Дифф уравнения: Дифференциальные уравнения — все самое интересное на ПостНауке

Дифференциальные уравнения и продление жизни / Хабр

  188. Гектора ж, в бегстве преследуя, гнал Ахиллес непрестанно. Словно как пёс по горам молодого гонит оленя.<…>  199. Словно во сне человек изловить человека не может,  Сей убежать, а другой уловить напрягается тщетно, — Так и герои, ни сей не догонит, ни тот не уходит.

Задача №1. Ахиллес и Смерть

В некоей альтернативной вселенной герою по имени Ахиллес предрекли, что жить ему осталось ровно m лет. Но мать Ахиллеса благодаря своему волшебству (она ж нимфа по легенде), продлевает ему жизнь таким образом, что каждые k (k > 1) лет продолжительность жизни увеличивается на 1 год. Сколько Ахиллес проживет в итоге, если считать, что увеличение происходит непрерывно?

Пусть x – это сколько осталось жить нашему герою. Ахиллес проживает первые m лет, но за эти годы получает лет прибавки к ПЖ. Он проживает эти лет, но за это время получает еще лет (прибавку разделить на k). И так далее, до бесконечности и можно подумать, что герой никогда не умрет. Но это не так: Смерть все таки догонит Ахиллеса, потому что все эти прибавки образуют бесконечную геометрическую прогрессию:

И тут стоит обратить внимание на условие: k > 1 из чего следует, что а это значит, что геометрическая прогрессия бесконечно убывающая. А бесконечно убывающая геометрическая прогрессия сходится к конечному значению:

вывод формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии

Пусть у нас есть вот такая сумма:

И тут кому-то пришла в голову гениальная мысль: “а что если обе части равенства умножить на q?”. Так чего же мы ждем! Умножаем:

А теперь вычтем из первого второе и получим красивую формулу для суммы:

Если q < 1, то при n стремящемся к бесконечности очевидно получаем:

Так как стремится к нулю

В период с 2000 по 2019 год ожидаемая продолжительность жизни голландских мужчин, например, увеличилась с 75.5 до 80.5 лет (то есть примерно на год каждые четыре года), что согласуется с данными по Европе в среднем. Таким образом, если человеку на текущий момент осталось жить 40 лет, а ожидаемая ПЖ увеличивается на год каждые четыре года, то имеем:

то есть мужчина-европеец в возрасте примерно 38 лет может прожить не 40 лет в среднем, а примерно на 13 лет дольше из-за прогресса в медицине (конечно, данные расчеты много чего не учитывают, нельзя их воспринимать как надежные предсказания).

А вот если k <= 1, то имеем уже бесконечность и это и есть та самая пресловутая longevity escape velocity о которой много говорит знаменитый борец со старением Обри Ди Грей. То есть Смерть никогда не догонит Ахиллеса.

А теперь давайте посмотрим насколько эта же задача легче и логичнее решается при помощи дифференциальных уравнений:

dx – это насколько изменилось количество оставшихся лет до смерти за период dt. В отсутствии медицинского прогресса dx просто уменьшается на величину dt (логично, черт возьми). А прогресс добавляет определенное количество лет, такое что оно равно 1, если dt=k годам. Решается это уравнение тоже элементарно:

Совершенно очевидно, что x(0) = m, откуда C = m. А теперь подставим это в уравнение выше и выразим время t через которое Ахиллес помрет (x(t) = 0):

Получилось просто и красиво, более того, есть задачи на которые можно дать ответ только с помощью дифференциальных уравнений. Например, если k зависит от времени. Давайте помечтаем немного и представим, что в какой-то момент времени наука развилась до такого уровня, что требуется все меньше и меньше времени для продления ожидаемой ПЖ на год, то есть k уменьшается со временем.

Пусть, например, k уменьшается по экспоненте с периодом полураспада в n лет. И давайте попробуем ответить на такой вопрос: какой должен быть минимальный m, чтобы человек мог достигнуть longevity escape velocity при таком k(t)?

Чтобы ответить на данный вопрос давайте составим дифференциальное уравнение:

Надо, пожалуй, пояснить откуда взялось b в экспоненте и чему равняется

Мы определили k(t) = k0*exp(-bt). Так как через n лет значение k(t) должно быть вдвое меньше, то имеем

откуда:

Интегрируем уравнение и получаем:

Чтобы определить C, воспользуемся начальным условием: x(0)=m:

Получаем следующую запись функции дожития:

Давайте взглянем на ее график:

Функция x(t) имеет минимум и нам нужно, чтобы этот минимум был выше оси абсцисс (фиолетовая кривая)

Наша функция дожития имеет минимум и все, что нам нужно, это найти значение минимума как функции от m и найти значение m при котором этот минимум больше нуля. Как мы помним еще со школы, для того, чтобы найти минимум функции надо сначала найти ее производную и приравнять к нулю. Причем производную-то мы уже знаем из уравнения (1):

Мы точно знаем, что это минимум, потому что вторая производная положительна на всей области определения, а значит функция выпукла вниз и, следовательно, найденный экстремум является минимумом.

Теперь необходимо найти :

А отсюда уже выразим ограничение для m:

При и необходимо иметь в запасе примерно 9. 2 года ожидаемой продолжительности жизни, чтобы достичь longevity escape velocity, то есть быть, например, мужчиной моложе 79 лет. Каждый может прикинуть свои шансы на достижение longevity escape velocity исходя из своего возраста. Но возможно ли в принципе бессмертие? Есть ли какие-то фундаментальные математические (не физические) ограничения? Об этом я расскажу в следующей статье, а пока давайте поговорим о более практических вещах.

Задача 2. Плазмаферез

Конечно, медицинская наука еще очень далека от достижения LEV (а может быть этого и вовсе никогда не случится), однако попытки отсрочить старение ведутся уже сейчас. Одной из самых интересных интервенций, возможно, способной немного продлить молодость и продолжительность жизни является терапевтическое разбавление плазмы. Известные геронтологи супруги Конбои продемонстрировали, что если мышкам заменить половину плазмы на физраствор с альбумином, то у них существенно улучшаются многие показатели жизнедеятельности. Предполагается, что это происходит за счет удаления из организма токсичных продуктов, которые образуются из-за старения организма. Более подробно все описано, например, тут. Более того, некоторые отчаянные биохакеры даже пробуют этот метод на себе и замечают улучшение ряда биомаркеров. Конечно, пройдет еще немало времени прежде чем установят эффективность (или неэффективность) этого метода на людях, но мы тем не менее постараемся ответить на вполне конкретный вопрос: а сколько раз нам необходимо сдать плазму, чтобы заменить половину, если за один раз забирается v мл?

Поскольку нам надо найти такой k при котором обновится половина плазмы, то приравняем правую часть уравнения выше к 1/2, прологарифмируем обе части равенства и воспользуемся свойствами логарифма, чтобы получить формулу для k:

Удельный объем плазмы взрослого мужчины составляет, в среднем, 46.7 мл/кг. Возьмем к примеру мужчину массой 80 кг и v=450 мл (стандартный объем плазмы при донорстве):

То есть взрослому сорокалетнему мужчине массой 80 кг необходимо за короткий срок 6 раз пожертвовать плазму, чтобы ее обновить чуть более чем наполовину.

Пусть X(t) – доля старой плазмы в момент времени t. Пусть скорость вытекания плазмы равна r мл/мин. Чему же будет равна концентрация старой плазмы в момент времени t + dt? А концентрация равна:

Давайте разберем каждое составляющее этого равенства:

X(t)V: концентрация старой плазмы помноженная на общий объем – очевидно это объем старой плазмы во всем организме в момент t

X(t)rdt: это объем старой плазмы, который вытечет за время dt (rdt – это скорость истечения, помноженная на время, что соответствует объему, а X(t) – это доля старой плазмы в этом объеме).

Затем мы делим получившийся объем старой плазмы на общий объем (который остается неизменным, потому что физраствор втекает с той же скоростью) и получим концентрацию. А теперь узнаем чему равно изменение концентрации (разница между концентрацией в моменты времени t+dt и t):

Разделяем переменные и решаем это дифференциальное уравнение:

Отсюда:

Мы знаем, что вначале концентрация старой плазмы равнялась 1:
X(0) = 1 => C = 1

Поэтому , а теперь найдем время, за которое обновится половина плазмы:

На практике это означает примерно 259 минут (4 с лишним часа!), если руководствоваться средней скоростью 10 мл/мин (обычно забирают 450 мл плазмы и уходит на это примерно 45 минут):

Конечно, это время абсолютно неприемлемо, однако процедуру можно существенно ускорить. Например, в этой статье описан метод, который позволяет изымать плазму со скоростью 24 мл/мин, что позволяет заменить половину плазмы за 108 минут. Весьма неплохо! Однако неизвестно выдержит ли организм замену половины плазмы за один раз 🙂 Но это уже выходит за рамки математики, оставим этот вопрос врачам. Тем более, что различные клинические исследования по влиянию плазмафереза на старение людей уже начались.

Заметки по R: Дифференциальные уравнения

library("knitr")
opts_chunk$set(
  # cache=FALSE,
               message=FALSE, warning=FALSE) 
library("ggplot2") # для построения графиков
library("rasterVis")
library("fields")
library("deSolve") # решение дифф. уравнений с начальными условиями
library("bvpSolve") # решение дифф. уравнений с краевыми условиями
library("dplyr") # манипуляции с данными

Пакет rasterVis предназначен для изображения данных на реальных географических картах, поэтому там нужно понятие проекции. Мы пока просто введем это шаманское заклинание

proj <- CRS('+proj=longlat +datum=WGS84')

Построим график векторного поля для системы:

\[ \left\{ \begin{array}{l} \dot{y}_1=y_2 \\ \dot{y}_2=y_1+\cos(y_2) \end{array} \right. 2), angle = atan2(y1dot, y2dot)) df2 <- df[c(“y1”, “y2”, “len”, “angle”)] rast <- rasterFromXYZ(df2, crs = proj)

Строим классический график со стрелочками

vectorplot(rast, isField = TRUE)

Строим няку с капельками

streamplot(rast, isField = TRUE)

Простой график можно руками построить без доп. пакетов. При этом нам нужно самостоятельно уменьшить количество стрелочек.

y1 <- seq(-6, 6, 0.5)
y2 <- seq(-6, 6, 0.5)
df <- expand.grid(y1 = y1, y2 = y2)
df <- mutate(df, y1dot = y2, y2dot = y1 + cos(y2))
plot(df$y1, df$y2, pch = ".", xlab = expression(paste(y[1])),
  ylab = expression(paste(y[2])), main = "График векторного поля")
arrow.plot(df$y1, df$y2, df$y1dot, df$y2dot,
            arrow.ex = 0.03, length = 0.05)

Решим ОДУ с начальным условиями

Решим систему ОДУ с начальными условиями

Описываем саму систему:

eq1 <- function(t, y, parampampam) {
  return(list(c(
    y[2],
    y[1] + cos(y[2])    
  )))
}

Начальные условия:

y. start <- c(y1 = 1, y2 = 4) 

Точки, в которых компьютер будет считать функцию:

t <- seq(0, 10, by = 0.01)

Решаем

sol <- ode(y = y.start, times = t, func = eq1)
sol <- data.frame(sol)
head(sol)

##   time       y1       y2
## 1 0.00 1.000000 4.000000
## 2 0.01 1.040018 4.003678
## 3 0.02 1.080076 4.007785
## 4 0.03 1.120176 4.012326
## 5 0.04 1.160324 4.017305
## 6 0.05 1.200524 4.022725

str(sol)

## 'data.frame':    1001 obs. of  3 variables:
##  $ time: num  0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 ...
##  $ y1  : num  1 1.04 1.08 1.12 1.16 ...
##  $ y2  : num  4 4 4.01 4.01 4.02 ...

ggplot(sol) + geom_line(aes(time, y1), size = 2) + labs(x = "t",
  y = expression(paste(y[1])), title = "Решение ОДУ с начальными условиями")

Функция ode возвращает матрицу, а для рисования графиков удобнее табличка с данными, data.frame. Строчка sol <- data.frame(sol) переделывает матрицу в таблицу с данными.

Решим систему ОДУ с краевыми условиями

Описываем саму систему:

eq1 <- function(t, y, parampampam) {
  return(list(c(
    y[2],
    y[1] + cos(y[2])    
  )))
}

Граничные условия:

y.start <- c(y1 = 1, y2 = NA) 
y.final <- c(y1 = 42, y2 = NA)

Точки, в которых компьютер будет считать функцию:

t <- seq(0, 10, by = 0.01)

Решаем

sol <- bvptwp(yini = y.start, yend = y.final,
           x = t, func = eq1,
           nmax = 2000)
sol <- data.frame(sol)
head(sol)

##      x        y1        y2
## 1 0.00 1.0000000 -1.553150
## 2 0.01 0.9845193 -1.543001
## 3 0.02 0.9691398 -1.532904
## 4 0.03 0.9538610 -1.522860
## 5 0.04 0.9386824 -1.512868
## 6 0.05 0.9236035 -1.502928

ggplot(sol) + geom_line(aes(x, y1), size = 2) +  labs(x = "x", 
  y = expression(paste(y[1])), title = "Решение ОДУ с краевыми условиями")

Бесплатное приложение. Изображение функций двух переменных

Есть несколько способов представить себе функцию от двух переменных, \(z(x, y)\):

• 3D график
• Линии уровня
• Векторное поле градиентов функции

Создаем data. 2))

r <- rasterFromXYZ(df, crs = proj)

Линии уровня функции z

contour(r)

Капельки текущие по градиенту

streamplot(r)

Направление градиентов, заодно вид сбоку для графика функции

vectorplot(r)

Урок 25. Дифференциальные уравнения в Mathcad

Павел Демидов 10.12.2014 Уроки Mathcad 0

Дифференциальные уравнения очень часто применяются для описания изменяющихся процессов. Для начала рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ):

Аналитическое решение этого уравнения:

Аналитическое решение является точным, и оно быстро дает результат. К сожалению, многие практические дифференциальные уравнения не могут быть решены аналитически. Поэтому нам нужны численные методы.

Метод Эйлера

Наиболее простой метод решения дифференциальных уравнений – метод Эйлера. Это старый метод, легкий для понимания и программирования.

Вычисляем изменения, шаг за шагом:

Сравнение результата и точного решения:

Заметьте, что решение методом Эйлера немного отличается от точного решения, и с ростом аргумента эта разница увеличивается. Уменьшить ошибку можно, если увеличить число шагов.

Блок решения ОДУ

Mathcad содержит все главные решатели дифференциальных уравнений. Их можно найти в меню Функции –> Дифференциальные уравнения. В этом уроке мы рассмотрим самый важный из них. Он прост в использовании и точен. Такой метод сочетает использование блока решения и функцию odesolve(). Перед решением определим:

Все вхождения зависимой переменной c в блоке решения записываются как функции независимой переменной, т.е. как c(t). Есть только одно исключение – запись слева от команды odesolve().

Решение этим методом и аналитическое решение близки. Этот же результат можно получить, записав производную через штрих с помощью [Ctrl+’]:

Пример: сердце и артерии

Работа сердца похожа на работу поршневого насоса: оба они расширяются и сжимаются, клапаны на входе и выходе позволяют течь только в одном направлении.

Впускной клапан открывается, когда камера расширяется и позволяет крови попасть в сердце из вены. При сжатии камеры впускной клапан закрывается, и кровь выбрасывается в артерию. Выпускной клапан закрывается, когда камера начинает расширяться.

Пульсация потока уменьшается расширением и сжатием эластичных стенок артерий.

Перепады давления возле легких низки: примем, что избыточное давление в точках A и B равно нулю. Центральным элементом являются артерии, изменение объема которых определяются разницей входного и выходного потоков:

Предположим, что объем сердца изменяется во времени по синусоидальному закону, но кровь выпускается только в течение положительной полуволны:

График для восьми ударов:

Средний поток – это интеграл объема в течение одного удара, деленный на время удара:

Расширение артерий зависит от эластичности стенок и их геометрии, но мы не будем анализировать это здесь. Предположим, что объем линейно зависит от избытка давления:

Чем эластичнее стенки, тем больше значение k. Определим три значения:

Сопротивление тела:

Разность давлений следует из:

Баланс объемов артерий:

Из

получаем дифференциальное уравнение для давления:

Решим его таким же образом, как и предыдущее, с той разницей, что k передадим в блок решения как параметр:

Выведем решения:

Максимумы давления зависят от эластичности артерий – чем больше эластичность, тем меньше давление:

Здесь мы использовали для примера одно дифференциальное уравнение первого порядка, но Mathcad этим не ограничивается.

Резюме

1. Обыкновенное дифференциальное уравнение содержит два вида переменных: зависимые (y(x)) и независимые (x).

 

2. Решение можно получить с помощью блока решения и функции odesolve().
3. Используйте оператор дифференцирования или штрих в записи дифференциального уравнения. Штрих вводится с помощью [Ctrl+’].
4. Введите необходимые граничные условия (они могут содержать запись производной через штрих).
5. Функция odesolve() содержит зависимую переменную и независимую переменную.
6. Зависимые переменные записываются как функции от независимых.
7. В завершение присвойте выходной переменной функцию odesolve(). Выходная переменная не записывается как функция от независимой переменной.
8. Однако, при использовании вывода нужно записывать его как функцию независимой переменной.

About Павел Демидов

Выпускник МГТУ им. Н.Э. Баумана, технический специалист по продуктам PTC Mathcad и Solid Edge.

View all posts by Павел Демидов →

Как узнать свободный объем сборки в Autodesk Inventor

Как еще можно использовать блоки в AutoCAD

6.01. Дифференциальные уравнения. Общие понятия и определения

Определение 1. Уравнение, содержащее хотя бы одну из производных у’, у”, у”’,… неизвестной функции у = у(х), называется дифференциальным уравнением для этой функции. Сама функция У и её аргумент Х Могут входить, а могут и не входить в дифференциальное уравнение. Порядок старшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется Порядком этого уравнения.

Таким образом,

F(х; у; у’) = 0 (1.1)

– общий вид дифференциального уравнения первого порядка;

F(х; у; у’; у”) = 0 (1.2)

– общий вид дифференциального уравнения второго порядка, и т. д.

В соответствии со сказанным выше в уравнении первого порядка (1.1) обязательно наличие лишь У’, а наличие Х и У Не обязательно. В уравнении второго порядка (1.2) обязательно наличие лишь У”, а наличие остальных его элементов Х, у и У’ не обязательно.

Определение 2. Решением (частным решением) дифференциального уравнения на некотором промежутке [A; B] оси ох называется функция, удовлетворяющая для всех х є [A;B] дифференциальному уравнению, то есть обращающая его в тождество (верное числовое равенство 0=0). Графики частных решений У = F(х) дифференциального уравнения называется его интегральными кривыми.

Например, функция У = х² является частным решением дифференциального уравнения первого порядка У’-2х = 0 для всех Х От – ∞ до + ∞. А интегральной кривой, соответствующей данному частному решению, является парабола с уравнением У = х².

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение (любого порядка) – это значит найти все его частные решения, то есть найти все функции у = F(х), удовлетворяющие этому уравнению. Формула, содержащая все (или почти все) частные решения дифференциального уравнения, называется его общим решением. Частные решения, не содержащиеся в общем решении, называются особыми решениями Дифференциального уравнения.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение У’-2х = 0.

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению У’ = 2х. Следовательно, все функции У, удовлетворяющие этому уравнению, являются первообразными для функции 2х (см. §1, глава 5). Но множество всех первообразных для данной функции – это неопределенный интеграл от неё. Поэтому все частные решения дифференциального уравнения У’-2х = 0 найдутся по формуле:

Формула У = х² + С представляет собой общее решение дифференциального уравнения У’-2х = 0. Эта формула содержит в себе множество функций (ибо С – неопределенная константа), и все эти функции – частные решения дифференциального уравнения У’-2х = 0. Особых решений у этого дифференциального уравнения нет. Интегральными кривыми данного дифференциального уравнения являются параболы У = х² + С (их бесконечно много). Все частные решения, входящие в общее решение У = х² + С, являются ими для всех Х От – ∞ до + ∞.

А теперь сделаем следующее важное замечание. Функция У = F(х), являющаяся частным решением данного дифференциального уравнения, может быть им лишь для тех Х, для которых определена и она, и все её производные, входящие в дифференциальное уравнение. Вносит свои ограничения и сама структура дифференциального уравнения (что-то в нем может находиться под корнем, что-то под логарифмом и т. д.). А так как у разных функций, вообще говоря, разные области определения (особенно с учетом областей определения их производных), то разные частные решения У = F(х) дифференциального уравнения удовлетворяют этому уравнению, вообще говоря, на разных числовых множествах оси Ох.

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение первого порядка Уу’ = х.

Решение. Проведем следующие тождественные преобразования:

Множество функций содержит в себе все частные решения дифференциального уравнения Уу’ = х. Таким образом, формула является общим решением этого уравнения. Особых решений у него нет.

А теперь проанализируем полученное общее решение уравнения У у’ = х.

А) Если С>0, то и функции , и их производные

Определены для любых Следовательно, при С>0 эти функции являются решениями дифференциального уравнения при любых Х.

Б) Если С=0, то получаем две функции , которые определены для любых Но вот производные у них существует для любых Х, кроме точки Х=0, что наглядно демонстрируют графики этих функции (см. рис.

6.1(а) и 6.1 (б)).

Действительно, согласно геометрического смысла производной (глава 4, формула 1.11) производная функции связана касательной к графику функции. А такой касательной к графикам функций при Х=0, очевидно, не существует. Поэтому функции является решениями дифференциального уравнения для всех Х, кроме Х=0.

В) Если С<0, то –С=>0, и тогда получаем функции , которые определены лишь при Х и при Х, причем их производные определены строго при Х>А и при Х<-А. Поэтому функции являются решениями дифференциального уравнения лишь на интервалах Х>А и Х<-А. При изменении величины А меняются и эти интервалы.

Пример 3. Решить дифференциальное уравнения первого порядка .

Решение. Очевидно, что функция У=0 является решениям (частным решением) данного дифференциального уравнения. Поищем возможные другие решения этого уравнения, когда . Для этого проведем следующие тождественные преобразования данного уравнения:

|разделим переменные Х и У||проинтегрируем обе части| |

Функции (их бесчисленное множество), как и функция У=0, представляют собой частные решения дифференциального уравнения У’= ху² (убедитесь в этом, найдя У‘ и подставив У и У’ в это уравнение). У каждой из этих функций своя область определения, зависящая от величины константы С. В формуле содержатся все частные решения дифференциального уравнения У’= ху², кроме решения У = 0 (оно не получается по этой формуле ни при каком значении С). Таким образом, формула представляет собой общее решение дифференциального уравнения У’= ху². А У = 0 – особое решение этого уравнения. Заметим, что и интегральная кривая, соответствующая этому особому решению У=0 (ось Ох) кардинально отличается от кривых .

В примерах (1) – (3) мы решили три различных дифференциальных уравнения первого порядка, и у каждого из них оказалось бесчисленное множество частных решений. Произошло это потому, что в процессе решения каждого из них мы применяли операцию интегрирования (операцию вычисления неопределенных интегралов). Интегрирование привело к появлению неопределенной константы интегрирования С, которая затем вошла в выражение для искомой функции У: у = у(х;С). Таким образом, мы получили множество частных решений дифференциального уравнения. Это множество включало в себя или все частные решения дифференциального уравнения (в примерах 1 и 2), или почти все (в примере 3). Поэтому это множество У = у(х;С) частных решений дифференциального уравнения представляло собой общее решение этого уравнения.

По такой схеме (интегрированием) находят общее решение любого дифференциального уравнения первого порядка F(х; у; у’) = 0. Действительно, чтобы решить такое уравнение, то есть чтобы найти те функции У = F(х), Которые ему удовлетворяют, нужно «вытащить» функцию У из-под знака её производной. А это как раз и делается с помощью процедуры интегрирования – процедуры, обратной дифференцированию.

Итак, Схема получения общего решения любого дифференциального уравнения первого порядка такова:

|интегрируем уравнение| (1.3)

Отметим, что далеко не всегда удается получить общее решение дифференциального уравнения в явном виде, то есть в виде , когда У выражен через Х И С. Зачастую общее решение получается в неявном виде , из которого выразить У через Х и С Не удается. Тогда его в таком неявном виде и оставляют.

Общее решение дифференцированного уравнения, в каком бы виде (явном, неявном) оно ни было получено, называют ещё Общим интегралом дифференцированного уравнения.

Не факт, что в найденное общее решение (в общий интеграл) дифференцированного уравнения войдут все его частные решения (подтверждением этого служит пример 3). Те частные решения , ,… дифференциального уравнения, которые не войдут в его общее решение, будут его особыми решениями. Их тоже нужно найти (не потерять). В противном случае дифференциальное уравнение окажется решенным неполноценно.

В заключении данного параграфа укажем, в таких задачах естествознания следует ожидать появления дифференциальных уравнений.

Так как решениями дифференциальных уравнений являются функции, а каждая функция в принципе описывает процесс изменения одной переменной при изменении другой переменной , То дифференциальные уравнения, по идее, должны широко встречаться в задачах по исследованию различного рода процессов ( физических, химических, биологических, технологических, экономических, общественных, и т. д.). В следующих параграфах мы приведём примеры, подтверждающее это предположение.

Упражнения

1. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: – общее решение.

2. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: – общее решение.

3. Решить дифференциальное уравнение .

Ответ: – общее решение; У=1 – особое решение.

< Предыдущая		Следующая >

Дифференциальные уравнения | Новый физтех. Университет ИТМО

КУРС

Дифференциальные уравнения

Нанофотоника

Физика радиочастотных технологий

Прикладная и теоретическая физика

Фотоника и спинтроника

Квантовые материалы

Беспроводные технологии

Гибридные материалы

Численное моделирование

Дифференциальные уравнения являются основным инструментом математического моделирования физических, химических, биологических, экономических, а также многих других процессов и явлений. В данном курсе изучаются различные типы обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Подробно рассматриваются как способы явного нахождения решений, так и качественные методы исследования. Строгое изложение теории иллюстрируется конкретными примерами из прикладных областей знания. Содержащиеся в курсе сведения, в частности, необходимы для дальнейшего изучения уравнений математической физики.

 

Язык обучения

Русский

Образовательная программа:  

Прикладная и теоретическая физика

 (

3

)

Модуль:  

Математический блок

Содержание программы

План лекций:

1 Введение. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка.

2 Уравнения, не разрешённые относительно производной. Методы понижения порядка.

3 Дифференциальные многочлены. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

4 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Выделение вещественных решений.

5 Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

6 Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем с помощью матричной экспоненты.

7 Теоремы существования и единственности для нормальной системы и для уравнения произвольного порядка.

8 Лемма Гронуолла. Глобальная теорема единственности. Продолжение решений задачи Коши.

9 Задача Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной. Особые решения.

10 Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. Вронскиан и его свойства.

11 Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения второго порядка. Теорема Штурма о сравнении.

12 Автономные системы уравнений. Классификация положений равновесия.

13 Теория устойчивости.

14 Уравнения в частных производных первого порядка.

15 Элементы нелинейной динамики.

 

План практических занятий:

1 Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Составление дифференциальных уравнений.

2 Уравнения Бернулли, Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнения Лагранжа и Клеро.

3 Методы понижения порядка.

4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера.

5 Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод исключения. Однородные системы.

6 Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем с помощью матричной экспоненты.

7 Контрольная работа №1.

8 Исследование задачи Коши. Метод последовательных приближений.

9 Задача Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной. Особые решения.

10 Линейные системы с переменными коэффициентами. Решение уравнений при помощи степенных рядов.

11 Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения второго порядка. Качественное исследование решений.

12 Автономные системы уравнений. Исследование положений равновесия.

13 Исследование решений на устойчивость. Линеаризация нелинейных систем.

14 Уравнения в частных производных первого порядка.

15 Контрольная работа №2.

 

Lectures plan

1 Introduction. Solving methods for the simplest types of the first order differential equations.

2 Implicit differential equations. Reduction of order methods.

3 Differential polynomials. Linear homogeneous equations with constant coefficients.

4 Linear nonhomogeneous equations with constant coefficients. Finding real solutions.

5 Homogeneous systems of linear equations with constant coefficients.

6 Nonhomogeneous systems of linear equations with constant coefficients. Application of matrix exponential to solving the systems.

7 Existence and uniqueness theorems for normal system and for equation of arbitrary order.

8 Gronwall lemma. Global theorem of existence.  Extension of solutions of initial value problem.

9 Initial value problem for implicit differential equation. Singular solutions.

10 Linear systems of equations with variable coefficients. Wronskian and its properties.

11 Linear equations with variable coefficients. Equations of the second order. Sturm comparison theorem.

12 Autonomous systems. Equilibrium points classification.

13 Stability theory.

14 Partial differential equations of the first order.

15 Elements of nonlinear dynamics.

 

Seminars plan

1 Separable differential equations, homogeneous equations. Linear equations of the first order. Deriving the differential equations.

2 Bernoulli equation, Riccati equation. Exact differential equation. Lagrange and Clairaut equations.

3 Reduction of order methods.

4 Linear equations with constant coefficients. Euler equation.

5 Systems of linear equations with constant coefficients. Elimination method. Homogeneous systems.

6 Nonhomogeneous systems of linear equations with constant coefficients. Solving the systems with the matrix exponential.

7 Test №1.

8 Analysis of initial value problem. Method of successive approximations.

9 Initial value problem for implicit differential equation. Singular solutions.

10 Linear systems with variable coefficients. Solving the equations with power series.

11 Linear equations with variable coefficients. Equations of the second order. Qualitative analysis of solutions.

12 Autonomous systems. Analysis of equilibrium points.

13 Stability analysis of solutions. Linearization of nonlinear systems.

14 Partial differential equations of the first order.

15 Test №2

Список литературы

1. В. К. Романко, Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 4 изд. — Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.
2. В. К. Романко, Н. Х. Агаханов, В. В. Власов, Л. И. Коваленко, Сборник задач по дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению / под ред. В. К. Романко. — 5 изд. — Москва: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015.
3. А. Ф. Филиппов, Введение в теорию дифференциальных уравнений. — 2 изд. — Москва: КомКнига, 2007.
4. А. Ф. Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, 2000.
5. М. Л. Краснов, А. И. Киселёв, Г. И. Макаренко, Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями. — 4 изд. — Москва: Едиториал УРСС, 2002.
6. Ипатова В. М., Пыркова О. А., Седов В. Н. Дифференциальные уравнения. Методы решений. — 2 изд. — Москва: МФТИ, 2012.

Рекомендованные завершённые курсы

Линейная алгебра

Дополнительная информация

 Тип самостоятельных заданий:

• На практических занятиях студенты получают задачи для самостоятельного решения. В конце каждого занятия выдаётся домашнее задание.

• В курсе предусмотрены две большие домашние работы, содержащие задачи по всему пройденному материалу в каждом модуле. Эти работы требуется не только сдать на проверку, но и защитить, то есть устно ответить на вопросы преподавателя по данной работе.

• В конце каждого модуля на занятиях проводятся контрольные работы.

 Как оценивается успеваемость по курсу:

• Работа в течение семестра оценивается от 0 до 100 баллов.

• Студент допускается к сдаче экзамена, если он набрал не менее 60 баллов.

• Ответ на экзамене оценивается по пятибалльной шкале. Для получения оценки «отлично» необходимо иметь не менее 80 баллов за семестр.

• Итоговая оценка за курс совпадает с экзаменационной. 
 

 

Описание курса

Дифференциальные уравнения — презентация на Slide-Share.ru 🎓

1

Первый слайд презентации: Дифференциальные уравнения

Основные понятия Дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Изображение слайда

2

Слайд 2: Дифференциальное уравнение (ДУ) –

уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y  = f ( x ) и ее производные.

Изображение слайда

3

Слайд 3

Если искомая функция y = f ( x ) есть функция одного независимого переменного, то ДУ называется обыкновенным. Если независимых переменных две или более, то такое ДУ называется ДУ в частных производных.

Изображение слайда

4

Слайд 4

Порядком ДУ называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Изображение слайда

5

Слайд 5

ДУ 2-го порядка ДУ 1-го порядка

Изображение слайда

6

Слайд 6

Под ДУ в явной форме понимают ДУ, разрешенное относительно старшей производной: ДУ в не явной форме

Изображение слайда

7

Слайд 7: Решением или интегралом ДУ

называется всякая функция y ( x ), которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество. Решением или интегралом ДУ Решить или проинтегрировать данное ДУ – значит, найти все его решения.

Изображение слайда

8

Слайд 8: ПРИМЕР:

Общее решение

Изображение слайда

9

Слайд 9: Общее решение ДУ порядка n :

– независимые произвольные постоянные

Изображение слайда

10

Слайд 10: При любом наборе конкретных постоянных

получаются частные решения. Замечание: Число произвольных постоянных в точности равно порядку уравнения.

Изображение слайда

11

Слайд 11: ПРИМЕР:

Общее решение Частное решение

Изображение слайда

12

Слайд 12: Дифференциальные уравнения первого порядка

ДУ первого порядка имеет вид : Если уравнение можно записать в виде: то его называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной. Уравнение первого порядка может быть записано также в дифференциальном виде : P(x; y) и Q(x; y) – известные функции. Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множеству решений, отличающихся друг от друга постоянными величинами.

Изображение слайда

13

Слайд 13: Дифференциальные уравнения первого порядка

Например, решением уравнения является функция и вообще любая функция вида Чтобы решение дифференциального уравнения приобрело конкретный смысл, его надо подчинить дополнительным условиям. Условие, что при x = x 0 функция у должна быть равна заданному числу у 0, называют начальным условием и записывают в виде: , а также функция

Изображение слайда

14

Слайд 14: Дифференциальные уравнения первого порядка

Общим решением ДУ первого порядка называется функция Функция Каково бы ни было начальное условие у( x 0 ) = у 0 можно найти такое значение постоянной С 0, что функция содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяющая условиям: является решением ДУ при каждом фиксированном значении C. удовлетворяет данному начальному условию. Частным решением ДУ первого порядка называется функция, полученная из общего решения при конкретном значении постоянной С = С 0. Если общее решение ДУ найдено в неявном виде: Ф( x; y; C) = 0, то такое решение называется общим интегралом, уравнение Ф( x; y; С 0 ) = 0 называется частным интегралом.

Изображение слайда

15

Слайд 15: Дифференциальные уравнения первого порядка

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. С геометрической точки зрения, общее решение ДУ первого порядка есть семейство интегральных кривых на плоскости XOY Например, общее решение ДУ есть семейство парабол: x y 0 Частное решение – одна кривая из этого семейства, проходящая через точку М(х 0 ; у 0 ) Частное решение, удовлетворяющее начальному условию: у(1) = 2 – это одна парабола, проходящая через точку М(1, 2) с уравнением: Задача отыскания частного решения ДУ, удовлетворяющего заданному начальному условию называется задачей Коши.

Изображение слайда

16

Слайд 16: Уравнения с разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида: Такое уравнение называется уравнением с разделенными переменными. Проинтегрировав это уравнение почленно, получим: – общий интеграл ДУ. Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид: (1) (2) Уравнение (2) сводится к уравнению (1) путем почленного деления его на

Изображение слайда

17

Слайд 17: Уравнения с разделяющимися переменными

Получаем: Замечание: при проведении почленного деления ДУ на могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение (3) Уравнение и установить те решения, которые не могут быть получены из общего решения – особые решения. также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить

Изображение слайда

18

Слайд 18: Уравнения с разделяющимися переменными

Разделим обе части уравнения на xy : Общий интеграл ДУ Решим уравнение xy = 0 : Его решения: x = 0 и y = 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общее решение, значит это особое решение. Решить задачу Коши: Общее решение ДУ Подставим начальные условия: Частное решение ДУ

Изображение слайда

19

Слайд 19: Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

ДУ вида приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки: где и  – новая неизвестная функция.

Изображение слайда

20

Слайд 20: Уравнения с разделяющимися переменными

Рассмотрим задачу, приводящую к ДУ первого порядка с разделяющимися переменными: Задача: материальная точка массы m замедляет свое движение под воздействием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с после начала замедления, если V(0) = 100 м / с, V(1) = 50 м / с. Решение: Примем за переменную время t, отсчитываемое от начала замедления точки. Тогда скорость V будет функцией t : V = V(t). Воспользуемся вторым законом Ньютона: В нашем случае – коэффициент пропорциональности

Изображение слайда

21

Последний слайд презентации: Дифференциальные уравнения: Уравнения с разделяющимися переменными

По условию задачи: Получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Скорость точки изменяется по закону:

Изображение слайда

mathispower4u

Дифференциальные уравнения Бернулли

Решение дифференциального уравнения Бернулли (часть 1)
Решение дифференциального уравнения Бернулли (часть 2)
Решение задачи дифференциального уравнения Бернулли с начальным значением (часть 3) Разделение переменных
Пример: Решение дифференциального уравнения Бернулли с использованием интегрирующего множителя

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение, является ли функция однородной функцией
Определение однородности дифференциального уравнения первого порядка. Часть 1
Определение однородности дифференциального уравнения первого порядка. Часть 2
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Часть 1
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Часть 2
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Часть 3
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка в дифференциальной форме. Часть 1
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка в дифференциальной форме. Часть 2
Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка в дифференциальной форме. Часть 3

Интервал достоверности (существование и уникальность)

Пример 1. Найдите интервал, гарантирующий наличие решения IVP (интервал достоверности)
Пример 2: Найдите интервал, гарантирующий существование решения для IVP (интервал достоверности)
Найдите значения, исключенные из гарантии существования и уникальности решения для IVP — y’=f(t,y)
Используйте итерацию Пикара для аппроксимации решения для IVP (только 2 итерации)

Применение дифференциальных уравнений первого порядка

Применение дифференциальных уравнений первого порядка — экспоненциальный рост: Часть 1
Применение дифференциальных уравнений первого порядка — экспоненциальный рост: Часть 2
Применение дифференциальных уравнений первого порядка: экспоненциальное затухание Часть 1
Применение Дифференциальные уравнения первого порядка. Экспоненциальное затухание Часть 2
. Применение дифференциальных уравнений первого порядка. Закон охлаждения Ньютона.
. Применение дифференциальных уравнений первого порядка.0005 Применение дифференциальных уравнений первого порядка — концентрации смешивания 2
Применение дифференциальных уравнений первого порядка — схема RL
Применение дифференциальных уравнений первого порядка — падающий объект Смесь с потоком на входе/выходе Различное применение разделимого дифференциального уравнения
: Закон Кирхгофа
Напишите дифференциальное уравнение для моделирования изменения на банковском счете: изменение суммы депозита

Автономные дифференциальные уравнения: Равновесные решения

Найти равновесную совокупность и когда совокупность увеличивается с учетом автономного ДУ
Упражнение 1: Решение автономного ДУ IVP – Логистический рост с использованием разделения переменных
Упражнение 1: Решение автономного ДУ IVP – Логистический рост (ярлык)
Пример 2: Решение автономного DE IVP – Логистический рост с использованием разделения переменных
Написание дифференциального уравнения для моделирования логистического роста продаж

Метод Эйлера 9(-t)cos(2t))
По данным y1 и y2 решения ДУ второго порядка, найти вронскиан и частное решение (Ln)

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Постоянные коэффициенты

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка – (два точных действительных корня)
Пример: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка – (два точных действительных корня)
Пример: Решение и проверка решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
Упражнение 1: Решение задачи с начальным значением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
Упражнение 2: Решение задачи с начальным значением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка
Упражнение: Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка – (два действительных иррациональных корня)
Линейное уравнение второго порядка Однородные дифференциальные уравнения – (два действительных равных корня)
Пример: Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка – (два действительных равных корня)
Пример: Решение линейной задачи однородного дифференциального уравнения второго порядка с начальным значением (равно)
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка – (комплексные корни)
Пример: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка – (комплексные корни)
Пример: Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка Задача с начальным значением (комплексное)
Пример: Решение линейного уравнения второго порядка Однородное ДУ ВДП с постоянными коэффициентами (комплексное)
Пример: Решение линейного однородного ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами для определения начального условия
Описать конечное поведение решений линейного однородного ДУ второго порядка

Коши-Эйлера

Получение вспомогательного уравнения для уравнения Коши-Эйлера
Задача Коши-Эйлера с начальными значениями
Общее решение однородного уравнения Коши-Эйлера второго порядка (отличное действительное) Уравнение Эйлера (равные корни)
Общее решение однородного уравнения Коши-Эйлера второго порядка (комплексное)
Пример: Решение задачи Коши-Эйлера DE второго порядка с начальным значением (2 различных действительных числа)
Пример: Решение задачи Коши-Эйлера второго порядка DE Задача с начальным значением (2 равные действительные)
Пример: Решение задачи Коши-Эйлера DE второго порядка с начальными значениями (сложная)
Неоднородные дифференциальные уравнения Коши-Эйлера второго порядка

myPhysicsLab, классифицирующие дифференциальные уравнения

myPhysicsLab, классифицирующие дифференциальные уравнения

Когда вы изучаете дифференциальные уравнения, это похоже на ботанику. Вы учитесь смотреть на уравнение и отнести его к определенной группе. Причина в том, что методы решение дифференциальных уравнений является общим для этих различных классификационных групп. А также иногда можно преобразовать уравнение одного типа в эквивалентное уравнение другой тип, так что вы можете использовать более простые методы решения. Вот некоторые из основные классификации дифференциальных уравнений:

На этой странице мы предполагаем, что х а также и являются функциями времени, т :

х = х (т)
у = у (т)

И производные по отношению к т

д х	= х ‘( т )
д т

Частичное против обычного

Обыкновенное дифференциальное уравнение (или ОДУ) имеет дискретный (конечный) набор переменных. Например, в простом маятнике есть два переменные: угол и угловая скорость.

Уравнение в частных производных (или УЧП) имеет бесконечный набор переменных, которые соответствуют всем положениям на линии, поверхности или области пространства. За Например, в моделировании строки у нас есть непрерывный набор переменных вдоль строки. соответствующее смещению струны в каждой позиции. На практике мы аппроксимировать бесконечный набор переменных конечным набором переменных, разбросанных по строка (или поверхность, или объем) в каждой позиции.

Для ОДУ каждая переменная имеет отдельное дифференциальное уравнение с использованием «обычного» производные. Для УЧП существует только одно дифференциальное уравнение в частных производных для каждого измерение.

Первый заказ, Второй заказ

порядок дифференциального уравнения равен старшей производной в уравнение. Одинарная кавычка указывает на различие. Так х ‘ является первым производная, в то время как х ” является второй производной.

х ‘ = 1/ x   является первым порядком

x ” = − x   является вторым порядком

x ” + 2 x ‘ + x = 0   является вторым порядком.

Линейный и нелинейный

Линейный просто означает, что переменная в уравнении появляется только со степенью единицы. Так х является линейным, но х ² является нелинейным. Также любая функция, например потому что ( х ) является нелинейным.

По математике и физике, linear обычно означает «простой» и нелинейный означает «сложный». Теория решения линейных уравнений очень хорошо развиты, потому что линейные уравнения достаточно просты, чтобы их можно было решить. Нелинейные уравнения обычно не могут быть решены точно и являются предметом многих текущие исследования. Вот краткое описание того, как распознать линейный уравнение.

Вспомним, что уравнение прямой равно

.

г = м х + б

где м , б константы ( м это наклон, и б это и -перехват). В дифференциальном уравнении, когда переменные и их производные только умножаются на константы, тогда уравнение является линейным. переменные и их производные должны всегда появляться как простая первая степень. Здесь Некоторые примеры.

x ” + x = 0   является линейным

х ” + 2x’ + x = 0  является линейным

x ‘ + 1/ x = 0 нелинейно, потому что 1/ x не является первой степенью

x ‘ + x ² = 0 нелинейно, потому что x ² не является первой степенью

x ” + sin( x ) = 0 нелинейно, потому что sin( x ) не является первой степенью

x x ‘ = 1 нелинейно, потому что x ‘не умножается на константу

Аналогичные правила применяются к задачам с несколькими переменными.

x ‘ + y ‘ = 0 является линейным

x y ‘= 1 нелинейно, потому что y ‘ не умножается на константу

Обратите внимание, однако, что для временной переменной сделано исключение. т ( переменная, по которой мы дифференцируем). У нас может быть любая сумасшедшая нелинейная функция т появляются в уравнении, но все еще имеют уравнение, которое линейно в х .

x ” + 2 x ‘ + x = sin( t )   является линейным в x

x ‘ + t ² x = 0   является линейным по x

sin( t ) x ‘ + cos( t ) x = exp( t )   является линейным в x

См. статью в Википедии о линейные дифференциальные уравнения для более подробной информации.

Однородный и неоднородный

Это еще один способ классификации дифференциальных уравнений. Эти причудливые термины составляют к следующему: существует ли термин, включающий только время, т (показано на правую часть уравнений ниже).

x ” + 2_x’ + x = 0 является однородным

х ” + 2_x’ + х = грех( t ) неоднородный

x ‘ + t ² x = 0 однородна

x ‘ + t ² x = t + t ²   является неоднородным

Неоднородная часть уравнения — это член, который включает только время. Это обычно соответствует форсирующему члену в физической модели. Например, в управляемый маятник, это будет двигатель, который приводит в движение маятник.

Эта веб-страница была впервые опубликована в июне 2001 года.

17.1 Дифференциальные уравнения первого порядка

Начнем с рассмотрения уравнений, в которых только первая производная функции.

Определение 17.1.1 Дифференциал первого порядка уравнение представляет собой уравнение форма $F(t, y, \dot{y})=0$. Решением дифференциального уравнения первого порядка является функция $f(t)$, которая делает $\ds F(t,f(t),f'(t))=0$ для каждого значения $t$. $\квадрат$

Здесь $F$ — функция трех переменные, которые мы обозначаем как $t$, $y$ и $\dot{y}$. Это понятно что $\dot{y} $ явно появится в уравнении, хотя $t$ и $y$ не нужно. Термин «первый порядок» означает, что первый появляется производная от $y$, но не производные более высокого порядка.

Пример 17.1.2 Уравнение из закона охлаждения Ньютона, $\dot{y}=k(M-y)$, является первым порядком дифференциальное уравнение; $F(t,y,\dot y)=k(M-y)-\dot y$. 3/3+t+C$. $\квадрат$ 93/3+t+8/3$. $\квадрат$

Общее уравнение первого порядка слишком общее, т. е. мы не можем описать методы, которые будут работать на всех, или даже на большом количестве часть из них. Мы можем добиться прогресса в конкретных видах дифференциальные уравнения первого порядка. Например, многое можно сказать об уравнениях вида $\ds ​​\dot{y} = \phi (t, y)$, где $\phi $ является функцией двух переменных $t$ и $y$. При разумных условиях на $\phi$ такой уравнение имеет решение и соответствующее задача с начальным значением имеет единственное решение. Однако в целом эти уравнения могут быть очень сложными или невозможно решить в явном виде.

Пример 17.1.6. Рассмотрим этот конкретный пример задачи с начальным значением. для закона охлаждения Ньютона: $\dot y = 2(25-y)$, $y(0)=40$. Мы первые обратите внимание, что если $y(t_0) = 25$, правая часть дифференциала уравнение равно нулю, поэтому постоянная функция $y(t)=25$ является решением к дифференциальному уравнению. 2}$, позволяя $A$ быть равным нулю. $\квадрат$

Определение 17.1.8. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид отделяемый если он можно записать в виде $\dot{y} = f(t)g(y)$. $\квадрат$

Как и в примерах, мы можем попытаться решить разделимое уравнение с помощью преобразование в форму $$\int {1\over g(y)}\,dy=\int f(t)\,dt.$$ Этот метод называется разделением переменные . Самый простой (в принцип) своего рода разделимое уравнение такое, в котором $g(y)=1$, в какой случай мы пытаемся решить $$\int 1\,dy=\int f(t)\,dt.$$ Мы можем это сделать, если найдем антипроизводную $f(t)$.

Кроме того, как мы уже видели, дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечное число решений. В идеале, но обязательно не всегда соответствующая задача с начальными значениями будет иметь только один решение. Решение, в котором не осталось неизвестных констант называется конкретное решение .

Общий подход к разделимым уравнениям таков: Предположим, мы хотим решить $\dot{y} = f(t) g(y) $, где $f$ и $g$ — непрерывные функции. 2-1$ имеет постоянные решения $y(t)=1$ и $y(t)=-1$.

Для нахождения непостоянных решений заметим, что функция $1/g(y)$ непрерывна, где $g\not=0$, поэтому $1/g$ имеет первообразную $G$. Пусть $F$ будет первообразная $f$. Теперь мы пишем $$G(y) = \int {1\over g(y)}\,dy = \int f(t)\,dt=F(t)+C,$$ поэтому $G(y)=F(t)+C$. Теперь решим это уравнение относительно $y$.

Конечно, есть несколько мест, где это идеальное описание могло бы быть использовано. неверно: нужно уметь находить первообразные $G$ и $F$, а нам нужно решить окончательное уравнение относительно $y$. В результате решения исходного дифференциального уравнения постоянные решения, если они есть, и все функции $y$, удовлетворяющие $G(y)=F(t)+C$.

Пример 17.1.9 Рассмотрим дифференциальное уравнение $\dot y=ky$. Когда $k>0$, это описывает некоторые простые случаи роста населения: это говорит о том, что изменение населения $y$ пропорционально Население. Основное предположение состоит в том, что каждый организм в текущая популяция воспроизводится с фиксированной скоростью, поэтому чем больше популяции, тем больше образуется новых организмов. Пока это слишком просто для моделирования большинства реальных популяций, в некоторых случаях это полезно ограниченное время. Когда $k 9\circ$? (отвечать)

Пример 17.1.13 Решать Логистическое уравнение $\dot{y} = ky(M-y)$. (это несколько более разумная модель населения в большинстве случаев, чем более простая $\dot y=ky$.) Нарисуйте график решения этого уравнения при $M=1000$, $k=0,002$, $y(0)=1$. (отвечать)

Пример 17.1.14 Предположим, что $\dot{y} = ky$, $y(0)=2$ и $\dot{y}(0)=3$. Что такое $y$? (отвечать)

Пример 17.1.15 Радиоактивное вещество подчиняется уравнению $\dot{y} =ky$, где $k0$. Через какое время останется половина массы? (Это известно как период полураспада. Обратите внимание, что период полураспада зависит от $k$, но не на $M$.) (отвечать)

Пример 17.1.16 Висмут-210 имеет период полураспада пять дней. Если там есть изначально 600 миллиграмм, сколько осталось через 6 дней? Когда будет осталось всего 2 миллиграмма? (отвечать)

Пример 17. 1.17 Период полураспада углерода-14 составляет 5730 лет. Если начать при 100 миллиграммах углерода-14 сколько осталось после 6000 годы? Как долго мы должны ждать, прежде чем останется меньше 2 миллиграммы? (отвечать)

Пример 17.1.18 Определенный вид бактерий удваивает свою популяцию (или его масса) каждый час в лаборатории. Дифференциальное уравнение, моделирующее это явление есть $\dot{y} =ky$, где $k>0 $ и $y$ – популяция бактерий в момент времени $t$. Что такое $y$? (отвечать)

Пример 17.1.19 Если определенный микроб удваивает свою популяцию каждые 4 часов, а через 5 часов общая популяция имеет массу 500 граммов, какова была начальная масса? (отвечать)

AC Введение в дифференциальные уравнения

Мотивирующие вопросы

• Что такое дифференциальное уравнение и какую информацию оно нам может дать?

• Как возникают дифференциальные уравнения в окружающем нас мире?

• Что мы подразумеваем под решением дифференциального уравнения?

В предыдущих главах мы видели, что производная функции говорит нам о скорости изменения функции. Основная теорема исчисления помогла нам определить общее изменение функции на интервале по скорости изменения функции. Например, скорость объекта говорит нам о скорости изменения положения этого объекта. Интегрируя скорость по интервалу времени, мы можем определить, насколько изменится положение за этот интервал времени. Если мы знаем, где находится объект в начале этого интервала, у нас достаточно информации, чтобы предсказать, где он будет в конце интервала.

В этой главе мы вводим понятие дифференциальных уравнений . Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое дает описание производной функции, что означает, что оно говорит нам о скорости изменения функции. Используя эту информацию, мы хотели бы узнать как можно больше о самой функции. В идеале мы хотели бы иметь алгебраическое описание функции. Как мы увидим, в некоторых ситуациях это может быть слишком много, но мы все же сможем сделать точные приближения.

Предварительный просмотр 7.1.1.

Положение движущегося объекта задается функцией \(s(t)\text{,}\), где \(s\) измеряется в футах, а \(t\) в секундах. Определяем, что скорость равна \(v(t) = 4t + 1\) футов в секунду.

1. Насколько изменится позиция за интервал времени \([0,4]\text{?}\)

2. Дает ли это вам достаточно информации для определения \(s(4)\text{,}\) положения в момент времени \(t=4\text{?}\) Если да, то что такое \(s(4)) \text{?}\) Если нет, какую дополнительную информацию вам нужно знать, чтобы определить \(s(4)\text{?}\) 92 + t – 4\text{?}\) Объясните откуда вы это знаете.

3. Существуют ли другие возможности для \(s(t)\text{?}\) Если да, то какие?

4. Если в дополнение к знанию функции скорости \(v(t) = 4t+1\text{,}\) мы знаем начальное положение \(s(0)\text{,}\), сколько возможностей есть ли для \(s(t)\text{?}\)

Подраздел 7.1.1 Что такое дифференциальное уравнение?

Дифференциальное уравнение — это уравнение, описывающее производную или производные неизвестной нам функции. Например, уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dy}{dx} = x\sin x \end{уравнение*}

описывает производную неизвестной нам функции \(y(x)\).

Поскольку многие важные примеры дифференциальных уравнений включают величины, которые изменяются во времени, независимой переменной в нашем обсуждении часто будет время \(t\text{.}\) В предварительном задании мы рассмотрели дифференциальное уравнение

\begin{уравнение*} \frac{ds}{dt} = 4t + 1\text{.} \end{уравнение*}

Зная скорость и начальное положение движущегося объекта, мы могли найти его положение в любой момент времени.

Поскольку дифференциальные уравнения описывают производную функции, они дают нам информацию о том, как эта функция изменяется. Нашей целью будет использование этой информации для прогнозирования значения функции в будущем; таким образом, дифференциальные уравнения дают нам что-то вроде хрустального шара.

Дифференциальные уравнения часто возникают в нашем повседневном мире. Например, вы можете услышать рекламу банка:

.

С нами ваши деньги будут расти на 3% годовых.

Это безобидное утверждение на самом деле является дифференциальным уравнением. Давайте переведем: \(A(t)\) будет суммой денег, которую вы имеете на своем счете в момент времени \(t\text{.}\) Скорость, с которой ваши деньги растут, является производной \(dA/dt\text {,}\) и нам говорят, что эта скорость равна \(0,03 A\text{.}\) Это приводит к дифференциальному уравнению

\begin{уравнение*} \frac{dA}{dt} = 0,03 А\text{.} \end{уравнение*}

Это дифференциальное уравнение имеет несколько иной смысл, чем предыдущее уравнение \(\frac{ds}{dt} = 4t+1\text{.}\) В предыдущем примере скорость изменения зависит только от независимой переменной \ (t\text{,}\) и мы можем найти \(s(t)\) путем интегрирования скорости \(4t+1\text{.}\) Однако в банковском примере скорость изменения зависит от зависимая переменная \(A\text{,}\), поэтому нам понадобятся некоторые новые методы, чтобы найти \(A(t)\text{.}\)

Мероприятие 7.1.2.

Выразите следующие утверждения в виде дифференциальных уравнений. В каждом случае вам нужно будет ввести обозначения для описания важных величин в утверждении, поэтому обязательно четко укажите, что означает ваше обозначение.

1. Население города постоянно увеличивается на 1,25% в год.

2. Каждый день радиоактивный образец теряет в массе 5,6% своей массы.

3. У вас есть банковский счет, на который постоянно начисляется 4% годовых. При этом вы постоянно снимаете деньги со счета по ставке $1000 в год. 9\круг\) комната. Температура соды непрерывно нагревается со скоростью 10% разницы между температурой соды и температурой в комнате каждую минуту.

Подраздел 7.1.2 Дифференциальные уравнения в окружающем нас мире

Дифференциальные уравнения дают естественный способ описания явлений, которые мы наблюдаем в реальном мире. Например, физические принципы часто выражаются как описание того, как изменяется величина. Хорошим примером является второй закон Ньютона, который гласит:

Произведение массы объекта на ускорение равно приложенной к нему силе.

Например, когда гравитация действует на объект вблизи земной поверхности, она оказывает силу, равную \(mg\text{,}\) массе объекта, умноженной на гравитационную постоянную \(g\text{. }\) Таким образом, у нас есть

\начать{выровнять*} ma =\mathstrut\amp мг, \\text{или}\\ \frac{dv}{dt} =\mathstrut \amp g\text{,} \конец{выравнивание*}

, где \(v\) — скорость объекта, а \(g = 9.8\) метров в секунду в квадрате. Обратите внимание, что этот физический принцип говорит нам не о том, какова скорость объекта, а о том, как скорость объекта изменяется.

Мероприятие 7.1.3.

Ниже показаны два графика, отображающие скорость падающих объектов. Слева скорость парашютиста, а справа скорость метеорита, входящего в атмосферу Земли.

Рисунок 7.1.1. Скорость парашютиста. Рис. 7.1.2. Скорость метеорита.

1. Начните со скорости парашютиста и используйте данный график для измерения скорости изменения \(dv/dt\), когда скорость равна \(v=0,5, 1,0, 1,5, 2,0\text{,}\) и \(2,5 \text{.}\) Нанесите свои значения на график ниже. Вы должны хорошенько подумать об этом: вы строите производную \(dv/dt\) как функцию скорости .

2. Теперь проделайте то же самое со скоростью метеорита: используйте данный график для измерения скорости изменения \(dv/dt\), когда скорость равна \(v=3. 5,4.0,4.5\text{,}\) и \(5.0\text{.}\) Нанесите свои значения на график выше.

3. Вы должны обнаружить, что все ваши точки лежат на прямой. Напишите уравнение этой прямой, используя правильные обозначения для величин на горизонтальной и вертикальной осях.

4. Зависимость, которую вы только что нашли, представляет собой дифференциальное уравнение. Напишите полное предложение, объясняющее его значение.

5. По дифференциальному уравнению определите значения скорости, при которых скорость увеличивается.

6. По дифференциальному уравнению определите значения скорости, при которых скорость уменьшается.

7. Используя дифференциальное уравнение, определите значения скорости, при которых скорость остается постоянной.

Целью этого занятия является демонстрация того, как дифференциальные уравнения моделируют процессы в реальном мире. В этом примере на скорость влияют два фактора: сила тяжести и сопротивление ветра. {-0,5t}\) решением 9{-0.5t}\text{.}\) На рисунке 7.1.3 мы видим графики этих решений для нескольких значений \(C\text{,}\) с пометками.

Рисунок 7.1.3. Семейство решений дифференциального уравнения \(\frac{dv}{dt} = 1,5 – 0,5v\text{.}\)

Обратите внимание, что значение \(C\) связано с начальным значением скорости \(v(0)\text{,}\), поскольку \(v(0) = 3+C\text{.}\) Другими словами, в то время как дифференциальное уравнение описывает, как скорость изменяется в зависимости от скорости самой по себе этой информации недостаточно для однозначного определения скорости: нам нужно знать еще и начальную скорость. По этой причине дифференциальные уравнения обычно имеют бесконечно много решений, по одному для каждого начального значения. Мы видели это явление раньше: зная скорость движущегося объекта \(v(t)\text{,}\), мы не можем однозначно определить функцию положения объекта, если мы также не знаем его начальное положение.

Если нам дано дифференциальное уравнение и начальное значение неизвестной функции, мы говорим, что имеем задачу с начальным значением. Например,

\begin{уравнение*} \frac{dv}{dt} = 1,5-0,5v, \v(0) = 0,5 \end{уравнение*}

– проблема с начальным значением. В этой задаче мы знаем значение \(v\) в определенный момент времени и знаем, как меняется \(v\). Следовательно, должна существовать ровно одна функция \(v\), удовлетворяющая задаче о начальных значениях.

Это демонстрирует следующее важное общее свойство задач с начальными значениями.

Задачи с начальным значением, которые «хорошо себя ведут», имеют ровно одно решение, которое существует в некотором интервале вокруг начальной точки.

Мы не будем беспокоиться о том, что означает «хорошее поведение» — это техническое условие, которому будут удовлетворять все дифференциальные уравнения, которые мы рассматриваем.

В заключение этого раздела отметим, что дифференциальные уравнения можно классифицировать на основе определенных характеристик, которыми они могут обладать. Вы можете увидеть много различных типов дифференциальных уравнений в более позднем курсе дифференциальных уравнений. Сейчас мы хотели бы ввести несколько терминов, которые используются для описания дифференциальных уравнений. 92} = -10 лет \end{уравнение*}

— уравнение второго порядка.

Дифференциальное уравнение является автономным , если независимая переменная не фигурирует в описании производной. Например,

\begin{уравнение*} \frac{dv}{dt} = 1,5-0,5v \end{уравнение*}

является автономным, поскольку описание производной \(dv/dt\) не зависит от времени. Уравнение

\begin{уравнение*} \frac{dy}{dt} = 1,5t – 0,5y\text{,} \end{уравнение*}

Однако

не является автономным.

Подраздел 7.1.4 Резюме

• Дифференциальное уравнение — это просто уравнение, описывающее производную(ые) неизвестной функции.

• Физические принципы, а также некоторые повседневные ситуации часто описывают изменение величины, что приводит к дифференциальным уравнениям.

• Решением дифференциального уравнения является функция, производная которой удовлетворяет описанию уравнения. Дифференциальные уравнения обычно имеют бесконечно много решений, параметризованных начальными значениями. 9{-Акт}\)

4.

Предположим, что \(T(t)\) представляет собой температуру чашки кофе, поставленной в комнате, где \(T\) выражается в градусах по Фаренгейту, а \(t\) в минутах. Физический принцип, известный как закон охлаждения Ньютона, говорит нам, что

\begin{уравнение*} \frac{dT}{dt}= -\frac1{15}T+5\text{.} \end{уравнение*}

1. Предположим, что \(T(0)=105\text{.}\) Что дает нам дифференциальное уравнение для значения \(\frac{dT}{dt}\vert_{T=105}\text {?}\) Объясните полным предложением значение этих двух фактов.

2. Увеличивается или уменьшается \(T\) при \(t=0\text{?}\)

3. Какова примерная температура в \(t=1\text{?}\)

4. На графике ниже постройте график зависимости \(dT/dt\) от \(T\text{.}\)

5. При каких значениях \(T\) \(T\) увеличивается? При каких значениях \(Т\) \(Т\) убывает?

6. Как вы думаете, какая температура в комнате? Объясните свое мышление.

   9{-t/15}\) — решение дифференциального уравнения с начальным значением \(T(0) = 105\text{.}\) Что происходит с этим решением спустя долгое время?

5.

Предположим, что популяция определенного вида описывается функцией \(P(t)\text{,}\), где \(P\) выражается в миллионах. Предположим далее, что скорость изменения населения определяется дифференциальным уравнением

.

\begin{уравнение*} \frac{dP}{dt} = f(P) \end{уравнение*}

, где \(f(P)\) — функция, показанная ниже.

1. При каких значениях населения \(P\) население увеличивается?

2. При каких значениях населения \(P\) население уменьшается?

3. Если \(P(0) = 3\text{,}\), как будет меняться население во времени?

4. Если начальная популяция удовлетворяет \(0\lt P(0)\lt 1\text{,}\), что произойдет с популяцией через очень долгое время?

5. Если начальная популяция удовлетворяет \(1\lt P(0)\lt 3\text{,}\), что произойдет с популяцией через очень долгое время?

6. Если начальная популяция удовлетворяет \(3\lt P(0)\text{,}\), что произойдет с популяцией через очень долгое время?

7. Эту модель роста населения иногда называют «ростом с порогом». Объясните, почему это имя подходит.

6.

В этой задаче мы дополнительно проверяем, что означает, что функция является решением данного дифференциального уравнения.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение 92} = -х \end{уравнение*}

   , где \(k\) – постоянная пружины , постоянная, которая зависит от свойств пружины в шкале. После того, как вы поместите бананы на весы, вы (умно) заметите, что высота бананов определяется выражением \(h(t) = 4\sin(3t)\text{.}\) Каково значение пружины постоянный?

Пока не беспокойтесь о том, почему мы выбрали эту функцию; мы скоро изучим методы нахождения решений дифференциальных уравнений.

Разностные уравнения и дифференциальные уравнения

Разностные уравнения очень похожи на дифференциальные уравнения. Разностные уравнения более элементарны, но дифференциальные уравнения более привычны.

Кажется странным использовать более сложную вещь, чтобы объяснить более простую вещь, например сказать, что квартет — это симфонический оркестр, состоящий всего из четырех инструментов. Но если вам по каким-то причинам удалось познакомиться с оркестрами до того, как вы узнали, что такое квартет, это пояснение будет кстати.

Дифференциальные уравнения являются стандартной частью учебной программы для студентов, изучающих естественные науки и инженерные науки, а дифференциальные уравнения – нет. И недаром: дифференциальные уравнения являются обязательным условием для будущих курсов, а разностные уравнения — нет. Но если бы учебная программа включала разностные уравнения и дифференциальные уравнения, возможно, имело бы смысл сначала преподавать первые, потому что тема более осязаема.

Чтобы проиллюстрировать сходство между двумя темами, в этом посте будет решено уравнение разности [1]

F _{n +2} = F _{n +1} + F _n

and the differential equation

y ” = y ‘ + y

Разностное уравнение определяет числа Фибоначчи с одним набором начальных условий и числа Лукаса с разными начальными условиями. Дифференциальное уравнение аналогично тому, что мы увидим ниже.

Оба уравнения решаются в виде решения со свободным параметром. Два значения параметра будут найдены с помощью квадратного уравнения, дающего два независимых решения. Все решения являются линейными комбинациями этих двух решений.

Difference equation example

The Fibonacci numbers start with F ₀ = 0 and F ₁ = 1. From there it’s obvious that F ₂ = 1, F ₃ = 2 и так далее.

The Lucas numbers start with L ₀ = 2 and L ₁ = 1. From there we see L ₂ = 3, L ₄ = 4, etc.

Самозагрузка решения, начиная с начальных условий, тривиальна. Однако это не дает нам общего выражения для решения и не позволяет исследовать решения разностного уравнения для всех начальных условий.

Итак, давайте вернемся и сначала решим разностное уравнение, а затем применим начальные условия, аналогично тому, что обычно делают для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Предположим, что решения имеют вид F _n = x ⁿ для некоторых x , подлежащих определению. Затем

x ^{n +2} – x ^{n +1} – x ⁿ = 0

для всех неотрицательных n и т.д. /2

и его дополнение

1 – ϕ = (1 – √5)/2.

So the general solution to the recurrence relation

F _{n +2} = F _{n +1} + F _n

is

F _n = a ϕ ⁿ + b (1 – ϕ) ⁿ

for constants a and b to be determined по начальным условиям. Для чисел Фибоначчи a = 1/√5 и b = – a . Для чисел Лукаса a = b = 1.

Наше предположение о форме решения оправдано, поскольку оно сработало. Других решений другого вида быть не может, так как очевидно, что начальные условия определяют третий элемент последовательности, а второй и третий элементы определяют четвертый и т. д.

Пример дифференциального уравнения

Предположим, что решения имеют вид y = exp( kt ) для некоторых k , которые необходимо определить. Придерживаясь этого в дифференциальное уравнение, показано

K ² Exp ( KT ) – K EXP ( KT ) – Exp ( KT ) = 0

и SO

61616161616161616161616161616161616161616161616161616161616161616161616161616161616161616161616161616. . k – 1 = 0,

Это то же уравнение, что и выше, поэтому его корни равны ϕ и 1 – ϕ. Общее решение

y ( t ) = a exp(ϕ t ) + b exp((1-ϕ) t )

where the constants a and b are determined по начальному значению y и y ‘.

В этом случае не так ясно, что мы нашли все решения и что наше решение уникально при заданных начальных условиях, но это правда.

Похожие сообщения

• Рекуррентные соотношения при решении ОДУ
• Ускорение моделирования с рекуррентным соотношением

[1] Кто-то может возразить, что это рекуррентное соотношение, а не разностное уравнение: каждый член определяется в терминах его предшественников, а не в терминах разности функций. Но вы можете переписать уравнение в терминах различий.

If Δ F _n = F _n – F _{n -1} then we can rewrite our equation as Δ² F – 3ΔF + F = 0.

Международный журнал дифференциальных уравнений

Положительная обратимость матриц и экспоненциальная устойчивость линейных стохастических систем с запаздыванием

Рамазан Кадиев  | Аркадий Поносов

В работе рассматривается экспоненциальная моментная устойчивость решений больших систем линейных дифференциальных уравнений Ито с переменными запаздываниями с помощью модифицированного метода регуляризации, который можно рассматривать как альтернативу методу, основанному на ляпуновских или ляпуноподобных функционалах. . Метод регуляризации использует параллелизм между устойчивостью по Ляпунову и устойчивостью от входа к состоянию, который хорошо известен в детерминированном случае, но менее известен для стохастических дифференциальных уравнений. При практической реализации метод основан на поиске вспомогательного уравнения, которое используется для регуляризации исследуемого уравнения. На заключительном этапе выполняется оценка нормы интегрального оператора или проверка свойства положительности решений. В последнем случае применяется теория положительных обратимых матриц. Этот отчет содержит систематизированное представление того, как метод регуляризации может быть применен к анализу устойчивости линейных стохастических уравнений с запаздыванием со случайными коэффициентами и случайными начальными условиями. Получено несколько результатов об устойчивости в терминах положительной обратимости некоторых матриц, построенных для общих стохастических систем с запаздыванием. Предлагается также ряд проверяемых достаточных условий экспоненциальной моментной устойчивости решений через коэффициенты для конкретных классов уравнений Ито.

Уединенные волновые решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных -размерности и их модели

Даба Мешеша Гусу  | Shelama Diro

Полученные данные свидетельствуют о применении нового метода разложения форм и определения решений для волны уединенной природы в -мерной модифицированной форме для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных. Используя эту стратегию, мы получили решения для волн одиночной природы, которые были решены для трех различных типов: гиперболических, тригонометрических и рациональных функций. В результате мы получили различные формы решений, которые являются новыми, эффективными и мощными, чтобы проиллюстрировать уединенную природу волн. Физические и геометрические интерпретации были показаны с использованием программного обеспечения на 2-х и 3-х мерных поверхностях. Полученные результаты имеют приложения в математических и прикладных науках. Он также может решать различные нелинейные интегро-дифференциальные уравнения в частных производных, которые имеют различные приложения в физических явлениях, используя этот новый метод. У него есть много приложений для решения нелинейной природы физического мира.

О решениях некоторых нелинейных интегральных уравнений на плоскости

Юранси Эреу  | Лилиана Перес | Luz Rodríguez

В этой статье мы определяем пространство функций с ограниченной вариацией на плоскости и снабжаем его нормой, при которой оно является банаховым пространством. Кроме того, мы изучаем некоторые нелинейные интегральные уравнения и даем условия на функции и ядра, входящие в такие уравнения, при которых мы гарантируем существование и единственность в пространстве функций ограниченной вариации по Шибе на плоскости .

Колебательное поведение полулинейных нейтральных дифференциальных уравнений четного порядка

С. Сангита  | С. К. Тамилванан | Ethiraju Thandapani

В статье обсуждаются некоторые достаточные условия колебательного поведения полулинейного нейтрального дифференциального уравнения четного порядка. Приведен пример, иллюстрирующий основной результат.

Решения для основного состояния нелокальной системы в дробных пространствах Орлича-Соболева

Хамза Эль-Хуари  | Хишам Мусса | Лалла Саадия Чадли

Рассматривается эллиптическая система, управляемая оператором дробного -лапласиана, с краевыми условиями типа Дирихле. Используя подход многообразия Нехари, мы получаем нетривиальное решение в основном состоянии на дробных пространствах Орлича–Соболева.

Метод конечных объемов для нестационарного уравнения конвекции-диффузии-реакции с малыми параметрами

Узаир Ахмед  | Дауд Сулейман Машат | Dalal Adnan Maturi

Механизмы конвекции, диффузии и реакции являются характеристиками нестационарных явлений массообмена, происходящих в природных и промышленных системах. В этой статье мы рассматриваем пассивный скалярный перенос, управляемый уравнением конвекции-диффузии-реакции (CDR) в двумерном потоке. Эффективность решения дифференциальных уравнений в частных производных с помощью вычислений можно проиллюстрировать с помощью точного численного метода, который дает замечательную точность при низких затратах.