Дифференциал математика это: Недопустимое название | Математика | Fandom - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

8. Дифференциал функции

8		157

Рассмотренные нами понятия приращения и производной функции тесно связаны с понятием ее дифференциала, к изучению которого мы сейчас приступаем.

8.1. Определение дифференциала функции

Ïî определению 6.1.1 (см. стр. 73) производная функции y = f(x) в некоторой фик-

сированной точке x находится по формуле

f 0(x) = lim 4f .

4x→0 4x

Применяя лемму 4.11.1 (см. стр. 53), получаем отсюда

44fx = f 0(x) + α(4x),

ãäå α(4x) бесконечно малая функция при 4x → 0.

Умножая последнее равенство на 4x, получаем формулу для приращения функции

4f = f 0(x)4x + α(4x)4x.

Эта формула показывает, что приращение функции 4f представимо в виде суммы

двух слагаемых. Первое из них и называется дифференциалом функции y = f(x)

в точке x.

Определение 8. 1.1.

Дифференциалом df функции y = f(x) в некоторой фиксированной точке

x называется главная (линейная по 4x) часть приращения этой функции 4f, которая находится по формуле

df = f 0(x)4x.

Замечания.

1.Приращение аргумента 4x это просто некоторая переменная величина, имею-

щая числовые значения. В определении дифференциала, в отличие от определения производной, не требуется, чтобы эта величина стремилась к нулю.

Дифференциал функции

158

2.Легко видеть, что зависимость дифференциала df от приращения независимой переменной 4x является линейной. А вот зависимость от 4x второго слагаемого α(4x)4x в формуле для приращения функции является нелинейной. Ис-

пользуя определение 4.3.2 (см. стр. 38), нетрудно убедиться, что при 4x → 0 второе слагаемое является бесконечно малой функцией, порядок которой выше порядка 4x. Именно по этой причине дифференциал называют главной частью приращения функции.

3.Дифференциал функции в точке x существует лишь при условии, что в этой точке существует ее производная y = f 0(x) (ñì. пример 6.1.3 íà ñòð. 75).

4.Для простоты мы опустили в этом определении требование, чтобы функция f(x)

была определена на некотором интервале (a, b), содержащем точку x. Îíî íåîá-

ходимо, чтобы мы имели право рассматривать значение функции в точке x+4x.

Найдем дифференциал функции f(x) = x. Используя определение 8.1.1, получаем

df = dx = x 04x = 4x. Но это означает, что дифференциал независимой переменной

совпадает с ее приращением: dx = 4x. С учетом этого факта формулу для дифференциала функции можно записать в виде

df = f 0(x)dx.

Такая форма представления дифференциала функции является наиболее удобной и ча- ще всего используется в математике.

Отметим еще, что последняя формула указывает на тесную связь дифференциала функции и ее производной. Это и является причиной того, что термин “дифференцирование” нередко используется и когда требуется найти производную функции, и когда нужно найти ее дифференциал.

По этой же причине раздел математического анализа, в котором изучаются дифференциалы и производные, называется дифференциальным исчислением.

Рассмотрим простейшие примеры на отыскание дифференциалов.

Пример 8.1.1.

Пусть f(x) = x3. Тогда df = f 0(x)dx = 3x2dx.

Дифференциал функции					159
Пример 8.1.2.
Пусть	f(x) = x3 − 3×2 + 3x. Тогда df = (3×2 − 6x + 3)dx = 3(x − 1)2dx.
Пример 8.1.3.
	√					x
Пусть		2		Тогда		x
Пусть		2		Тогда
	f(x) =	1 + x	.		df = √1 + x2 dx.
Пример 8.1.4.
Пусть	f(x) = ln cos x. Тогда				df = − tg xdx.

8.2. Свойства дифференциала

Основные правила вычисления дифференциала функции фактически ничем не отли- чаются от правил вычисления производной:

1.	dc = 0, åñëè c = const.
2.	d(u ± v) = du ± dv.
3.	d(uv) = vdu + udv.
4.	d	u	=	vdu − udv	.

	v			v2

Доказательства этих правил тривиальны. Так, например, формула для дифференциала произведения доказывается следующим образом.

d(uv) = (uv) 0dx = (u 0v + uv 0)dx = vu 0dx + uv 0dx = vdu + udv.

8.3. Геометрический смысл дифференциала

Рассматривая геометрический смысл производной функции (см. ðèñ. 6.2.2 на стр. 77), мы доказали, что тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной к графику функ-

öèè y = f(x), проведенной в точке с координатами (x, f(x)), совпадает со значением

производной данной функции в этой точке, т. е. tg α = f 0(x).

Учитывая, что df = f 0(x)4x, мы можем заключить (см. рис. 8.3.1), что дифференциал

функции в точке x равен приращению функции в этой точке, которое получается, если

Дифференциал функции	160
участок кривой y = f(x) на отрезке	[x, x + 4x] заменить касательной к этой кривой,
проведенной в точке с координатами	(x, f(x)).

Отметим, что при такой замене мы допускаем погрешность, которая равна α(4x)4x.

Она будет тем меньше по абсолютной величине, чем меньше будет величина 4x. Ïðè

4x → 0 эта погрешность является бесконечно малой величиной, порядок которой выше порядка 4x.

Рис. 8.3.1. Геометрический смысл дифференциала функции.

8.4. Рекомендации

Студентам, испытывающим серьезные трудности при изучении курса высшей математики, рекомендуется в первую очередь разобрать следующие вопросы.

1.Дать определение дифференциала функции.

2.Какова связь между дифференциалом функции и ее производной?

§ 2. Дифференциал функции

§ 2. Дифференциал функции

Рассмотрим функцию у = х³. Дадим некоторому значению аргумента х ¹ 0 приращение Dх ¹ 0, тогда функция получит соответствующее приращение Dу. Вычислим его.

Dу = (х+Dх)³-х³= х³+3х²Dх+3х(Dх)²+(Dх)³-х³= =3х²Dх+(3х(Dх)²+(Dх)³).

Приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: 3х²Dх – линейного относительно Dх и 3х(Dх)²+(Dх)³– нелинейного относительно Dх. При Dх®

0 оба слагаемых, очевидно, являются бесконечно малыми. Однако второе слагаемое является бесконечно малой более высокого порядка, чем первое. Действительно, .

Обозначим 3х(Dх)²+(Dх)³= 0(Dх). Таким образом, Dу = 3х²Dх+0(Dх). При малых Dх получаем: Dу»3х²Dх.

Определение. Пусть приращение Dу функции

y = f(x) в точке х можно представить в виде

Dу = АDх+0(Dх), (1)

где Dх – приращение аргумента; А- величина, не зависящая отDх; 0(Dх) – бесконечно малая более высокого порядка, чем Dх при Dх®0, то есть . Тогда главная часть приращения (1) функции А×Dх, линейная относительно Dх, называется дифференциалом функции в точке х и обозначается dy. Итак, по определению dy = А×Dх.

Теорема 1. (О связи между существованием производной и существованием дифференциала). Для того, чтобы функция y = f(x) имела в точке х дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х дифференциал. Это означает, что ее приращение в этой точке можно представить в виде: Dу = АDх+0(Dх). Разделим обе части последнего равенства на Dх и перейдем к пределу при Dх®0. Получим . Но , следовательно, существует и. Отметим, что выражение дифференциала функции принимает вид: dy =f'(x) Dx.

Достаточность. Пусть функция y = f(x) имеет в точке х производную . По свойству предела функции , где – бесконечно малая функция при Dх®0. Умножим обе части последнего равенства на Dх, получим . Действительно, . Мы получили: , что и означает, что функция y = f(x) имеет в точке х дифференциал dy = f’(x) Dx.Теорема доказана.

Замечание. Рассмотрим функцию у = х. Ее дифференциал равен:

dy = dx = x’Dx = Dx. Таким образом, дифференциал независимой переменной равен ее приращению dx = Dx. Тогда выражение дифференциала функции можно записать в виде: dy = f’(x) dx. Заметим, что .

Свойства дифференциала

1. Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые в точке х функции. Тогда в точке х имеют место следующие формулы:

d(u±v) = du ±dv

d(uv) = udv+vdu

(при условии, что V(x) ¹ 0)

Эти формулы следуют из определения дифференциала и свойств производной.

Пример. y = x³sin2x. Найти dy.

dy = (3x²sin2x+2x³cos2x)dx

2. Инвариантность формы дифференциала

Получена формула: dy = f’(x) dx для функции y = f(x), где х – независимая переменная. Пусть теперь y = f(x) и х = g(t), то есть у является сложной функцией t: у = f(g(t)). Тогда dy = y’_tdt. По правилу дифференцирования сложной функции имеем y’_t= y’_xx’_t. Отсюда dy = y’_xx’_tdt = y’_xdx = f’(x)dx, так как x’_tdt = dx. Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где х = g(t), имеет такой же вид dy = f’(x) dx, как и дифференциал функции y = f(x), где х – независимая переменная.

Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Дифференциалы высших порядков

Рассмотрим дифференцируемую функцию независимой переменной y = f(x). Дифференциал этой функции dy = f’(x)dx зависит от х и dx = Dх. Приращение dx от х не зависит, так как приращения в данной точке х можно выбирать независимо от этой точки. Рассматривая dy = f’(x)dx только как функцию от х (то есть считая dx постоянным), можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала данной функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка и обозначается символом d²у или d² f(x). Таким образом, по определению d²у = d(dу). Вычислим второй дифференциал функции y = f(x).

Итак,

Аналогично определяются и вычисляются дифференциалы третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, дифференциалом n – го порядка или n-м дифференциалом функции y = f(x) называется дифференциал от ее (n-1) – го дифференциала: dⁿy = d(d^n-1y). Легко установить, что dⁿy = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. Дифференциал dy называют дифференциалом первого порядка. Из последней формулы следует .

Замечание. Для сложной функции форма дифференциала dⁿy при n>1 не обладает свойством инвариантности, а значит и . Однако часто и для сложной функции f⁽ⁿ⁾(x) обозначают , понимая не как отношение дифференциалов, а как символ, обозначающий f⁽ⁿ⁾(x).

дифференциальных уравнений: Том 1 – 10-часовой курс | Репетитор по математике DVD

домашний
Продукты
DVD-диски Diff Equ
Дифференциальные уравнения: Том 1 – 1 . . .

Цена по прейскуранту [DVD] 49,99 долл. США
Наша цена [DVD] 27,99 долл. США
Вы экономите 22,00 долл. США 44%

Учитесь, решая задачи шаг за шагом.
Быстро улучшить навыки и повысить оценки.
Узнайте о нашей гарантии возврата денег!

Trustpilot

Этот курс доступен для загрузки

Цена загрузки: 27,99 $

Диск 1
Раздел 1: Что такое дифференциальное уравнение?
Раздел 2: Решение элементарных дифференциальных уравнений [ Посмотреть пример урока ]
Раздел 3: Разделение переменных Метод решения

Диск 2
Раздел 4: Изменение параметров первого порядка, часть 1 [ View Sample Lesson ]
Раздел 5: Изменение параметров первого порядка, часть 2 Уравнения. 0024
Раздел 10: Приложения — Закон охлаждения Ньютона
Раздел 11: Приложения — Проблемы с цепями, часть 1
Раздел 12: Приложения — Проблемы с цепями, часть 2

Нажмите на любое изображение, чтобы увидеть его в полном размере Отображаются совпадения с 1 по 4 из 4 найденных.

экран 4

экран 3

экран 2

экран 1

Обзор курса
Дифференциальные уравнения используются во всех областях техники и науки. По сути, как только студент начинает изучать более сложные задачи, природа обычно подчиняется дифференциальному уравнению, что означает, что уравнение включает одну или несколько производных неизвестной переменной.

Другими словами, дифференциальное уравнение включает скорость изменения переменной, а не саму переменную. Самый простой пример этого — F=ma. «а» — это ускорение, которое является второй производной от положения объекта. Хотя дифференциальные уравнения могут показаться простыми для решения простым интегрированием, они часто требуют сложных методов решения, состоящих из многих шагов.

Этот 10-часовой курс на DVD учит, как решать дифференциальные уравнения первого порядка, используя полностью проработанные примеры задач. Все промежуточные этапы показаны вместе с графическими методами и приложениями дифференциальных уравнений в науке и технике.

Цена по прейскуранту [DVD] 49,99 долл. США
Наша цена [DVD] 27,99 долл. США
Вы экономите 22,00 долл. США 44%
Дифференциальные уравнения

COSAM » Отделы » Математика и статистика » Исследовать ” Области исследований » Дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение — это математическое уравнение, связывающее некоторую функцию с ее производными. В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорость их изменения, а уравнение определяет взаимосвязь между ними. Поскольку такие отношения чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения играют заметную роль во многих дисциплинах, включая инженерию, физику, экономику и биологию. В чистой математике дифференциальные уравнения изучаются с нескольких разных точек зрения, в основном связанных с их решениями — набором функций, удовлетворяющих уравнению. Только простейшие дифференциальные уравнения решаются по явным формулам; однако некоторые свойства решений данного дифференциального уравнения могут быть определены без нахождения их точной формы.
Предстоящие семинары/мероприятия
Прошедшие семинары/мероприятия
Семинар по дифференциальным уравнениям DMS
05 июня 2019 г. 15:00
Parker Hall 250
Преподаватели
Сяоин (Мэгги) Хань
Профессор математики
Колледж наук и математики Заместитель декана по академическим вопросам
Пол Г.