печать и копирование

Издатель установил ограничения на то, какую часть этой электронной книги вы можете распечатать или скопировать. Смотрите подробности.

  • {{format_drm_information.format_name}} без ограничений {{format_drm_information.format_name}} {{format_drm_information.page_percent}}% страниц каждый день {{format_drm_information.interval}} дн. {{format_drm_information.format_name}} выкл.
Читать вслух
  • {{read_aloud_information.format_name}} на {{read_aloud_information.format_name}} выкл.

Дифференциальные уравнения для чайников Стивена Хольцнера, Мягкая обложка, 9780470178140

Аннотация

Веселый и простой способ понять и решить сложные уравнения Многие фундаментальные законы физики, химии, биологии и экономики можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений.Это руководство на простом английском языке исследует множество применений этого математического инструмента и показывает, как дифференциальные уравнения могут помочь нам понять мир вокруг нас. «Дифференциальные уравнения для чайников» – это идеальный помощник для изучения курса дифференциальных уравнений в колледже и идеальный дополнительный ресурс для других классов по математике, а также для естественных и инженерных курсов. Он предлагает пошаговые методы, практические советы, многочисленные упражнения и ясные, краткие примеры, которые помогут читателям улучшить свои навыки решения дифференциальных уравнений и повысить свои результаты тестов.Стивен Хольцнер, доктор философии (Итака, штат Нью-Йорк), является автором «Физики для чайников» (978-0-7645-5433-9) и «Учебного пособия по физике для чайников» (978-0-470-16909-4). Он преподавал физику в Корнелльском университете более десяти лет и написал более 95 книг о программировании.

Биография автора

Стивен Хольцнер – отмеченный наградами автор книг по естествознанию, математике и техническим наукам. Он прошел обучение по дифференциальным уравнениям в Массачусетском технологическом институте и в Корнельском университете, где получил степень доктора философии. Он работал преподавателем в Массачусетском технологическом институте и Корнельском университете и написал такие бестселлеры, как «Физика для чайников» и «Рабочая тетрадь по физике для чайников».

Задняя крышка

Прокладывайте себе путь через обычные и особые точки. Разберитесь в дифференциальных уравнениях с помощью практических советов и примеров. Доставляют ли вам страдания дифференциальные уравнения? Не волнуйтесь! Это дружелюбное руководство объясняет этот пугающий предмет на простом английском языке, шаг за шагом проводя вас через все ключевые концепции – от линейных и разделимых дифференциальных уравнений первого порядка до уравнений более высокого порядка, степенных рядов и преобразований Лапласа. Вы найдете множество примеров, чтобы улучшить свои навыки решения проблем, а также множество полезных определений и объяснений, которые помогут справиться даже с самыми сложными дифференциальными уравнениями.Узнайте, как: классифицировать дифференциальные уравнения; решать с помощью интегрирующих факторов; работать с коэффициентами; использовать удобные теоремы; получать удовольствие от передовых методов; применять дифференциальные уравнения в реальной жизни.

Длинное описание

Прокладывайте себе путь через обычные и особые точки. Разберитесь в дифференциальных уравнениях с помощью практических советов и примеров. Доставляют ли вам страдания дифференциальные уравнения? Не волнуйтесь! Это дружелюбное руководство объясняет этот пугающий предмет на простом английском языке, шаг за шагом знакомя вас со всеми ключевыми понятиями от линейных и разделимых дифференциальных уравнений первого порядка до уравнений более высокого порядка, степенных рядов и преобразований Лапласа.Вы найдете множество примеров, чтобы улучшить свои навыки решения проблем, а также множество полезных определений и объяснений, которые помогут справиться даже с самыми сложными дифференциальными уравнениями. Узнайте, как: классифицировать дифференциальные уравнения; решать с помощью интегрирующих факторов; работать с коэффициентами; использовать удобные теоремы; получать удовольствие от передовых методов; применять дифференциальные уравнения в реальной жизни.

Описание издателя

Веселый и простой способ понять и решить сложные уравнения Многие фундаментальные законы физики, химии, биологии и экономику можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений.Этот руководство на простом английском языке исследует множество применений этого математический инструмент и показывает, как дифференциальные уравнения могут нам помочь понять мир вокруг нас. Дифференциальные уравнения для Манекены – идеальный компаньон для дифференциала в колледже курс по уравнениям и является идеальным дополнительным ресурсом для других классы математического анализа, а также курсы естествознания и инженерии. Это предлагает пошаговые методики, практические советы, многочисленные упражнения, и ясные, краткие примеры, которые помогут читателям улучшить свои навыки решения дифференциальных уравнений и повысить их тест оценки.

Содержание

Введение. Часть I: Сосредоточение на дифференциале первого порядка Уравнения.

Глава 1: Добро пожаловать в мир дифференциальных уравнений.

Глава 2: Взгляд на линейный дифференциал первого порядка Уравнения.

Глава 3: Сортировка отделяемого дифференциала первого порядка Уравнения.

Глава 4: Изучение точных дифференциальных уравнений первого порядка и метод Эйлера.

Часть II: Геодезическая съемка дифференциала второго и более высокого порядка Уравнения.

Глава 5: Исследование линейной однородности второго порядка Дифференциальные уравнения.

Глава 6. Изучение линейной неоднородности второго порядка Дифференциальные уравнения.

Глава 7. Работа с линейно-однородным дифференциалом высшего порядка Уравнения.

Глава 8: Рассмотрение линейной неоднородности более высокого порядка Дифференциальные уравнения.

Часть III: Власть: Продвинутые методы.

Глава 9: Серьезность с сериями Power и обычными Точки.

Глава 10: Работа через особые точки.

Глава 11: Работа с преобразованиями Лапласа.

Глава 12: Решение систем линейного дифференциала первого порядка Уравнения.

Глава 13: Обнаружение трех отказоустойчивых численных методов.

Часть IV: Часть десятков.

Глава 14: Десять супер-полезных онлайн-дифференциальных уравнений Учебники.

Глава 15: Десять действительно крутых решений дифференциальных уравнений в режиме онлайн Инструменты.

Индекс.

Подробнее о продукте

Ряд

Для чайников (стиль жизни в мягкой обложке)

Дифференциальные уравнения для чайников. Fáðu matvöruna heim að dyrum.