Дифференциал что это такое в математике: Недопустимое название | Математика | Fandom

Содержание

Дифференциал функции

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.

Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).

Это записывается так:

или

или же

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину (см. рисунок).

Дифференциал функции в точке x и обозначают

или

Следовательно,

                   (1)

или

,            (2)

поскольку дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, а – наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле (1) этого не видно из записи.

Дифференциал функции можно записать в другой форме:

                      (3)

или

   (4)


Пример 1. Найти дифференциалы функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Решение. Применяя формулы дифференцироивания степенной и логарифмической функций из таблицы производных, а также формулу (4), находим:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Найти дифференциалы самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 2.

Найти дифференциал функции

в точке x = 2,

1) выделив линейную часть;

2) по формуле.

Пример 3. Найти дифференциал функции

в точке x.


В основном же задачи на дифференциалы – это более сложные, чем рассмотренные выше для разминки, поэтому стоит посетить страницу с решением задач на дифференциалы сложных функций. Скорее всего, вызывающие у вас трудности задачи именно к таким и относятся.

В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

 (С – постоянная величина)  (5)

                                (6)

                             (7)

                                      (8)

                            (9)

Формулы (5) – (9) получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на .

Одно из особеннейших свойств дифференциала – инвариантность формы дифференциала в случае сложных функций.


Установленное во втором параграфе приближенное равенство

или

                           (10)

позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно. Так как

а

то

или

                  (11)


Пример 5. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (11) в данном случае примет вид

Положим

тогда

Следовательно,

что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.

Пример 6. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно

Решение. Число
является одним из значений функции

Так как производная этой функции

то формула (11) примет вид

Полагая

и

получаем

(табличное значение

).

Вычислить приближенно самостоятельно, а затем посмотреть решение


Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности.

Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:

                            (12)

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:

                                 (13)

Если точное число неизвестно, то

                             (14)

Иногда, прежде чем применить формулу (11), требуется предварительно преобразовать исходную величину.

Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто.


Пример 8. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.

Решение. Рассмотрим функцию

Её производная равна

а формула (11) примет вид

В данном случае было бы нерационально вычислять приближенно следующим образом:

так как значение

не является малым по сравнению со значением производной в точке

Здесь удобно предварительно вынести из под корня некоторое число, например 4/3.   Тогда

Теперь, полагая

получим

Умножая на 4/3, находим

Принимая табличное значение корня

за точное число, оценим по формулам (12) и (13) абсолютную и относительную погрешности приближенного значения:

Весь блок “Производная”

Поделиться с друзьями

Дифференциал (математика) – это… Что такое Дифференциал (математика)?

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Обозначения

Обычно дифференциал функции обозначается . Некоторые авторы предпочитают обозначать шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке обозначается , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке от может обозначаться как , а иногда или , а также , если значение ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

Определения

Для функций

Дифференциал функции в точке может быть определён как линейная функция

где обозначает производную в точке .

Таким образом есть функция двух аргументов .

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция линейно зависящая от и для которой верно следующее соотношение

Для отображений

Дифференциалом отображения в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие

Связанные определения

  • Отображение называется дифференцируемым в точке если определён дифференциал .

Свойства

  • Матрица линейного оператора равна матрице Якоби; её элементами являются частные производные .
    • Отметим, частные производные могут быть определены в точке, где дифференциал не определён.
  • Дифференциал функции связан с её градиентом следующим определяющим соотношением

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Литература

  • Г. М. Фихтенгольц «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

Производная и дифференциал

Дифференциальное исчисление – это раздел математики, который исследует свойства функций, которые заданы на интервалах (сплошных множествах), с помощью определения предела функций.

Свойство непрерывности свидетельствует о том, что точке х0 при малом отклонении аргумента Δx от х0 функция отклоняется мало. В связи с этим, непрерывную функцию в окрестности точки х0, приближенно можно заменить константой, значением в х0. В таком случае, при Δx?0 к нулю стремится абсолютная ошибка приближения. Однако данная аппроксимация не отражает изменения функции при переходе переменной х в точке 0 – убывая или возрастая, медленно или быстро. Для того, чтобы это выяснить и введены производная и дифференциал, которые и дают более точную аппроксимацию функции в окрестности х0 линейной функцией, а не константой. Производная и дифференциал отражает величину и тенденцию изменения в точке х0 функции.

Производная и дифференциал на наглядном примере выглядит так. Возьмем функцию y = f ( x), которая имеет действительные значения и задана на оси R. Внутреннюю точку x0 ε I фиксируем и берем еще любую точку xεI . Приращением независимой переменной в точке х0 является разность Δx = x – x0. Предел разностного отношения, при котором х стремится к х0 называется производной функции f (x) в точке х0.

Функция, для которой возможно разложение, называется дифференцируемой в точке х0. Дифференциалом функции f в точке х0 называется слагаемое f’ (х0)(х-х0). Таким образом, наличие в точке производной эквивалентно и дифференцируемости в этой же точке.

Дифференциал также имеет и специальное обозначение:

df(x0)=dy(x0)= f’ (х0)(х-х0)

Создано дифференциальное исчисление одновременно, а также независимо друг от друга Готфиридом Вильгельмом Лейбницем и Исааком Ньютоном.

Производная и дифференциал

Приращение функции y = f(x), соответствующее приращению Δx аргумента x
Δy = f(x + Δx) – f(x)

Определение производной
y’ =  dy 
dx
=  
lim
Δx → 0
 Δy 
Δx
Геометрически y’ = f'(x) – угловой коэффициент касательной
к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x

Правила дифференцирования
c’ = 0
(cu)’ = cu’
(u + v)’ = u’ + v’
(u – v)’ = u’ – v’
(uv)’ = u’v + uv’
где y = f(z) и z = φ(x), т. е y = f(φ(x)).
где x
y
– производная обратной функции

Производные элементарных функций
(xn
 
)’ = nxn – 1
 
,    x’ = 1
(log 
a
x)’ =    1   
xln(a)
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = – sinx
(arcsinx)’ =
 
 
1
1 – x2
 
(arccosx)’ = –
 
 
1
1 – x2
 
(secx)’ = secx * tgx
(cosecx)’ = -cosecx * ctgx
(arcsecx)’ =
 
 
1
xx2
 
– 1
(arccosecx)’ = –
 
 
1
xx2
 
– 1

Свойства дифференциала
d(af(x)) = a * df(x)
d(f 
1
(x) + f 
2
(x) – f 
3
(x)) = df 
1
(x) + df 
2
(x) – df 
3
(x)
df(x) = f'(x)dx
da = 0   (a = const)
d(ax + b) = Δ(ax + b) = a Δx

Дифференциал второго порядка функции y = f(x),
где x – независимая переменная (d2
 
x = 0)

Производные высших порядков некоторых функций
(xm
 
)(n)
 
= m(m – 1)(m – 2). ..(m – n + 1)xm – n
 
(ln(x))(n)
 
= (-1)n – 1
 
(n – 1)!
(log 
a
x)(n)
 
= (-1)n – 1
 
 (n – 1)! 
ln(a)
(ax
 
)(n)
 
= ln(a)n
 
ax
 
(akx
 
)(n)
 
= (k * ln(a))n
 
akx
 
(sinx)(n)
 
= sin(x +
2
)
(cosx)(n)
 
= cos(x +
2
)

Правило Лопиталя для неопределенностей вида  0 
0
или
 
lim
x → a
 φ(x) 
ψ(x)
=  
lim
x → a
 φ'(x) 
ψ'(x)
 ,
если правый предел существует

Формула Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа
f(x) = f(x 
0
) + (x – x 
0
) + (x – x 
0
)2
 
+ . ..
… + (x – x 
0
)n
 
+ (x – x 
0
)n + 1
 
 ,
где ξ – такое число, что x 
0

Формула Маклорена
f(x) = f(0) + x + x2
 
+ …
где ξ – такое число, что 0

Математика онлайн

Решение математики онлайн

Math34.biz – это современный способ решения математики, в том числе для сравнения самостоятельных решений с машинными вычислениями.

Пользование сервисом удобно и понятно каждому человеку, попавшему на сайт впервые. Сразу выбираете нужный калькулятор, вводите необходимые данные по вашей задаче и нажимаете кнопку «Решение». За считанные секунды ответ готов.

Чтобы не возникало трудностей с вводом данных, мы подготовили специальную статью Как вводить данные? Помимо правил написания формул и чисел, в ней вы можете увидеть, как правильно вводятся различные константы и математические функции.

О калькуляторах

По мере возможности добавляются новые математические калькуляторы. На сегодняшний день их более 85.

Если не удалось найти нужный калькулятор, которым может быть решена ваша математическая задача, или есть предложение по улучшению имеющегося калькулятора, пожалуйста, сообщите об этом на почту [email protected]

Преимущества

1. Бесплатно
Решение математики онлайн не будет вам стоить ни копейки. Наш сервис абсолютно бесплатный и доступен любому пользователю интернета.

2. Без регистрации
Для пользования калькуляторами не требуется регистрации на сайте, отнимая время на заполнение почтовых ящиков и других личных данных.

3. Подробные решения
На многие задачи вы получите пошаговый развернутый ответ, что позволяет понять, каким образом было получено решение задачи.

4. Разные способы решения задач
Для популярных калькуляторов доступны разные методы решения задач, если они применимы, что позволяет, во-первых, лучше понять, как решается задача известным вам способом, а, во-вторых, научиться решать ту же самую задачу альтернативными методами.

5. Точность вычислений
В полученном ответе не приходится сомневаться, ведь мощная система расчета обеспечивает высокую точность при решении математических задач онлайн.

Однако, мы не исключаем возможность каких-либо ошибок, ведь известно, что алгоритмы пишутся хотя и очень умными, но всё же людьми. В случае обнаружения ошибки, пожалуйста, не поленитесь и сообщите нам о ней.

Математический портал. Высшая математика. Математический анализ.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Определение. Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой в точке $x_0,$ если ее приращение $\Delta y(x_0, \Delta x)$ может быть представлено в виде $$\Delta y(x_0, \Delta x)=A\Delta x+o(\Delta x).$$

 

Главная линейная часть $A\Delta x$ приращения $\Delta y$ называется дифференциалом этой функции в точке $x_0,$ соответствующим приращению $\Delta x,$ и обозначается символом $dy(x_0, \Delta x).$

Для того, чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируема в точке $x_0,$ необходимо и достаточно, чтобы существовала производная $f'(x_0),$ при этом справедливо равенство $A=f'(x_0).$

Выражение для дифференциала имеет вид $$dy(x_0, dx)=f'(x_0)dx,$$ где $dx=\Delta x.$

Свойства дифференциала:

1. $d(C)=0,$ где $C -$ постоянная;

2. $d(C_1u+C_2v)=C_1du+C_2dv;$

3. $d(uv)=udv+vdu;$

4. 2}.$

Ответ: $\frac{x+y}{x-y}dx.$

 

 

 

математический-анализ / Дифференциал независимой переменной. / Математика

Объявляю конкурс на лучшее определение понятия “дифференциал независимой переменной”.

Пояснение. Это понятие только кажется простым, на самом у него есть много разных интерпретаций. Например, в физике это просто достаточно малая величина, которая часто имеет ограничение не только сверху, но и снизу (я уже приводил пример распределения температуры в среде, аналогичная ситуация с давлением, плотностью и т.д.). Хотелось бы услышать мнения, как наиболее корректно определить понятие дифференциала независимой переменной в матанализе?

Дополнение для DocentI. Т.к. лимит комментариев исчерпан, пишу здесь. Я прекрасно знаю содержание учебников матана, я сам все это читаю. Если бы там содержался ответ на мой вопрос, я бы его не задавал. В матане совершенно четко и строго определены понятия “предел” и “производная”, здесь даже нечего обсуждать.{b}f(x)dx$% ? Ведь это предел интегральных сумм!

Я жду ответ на вопрос в виде “Дифференциал независимой переменной $%dx$% – это …”, где вместо точек стоит математическое определение.

Дополнение 3 для DocentI. Рождение раздела математики под названием Математический анализ произошло практически одновременно в двух близких, но все-таки различных формах – Ньютона и Лейбница. У Ньютона все формулировалось через пределы, у Лейбница – через бесконечно малые, как самостоятельные сущности. И обе эти интерпретации всегда сосуществовали. Во второй половине 20 века в теоретической математике прочно утвердилась Ньютоновская интерпретация, которую Вы блестяще изложили в своем ответе. Но во многих более прикладных облестях, в частности в физике, всегда больше склонялись к подходу Лейбница. Возьмите любой учебник общей физики, как там выводится практически любое дифференциальное уравнение? Что-то типа “выделим параллелепипед $%dxdydz$% и подсчитаем количество частиц в нем” и т.д. Но в этом случае $%dx,dy,dz$% не могут быть любыми! Они дожны быть достаточно малыми (но не совсем, а так, чтобы достаточное количество частиц туда бы все-таки поместилось)! Меня, между прочим, еще в студенческие годы очень удивляло это идеологическое противоречие между математикой и физикой. Нужно сказать, что Лейбнецевский подход все-таки нет-нет, но проявлялся в математике. Например, трансфинитные числа можно рассматривать как “обратные бесконечно малые”. Сейчас на основе Лейбнецевского подхода развивается нестандарнный анализ.В общем, дуализм в самом-самом основании математического анализа имеет место, я просто хотел это подчеркнуть и, возможно, увидеть какие-то интересные идеи на этот счет.

Дополнение 4 (для DocentI). Да, аксиома Архимеда для бесконечно малых не выполняется, но ведь в математике сейчас известно достаточно много неархимедовых полей. Вопрос, конечно, куда деть бесконечно малые на числовой прямой? Между действительными числами они не поместятся – там все плотно. Если считать, что они в ортогональном направлении “утолщают” прямую – нелогично, т.к. они должны легко превращаться в действительные приращения. Единственный вариант – считать, что они входят в структуру действительного числа, т.е. являются элементами внутренней структуры точки. Весьма экзотично – но ничему не противоречит.

Конспект урока по Математике “Дифференциал функции”

План занятия №___6___

ПО ДИСЦИПЛИНЕ Математика

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ Петухова И.С.

ТЕМА: Дифференциал функции.

ЦЕЛИ:

  1. Проверить степень усвоения знаний по теме «Производная функции».

  2. Дать понятие дифференциала функции и его приложения к приближенным вычислениям.

  3. Развивать мыслительные способности.

  4. Воспитывать свободное владение специальной терминологией.

ВИД ЗАНЯТИЯ: урок

ТИП УРОКА: комбинированный

ОБОРУДОВАНИЕ УРОКА: мультимедиа, раздаточный материал

Ход урока

Изложение нового материала:

Определение дифференциала функции.

Сегодня мы продолжаем изучение раздела Дифференциальное исчисление и знакомимся с таким понятием как Дифференциал функции. Научимся применять это понятие к решению математических и не только задач. Новое понятие дифференциала функции мы рассмотрим на частном примере.

Рассмотрим функцию . Вопрос: Чему равна производная этой функции? Ответ: 2х. А теперь представим приращение этой функции в виде развернутой формулы. Вопрос: Как обозначается приращение функции? Ответ: Как мы помним, из определения приращения ∆y = y(x+∆x) – y(x). А для нашей функции , . Обратим внимание на первое слагаемое. Множитель 2х – это производная нашей функции. Второе слагаемое будет стремиться к нулю, если стремится к нулю. Видим, что , где . Оставшееся слагаемое называют главной частью приращения и называют дифференциалом функции. Запишем данное понятие в общем случае.

Рассмотрим дифференцируемую в точке функцию . Ее приращение можно представить (аналогичным образом) в виде , где – главная часть приращения, где , а стремится к нулю при.

Определение: Главная, линейная относительно , часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается . Для удобства записи в данном случае заменяют на dx. (Но при вычислениях замену не производят)

Итак, дифференциал вычисляют по формуле: . (1) (написать на доске формулу)

Нахождение дифференциала функции рассмотрим на примере.

Пример: Найти дифференциал функции:.

Чтобы найти dy необходимо найти производную функции, а затем «приписать» к ней множитель .

Приложение дифференциала.

Дифференциал функции применяется при решении многих математических задач. Сегодня мы рассмотрим два типа задач, которые возможно рационально решить, используя понятия дифференциал. Кроме, того, мы применим дифференциал функции при решении задач профессиональной направленности.

Рассмотрим первый тип задач.

  1. Приближенные вычисления значения функции в заданной точке.

Из прошлогоднего курса математики, вам известна формула для приближенных вычислений значения функции Преобразуем выражение, перенесем в левую часть, получим: . Правая часть есть дифференциал функции. Значит, чтобы найти значение функции в заданной точке, необходимо воспользоваться формулой (2) написать на доске.

Покажем на примере:

Пример 2: Вычислить значение функции в точке .

Для удобства счета выберем вблизи заданной точки точку . Тогда приращение аргумента будет равно , . Вычислим значение функции в точке : .

Затем найдем дифференциал функции по формуле (1): .

И, учитывая, что вычислим его в точке : . Подставим в формулу (2):

Итак, приближенное значение данной функции в точке равно: . Обратите внимание, что без калькулятора вычислить чему равно значение функции в точке 2.04 довольно сложно, так как здесь высокая степень многочлена. А используя дифференциал, мы вычислили устно приближенное значение функции. Такие расчеты также рационально использовать в физике.

Рассмотрим второй тип задач.

  1. Вычисление приращения функции в заданной точке. Из формулы приближенного вычисления значения функции получим: . Значит (3) написать на доске

Рассмотрим на примере:

Пример 2: Найти приращение функции в точке и при приращении .

Рассмотренные три основных формулы, будем применять на практической работе. Также они вам встретятся при выполнении интернет-тестирования. А сейчас рассмотрим пример применения понятия дифференциала в вашей профессиональной деятельности. ( на слайде задача)

Задача: Предприниматель Рыбкин разводит радужную форель в своем рыбхозяйстве. Статистическим путем за годы работы он сделал вывод, что численность популяций в зависимости от времени для данных условий разведения определяется формулой . Определить изменение численности популяции форели с 3-го года и до 7 лет работы рыбхозяйства.

Решение: Известно: ,

Вывод: За 4 года работы рыбхозяйства численность популяции увеличилась на 7784 единицы.

Закрепление изученного материала.

Нахождение дифференциала функции

Задание: 1. Найти дифференциал функции:

Ответ:

ответ:

Ответ:

Задание 2: Вычислить значение функции в точке .

Для удобства счета выберем вблизи заданной точки точку . Тогда приращение аргумента будет равно , Вычислим значение функции в точке : .

Затем найдем дифференциал функции по формуле (1):

И, учитывая, что вычислим его в точке :

Подставим в формулу (2):

Итак, значение данной функции в точке равно:

Задание 3. Найти приращение функции .

Дополнительно:1. Найти приращение функции в точке и при . Ответ: 0.025

2.Найти приращение функции в точке и при . Ответ: -0.002

Задание: 1. Найти дифференциал функции:

Задание 2: Вычислить значение функции в точке .

Задание 3. Найти приращение функции .

Дополнительно:

  1. Найти приращение функции в точке и при .

  2. Найти приращение функции в точке и при .

1 вариант

Фамилия, группа

2 вариант

Фамилия, группа

3 вариант

Фамилия, группа

4 вариант

Фамилия, группа

1 вариант

1 ВАРИАНТ

Методы

1. Организационный момент

– взаимное приветствие

– проверка состава студентов

Беседа

Визуально

2. Проверка знаний студентов по теме «Производная функции»:

Вопросы:

  1. Определение производной

  2. Основные правила дифференцирования

– производная суммы или разности двух функций

– производная произведения функций

– производная частного функций

– производная сложной функции

с) Производные основных элементарных функции

d) Применение производной

Индивидуальные задания по нахождению производных

Устный фронтальный опрос

Индивидуальная работа по карточкам с элементами взаимоконтроля

3. Подведение итогов проверки знаний студентов

Анализ, комментарии преподавателя

4. Сообщение темы и целей урока. Начальная мотивация учебной познавательной деятельности.

Беседа

5. Изложение нового материала по теме

«Дифференциал функции»

Объяснительно-иллюстративный

с применением мультимедиа

6. Закрепление изученного материала.

  • Нахождение дифференциала функции

  • Вычисление приближенного значения функции

  • Вычисление приращения функции

Решение задач письменно с комментариями преподавателя

6. Подведение итогов урока, выставление оценок.

Обобщение с комментариями преподавателя

7. Задание для самостоятельной работы студентов во внеурочное время:

сборник домашних работ, работа №5, конспект

Пояснение

3 вариант

2 вариант

4 вариант

3 вариант

2 ВАРИАНТ

4 ВАРИАНТ

Расчет

– Что такое дифференциал?

Правильный вопрос – не “Что такое дифференциал?” но «Как ведут себя дифференциалы?».

Позвольте мне объяснить это с помощью аналогии. Предположим, я научу вас всем правилам сложения и умножения рациональных чисел. Затем вы спрашиваете меня: «Но что такое , – рациональные числа?»

Ответ: это все, что подчиняется этим правилам. Теперь, чтобы это имело смысл, мы должны знать, что есть по крайней мере одна вещь, которая подчиняется этим правилам.

Итак, математики решают эту проблему следующим образом: сначала они определяют упорядоченные пары целых чисел. Затем они определяют две упорядоченные пары $ (a, b) $ и $ (c, d) $ как эквивалент , если $ ad = bc $. Затем они определяют класс эквивалентности как любой набор упорядоченных пар, все из которых эквивалентны друг другу, и ни одна из которых не эквивалентна чему-либо вне этого набора. Затем они определяют рациональное число $ a / b $ как класс эквивалентности упорядоченной пары $ (a, b) $, где $ a $ – любое целое число, а $ b $ – любое целое число, отличное от нуля.Затем они описывают сложение и умножение классов эквивалентности в терминах лежащих в основе упорядоченных пар. Например, они определяют $ a / b + c / d $ равным $ (ad + bc) / bd $ (помня, что каждое из этих выражений обозначает набор упорядоченных пар. Затем они проверяют, имеет ли определение смысл – – например, если $ a / b = e / f $, тогда $ a / b + c / d $ лучше равняется $ e / f + c / d $, поэтому они проверяют это и множество других свойств. , они говорят: “Хорошо. Мы нашли структуру, которая подчиняется всем правилам” рациональных чисел “, поэтому мы знаем, что рациональные числа существуют.Теперь, когда мы это знаем, мы можем перестать думать обо всей этой структуре и просто работать с правилами.

Итак, никто никогда не думает о рациональном числе 2/3 как о наборе упорядоченных пар, даже несмотря на то, что, согласно вышеизложенному, это то, что оно «есть».

Дифференциалы такие же, за исключением того, что их построение значительно сложнее, чем построение рациональных чисел.

Но вы начали работать с рациональными числами еще в начальной школе, задолго до того, как научились их составлять.Все, что вам нужно было знать, – это правила манипулирования ими. Много позже, если вам было интересно, вы спросили кого-нибудь: «Что такое – это рациональное число?» и, возможно, у вас есть объяснение, подобное тому, которое я вам только что дал.

Важно знать, что такая конструкция существует, потому что она гарантирует, что правила, которые вы использовали, не приведут к противоречию. Но для того, чтобы усвоить правила, совсем не обязательно знать конструкцию.

Итог: было бы безумием ждать, пока у вас будет объяснение на этом уровне, прежде чем вы начнете заниматься арифметикой рациональных чисел.

Если вам интересно и любопытно – а это похоже на то, – вы со временем научитесь строить дифференциалы на строгой основе. Я не использую эту конструкцию в этом ответе, потому что рассмотрение всех деталей займет слишком много времени. Но это аналог построения рациональных чисел. И, как и в этом случае, единственная цель построения – показать, что или удовлетворяет правилам, с которыми вы работали все эти годы, чтобы гарантировать, что эти правила не противоречат друг другу.

Реальный анализ

– строгое определение «дифференциала»

Я думаю, что версия с дифференциальными формами заслуживает более подробного описания:

Пусть $ x, y, z, \ ldots $ – все используемые (скалярные) переменные. Напишите $ p $ для кортежа, который присваивает значения этим переменным: $ (x_p, y_p, z_p, \ ldots) $. Тогда переменная величина – это (математическая) функция, которая присваивает (действительное или векторное) значение каждому кортежу $ p $. Обратите внимание, что переменных являются четко определенными переменными величинами, заданными

.

$$ x (x_p, y_p, z_p, \ ldots) = x_p \\ y (x_p, y_p, z_p, \ ldots) = y_p \\ z (x_p, y_p, z_p, \ ldots) = z_p \\ \ vdots $$

Для каждого переменного количества $ E $ мы собираемся определить другое количество $ dE $.В частности, если $ E $ является вещественной переменной величиной, дифференциал $ E $ $ dE $ будет (частичной функцией), которая присваивает каждому назначению $ p $ линейное преобразование из векторного пространства назначений. в векторное пространство действительных чисел (при сложении). Если $ E $ – векторная переменная, $ dE $ отобразит каждый $ p $ в линейное преобразование из векторного пространства назначений в векторное пространство, где $ E $ принимает свои значения (это обобщение определения для вещественных переменных. ).

Если $ \ Delta p $ – небольшое смещение присваивания $ p $, мы хотим, чтобы $ E (p) + dE (p) \ Delta p $ было хорошим приближением к $ E (p + \ Delta p) $. . Прежде всего отметим, что $$ dE (p) \ Delta p \ to 0 \ text {as} \ Delta p \ to 0 $$ по определению, поскольку мы хотим, чтобы $ dE (p) $ было линейным. Так что если $$ E (p + \ Delta p) \ to 0 \ text {as} \ Delta p \ to 0 $$ т.е. $ E $ – это непрерывных , $ E (p) + dE (p) \ Delta p $ никогда не будет хорошим приближением к $ E (p + \ Delta p) $. Итак, мы собираемся рассматривать только точки $ p $, где $ E $ непрерывно (таких точек может и не быть).2 $ переходят в 0 на различных скоростях как $ x \ на 0 $. Мы можем использовать эту идею, чтобы более точно определить $ dE (p) $. Как минимум, мы хотим, чтобы $ E (p) + dE (p) \ Delta p $ перешло в $ E (p) $ быстрее, чем $ \ Delta p $ перешло в 0. Мы можем записать это формально (строго) в виде $$ \ frac {E (p + \ Delta p) – E (p) – dE (p) \ Delta p} {\ | \ Delta p \ |} \ to 0 \ text {as} \ Delta p \ to 0 $$ Обратите внимание, что это в точности то же самое, что и определение $ dE (p) $ как (векторной) производной от $ E $ в точке $ p $. Уникальность линейного преобразования (если оно существует), удовлетворяющего этому свойству (наилучшее линейное приближение к $ E $ при $ p $ ), является основной теоремой, доказываемой в любом учебнике векторного анализа.

Переменная величина $ f (x) $ на самом деле является композицией: $ f (x) (p) $ на самом деле означает $ f (x (p)) $. Итак, правило $$ d (f (x)) = f ‘(x) dx $$ (что на самом деле означает $$ d (f (x)) (p) = f’ (x (p)) (dx (p )) $$) – это простое применение цепного правила.

Разница между дифференциалом и производной

Чтобы лучше понять разницу между дифференциалом и производной функции, вам необходимо сначала понять концепцию функции.

Функция – это одно из основных понятий в математике, которое определяет взаимосвязь между набором входов и набором возможных выходов, где каждый вход связан с одним выходом.Одна переменная является независимой, а другая – зависимой.

Концепция функции – одна из наиболее недооцененных тем в математике, но она необходима для определения физических отношений. Возьмем, к примеру: утверждение «y является функцией x» означает, что что-то, связанное с y, напрямую связано с x некоторой формулой. Скажем, если на входе 6, а функция должна прибавить 5 ко входу 6. Результат будет 6 + 5 = 11, что и будет вашим выходом.

В математике есть несколько исключений, или, можно сказать, задачи, которые нельзя решить обычными методами геометрии и алгебры.Для решения этих задач используется новый раздел математики, известный как исчисление.

Исчисление фундаментально отличается от математики, которая не только использует идеи геометрии, арифметики и алгебры, но также занимается изменением и движением.

Исчисление как инструмент определяет производную функции как предел определенного вида. Концепция производной функции отличает исчисление от других разделов математики. Дифференциальный – это подполе исчисления, которое относится к бесконечно малой разнице в некоторой переменной величине и является одним из двух основных разделов исчисления.Другая ветвь называется интегральным исчислением.

Что такое дифференциал?

Дифференциал – это один из основных разделов исчисления, наряду с интегральным исчислением. Это подполе исчисления, которое имеет дело с бесконечно малыми изменениями некоторой переменной величины. Мир, в котором мы живем, полон взаимосвязанных величин, которые периодически меняются.

Например, площадь круглого тела, которая изменяется при изменении радиуса, или снаряда, который изменяется в зависимости от скорости.Эти изменяющиеся сущности, в математических терминах, называются переменными, а скорость изменения одной переменной по отношению к другой является производной. А уравнение, которое представляет собой взаимосвязь между этими переменными, называется дифференциальным уравнением.

Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие неизвестные функции и некоторые их производные.

Что такое производная?

Понятие производной функции – одно из самых мощных понятий в математике.Производная функции обычно представляет собой новую функцию, которая называется производной функцией или функцией скорости.

Производная функции представляет собой мгновенную скорость изменения значения зависимой переменной по отношению к изменению значения независимой переменной. Это фундаментальный инструмент исчисления, который также можно интерпретировать как наклон касательной. Он измеряет, насколько крутым является график функции в определенной точке графика.

Проще говоря, производная – это скорость, с которой функция изменяется в определенной точке.

Разница между дифференциалом и производной

Определение дифференциала Vs. Производная

И термины «дифференциал», и «производная» тесно связаны друг с другом с точки зрения взаимосвязи. В математике изменяющиеся объекты называются переменными, а скорость изменения одной переменной по отношению к другой называется производной.

Уравнения, определяющие взаимосвязь между этими переменными и их производными, называются дифференциальными уравнениями.Дифференциация – это процесс поиска производной. Производная функции – это скорость изменения выходного значения по отношению к его входному значению, тогда как дифференциал – это фактическое изменение функции.

Взаимосвязь дифференциала и дифференциала. Производная

Дифференциация – это метод вычисления производной, которая представляет собой скорость изменения выхода y функции по отношению к изменению переменной x.

Проще говоря, производная относится к скорости изменения y по отношению к x, и это соотношение выражается как y = f (x), что означает, что y является функцией x.Производная функции f (x) определяется как функция, значение которой порождает наклон f (x), где она определена, и f (x) дифференцируема. Это относится к наклону графика в данной точке.

Представление дифференциала Vs. Производная

Дифференциалы представлены как d x, d y, d t и т. Д., Где d x представляет небольшое изменение x, d y представляет небольшое изменение y и d т – небольшое изменение т.При сравнении изменений связанных величин, где y является функцией x, дифференциал d y может быть записан как:

d y = f (x) d x

Производная функции – это наклон функции в любой точке и записывается как d / d x. Например, производная sin (x) может быть записана как:

d / d x sin (x) = sin (x) = cos (x)

Дифференциальный vs.Производная: сравнительная таблица

Сводка дифференциала против Производная

В математике скорость изменения одной переменной по отношению к другой называется производной, а уравнения, которые выражают взаимосвязь между этими переменными и их производными, называются дифференциальными уравнениями. Короче говоря, дифференциальные уравнения включают производные, которые фактически определяют, как величина изменяется по отношению к другой. Решая дифференциальное уравнение, вы получаете формулу для величины, не содержащую производных.Метод вычисления производной называется дифференцированием. Проще говоря, производная функции – это скорость изменения выходного значения по отношению к его входному значению, тогда как дифференциал – это фактическое изменение функции.

Сагар Хиллар – плодовитый автор контента / статей / блогов, работающий старшим разработчиком / писателем контента в известной фирме по обслуживанию клиентов, базирующейся в Индии. У него есть желание исследовать разноплановые темы и разрабатывать высококачественный контент, чтобы его можно было лучше всего читать.Благодаря своей страсти к писательству, он имеет более 7 лет профессионального опыта в написании и редактировании услуг на самых разных печатных и электронных платформах.

Вне своей профессиональной жизни Сагар любит общаться с людьми разных культур и происхождения. Можно сказать, что он любопытен по натуре. Он считает, что каждый – это опыт обучения, и это приносит определенное волнение, своего рода любопытство, чтобы продолжать работать. Поначалу это может показаться глупым, но через некоторое время это расслабляет и облегчает начало разговора с совершенно незнакомыми людьми – вот что он сказал.”

Последние сообщения Sagar Khillar (посмотреть все)

: Если вам понравилась эта статья или наш сайт. Пожалуйста, расскажите об этом. Поделитесь им с друзьями / семьей.

Cite
APA 7
Khillar, S. (20 сентября 2018 г.). Разница между дифференциалом и производной. Разница между похожими терминами и объектами. http://www.differencebetween.net/science/mat Mathematics-statistics/difference-between-differential-and-derivative/.
MLA 8
Хиллар, Сагар.«Разница между дифференциалом и производной». Разница между похожими терминами и объектами, 20 сентября 2018 г., http://www.differencebetween.net/science/mat Mathematics-statistics/difference-between-differential-and-derivative/.

страница не найдена – Williams College

’62 Центр театра и танца, 62 Центр
Касса 597-2425
Магазин костюмов 597-3373
Менеджер мероприятий / Помощник менеджера 597-4808 597-4815 факс
Производство 597-4474 факс
Магазин сцен 597-2439
’68 Центр карьерного роста, Мирс 597-2311 597-4078 факс
Академические ресурсы, Парески 597-4672 597-4959 факс
Служба поддержки инвалидов, Парески 597-4672
Прием, Вестон Холл 597-2211 597-4052 факс
Программа позитивных действий, Хопкинс-холл, 597-4376
Africana Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс
Американские исследования, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
Антропология и социология, Холландер 597-2076 597-4305 факс
Архивы и специальные коллекции, Sawyer 597-4200 597-2929 факс
Читальный зал 597-4200
Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art / Lawrence 597-3578 597-3693 факс
Архитектурная студия, Spencer Studio Art 597-3134
Фотостудия, Spencer Studio Art 597-2030
Printmaking Studio, Spencer Studio Art 597-2496
Скульптурная студия, Spencer Studio Art 597-3101
Senior Studio, Spencer Studio Art 597-3224
Видео / фотостудия, Spencer Studio Art 597-3193
Asian Studies, Hollander 597-2391 597-3028 факс
Астрономия / Астрофизика, Thompson Physics 597-2482 597-3200 факс
Департамент легкой атлетики, физическое воспитание, отдых, Ласелл 597-2366 597-4272 факс
Спортивный директор 597-3511
Лодочный домик, Озеро Онота 443-9851
Тренеры 597-2366
Фитнес-центр 597-3182
Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman 597-2433
Intramurals, Атлетический центр Чандлера 597-3321
Физическая культура 597-2141
Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера 597-2419
Sports Information, Hopkins Hall 597-4982 597-4158 факс
Спортивная медицина 597-2493 597-3052 факс
Площадки для игры в сквош 597-2485
Поле для гольфа Taconic 458-3997
Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology 597-2126
Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман 597-2124
Биология, Thompson Biology 597-2126 597-3495 факс
Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл 597-4444 597-3512 факс
Карты доступа / системы сигнализации 597-4970 / 4033
Служба сопровождения, Хопкинс Холл 597-4400
Офицеры и диспетчеры 597-4444
Секретарь, удостоверения личности 597-4343
Коммутатор 597-3131
Центр развития творческого сообщества, 66 Stetson Court 884-0093
Центр экономики развития, 1065 Main St 597-2148 597-4076 факс
Компьютерный зал 597-2522
Вестибюль 597-4383
Центр экологических исследований, класс 1966 г. Экологический центр 597-2346 597-3489 факс
Лаборатория наук об окружающей среде, Морли 597-2380
Экологические исследования 597-2346
Лаборатория ГИС 597-3183
Центр иностранных языков, литератур и культур, Холландер 597-2391 597-3028 факс
Арабоведение, Холландер 597-2391 597-3028 факс
Сравнительная литература, Холландер 597-2391
Критические языки, Холландер 597-2391 597-3028 факс
Языковой кабинет 597-3260
Россия, Холландер 597-2391
Центр обучения в действии, Brooks House 597-4588 597-3090 факс
Библиотека редких книг Чапина, Сойер 597-2462 597-2929 факс
Читальный зал 597-4200
Офис капелланов, Парески 597-2483 597-3955 факс
Еврейский религиозный центр, Стетсон-Корт 24, 597-2483
Мусульманская молельная комната, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень) 597-2483
Химия, Thompson Chemistry 597-2323 597-4150 факс
Классика (греческий и латинский), Hollander 597-2242 597-4222 факс
Когнитивная наука, Бронфман 597-4594
Маршал колледжа, Thompson Physics 597-2008
Отношения с колледжем 597-4057
Программа 25-го воссоединения, Фогт 597-4208 597-4039 факс
Программа 50-го воссоединения, Фогт 597-4284 597-4039 факс
Операции по развитию, Мирс-Уэст 597-4154 597-4333 факс
Мероприятия для выпускников, Vogt 597-4146 597-4548 факс
Фонд выпускников 597-4153 597-4036 факс
Связи с выпускниками, Мирс-Уэст 597-4151 597-4178 факс
Почтовые службы для выпускников / разработчиков, Мирс-Уэст 597-4369
Девелопмент, Vogt 597-4256
Отношения с донорами, Vogt 597-3234 597-4039 факс
Офис по планированию подарков, Vogt 597-3538 597-4039 факс
Grants Office, Mears West 597-4025 597-4333 факс
Программа крупных подарков, Vogt 597-4256 597-4548 факс
Parents Fund, Vogt 597-4357 597-4036 факс
Prospect Management & Research, Mears 597-4119 597-4178 факс
Начало занятий и академические мероприятия, Jesup 597-2347 597-4435 факс
Коммуникации, Хопкинс Холл 597-4277 597-4158 факс
Sports Information, Hopkins Hall 597-4982 597-4158 факс
Веб-команда, Саутвортская школа
Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall 597-4278
Компьютерные науки, Thompson Chemistry 597-3218 597-4250 факс
Conferences & Events, Парески 597-2591 597-4748 факс
Запросы Elm Tree House, Mt.Ферма Надежды, 597-2591
Офис контролера, Хопкинс Холл 597-4412 597-4404 факс
Счета к оплате и ввод данных, Хопкинс-холл 597-4453
Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall 597-4396
Financial Information Systems, Hopkins Hall 597-4023
Purchasing Cards, Hopkins Hall 597-4413
Студенческие ссуды, Хопкинс Холл 597-4683
Dance, 62 Центр 597-2410
Центр Дэвиса (ранее Мультикультурный центр), Дженнесс 597-3340 597-3456 факс
Харди Хаус 597-2129
Jenness House 597-3344
Райс Хаус 597-2453
Декан колледжа, Хопкинс-холл 597-4171 597-3507 факс
Декан факультета Хопкинс Холл 597-4351 597-3553 факс
Столовая, капельницы 597-2121 597-4618 факс
’82 Grill, Парески 597-4585
Булочная, Парески 597-4511
Общественное питание, факультет 597-2452
Driscoll Dining Hall, Дрисколл 597-2238
Eco Café, Научный центр 597-2383
Grab ‘n Go, Парески 597-4398
Lee Snack Bar, Парески 597-3487
Обеденный зал Mission Park, Mission Park 597-2281
Whitmans ‘, Парески 597-2889
Экономика, Шапиро 597-2476 597-4045 факс
Английский, Холландер 597-2114 597-4032 факс
Сооружения, сооружения, служебное здание 597-2301
Запрос на получение автомобиля в колледже 597-2302
Экстренная ситуация вечером / в выходные дни 597-4444
Запросы на работу производственных помещений 597-4141 факс
Особые мероприятия 597-4020
Кладовая 597-2143 597-4013 факс
Клуб преподавателей, Дом факультетов / Центр выпускников 597-2451 597-4722 факс
Бронирование 597-3089
Fellowships Office, Hopkins Hall 597-3044 597-3507 факс
Financial Aid, Weston Hall 597-4181 597-2999 факс
Geosciences, Clark Hall 597-2221 597-4116 факс
Немецко-русский, Hollander 597-2391 597-3028 факс
Глобальные исследования, Холландер 597-2247
Программа магистратуры по истории искусств, Кларк 458-2317 факс
Службы здравоохранения и хорошего самочувствия, Thompson Ctr Health 597-2206 597-2982 факс
Медицинское просвещение 597-3013
Услуги интегративного благополучия (консультирование) 597-2353
Чрезвычайные ситуации с опасностью для жизни Позвоните 911
Медицинские услуги 597-2206
История, Холландер 597-2394 597-3673 факс
История науки, Бронфман 597-4116 факс
Хопкинс Форест 597-4353
Центр Розенбурга 458-3080
Отдел кадров, B&L Building 597-2681 597-3516 факс
Услуги няни, корпус B&L 597-4587
Льготы 597-4355
Программа помощи сотрудникам 800-828-6025
Занятость 597-2681
Заработная плата 597-4162
Ресурсы для супруга / партнера 597-4587
Занятость студентов 597-4568
Погодная линия (ICEY) 597-4239
Humanities, Schapiro 597-2076
Информационные технологии, Jesup 597-2094 597-4103 факс
Пакеты для чтения курса, Drop Box для офисных услуг 597-4090
Центр ссуды на оборудование, Додд Приложение 597-4091
Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [электронная почта] 597-4090
Медиауслуги и справочная информация в классе 597-2112
Служба поддержки студентов, [электронная почта] 597-3088
Телекоммуникации / телефоны 597-4090
Междисциплинарные исследования, Hollander 597-2552
Международное образование и учеба, Хопкинс-холл 597-4262 597-3507 факс
Инвестиционный офис, Хопкинс Холл 597-4447
Офис в Бостоне 617-502-2400 617-426-5784 факс
Еврейские исследования, Мазер 597-3539
Справедливость и закон, Холландер 597-2102
Latina / o Studies, Hollander 597-2242 597-4222 факс
Исследования лидерства, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
Морские исследования, Бронфман 597-2297
Математика и статистика, Bascom 597-2438 597-4061 факс
Музыка, Бернхард 597-2127 597-3100 факс
Concertline (записанная информация) 597-3146
Неврология, Thompson Biology 597-4107 597-2085 факс
Окли Центр, Окли 597-2177 597-4126 факс
Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл 597-4376 597-4015 факс
Управление счетов студентов, Хопкинс-холл 597-4396 597-4404 факс
Performance Studies, ’62 Center 597-4366
Философия, Шапиро 597-2074 597-4620 факс
Физика, Thompson Physics 597-2482 597-4116 факс
Планетарий / Обсерватория Хопкинса 597-3030
Театр старой обсерватории Хопкинса 597-4828
Бронирование 597-2188
Политическая экономия, Шапиро 597-2327
Политология, Шапиро 597-2168 597-4194 факс
Офис президента, Хопкинс-холл 597-4233 597-4015 факс
Дом Президента 597-2388 597-4848 факс
Услуги печати / почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House 597-2022
Программа обучения, Бронфман 597-4522 597-2085 факс
Офис Провоста, Хопкинс Холл 597-4352 597-3553 факс
Психология, психологические кабинеты и лаборатории 597-2441 597-2085 факс
Недвижимость, B&L Building 597-2195 / 4238 597-5031 факс
Ипотека для преподавателей / сотрудников 597-4238
Арендное жилье для преподавателей / сотрудников 597-2195
Офис регистратора, Хопкинс Холл 597-4286 597-4010 факс
Религия, Холландер 597-2076 597-4222 факс
Romance Languages, Hollander 597-2391 597-3028 факс
Планировщик помещений 597-2555
Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 Дом 597-3003
Библиотека Сойера, Сойер 597-2501 597-4106 факс
Службы доступа 597-2501
Приобретения / Серийные номера 597-2506
Службы каталогизации / метаданных 597-2507
Межбиблиотечный абонемент 597-2005 597-2478 факс
Исследовательские и справочные службы 597-2515
Стеллаж 597-4955 597-4948 факс
Системы 597-2084
Научная библиотека Schow, Научный центр 597-4500 597-4600 факс
Исследования в области науки и технологий, Бронфман 597-2239
Научный центр, Бронфман 597-4116 факс
Магазин электроники 597-2205
Машинно-модельный цех 597-2230
Безопасность 597-4444
Специальные академические программы, Харди 597-3747 597-4530 факс
Sports Information, Hopkins Hall 597-4982 597-4158 факс
Студенческая жизнь, Парески 597-4747
Планировщик помещений 597-2555
Управление студенческими центрами 597-4191
Организация студенческих мероприятий 597-2546
Студенческий дом, Парески 597-2555
Вовлеченность студентов 597-4749
Программы проживания для старших классов 597-4625
Студенческая почта, Паресский почтовый кабинет 597-2150
Устойчивое развитие / Центр Зилха, Харпер 597-4462
Коммутатор, Хопкинс Холл 597-3131
Книжный магазин Уильямса 458-8071 458-0249 факс
Театр, 62 Центр 597-2342 597-4170 факс
Trust & Estate Administration, Sears House 597-4259
Учебники 597-2580
вице-президент по кампусной жизни, Хопкинс-холл, 597-2044 597-3996 факс
Вице-президент по связям с колледжем, Мирс 597-4057 597-4178 факс
Вице-президент по финансам и администрированию, Hopkins Hall 597-4421 597-4192 факс
Центр визуальных ресурсов, Лоуренс 597-2015 597-3498 факс
Детский центр Williams College, Детский центр Williams 597-4008 597-4889 факс
Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс 597-2429 597-5000 факс
Подготовка музея 597-2426
Служба безопасности музея 597-2376
Музейный магазин 597-3233
Уильямс Интернэшнл 597-2161
Williams Outing Club, Парески 597-2317
Оборудование / стол для студентов 597-4784
Проект Уильямса по экономике высшего образования, Мирс-Вест 597-2192
Williams Record, Парески 597-2400 597-2450 факс
Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет 011-44-1865-512345
Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum 860-572-5359 860-572-5329 факс
Исследования женщин, гендера и сексуальности, Schapiro 597-3143 597-4620 факс
Написание программ, Хопкинс-холл 597-4615
Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер 597-4462

Инженерная математика: Изучите дифференциальные уравнения

Что, если бы я сказал вам, что существует концепция инженерной математики : Дифференциальные уравнения, , которая настолько универсальна во всем, что мы делаем, что она почти обязательна хотя бы знать, что это такое, если не владеть им? Вы мне поверите? Кроме того, что, если бы я добавил, что эта концепция чаще всего ассоциируется с инженерной математикой , но ее можно найти в экономике, развитии технологий и так далее? Как насчет сейчас? Что ж, такая концепция действительно существует, и она называется дифференциальными уравнениями, которая широко используется в инженерной математике .В этом курсе «Инженерная математика: Дифференциальные уравнения» мы будем выяснять и решать дифференциальные уравнения – читайте дальше, если я вас заинтересовал.

В чем смысл решения дифференциальных уравнений?

Если математика – это последнее, что в этом мире ассоциируется со словом «развлечение», вы, вероятно, не очень обрадуетесь, узнав, что обыкновенные дифференциальные уравнения можно найти почти везде и где угодно в нашей повседневной жизни. Вдобавок ко всему, во многих местах, предлагающих карьерные возможности, на самом деле очень важно знать процессы решения дифференциальных уравнений, будь то однородные дифференциальные уравнения или другие.Но почему это понятие так важно? Какой смысл знать разницу между разделимыми дифференциальными уравнениями и обыкновенными? Что ж, различия на самом деле довольно заметны.

Проще говоря, обыкновенные дифференциальные уравнения – это математические уравнения, которые используются для связи функций с их производными. Функции обычно представляют собой какую-то физическую величину, а производные обозначают скорость изменения. Уравнение используется для определения отношения между этими двумя.Как вы, наверное, догадались, эти типы отношений чрезвычайно распространены во всех сферах жизни (биология, химия, экономика) – вот почему очень важно знать методы решения дифференциальных уравнений – однородные дифференциальные уравнения, разделяемые дифференциальные уравнения и все, что связано с между.

Почему этот курс?

Хорошо, я доказал вам, что знание методов решения дифференциальных уравнений важно – но почему вы должны получать эту информацию от меня? Почему бы не выбрать другое руководство? Что ж, я преподаю математику в университете последние 15 лет – я опубликовал множество успешных рукописей и имею бесчисленный опыт решения дифференциальных уравнений.Я говорю все это не для того, чтобы хвастаться своими достижениями – я говорю это для того, чтобы вы поняли мою гарантию качества этого курса. Выбрав этот учебник, вы можете быть уверены, что получите информацию только самого высокого качества.

Вдобавок к этому, вы можете быть уверены, что, закончив этот курс дифференциальных уравнений, вы получите гораздо более широкое и глубокое понимание концепции дифференциальных уравнений (при условии, что вы, конечно, приложите усилия). Я научу вас шаг за шагом решать дифференциальные уравнения.Вам не нужен какой-либо предыдущий опыт работы в этой области, чтобы начать обучение с этого курса – мы возьмем все сверху, поэтому у вас будет возможность либо изучить все, либо пересмотреть его, в зависимости от ваших предыдущих навыков. Не упустите эту возможность – зарегистрируйтесь сегодня и изучите все методы решения дифференциальных уравнений!

Этот курс охватывает все области, связанные с инженерией, физикой, экономикой, прикладной химией, биоматематикой, медицинскими науками, затратами и менеджментом, банковским и финансовым сектором, коммерцией и бизнесом, технологиями и многими другими областями.

  • Благодаря широкому применению во всех сферах жизни, это самая актуальная и актуальная тема в современном мире. Он описывает физическое поведение объектов и скорость их изменения в особых обстоятельствах.

  • Я описал различные особенности и решения обыкновенных уравнений и уравнений в частных производных вместе с преобразованием Лапласа.

  • Курс имеет свою ценность с точки зрения его применения и преподавания во всех областях.

  • Степень и порядок дифференциального уравнения

  • Разделение переменных и различные примеры вместе с деталями

  • Решения однородных и неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка

  • Решения точных дифференциальных уравнений

  • Решения неточно дифференциальных уравнений

  • Интегрирующий коэффициент

  • Решения дифференциальных уравнений первого порядка по ортогональным траекториям

  • Решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка

  • Решения дифференциальных уравнений высшего порядка

  • Преобразование Лапласа и его приложение

  • Производные

  • Функции нескольких переменных

  • Производные n-го порядка

Гарантия возврата денег

Это не похоже на то, что я зря потратил время где-нибудь на курсе.Я даю вам подлинные презентации содержания курса. Поэтому я обещаю вам, что вы не потратите зря свои деньги. Также Udemy имеет 30-дневную гарантию возврата денег, и если вы чувствуете, что курс не такой, как вы искали, вы можете вернуть свои деньги.

ЧТО СПРАШИВАЮТ О МОИХ КУРСАХ

Вот некоторые отзывы студентов о моих курсах.

1- Brava Man: Отличный курс !!

Преподаватель очень хорошо осведомлен и подробно и методично излагает концепции квантовой физики.

Мы рассмотрели такие аспекты, как исследование и внедрение, на примерах, которым мы можем следовать в дополнение к реальным математическим задачам, которые нам предлагают решить.

2- Манокаран Масикова: Это хороший курс для изучения квантовой механики с базового уровня, и он объяснил на примерах, чтобы понять концепцию.

3- Д-р Б. Баскаран: очень приятно участвовать в курсе, а также очень интересно и полезно.

4- Машрур Бхуйян: Ну, в настоящее время я студент инженерного факультета и забыл основы своего исчисления.но этот курс помог мне получить хорошее представление о дифференциации и интеграции. В целом метод обучения хорош.

5- Kaleem Ul Haq: Действительно отличные объяснения, и каждый шаг хорошо объясняет. Мне нравится этот курс. Он знакомый преподаватель математического анализа. Я видел много лекций этого инструктора перед тем, как пройти этот курс.

Надеюсь, вы присоединитесь ко мне в этом курсе

AD CHAUHDRY

Дифференциальные уравнения – История и обзор | Хесус Наджера

Математики и физики часто не во всем согласны.Одна неопровержимая истина, которая, кажется, пронизывает каждую тему STEM и объединяет обе стороны, однако, это принципиальное убеждение, что анализ динамических отношений между отдельными компонентами приводит к большему пониманию системы в целом. В отличие от более абстрактных тем, исследуемых в этой серии, таких как теория логики, теория чисел и теория множеств, мы сейчас переходим к универсально применимому миру измерения и интерпретации изменений .

Дифференциальные уравнения – это раздел математики, который начинается с одного или нескольких записанных наблюдений за изменением и заканчивается одной или несколькими функциями, которые предсказывают будущие результаты. Алгебраическое уравнение , такое как квадратное уравнение, решается со значением или набором значений; Дифференциальное уравнение , напротив, решается с помощью функции или класса функций. «DFQ» для краткости, практически все программы бакалавриата STEM квалифицируют его как основное требование по простой причине: DFQ – фантастический инструмент для моделирования ситуаций в любой области или отрасли.

Первоначально опубликовано в Setzeus

В реальных приложениях модели обычно включают объекты и зарегистрированные скорости изменения между ними (производные / дифференциалы) – цель DFQ – определить общую взаимосвязь между ними. Системы такого типа чрезвычайно распространены в явлениях природы, и именно поэтому DFQ играет важную роль в самых разных областях, от физики до экономики и биологии.

Учитывая его долговечность и длительное влияние как основную часть репертуара любого математика или ученого, неудивительно, что история DFQ довольно плотная.Как мы вскоре увидим, современный DFQ – это результат многовековых усовершенствований, многие из которых носят нарицательный характер. Однако это совместное, постепенное продвижение к устоявшейся ветви стало возможным только благодаря двум гигантам математики: Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу.

Как показывает история, оба человека спорно утверждали, что независимо друг от друга изобрели исчисление примерно в один и тот же период времени. Это ключевой момент, поскольку исчисление с буквальным развитием интегралов и производных заложило основу для будущих математиков.

Неопределенность определения точных моментов происхождения является результатом множества факторов, таких как общая аура конкуренции / секретности и своевременность частных публикаций (некоторые записи были обнаружены только спустя десятилетия). Одно можно сказать наверняка: они оба заслуживают уважения за происхождение DFQ, как видно из следующих примеров.

Предположительно еще в 1671 году Ньютон в грубых неопубликованных заметках выдвинул следующие три «типа» дифференциальных уравнений:

Первые два уравнения выше содержат только обыкновенные производные или нескольких зависимых переменных; сегодня они называются обыкновенными дифференциальными уравнениями .Последнее уравнение содержит частные производные зависимых переменных, таким образом, номенклатура, уравнений в частных производных . Обратите внимание, оба этих термина являются современными ; , когда Ньютон, наконец, опубликовал эти уравнения (около 1736 г.), он первоначально назвал их « флюксий ».

Примерно в тот же период времени (~ 1675 г.) немецкий математик Готфрид Лейбниц, также в неопубликованных заметках, представил две ключевые идеи: свой собственный дифференциал и самый первый зарегистрированный экземпляр интегрального символа:

Несмотря на раннее происхождение этих идей сейчас -открытые черновики, математическое сообщество впервые услышит об этой теме в ближайшие двадцать лет (~ 20).В частности, в 1693 году и Лейбниц, и Ньютон , наконец, , официально опубликовали и распространили решения своих дифференциальных вопросов, отметив 1693 год как зарождение дифференциальных уравнений как отдельной области математики.

Готфрид Вильгельм Лейбниц и Исаак Ньютон

С заложенными основами путь к DFQ был медленным и устойчивым – попытки решить физические проблемы постепенно привели к созданию моделей, которые, в свою очередь, требовали инновационных решений. Эти проблемы и их решения привели к росту независимой дисциплины.Усилия сообщества быстро ускорили эволюцию этой области, несмотря на вклад Ньютона и Лейбница.

Ниже приведен список как исторически значимых проблем DQF, так и математика с атрибутами, опубликовавшего удовлетворительное решение:

Приведенный выше список является лишь фрагментом всех проблем, способствующих DFQ; однако даже этот сокращенный список подчеркивает уровень математиков, которые внесли свой вклад в отрасль, которая считается одной из основ STEM. Из таких узнаваемых имен, как Лагранж, Эйлер и Бернулли, а также по оригиналам Ньютон и Лейбниц, при свете дня становится ясно, насколько важны математики для дальнейшего развития DFQ.

В этой серии

Когда дело доходит до анализа реального мира, DFQ – это реальное дело. Предсказание химических реакций с помощью уравнений полураспада, прогнозирование подсчета культур экосистемы с ростом населения или описание траектории волн – базовое понимание DFQ является обязательным для любого, кто серьезно интересуется карьерой в STEM.

Куда мы идем дальше? Во-первых, чтобы изучить нотацию DFQ и просмотреть различные типы заказов. Далее мы рассмотрим механику Лагранжа и уравнения движения.После этого мы рассмотрим одну из самых важных формул прикладной математики: преобразование Лапласа. И, наконец, мы исследуем область теплового потока глазами Жозефа Фурье.

Источники

Дифференциальные уравнения

Персональный сайт Сетцеуса

Дифференциальные уравнения – краткий курс

[Дифференциальная диагностика первичной и вторичной математической неспособности к обучению – показания теста на дискалькурию Basis-Math 4–8]

Исследования детей с AD (H) D без нарушения математической способности к обучению (MLD), а также исследования влияния метилфенидата на арифметику показали, что большинство недостатков в математике и большинство типов ошибок, обычно описываемых как специфические для дискалькулии развития (например,g., подсчет пальцев, дефицит поиска фактов, сложный подсчет, трудности с процедурами переноса / заимствования, самокоррекции) не могут быть классифицированы как таковые и, следовательно, не должны использоваться для дифференциальной диагностики первичной дискалькулии и вторичной MLD. В этой статье предлагается использовать общий балл в тесте на дискалькулию Basis-Math 4-8 (Moser Opitz et al., 2010), а также неправдоподобные ошибки вычитания в качестве маркера дискалькулии и количества самокоррекций, сделанных во время теста, в качестве критерия. когнитивный маркер дефицита внимания.Иерархический кластерный анализ был рассчитан на выборке из 51 клинически направленного ребенка с нормальным IQ и подозрением на MLD с использованием IQ, количества лет обучения, общего балла Basis-Math 4–8 и количества самокоррекций в этом тесте в качестве переменных. Результаты выявили подгруппу с первичной дискалькулией, а также три подгруппы с вторичным MLD (две с синдромом дефицита внимания с гиперактивностью, одна с депрессией и одна небольшая подгруппа с высоким IQ).

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *