Решение неоднородных дифференциальных уравнений. Задача Коши
Неоднородные дифференциальные уравнения вычисляют немного больше времени чем однородные, кроме однородного решения необходимо установить частичное решение неоднородного ДУ. На практике это отражается в решении двух разных по схеме вычислений ДУ. Если еще есть условие Коши напоследок всех поисков решения дифференциального уравнения необходимо определить значение постоянных, входящие в функцию. Все это достаточно просто реализуется, поэтому переходим к анализу готовых ответов.
Пример 1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
Решение: Имеем неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка. Как поступать с такими уравнениями подробно рассмотрены на предыдущих уроках.
Найдем сначала решение однородного ДУ. Интегрируем для этого уравнения (левую часть), предварительно разделив переменные:
Далее считаем, что стала С(х) является функцией от переменной x
Все это делается для того, чтобы подобрать постоянную таким образом, чтобы удовлетворить неоднородную функцию – правая часть ДУ.
Найдем производную y’ с учетом выше сказанного
Подставляем функцию и ее производную в исходное дифференциальное уравнение
Видим, что двое слагаемых при суммировании дадут ноль и в результате получим зависимость для производной от постоянной
Из последнего уравнения методом интегрирования находим явный вид постоянной С(x)
После этого можем записать общее решение уравнения
Но это еще не финал вычислений, нам нужно найти частичный решение (задача Коши). Для этого удовлетворяем начальное условие на функцию и вычисляем постоянную
Итак, задача Коши решена и найдено частичное решение дифференциального уравнения в виде
На этом одно из уравнений вычислено. Схема нахождения функции не слишком запутана с одной стороны, с другой ее легко реализовать (постоянную принимаем за функцию). Рассмотрим еще несколько готовых примеров, а дальше учитесь вычислять самостоятельно.
Пример 2. Решить задачу Коши для уравнения
Решение:Имеем неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка + условие Коши. Запишем и проинтегрируем соответствующее однородное уравнение, предварительно разделив переменные
Решение однородного уравнения найти в данном случае довольно легко. Изучите для практики внесения сталой в интегралах под логарифм – это значительно упростит дальнейшие преобразования с решением. Далее рассмотрим константу C как функцию от переменной x
Производная y’ по формуле примет выражение
Подставим функцию y и ее производную y’ в исходное дифференциальное уравнение и выразим производную постоянной
Интегрированием находим недостающую зависимость C(x)
Заменив постоянную полученным только что значением, получим общее решение дифференциального уравнения
Решим задачу Коши. С начального условия имеем
Определив сталую получим y=x2 – частичное решение дифференциального уравнения.
Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения и задачи Коши
Решение:Начнем с анализа левой части дифференциального уравнения. Интегрируем однородное дифференциальное уравнение, предварительно отделив в нем переменные
Для последнего перехода использовали свойство экспоненты – второе слагаемое записали как логарифм от экспоненты ln(exp(1/x)).
Теперь предположим, что константа C(x) – это функция от переменной x:
тогда ее производная равна
Подставляем постоянную и ее производную в исходное дифференциальное уравнение
которое после сокращения слагаемых превратится в зависимость
Из последнего уравнения функцию C(x) находим интегрированием
Итак, мы нашли общее решение дифференциального уравнения
Найдем частичное решение уравнения (задача Коши). Удовлетворим начальное условие на функцию и вычислим постоянную
Отсюда имеем y=x2 – частичное решение уравнения.
На вид простая запись, хотя на ее вычисления потрачено немало времени.
Частичное решения двух последних примеров совпадают, такое редко бывает на практике. Теперь Вы знаете, как решить неоднородное уравнение и выполнить условие Коши.
Если на экзамене или контрольной работе Вам нужна помощь – обращайтесь. Мы помогли не одной тысячи студентов, сможем помочь и Вам.
- Назад
- Вперёд
Решение системы дифуравнений по формуле Коши
Образовательные онлайн сервисы: теория и практика
- Главная
- Примеры
- Математический анализ
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическое программирование
Методы оптимизации - Математика в экономике
Экономическая статистика
- Видео-уроки
- Математический анализ
- Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическое программирование.
Методы оптимизации
- Готовые работы
- Математический анализ
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Линейная алгебра
- Теория вероятностей и математическая статистика
- Математическое программирование
Методы оптимизации - Математика в экономике
Экономическая статистика - Другое
- Контакты
Методы оптимизации
Полезные материалы:
- Учебники
- Справочники
- Онлайн калькуляторы
- Помощь в решении
- Онлайн занятия в Zoom
Решение системы дифуравнений по формуле Коши
Пример использования формулы КошиРассмотрим дифференциальное уравнение с дополнительными условиями:
Перепишем систему в матричном виде:
Решим ее по формуле Коши.
Для этого подсчитаем матрицу
– составлено из векторов ФСР.
Общее решение вычисляется через собственные числа и
соответствующие им векторы матрицы А. Получаем:
Отсюда:
Найдем собственный вектор. соответствующий собственному значению.
Для этого решаем систему линейных алгебраических уравнений
Получаем Для второго вектора аналогично:
Переписываем в матричной форме относительно и получаем:
.
Поскольку то получаем
Таким образом, матрица Коши (Грина) построена и можно применить формулу Коши
С учетом того что окончательно получаем формульное решение задачи Коши:
Решить систему дифференциальных уравнений по формуле Коши
Задать вопрос
Заказать помощь
Отзывы
+7-911-7987704
vk.
com/id286009794
Написать в Whatsapp
Написать в Viber
@matem96
Skype: matem96.ru
Дифференциальные уравнения – Уравнения Эйлера
Онлайн-заметки Пола
Главная
/
Дифференциальные уравнения
/
Серийные решения для DE
/ Уравнения Эйлера
Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания
Мобильное уведомление
Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.
Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 6.4: Уравнения Эйлера
92}}}\]имеют ряды Тейлора около \({x_0} = 0\). Однако из-за \(x\) в знаменателе ни у одного из них не будет ряда Тейлора вокруг \({x_0} = 0\), и поэтому \({x_0} = 0\) является особой точкой. Итак, способ из предыдущего раздела не сработает, так как для него нужна обычная точка.
Однако можно получить решения этого дифференциального уравнения, которые не являются рядами. Начнем с предположения, что \(x>0\) (причина этого станет очевидной после того, как мы проработаем первый пример) и что все решения имеют вид 9г} & = 0\конец{выравнивание*}\]
Теперь мы предположили, что \(x>0\), поэтому это будет ноль, только если
\[\begin{equation}ar\left( {r – 1} \right) + b\left( r \right) + c = 0\label{eq:eq3}\end{equation}\]
Таким образом, решения будут иметь форму \(\eqref{eq:eq2}\), если \(r\) является решением \(\eqref{eq:eq3}\).
Это уравнение является квадратным относительно \(r\), поэтому нам нужно будет рассмотреть три случая: вещественные, различные корни, двойные корни и комплексные корни. 9{- 3}}\]
После решения этого примера мы теперь можем понять, почему нам требуется \(x>0\). Второй член будет иметь деление на ноль, если мы допустим \(x=0\), а первый член даст нам квадратные корни из отрицательных чисел, если мы допустим \(x<0\).
Двойные корни
Этот случай приведет к той же проблеме, с которой мы сталкивались каждый раз, когда сталкивались с двойными корнями (или двойными собственными значениями). Мы получаем только одно решение, и нам понадобится второе решение. В этом случае можно показать, что вторым решением будет 9{ – 1}}\sin \left( {\sqrt 3 \ln x} \right)\]
Теперь мы должны поговорить о том, как поступить с \(x < 0\), так как иногда это возможно. Чтобы справиться с этим, нам нужно использовать преобразование переменных
.
Равноразмерное уравнение Коши-Эйлера
Однородное уравнение второго порядка Коши-Эйлера равномерное уравнение имеет вид
, где a, b, и c — константы (и a ≠ 0). Самый быстрый способ решить это линейное уравнение — заменить y = x m и найти m . Если у = х м , затем
, поэтому подстановка в дифференциальное уравнение дает
Так же, как и в случае решения линейных однородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами (сначала
Случай 1: Корни (*) действительны и различны.
Если два корня обозначены как
Случай 2: Корни (*) действительны и идентичны.
Если двойной (повторный) корень обозначить просто m, , то общее решение (при x > 0) однородного равномерного дифференциального уравнения в этом случае равно
Случай 3: Корни (*) являются различными сопряженными комплексными числами.
Если обозначаются корни r ± si , то общее решение однородного равномерного дифференциального уравнения в этом случае равно
Пример 1 : Дайте общее решение равноразмерного уравнения
Замена y = x м приводит к
Поскольку корни результирующего квадратного уравнения вещественны и различны (случай 1), оба y = x 1 = x и y = x 3 являются решениями и линейно независимыми, а общее решение этого однородного уравнения равно
Пример 2 : Для следующего равномерного уравнения дайте общее решение, которое действительно в области x > 0:
Замена y = x м
Поскольку корни результирующего квадратного уравнения вещественны и идентичны (случай 2), оба y = x 2 и y = x 2 In x являются (линейно независимыми) решениями, поэтому общее решение (справедливо для > 9000) уравнения
Если требуется общее решение не однородного равноразмерного уравнения, сначала используйте описанный выше метод, чтобы получить общее решение соответствующего однородного уравнения; затем примените изменение параметров.