Дифференциальные уравнения линейные уравнения: 2.4. Линейные дифференциальные уравнения

2.4. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называют Линейным, если его можно представить в виде , содержащем неизвестную функцию и ее производную Линейным образом.

Если правая часть уравнения Тождественно равна нулю, то линейное уравнение называют Однородным, если же – Неоднородным.

Рассмотрим два метода решения линейного неоднородного уравнения.

1) Метод Лагранжа вариации произвольной постоянной.

В соответствии с методом Лагранжа сначала линейное неоднородное уравнение Заменяют соответствующим однородным уравнением .

Однородное уравнение всегда приводится к уравнению с разделенными переменными , путем деления на функцию При условии . Общий интеграл этого уравнения имеет вид , где функция является некоторой первообразной функции . Преобразуем общий интеграл приведенного уравнения сначала к виду , а затем, потенцируя, к виду .

Освобождаясь от знака модуля, найдем общее решение в виде .

В процессе разделения переменных выполнялось деление обеих частей приведенного уравнения на функцию , в результате чего могло быть потеряно решение . После подстановки функции в приведенное уравнение, мы убеждаемся, что действительно является решением. Это решение тем или иным способом должно быть включено в множество всех решений дифференциального уравнения. В нашем случае решение можно включить в общее решение , введя вместо параметра произвольную постоянную , принимающую любые вещественные значения. Таким образом, окончательно получим решение приведенного уравнения в виде .

Произвольную постоянную в полученном решении заменяют на некоторую дифференцируемую функцию , и ищут решение исходного уравнения в форме . Производная этого решения имеет вид .

Подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение относительно неизвестной функции в виде .

Если общее решение приведенного уравнения и производные функций найдены правильно, то слагаемые, содержащие функцию , обязательно равны между собой, и мы приходим к равносильному уравнению . Это уравнение имеет общее решение вида , где функция есть первообразная функции . Подставляя полученное выражение для в решение , находим решение исходного линейного неоднородного уравнения в виде .

Пример. Решить уравнение .

Так как функции и Входят в наше уравнение линейным образом, а в правой части уравнения имеется функция , то это – линейное неоднородное уравнение первого порядка. Применим метод вариации произвольной постоянной.

Рассмотрим сначала соответствующее однородное линейное уравнение . Общее решение приведенного уравнения имеет вид .

Следовательно, общее решение исходного уравнения ищем в виде .

Подставляя И в решаемое уравнение, получим или . Отсюда . Окончательно, общее решение исходного уравнения имеет вид .

2) Метод подстановки Бернулли.

Будем искать решение нашего линейного уравнения в виде произведения двух функций, т. е. выполним подстановку

. Это возможно, так как любую функцию можно тождественно представить в виде .

Вычислим производную И подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение . Найдем функцию В таком виде, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим дифференциальное уравнение Относительно функции . Рассматривая метод Лагранжа, мы уже решали аналогичное уравнение Относительно функции. Отсюда, общее решение нашего уравнения имеет вид , где функция является некоторой первообразной функции . Выбирая произвольную постоянную равной единице, мы получим искомую функцию в виде .

Подставляя найденную функцию в уравнение , получим новое уравнение относительно неизвестной функции в виде . Уравнение этого типа также решалось ранее, так что его общее решение можно выписать в виде , где функция – первообразная функции .

Подставляя полученные выражения для И в подстановку , находим, окончательно, решение исходного линейного, неоднородного уравнения в виде .

Пример. Решить уравнение .

Так как функции и Входят в наше уравнение линейным образом, а в правой части уравнения имеется функция , то это – линейное, неоднородное уравнение первого порядка. Применим метод подстановки Бернулли.

Подставляя функции и В исходное уравнение, получим уравнение . Найдем функцию В таком виде, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим дифференциальное уравнение Относительно функции . Разделяя переменные и интегрируя, найдем решение в виде .

Подставляя найденную функцию в уравнение , и учитывая, что при второе слагаемое в левой части уравнения тождественно равно нулю, получим новое уравнение относительно неизвестной функции в виде

. Уравнение этого типа также решалось ранее, так что его общее решение можно выписать в виде .

Окончательно, общее решение исходного линейного уравнения имеет вид

.

Отметим, что и метод Лагранжа, и метод Бернулли имеют самостоятельное значение. В дальнейшем метод Лагранжа используется для решения дифференциальных уравнений высших порядков. Метод Бернулли, в частности, позволяет решать нелинейное уравнение специального вида , называемое уравнением Бернулли.

< Предыдущая		Следующая >

Простейшие линейные дифференциальные уравнения

9.1Линейное и нелинейное: кто матери-теории более ценен?

Все счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчастлива по-своему. Л. Н. Толстой, «Анна Каренина».

В предыдущей главе мы выяснили, что все неособые точки похожи друг на друга: подходящей заменой координат векторное поле в окрестности любой неособой точки превращается в постоянное поле. Однако особые точки бывают особыми по-своему. Нашей целью теперь является изучение особых точек.

Вообще говоря, изучение особых точек произвольных векторных полей — сложная задача. Однако, великая наука матанализ учит нас: сложное нелинейное становится простым и линейным, если посмотреть на него в микроскоп.

Поэтому изучение линейного — первый шаг на пути к познанию нелинейного.

Если мы хотим понять, как ведёт себя функция одной переменной вблизи некоторой точки, мы вычислим производную функции в этой точке, приблизим график функции графиком касательной (линейной частью) и скажем, что её поведение близко к поведению её линейной части. Скажем, если производная положительна, линейная часть возрастает, а значит и сама функция возрастает.

Аналогичный подход работает и в дифференциальных уравнениях.

9.1.1Мотивирующий пример: изучение постоянного решения одномерного уравнения

Рассмотрим уравнение

˙x=f(t,x),x∈R1,f(t,0)≡0(9.1)

Иными словами, это произвольное неавтономное уравнение на прямой, обладающее одним характерным свойством: правая часть обнуляется при x=0 и произвольном t.

Рассмотрим функцию x=φ(t;x0), задающую решение уравнения (9.1) с начальным условием x(t0)=φ(t0;x0)=x0. Очевидно, φ(t;0)≡0: тождественно нулевая функция является единственным решением с нулевым начальным условием. (Если бы уравнение было автономным, мы бы сказали, что 0 является особой точкой; в данном случае уравнение неавтономное и такой термин мы использовать не можем, хотя это и близкий сюжет.)

Пусть теперь нам интересно, как ведут себя решения с начальными условиями, близкими к нулевому. Например, они могут приближаться к нулевому решению, могут убегать от него, а могут попеременно делать то одно, то другое. Это не праздный интерес: на практике мы никогда не можем установить или определить начальное условие с абсолютной точностью. Всегда есть какие-то погрешности, и нам важно понимать, как эти погрешности повлияют на выводы, которые мы сделаем из нашей модели. Например, если мы выясним, что траектории, стартующие близко к нулю, со временем уходят далеко от нулевого решения, это будет означать, что само нулевое решение не имеет «предсказательной силы» на длительных промежутках времени.

Рис. 9.1: Различное поведение решений, близких к нулевому

Итак, нас интересует поведение решения с начальным условием x(t0)=x0 при x0 близком к нулю. Будем считать, что на интересующем нас промежутке времени решение убежит от нуля не слишком сильно. В этом случае можно считать, что

f(t,x)≈f′x(t,0)x.(9.2)

Это следует из определения частной производной функции f по переменной x и того факта, что f(t,0)=0 для всех t. (Мы просто зафиксировали t и стали смотреть на функцию f(t,x) как на функцию только от аргумента x, приблизив её график соответствующей касательной.)

Пользуясь этим соотношением, заменим в уравнении (9.1) правую часть на f′x(t,0)x. Поскольку правая часть меняется «не слишком сильно» вблизи прямой x=0, разумно ожидать, что и решения, проходящие близко к нулю, от этого «не слишком сильно» изменятся. Однако, чтобы всё-таки помнить о том, что перед нами новое уравнение, связанные с исходным лишь приближёнными равенствами, заменим обозначение для неизвестной функции: вместо x будем писать y. Имеем:

˙y=f′x(t,0)y.(9.3)

Получившееся уравнение гораздо проще исходного и его можно решить явно: это уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, функция f′x(t,0) зависит только от t и мы мгновенно получаем: dydt=f′x(t,0)ydyy=f′x(t,0)dt∫yy0dξξ=∫tt0f′x(τ,0)dτln(y/y0)=∫tt0f′x(τ,0)dτy=y0exp∫tt0f′x(τ,0)dτ(9.4)(9.5)(9.6)(9.7)(9.8) Получающееся решение y(t) является приближением к решению исходного уравнения. Например, оно показывает, что если производная f′x положительна и отделена от нуля, то есть f′x(t,0)>c>0 при всех t, то любое решение, близкое к нулевому, убегает от нулевого, как говорят, с экспоненциальной скоростью (y(t)>ecty0). Даже если y0 очень мал, такое решение со временем окажется далеко от нулевого.

Уравнение (9.3) является не просто уравнением с разделяющимися переменными. Оно является линейным уравнением — и, как говорят, линеаризацией уравнения (9.1) вблизи решения x≡0.

9.1.2Более строгое обоснование возможности линеаризации

Этот параграф можно смело пропустить и сразу перейти к следующему разделу. Он содержит более аккуратное обоснование связи между уравнениями (9. 1) и (9.3). Для дальнейшего нам пока это не понадобится.

Зафиксируем какое-нибудь t1>t0. Нас интересует отображение, которое ставит в соответствие точке x0 точку φ(t1;x0). Точнее, нас интересует, как эта функция ведёт себя при x0 близких к нулю.

В одномерном случае ответ на вопрос «как ведёт себя функция в точке» даётся производной этой функцией в данной точке. Её-то мы и хотим найти.

Будем действовать смело и решительно. Пусть

y(t)=∂φ(t;x0)∂x0∣∣∣x0=0

Вопрос 1. Чему равно y(t0)?

Ответим на более сложный вопрос: что вы можете сказать про знак y(t1)? Очевидно, y(t1)>0, поскольку φ(t1;x0) является возрастающей по x0. Действительно, если предположить, что существуют точки x20>x10 такие, что φ(t1;x20)<φ(t1;x10), по теореме о промежуточном значении найдётся такая точка t∗∈(t0,t1), что φ(t∗;x20)=φ(t∗,x10) (см. рис. 9.2). А это бы противоречило теореме существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Рис. 9.2: Так не бывает: интегральные кривые не умеют пересекаться

Найдём уравнение на производную y по t (получим так называемое уравнение в вариациях в его простейшей форме):

˙y=ddt∂φ(t;x0)∂x0∣∣∣x0=0=(∂∂x0dφ(t;x0)dt)∣∣ ∣∣x0=0=(∂∂x0f(φ(t;x0),t))∣∣∣x0=0=(∂f∂x)∣∣∣x=0∂φ(t;x0)∂x0∣∣∣x0=0=f′x(0,t)y(t)

Обоснованность смены порядка дифференцирования мы сейчас обсуждать не будем (хотя вообще это надо сделать). Записанное уравнение называется уравнением в вариациях по начальному условию.

Получается, что уравнение на производную по начальному условию имеет вид

˙y=a(t)y

Как мы узнаем чуть ниже, это пример простейшего линейного уравнения.

9.2Понятие линейного дифференциального уравнения

Бывают линейные дифференциальные операторы. Это такая штука, которая действует на функциях, содержит какие-то там производные и ко всему прочему линейная. Вместо того, чтобы давать строгое определение, приведём несколько примеров.

Пример 1. Пусть φ:R→R — некоторая дифференцируемая функция.

• (Dφ)(t)=ddtφ(t) — простейший линейный дифференциальный оператор (это просто оператор дифференцирования, он линеен, поскольку дифференцирование линейно: производная сумма равна сумме производных, константу можно выносить за знак дифференцирования). Можно написать, что D=ddt.
• (Dφ)(t)=ddtφ(t)−a(t)φ(t) — также линейный дифференциальный оператор. Можно написать, что D=ddt−a, подразумевая, что a — это оператор умножения на функцию a.
• (Sφ)(t)=ddtφ(t)+a(t) не является линейным оператором. (Почему?)
• (Hφ)(t)=ddtφ(t)+φ2(t) также не является линейным оператором. (Почему?)

Пусть теперь φ:R→Rn — некоторая дифференцируемая вектор-функция

Тогда (Dφ)(t)=dφ(t)dt−Aφ(t) — линейный дифференциальный оператор (здесь A — некоторый фиксированный линейный оператор A:Rn→Rn).

Определение 1.Однородное линейное дифференциальное уравнение — это уравнение вида

Dx=0,(9.9)

где D — некоторый линейный дифференциальный оператор.

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение — это уравнение вида

Dx=b(t).(9.10)

Как подсказывает нам мотивирующий пример, чтобы исследовать линеаризацию решения надо исследовать линейные дифференциальные уравнения. Этим мы и займёмся.

9.2.1Простейшие свойства линейных уравнений

Для начала сформулируем две простые теоремы о линейных уравнениях. Вообще-то это теоремы из линейной алгебры: они не используют ничего, кроме линейности.

Теорема 1. Множество всех решений автономного линейного дифференциального уравнения — линейное пространство.

Доказательство. Нам нужно доказать, что 1) сумма решений является решением; 2) умноженное решение на число — тоже решение. Пусть x и y — решения, λ — константа. Тогда D(x+y)=Dx+Dy=0+0=0. То есть сумма решений является решением. Аналогично с константой: D(λx)=λDx=0.∎

Теорема 2. Множество всех решений неавтономного линейного дифференциального уравнения — аффинное пространство — то есть линейное, сдвинутое на фиксированный вектор.

Более точно: для любого дифференциального уравнения (9.10) найдётся такое частное решение x∗(t), что любое другое решение этого уравнения представляется в виде x∗(t)+x0(t), где x0(t) — некоторое решение соответствующего однородного уравнения (9. 9). (По правде говоря, в качестве частного решения можно взять любое решение неоднородного уравнения.)

Доказательство. Пусть x1(t) — фиксированное решение, x2(t) какое-то другое решение. Пусть x0=x2−x1. Тогда D(x0)=D(x2−x1)=D(x2)−D(x1)=b−b=0. Таким образом, x0 — решение однородного уравнения, и любое решение x2 представляется в виде суммы x1 и какого-то решения однородного уравнения x0.

Наоборот, если x0 — решение однородного уравнения, то прибавляя его к решению x1 неоднородного уравнения получим какое-то другое решение неоднородного уравнения. ∎

9.2.2Как решать неоднородные уравнения: метод вариации постоянных

Сейчас мы будем делать то, что нельзя: менять постоянные.

Пусть x(t)∈R. Рассмотрим уравнение

˙x−a(t)x=b(t)

Это уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка в размерности 1 с переменными коэффициентами («первого порядка» потому что участвует только первая производная).

Как его решить? Решим сперва соответствующее однородное уравнение

˙x−a(t)x=0

Его решение, как мы уже сказали, такое:

x0(t)=Ce∫tt0a(s)ds

Скажем теперь, что C — не константа, а функция от времени. И подставим функцию

x(t)=C(t)e∫tt0a(s)ds

в исходное уравнение.

Получается:

˙Ce∫tt0a(s)ds+Ca(t)e∫tt0a(s)ds=a(t)Ce∫tt0a(s)ds+b(t)

Два слагаемых магическим образом сокращаются, и получается уже простое уравнение на C:

˙C=b(t)e−∫tt0a(s)ds

решая его, имеем:

C(t)=∫tt0b(h)e−∫hh0a(s)dsdh+C0

Вопрос 2. Что будет, если попытаться применить метод вариации постоянных к нелинейному уравнению — например, ˙x=x2+t?

---

← Предыдущая глава Следующая глава →

Линейное дифференциальное уравнение – формула, вывод, примеры

Линейное дифференциальное уравнение – это уравнение, имеющее переменную, производную от этой переменной и несколько других функций. Стандартная форма линейного дифференциального уравнения — dy/dx + Py = Q, и оно содержит переменную y и ее производные. P и Q в этом дифференциальном уравнении являются либо числовыми константами, либо функциями x.

Линейное дифференциальное уравнение в важной форме дифференциального уравнения, которое можно решить с помощью формулы. Давайте узнаем формулу и вывод, чтобы найти общее решение линейного дифференциального уравнения.

1.	Что такое линейное дифференциальное уравнение?
2.	Вывод решения линейного дифференциального уравнения
3.	Формула общего решения линейного дифференциального уравнения
4.	шагов для решения линейного дифференциального уравнения
5.	Примеры линейного дифференциального уравнения
6.	Практические вопросы
7.	Часто задаваемые вопросы о линейных дифференциальных уравнениях

Что такое линейное дифференциальное уравнение?

Линейное дифференциальное уравнение имеет вид dy/dx + Py = Q, где P и Q — числовые константы или функции относительно x. Он состоит из y и производной от y. Дифференциал представляет собой дифференцирование первого порядка и называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Это линейное дифференциальное уравнение находится в y. Точно так же мы можем написать линейное дифференциальное уравнение и относительно x. Линейное дифференциальное уравнение относительно x: dx/dy + \(P_1\)x = \(Q_1\).

Некоторые примеры линейного дифференциального уравнения относительно y: dy/dx + y = Cosx, dy/dx + (-2y)/x = x ² .e ^-x . А примерами линейного дифференциального уравнения относительно x являются dx/dy + x = Siny, dx/dy + x/y = ey. dx/dy + x/(ylogy) = 1/y.

Вывод решения линейного дифференциального уравнения

Вывод общего решения линейного дифференциального уравнения можно понять с помощью следующей последовательности шагов. Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид.

dy/dx +Px = Q

Здесь мы умножаем обе части уравнения на функцию x, скажем, g(x) . Далее эта функция выбирается так, чтобы правая часть уравнения была производной от y.g(x). d/dx(y.g(x)) = y.g(x).

g(x).dy/dx + P.g(x).y = Q.g(x)

Выберите g(x) таким образом, чтобы правая часть стала производной от y.g(x).

g(x).dy/dx + P.g(x)y = d/dx(y.g(x)]

Правая часть приведенного выше выражения получена с использованием формулы производной для произведения функций

g(x).dy/dx + P.g(x).y = g(x).dy/dx + y.g'(x)

P.g(x) = g'(x)

P = g’ (x)/g(x)

Интегрируя обе части по x, получаем

\(\int P.dx= \int \frac{g'(x)}{g(x)}.dx\ )

\(\int P.dx= log(g(x))\) 9{\int P.dx}.dx) + C\)

Приведенное выше выражение является общим решением линейного дифференциального уравнения.

Формула общего решения линейного дифференциального уравнения

Ниже приведены две важные формулы для нахождения общего решения линейных дифференциальных уравнений. {\int P.dx}\).

Шаг-III: Теперь мы можем записать решение линейного дифференциального уравнения следующим образом. \(y(IF) = \int(Q × IF).dx + C\)

Использование описанных выше шагов можно лучше понять с помощью приведенных ниже примеров решения линейного дифференциального уравнения.

Похожие темы

• Исчисление
• Формулы интегрирования
• Формулы дифференцирования и интегрирования
• Цепное правило Формула
• Дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы о линейном дифференциальном уравнении

Что такое линейное дифференциальное уравнение?

Линейное дифференциальное уравнение — это уравнение, имеющее переменную, производную от этой переменной и несколько других функций. Стандартная форма линейного дифференциального уравнения — dy/dx + Py = Q, и оно содержит переменную y и ее производные. P и Q в этом дифференциальном уравнении являются либо числовыми константами, либо функциями x.

Как узнать, является ли дифференциальное уравнение линейным дифференциальным уравнением?

Дифференциальное уравнение называется линейным дифференциальным уравнением, если оно имеет переменную и первую производную. Линейное дифференциальное уравнение относительно у имеет вид dy/dx + Py = Q. Здесь у нас есть переменная у, первая производная от переменной у, и у нас есть Р, Q, которые являются функциями от х. От имени линейных эти дифференциальные уравнения имеют только производные первой степени.

9{\int P.dx}\). Наконец, решение линейного дифференциального уравнения имеет вид \(y(I.F) = \int(Q × I.F).dx + C\)

Какова стандартная форма линейного дифференциального уравнения относительно x?

Стандартная форма линейного дифференциального уравнения относительно x: dx/dy + Px = Q. Это дифференциальное уравнение, имеющее переменную x, первую производную x и P, Q представляют функции относительно y. Линейное дифференциальное уравнение относительно x имеет производную первого порядка от x.

Какая формула общего решения линейного дифференциального уравнения 9{\int P.dy}\).

Линейные дифференциальные уравнения: определение | StudySmarter

Что общего между электроникой и пружинами? Ничего, подумаете вы. Это две совершенно разные вещи!

Получается, что они делают имеют нечто общее: и то, и другое описывается одной и той же математикой.

Дифференциальные уравнения очень полезны для описания окружающего нас мира. В частности, электроника и пружины описываются так называемыми L inear Дифференциальные уравнения. Здесь вы узнаете, как их идентифицировать и как решать некоторые из них.

Что такое линейные дифференциальные уравнения?

Дифференциальное уравнение – это уравнение для неизвестной функции , в котором участвуют ее производные . Но что делает его линейным?

Можно сказать, что дифференциальное уравнение является линейным, если каждая зависимая переменная появляется линейным образом . Это означает, что зависимая переменная и/или ее производные возводятся в степень \(1\), они не перемножаются и не являются частью специальной функции, такой как тригонометрическая функция или экспоненциальная функция. 92\]

Линейные и нелинейные дифференциальные уравнения

Так же, как существуют линейные дифференциальные уравнения, существуют также нелинейных дифференциальных уравнения .

Нелинейное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, которое не является линейным дифференциальным уравнением.

Просто, правда? Это означает, что зависимая переменная и/или ее производные либо:

• Умножаются друг на друга

  92}+xy=\ln{x}\]

  \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\sin{y}=\cos{x}\]

  Линейные дифференциальные уравнения могут использоваться для описания некоторых природных явлений, включая, помимо прочего:

  • Электромагнитные волны.

  • Распространение тепла.

  • Электронные схемы.

  • Колебательные движения, подобные пружинам и маятникам.

  Между тем, нелинейные дифференциальные уравнения могут описывать такие вещи, как:

  Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

  Дифференциальные уравнения обычно классифицируются на основе их порядка . Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это линейное дифференциальное уравнение, в котором наибольшая производная является первой производной. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно записать в виде

  \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y=Q(x).\]

  Это известно как стандартная форма линейного дифференциального уравнения первого порядка.

  Вы также можете встретить дифференциальные уравнения, записанные в простой записи, поэтому приведенное выше дифференциальное уравнение также можно записать как

  \[ y’+P(x)y=Q(x),\]

  , где зависимость of \(y\) явно не указано, но должно быть принято в соответствии с контекстом. 2y,\), что даст вам 92}. \]

  Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

  Вы видели, что линейное дифференциальное уравнение первого порядка всегда можно записать в виде

  \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ P(x)y=Q(x).\]

  Это означает, что, вообще говоря, \(P\) и \(Q\) являются функциями \(x.\). Однако в частном случае, когда функции \( P(x) \) и \( Q(x) \) являются постоянными функциями, у вас есть линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами . 92}-5\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y=e\]

  Вы можете определить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, заметив, что независимая переменная делает не появляются явно.

  Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами является простой задачей, поскольку они являются разделимыми уравнениями. Рассмотрим дифференциальное уравнение

  \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=b. \]

  Приведенное выше уравнение можно разделить. Сначала изолируйте член, содержащий производную, поэтому

  \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = b-ay.\]

  Правую часть уравнения можно рассматривать как функцию \(y, \), то есть

  \[g(y) = b-ay,\]

  , поэтому

  \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(y). \]

  Это говорит о том, что дифференциальное уравнение можно решить путем разделения переменных. Начните с переписывания дифференциального уравнения в терминах дифференциалов \(x\) и \(y,\), то есть

  \[ \mathrm{d}y = (b-ay)\,\mathrm{d}x ,\]

  , а затем разделите обе части уравнения на \( b-ay,\), получив

  \[\frac{1}{b-ay} \, \mathrm{d}y = \mathrm{d}x. \]

  Отсюда вы можете интегрировать обе стороны. Левая часть представляет собой один из интегралов с логарифмическими функциями, поэтому

  \[-\frac{1}{a} \ln{(b-ay)} = \int \mathrm{d}x,\]

  , а интеграл дифференциала — это просто переменная интегрирования, таким образом, вы можете написать

  \[-\frac{1}{a} \ln{(b-ay)} = x+C. \]

  Далее вам нужно изолировать \( y,\) поэтому 9{-ax}+\frac{b}{a}\]

  — это общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

  Формула для решения линейных дифференциальных уравнений

  Обычно формул для решения дифференциальных уравнений не существует. К счастью, в случае линейных дифференциальных уравнений первого порядка вы можете получить формулу, используя так называемый интегрирующий коэффициент .

  Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в стандартной форме, то есть 9{\int P(x)\,\mathrm{d}x}\]

  известен как интегрирующий коэффициент.

  Как и неопределенные интегралы, дифференциальные уравнения имеют семейства решений. Подставляя разные значения константы интегрирования \(C,\), вы получаете разные решения дифференциального уравнения.

  Вы можете выполнить следующие действия, чтобы использовать формулу для решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в стандартной форме:

  1. Вычислить \( \int P(x) \, \mathrm{d}x. \ ) На этом шаге нет необходимости добавлять константу интегрирования! 9{\ int P (x) \, \ mathrm {d} x}. \]

  2. Вычислить \( \ int \ alpha (x) \, Q (x) \, \ mathrm {d} x. \)

  3. Используйте формулу для общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

  Некоторые примеры можно посмотреть в следующем разделе.

  Примеры линейных дифференциальных уравнений

  Шаги решения линейных дифференциальных уравнений лучше понятны на примерах. Давайте копать!

  Решите следующее линейное дифференциальное уравнение первого порядка: 92}{x} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{y}{x} &= x. \end{align}\]

  Теперь вы можете следовать обычным шагам, используя

  \[ P(x) = \frac{1}{x} \]

  и

  \[ Q(x) = x.\]

  1. Вычислить \( \int P(x) \, \mathrm{d}x.\)

  Начните с нахождения

  \[ \int P(x) \, \mathrm{ d}x = \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x,\]

  , который является одним из интегралов, включающих логарифмические функции, поэтому

  \[ \int P(x) \, \mathrm{d}x = \ln{x}. \] 92+\frac{C}{x}.\]

  Как насчет одного с постоянными коэффициентами?

  Решите следующее линейное дифференциальное уравнение первого порядка: данное дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами, поэтому можно использовать общее решение для этого типа уравнения, то есть если

  \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{ d}x} +ay=b,\] 9{-3x}.\]

  Просто, верно?

  Линейное дифференциальное уравнение – основные выводы

  • A линейное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, в котором все зависимые переменные и/или их производные возводятся в степень \(1\), они не перемножаются вместе, и они не являются частью специальной функции.
    • Если любое из вышеперечисленных условий не выполняется, то дифференциальное уравнение классифицируется как нелинейное дифференциальное уравнение.
  • A Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это линейное дифференциальное уравнение, старшей производной которого является производная первого порядка .