Автономные дифференциальные уравнения на прямой
Итак, давайте научимся решать какие-нибудь дифференциальные уравнения. Для начала — очень простые.
В этой главе мы будем рассматривать дифференциальные уравнения вида
˙x=f(t,x),(2.1)
где x:D→R — неизвестная функция, D — связное подмножество прямой (вся прямая, луч, отрезок, полуинтервал, интервал), f:D×R→R — некоторая по меньшей мере непрерывная (а лучше бы гладкая, как мы увидим чуть позже) функция от двух переменных.
Напомним, что решением уравнения (2.1) называется дифференцируемая функция φ, такая, что выполнено тождество
˙φ(t)=f(t,φ(t))∀t∈D
Обсудим для начала, как можно было бы находить значение функции φ, не
пытаясь выписать решение в виде явной формулы. Оказывается, с помощью компьютера
это довольно несложно сделать — правда, решение будет не точным, а приближённым.
Обсуждение этого метода окажется полезным и для наших дальнейших аналитических
построений.
2.1Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера
Пусть поставлена задача Коши:
˙x=f(t,x),x(t0)=x0.(2.2)
Мы можем приблизительно решать её таким образом. Возьмём произвольную точку
(t0,x0) расширенного фазового пространства. Интегральная кривая, проходящая
через эту точку, имеет в ней касательную с угловым коэффициентом f(t0,x0).
Касательная — это прямая, которая хорошо приближает график функции. Давайте на
секундочку представим, что интегральная кривая в
точности совпадает с касательной на некотором небольшом промежутке времени —
начиная с момента t0 и заканчивая t0+Δt, где Δt — некоторое
маленькое число. Иными словами, мы считаем, что на этом промежутке двигаемся с
постоянной скоростью — той, которая была в момент времени t0, то есть f(t0,x0). В этом случае к моменту времени t0+Δt мы пройдём расстояние,
равное f(t0,x0)⋅Δt и попадём в точку (t1,x1), задаваемую
следующим образом:
x1=x0+f(t0,x0)⋅Δtt1=t0+Δt
Точка (t1,x1) лежит на касательной, проходящей через точку (t0,x0).
Этот метод приближённого нахождения решений называется методом Эйлера. Он даёт представление о том, как можно использовать компьютер для исследования дифференциальных уравнений. На практике, впрочем, используются более сложные методы, хотя принцип их работы в целом очень схож.
На рис. 2.1 синим изображено истинное решение уравнения ˙x=t с начальным условием x(−3)=4, а красным, розовым, фиолетовым и зеленым
изображены численные решения уравнения методом Эйлера 5, 10, 20 и 100 шагами
соответственно.
Рис. 2.1: Приближённые решения
Упражнение 1. Используя метод Эйлера (но не используя компьютер), найти решение дифференциального уравнения ˙x=x, удовлетворяюее начальному условию x(0)=1. Отсюда найти одну из известных формул для числа e.
2.2Аналитическое решение автономных дифференциальных уравнений на прямой
Вернёмся к аналитическому поиску решений. В отличие от численных методов, даже для уравнений в размерности 1 найти решение аналитически не всегда возможно — а чаще так и невозможно. Но если несколько сузить класс рассматриваемых уравнений, то у нас всё получится.
Определение 1.Автономным называется дифференциальное уравнение, правая часть которого не зависит от времени явно. Такое уравнение имеет вид
˙x=f(x)(2.3)
Рассмотрим задачу Коши для автономного дифференциального уравнения
(2.3) с
начальным условием x(t0)=x0.
Пусть f(x0)≠0. В этом случае решение
задаётся явной формулой (она называется формулой Барроу
2.2.1Геометрические соображения
В предыдущей главе мы обсуждали, что существует специальный класс дифференциальных уравнений, которые очень просто решаются: это уравнения вида ˙x=f(t), мгновенно сводящиеся к интегрированию (см. параграф 1.2.4). Мы будем называть такие уравнения простейшими, хотя это не общепринятый термин.
Рассмотрим поля направлений двух уравнений: первое является простейшим, а второе автономным, см. рис. 2.2.
Рис. 2.2: Поля направлений для уравнения ˙x=t (слева) и ˙x=x (справа)
Это совсем разные уравнения, но их поля направлений обладают неким сходством:
они не меняются при сдвигах. Разница в том, что первое поле направлений не
меняется при 
Нетрудно понять, что аналогичными свойствами обладают все уравнения этих двух
классов.
Напомним, что задача отыскания решения дифференциального уравнения имеет простую геометрическую интерпретацию: нужно найти кривую, касающуюся в каждой своей точке соответствующего поля направлений. Вместе со сходством полей направлений это даёт надежду, что нам удастся придумать метод решения автономных уравнений, сводящий их к некоторым простейшим.
Оказывается, сделать это довольно просто: достаточно поменять роль осей и считать независимой переменной x, а неизвестной функцией — время. Ниже мы обсудим два способа реализации этого замысла.
2.2.2Механический подход
Решить дифференциальное уравнение — это значит научиться отвечать на вопрос о том, где окажется решение в произвольный момент времени t, если в момент времени t0 оно находилось в точке x0. В соответствии с выводами предыдущего пункта, поменяем роли переменных и зададим другой вопрос: сколько времени потребуется, чтобы добраться из точки x0 до некоторой другой точки x?
Попробуем ответить на этот вопрос (хотя бы приближённо) с помощью аналога метода
Эйлера (см.
Δtk=Δxf(xk)(2.4)
Пусть мы оказались в точке x в момент времени t. Тогда время прохождения всего отрезка от x0 до x равна t−t0 и получается сложением всех Δtk для k=0,…,n−1:
t−t0≈n−1∑k=0Δtk=n−1∑k=01f(xk)Δx(2.5)
Ну-ка, что у нас тут в правой части? Это же интегральные суммы для функции 1f(x)! Равенство (2.5) является приближённым, но когда мы перейдём к пределу при Δx→0 (или, что то же самое, при n→∞), оно превратится в точное:
t−t0=∫xx0dyf(y).(2.6)
Это соотношение и называется формулой Барроу. Его можно понимать как неявное выражение x через t. В некоторых ситуациях из него можно выразить функцию x(t) явно.
2.2.3Аналитический подход
Приведём более формальный вывод формулы Барроу, опирающийся на математический
анализ. Пусть функция x=φ(t) является решением уравнения (2.
ψ′(x1)=1˙φ(t1)=1f(x1)
Это равенство выполняется в любой точке x1. Значит, функция ψ является решением дифференциального уравнения
ψ′(x)=1f(x),
где x выступает в роли независимой переменной. Правая часть теперь не зависит от неизвестной функции и такое уравнение мы умеем решать:
ψ(x)=∫xx0dyf(y)+t0
Вспоминая, что t=ψ(x) — обратная функция к решению x=φ(t), имеем:
t−t0=∫φ(t)x0dyf(y)
Мы снова получили формулу Барроу.
2.2.4Магия
Часто для вывода формулы Барроу используют такую символическую запись:
˙x=f(x)dxdt=f(x)dt=dxf(x)∫tt0dt=∫xx0dxf(x)(2.
7)(2.8)(2.9)(2.10)
Это может показаться некоторой магией — особенно загадочно выглядит уравнение (2.9). Чуть позже мы дадим определение дифференциальной 1-формы, с помощью которого можно придать этим формулам аккуратный смысл, а пока обратим внимание, что уравнение (2.9) очень похоже на уравнение (2.4). В целом, эта формальная запись фактически повторяет наш вывод в параграфе 2.2.2.
Пример 1. Решим уравнение ˙x=x с начальным условием x(t0)=x0. Пусть x=φ(t) — решение и t=φ−1(x) — обратная функция к решению. Имеем: (φ−1(x))′=1xφ−1(x)=ψ(x)ψ′(x)=1xψ(x)=∫dxx=ln|x|+Ct=ln|x|+Cx=±e−Cet=C1et Заметим, что если бы мы забыли модуль под логарифмом при интегрировании, то константа C1=e−C принимала бы только положительные значения. Но из-за модуля она может принимать и отрицательные значения.
Заметим также, что в ходе преобразований (деления на x) мы «потеряли»
решение x=0. Если в ответ подставить значение C1=0, получим как раз
его. Таким образом, формула x(t)=Cet, C∈R даёт все известные
нам решения.
Мы пока не доказали, что других нет — на следующей лекции мы
обсудим этот вопрос.
← Предыдущая глава Следующая глава →
Что такое дифференциальные уравнения? | Наука в Сибири
Как известно, в современной науке, стремящейся к описанию наблюдаемых природных или общественных явлений, значительная роль принадлежит математике. Теория дифференциальных уравнений, являясь одним из крупных разделов математики, в то же время всегда была и остается тесно связанной с приложениями.
Рассматривая математику как способ проникновения в тайны окружающего нас мира, можно сказать, что основным приемом исследования является формирование и изучение математических моделей реальных явлений. Исследуя какие-либо явления, ученый в первую очередь создает математическую идеализацию или, иначе говоря, математическую модель. Математическая модель есть не что иное, как запись основных законов, описывающих явление, в математической форме. И очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений, соотношений между функциями и их производными: в приложениях функции обычно представляют изменяющиеся величины, а производные описывают скорость их изменения.
Такое выражение допускают модели многих явлений механики сплошных сред, химических реакций, фундаментальных физических взаимодействий, биологических и экономических процессов и так далее.
Изучая полученные дифференциальные уравнения, исследователь извлекает полезные сведения о происходящих явлениях, часто может узнать их прошлое и предсказать будущее, получить качественные оценки происходящих в течение процесса изменений и даже открыть новые феномены, выдвинуть новые гипотезы, которые, быть может, приведут к более совершенным научным воззрениям и приоткроют завесу тайны окружающего мира. Таким образом, теория дифференциальных уравнений широко используется при решении научных проблем как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов.
Вместе с тем следует помнить, что математическая модель сама по себе является объектом и может обладать собственными свойствами, не имеющими отношения к моделируемому процессу. Модель не всегда адекватна конкретному явлению: так, например, из существования решения реальной задачи (существование наблюдаемого процесса обычно не вызывает сомнений ученых) не следует существование решения соответствующей математической задачи; или же может оказаться, что решений математической задачи много; или же решение неустойчиво к изменениям данных.
Именно поэтому главной целью теории дифференциальных уравнений в первую очередь является изучение внутренне присущих свойств задач, сформулированных на языке дифференциальных уравнений: исследование их корректности, разрешимости, качественных и количественных характеристик решений, взаимосвязи и классификации. Несмотря на то, что изучением дифференциальных уравнений научное сообщество занимается уже несколько веков, цель эта в общем случае настолько трудна, что если некто наугад напишет произвольное дифференциальное уравнение, то с большой долей вероятности ни один математик в мире ничего не сможет про это уравнение сказать.
В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой обширную и широко разветвленную теорию, находящуюся в постоянном взаимодействии с другими науками. Приложения снабжают ее новыми проблемами, решая которые, теория дифференциальных уравнений обращается к остальным разделам математики, таким как алгебра, функциональный анализ, теория функций, геометрия, теория вероятностей, вычислительная математика.
В то же время прогресс в перечисленных разделах математики неизбежно приводит к достижениям в теории дифференциальных уравнений, что опять же дает толчок развитию приложений. Другими словами, как писала академик Ольга Арсеньевна Олейник, теория дифференциальных уравнений «лежит на перекрестке математических дорог», служит мостом между чистыми и прикладными науками, показывает направление новым веяниям фундаментальной науки на пути к приложениям, одновременно стимулируя совершенствование математического аппарата с оглядкой на прикладные нужды.
Фото и изображение предоставлены исследователем
4 Базовая дифференциация
4 Базовая дифференциация 4 Базовая дифференциация
Дифференциация заключается в вычислении наклона или градиент кривой y ( x ) в заданной точке, х .
Подумайте о дорожных знаках: холм 1 из 10 означает, что вы проезжаете 1 метр.
вверх на каждые 10 метров, которые вы проезжаете. Обозначение : Мы используем символ Δ дельта для обозначения
(большое) изменение значения переменной. Если, скажем, х меняется со значения x 1 на новое
значение, x 2 , затем
Таким образом, градиент кривой y ( x ) можно записать как:
Линейные уравнения
Для прямолинейного графика уравнения y ( x ) = m x + c , градиент задается просто значением м .
Примеры
- y = 3 x + 6, градиент = 3
- у = 5 x – 3, градиент = 5
- y = -2 x + 1, градиент = -2
- y = 6 – 3 x , градиент = -3
Измерение градиентов
Если мы не знаем уравнения прямой, мы можем работать
из градиента, сведя в таблицу значения y против x и построение графика.
Пример Значения y и x приведены ниже,
какой градиент?
| x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у | -11 | -8 | -5 | -2 | 1 | 4 | 7 |
Графический метод
(i) График графика
(ii) Выберите любые 2 точки вдоль линии ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , у 2 )
(iii) Нарисуйте треугольники (как на диаграмме) или просто рассчитайте х и у .
(iv) Рассчитать градиент из: градиент =
Численный метод : выберите точки, для которых у нас есть значения,
скажем, (-2, -8) и (1,1). Теперь у нас есть:
Поскольку точка пересечения находится в точке y = -2, мы знаем, что уравнение.
этой строки должно быть
Нахождение градиента общей функции
Линейные кривые — это просто, но как найти наклон для любых кривая, y ( x ) в точке x ?
Градиент кривой в точке A такой же, как и у касательной в точке A . Итак, все, что нам нужно сделать, это построить касательной и измерьте ее градиент, Δ y / Δ x .
Пример Каков градиент y ( x ) = x 2 – 4 х – 1, когда х = 4?
Решение Постройте кривую, затем постройте касательную
когда х = 4 на глаз, как умеешь. Измерьте градиент
Δ y / Δ x , заполнив треугольник.
Графически находим, что = 4.
Аналитическая дифференциация
Рисование касательных — довольно громоздкий метод получения градиентов.
Существует ли аналитический метод?
Ответ: дифференцирование . Упрощенный вывод
об этом дано в раздаточном материале, но нам нужно только действительно узнать
«волшебная формула» (см. ниже) .
Обозначение : наклон или градиент, или дифференциал, или производная может быть записана многими эквивалентными способами:
Для других имен переменных и функций существует эквивалент
обозначение.
напр. для с ( т ), у нас есть,
для E(ν) имеем
для φ(λ) имеем
Дифференциация «волшебная формула» (для стандартных
полиномы)
Чтобы дифференцировать полиномиальную функцию, нужно умножить
ведущий фактор, a и показатель степени (мощность). н ,
затем вычтите единицу из показателя степени.
Примеры
1. у = х 2 ,
= 2 х
2. у = 2 х 3 ,
= 6 х
3. у = 9 х 27 , = 243 х 26
4. u = 3 м 6 , = 18 м 5
5. ф = 7λ, = 7
6. Ψ= ,
7. р = -5 q 2 ,
= -10 q
8. y = 5, = 0 Дифференциал константы всегда равен нулю, т. е. . его наклон равен нулю, как и следовало ожидать.
Следующая лекция
Дифференциация – Формула, Исчисление | Дифференциация Значение
Процесс нахождения производных функции в математическом анализе называется дифференцированием. Производная – это скорость изменения функции по отношению к другой величине. Законы дифференциального исчисления были заложены сэром Исааком Ньютоном.
Принципы пределов и производных используются во многих научных дисциплинах. Дифференциация и интегрирование образуют основные понятия исчисления.
Давайте изучим методы дифференцирования, чтобы найти производные алгебраических функций, тригонометрических функций и экспоненциальных функций.
| 1. | Что такое дифференциация? |
| 2. | Определение деривативов |
| 3. | Формула дифференциации |
| 4. | Правила дифференциации |
| 5. | Различие специальных функций |
| 6. | Дифференциация высшего порядка |
| 7. | Частичная дифференциация |
| 8. | Часто задаваемые вопросы о формуле дифференциации |
Что такое дифференциация?
Дифференциация означает скорость изменения одной величины по отношению к другой.
Скорость рассчитывается как скорость изменения расстояния во времени. Эта скорость в каждый момент времени не совпадает с рассчитанной средней. Скорость — это то же самое, что и наклон, который представляет собой не что иное, как мгновенную скорость изменения расстояния за определенный период времени.
Отношение небольшого изменения одной величины к небольшому изменению другой, зависящее от первой величины, называется дифференцированием. Одно из важных понятий исчисления в основном сосредоточено на дифференцировании функции. Дифференцированием определяются максимальное или минимальное значение функции, скорость и ускорение движущихся объектов, касательная кривой. Если y = f(x) является дифференцируемым, то дифференцирование представляется как f'(x) или dy/dx.
Определение производных финансовых инструментов
Геометрический смысл производной y = f(x) есть наклон касательной к кривой y = f(x) в точке ( x, f(x)). Первый принцип дифференцирования заключается в вычислении производной функции с использованием пределов.
Пусть функция кривой есть y = f(x). Возьмем точку P с координатами (x, f(x)) на кривой. Возьмем другую точку Q с координатами (x+h, f(x+h)) на кривой. Теперь PQ является секансом кривой. Наклон кривой в точке — это наклон касательной в этой точке. Мы знаем, что наклон секущей равен \(\dfrac{y_2 -y_1}{x_2- x_1}\).
Таким образом, в данном случае \(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} = \dfrac{f(x+h)-f (x)}{h}\)
Мы хотим, чтобы h было как можно меньше, чтобы получить наклон касательной. Имеем у = f(x). Существует постепенное изменение x, обозначаемое как Δx. Тогда существует инкрементальное изменение y, обозначаемое как Δy.
Тогда y + Δy = f(x + Δx)
f(x) + Δy = f(x + Δx)
Δy = f(x + Δx) – f(x)
Деление на Δx на оба стороны,
\(\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{f(x + Δx) – f(x)}{Δx}\)
Поскольку изменение настолько мало, применяя ограничения, мы получаем
\(\dfrac{dy}{dx}= \mathop {\lim }\limits_{𝛿x \to 0}\dfrac{𝛿y}{𝛿x} \\\\ =\mathop {\lim }\limits_{𝛿x \to 0}\dfrac{f(x + 𝛿x) – f(x)}{𝛿x}\)
, где d/dx – дифференциальный коэффициент , и он известен как символ Лейбница.
\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\), если предел существует, f'(x) равен первая производная f(x). Эта производная от f(x) в точке a определяет изменение f(x) по отношению к x. Этот процесс вычисления производной функции называется дифференцированием.
Таким образом, определение производной выглядит следующим образом: если f — функция с действительным знаком действительной переменной, определенной на открытом интервале I, и если y = f(x) — дифференцируемая функция от x, то dy/dx = f ‘(x) = \ (\ mathop {\ lim} \ limit_ {Δx \ to 0} \ dfrac {f (x + Δx) -f (x)} {Δx} \).
Формула дифференциации
Производные функций находятся с помощью формулы производной, полученной в предыдущем разделе. Производные элементарных функций запоминаются как формулы дифференцирования. 9{n-1}\),
, где y = x + Δx и y → x при Δx → 0.
Точно так же мы можем вывести производные других алгебраических, экспоненциальных и тригонометрических функций , используя фундаментальные принципы дифференцирования.
Дифференцирование элементарных функций
- Производная постоянной функции равна 0. Если y = k, где k — константа, то y’ = 0
- Производная степенной функции: Если y = x n , n > 0. Тогда y’ = n x n-1
- Производная логарифмических функций: если y = ln x, то y’ = 1/x, а если y = log\(_a\) x, то y’ = 1/[(log a) x]
- Производная экспоненциальной функции: Если y = a x , y = a x log a
Дифференцирование тригонометрических функций
Здесь представлены производные тригонометрических функций.
- Если y = sin x, y’ = cos x
- Если y = cos x, y’ = -sin x
- -1)}}\)
Правила дифференциации
Если f дифференцируема в точке x = \(x_0\), то f непрерывна в \(x_0\). Функция дифференцируема на отрезке [a,b], если она дифференцируема в каждой точке [a,b]. Сумма, разность, произведение и композиция дифференцируемых функций, где бы они ни были определены, дифференцируемы, а частное двух дифференцируемых функций дифференцируемо, где бы оно ни было определено.
Правила дифференцирования перечислены ниже:
- Правило суммы: Если y = u(x) ± v(x), то dy/dx = du/dx ± dv/dx.
- Правило продукта: Если y = u(x) × v(x), то dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx
- Частное правило: Если y = u(x) ÷ v(x), то dy/dx = (v.du/dx- u.dv/dx)/ v 2
- Цепное правило : пусть y = f(u) является функцией u, и если u=g(x), так что y = f(g(x), то d/dx(f(g(x))= f'(г(х))г'(х)
- Постоянное правило: y = k f(x), k ≠ 0, тогда d/dx(k(f(x)) = k d/dx f(x).
Различие специальных функций
Если x= f(t), y = g(t), где t параметр, то применяем дифференцирование параметрических функций.
\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{\dfrac{d .g(t)}{ dt}}{\dfrac{d.f(t)}{dt}} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}\)
Если y = f(x) и z = g(x ). тогда дифференцирование y по z дается как:
\(\dfrac{dy}{dz} = \dfrac{\dfrac{dy}{dx}}{\dfrac{dz}{dx}} = \dfrac{f'(x)}{g'(x )}\)
Неявное дифференцирование
Пусть f(x,y) функция в виде x и y.
Если мы не можем найти y напрямую, мы используем неявное дифференцирование. Предположим, что f(x,y) = 0 (которая известна как неявная функция), затем продифференцируйте эту функцию по x и соберите с одной стороны члены, содержащие dy/dx, а затем найдите dy/dx.
Например, найдем dy/dx, если x 2 +у 2 =1.
Продифференцируем обе части уравнения.
д/дх. х 2 + д/дх. y 2 = d/dx.1
2x + 2y.dy/dx = 0
dy/ dx = -x/y
Функции логарифмического дифференцирования
Если функция есть произведение и частное функций, как в y = \(\dfrac{f_1(x). f_2(x)….. }{g_1(x). g_2(x)….}\) сначала логарифмируем, а затем дифференцируем. Если функция имеет форму показателя степени функции над другой, как в [f(x)] g(x) , то мы логарифмируем функцию f(x) (по основанию e) и затем дифференцируем ее. Этот процесс известен как логарифмическое дифференцирование.
Например, если y = x x , тогда log y = x log x
1/год.
3}\).n -я производная от f(x) равна f n (x) используется в степенном ряду. Например, скорость изменения смещения есть скорость. Вторая производная смещения называется ускорением, а третья производная называется рывком.
Рассмотрим функцию y = f (x) = x 5 – 3x 4 + x
F 1 (x) = 5x 4 – 12x 3 + 1
F 2 3 + 1
F 2 2 3 + 1
2 7 2 3 + 1 9,0006 2 7 2 3 + 1 76 2 3 + 1 2 6 3 + 1 . (х) = 20 х 3 – 36 х 2f 3 (x) = 60x 2 – 72 x
f 4 (x) = 120x -72
Частное дифференцирование
Коэффициент частного дифференциала f(x,y) по отношению к f(x,y) – обыкновенный дифференциальный коэффициент f (x, y), когда y рассматривается как константа. Записывается как 𝛿y/ 𝛿x.
Например, если z = f(x,y) = x 4 + y 4 +3xy 2 +x 2 y +x + 2y, тогда мы считаем y константой, чтобы найти 𝛿f/ 𝛿x и считайте x константой, чтобы найти 𝛿f/ 𝛿y. Таким образом, мы находим частные производные функции.
𝛿f/𝛿x = 4x 3 + 3y 2 + 2xy +1
𝛿f/𝛿y = 4y 3 + 6xy + x 2 + 2
, если f (x, y). двух переменных, таких что существуют 𝛿f/ 𝛿x и 𝛿f/ 𝛿y. Тогда мы имеем частные производные следующим образом.
𝛿f/𝛿x wrt x = 𝛿 2 f/𝛿x 2 или \ (f_ {xx} \)
𝛿f/𝛿y wrt y = 𝛿 2 f/𝛿 𝛿f 2 или \ (F_ \ \ (F_ \ \ (F_ \ \ (F_ \ \ (F_ \ \ (F_ \ \ \ (F_ \ \ \ \ (F_ \ \ \ (F_ \ 2 F/𝛿 𝛿 𝛿 𝛿 𝛿 𝛿. yy}\)
𝛿f/ 𝛿x относительно x = 𝛿 2 f/ 𝛿x𝛿y или \ (f_ {xy} \)
𝛿f/ 𝛿y wrt y = 𝛿 2 f/ 𝛿xy или \ (f_ {yx} \)
Важные примечания
- Процесс нахождения производных функции, если предел существует, называется дифференцированием. Производная функции задается как dy/dx или y’ или f'(x).
- Дифференцируемость подразумевает непрерывность, но обратное неверно.
- Формула ограничения
- Формула неявного дифференцирования
- Дифференциальные уравнения
- Правило суммы: если y = u(x) ± v(x), то dy/dx = du/dx ± dv/dx.
- Правило произведения: если y = u(x) × v(x), то dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx
- Частное правило: если y = u(x) ÷ v(x), то dy/dx = (v.
- дифференциации .
нахождение скорости изменения функции по отношению к другой величине. \(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{Δx \to 0} \dfrac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}\), где Δx – приростное изменение Икс.☛ Также проверьте:
Часто задаваемые вопросы о дифференциации
В чем смысл дифференциации?
Мгновенная скорость изменения функции по отношению к другой величине называется дифференциация . Например, скорость — это скорость изменения смещения в определенный момент времени. Если y = f(x) является дифференцируемой функцией x, то dy/dx = f'(x) = \(\mathop {\lim }\limits_{Δx \to 0} \dfrac{f(x+Δx) -f(x)}{∆x}\).
Как вы выполняете дифференцирование в математике?
Дифференцирование осуществляется путем применения методов известных формул дифференцирования и правил дифференцирования при нахождении производной заданной функции.
Каковы основы дифференциации?
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Три основные производные дифференцируют алгебраические функции, тригонометрические функции и экспоненциальные функции.
Приведите пример дифференцирования в исчислении.
Скорость изменения смещения во времени – это скорость. Это пример дифференциации. Скорость есть первая производная от смещения. Ускорение есть вторая производная от смещения.
Что такое формулы дифференцирования?
Формула дифференцирования используется для нахождения производной или скорости изменения функции. если y = f(x), то производная dy/dx = f'(x) = \(\mathop {\lim }\limits_{Δx \to 0} \dfrac{f(x+Δx)-f(x )}{Δx}\).
Как использовать формулу дифференциации?
Производная функции находится путем применения пределов функции в соответствии с первым принципом дифференцирования.
Производная f'(x) = \(\ mathop {\lim}\limits_{Δx \to 0} \dfrac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}\). Например, давайте вычислим производную sin x. f (х) = грех х.
F(x+Δx) = sin(x+Δx).
f(x + Δx) – f(x) = sin(x + Δx)- sinx = 2 sin(Δx/2) cos (x + Δx/2)
\(\dfrac{f(x+Δx) )-f(x)}{Δx}\\ = \dfrac{sin \dfrac{Δx}{2}}{\dfrac{Δx}{2}} cos (x + \dfrac{Δx}{2})\ \ ⇒ \ mathop {\ lim } \ limit_ {Δx \ to 0} \ dfrac {sin \ dfrac {Δx} {2}} {\ dfrac {Δx} {2}} cos (x + \ dfrac {Δx} {2 })\\= 1\times cos x\\= cos x \)[Поскольку cos x непрерывен и \(\ mathop {\lim }\limits_{Δx \to 0}cos(x+Δx) = cos x\ )]
Что такое правила дифференцирования в исчислении?
При дифференциации функций используются разные правила. Правилами дифференцирования являются степенное правило, цепное правило, частное правило и постоянное правило.
