Дифференциальные уравнения как решать: Найти решение дифференциального уравнения 1 и 2 порядка: общее и частное, примеры - Санкт-Петербургское государственное бюджетное учреждение социального обслуживания населения

Содержание

Понятие дифференциального уравнения

1.1Примеры моделей, приводящих к дифференциальным уравнениям

Прежде чем говорить о дифференциальных уравнения в общем виде, обсудим несколько простых примеров, в которых они возникают естественным образом.

1.1.1Рост населения. Мальтузианская модель

Пусть скорость роста популяции какого-нибудь вида (например, рыб в пруду или бактерий в чашке Петри) в любой момент времени пропорциональна количеству особей в популяции в этот момент времени. Это предположение кажется разумным (какая-то часть популяции за единицу времени воспроизводится), если есть достаточное количество ресурсов. Обозначим размер популяции в момент времени t через x(t). Тогда мгновенная скорость роста равна dx(t)dt. Обычно производная по переменной t обозначается точкой ˙x(t), а не штрихом. Таким образом, наш закон роста размера популяции можно записать так:

˙x(t)=kx(t),(1.1)

где k>0 — коэффициент пропорциональности (константа). Зависимость от t обычно опускают и пишут просто

˙x=kx.(1.2)

Это — одно из простейших (и важнейших) дифференциальных уравнений. Неизвестной величиной в ней является не число (как в обычных алгебраических уравнениях) и не вектор (как в линейной алгебре), а функция x(t).

1.1.2Рост экономики. Модель Солоу

Согласно модели Солоу, скорость прироста капиталовооруженности экономики (количества капитала в расчёте на одного трудоспособного человека) в предположении отсутствия внешней торговли, технического прогресса и роста населения, описывается формулой

˙k=sf(k)−δk,

где k=k(t) — капиталовооруженность экономики в момент времени t, s — норма сбережения, δ — норма выбытия капитала.

1.1.3Механическая система. Падающий шарик

Если я возьму в руку маленький тяжелый шарик, что с ним произойдёт, когда я его отпущу? Не нужно проводить этот эксперимент на практике и даже решать дифференциальное уравение, чтобы ответить: он станет падать вниз. Это подскажет нам наша физическая интуиция. Использование интуиции и ранее накопленного опыта очень важно при решении задач, поэтому мы время от времени будем обращаться к механическим примерам.

Пусть вертикальная координата шарика (высота) в момент времени t есть y(t). Известно, что на тело, находящееся в поле тяготения земли (на не слишком большой высоте) действует сила тяжести, равная

F=−mg,

где m — масса тела, g — ускорение свободного падения (примерно равно 9.8 м/с²), знак «-» выбран, поскольку сила тяжести действует в направлении «вниз» (против направления роста y). Трением мы будем пренебрегать и считать, что никаких других сил на шарик не действует.

Чтобы перейти к дифференциальным уравнениям, нужно вспомнить второй закон Ньютона, который гласит, что ускорение тела пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе:

a=F/m⇔F=ma.

Ускорение — это вторая производная от координаты по времени, она обозначается двумя точками.

Таким образом, мы имеем дифференциальное уравнение, описывающее движение шарика:

¨y=−g.(1.3)

1.2Простейшие дифференциальные уравнения

Вернёмся к математической точке зрения на дифференциальные уравнения. Начнём с относительно общего определения.

1.2.1Дифференциальное уравнение общего вида

Дифференциальным уравнением называется соотношение вида

˙x=f(t,x),(1.4)

где x=x(t) — неизвестная функция, f(t,x) — известная функция двух переменных. Мы пока что будем рассматривать уравнения, в которых областью значений неизвестной функции являются вещественные числа R, но чуть позже обсудим и более сложные случаи, когда x принимает значение в многомерных пространствах. Также отметим, что в уравнении (1.4) фигурирует только первая производная неизвестной функции — это уравнение

первого порядка. Позже мы обсудим, что делать с уравнениями более высоких порядков (например, таких как (1.

3)). Пока же остановимся на рассмотрении уравнений вида (1.4).

Решением дифференциального уравнения называется дифференцируемая функция x=φ(t), такая, что при подстановке её в уравнение получается верное равенство:

˙φ(t)=f(t,φ(t))∀t∈D(f),(1.5)

где D(f) — область определения функции f: это может быть вся числовая ось, луч, отрезок, интервал или полуинтервал.

Рассмотрим несколько примеров.

1.2.2Нулевая правая часть

Простейшее дифференциальное уравнение, которое только можно придумать, имеет вид

˙x=0.

Его решениями являются функции x(t)=C, где C — любая константа. Действительно, если функция имеет нулевую производную и при этом всюду дифференцируема, то она не меняется и значит равна константе. Заметим, что даже в таком простейшем случае мы имеем не одно, а сразу целое семейство решений. Аналогичная ситуация будет и в более сложных примерах.

1.2.3Постоянная правая часть

Чуть более сложное уравнение:

˙x=k,

где k — константа. Это уравнение движения с постоянной скоростью, его решениями являются всевозможные линейные функции

x(t)=kt+C,

Заметим, что в этом случае константа C задаёт значение функции в начальный момент времени t=0.

1.2.4Правая часть, зависящая только от времени

Рассмотрим несколько более сложный пример: пусть функция f(t,x) в правой части (1.4) на самом деле не зависит от x.

˙x=f(t).(1.6)

Задачу отыскания решения такого дифференциального уравнения можно сформулировать следующим образом: для каждого значения независимой переменной t известна производная некоторой функции; найти эту функцию. Нетрудно видеть, что это в точности задача интегрирования (отыскания первообразной). Решение такого уравнения задаётся таким образом неопределенным интегралом, который можно записать в виде

x(t)=∫f(t)dt=∫tt0f(τ)dτ+C.

(1.7)

Неопределенный интеграл по определению является семейством функций, а при записи его в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом нужно указывать константу интегрирования явным образом.

1.2.5Начальные условия. Задача Коши

Чтобы выделить среди семейства решений дифференциального уравнения одно, обычно вместе с самим дифференциальным уравнением рассматривают дополнительное соотношение, называемое начальным условием — значение решения в какой-то момент времени (не обязательно t=0) полагают равным константе.

Когда задано дифференциальное уравнение и начальное условие, говорят, что поставлена задача Коши

(по-английски Initial Value Problem). Например, можно рассмотреть такую задачу:

˙x=f(t),x(5)=0(1.8)

Eё решением будет уже только одна функция:

x(t)=∫t5f(τ)dτ(1.9)

Действительно, любой интеграл вида (1. 7) является решением уравнения (1.6), а значит, и функция в (1.9) им является. Остаётся проверить начальное условие. При подстановке t=5 решение x(5)=∫55f(τ)dτ=0, то есть начальное условие выполняется.

Вопрос 1. Каким будет решение уравнения (1.6) при начальном условии x(5)=1?

x(t)=∫15f(τ)dτ

Неверный ответ. Неверно, эта функция вообще является константой.

x(t)=∫t5f(σ)dσ+1

Верный ответ. Верно!

x(t)=∫ttf(τ)dτ+1

Неверный ответ. Неверно, обратите внимание на пределы интегрирования.

1.2.6Простейшее линейное уравнение

Положим в уравнении роста населения k=1. Получим следующее уравнение:

˙x=x(1.10)

Какие функции будут его решениями? Словами можно сказать, что условие, накладываемое этим уравнением, звучит так: «Производная функции равна самой этой функции».

Одна известная функция обладает таким свойством — это экспонента x(t)=et. Нетрудно видеть, что если умножить экспоненту на любое число, получающаяся функция x(t)=Cet также будет решением этого уравнения. В частности, очевидно, что решением будет функция x(t)≡0.

Вопрос 2. Является ли решением уравнения (1.10) функция x(t)=et+C при C≠0?

Да, при любых C≠0.

Неверный ответ. Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и посчитать производную.

При некоторых C≠0 является, а при других нет.

Неверный ответ. Это неверно, попробуйте подставить функцию в уравнение и посчитать производную.

Не является ни при каких C≠0.

Верный ответ. Верно, если подставить функцию в уравнение, C уничтожится при дифференцировании в левой части, но не уничтожится в правой. Таким образом, уравнение (1. 10) принципиально отличается от уравнений вида (1.6), рассмотренных ранее.

1.3Геометрические объекты

В рассмотренных выше примерах неизвестная функция x(t) принимала значения во множестве вещественных чисел. В общем случае функция x(t) может принимать значения в других множествах — например, в многомерных пространствах. Множество, в котором принимает значение неизвестная функция (или, иными словами, множество всевозможных значений x(t) при каком-нибудь фиксированном t) называется фазовым пространством дифференциального уравнения. Множество точек вида (t,x) (декартово произведение фазового пространства на ось времени) называется расширенным фазовым пространством. График решения называется интегральной кривой. Интегральные кривые живут в расширенном фазовом пространстве. Построим некоторые интегральные кривые для уравнения ˙x=x. Как мы уже знаем, ими будут графики экспонент.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr. odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py
plt.rcParams['figure.figsize'] = (8, 6)
ob.axes4x4()
initials = list(range(-5, -1)) + [0.15] + [x/np.exp(1) for x in [1, 2, 3]]
initials.extend([-x for x in initials])
initials.append(0)
for C in initials:
    ob.mplot(np.linspace(-4,4),lambda t, C=C: C * np.exp(t),
             color='steelblue', linewidth=1.5)

Рис. 1.1: Графики решений дифференциального уравнения ˙x=x

Если бы мы не знали, какие на самом деле решения нашего дифференциального уравнения (а это наиболее распространенный случай, чаще всего дифференциальные уравнения не решаются явно), мы всё равно могли бы примерно представить себе, как выглядят интегральные кривые. Чтобы это сделать, нам нужно построить поле направлений или поле прямых.

Вот что это такое. Возьмём произвольную точку P=(t0,x0) расширенного фазового пространства. Например, t0=1, x0=3. Мы можем провести в точке P касательную к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Действительно, чтобы провести прямую через фиксированную точку, нужно знать только её угловой коэффициент, но угловой коэффициент касательной к графику некоторой функции равняется производной этой функции. А производную решения мы знаем, по определению решения она равна правой части уравнения. Для уравнения (1.10) правая часть в точке x равна x и, значит, касательная, проходящая через точку P, имеет угловой коэффициент, равный x0=3. Можно взять ещё несколько точек на прямой t=1 и провести соответствующие касательные через них. Получится такая картинка, см. рис. 1.2.

Рис. 1.2: Касательные к решениям

Вопрос 3. Почему прямые пересекаются в начале координат?

Понятно, что можно, действуя аналогично, построить касательные к решениям не только в выбранных точках, но и вообще в любой точке расширенного фазового пространства. В данном случае правая часть не зависит от t явно, поэтому через любые две точки, лежащие на одной горизонтальной прямой, будут проходить параллельные касательные. Мы будем рисовать только маленькие кусочки этих касательных.

Рис. 1.3: Поле направлений

На картинке изображены прямые, проходящие через какие-то конкретные точки, но на самом деле такая прямая может быть проведена через любую точку. Вся совокупность этих прямых и будет полем направлений.

Рис. 1.4: Поле направлений и интегральные кривые

Теперь задача отыскания решения дифференциального уравнения сводится к такой геометрической задаче: нужно найти кривую, которая в каждой своей точке касается прямой, принадлежащей полю направлений и проходящей через эту точку.

Эта интерпретация скоро окажется для нас очень полезной.

Дифференциальные уравнения используются для моделирования процессов, в которых участвует время. Предмет рассмотрения нашего курса — обыкновенные дифференциальные уравнения, они имеют вид ˙x=f(t,x), где x=x(t) — неизвестная функция, определённая на всей оси t или на какой-то его связной компоненте (отрезке, интервале, полуинтервале, луче). Решением дифференциального уравнения всегда является семейство функций; чтобы выбрать из них одну, нужно задать начальное условие. Множество всех возможных значений функции x называется фазовым пространством, а его декартово произведение на ось времени — расширенным фазовым пространством. График решения (кривая в расширенном фазовом пространстве) называется интегральной кривой. Если в каждой точке расширенного фазового пространства провести прямую, уголовой коэффициент которой равен значению правой части уравнения в этой точке, то получится поле прямых или поле направлений. Всякая интегральная кривая в каждой своей точке касается прямой из поля прямых, проходящей через данную точку.

Мы рассмотрели ряд примеров и ввели много новых понятий, но пока ничего не говорили о самом интригующем: как всё-таки решать дифференциальные уравнения? Короткий ответ неутешителен: дифференциальные уравнения обычно не решаются явно. (Если вас это расстраивает, подумайте о том, что обычные алгебраические уравнения начиная с пятой степени тоже как правило не решаются явно. ) Тем не менее, мы научимся решать уравнения некоторых специальных классов (займёмся этим уже в следующей главе), а затем обсудим, что можно сделать с теми уравнениями, которые не решаются.

Следующая глава →

Дифференциальные уравнения, шифр специальности ВАК РФ 01.01.02. Каталог тем авторефератов диссертаций по математике.

Тема работы	Автор	Год
Аналитические решения задачи об инициировании тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводности Нелинейное уравнение теплопроводности имеет широкую область применения. Помимо, собственно, описания процессов распространения тепла, оно используется в теории фильтрации жидкостей и газов, в теории движения грунтовых вод, в биологии при построении математических моделей роста и миграции популяций, в химической кинетике и т. д…	Кузнецов, Павел Александрович	2015
Асимптотики собственных элементов одномерного оператора Шредингера с потенциалом, локализованным на множестве малой меры В случаях, которые называются регулярными или регулярно возмущенными, решение возмущенной задачи равномерно переходит к решению невозмущенной задачи при стремление…	Хуснуллин, Ильфат Хамзиевич	2015
Асимптотические спектральные методы исследования сингулярно возмущенных задач на полуоси для линейных и квазилинейных систем При решении прикладных задач важную роль играет не только создание адекватных математических моделей в виде систем ОДУ, достаточно хорошо отражающих основные параметры исходной задачи или процесса, но и разработка эффективных аналитических и асимптотических методов их исследования. В данной работе отдано предпочтение аналитическим…	Воркне Асмамау Зегейе	2015
Возмущение и устойчивость моделей авторезонанса Здесь A, b = const ф 0, искомые функции г(т) и гр(т) соответствуют амплитуде и сдвигу фазы гармонических колебаний. Интерес представляют решения с неограниченно растущей амплитудой г(т) —»• со при т —>• оо, которые связывают с явлением захвата в авторезонанс…	Султанов, Оскар Анварович	2015
Гамильтоновы системы на конфигурационных пространствах и инварианты Васильева Одной из первых таких задач, появившихся в гидродинамике, и тем не менее еще полностью не решенной, является проблема описания движения п вихрей на плоскости или на сфере…	Кирин, Николай Александрович	2015
Задача с начальными условиями для эволюционных линейных дифференциально-разностных уравнений В случае оператора со сдвигами лишь пространственного аргумента или операторов без запаздывания начальными условиями задачи Коши являются предельные значения неизвестной функции (для уравнения параболического тина) или предельные значения функции и ее производной по временной переменной (для гиперболического уравнения) в пространстве…	Йаакбариех Амир	2015
Задачи управления для систем с эллипсоидальной динамикой Изучение динамики трубок траекторий представляет собой одну из актуальных задач современной теории управления [11, 1]. Трубки траекторий возникают, например, при рассмотрении задачи достижимости, в которой требуется описать множество всех терминальных состояний, которые система может достичь к заданному моменту времени из множества начальных…	Месяц, Алексей Игоревич	2015
Исследование граничных свойств функций, аналитических по Дуглису Единый подход к изучению этих представлений был предложен И.Н. Ве-куа. В дальнейшем A.B. Бицадзе было получено представление через аналитические вектор-функции и их производные общего решения эллиптических систем…	Николаев, Владимир Геннадьевич	2015
Исследование качественных свойств решений некоторых нелинейных уравнений соболевского типа Сложность исследования асимптотик связана с тем, что для него требуется не только глобальная по времени разрешимость, но и наличие некоторых априорных оценок разности между решением и приближенным решением. Кроме того, техника обобщенных решений не может применяться — здесь надо изучать классические и «полуклассические» («semiclassical») решения…	Аристов, Анатолий Игоревич	2015
Исследование нелинейных анормальных задач и динамических управляемых систем В параграфе 1.1 получена теорема о неявной функции в окрестности анормальной точки. Рассмотрена следующая задача. Пусть X, Y, S -банаховы пространства, U С X – выпуклое замкнутое множество. Пусть даны отображение F : X х Е Y и точки х, € U, сг* б Е, для которых F(x*,crt) = 0. Рассмотрим уравнение…	Жуковская, Зухра Тагировна	2015
Исследование скорости сходимости спектральных разложений обыкновенных дифференциальных операторов Методы исследования. В работе используются методы теории дифференциальных уравнений, общие методы комплексного и функционального анализа, а также спектральный метод В. А. Ильина…	Марков, Алексей Сергеевич	2015
Критические области параметров и специальные классы решений эллиптических уравнений и систем Вместе с тем, в последние два десятилетия возросло количество работ, посвященных существованию знакопеременных решений различных нелинейных эллиптических уравнений. Следует отдельно выделить статьи [8-10], в которых, с использованием вариационных методов, основанных на принципе наименьшего действия, изучались вопросы о существовании…	Бобков, Владимир Евгеньевич	2015
Линейно-выпуклые задачи оптимизации гарантии при запаздывании в управлении Эффект запаздывания в управлении характерен для многих реальных процессов. Он может быть обусловлен различными задержками в каналах цепи обратной связи, а также временными затратами, необходимыми для…	Гомоюнов, Михаил Игоревич	2015
Методы направляющих и ограничивающих функций и их приложения к некоторым задачам дифференциальных уравнений и включений Важное место в исследовании дифференциальных уравнений и включений занимают краевые задачи, в том числе задача о существовании периодических решений. Весьма важной является также задача о глобальной структуре множества периодических решений…	Нгуен Ван Лой	2015
Многоточечная задача Валле Пуссена для операторов свертки Теорема существования и единственности говорит, что для данной точки х° из [а, Ь] и данных значений у0, у\,…, существует одно и только одно решение у(х) уравнения (0.1), удовлетворяющее начальным условиям…	Нуятов, Андрей Александрович	2015
Неклассические задачи для уравнений в частных производных второго порядка Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет…	Нефедов, Павел Владимирович	2015
Нелокальные задачи с интегральными условиями для уравнений гиперболического, псевдогиперболического и смешанного типов Исследования показали, что присутствие нелокальных условий вызывает ряд специфических трудностей, которые не позволяют использовать для обоснования разрешимости нелокальных задач стандартные методы. Поэтому вопрос разработки методов исследования нелокальных задач является весьма актуальным…	Кириченко, Светлана Викторовна	2015
Нелокальные краевые задачи для псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений Методы исследования. Доказываются теоремы существования и единственности решений пространственно нелокальных краевых задач для одномерных и многомерных псевдопараболических и псевдогиперболических уравнений третьего порядка. При доказательстве существования искомого решения рассматриваемых краевых задач используются метод продолжения по параметру…	Попов, Николай Сергеевич	2015
Об абстрактных дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом и случайными возмущениями Перенос постановок задач А.Е. Родкиной на уравнения в бесконечномерном пространстве ” рассматривавшиеся Дж. Да Парто, Дж. Забчиком, И. Врокачем приводит к уравнению…	Аль Зухаири Хамид Кадим Давуд	2015
Обобщённые интегральные преобразования и их применение в теории дифференциальных уравнений Метод интегрального преобразования Лапласа удобен также при решении систем, состоящих из вышеперечисленных типов уравнений. Он позволяет решать большой круг задач нестационарной теплопроводности…	Заикина, Светлана Михайловна	2015

Дифференциальные уравнения – Дифференциальные уравнения

Все ресурсы по дифференциальным уравнениям

1 Диагностический тест 29 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Следующая →

Дифференциальные уравнения Помощь » Дифференциальные уравнения

Решить данное дифференциальное уравнение путем разделения переменных.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Для решения этого дифференциального уравнения используйте разделение переменных. Это означает, что все термины, содержащие , переместите в одну часть уравнения, а все термины, содержащие , — в другую.

Сначала умножьте каждую сторону на .

Теперь разделите на обе стороны.

Затем разделите на обе стороны.

Отсюда взять интеграл от обеих сторон. Запомните правила для логарифмических функций, поскольку они будут использоваться в этой задаче.

Сообщить об ошибке

Решить следующее дифференциальное уравнение Пояснение:

Итак, это разделимое дифференциальное уравнение. Первый шаг — переместить все члены x (включая dx) в одну сторону, а все члены y (включая dy) — в другую.

Таким образом, дифференциальное уравнение, которое нам дано, имеет вид:

Что в перестановке выглядит так:

В этот момент, чтобы решить для y, нам нужно взять первообразную обеих частей:

Что равно:

А так как это антипроизводная без ограничений, нам нужно включить общую константу C

Итак, находя y, мы возводим e в степень обеих частей:

что в упрощенном виде дает нам наш ответ:

Сообщить об ошибке

Решите следующее разделимое дифференциальное уравнение: с .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Самый простой способ решить разделимое дифференциальное уравнение — переписать как и, злоупотребив обозначениями, «умножить обе части на dt». Это дает

Затем мы получаем все члены y с помощью dy и все члены t с помощью dt и интегрируем. Таким образом,

Комбинируя константы интегрирования и возведения в степень, мы имеем

Плюс минус и можно объединить в другую произвольную константу, что даст .

Подключение к нашему первоначальному условию, мы имеем

Отчет о ошибке

Решение общего решения для ODE:

Возможные ответы:

59 0004, где C представляет собой произвольную постоянную постоянную
, где C является произвольной постоянной
, где C является арбит -константой
, где C является арбит -константой
. Правильный ответ:
.

где C — произвольная константа
Объяснение:
Сначала дифференциальное уравнение можно разделить на:

А затем просто интегрировать в:
Сообщить об ошибке
Разделимо ли следующее дифференциальное уравнение? Если да, то как уравнение разделяется?
Возможные ответы:
Дифференциальное уравнение отделимо и принимает следующий вид:
Дифференциальное уравнение отделимо и принимает вид:
Это дифференциальное уравнение не является отделимым.
Дифференциальное уравнение разделимо и принимает следующий вид:
Правильный ответ:
Дифференциальное уравнение разделимо и принимает вид:
Объяснение:
Используя экспоненциальные правила, мы замечаем, что  становится . Это означает, что дифференциальное уравнение
эквивалентно следующему: ?
Возможные ответы:
Дифференциальное уравнение является отделимым и становится:
Дифференциальное уравнение разделяется и становится:
Дифференциальное уравнение является отделимым и становится:
9000
не отделим.
Правильный ответ:
Дифференциальное уравнение неразделимо.
Объяснение:
Дифференциальное уравнение не может быть записано в виде  и, следовательно, не является разделимым.
Сообщить об ошибке
Решить данное дифференциальное уравнение путем разделения переменных.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Для решения этого дифференциального уравнения используйте разделение переменных. Это означает, что все термины, содержащие , переместите в одну часть уравнения, а все термины, содержащие  , — в другую.
Сначала умножьте каждую сторону на .
Теперь разделите на обе стороны.
Затем разделите на обе стороны.
Отсюда возьмите интеграл от обеих сторон. Запомните правила для логарифмических функций, поскольку они будут использоваться в этой задаче.

Сообщить об ошибке
Решите следующую задачу с начальным значением: , .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Это разделимое дифференциальное уравнение. Самый простой способ решить эту проблему — сначала переписать как , а затем, злоупотребив обозначением, «умножить обе части на dt». Это дает . Затем сгруппируйте все термины y с помощью dy и проинтегрируйте, чтобы получить . Решая для y, мы имеем . Подставив наше условие, находим . Возводя обе части в степень -1/3, мы видим . Таким образом, наше окончательное решение
Сообщить об ошибке
Решите следующее уравнение 9.0005
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Это разделяемая ода, поэтому перестройка
Интеграция
Подключение к начальному условию и решению дает нам
Решение для получения
9
9
.
9
9
.
Найдите общее решение данного дифференциального уравнения и определите, есть ли какие-либо переходные члены в общем решении.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала разделите на обе части уравнения.
Определите термин фактора.
Интегрировать коэффициент.
Подставьте это значение обратно и проинтегрируйте уравнение.
Теперь разделите на  , чтобы получить общее решение.
Переходный термин означает термин, который, когда значения увеличиваются, сам член уменьшается. Следовательно, переходный термин для этой функции .
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы по дифференциальным уравнениям
1 Диагностический тест 29 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Примеры исчисления | Дифференциальные уравнения
Шаг 1
Коэффициент интегрирования определяется по формуле , где .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 1.1
Настройте интеграцию.
Шаг 1.2
Применение постоянного правила.
Шаг 1.3
Удалить постоянную интегрирования.
Шаг 2
Умножьте каждый член на интегрирующий коэффициент.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 2.1
Умножьте каждое слагаемое на .
Шаг 2.2
Переупорядочить коэффициенты в .
Шаг 3
Перепишите левую часть в результате дифференциации продукта.
Шаг 4
Установите интеграл с каждой стороны.
Шаг 5
Интегрируйте левую сторону.
Шаг 6
Интегрируйте правую сторону.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 6.1
Изменить порядок и .
Шаг 6.2
Проинтегрируем по частям по формуле , где и .
Шаг 6.3
Изменить порядок и .
Шаг 6.4
Проинтегрируем по частям по формуле , где и .
Шаг 6.5
Так как константа по отношению к , выйти из интеграла.
Шаг 6.6
Упростите путем умножения.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 6.6.1
Умножить на .
Шаг 6.6.2
Умножить на .
Шаг 6.6.3
Примените свойство распределения.
Шаг 6.7
Решая для , находим, что = .
Шаг 6.8
Переписать как .
Шаг 7
Решите для .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 7.1
Упрощение.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 7.1.1
Примените свойство распределения.
Шаг 7.1.2
Умножить .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 7.1.2.1
Объединить и .
Шаг 7. 1.2.2
Объединить и .
Шаг 7.1.3
Умножить .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 7.1.3.1
Объединить и .
Шаг 7.1.3.2
Объединить и .
Шаг 7.1.4
Переупорядочить коэффициенты в .
Шаг 7.2
Разделите каждое слагаемое на на и упростите.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 7.2.1
Разделите каждое слагаемое на .
Шаг 7.2.2
Упростите левую сторону.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 7.2.2.1
Отменить общий множитель .
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов…
Шаг 7.2.2.1.1
Отменить общий множитель.
Шаг 7.2.2.1.2
Разделить на .
Шаг 7.2.3
Упростите правую сторону.
Нажмите, чтобы увидеть больше шагов.