Дифференциальные уравнения линейные онлайн: Дифференциальные уравнения онлайн

онлайн калькулятором

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Это название не случайно, так как нахождение решений обычно связано с процессом интегрирования. Поскольку процесс интегрирования функции приводит к появлению множества функций, то и решений любое дифференциальное уравнение тоже будет иметь множество. Основной задачей теории дифференциальных уравнений является отыскание всех решений данного дифференциального уравнения в заданной области (в явной или неявной форме). Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если все его решения могут быть получены в результате конечной последовательности элементарных действий над известными функциями и интегрированием этих функций. Таких уравнений сравнительно немного. В нашем курсе мы рассмотрим основные типы дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах.

В математике рассматриваются также уравнения, которые связывают искомую функцию нескольких переменных, ее аргументы и частные производные. Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Их интегрирование представляет собой значительно более сложную задачу, чем интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений. Позднее мы познакомимся с одним типом дифференциальных уравнений в частных производных.

Метод бернулли дифференциальные уравнения онлайн калькулятор. Дифференциальное уравнение бернулли и методы его решения

Уравнение Бернулли является одним из наиболее известных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка . Оно записывается в виде

где a (x ) и b (x ) − непрерывные функции. Если m = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифференциальным уравнением. В случае когдаm = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными. В общем случае, когда m ≠ 0, 1, уравнение Бернулли сводится к линейному дифференциальному уравнению с помощью подстановки

Новое дифференциальное уравнение для функции z (x ) имеет вид

и может быть решено способами, описанными на странице Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

МЕТОД БЕРНУЛИ.

Рассматриваемое уравнение можно решить методом Бернулли. Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций: где u, v – функции от x . Дифференцируем: Подставляем в исходное уравнение (1): (2) В качестве v возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения: (3) Уравнение (3) – это уравнение с разделяющимися переменными. После того, как мы нашли его частное решение v = v(x) , подставляем его в (2). Поскольку оно удовлетворяет уравнению (3), то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем: Это также уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv .

64. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. Методы решения

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

называется уравнением в полных дифференциалах , если его левая часть представляет полный дифференциал некоторой функции , т. е.

Теорема. Для того, чтобы уравнение (1) являлось уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой односвязной области изменения переменныхивыполнялось условие

Общий интеграл уравнения (1) имеет вид или

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение .

Решение. Проверим, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах:

так что т.е. условие (2) выполнено. Таким образом, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах и

поэтому , гдепока неопределенная функция.

Интегрируя, получаем . Частная производнаянайденной функциидолжна равняться, что даетоткудатак чтоТаким образом,.

Общий интеграл исходного дифференциального уравнения .

При интегрировании некоторых дифференциальных уравнений можно так сгруппировать члены, что получаются легко интегрируемые комбинации.

65. Обыкновенные дифференциальные линейные уравнения высших порядков: однородные и неодно-родные. Линейный дифференциальный оператор, его свойства (с доказательством).

Линейный дифференциальный оператор и его свойства. Множество функций, имеющих на интервале (a , b ) не менее n производных, образует линейное пространство. Рассмотрим оператор L n (y ), который отображает функцию y (x ), имеющую производных, в функцию, имеющуюk – n производных.

Дифференциальное уравнение Бернулли — это уравнение вида

где n≠0,n≠1.

Это уравнение может быть преобразовано при помощи подстановки

в линейное уравнение

На практике дифференциальное уравнение Бернулли обычно не приводят к линейному, а сразу решают теми же методами, что и линейное уравнение — либо методом Бернулли, либо методом вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим, как решить дифференциальное уравнение Бернулли с помощью замены y=uv (метод Бернулли). Схема решения — как и при .

Примеры. Решить уравнения:

1) y’x+y=-xy².

Это дифференциальное уравнение Бернулли. Приведем его к стандартному виду. Для этого поделим обе части на x: y’+y/x=-y². Здесь p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. Но для решения нам не нужен стандартный вид. Будем работать с той формой записи, которая дана в условии.

1) Замена y=uv, где u=u(x) и v=v(x) — некоторые новые функции от x. Тогда y’=(uv)’=u’v+v’u. Подставляем полученные выражения в условие: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) Раскроем скобки: u’vx+v’ux+uv=-xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые с v: v+v’ux=-xu²v² (I) (слагаемое со степенью v, стоящее в правой части уравнения, не трогаем). Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: u’x+u=0. А это — уравнение с разделяющимися переменными u и x. Решив его, мы найдем u. Подставляем u=du/dx и разделяем переменные: x·du/dx=-u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xu≠0:

(при нахождении u С берем равным нулю).

3) В уравнение (I) подставляем =0 и найденную функцию u=1/x. Имеем уравнение: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². После упрощения: v’=-(1/x)·v². Это уравнение с разделяющимися переменными v и x. Заменяем v’=dv/dx и разделяем переменные: dv/dx=-(1/x)·v². Умножаем обе части уравнения на dx и делим на v²≠0:

(взяли -С, чтобы, умножив обе части на -1, избавиться от минуса). Итак, умножаем на (-1):

(можно было бы взять не С, а ln│C│ и в этом случае было бы v=1/ln│Cx│).

2) 2y’+2y=xy².

Убедимся в том, что это — уравнение Бернулли. Поделив на 2 обе части, получаем y’+y=(x/2) y². Здесь p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. Решаем уравнение методом Бернулли.

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Подставляем эти выражения в первоначальное условие: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) Раскрываем скобки: 2u’v+2v’u+2uv=xu²v². Теперь сгруппируем слагаемые, содержащие v: +2v’u=xu²v² (II). Требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю: 2u’+2u=0, отсюда u’+u=0. Это — уравнение с разделяющимися переменными относительно u и x. Решим его и найдем u. Подставляем u’=du/dx, откуда du/dx=-u. Умножив обе части уравнения на dx и поделив на u≠0, получаем: du/u=-dx. Интегрируем:

3) Подставляем во (II) =0 и

Теперь подставляем v’=dv/dx и разделяем переменные:

Интегрируем:

Левая часть равенства — табличный интеграл, интеграл в правой части находим по формуле интегрирования по частям:

Подставляем найденные v и du по формуле интегрирования по частям имеем:

А так как

Сделаем С=-С:

4) Так как y=uv, подставляем найденные функции u и v:

3) Проинтегрировать уравнение x²(x-1)y’-y²-x(x-2)y=0.

Разделим на x²(x-1)≠0 обе части уравнения и слагаемое с y² перенесем в правую часть:

Это — уравнение Бернулли,

1) Замена y=uv, y’=u’v+v’u. Как обычно, эти выражения подставляем в первоначальное условие: x²(x-1)(u’v+v’u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) Отсюда x²(x-1)u’v+x²(x-1)v’u-x(x-2)uv=u²v². Группируем слагаемые, содержащие v (v² — не трогаем):

v+x²(x-1)v’u=u²v² (III). Теперь требуем равенства нулю выражения в скобках: x²(x-1)u’-x(x-2)u=0, отсюда x²(x-1)u’=x(x-2)u. В уравнении разделяем переменные u и x, u’=du/dx: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на x²(x-1)u≠0:

В левой части уравнения — табличный интеграл. Рациональную дробь в правой части надо разложить на простейшие дроби:

При x=1: 1-2=A·0+B·1, откуда B=-1.

При x=0: 0-2=A(0-1)+B·0, откуда A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. По свойствам логарифмов: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, откуда u=x²/(x-1).

3) В равенство (III) подставляем =0 и u=x²/(x-1). Получаем: 0+x²(x-1)v’u=u²v²,

v’=dv/dx, подставляем:

вместо С возьмем — С, чтобы, умножив обе части на (-1), избавиться от минусов:

Теперь приведем выражения в правой части к общему знаменателю и найдем v:

4) Так как y=uv, подставляя найденные функции u и v, получаем:

Примеры для самопроверки:

1) Убедимся, что это — уравнение Бернулли. Поделив на x обе части, имеем:

1) Замена y=uv, откуда y’=u’v+v’u. Эти y и y’ подставляем в первоначальное условие:

2) Группируем слагаемые с v:

Теперь требуем, чтобы выражение в скобках равнялось нулю и находим из этого условия u:

Интегрируем обе части уравнения:

3) В уравнение (*) подставляем =0 и u=1/x²:

Интегрируем обе части получившегося уравнения.

Дифференциальное уравнение y” +a 0 (x)y=b(x)y n называется уравнением Бернулли .
Так как при n=0 получается линейное уравнение, а при n=1 – с разделяющимися переменными, то предположим, что n ≠ 0 и n ≠ 1. Разделим обе части (1) на y n . Тогда Положив , имеем . Подставляя это выражение, получим , или, что то же самое, z” + (1-n)a 0 (x)z = (1-n)b(x). Это линейное уравнение, которое мы решать умеем.

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли .

Пример 1 . Найти общее решение уравнения y” + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z” + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной , получаем откуда или, что то же самое, .

Пример 2 . y”+y+y 2 =0
y”+y = -y 2

Разделим на y 2
y”/y 2 + 1/y = -1

Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z”= -y”/y 2

Получаем: -z” + z = -1 или z” – z = 1

Пример 3 . xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy”/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z”=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz”/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz”/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z”=4z/x

Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y”(x) = C(x)”x 4 + C(x)(x 4)”
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)” x 4)+2y=-x 5 e x
-C(x)” x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)” = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид

\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),

где p(x) и q(x) – заданные функции от x , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если q(x)\equiv0 , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение

y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\!,

Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде

y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right) , где C(x) – новая неизвестная функция от x .

Пример 1. Решить уравнение y”+2xy=2xe^{-x^2} . {-(R/L)t}.

Отсюда видно, что при t\to+\infty сила тока i(t) стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R} .

Пример 5. Дано семейство C_\alpha интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y”+p(x)y=q(x) .

Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).

Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha в точке M(x,y) .Уравнение касательной в точке M(x,y) имеет вид

\eta-q(x)(\xi-x)=y , где \xi,\eta – текущие координаты точки касательной.

По определению, в соответственных точках x является постоянным, а y переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha в соответственных точках, для координат точки S их пересечения, получаем

\xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.

Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha в соответственных точках (x фиксировано) пересекаются в одной и той же точке

S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right). {-(R/L)t}.

Отсюда видно, что при t\to+\infty сила тока i(t) стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R} .

Пример 5. Дано семейство C_\alpha интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y”+p(x)y=q(x) .

Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).

Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha в точке M(x,y) .Уравнение касательной в точке M(x,y) имеет вид

\eta-q(x)(\xi-x)=y , где \xi,\eta – текущие координаты точки касательной.

По определению, в соответственных точках x является постоянным, а y переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha в соответственных точках, для координат точки S их пересечения, получаем

\xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.

Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha в соответственных точках ( x фиксировано) пересекаются в одной и той же точке

S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right). {x}ty(t)\,dt+x(x+1)y(x) или Источник информации

Дифференциальные уравнения определение, типы ДУ, теория, как решать ДУ первого и второго порядка, методы и примеры подробных решений, онлайн-калькулятор

Многих людей, хоть как-то изучавших курс высшей математики в учебном заведении, приводит в ужас словосочетание «дифференциальные уравнения». 

Согласно строгому научному определению в книгах – так именуются математические выражения, где в состав входят функция, ее производная или параметр. 

Имеется достаточно большое количество типов этих равенств, рассмотрим подходы к их решению так, чтобы они были понятны даже для «чайников».

Дифференциальные уравнения первого порядка

Обыкновенное диффуравнение (ДУ) 1-го порядка задается относительно некой функции, имеющей вид у(х):

F(x,y(x),y´(x)) = 0,

здесь, F(x,y,y’) – это функция, задающаяся для трех аргументов (в этом примере для х, у и у’). Таково строгое математическое определение ДУ.

Для примера можно привести следующее уравнение:

xy'(x) — y(x)2 = 0

функция вида F(x,y,p) = xp — y2

Простейшие ДУ первого порядка

Общепринятый механизм нахождения решения таких выражений (чаще всего похожи на y’ = f(x)) – это интегрирование левой и правой части такого уравнения на заданном промежутке Х. 

После интегрирования получим такое выражение:

∫ y’dx = ∫ f(x)dx

Воспользовавшись свойствами, которые относятся к интегральным выражениям, упростим выражение до вида:

y = F(x) + N

здесь, F(x) – это первообразная от функции f(x) на заданном интервале Х, а N – случайным образом выбранная константа.

Задача №1

Необходимо определить все возможные варианты решения диффуравнения, имеющего вид 

Последовательно рассмотрим решение.

Представленное диффуравнение может иметь смысл только при действительных значениях параметра х. Примем условие, что x ≠ 0, тогда выражение легко преобразовывается в следующее:

Если же, напротив, принять, что х = 0, то выражение приобретет следующий вид, характерный для любых функций y’, удовлетворяющих данному условию:

Можно заключить, что решением при справедливости условия х = 0 будет любая функция у, найденная, когда аргумент равен нулю. Остается только проинтегрировать полученное диффуравнение:

Данное выражение – это решение для приведенного диффуравнения.

ДУ с разделяющимися переменными

Среди дифуров 1-го порядка можно выделить такие, где все переменные х и у можно преобразовать так, что они окажутся по разные стороны от знака равенства.  

Соответственно уравнения, где путем преобразований это возможно сделать, называются диффуравнениями с разделяющимися переменными. 

Их общий вид следующий:

После проведения нескольких преобразований, это выражение может быть сведено к следующему виду:

При составлении преобразований необходимо внимательно разделять переменные, не допуская, чтобы функции обращались в ноль, иначе возможна потеря некоторых значений.

Задача №2

Рассмотрим обыкновенный пример. Необходимо определить все возможные решения диффуравнения y’ = y(x2 + ex)

Как решать? В первую очередь проводим разделение переменных в разные части уравнения:

Данные преобразования справедливы, если у ≠ 0.

Если рассмотреть вариант решения при нулевом показателе функции, то можно заметить ,что

Это означает, что y = 0 – одно из возможных решений задачи.

Рассмотрим другие варианты решений, для чего произведем интегрирование диффуравнения:

Финальная часть преобразований будет вторым решением диффуравнения. Останется только потенциировать это выражение, чтобы привести его к более явному виду:

Правильными решениями, в результате преобразований, будут:

Кроме того, можно воспользоваться онлайн системой для нахождения ответа. Подробные объяснения даны в решебниках Филиппова и Понтрягина.

Линейные неоднородные ДУ первого порядка

Линейные неоднородные уравнения – это такие выражения, которые можно записать в формате y’ + b(x)y = f(x), при этом функции b(x) и f(x) – непрерывные.

Основной принцип при нахождении решения сводится к следующим шагам:

Задача №3

Рассмотрим применение методики решения на примере. 

Необходимо найти решение дифференциального уравнения вида 

Решение заключается в следующем. Первоначально примем, что y = m∗n, следовательно, получается:

На следующем этапе нужно определить, что такое m (оно обязательно не должно быть равным нулю), при котором все выражение внутри скобок будет равно нулю. 

Получаем дополнительное дифференциальное уравнение:

Теперь необходимо принять одно из частных решений n = x2 + 1, которое соответствует равенству С2 — С1=0.

Выполняем оставшиеся преобразования:

Вполне очевидно, что ответом на условие задачи будет функция:

Задача Коши для ДУ

При рассмотрении решения практически любого диффуравнения, имеющего вид F(m,n,n’) = 0, становится очевидно, что это бесконечно большое количество решений (это следствие самого возникновения диффуравнения). 

На данном этапе математики сталкиваются с вопросом о выборе конкретного решения и способе его выделения из множества.Иными словами, если представить решения в виде бесконечного множества интегральных кривых, то необходимо найти среди них нужную. 

Чтобы это сделать, необходимо рассмотреть плоскость Xoy, где должна быть задана некая точка D0, имеющая координаты (x0, y0) – именно через них и должна пройти интегральная кривая, чтобы стать искомым ответом.

Когда мы с самого начала задаем точку D0(x0, y0) – это означает, задание начального условия y(x0) = y0. Диффуравнение, для которого определено начальное условие в представленном формате, называется уравнением с заданной задачей Коши.

Задача №4

Рассмотрим примеры с объяснениями. Необходимо определить решения задачи Коши вида:

Ход решения строится в три этапа. На первом этапе решаем диффуравнение y’ = xy2 стандартным методом. Его решение приводить не будем, приведем только ответ:

Производим подстановку начального значения (х = 0, у = 1) в решение и находим значение С:

Производим подстановку полученного значения в ответ диффуравнения и получаем одно из частных решений:

Полученная функция – ответ на задачу Коши в этом примере.

Дифференциальные уравнения Бернулли

ДУ Бернулли обычно представлено в следующем виде:

y’ + b(x)y = c(x)yn

Обязательное условие, что функции b(x) и c(x) – являются непрерывными.

Задача №5

Рассмотрим общее решение данного типа на примере. Необходимо выполнить поиск всех возможных решений уравнения:

Во время оценки уравнения в нем можно идентифицировать ДУ Бернулли с параметром ½. Оно легко сводится к линейному ДУ, для этого достаточно заменить выражения:

Находим производную:

Выполним деление по начальному уравнению Бернулли на 

и выполним необходимые преобразования:

Произведем замену параметра х на параметр у:

Теперь вычисляем интегрирующий модуль для данной функции, он будет равен:

Теперь производим ряд преобразований для вычисления решения диффуравнения:

Переписываем полученную функцию в неявном виде и получаем ответ:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Отличить ДУ 2-го порядка от таковых 1-го порядка достаточно просто – в их составе присутствует вторая производная (y’’) и не содержится производных более высокого уровня.  

Общий вид таких уравнений таков:

F(m,n,n’,n») = 0  

Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение линейных дифференциальных однородных уравнений 2-го порядка крайне просто – они имеют вид:

y» + ry’ + k = 0

При это важным условием теории является причисление r и k к действительным числам.

Задача №6

Рассмотрим решение однородных диффуравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами на примере.

Найти решение диффуравнения 2-го порядка вида:

Во всех таких случаях начинаем с поиска характеристического уравнения:

Методы решения данного уравнения достаточно простые, можно воспользоваться калькулятором или быстро решить на листочке, поэтому их приводить не будем, запишем лишь корни – 1, 5. 

Поскольку это все действительные, неодинаковые числа, то можно записать функцию-решение в следующем виде:

Линейные неоднородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Общий вид неоднородных диффуравнений второго порядка легко определить по представленному образцу:

y» + ry’ + ky = f(x)

Переменные r и k должны быть вещественными и постоянными числами.

Задача №7

Рассмотрим подробное решение. Необходимо определить все решения для уравнения y» + y = cos x.

На первом этапе находим в составе неоднородного уравнения его однородную часть – это будет y» — y = 0. 

Для него уже выполняем поиск характеристического уравнения – оно будет иметь вид k2 + 1 = 0.

Корнями для данного характеристического уравнения являются k1 = -i и k2 = i. 

Исходя из этого записываем решение для однородного уравнения:

Из-за отсутствия параметра с производной первого порядка также будет справедливо записать:

Теперь остается только подставить найденные выражения:

Частное и общее решение для уравнения можно записать:

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные однородные уравнения высших порядков легко отличить, если они совпадают со следующим видом:

Для неоднородных справедлив другой формат:

Для выбора корректного пути решения ДУ, необходимо четко и правильно определить его тип.  

Для этого необходимо решить уравнение относительно его производной и проверить, возможно ли разложение функции на множители. После этого достаточно сравнить с одним из типов, приведенным в данной статье.

Дифференциальные уравнения – Математика – Смотреть онлайн видео уроки для начинающих бесплатно!

В категории Дифференциальные уравнения собраны бесплатные онлайн видео уроки по этой теме. Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, которое связывает значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке со значением производных этой функции различных порядков в той же точке. В состав ДУ входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала. Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) – имеет неизвестную функцию с одной переменной. Уравнение частными производными (УРЧП) – неизвестная функция зависит от многих переменных. Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) – включающее случайные процессы. Изучение дифференциальных уравнений по видео урокам будет полезно как для начинающих, так и для более опытных математиков. Видеоуроки из рубрики Дифференциальные уравнения Вы можете смотреть бесплатно в любое удобное время. К некоторым видео урокам по дифференциальным уравнениям приложены дополнительные материалы, которые можно скачать. Приятного Вам обучения!

Новые · Лучшие · Популярные

Смотреть урок онлайн

Геометрический смысл дифференциального уравнения

В этом видео рассказывается о геометрическом смысле дифференциального уравнения. Здесь приводится доказательство и формулировка геометрического смысла дифференциального уравнения как уравнения, которое определяет в некоторой области поле направлений, совпадающее с касательными к графикам решений этого уравнения – интегральными кривыми. Это позволяет, не решая дифференциального уравнения, строить графики его решений. На данном занятии также рассматривается пример, в котором требуется приближенно…

Смотреть урок онлайн

Интегрирующий множитель

В этом онлайн уроке рассказывается о том, что такое интегрирующий множитель и как с его помощью можно решать уравнения. Существует такая функция, при умножении на которую обеих частей исходного уравнения, это уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Такую функцию называют интегрирующим множителем. Здесь будет рассматриваться уравнение общий вида, которое не является уравнением в полных дифференциалах. При нахождении интегрирующего множителя часто используют частные случаи…

Смотреть урок онлайн

Решение дифференциального уравнения второго порядка. Часть 2

В этом видео рассказывается о том, как решать дифференциальные уравнения второго порядка, которые не содержат независимую переменную x. Здесь предложена схема, позволяющая понизить порядок и решить уравнение такого вида. Первым шагом, производную искомой функции y заменяют на некоторую функцию p, которая зависит от переменной y. Затем выполняется дифференцирование обеих частей по переменной x, чтобы получить выражение для второй производной функции y. Третьим шагом идет подстановка выражения, в…

Смотреть урок онлайн

Понижение порядка дифференциального уравнения. Часть 1

Урок «Понижение порядка дифференциального уравнения. Часть 1» посвящен вопросу о том, как выполняется понижение порядка дифференциального уравнения. Здесь будет рассмотрено уравнение второго порядка, в котором не содержится искомой функции y. Решить его можно с помощью соответствующей замены переменной, в результате которого происходит преобразование исходного уравнения к уравнению первого порядка. Такое преобразование называется понижение порядка. На этом занятии дана схема последовательная. ..

Смотреть урок онлайн

Дифференциальные уравнения второго порядка, примеры, решение

Видео «Дифференциальные уравнения второго порядка, примеры, решение» посвящено вопросу о том, что собой представляют линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и как они решаются. Здесь вы узнаете, какой общий вид имеет такое уравнение и его упрощенный вид. Очень важно уметь их решать, т.к. к ним сводится большое количество задач математики, механики, электротехники и некоторых других наук. С помощью линейных уравнений описываются всевозможные…

Смотреть урок онлайн

Уравнение в полных дифференциалах, примеры, решение

В этом видео уроке рассказывается о том, что собой представляют дифференциальные уравнение в полных дифференциалах и как они решаются. В первой части занятия будет сформулировано определение, какое дифференциальное уравнение первого порядка, выраженное через дифференциалы своих переменных, называется уравнением в полных дифференциалах. Здесь вы также научитесь определять, является ли заданное уравнение, уравнением в полных дифференциалах. В данном видео уроке кроме теоретического материала…

Смотреть урок онлайн

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, примеры, решение

Онлайн урок «Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, примеры, решение» посвящен вопросу о том, что такое линейные дифференциальные уравнения и как они решаются. Начинается занятие с формулировки общего определения и разбора структуры такого уравнения. Здесь вы также узнаете, в каком случае уравнение называется однородным. Одним из наиболее эффективных методов решения линейных уравнений является метод Бернулли, алгоритм применения которого будет подробно рассмотрен. В этом видео…

Смотреть урок онлайн

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка, решение

Это видео посвящено вопросу о том, что собой представляют однородные дифференциальные уравнения первого порядка, а также как выполнять их решение на конкретном примере. Начинается урок с формулировки определения однородной функции. В качестве примера используется однородная функция второго порядка. После этого будет сформулировано определение однородного дифференциального уравнения и предоставлен набор формул, позволяющих свести такое уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. В…

Смотреть урок онлайн

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 2

В этом онлайн уроке рассказывается о дифференциальных уравнениях с разделяющимися переменными. Такие уравнения могут быть представлены в форме, когда в них входит не производная, а дифференциалы. При такой записи говорят, что дифференциальное уравнение представлено в симметричной форме. При этом переменные x и y равноправны, и каждую из них можно рассматривать как функцию другой. На этом занятии рассказывается, как решать такие уравнения. Решение производится путем преобразования исходного…

Смотреть урок онлайн

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Видео урок «Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Часть 1» посвящен вопросу о решении таких уравнений. Здесь дается определение дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Очень важно уметь решать такие уравнения, потому, что к ним сводится достаточно большое число уравнений других типов. Ход решения исходного уравнения идет через преобразования его к уравнению с разделенными переменными, решение которого можно получить с помощью интегрирования…

1 2

Если у Вас есть качественные видео уроки, которых нет на нашем сайте, то Вы можете добавить их в нашу коллекцию. Для этого Вам необходимо загрузить их на видеохостинг (например, YouTube) и добавить код видео в форму добавления уроков. Возможность добавлять свои материалы доступна только для зарегистрированных пользователей.

дифференциальных уравнений | Центр талантливой молодежи Джона Хопкинса (CTY)

О курсе

Дифференциальные уравнения

• 9+ класс
• CTY-уровень

• Индивидуальный темп

Изучите темы, обычно рассматриваемые в семестровом введении к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Мы будем усиливать обучение с помощью интерактивных онлайн-материалов, домашних заданий, викторин, проектов и экзаменов, пока ваш инструктор проведет вас через строгие области, включая линейные дифференциальные уравнения первого порядка и линейные решения линейных уравнений второго порядка, преобразование Лапласа и линейные и нелинейные системы. Вы будете смотреть видео и регулярно изучать свои заметки, чтобы подготовиться к оцениванию; ваш назначенный инструктор также доступен для индивидуальных обзорных занятий и дополнительной поддержки по мере прохождения сложной учебной программы.

Рекомендуемая продолжительность курса: 6 месяцев

Время: 5-7 часов самостоятельной работы в неделю.

До 9 месяцев доступа

Выберите дату начала

Зарегистрируйтесь

Тестирование и предварительные условия

Проверьте свое право на участие, используя существующие результаты тестов Если у вас нет существующих результатов тестов:

Учащиеся должны набрать квалификационные баллы по углубленному тестированию, чтобы иметь право на участие в программах CTY. Если у вас нет квалификационных баллов, у вас есть несколько различных вариантов тестирования. Мы поможем подобрать правильный вариант для вашей ситуации.

Записаться на тестированиеПодробнее

Предварительные требования к курсу

Дифференциальные уравнения требуют:

1 необходимое условие

Успешное завершение курса «Линейная алгебра» или «Многомерное исчисление» или эквивалента (желательно завершение обоих курсов)

Стоимость и финансовая помощь

• Стоимость обучения

  • Варьируется

• Плата за подачу заявления

  • Невозмещаемый регистрационный взнос — 15 долларов США (отменяется для заявителей на получение финансовой помощи)
  • Невозмещаемый международный сбор – 20 долларов США (только за пределами США)

Финансовая помощь доступна

Мы стремимся служить всем талантливым молодым людям независимо от финансовых обстоятельств. Финансовая помощь предоставляется в зависимости от потребности.

Подробнее

Технические требования

Для прохождения этого курса требуется компьютер с высокоскоростным доступом в Интернет и современный веб-браузер, такой как Chrome или Firefox. Вы должны иметь возможность общаться с преподавателем по электронной почте. Посетите страницу Технические требования и поддержка для получения более подробной информации.

Этот курс использует виртуальный класс для общения преподавателя и студента. Класс работает на стандартных компьютерах с настольным клиентом Zoom, а также на планшетах или портативных устройствах, поддерживающих приложение Zoom Mobile. Записанные встречи можно просматривать только на компьютере с установленным настольным клиентом Zoom. Настольный клиент Zoom и мобильное приложение Zoom можно загрузить бесплатно.

Большинство лекций курса можно просматривать на мобильных устройствах, но некоторые задания и тесты необходимо выполнять на настольном или портативном компьютере.

Этот курс использует программу прокторинга Respondus LockDown Browser для назначенных оценок. LockDown Browser — это клиентское приложение, которое устанавливается на локальный компьютер. Посетите веб-сайт Respondus, чтобы узнать системные требования.

Положения и условия

После того, как вы закончите курс, ваши проекты могут быть использованы в качестве иллюстраций для будущих студентов.

Вам потребуется создать учетную запись на стороннем сайте, чтобы получить доступ к ресурсам курса.

Наши онлайн-курсы по математике, охватывающие учебные программы от начальной школы до уровня колледжа, охватывают широкий круг тем, от алгебры и геометрии до шахмат, криптологии и исчисления, и проводятся под руководством опытных инструкторов. Вы будете присоединяться к групповым занятиям с одноклассниками, чтобы не отставать от сложного содержания курса. Если вы ищете чисто математическое развлечение и обогащение, чтобы подняться по математической лестнице и повысить свои награды и академический статус AP (и выше), или подготовиться к математическим соревнованиям, есть курс CTY, который подходит именно вам.

Доступны новые курсы повышения квалификации по математике!

Ознакомьтесь с нашими новыми курсами повышения квалификации по математике, включая экскурсы по предварительной алгебре, математическому моделированию и введению в логику и доказательства.

Присоединяйтесь к захватывающему миру соревновательной математики

Примите участие в Математическом клубе средней школы или запишитесь на 6 курсов интеллектуальной собственности: соревновательная математика средней школы I, соревновательная математика средней школы II, соревновательная математика средней школы III, подготовка к соревновательной математике, соревновательная математика I, Конкурсная математика II.

Познакомьтесь с нашими преподавателями математики

Мне нравится помогать учащимся понимать сложные темы и устанавливать связи между ними. Понимание исчисления — это то, что делает возможными передовые инженерные приложения, поэтому оно чрезвычайно актуально для сегодняшнего мира и для изобретений завтрашнего дня.

Донна Миллер

Преподаватель математики

Мне нравится, что благодаря CTY я получаю возможность работать с одаренными учениками со всего мира. Я считаю честью быть частью их пути!

Аманда Бротон

Преподаватель математики

Я так взволнован, когда студенты могут выстоять и расшифровать очень сложный шифр в курсе! Мне нравится, что криптология учит терпению и самоотверженности, а математика — это гораздо больше, чем просто изучение чисел и уравнений.

Джиллиан Грин

Преподаватель математики

▷Step by Step Приложения для TI-Nspire CX и CX CAS Скачать бесплатно. Получите высшие баллы по математике, естественным наукам и бизнесу

Для подготовки к экзаменам по математике и естественным наукам, домашнее задание. Проверьте свою работу.

— Шаг за шагом к успеху. Приложения запускаются за считанные минуты. Сначала протестируйте наши бесплатные пробные версии.—

КОВИД СПЕЦИАЛЬНЫЙ

Купите 3 приложения Made Easy по цене 2 приложений.

Выберите 3 приложения. EasyBusiness Stats Made EasyCalculus with Physics Apps Calculo de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht Gemacht DiscreteMDisateM de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenieu r Mathematik Leicht GemachtFinance Made EasyКонечная математика Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GmachtGeometria de Manera FacilLand Survey Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GmachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyЧисленный анализ Made EasyТеория чисел Made EasyPhysik LeachPhysich Research Made EasyPhysik Research Made EasyPhysik GemachtFisica de Manera FacilPortfolio & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathSignals and Systems Made EasyStatistics and Probability Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatic and Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equation Solver Ecuaciones de Manera FacilПошаговый конвертер единиц измеренияThermodynamics Made EasyThermodynamik Leicht GemachtTrigonometry Made EasyTrigonometria de Manera FacilTri gonometrie Leicht GemachtVector Calculus Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht

Calculus Made EasyACT Made EasyAccounting Made EasyAerodynamics Made EasyAnalysis Leicht GemachtAnalysis mit PhysikAlgebra Made Easy CX CASAlgebra Made Easy CXAlgebra Leicht Gemacht CX CASAlgebra de Manera FacilAlgebra de Manera Facil CXApplications and Optimizations Made EasyBiology Made EasyBiostatistics AppBusiness Calculus Made EasyBusiness Stats with Physics de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht GemachtDiscrete Math Made EasyMatematicas Discretas de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenieur Mathematik Leicht GemachtFinance Mad e EasyFinite Math Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GemachtGeometria de Manera FacilLand Surveying Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GemachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyNumerical Analysis Made EasyNumber Theory Made EasyProperties Research Made EasyPhysik Made EasyPhysik Leicht Gemacht & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathСигналы и системы Made EasyСтатистика и вероятность Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatik und Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equal SolverSolucionador de EcuacionesStep de Manera Facil by Step Unit ConverterThermodynamic Made EasyThermodynamik Leicht GemachtТригонометрия Made EasyTrigonometria de Manera FacilTrigonometrie Leicht GemachtВекторный расчет us Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht

Calculus Made EasyACT Made EasyAccounting Made EasyAerodynamics Made EasyAnalysis Leicht GemachtAnalysis mit PhysikAlgebra Made Easy CX CASAlgebra Made Easy CXAlgebra Leicht Gemacht CX CASAlgebra de Manera FacilAlgebra de Manera Facil CXApplications and Optimizations Made EasyBiology Made EasyBiostatistics AppBusiness Calculus Made EasyBusiness Stats with Physics de Manera Facil Chemistry Made EasyChemie Leicht GemachtQuimica de Manera FacilCollege Algebra Made Easy CX CASCollege Algebra Made Easy CXComplex Analysis Made EasyConics Made EasyConico de Manera FacilDifferential Equations Made EasyEcuaciones Diferencial de Manera FacilDifferential Gleichungen Leicht GemachtDiscrete Math Made EasyMatematicas Discretas de Manera FacilEconomics Made EasyEinheiten Umwandler mit SchrittenElectrical Engineering Made EasyElectronik Leicht GemachtEngineering Economics Made EasyEngineering Mathematics Made EasyIngenieur Mathematik Leicht GemachtFinance Mad e EasyFinite Math Made EasyGeometry Made EasyGeometrie Leicht GemachtGeometria de Manera FacilLand Surveying Made EasyLinear Algebra Made EasyLinear Algebra de Manera FacilLineare Algebra Leicht GemachtMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyMathematical Economics Made EasyCXMatrix Made EasyNumerical Analysis Made EasyNumber Theory Made EasyProperties Research Made EasyPhysik Made EasyPhysik Leicht Gemacht & Stocks Made EasyPreCalculus Made EasyPreCalculus Made Easy CXPreCalculus Made Easy CXPreCalculo de Manera FacilReal Estate Made EasySAT Made EasySAT Subject Test MathСигналы и системы Made EasyСтатистика и вероятность Made EasyStatistik Leicht GemachtEstadisticas de Manera FacilStatik und Dynamics Made EasyStatik und Dynamik Leicht GemachtStep by Step Equal SolverSolucionador de EcuacionesStep de Manera Facil by Step Unit ConverterThermodynamic Made EasyThermodynamik Leicht GemachtТригонометрия Made EasyTrigonometria de Manera FacilTrigonometrie Leicht GemachtВекторный расчет us Made EasyVektor Analysis Leicht GemachtWirtschaftsmathematik Leicht Gemacht

Введите последние 8 цифр вашего 27-значного идентификатора продукта TI-Nspire.

Находится в разделе 5:Настройки → 4:Статус → О программе

ID может выглядеть так: 1008000007206E210B0 BD92F455 . ПОМОГИТЕ НАЙТИ ID.
Если бы это был ваш ID, вы бы набрали только BD92F455.

или на международном уровне:

В конце оплаты через PayPal вам будет отправлено электронное письмо с вашим ключом и программным обеспечением.

Хотите купить TI-калькулятор?

Получите самые низкие цены на TI-Calculators
(со сравнением цен)

СРАВНИТЕ лучшие цены на Amazon, Ebay, Target, Walmart, Office Max, Best Buy.

Сравните лучшие цены на Amazon, Walmart, Ebay, Target, Best Buy и т. д.
Изучите историю цен калькуляторов за последние несколько месяцев.
Настройте оповещение по электронной почте при снижении цен, чтобы получать уведомления.
Сравните различные модели, чтобы найти калькулятор, который лучше всего соответствует вашим потребностям.
Найдите новые, обновленные, восстановленные, подержанные калькуляторы.
Смотрите обучающие видео и читайте руководства по калькуляторам.
Читайте последние новости о калькуляторах в Интернете.

БЕСПЛАТНАЯ загрузка:
Решатель квадратных уравнений (шаг за шагом)

Загрузите пошаговый решатель квадратных уравнений

. Этот решатель является частью приложения Algebra Made Easy.

– Загрузите бесплатные пробные версии здесь.

– Срок действия пробных и платных приложений неограничен.

– Будущие обновления бесплатны – навсегда!

Онлайн-репетиторство по математике

Получите онлайн-репетиторство.

Репетиторы с отличными оценками по математике будут рады помочь вам.

Получите индивидуальную помощь по математике.

Мы используем Zoom для обучения онлайн, мы шаг за шагом объясняем, как решать математические задачи.

Репетиторы в настоящее время преподают алгебру, алгебру 2, предварительное исчисление, AP исчисление AB и BC, AP статистику, тригонометрию, дискретную математику.

Репетиторы более 10 лет работали в качестве читателей AP Calculus (те люди, которые оценивают экзамены AP Calculus).

Репетиторы также обучают навыкам сдачи тестов, которые так же важны, как и само содержание.

Наши преподаватели имеют более 20 лет опыта преподавания.

1. урок стоит 50$, после этого 100$ в час.
оптом: 540 долларов за 6 часов, 1000 долларов за 12 часов.

Забронируйте сеанс репетиторства по электронной почте: [email protected]

Для вопросов, заказов и т. д.: СВЯЖИТЕСЬ С НАМИ.

Решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Решения серии для линейных уравнений второго порядка Дифференциальные уравнения

Мы полностью исследовали решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Теперь мы рассмотрим, как найти решения для линейные дифференциальные уравнения второго порядка, коэффициенты которых не равны обязательно постоянный. Пусть

        P(x)y” + Q(x)y’ + R(x)y = g(x)

Быть дифференциальным уравнением второго порядка с P, Q, Р, и г все непрерывный. Тогда x ₀ есть единственное число . точка, если P(x ₀ ) = 0, но Q и R не обращаются в нуль в x ₀ . В противном случае мы говорим, что x ₀ является обычным пункт . Пока мы будем исследовать только обычные точки.

Пример

Найдите решение 

        у” + ху’ + у  =  0    у(0)  =  0 у'(0) = 1

Раствор

Так как дифференциальное уравнение имеет непостоянные коэффициенты, мы не можем предположим, что решение имеет вид y = e ^rt . Вместо этого мы используем тот факт, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка должно имеют единственное решение. Мы можем выразить это уникальное решение как мощность серия

Если мы сможем определить a _n для все n, то мы знаем решение. К счастью, мы можем легко взять производные

Теперь подставим их в исходное дифференциальное уравнение

Мы можем умножить x на второй член, чтобы получить

Мы хотели бы объединить подобные термины, но есть две проблемы. во-первых, степени x не совпадают, и во-вторых, суммирование начинается по-разному. Мы сначала разберемся со степенями х. Мы сдвигаем индекс первое суммирование, полагая 

        ты =  n – 2        n  =  u + 2

Приходим к

Поскольку u — фиктивная переменная, мы можем назвать ее n вместо того, чтобы получить

Далее разбираемся со второй проблемой. Второе суммирование начинается с 1 в то время как первый и третий начинаются с 0. Мы имеем дело с этим, вытащив 0 ^th срок. Подставляем 0 в первую и третью серия, чтобы получить

        (0 + 2)(0 + 1)а ₀₊₂ х ₀   =  2а ₂

и

        а ₀ x ⁰ = а ₀  

Мы можем записать ряд как

Начальные условия дают нам, что

        а ₀ = 0 и        a ₁ =  1

Теперь приравниваем коэффициенты. Термины в ряду начинаются с первая степень x, поэтому постоянный член дает нам

        2а ₂ + а ₀   =  0

Так как ₀   =  0, то и ₂ . Теперь коэффициент перед x ⁿ равен нулю для всех n. У нас есть

        (n + 2)(n + 1)а _n+2 + (n + 1)а _n   =  0  

Решение для _n+2 дает

-а _н
     a _n+2 =               
п+2

Мы сразу видим, что

        а _n = 0

даже. Теперь вычислите нечетное a _n

-1 1 -1
а ₁   = 1        a ₃   = а ₅   = а ₇   =              
3 3 ^. 5 3 ^. 5 ^. 7

В целом

(-1) ⁿ 2 ⁿ (n!)(-1) ⁿ
        a _2n+1 знак равно =                                   
3 ^. 5 ^. 7 ^. … ^. (2н+1) (2н + 1)!

Окончательное решение

Это не может быть записано в терминах элементарных функций, однако компьютер может построить график или рассчитать значение с любым количеством знаков после запятой.

Пример

Найдите первые три ненулевых члена двух линейно независимых решений до  

        xy” + 2г  =  0       

Раствор

Обратите внимание, что 0 является особой точкой этого дифференциальное уравнение. Мы не сможем найти решение в виде Sa _n y ⁿ , начиная с решение не будет дифференцируемо в нуле. В качестве альтернативы мы находим решение в форме

Это степенной ряд с центром вокруг x  = 1, которая не является особой точкой. Теперь возьмем производные

Подстановка в дифференциальное уравнение дает

Письмо

        х = (х – 1) + 1

и умножение дает

Пусть u  =  n – 2 в первом суммирование, u =  n – 2 во втором и затем изменение индексной переменной обратно на n дает

Теперь подставив n = 0 в второй и третий ряд получаем

Теперь мы можем приравнять коэффициенты, чтобы найти

        2а ₂ + 2а ₀   =  0

        (n + 1)na _n+1 + (n + 2)(n + 1)a _n+2 + 2a _n   =  0

Первое уравнение говорит, что

        а ₂ =  -a ₀  

Отношение рекурсии говорит

-(n + 1)na _n+1 – 2a _n
     a _n+2 =                                                 
(n + 2)(n + 1)   

Мы хотим найти два линейно независимых решения. Для этого мы можно выбрать первые два члена ряда. Самый простой выбор

        а ₀ =  0    а ₁   = 1 а также а ₀   =  1    а ₁   =  0

Подключаем первую пару, получаем

        а ₀ =  0    a ₁   =  1    a ₂ =  0    a ₃   =  [-2(0) – 2(1)]/6 = -1/3

        а ₄ = [-2(3)(-1/3) – 2(0)]/12 = 1/6

Подключаем вторую пару, получаем

        а ₀ =  1    a ₁   =  0    a ₂ =  -1    a ₃   =  [-2(-1) – 2(0)]/6 =  1/3

Мы можем написать

        д ₁ = (x – 1) – 1/3 (x – 1) ³ + 1/6 (x – 1) ⁴ + …

        д ₂ = 1 – (x – 1) ² + 1/3 (x – 1) ³ + …

Щелкните здесь, чтобы получить дополнительную пример

Назад на домашнюю страницу методов степенных рядов и преобразований Лапласа

Назад на домашнюю страницу дифференциальных уравнений

Назад к математике Домашняя страница отдела

электронная почта Вопросы и предложения

Решатель дифференциальных уравнений онлайн

jpg”>   Учебники по алгебре!       года.   Понедельник, 3 октября

Дом Вычисления с отрицательными числами Решение линейных уравнений Системы линейных уравнений Решение линейных уравнений графически Алгебра Выражения Вычисление выражений и решение уравнений Правила дробей Факторинг квадратных трехчленов Умножение и деление дробей Деление десятичных дробей на целые числа Сложение и вычитание радикалов Вычитание дробей Разложение многочленов на множители по группам Наклоны перпендикулярных линий Линейные уравнения Корни – Радикалы 1 График линии Сумма корней квадратного числа Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки Факторинг трехчленов со старшим коэффициентом 1 Написание линейных уравнений с использованием наклона и точки Упрощение выражений с отрицательными показателями Решение уравнений 3 Решение квадратных уравнений Родительские и семейные графики Сбор похожих терминов -й Корень Степень частного свойства показателей Сложение и вычитание дробей Проценты Решение линейных систем уравнений методом исключения Квадратичная формула Дроби и смешанные числа Решение рациональных уравнений Умножение специальных биномов Округление чисел Факторинг по группировке Полярная форма комплексного числа Решение квадратных уравнений Упрощение сложных дробей Алгебра Общие журналы Операции над числами со знаком Умножение дробей в общем Деление многочленов Полиномы Высшие степени и переменные показатели Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков Написание рационального выражения в минимальных терминах Решение квадратных неравенств с помощью графика знаков Решение линейных уравнений Квадрат бинома Свойства отрицательных показателей Обратные функции дроби Вращение эллипса Умножение чисел Линейные уравнения Решение уравнений с одним логарифмическим членом Объединение операций Эллипс Прямые линии Графическое отображение неравенств с двумя переменными Решение тригонометрических уравнений Сложение и вычитание дробей Простые трехчлены как произведения двучленов Соотношения и пропорции Решение уравнений Умножение и деление дробей 2 Рациональные числа Разность двух квадратов Разложение многочленов на множители по группам Решение уравнений, содержащих рациональные выражения Решение квадратных уравнений Деление и вычитание рациональных выражений Квадратные корни и действительные числа Порядок действий Решение нелинейных уравнений подстановкой Формулы расстояния и средней точки Линейные уравнения График с использованием точек пересечения x и y Свойства показателей степени Решение квадратных уравнений Решение одношаговых уравнений с помощью алгебры Относительно простые числа Решение квадратного неравенства двумя решениями Квадратика Операции над радикалами Разложение на множители разности двух квадратов Прямые линии Решение квадратных уравнений с помощью факторинга Графики логарифмических функций Упрощение выражений, включающих переменные Добавление целых чисел Десятичные числа Разложение на множители полностью общих квадратных трехчленов Использование шаблонов для умножения двух двучленов Сложение и вычитание рациональных выражений с отличающимися знаменателями Рациональные показатели Горизонтальные и вертикальные линии     Expression Equation Inequality Contact us Simplify Factor Expand GCF LCM Solve Graph System Solve Graph System Математический решатель на вашем сайте Наших пользователей: Я считаю, что программа очень полезна! Благодарю вас! Дэниел Коттон, Невада Это программное обеспечение по алгебре дает моей дочери возможность учиться самостоятельно, предлагая факты и полезные советы, прежде чем предлагать ей задачи для решения. Очень хорошо получается. . . Я думаю, что программное обеспечение прекрасно помогает студентам в течение всего года, дополняя любые материалы, которые они получают в обычном классе. г-н Том Кэрол, Нью-Йорк Спасибо! Это новое программное обеспечение является реальной помощью. Мой сын может получить реальные ответы, в то время как я просто выполнил шаг, не задумываясь. Возможно, вы только что сохранили его оценки. Лейси Мэгги, Аризона Сначала я купил Algebrator для своей жены, потому что она никак не могла справиться с домашним заданием по алгебре. Теперь это помогло только с каждой проблемой, а также объяснило шаги для каждой. Теперь моя жена использует программу для проверки своих ответов. Льюис Лейбор, Аризона Студенты, борющиеся со всевозможными задачами по алгебре, узнают, что наше программное обеспечение может спасти им жизнь. Вот поисковые фразы, которые сегодняшние поисковики использовали, чтобы найти наш сайт. Сможете ли вы найти среди них свою? Поисковые фразы, использованные 01.06.2014: как вычислить вероятность с помощью графического калькулятора какие три правила добавления чисел со знаком? завершить квадратный калькулятор рациональных выражений решаются пошаговым калькулятором написание десятичной таблицы способов решения квадратных уравнений как использовать кубический корень на калькуляторе образцов математики недвижимости квадратичный решатель третьего порядка математика – решение уравнений – в квадратных скобках в кубе NC 6-й класс EOG вопросы дробь Matlab в двоичный код бесплатный предварительный тест по алгебре простой практический тест по алгебре Квадратичная функция TI-84 концепция алгебры год 8 тест по алгебре год 7 рабочих листов по алгебре Работа в 9 классе онлайн самостоятельные уроки математики и алгебры решение неоднородных уравнений в частных производных второго порядка радикалов　и дробь математическое упражнение для 9-го класса лист формул для 7 класса по математике Рабочий лист с задачами на дробные слова geo utm онлайн конвертер бесплатное приложение dos Algebra II Teachers Edition 6 Prentice Hall образцов контрольных работ по математике бесплатная помощь в решении биномиальной теоремы основной принцип, который можно использовать для упрощения многочлена как найти корни многочлена в кубе ТАБЛИЦЫ СООТНОШЕНИЙ GMAT трехчленов онлайн калькулятор бесплатно математическая параблоа способы решения умножение целого числа на десятичное число весёлых рабочих листов по математике ks3 как решать алгебраические уравнения примеров гиперболы в современной жизни бесплатная практика по алгебре интегрированных рабочих листов по алгебре программа ti 83 квадратное уравнение действительное упрощение подкоренного выражения как решить показатель степени Двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная система счисления Основы математики — сложение, вычитание, умножение и деление уравнение теплопроводности первого порядка ti 89 вход в журнал Решение уравнений сложением и вычитанием преобразование в ту же базовую алгебру бесплатно загружаемое занятие для первого класса ti-84 плюс программа кубического уравнения как делать логарифмы на TI-89 ln x = квадратный корень 5 “записать в экспоненциальной форме” упростить корни в степени бесплатный тест по алгебре Экзамен CAT PPT многочлен онлайн-поиска корней polynomdivision mit ti 84 плюс ti-89 инструкция pdf Скачать бесплатный учебник по математическим способностям упрощение целочисленных показателей решение нелинейных дифференциальных уравнений в Matlab Алгебра Холта 1 CD ответь на мой вопрос по алгебре высшая математика для чайников Холт, Райнхарт и Уинстон Alg2 оценка рабочего листа 9 алгебраического выражения0008 вопросов по алгебре gcse проц на ти-84 продвинутая математика 6-го класса Техас ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ РАБОЧИЙ ЛИСТ 7 КЛАСС найти комплексный корень двучлена график наилучшей практики sumsof 8 стандарт как решить радикальное уравнение с двойными радикалами онлайн калькулятор квадратного корня Калькулятор квадратного корня решение кубических многочленов пример математических молитв отрицательная целая дробь напишите уравнения алгебраических НЕПРЯМЫХ ВАРИАЦИЙ примеры и ответы Рабочий лист для работы с целыми числами бесплатные рабочие листы для 5-го класса Бесплатный калькулятор алгебры Диаграмма наибольшего общего знаменателя саксонское исчисление онлайн наборы задач объяснил задач вопросы и ответы девятый класс Решатель “рациональных выражений” Использование таблиц для решения систем уравнений Полезный онлайн-калькулятор графиков бесплатных рабочих листов по алгебре для домашнего обучения Рабочие листы по алгебре для 7-го класса где ключ журнала в ti 89 разложение на множители алгебраических выражений деление квадратного корня с переменными Тест на готовность к математике для 5 класса Предыдущий Далее

Авторские права © 2005-2022

Все, что вам нужно знать, прежде чем приступить к онлайн-курсу по дифференциальным уравнениям

Онлайн-курсы — это инновационное решение для тех, кто ищет возможности получить академический кредит, улучшить свои математические навыки и нуждается в помощи, чтобы не отставать от учебы в колледже. Дифференциальные уравнения — это продвинутая математическая категория, в которой используются многие принципы исчисления II. На онлайн-курсах по дифференциальным уравнениям студенты изучают способы решения сложных задач и анализируют смысл решений.

Вот некоторая полезная информация о структуре онлайн-курса, преимуществах дополнительных академических кредитов и организационных моментах.

Нежное введение в дифференциальные уравнения

Компьютерная алгебра может легко решить многие математические задачи, но дифференциальные уравнения — нет. Дифференциальные уравнения приходится решать вручную. Некоторые школы сосредотачиваются на обучении учащихся технической части уравнения, а не логике. Это известно как традиционный подход дифференциальных уравнений. Он не готовит студентов к тому, как применять его в реальной жизни.

 На профессиональной образовательной платформе студенты получают научно-математический подход. Отвечая на такие вопросы, как значение уравнений, понимание этих решений и разницу в интерпретации графических и числовых решений. В качестве примера вы можете увидеть на изображении ниже, как выглядит график дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения сосредоточены на качественном понимании решения. Таким образом, выпускники будут уверенно использовать свои знания вне уроков математики. Методы анализа, изученные на курсах по дифференциальным уравнениям, пригодятся, если учащиеся захотят позже изучить более сложные математические категории.

Дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), дифференциальные уравнения в частных производных и расширенные дифференциальные уравнения. Каждая онлайн-платформа может предоставить студентам учебную программу курса, чтобы убедиться, что они будут преподавать во время занятий. ODE обычно находится в центре внимания курсов дифференциальных уравнений. Те, кто хочет изучать сложные дифференциальные уравнения, должны быть осторожны при выборе онлайн-платформы, поскольку эти темы сильно отличаются от ODE.

Требования для прохождения курса дифференциальных уравнений

Перед записью на курс математики, как и на любой языковой курс, студенты должны оценить свой уровень знаний перед началом курса. Чтобы не потеряться в курсе, некоторым учащимся требуется повторение предыдущего материала. Обычно поступающие на курс дифференциальных уравнений должны пройти исчисление I и II, будучи уверенными в дифференциальном и интегральном исчислении.

Некоторые школы и образовательные платформы могут потребовать быть уверенными в линейной алгебре. Однако дифференциальные уравнения практически не зависят от линейной алгебры, и большинство студентов даже изучают эти курсы одновременно.

Кроме тех, кто хочет изучать дифференциальные уравнения на более глубоком уровне, онлайн-курс станет отличной возможностью закрепить знания для всех студентов, у которых уже есть такие предметы в университете или колледже, а также для студентов, которые готовятся к дифференциальным уравнениям урок уравнений в предстоящем семестре.

Курс дифференциальных уравнений для старшеклассников.

Каждый учащийся находится на разном уровне знаний по математике, а затем некоторые студенты колледжа изо всех сил пытаются посещать занятия по дифференциальным уравнениям и нуждаются в дополнительной помощи онлайн-курсов. Многим продвинутым старшеклассникам такие занятия могут быть интересны. Как правило, самый продвинутый уровень математики, преподаваемый в средней школе, – это AP Calculus BC (что эквивалентно Calculus I и II). Именно тогда многие одаренные старшеклассники, которые хотели бы заниматься математикой в ​​будущем, оказываются в затруднительном положении.

Онлайн-курс по дифференциальным уравнениям в этом случае — отличный ход для продвинутых старшеклассников. Это довольно легко совмещать со школьной работой в автономном режиме и поддерживать мозг в тонусе и быть готовым к будущей учебе в колледже или университете. И как только вы поступите в колледж, вам не нужно будет освежать воспоминания о Calculus II, которые вы когда-то делали.

С онлайн-уроками математики можно прогрессировать в дифференциальных уравнениях, линейной алгебре, многомерном исчислении или статистике на основе исчисления. Выбрав профессиональную образовательную платформу, которая может гарантировать вам академические кредиты, продвинутые студенты могут быстрее продвигаться в своей области обучения без необходимости тратить семестр на занятия, которые они закончили ранее.

Какие двери может открыть для меня математика?

Этот вопрос задают большинство учащихся, особенно те, у кого нет успехов в математике. Статистика и математика являются основой технологических разработок и инженерии. Выпускников, освоивших математику, ценят за их аналитические способности и логику.

Наличие степени по математике гарантирует вам работу в различных отраслях, от науки о данных, моделирования климата и инвестиций до банковского дела и разработчиков систем. В то же время вам не избежать математики, если вы пытаетесь сделать карьеру в сфере информационных технологий и технологий, которая, без сомнения, является самой передовой отраслью.

Организация работы на онлайн-курсе

Поэтому онлайн-курсы используют материалы в формате PDF наряду с видеоуроками, где каждая тема подробно объясняется. В то время как для некоторых математических курсов программное обеспечение по компьютерной алгебре необходимо для обучения, курс по дифференциальным уравнениям прост — нет необходимости изучать неизвестное программное обеспечение, прежде чем переходить к реальной математике.

В то же время учащиеся по-прежнему получают четкое общение со своими учителями и возможность задавать вопросы и получать исправления.

В заключение стоит отметить, что дифференциальные уравнения широко используются в различных областях науки. Студентам, которые интересуются программированием и информатикой и видят свое будущее в технологиях, настоятельно рекомендуется пройти онлайн-курсы по математике. Независимо от того, являетесь ли вы продвинутым старшеклассником, студентом колледжа или заинтересованы в повышении своих математических знаний перед сменой диплома или специализации, математический курс дифференциальных уравнений необходим для вашего будущего успеха.

реклама

8. Найдите \(L\left (\frac{d}{dt}(\frac{sin⁡t}{t})\right)\).
a) s×cot⁡(s)-1
d) s×tan⁡(s)-1
Посмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение: В заданном вопросе 92+16)}\)

11. Если \((erf⁡(\sqrt{t}))=\frac{1}{s\sqrt{s}}\), то что такое \(L( erf⁡(2\sqrt{t}))\)?
а) \(\frac{2}{\sqrt{s}}\)
b) \(\frac{1}{s\sqrt{s}}\)
c) \(\frac{2}{ s\sqrt{s}}\)
d) \(\frac{4}{s\sqrt{s}}\)
Просмотреть ответ

Ответ: c
Объяснение: В заданном вопросе
Используя свойство масштабирования преобразования Лапласа, 90 167 \(L (erf⁡ (2 \ sqrt {t})) = \ frac {1} {4} × \ frac {1} {\ frac {s} {4} × \ sqrt {\ frac {s}{4}}}\)
=\(\frac{2}{s\sqrt{s}}\).

12. Найдите значение L(3 ^2t ).
а) \(\frac{1}{s-2 log⁡(3)}\)
b) \(\frac{1}{s+2 log⁡(3)}\)
c) \(\ frac{1}{s-3 log⁡(2)}\)
d) \(\frac{1}{s+3 log⁡(2)}\)
Просмотреть ответ

Ответ: a
Объяснение: In данный вопрос,
Формула такова:
L(c ^at )=\(\frac{1}{s-a log(c)}\)
L(3 ^2t )=\(\frac{1} {s-2 log⁡(3)}\).

Sanfoundry Global Education & Learning Series – Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Чтобы попрактиковаться во всех областях обыкновенных дифференциальных уравнений для онлайн-викторин, , вот полный набор из более чем 1000 вопросов и ответов с несколькими вариантами ответов .

реклама

реклама

Подпишитесь на наши информационные бюллетени (тематические). Участвуйте в конкурсе сертификации Sanfoundry, чтобы получить бесплатный Сертификат отличия. Присоединяйтесь к нашим социальным сетям ниже и будьте в курсе последних конкурсов, видео, стажировок и вакансий!

Ютуб | Телеграмма | Линкедин | Инстаграм | Фейсбук | Твиттер | Пинтерест

Маниш Бходжасиа, ветеран технологий с более чем 20-летним стажем работы в Cisco и Wipro, является основателем и техническим директором компании Sanfoundry .