9.4. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Переходим к изучению дифференциальных уравнений первого порядка, для которых известны способы нахождения их решений или интегралов. Одним из таких являются дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Дифференциальное уравнение вида
,
где правая часть есть произведение функции , зависящей только от x, на функцию , зависящую только от y, называют уравнением с разделяющимися переменными. Пусть . Тогда по правилу пропорции, поменяв местами и , получим
.
Интегрируя левую часть по y, а правую по x, получим общий интеграл данного уравнения .
В дальнейшем дифференциальное уравнение вида
будем называть дифференциальным уравнением с разделенными переменными (при имеется функция, зависящая только от x, а при функция, зависящая только от
Его общий интеграл: .
Пример 9.4.1. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Это дифференциальное уравнение с разделенными переменными, поэтому . Пусть , тогда . Получили общий интеграл, геометрически представляющий собой семейство окружностей радиуса С с центром в начале координат.
Уравнение вида
называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметричной форме.
Если и для любых x и y из области существования решения, то, разделив обе части уравнения на
, получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными
.
Используя свойство инвариантности дифференциала, проинтегрируем равенство . В результате получим выражение
,
являющееся общим интегралом дифференциального уравнения .
В тех точках, где или могут появиться другие решения уравнения . В самом деле, если x = x1 – корень уравнения , то, положив в
,
поскольку и . Следовательно, x = x1 – решение уравнения . Аналогично, если y1 – корень уравнения , то y = y1 – решение уравнения .
Пример 9.4.2. Решить уравнение .
Решение. Разделим обе части на произведение . Тогда (в этом примере константу удобно выбрать в виде ln C). Отсюда получаем , тогда общее решение данного уравнения. Кроме него решениями этого уравнения являются функции x
К уравнениям с разделяющимися переменными приводятся уравнения вида
.
Введем замену . Тогда , а (предполагаем ) и уравнение принимает вид
. После взятия интеграла необходимо вместо z подставить .
Если b=0, получаем уравнение , которое является уравнением с разделенными переменными,
.
Определение 9.5.1. Функция называется однородной n-го порядка относительно переменных x
Пример 9.5.1. Функция есть однородная функция второго порядка, так как
.
Пример 9.5.2. Функция есть однородная функция нулевого порядка, так как
.
Определение 9.5.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка относительно x и y.
По условию . Положив в этом тождестве , получим , т.е. однородная функция нулевого порядка зависит только от отношения аргументов. Уравнение принимает вид
.
Сделаем подстановку , т.е. y = zx. Тогда . Подставляя в , получим
.
Это уравнение с разделяющимися переменными.
.
Подставляя после интегрирования , получим общий интеграл уравнения , а значит, и уравнения .
Пример 9.5.3. Решить уравнение .
Решение. В правой части имеется однородная функция нулевого порядка, так как . Пусть , y = zx, и наше уравнение принимает вид
. Отсюда, интегрируя, получаем . Подставляя , получим общий интеграл исходного уравнения .
Замечание. Дифференциальное уравнение вида
будет однородным в том и только том случае, когда и являются однородными функциями одного и того же порядка.
Действительно, из уравнения . Тогда . Уравнение можно решать подстановкой y = zx, dy = zdx + xdz, не приводя его к виду .
К однородным уравнениям сводятся уравнения вида
,
где a1, b1, c1, a2, b2, c2 – постоянные числа.
Для этого введем новые переменные t и S вместо x и y по формулам
, ,
где и – некоторые числа.
Тогда dx= dt, dy = dS, и уравнение принимает вид
.
Подберем числа и так, чтобы уравнение стало однородным. Для этого достаточно потребовать выполнение системы равенств:
Если определитель , то система имеет единственное решение и , при котором уравнение становится однородным, и которое решается подстановкой . После решения необходимо вернуться к х и у по формулам , .
Если , то, положив , получим , и тогда исходное уравнение принимает вид , т.е. имеет вид , которое подстановкой сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными, как было показано в 9.4.
Если же , то , , и уравнение принимает вид
, , ,
где . Тогда – общее решение .
Примеры решения таких уравнений показаны в практической части модуля.
Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися
переменными
Преподаватель естественнонаучных дисциплин Даниленко С.
Определение: Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х , искомую функцию у и её производные или дифференциалы.
Символически дифференциальное уравнение записывается так:
F(x, y, y’)=0, F(x, y, y’’)=0, …, F(x, y, y (n) )=0.
Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.
Определение: Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Определение: Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входят столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Определение: Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных.
Определение: Дифференциальным уравнением 1–го порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
Определение:
Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные , а затем проинтегрировать обе части уравнения
Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Интегрируем обе части уравнения:
Оба интеграла – табличные, следовательно
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения (1+y)dx=(x-1)dy
Решение . Разделив переменные, имеем
ln (x-1)=ln (1+y)+C → ln (x-1)=ln (1+y)+ln C
Общее решение: x-1=C (1+y)
Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения y dу = x dх; удовлетворяющее начальным условиям у=4 при х = – 2
Решение. Интегрируем обе части уравнения:
16=4 +C C = 12
.
Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали
Пример 4. Найти общее решение уравнения
Решение . Разделив переменные, имеем
Интегрируем обе части полученного уравнения:
Потенцируя последнее равенство, получим
х 2 =С(1+у 2 ).
Это и есть общее решение данного уравнения.
где f(x) и (х) – функции от х, называются линейными дифференциальными уравнениями 1-го порядка. В частном случае f(x) и (х) могут быть постоянными величинами.
Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки y=u z, где u и z – новые функции от х.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
Определение. Уравнение вида или
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а)
б)
2. Найти частное решение дифференциального уравнения (1+ y) dx = (1-x) dy; удовлетворяющее начальным условиям у=3 при х = – 2
Объяснение урока: Дифференциальные уравнения с разделителями
В этом объяснителе мы научимся находить и решать дифференциальные уравнения с разделителями.
Дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее функции с их производными, то есть уравнение, выражающее отношения между функциями и скоростью их изменения. Таким образом, дифференциальные уравнения чрезвычайно распространены в технике. и физика — многие фундаментальные законы физики выражаются в терминах дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение могут включать несколько функций, их производные, их вторые и более высокие производные и даже их частичные производные. В этом объяснении мы будем рассматривать только самый простой случай дифференциальных уравнений, который представляет собой случай одной функции в одна переменная и ее первая производная. Такие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка .
Рассмотрим уравнение дд𝑦𝑥=2𝑥.
Это пример обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. имеет частное решение — функцию 𝑦=𝑥, потому что первая производная от 𝑦=𝑥 действительно равна 2𝑥. Однако это не единственное решение уравнения. Действительно, любая функция вида 𝑦=𝑥+𝐶, где 𝐶 — постоянная, удовлетворяет дифференциальному уравнению dd𝑦𝑥=2𝑥. Уравнение 𝑦=𝑥+𝐶 называется общее решение дифференциального уравнения. Он представляет собой семейство решений, параметризуется 𝐶∈ℝ.
Поскольку решение дифференциального уравнения предполагает «избавление» от производной, неудивительно, что Основным средством решения дифференциальных уравнений является интегрирование. Мы будем рассматривать класс дифференциальных уравнений, для которых применение интеграции является относительно простым. отделимых обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка – это уравнение формы дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), в котором 𝑔(𝑥) — выражение чисто в 𝑥, а ℎ(𝑦) — это выражение чисто в 𝑦. Во-первых, заметим, что существует очевидное семейство решений этого уравнения в виде любая постоянная функция 𝑦=𝑎 (подразумевая, что dd𝑦𝑥=0), такая, что ℎ(𝑎)=0 (что делает дифференциальное уравнение верным). Эти решения называются равновесие решения дифференциального уравнения.
Чтобы найти неравновесные решения, предположим, что ℎ(𝑦)≠0, и разделим обе части на ℎ(𝑦), «разделив переменные», чтобы получить уравнение 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥). dd
Следующим шагом в решении дифференциального уравнения является интегрирование обеих частей этого уравнения по 𝑥: 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥𝑥=𝑔(𝑥)𝑥.dddd
Напомним, что правила интегрирования подстановкой говорят нам, что 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥𝑥=1ℎ(𝑦)𝑦.dddd
Итак, мы пришли к 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥.dd
Эта процедура выполняется, вообще говоря, для любого сепарабельного дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦). Резюмируем ситуацию в следующем фундаментальном факте.
Правило: общее решение разделимых дифференциальных уравнений
Если уравнение дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) верно и ℎ(𝑦)≠0, то уравнение 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥дд правда.
Теперь мы можем решить уравнение, вычислив интегралы. Давайте посмотрим на пример.
Рассмотрим уравнение дд𝑦𝑥=𝑥𝑦.
Это отделимое обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с 𝑔(𝑥)=𝑥 и ℎ(𝑦)=𝑦. Заметим, что 𝑦=0 является постоянным решением уравнения ℎ(𝑦)=0. Запишем это как равновесное решение dd𝑦𝑥=𝑥𝑦 и предположим, что ℎ(𝑦)≠0. Затем мы делим обе части на ℎ(𝑦)=𝑦, чтобы получить 1𝑦𝑦𝑥=𝑥.dd
По нашему общему правилу, приведенному выше, это дает интегральное уравнение 1𝑦𝑦=𝑥𝑥,дд которые мы можем вычислить. Не забывая о константах интегрирования, так как это неопределенные интегралы, имеем ln|𝑦|+𝐶=12𝑥+𝐶.
Поскольку 𝐶 и 𝐶 являются константами, мы собираемся вычесть 𝐶 с обеих сторон, чтобы сформировать новую константу 𝐶=𝐶−𝐶: ln|𝑦|=12𝑥+𝐶.
Это общее решение дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=𝑥𝑦. Однако это хорошо преобразовать наше решение в форму 𝑦=𝐹(𝑥), где 𝐹(𝑥) является некоторой функцией 𝑥, если мы можем. Итак, мы применяем экспоненциальную карту к обеим сторонам: |𝑦|=𝑒=𝑒𝑒.
Обратите внимание, что абсолютное значение вокруг 𝑦 указывает на то, что у нас есть два случая; а именно, 𝑦=𝑒𝑒,𝑦≥0,𝑦=−𝑒𝑒,𝑦0.
Мы объединяем эти два случая и устраняем абсолютное значение, определяя новую константу 𝐴=𝑒𝑦≥0,−𝑒𝑦0,ifif давая нам общее решение 𝑦=𝐴𝑒.
Итак, дифференциальное уравнение dd𝑦𝑥=𝑥𝑦 имеет частное равновесное решение 𝑦=0 и общее семейство решений 𝑦=𝐴𝑒, параметризованное 𝐴∈ℝ.
Давайте теперь рассмотрим немного более сложный пример.
Пример 1. Нахождение общего решения разделимого дифференциального уравнения
Решите дифференциальное уравнение dd𝑦𝑥=−5𝑥√𝑦.
Ответ
У нас есть общая процедура для решения таких отделимых дифференциальных уравнений, которая выглядит следующим образом:
- У нас есть отделимое уравнение в виде дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), поэтому мы сначала проверяем наличие равновесных решений в виде постоянных решений уравнения ℎ(𝑦)=0.
- Далее предположим ℎ(𝑦)≠0 и разделим на ℎ(𝑦): 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥).dd
- Затем мы интегрируем это уравнение, что дает 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥.dd
- Теперь вычисляем интеграл с обеих сторон, не забывая о константах интегрирования.
- Наконец, мы преобразуем полученное уравнение в форму 𝑦=𝐹(𝑥), если это возможно.
Имеем уравнение вида дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), с 𝑔(𝑥)=−5𝑥 и ℎ(𝑦)=√𝑦. Прежде чем продолжить, мы проверяем равновесные решения в виде постоянных решений ℎ(𝑦)=0 и видим, что мы имеем одно в виде из 𝑦=0. Мы запишем это на потом, а сейчас предположим, что 𝑦≠0. Теперь мы можем разделить обе части уравнение на ℎ(𝑦)=√𝑦: 1√𝑦𝑦𝑥=−5𝑥.dd
Далее составим интегральное уравнение 𝑦𝑦=−5𝑥𝑥,дд сделав изменение обозначения 1√𝑦=𝑦 для удобства. Теперь мы интегрируем 2𝑦+𝐶=−52𝑥+𝐶, объедините константы в правой части, чтобы получить 2𝑦=−52𝑥+𝐶, и разделить на 2, чтобы получить 𝑦=−54𝑥+𝐶.
Поскольку в вопросе не указано, в какой форме приводить наше решение, можно написать 𝑦=−54𝑥+𝐶 как общее решение дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=−5𝑥√𝑦 и 𝑦=0 как равновесное решение. Мы также можем написать 𝑦=−54𝑥+𝐶=2516𝑥−52𝐶𝑥+𝐶 как приемлемая форма общего решения.
В предыдущем примере нам дано разделимое дифференциальное уравнение в форме dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦). Не каждый отделимый дифференциал выглядит так; некоторая перестановка может быть сначала требуется, как в следующем примере.
Пример 2. Нахождение общего решения разделимого дифференциального уравнения
Решите дифференциальное уравнение dd𝑦𝑥+𝑦=1.
Ответ
Здесь мы имеем сепарабельное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка dd𝑦𝑥+𝑦=1 который не представлен нам в стандартной сепарабельной форме dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦). Процедура решения таких уравнений следующая:
- Сначала преобразуем уравнение в форму дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) и проверьте наличие равновесных решений в виде постоянных решений уравнения ℎ(𝑦)=0.
- Теперь предположим, что ℎ(𝑦)≠0 и разделим на ℎ(𝑦): 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥).dd
- Затем мы интегрируем это уравнение, что дает 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥.dd
- Теперь вычислим интеграл в обе стороны, не забывая о константах интегрирования.
- Наконец, мы преобразуем полученное уравнение в форму 𝑦=𝐹(𝑥), если это возможно.
Итак, наш первый шаг — преобразовать dd𝑦𝑥+𝑦=1 в форму dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦). Итак, давайте вычтем 𝑦 из обеих частей уравнения получить дд𝑦𝑥=1−𝑦.
Здесь имеем ℎ(𝑦)=(1−𝑦) и 𝑔(𝑥)=1. Мы видим, что 𝑦=1 решает ℎ(𝑦)=0 и является равновесным решением dd𝑦𝑥+𝑦=1.
Следующий шаг — предположить, что 𝑦≠1 и разделить на ℎ(𝑦)=(1−𝑦): 11−𝑦𝑦𝑥=1.dd
Теперь составим интегральное уравнение 11−𝑦𝑦=1𝑥дд и вычисляем неопределенные интегралы, не забывая о константах интегрирования: −|1−𝑦|+𝐶=𝑥+𝐶.ln
Мы хотим преобразовать это в форму 𝑦=𝐹(𝑥), где 𝐹(𝑥) — некоторая функция из 𝑥. Во-первых, мы умножаем все на −1 и определяем новую константу 𝐶=𝐶−𝐶: ln|1−𝑦|=−𝑥+𝐶.
Теперь применим экспоненту к обеим сторонам, чтобы получить 1−𝑦=𝑒, определить новых новых констант 𝐴=𝑒, чтобы получить 1−𝑦=𝐴𝑒, вычтите 1, чтобы получить −𝑦=𝐴𝑒−1, и, наконец, снова умножьте на −1, заметив, что 𝐴, будучи некоторым неопределенным числом, также может «поглотить» это −1, оставаясь неопределенным числом: 𝑦=𝐴𝑒+1.
Таким образом, 𝑦=𝐴𝑒+1 является нашим общим решением дифференциального уравнения dd𝑦𝑥+𝑦=1, а 𝑦=1 является равновесным решением.
Иногда мы сталкиваемся с сепарабельным дифференциальным уравнением, представленным таким образом, что его удобнее сразу преобразовать в форма 𝐻(𝑦)𝑦𝑥=𝐺(𝑥)дд а не сначала в форме dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦). Следующие примеры продемонстрировать это.
Пример 3. Нахождение общего решения разделимого дифференциального уравнения
Решите следующее дифференциальное уравнение: (𝑒−5)𝑦′=2+(𝑥)cos.
Ответ
В этом вопросе нам дано разделимое дифференциальное уравнение в форме, в которой переменные уже разделены; то есть, 𝐻(𝑦)𝑦′=𝐺(𝑥), где 𝐻(𝑦)=(𝑒−5) и 𝐺(𝑥)=2+(𝑥)cos. Обозначение 𝑦′ — это просто лагранжево обозначение производной 𝑦′=𝑦𝑥dd. Приступаем непосредственно к интегрированию: (𝑒−5)𝑦=(2+(𝑥))𝑥𝑒𝑦−51𝑦=2𝑥+(𝑥)𝑥𝑒−5𝑦+𝐶=2𝑥+(𝑥)+𝐶. dcosddddcosdsin
Комбинируя константы в правой части, мы имеем 𝑒−5𝑦=2𝑥+(𝑥)+𝐶sin как общее решение к дифференциальному уравнению (𝑒−5)𝑦′=2+(𝑥)cos.
До сих пор мы имели дело только с общими решениями дифференциальных уравнений, т. е. с семействами решений параметризуется константой 𝐶. Однако можно вывести значение 𝐶, если нам дано пара значений, которым должно удовлетворять решение. Эти заданные значения называются граничными или начальными условиями, а полученное единственное решение, удовлетворяющее этим условиям, называется конкретным решением дифференциального уравнения.
Рассмотрим снова наш пример дд𝑦𝑥=𝑥𝑦 с общим решением 𝑦=𝐴𝑒, где 𝐴 — константа. Предположим теперь, что нам даны граничные условия, что 𝑦=5, когда 𝑥=0. Мы просто подставляем эти значения в наше общее решение, чтобы найти значение константы 𝐴: 5=𝐴𝑒5=𝐴𝑒𝐴=5.
Итак, частное решение дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=𝑥𝑦 при условии, что 𝑦=5, когда 𝑥=0, равно 𝑦=5𝑒.
Пример 4. Нахождение частного решения разделимого дифференциального уравнения
Решите следующее дифференциальное уравнение, используя заданные граничные условия, чтобы найти конкретное решение: cossecddcscsec(𝑥)(𝑦)𝑦𝑥=(𝑦)(𝑥),𝑥=0,𝑦=𝜋4.
Ответ
Чтобы найти частное решение разделимого дифференциального уравнения, например, приведенного в вопросе , мы продолжаем только как если бы мы нашли его общее решение, а затем подставили в заданные граничные условия в конце, выполнив следующие шаги:
- Сначала мы преобразуем уравнение непосредственно в форму 𝐻(𝑦)𝑦𝑥=𝐺(𝑥).dd
- Далее мы интегрируем это уравнение, что дает 𝐻(𝑦)𝑦=𝐺(𝑥)𝑥.dd
- Теперь вычислим оба интеграла, не забывая о константах интегрирования.
- После перестановки это даст общее решение дифференциального уравнения в виде 𝑃(𝑦)=𝑄(𝑥), где 𝑃(𝑦) — выражение в 𝑦, а 𝑄(𝑥) — выражение в 𝑥, содержащее некоторую константу, значение которой нужно определить. Подставляем заданную границу условия в это уравнение, чтобы найти значение константы.
Во-первых, мы хотим преобразовать уравнение cossecddcscsec(𝑥)(𝑦)𝑦𝑥=(𝑦)(𝑥) в форму 𝐻(𝑦)𝑦𝑥=𝐺(𝑥)dd, то есть со всеми выражениями в 𝑦 слева и все выражения в 𝑥 с правой стороны. Заметим сначала, что присутствие sec(𝑥) на правая часть означает, что это уравнение не определено, когда cos(𝑥)=0, т. е. когда 𝑥=(2𝑛+1)𝜋2 и 𝑛∈ℤ, поэтому мы исключаем эти случаи и делим с обеих сторон на coscsc(𝑥)(𝑦), чтобы получить seccscddseccos(𝑦)(𝑦)𝑦𝑥=(𝑥)(𝑥) и немного переписать, используя идентификаторы seccos=1 и cscsin=1, чтобы получить тандсек(𝑦)𝑦𝑥=(𝑥).
Теперь мы готовы к интегрированию (объединение констант интегрирования в правой части): (𝑦)𝑦=(𝑥)𝑥.tandsecd
Для вычисления левого интеграла используем тождество tansec(𝑦)≡(𝑦)−1, так (𝑦)𝑦=(𝑦)−1𝑦=(𝑦)𝑦−1𝑦,tandsecdsecdd и мы вспоминаем, что ddtansec𝑦(𝑦)=(𝑦), что дает нам тантан(𝑦)−𝑦=(𝑥)+𝐶 как общее решение нашего дифференциального уравнения.
Наконец, подставим граничные условия 𝑥=0 и 𝑦=𝜋4 в общее решение tantan(𝑦)−𝑦=(𝑥)+𝐶, чтобы найти значение для 𝐶, тантан𝜋4−𝜋4=(0)+𝐶1−𝜋4=𝐶, и конкретное решение, тантан(𝑦)−𝑦=(𝑥)+1−𝜋4.
Наконец, мы рассмотрим пример, который требует немного больше усилий для решения.
Пример 5. Нахождение частного решения дифференциального уравнения с разделителями частное решение дифференциального уравнения (4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦𝑥=(9𝑥−17)𝑦,дд удовлетворяющие условию 𝑦=5 при 𝑥=2. Дайте свое решение в форме 𝑦=𝑓(𝑥).
Ответ
Мы решаем эту задачу в следующих шагах:
- Сначала преобразуем уравнение в форму дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) и проверьте наличие равновесных решений в виде постоянных решений уравнения ℎ(𝑦)=0.
- Теперь предположим, что ℎ(𝑦)≠0 и разделим на ℎ(𝑦): 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥).dd
- Затем мы интегрируем это уравнение, что дает 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥.dd
- Теперь вычислим оба интеграла, не забывая о константах интегрирования.
- Преобразуем полученное уравнение в вид 𝑦=𝐹(𝑥), где 𝐹(𝑥) выражение в 𝑥, содержащее некоторую неизвестную константу, которую необходимо определить.
- Наконец, подставим в заданные граничные условия значение неизвестной константы и запишем конкретное решение уравнения.
Сначала заметим, что у нас есть равновесное решение для (4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦𝑥=(9𝑥−17)𝑦дд при 𝑦=0. Конкретные значения 𝑥=3 и 𝑥=74, которые делают левый сторона 0 также заставляет 𝑦=0. Таким образом, исключение 𝑦=0 также исключает эти значения 𝑥, поэтому мы можем преобразовать уравнение (4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦𝑥=(9𝑥−17)𝑦dd в форму dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦) путем деления на (4𝑥−7)(𝑥−3): дд𝑦𝑥=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦.
Здесь 𝑔(𝑥)=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3) и ℎ(𝑦)=𝑦. Поскольку мы исключили равновесное решение 𝑦=0, мы можем разделить на ℎ(𝑦)=𝑦 для 1𝑦𝑦𝑥=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3).dd
Следующим шагом является интегрирование: 1𝑦𝑦=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑥.dd
Левая часть достаточно проста, 1𝑦𝑦=|𝑦|+𝐶dln. Чтобы разобраться с правой частью, нам нужно выразить (9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3) в неполных дробях. Итак, ставим (9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)=𝐴4𝑥−7+𝐵𝑥−3.
Умножаем 𝐴4𝑥−7 на 𝑥−3𝑥−3 и 𝐵𝑥−3 на 4𝑥−74𝑥−7, так что у нас есть общий знаменатель: (9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)=𝐴4𝑥−7+𝐵𝑥−3=𝐴(𝑥−3)(4𝑥−7)(𝑥−3)+𝐵(4𝑥−7)(𝑥−3 )(4𝑥−7)=𝐴(𝑥−3)+𝐵(4𝑥−7)(4𝑥−7)(𝑥−3)=𝐴𝑥−3𝐴+4𝐵𝑥−7𝐵(4𝑥−7)(𝑥−3).
Глядя на числители, мы имеем уравнение 9𝑥−17=𝐴𝑥−3𝐴+4𝐵𝑥−7𝐵.
Приравнивание 𝑥-коэффициентов дает 9=𝐴+4𝐵, и приравнивание постоянных членов дает −17 = −3𝐴−7𝐵.
Мы можем решить эту пару одновременных уравнений методом исключения. Во-первых, мы умножаем 9=𝐴+4𝐵 на 3 для 27=3𝐴+12𝐵, а затем добавьте это к −17=−3𝐴−7𝐵: −17+27=−3𝐴−7𝐵+(3𝐴+12𝐵)10=5𝐵𝐵=2.
Теперь подставляем 𝐵=2 обратно в 9=𝐴+4𝐵, так что 9=𝐴+8 и 𝐴=1. Таким образом, у нас есть (9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)=14𝑥−7+2𝑥−3.
Теперь мы готовы к интеграции: 1𝑦𝑦=(9𝑥−17)(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑥|𝑦|+𝐶=14𝑥−7+2𝑥−3𝑥=14𝑥−7𝑥+2𝑥−3𝑥=14|4𝑥−7 |+2|𝑥−3|+𝐶.ddlndddlnln
Объединяя константы справа, имеем lnlnln|𝑦|=14|4𝑥−7|+2|𝑥−3|+𝐶, которое является общим решением дифференциального уравнения (4𝑥−7)(𝑥−3)𝑦𝑥=(9𝑥−17)𝑦dd. Для того, чтобы найти частное решение, нам нужно вычислить значение константы. Прежде чем делать это, мы преобразуем наше общее решение в форму 𝑦=𝐹(𝑥), применяя экспоненту: |𝑦|=(|4𝑥−7|)(|𝑥−3|)𝑒.
Заметим, что (𝑥−3)=(3−𝑥), поэтому (|𝑥−3|)=(𝑥−3). Оставшаяся пара выражений внутри столбцов модуля дает нам возможность рассмотреть четыре случая: 𝑦=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑒𝑦≥0,𝑥>74,(7−4𝑥)(𝑥−3)𝑒𝑦≥0,𝑥74,−(4𝑥−7 )(𝑥−3)𝑒𝑦0,𝑥>74,−(7−4𝑥)(𝑥−3)𝑒𝑦0,𝑥74.ififififif
постоянный 𝐴=𝑒𝑦≥0,−𝑒𝑦0,ifif оставив нам общее решение 𝑦=⎧⎨⎩𝐴(4𝑥−7)(𝑥−3)𝑥>74,𝐴(7−4𝑥)(𝑥−3)𝑥74.ifif
На рисунке показан пример двух «ветви» общего решения, здесь взятые с параметром 𝐴=1. Обратите внимание, что функция 𝑦 может быть определена при 𝑥=74 как 𝑦=0, но там оно заведомо не дифференцируемо. Таким образом, 𝑥=74 не является частью область общего решения.
Последним шагом в поиске частного решения является использование граничных условий 𝑦=5 и 𝑥=2. Поскольку 2>74, мы имеем дело с функцией 𝑦=𝐴(4𝑥−7)(𝑥−3). Подставляя граничные условия в это общее решение, имеем 5=𝐴(4×2−7)(2−3)=𝐴(8−7)(−1)=𝐴×1×1=𝐴.
Наконец, подставляем значение 𝐴=5 в общее решение для частного решения 𝑦=5(4𝑥−7)(𝑥−3). Таким образом, у нас есть 2 решения: это и равновесное 𝑦=0.
На этом рисунке зеленая кривая — это решение 𝑦=5(4𝑥−7)(𝑥−3), а красная линия является равновесным решением 𝑦=0. Заметим, что решение 𝑦=5(4𝑥−7)(𝑥−3) не определено для 𝑥74 и не дифференцируемо в точке 𝑥=74. Следовательно, он действителен на открытом интервале 74,∞. Область равновесного решения – это вся ℝ.
Давайте закончим повторением нескольких важных понятий из этого объяснения.
Ключевые моменты
- Мы признаем разделимые дифференциальные уравнения как дифференциальные уравнения, которые можно преобразовать в форму дд𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦).
- Мы понимаем, что постоянные решения уравнения ℎ(𝑦)=0 представляют собой равновесные решения к дифференциальному уравнению.
- Чтобы найти общее решение сепарабельного дифференциального уравнения dd𝑦𝑥=𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), положим ℎ(𝑦)≠0 и разделим на ℎ(𝑦), чтобы получить 1ℎ(𝑦)𝑦𝑥=𝑔(𝑥)дд и интегрировать обе стороны 1ℎ(𝑦)𝑦=𝑔(𝑥)𝑥. dd
- Общее решение такого дифференциального уравнения представляет собой бесконечное семейство решений, параметризуемых постоянная 𝐶.
- Чтобы найти частное решение при заданных граничных условиях 𝑥=𝑥 и 𝑦=𝑦, подставляем эти значения в общее решение, чтобы найти значение константы 𝐶.
разделимых дифференциальных уравнений | Brilliant Math & Science Wiki
Самир Хан, Джефф Пиллинг, а также Адам Дэвис внес
Содержимое
- Решение разделимых уравнений
- Текстовые задачи
Идея решения разделимого уравнения состоит в том, чтобы переместить переменные в противоположные стороны, а затем проинтегрировать. При этом мы обращаемся с производной dydx\frac{dy}{dx}dxdy как с дробью, что в данном случае допустимо (хотя в общем случае это не так). 2/2}-1,dxdy=x(y+1)⟹y+11=xdx⟹ln∣y+1∣=2×2+Cdx⟹y=Cex2/2−1, и это решение нашего уравнения. 9{x+y}dxdy=ex+y и y(0)=0y(0)=0y(0)=0, то значение y(−ln2)y(-\ln 2)y( −ln2) можно записать в виде ln(mn)\ln \left(\dfrac mn\right)ln(nm), где mmm и nnn — взаимно простые положительные целые числа. Найдите m+nm+nm+n.
Многие задачи на разделимые дифференциальные уравнения представляют собой текстовые задачи. Эти проблемы требуют дополнительного шага преобразования оператора в дифференциальное уравнение.
При чтении предложения, связывающего функцию с одной из ее производных, важно извлечь правильное значение, чтобы получить дифференциальное уравнение. Ключевым моментом является поиск таких фраз, как «скорость изменения», потому что они указывают на наличие производной. Фактически, термин «производная» и фраза «скорость изменения» являются синонимами, поэтому их следует иметь в виду при построении дифференциального уравнения, моделирующего текстовую задачу.
Как мы можем записать следующие предложения в виде дифференциального уравнения?
Скорость роста популяции бактерий прямо пропорциональна текущей популяции бактерий.
Скорость изменения температуры объекта прямо пропорциональна разнице между текущей температурой объекта и температурой окружающей среды.
Сила, ощущаемая объектом в свободном падении, представляет собой разницу его веса и силы сопротивления, где сила сопротивления пропорциональна текущей скорости объекта.
Читая предложение, мы ищем слова или фразы, имеющие математическое значение. Например, фраза «Скорость роста популяции бактерий» представляет собой фрагмент слов, который можно просто выразить как dPdt\frac{dP}{dt}dtdP. Как только мы видим «прямопропорциональное», это говорит нам ввести константу пропорциональности, обычно kkk. Кроме того, эта скорость пропорциональна «текущей популяции бактерий», а это означает, что нам нужно ввести здесь PPP. Чтобы связать все это вместе, эти две части связаны знаком «=» из-за слова «есть». Это дает скорость роста популяции бактерий ⏟dPdt ⏟= прямо пропорциональна ⏟kтекущей популяции бактерий⏟P. \underbrace{ \text{ Скорость роста популяции бактерий}} _{\frac{ dP}{ dt} } \underbrace{\text{ равно } } _{=} \underbrace{ \text{ прямо пропорционально }}_{k} \underbrace{ \text{текущей бактериальной популяции}}_{P}. dtdP Скорость роста популяции бактерий = k прямо пропорциональна P текущей популяции бактерий.
Это температура объекта. Скорость изменения ⏟dTdt ⏟= прямо пропорциональна ⏟k и температуре окружающей среды. к разнице текущей температуры объекта⏟(T−Ta) \underbrace{ \stackrel{\text{Скорость изменения}}{\text{температуры объекта}}}_{\dfrac{dT}{dt} } \underbrace{ \text{ равно }}_{ \Large{=} } \underbrace{ \text{ прямо пропорционально }}_{\Large{k}} \underbrace{ \stackrel{ \text{ разности текущая температура объекта}}{\text{ и температура окружающей среды. }}} _{\Large{(T – T_{a} )} } dtdTтемпература объектаСкорость изменения=k прямо пропорциональна(T−Ta) и температуре окружающая среда. к разнице текущей температуры объекта
Это становится Сила, ощущаемая объектом в свободном падении ⏟F равна ⏟=, – это разница его веса и силы сопротивления. ⏟mg−bv \underbrace{ \text{ Сила, ощущаемая объектом при свободном падении }} _{ F } \underbrace{ \text { is } }_{=} \underbrace{ \text{ есть разность его вес и сила сопротивления. }} _{mg – bv } F Сила, действующая на объект в свободном падении, = is mg−bv – это разница его веса и силы сопротивления.
dAdt=40−A2\frac{dA}{dt}=40-\frac{A}{2}dtdA=40−2A dAdt=2−A40\frac{dA}{dt}=2-\frac{A}{40}dtdA=2−40A dAdt=40+A2\frac{dA}{dt}=40+\frac{A}{2}dtdA=40+2A dAdt=2+A40\frac{dA}{dt}=2+\frac{A}{40}dtdA=2+40A
Предположим, что труба, содержащая 0,2 кг0,2\text{ кг}0,2 кг сахара на литр (л), впадает в резервуар, наполненный 400 л воды, в котором в настоящее время содержится 10 кг10\text{ кг}10 кг сахара. Кроме того, поток из трубы поступает в бак со скоростью 10 л/мин, в то время как труба с такой же скоростью опорожняет бак. Составьте дифференциальное уравнение, моделирующее количество сахара в баке.
После того как задача со словами записана в виде дифференциального уравнения, ее можно решить с помощью методов, описанных в предыдущем разделе.
Скорость, с которой вещество охлаждается в движущемся воздухе, пропорциональна разнице между температурой вещества и температурой воздуха. Если температура воздуха 290 K290\text{ K}290 K, а вещество охлаждается с 370 K370\text{ K}370 K до 330 K330\text{ K}330 K за 10 мин,10\text{ мин} ,10 мин, когда температура вещества станет 295 К?295\text{ К}?295 К?
Пусть T T T обозначает температуру, T0T_{0}T0 – начальную температуру, ttt – время, поэтому мы имеем
Скорость, с которой вещество охлаждается⏟-dTdt, ⏟= пропорциональна ⏟k разнице между температурами вещества и воздуха.⏟(T-T0). \underbrace { \text{Скорость охлаждения вещества} } _{ \huge{ – \frac{ dT } { dt } } } \underbrace{\text{ is }} _{ \huge{ = } } \underbrace{ \text{ пропорциональна } } _{\huge{ k } } \underbrace{\text { разнице между температурами вещества и воздуха. }} _{\huge{ (T- T_{0} ) } }.− dtdT Скорость, с которой вещество охлаждается, равно k пропорционально разнице между температурами вещества и воздуха.
Это -dTT-T0=k dt ⟹ ∫-dTT-T0=∫k dt ⟹ -ln(T-T0)=kt+C. – \frac{ dT }{ T – T_{ 0 } } = k \ dt \ подразумевает \int – \ frac{ dT }{ T – T_{ 0 } } = \int k \ dt \ подразумевает – \ln ( T – T_{0}) = kt + C.−T−T0dT=k dt⟹∫−T−T0dT=∫k dt⟹-ln(T−T0)=kt+C.
Для нахождения начальных условий воспользуемся тем, что нам дано T0=290 KT_{ 0 } = 290 \text{ K}T0=290 K. Так как T=370 K T = 370 \text{ K} T=370 K первоначально при t=0 с t = 0 \text{ s}t=0 с и T=330 K T = 330 \text{ K} T=330 K при t=600 с t = 600 \text{ s} t=600 с , из (1)(1)(1) имеем
{-ln(370−290)=k×0+C−ln(330−290)=k×600+C. \begin{случаи} -\ln (370 – 290 ) & = k \times 0 + C \\ – \ln (330 – 290) & = k \times 600 + C. \end{cases} {−ln(370−290)−ln(330−290)=k×0+C=k×600+C.
Из первого уравнения получаем C=−ln80 C = – \ln 80 C=−ln80. Подставляя это во второе уравнение, получаем k=ln2600 k = \dfrac{ \ln 2 }{ 600 } k=600ln2. Тогда из (1)(1)(1) получаем уравнение чисто относительно T T T и t: t :t:
-ln(T-290)=ln2600×t-ln80. – \лн ( Т – 29\circ∘C и согласно закону охлаждения Ньютона, найдите температуру воды в градусах Цельсия, когда я оставлю ее на прилавке еще на 3 минуты.
Точно такой же подход можно использовать и для решения других задач.
Скорость роста бобового стебля пропорциональна квадратному корню из его текущей высоты. Если изначально высота 100 футов, а через 5 дней она вырастет до 400 футов, то какой высоты она будет через 20 дней?
Обозначим высоту бобового стебля (в футах) через h h h, а время (в днях) через t t t. Тогда скорость роста бобового стебля ⏟dhdt ⏟ = пропорциональна ⏟k квадратному корню из его текущей высоты. ⏟h \underbrace { \text{Скорость роста бобового стебля} } _{ \huge{ \frac{ dh }{ dt } } } \underbrace{ \text{ есть } } _{ \huge{ = } } \underbrace{ \text{ пропорционально } } _{ \huge{ k } } \underbrace{ \text { квадрат корень его текущей высоты. } } _{\huge{ \sqrt{h} } } dtdh Скорость роста бобового стебля = k пропорциональна h квадратному корню из его текущей высоты.
Сейчас, dhh=k dt ⟹ ∫dhh=∫k dt ⟹ 2h=kt+C. \frac{ dh }{ \sqrt{ h } } = k \ dt \ подразумевает \int \ frac{ dh }{ \sqrt{ h } } = \ int k \ dt \ подразумевает 2 \sqrt{ h } = kt + C hdh=k dt⟹∫hdh= ∫k dt⟹2h=kt+C.
Так как h=100 h = 100 h=100 при t=0 t = 0 t=0 и h=400 h = 400 h=400 при t=5 t = 5 t=5, мы имеем
{2100=k×0+C2400=k×5+C. \begin{случаи} 2 \sqrt{100} & = k \times 0 + C \\ 2 \sqrt{ 400 } & = k \times 5 + C. \end{cases} {21002400=k×0+C=k×5+C.
Из первого уравнения имеем C=20 C = 20 C=20. Подстановка этого во второе уравнение дает 40=5k+2040 = 5k + 20 40=5k+20, что означает k=4k = 4k=4. 9{ 2 } = 3600 \text { (футов)}. h=(2×25+10)2=602=3600 (футов).
Население страны растет со скоростью, пропорциональной численности населения. Если через 50 лет население удвоится, то через сколько лет (с этого момента) оно утроится?
Округлите ответ до ближайшего года.