Дифференциальные уравнения онлайн с решением: Решение дифференциальных уравнений онлайн. Любые с подробным решением.

Дифференциальные уравнения

Решение дифференциальных уравнений

Решить онлайн дифференциальные уравнения – просто! Искусственный интеллект постоянно развивавется. Нашим специалистам удалось научить его решать различные математические задачи. Например, стали доступны такие раздеолы, как решение онлайн дифференциальных уравнений или производная функции онлайн.

На нашем сайте вы можете решить любое дифференциальное уравнение используя Калькулятор за пару секунд. Пользоваться калькулятором просто. Начальные условия вводите как обычные условия. Порядок не важен. Чтобы ввести условие, нажмите «+условие»

Например:

Условие 1: y’=y+x

Условие 2: y(0)=1

Нажав кнопку Решить вы получите подробное решение дифференциальных уравнений.

Что такое дифференциальные уравнения и как их решать

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение с производными функции или самой функцией, независимой переменной и параметрами. Чтобы научиться решать дифференциальное уравнение, нужно сначала разобраться с условными обозначениями. Производная функции обозначается символически “штрихом”. Производная функции второго порядка отображается соответственно двумя “штрихами” и так далее.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной в уравнении.

Как решать дифференциальные уравнения

Решение дифференциального уравнения не будет таким же, как решение обыкновенного уравнения. Решением дифференциального уравнения будет функция или семейство функций. Производные могут входить в функцию в любом порядке и сами производные могут быть любого порядка. Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в ДУ в различных комбинациях или же могут вовсе отсутствовать. Однако в уравнение должна входить хотя бы одна производная, иначе оно бы не будет дифференциальным.

Дифференциальным уравнением является не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции. К примеру, f'(x)=f(f(x)) не является дифференциальным уравнением, а просто обозначает производную от определённой функции.

При решении дифференциальных уравнений, в отличие от алгебраических уравнений, ищется не число или несколько чисел, а функция или семейство функций. Алгебраический смысл решения таковой: если вместо функций и производных всех порядков, подставить любую функцию из семейства её решений, то получится верное равенство.

ДУ выше первого порядка возможно преобразовать в систему уравнений первого порядка, где число уравнений равняется порядку исходного дифференциального уравнения. Таким образом дифференциальное уравнение второго порядка преобразуется в систему функций, состоящую из двух уравнений.

При решении такой задача, как дифференциальные уравнения важно помнить, что его решением будет именно семейство функций, так как если брать производную от константы, то она будет равняться нулю. А так как производная от константы равняется нулю, то в исходной функции может быть такое определённое решение данного дифференциального уравнения. Не все калькуляторы позволяют решить

дифференциальные уравнения онлайн, а только самые “умные”. Ещё несколько лет назад решить дифференциальное уравнение с помощью калькулятора было невозможным.

Бесплатный онлайн калькулятор дифференциальных уравнений. Производная онлайн калькулятор.

Система дифференциальных уравнений, линейные дифференциальные уравнения или другое дифференциальное уравнение любой сложности будет решено нашим бесплатным решателем за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать – это просто ввести данные уравнения в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить дифференциальное уравнение на нашем сайте.

А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в онлайн чате на странице Калькулятора или в нашей группе Вконтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Так же читайте нашу статью “Решить систему уравнений методом сложения онлайн решателем”

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

Пусть в линейном уравнении

 и   – постоянные действительные числа.

Частное решение уравнения будем искать в виде функции  , где  – действительное или комплексное число, подлежащее определению. Дифференцируя по , получаем:

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Отсюда, учитывая, что , имеем:

Это уравнение называется характеристическим уравнением однородного линейного дифуравнения. Характеристическое уравнение и дает возможность найти . Это уравнение второй степени, поэтому имеет два корня. Обозначим их через  и . Возможны три случая:

Корни действительные и разные

В этом случае общее решение уравнения:

---

Пример 1

Решение

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

---

 

Корни действительные и равные

В этом случае общее решение уравнения:

---

Пример 2

Решение

Если вам сейчас не требуется платная помощь с решением задач, контрольных работ и типовых расчетов, но может потребоваться в дальнейшем, то, чтобы не потерять контакт
вступайте в группу ВК
сохраните контакт WhatsApp (+79688494598)
сохраните контакт Телеграм (@helptask) .

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

---

Корни комплексные

В этом случае общее решение уравнения:

---

Пример 3

Решение

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решение характеристического уравнения:

Общее решение исходного дифуравнения:

---

Неоднородные дифференциальные линейные уравнения второго порядка

Рассмотрим теперь решение некоторых типов линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

где  и  – постоянные действительные числа,  – известная непрерывная функция в интервале . Для нахождения общего решения такого дифференциального уравнения необходимо знать общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения  и частное решение .

 Рассмотрим некоторые случаи:

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение дифференциального уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Если нуль – однократный корень характеристического уравнения, то

Если нуль – двухкратный корень характеристического уравнения, то

Аналогично обстоит дело, если  – многочлен произвольной степени

---

Пример 4

Решение

Решим соответствующее однородное уравнение.

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

Найдем частное решение неоднородного дифуравнения:

Подставляя найденные производные в исходное дифуравнение, получаем:

Искомое частное решение:

Общее решение исходного дифуравнения:

---

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

Частное решение ищем в виде , где  – неопределенный коэффициент.

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициент.

Если  – корень характеристического уравнения, то частное решение исходного дифференциального уравнения ищем в виде  , когда  – однократный корень, и , когда  – двукратный корень.

---

Пример 5

Решение

Характеристическое уравнение:

Общее решение соответствующего однородного дифференциального  уравнения:

Найдем частное решение соответствующего неоднородного дифференциального  уравнения:

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Общее решение дифуравнения:

---

 

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид:

В этом случае частное решение  ищем в форме тригонометрического двучлена:

где  и  – неопределенные коэффициенты

Подставляя  и  в исходное дифференциальное уравнение, получим тождество, откуда находим коэффициенты.

Эти уравнения определяют коэффициенты  и  кроме случая, когда  (или когда  – корни характеристического уравнения). В последнем случае частное решение дифференциального уравнения ищем в виде:

---

Пример 6

Решение

Характеристическое уравнение:

Общее решение соответствующего однородного дифуравнения:

Найдем частное решение неоднородного дифуравнения

Подставляя в исходное дифуравнение, получаем:

Общее решение исходного дифуравнения:

Метод вариации постоянной онлайн калькулятор. ОДУ

Теоретический минимум

В теории дифференциальных уравнений существует метод, претендующий на достаточно высокую для этой теории степень универсальности.
Речь идёт о методе вариации произвольной постоянной, применимом к решению различных классов дифференциальных уравнений и их
систем. Это именно тот случай, когда теория – если вывести за скобки доказательства утверждений – минимальна, но позволяет добиваться
значительных результатов, поэтому основной акцент будет сделан на примерах.

Общую идею метода сформулировать довольно просто. Пусть заданное уравнение (систему уравнений) решить сложно или вообще непонятно,
как его решать. Однако видно, что при исключении из уравнения некоторых слагаемых оно решается. Тогда решают именно такое упрощённое
уравнение (систему), получают решение, содержащее некоторое количество произвольных констант – в зависимости от порядка уравнения (количества
уравнений в системе). Затем полагают, что константы в найденном решении в действительности константами не являются, найденное решение
подставляется в исходное уравнение (систему), получается дифференциальное уравнение (или система уравнений) для определения “констант”.
Существует определённая специфика в применении метода вариации произвольной постоянной к разным задачам, но это уже частности, которые будут
продемонстрированы на примерах.

Отдельно рассмотрим решение линейных неоднородных уравнений высших порядков, т.е. уравнений вида
.
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения
данного уравнения. Предположим, что общее решение однородного уравнения уже найдено, а именно построена фундаментальная система решений (ФСР)
. Тогда общее решение однородного уравнения равно .
Нужно найти любое частное решение неоднородного уравнения. Для этого константы считаются зависящими от переменной .
Далее нужно решить систему уравнений
.
Теория гарантирует, что у этой системы алгебраических уравнений относительно производных от функций есть единственное решение.
При нахождении самих функций константы интегрирования не появляются: ищется ведь любое одно решение.

В случае решения систем линейных неоднородных уравнений первого порядка вида

алгоритм почти не меняется. Сначала нужно найти ФСР соответствующей однородной системы уравнений, составить фундаментальную матрицу
системы , столбцы которой представляют собой элементы ФСР. Далее составляется уравнение
.
Решая систему, определяем функции , находя таким образом, частное решение исходной системы
(фундаментальная матрица умножается на столбец найденных функций ).
Прибавляем его к общему решению соответствующей системы однородных уравнений, которое строится на основе уже найденной ФСР.
Получается общее решение исходной системы.

Примеры.

Пример 1. Линейные неоднородные уравнения первого порядка .

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение (искомую функцию обозначим ):
.
Это уравнение легко решается методом разделения переменных:

.
А теперь представим решение исходного уравнения в виде , где функцию ещё предстоит найти.
Подставляем такой вид решения в исходное уравнение:
.
Как видно, второе и третье слагаемое в левой части взаимно уничтожаются – это характерная черта метода вариации произвольной постоянной.

Вот здесь уже – действительно, произвольная постоянная. Таким образом,
.

Пример 2. Уравнение Бернулли .

Действуем аналогично первому примеру – решаем уравнение

методом разделения переменных. Получится , поэтому решение исходного уравнения ищем в виде
.
Подставляем эту функцию в исходное уравнение:
.
И снова происходят сокращения:
.
Здесь нужно не забыть удостовериться, что при делении на не теряется решение. А случаю отвечает решение исходного
уравнения . Запомним его. Итак,
.
Запишем .
Это и есть решение. При записи ответа следует также указать найденное ранее решение , так как ему не соответствует никакое конечное значение
константы .

Пример 3. Линейные неоднородные уравнения высших порядков .

Сразу заметим, что это уравнение можно решить и проще, но на нём удобно показать метод. Хотя некоторые преимущества
у метода вариации произвольной постоянной и в этом примере есть.
Итак, начинать нужно с ФСР соответствующего однородного уравнения. Напомним, что для нахождения ФСР составляется характеристическое
уравнение
.
Таким образом, общее решение однородного уравнения
.
Входящие сюда константы и предстоит варьировать. Составляем сист

Метод вариации произвольной постоянной, или метод Лагранжа — еще один способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка и уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида y’+p(x)y=q(x). Если в правой части стоит нуль: y’+p(x)y=0, то это — линейное однородное уравнение 1го порядка. Соответственно, уравнение с ненулевой правой частью, y’+p(x)y=q(x), — неоднородное линейное уравнение 1го порядка.

Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа) состоит в следующем:

1) Ищем общее решение однородного уравнения y’+p(x)y=0: y=y*.

2) В общем решении С считаем не константой, а функцией от икса: С=С(x). Находим производную общего решения (y*)’ и в первоначальное условие подставляем полученное выражение для y* и (y*)’. Из полученного уравнения находим функцию С(x).

3) В общее решение однородного уравнения вместо С подставляем найденное выражение С(x).

Рассмотрим примеры на метод вариации произвольной постоянной. Возьмем те же задания, что и в , сравним ход решения и убедимся, что полученные ответы совпадают.

1) y’=3x-y/x

Перепишем уравнение в стандартном виде (в отличие от метода Бернулли, где форма записи нам нужна была только для того, чтобы увидеть, что уравнение — линейное).

y’+y/x=3x (I). Теперь действуем по плану.

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. Это уравнение с разделяющимися переменными. Представляем y’=dy/dx, подставляем: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Обе части уравнения умножаем на dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Интегрируем:

2) В полученном общем решении однородного уравнения будем считать С не константой, а функцией от x: С=С(x). Отсюда

Полученные выражения подставляем в условие (I):

Интегрируем обе части уравнения:

здесь С — уже некоторая новая константа.

3) В общее решение однородного уравнения y=C/x, где мы считали С=С(x), то есть y=C(x)/x, вместо С(x) подставляем найденное выражение x³+C: y=(x³+C)/x или y=x²+C/x. Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Ответ: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Здесь уравнение уже записано в стандартном виде, преобразовывать не надо.

1) Решаем однородное линейное уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Интегрируем:

Чтобы получить более удобную форму записи, экспоненту в степени С примем за новую С:

Это преобразование выполнили, чтобы удобнее было находить производную.

2) В полученном общем решении линейного однородного уравнения считаем С не константой, а функцией от x: С=С(x). При этом условии

Полученные выражения y и y’ подставляем в условие:

Умножим обе части уравнения на

Интегрируем обе части уравнения по формуле интегрирования по частям, получаем:

Здесь С уже не функция, а обычная константа.

3) В общее решение однородного уравнения

подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, как и при решении методом Бернулли.

Метод вариации произвольной постоянной применим и для решения .

y’x+y=-xy².

Приводим уравнение к стандартному виду: y’+y/x=-y² (II).

1) Решаем однородное уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаем обе части уравнения на dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Теперь интегрируем:

Подставляем полученные выражения в условие (II):

Упрощаем:

Получили уравнение с разделяющимися переменными относительно С и x:

Здесь С — уже обычная константа. В процессе интегрирования писали вместо С(x) просто С, чтобы не перегружать запись. А в конце вернулись к С(x), чтобы не путать С(x) с новой С.

3) В общее решение однородного уравнения y=C(x)/x подставляем найденную функцию С(x):

Получили такой же ответ, что и при решении способом Бернулли.

Примеры для самопроверки:

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:y’-2y=x.

1) Решаем однородное уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, отсюда dy/dx=2y, умножаем обе части уравнения на dx, делим на y и интегрируем:

Отсюда находим y:

Выражения для y и y’ подставляем в условие (для краткости будем питать С вместо С(x) и С’ вместо C”(x)):

Для нахождения интеграла в правой части применяем формулу интегрирования по частям:

Теперь подставляем u, du и v в формулу:

Здесь С =const.

3) Теперь подставляем в решение однородного

Рассмотрен метод решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа. Метод Лагранжа также применим для решения любых линейных неоднородных уравнений, если известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Содержание

См. также:

Метод Лагранжа (вариация постоянных)

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами произвольного n-го порядка:
(1) .
Метод вариации постоянной, рассмотренный нами для уравнения первого порядка , также применим и для уравнений более высоких порядков.

Решение выполняется в два этапа. На первом этапе мы отбрасываем правую часть и решаем однородное уравнение. В результате получаем решение, содержащее n произвольных постоянных. На втором этапе мы варьируем постоянные. То есть мы считаем, что эти постоянные являются функциями от независимой переменной x и находим вид этих функций.

Хотя мы здесь рассматриваем уравнения с постоянными коэффициентами, но метод Лагранжа также применим и для решения любых линейных неоднородных уравнений . Для этого, однако, должна быть известна фундаментальная система решений однородного уравнения.

Шаг 1. Решение однородного уравнения

Как и в случае уравнений первого порядка, вначале мы ищем общее решение однородного уравнения, приравнивая правую неоднородную часть к нулю:
(2) .
Общее решение такого уравнения имеет вид:
(3) .
Здесь – произвольные постоянные; – n линейно независимых решений однородного уравнения (2), которые образуют фундаментальную систему решений этого уравнения.

Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями

На втором этапе мы займемся вариацией постоянных. Другими словами, мы заменим постоянные на функции от независимой переменной x :
.
То есть мы ищем решение исходного уравнения (1) в следующем виде:
(4) .

Если мы подставим (4) в (1), то получим одно дифференциальное уравнение для n функций . При этом мы можем связать эти функции дополнительными уравнениями. Тогда получится n уравнений, из которых можно определить n функций . Дополнительные уравнения можно составить различными способами. Но мы это сделаем так, чтобы решение имело наиболее простой вид. Для этого, при дифференцировании, нужно приравнивать к нулю члены, содержащие производные от функций . Продемонстрируем это.

Чтобы подставить предполагаемое решение (4) в исходное уравнение (1), нам нужно найти производные первых n порядков от функции, записанной в виде (4). Дифференцируем (4), применяя правила дифференцирования суммы и произведения :
.
Сгруппируем члены. Сначала выпишем члены с производными от , а затем – члены с производными от :

.
Наложим на функции первое условие:
(5.1) .
Тогда выражение для первой производной по будет иметь более простой вид:
(6.1) .

Тем же способом находим вторую производную:

.
Наложим на функции второе условие:
(5.2) .
Тогда
(6.2) .
И так далее. В дополнительных условиях, мы приравниваем члены, содержащие производные функций , к нулю.

Таким образом, если выбрать следующие дополнительные уравнения для функций :
(5.k) ,
то первые производных по будут иметь наиболее простой вид:
(6.k) .
Здесь .

Находим n -ю производную:
(6.n)
.

Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;

.
Учтем, что все функции удовлетворяют уравнению (2):
.
Тогда сумма членов, содержащих дают нуль. В итоге получаем:
(7) .

В результате мы получили систему линейных уравнений для производных :
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7′) .

Решая эту систему, находим выражения для производных как функции от x . Интегрируя, получим:
.
Здесь – уже не зависящие от x постоянные. Подставляя в (4), получаем общее решение исходного уравнения.

Заметим, что для определения величин производных мы нигде не использовали тот факт, что коэффициенты a i являются постоянными. Поэтому метод Лагранжа применим для решения любых линейных неоднородных уравнений , если известна фундаментальная система решений однородного уравнения (2).

Примеры

Решить уравнения методом вариации постоянных (Лагранжа).

Решение примеров > > >

См. также: Решение уравнений первого порядка методом вариации постоянной (Лагранжа)
Решение уравнений высших порядков методом Бернулли
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами линейной подстановкой

Метод вариации произвольных постоянных применяется для решения неоднородных дифференциальных уравнений. Данный урок предназначен для тех студентов, кто уже более или менее хорошо ориентируется в теме. Если вы только-только начинаете знакомиться с ДУ, т.е. являетесь чайником, то рекомендую начать с первого урока: Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . А если уже-уже заканчиваете, пожалуйста, отбросьте возможное предвзятое мнение, что метод сложный. Потому что он простой.

В каких случаях применяется метод вариации произвольных постоянных?

1) Метод вариации произвольной постояннОЙ можно использовать при решении линейного неоднородного ДУ 1-го порядка . Коль скоро уравнение первого порядка, то и постоянная (константа) тоже одна.

2) Метод вариации произвольнЫХ постоянных используют для решения некоторых линейных неоднородных уравнений второго порядка . Здесь варьируются две постоянные (константы).

Логично предположить, что урок будет состоять из двух параграфов…. Вот написал это предложение, и минут 10 мучительно думал, какую бы еще умную хрень добавить для плавного перехода к практическим примерам. Но почему-то мыслей после праздников нет никаких, хотя вроде и не злоупотреблял ничем. Поэтому сразу примемся за первый параграф.

Метод вариации произвольной постоянной
для линейного неоднородного уравнения первого порядка

Перед рассмотрением метода вариации произвольной постоянной желательно быть знакомым со статьей Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . На том уроке мы отрабатывали первый способ решения неоднородного ДУ 1-го порядка. Этот первый способ решения, напоминаю, называется метод замены или метод Бернулли (не путать с уравнением Бернулли !!!)

Сейчас мы рассмотрим второй способ решения – метод вариации произвольной постоянной. Я приведу всего три примера, причем возьму их из вышеупомянутого урока . Почему так мало? Потому что на самом деле решение вторым способом будет очень похоже на решение первым способом. Кроме того, по моим наблюдениям, метод вариации произвольных постоянных применяется реже метода замены.

Пример 1

(Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )

Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид:

На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:
То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо пишем ноль.
Уравнение я буду называть вспомогательным уравнением .

В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными , решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:

Таким образом:
– общее решение вспомогательного уравнения .

На втором шаге заменим константу некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:

Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.

В исходном неоднородном уравнении проведём замену:

Подставим и в уравнение :

Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются . Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.

В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.

Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:

К найденной функции приплюсовываем «нормальную» константу :

На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену:

Функция только что найдена!

Таким образом, общее решение:

Ответ: общее решение:

Если вы распечатаете два способа решения, то легко заметите, что в обоих случаях мы находили одни и те же интегралы. Отличие лишь в алгоритме решения.

Теперь что-нибудь посложнее, второй пример я тоже прокомментирую:

Пример 2

Найти общее решение дифференциального уравнения
(Диффур из Примера №8 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )

Решение: Приведем уравнение к виду :

Обнулим правую часть и решим вспомогательное уравнение:

Общее решение вспомогательного уравнения:

В неоднородном уравнении проведём замену:

По правилу дифференцирования произведения:

Подставим и в исходное неоднородное уравнение :

Два слагаемых в левой части сокращаются, значит, мы на верном пути:

Интегрируем по частям. Вкусная буква из формулы интегрирования по частям у нас уже задействована в решении, поэтому используем, например, буквы «а» и «бэ»:

Теперь вспоминаем проведённую замену:

Ответ: общее решение:

И один пример для самостоятельного решения:

Пример 3

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.

,
(Диффур из Примера №4 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка )
Решение:
Данное ДУ является линейным неоднородным. Используем метод вариации произвольных постоянных. Решим вспомогательное уравнение:

Разделяем переменные и интегрируем:

Общее решение:
В неоднородном уравнении проведем замену:

Выполним подстановку:

Таким образом, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

Ответ: частное решение:

Решение в конце урока может служить примерным образцом для чистового оформления задания.

Метод вариации произвольных постоянных
для линейного неоднородного уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

Часто приходилось слышать мнение, что метод вариации произвольных постоянных для уравнения второго порядка – штука не из легких. Но я предполагаю следующее: скорее всего, метод многим кажется трудным, поскольку встречается не так часто. А в действительности особых сложностей нет – ход решения чёткий, прозрачный, понятный. И красивый.

Для освоения метода желательно уметь решать неоднородные уравнения второго порядка способом подбора частного решения по виду правой части. Данный способ подробно рассмотрен в статье Неоднородные ДУ 2-го порядка . Вспоминаем, что линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

Метод подбора, который рассматривался на вышеупомянутом уроке, проходит лишь в ограниченном ряде случаев, когда в правой части находятся многочлены, экспоненты, синусы, косинусы. Но что делать, когда справа, например, дробь, логарифм, тангенс? В такой ситуации на помощь как раз и приходит метод вариации постоянных.

Пример 4

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Решение: В правой части данного уравнения находится дробь, поэтому сразу можно сказать, что метод подбора частного решения не прокатывает. Используем метод вариации произвольных постоянных.

Ничто не предвещает грозы, начало решения совершенно обычное:

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

Составим и решим характеристическое уравнение:

– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:

Обратите внимание на запись общего решения – если есть скобки, то их раскрываем.

Теперь проделываем практически тот же трюк, что и для уравнения первого порядка: варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Где – пока ещё неизвестные функции.

Похоже на свалку бытовых отходов, но сейчас всё рассортируем.

В качестве неизвестных выступают производные функций . Наша цель – найти производные , причем найденные производные должны удовлетворять и первому и второму уравнению системы.

Откуда берутся «игреки»? Их приносит аист. Смотрим на полученное ранее общее решение и записываем:

Найдем производные:

С левыми частями разобрались. Что справа?

– это правая часть исходного уравнения, в данном случае:

Коэффициент – это коэффициент при второй производной:

На практике почти всегда , и наш пример не исключение.

Всё прояснилось, теперь можно составить систему:

Систему обычно решают по формулам Крамера , используя стандартный алгоритм. Единственное отличие состоит в том, что вместо чисел у нас функции.

Найдем главный определитель системы:

Если позабылось, как раскрывается определитель «два на два», обратитесь к уроку Как вычислить определитель? Ссылка ведёт на доску позора =)

Итак: , значит, система имеет единственное решение.

Находим производную:

Но это еще не всё, пока мы нашли только производную.
Сама функция восстанавливается интегрированием:

Разбираемся со второй функцией:

Здесь добавляем «нормальную» константу

На заключительном этапе решения вспоминаем, в каком виде мы искали общее решение неоднородного уравнения? В таком:

Нужные функции только что найдены!

Осталось выполнить подстановку и записать ответ:

Ответ: общее решение:

В принципе, в ответе можно было раскрыть скобки.

Полная проверка ответа выполняется по стандартной схеме, которая рассматривалась на уроке Неоднородные ДУ 2-го порядка . Но проверка будет непростой, поскольку предстоит находить достаточно тяжелые производные и проводить громоздкую подстановку. Это неприятная особенность, когда вы решаете подобные диффуры.

Пример 5

Решить дифференциальное уравнение методом вариации произвольных постоянных

Это пример для самостоятельного решения. На самом деле в правой части тоже дробь. Вспоминаем тригонометрическую формулу , её, к слову, нужно будет применить по ходу решения.

Метод вариации произвольных постоянных – наиболее универсальный метод. Им можно решить любое уравнение, которое решается методом подбора частного решения по виду правой части . Возникает вопрос, а почему бы и там не использовать метод вариации произвольных постоянных? Ответ очевиден: подбор частного решения, который рассматривался на уроке Неоднородные уравнения второго порядка , значительно ускоряет решение и сокращает запись – никакого трахча с определителями и интегралами.

Рассмотрим два примера с задачей Коши .

Пример 6

Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям

,

Решение: Опять дробь и экспонента в интересном месте.
Используем метод вариации произвольных постоянных.

Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:

Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде: , где – пока ещё неизвестные функции.

Составим систему:

В данном случае:
,
Находим производные:
,

Таким образом:

Систему решим по формулам Крамера:
, значит, система имеет единственное решение.

Восстанавливаем функцию интегрированием:

Здесь использован метод подведения функции под знак дифференциала .

Восстанавливаем вторую функцию интегрированием:

Такой интеграл решается методом замены переменной :

Из самой замены выражаем:

Таким образом:

Данный интеграл можно найти методом выделения полного квадрата , но в примерах с диффурами я предпочитаю раскладывать дробь методом неопределенных коэффициентов :

Обе функции найдены:

В результате, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям .

Технически поиск решения осуществляется стандартным способом, который рассматривался в статье Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка .

Держитесь, сейчас будем находить производную от найденного общего решения:

Вот такое вот безобразие. Упрощать его не обязательно, легче сразу составить систему уравнений. В соответствии с начальными условиями :

Подставим найденные значения констант в общее решение:

В ответе логарифмы можно немного запаковать.

Ответ: частное решение:

Как видите, трудности могут возникнуть в интегралах и производных, но никак не в самом алгоритме метода вариации произвольных постоянных. Это не я вас запугал, это всё сборник Кузнецова!

Для расслабления заключительный, более простой пример для самостоятельного решения:

Пример 7

Решить задачу Коши

,

Пример несложный, но творческий, когда составите систему, внимательно на неё посмотрите, прежде чем решать;-),




В результате общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее начальным условиям .



Подставим найденные значения констант в общее решение:

Ответ: частное решение:

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + … + a 1 (t )z “(t ) + a 0 (t )z (t ) = f (t )

состоит в замене произвольных постоянных c k в общем решении

z (t ) = c 1 z 1 (t ) + c 2 z 2 (t ) + … + c n z n (t )

соответствующего однородного уравнения

a n (t )z (n ) (t ) + a n − 1 (t )z (n − 1) (t ) + . .. + a 1 (t )z “(t ) + a 0 (t )z (t ) = 0

на вспомогательные функции c k (t ) , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

Определителем системы (1) служит вронскиан функций z 1 ,z 2 ,…,z n , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно .

Если – первообразные для , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам .

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной форме

состоит в построении частного решения (1) в виде

где Z (t ) – базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями при t = t 0 имеет вид

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

Матрица Z (t )Z − 1 (τ) называется матрицей Коши оператора L = A (t ) .

Локально различные решения количество дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения

Или уже решены относительно производной , или их можно решить относительно производной .

Общее решение дифференциальных уравнений типа на интервале X , который задан, можно найти, взяв интеграл обоих частей этого равенства.

Получим .

Если посмотреть на свойства неопределенного интеграла, то найдем искомое общее решение:

y = F(x) + C ,

где F(x) – одна из первообразных функции f(x) на промежутке X , а С – произвольная постоянная.

Обратите внимание, что в большинстве задач интервал X не указывают. Это значит, что решение нужно находить для всех x , при которых и искомая функция y , и исходное уравнение имеют смысл.

Если нужно вычислить частное решение дифференциального уравнения , которое удовлетворяет начальному условию y(x 0) = y 0 , то после вычисления общего интеграла y = F(x) + C , еще необходимо определить значение постоянной C = C 0 , используя начальное условие. Т.е., константу C = C 0 определяют из уравнения F(x 0) + C = y 0 , и искомое частное решение дифференциального уравнения примет вид:

y = F(x) + C 0 .

Рассмотрим пример:

Найдем общее решение дифференциального уравнения , проверим правильность результата. Найдем частное решение этого уравнения, которое удовлетворяло бы начальному условию .

Решение:

После того, как мы проинтегрировали заданное дифференциальное уравнение, получаем:

.

Возьмем этот интеграл методом интегрирования по частям:

Т. о., является общим решением дифференциального уравнения.

Чтобы убедиться в правильности результата, сделаем проверку. Для этого подставляем решение, которое мы нашли, в заданное уравнение:

.

То есть, при исходное уравнение превращается в тождество:

поэтому общее решение дифференциального уравнения определили верно.

Решение, которое мы нашли, является общим решением дифференциального уравнения для каждого действительного значения аргумента x .

Осталось вычислить частное решение ОДУ, которое удовлетворяло бы начальному условию . Другими словами, необходимо вычислить значение константы С , при котором будет верно равенство:

.

.

Тогда, подставляя С = 2 в общее решение ОДУ, получаем частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет первоначальному условию:

.

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно решить относительно производной, разделив 2 части равенства на f(x) . Это преобразование будет равнозначным, если f(x) не превращается в нуль ни при каких x из интервала интегрирования дифференциального уравнения X .

Вероятны ситуации, когда при некоторых значениях аргумента x ∈ X функции f(x) и g(x) одновременно превращаются в нуль. Для подобных значений x общим решением дифференциального уравнения будет всякая функция y , которая определена в них, т.к. .

Если для некоторых значений аргумента x ∈ X выполняется условие , значит, в этом случае у ОДУ решений нет.

Для всех других x из интервала X общее решение дифференциального уравнения определяется из преобразованного уравнения .

Разберем на примерах:

Пример 1.

Найдем общее решение ОДУ: .

Решение.

Из свойств основных элементарных функций ясно, что функция натурального логарифма определена для неотрицательных значений аргумента, поэтому областью определения выражения ln(x+3) есть интервал x > -3 . 2 + c.

К линейным уравнениям относите уравнения «первой ». Неизвестная функция с ее производными входит в подобное уравнение лишь в первой степени. Линейное имеет вид dy/dx + f(x) = j(x), где f(x) и g(x) – функции, зависящие от x. Решение записывается с помощью интегралов, взятых от известных функций.

Учтите, что многие дифференциальные уравнения – это уравнения второго порядка (содержащие вторые производные) Таким, например, является уравнение простого гармонического движения, записанное в виде общей : md 2x/dt 2 = –kx. Такие уравнения имеют, в , частные решения. Уравнение простого гармонического движения является примером достаточно важного : линейных дифференциальных уравнений, у которых имеется постоянный коэффициент.

Если в условиях задачи лишь одно линейное уравнение, значит, вам даны дополнительные условия, благодаря которым можно найти решение. Внимательно прочитайте задачу, чтобы найти эти условия. Если переменными х и у обозначены расстояние, скорость, вес – смело ставьте ограничение х≥0 и у≥0. Вполне возможно, под х или у скрывается количество , яблок, и т.д. – тогда значениями могут быть только . Если х – возраст сына, понятно, что он не может быть старше отца, поэтому укажите это в условиях задачи.

Источники:

• как решить уравнение с одной переменной

Задачи на дифференциальное и интегральное исчисление являются важными элементами закрепления теории математического анализа, раздела высшей математики, изучаемой в вузах. Дифференциальное уравнение решается методом интегрирования.

Инструкция

Дифференциальное исчисление исследует свойства . И наоборот, интегрирование функции позволяет по данным свойствам, т.е. производным или дифференциалам функции найти ее саму. В этом и заключается решение дифференциального уравнения.

Любое является соотношением между неизвестной величиной и известными данными. В случае дифференциального уравнения роль неизвестного играет функция, а роль известных величин – ее производные. Кроме этого, соотношение может содержать независимую переменную:F(x, y(x), y’(x), y’’(x),…, y^n(x)) = 0, где x – неизвестная переменная, y(x) – функция, которую нужно определить, порядок уравнения – это максимальный порядок производной (n).

Такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же в соотношении несколько независимых переменных и частные производные (дифференциалы) функции по этим переменным, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными и имеет вид:x∂z/∂y – ∂z/∂x = 0, где z(x, y) – искомая функция.

Итак, чтобы научиться решать дифференциальные уравнения, необходимо уметь находить первообразные, т.е. решать задачу, обратную дифференцированию. Например:Решите уравнение первого порядка y’ = -y/x.

РешениеЗамените y’ на dy/dx: dy/dx = -y/x.

Приведите уравнение к виду, удобному для интегрирования. Для этого умножьте обе части на dx и разделите на y:dy/y = -dx/x.

Проинтегрируйте:∫dy/y = – ∫dx/x + Сln |y| = – ln |x| + C.

Это решение называется общим дифференциального уравнения. С – это константа, множество значений которой определяет множество решений уравнения. При любом конкретном значении С решение будет единственным. Такое решение является частным решением дифференциального уравнения.4 – 13·x² + 36 = 0

Теперь найдите корни исходного уравнения:x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

Химическая реакция – это процесс превращения веществ, протекающий с изменением их состава. Те вещества, которые вступают в реакцию, называются исходными, а те, которые образуются в результате этого процесса – продуктами. Бывает так, что в ходе химической реакции элементы, входящие в состав исходных веществ, изменяют свою степень окисления. То есть они могут принять чужие электроны и отдать свои. И в том, и в другом случае меняется их заряд. Такие реакции называются окислительно-восстановительными.

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка, т.е. уравнение

и установим некоторые свойства его решений.

Свойство 1
Если является решением линейного однородного уравнения, то C , где C – произвольная постоянная, является решением того же уравнения.
Доказательство.
Подставляя в левую часть рассматриваемого уравнения C , получим: ,
но , т.к. является решением исходного уравнения.
Следовательно,

и справедливость указанного свойства доказана.

Свойство 2
Сумма двух решений линейного однородного уравнения является решением того же уравнения.
Доказательство.
Пусть и являются решениями рассматриваемого уравнения, тогда
и .
Подставляя теперь + в рассматриваемое уравнение будем иметь:
, т.е. + есть решение исходного уравнения.
Из доказанных свойств следует, что, зная два частных решения и линейного однородного уравнения второго порядка, мы можем получить решение , зависящее от двух произвольных постоянных, т.е. от такого количества постоянных, какое должно содержать общее решение уравнение второго порядка. Но будет ли это решение общим, т.е. можно ли путем выбора произвольных постоянных и удовлетворить произвольно заданным начальным условиям?
При ответе на этот вопрос будет использовано понятие линейной независимости функций, которую можно определить следующим образом.

Две функции и называются линейно независимыми на некотором интервале, если их отношение на этом интервале не является постоянным, т.е. если
.
В противном случае функции называются линейно зависимыми .
Иными словами, две функции и называются линейно зависимыми на некотором интервале, если на всем интервале.

Примеры

1. Функции y 1 = e x и y 2 = e – x линейно независимы при всех значениях x , т.к.
.
2. Функции y 1 = e x и y 2 = 5 e x линейно зависимы, т.к.
.

Теорема 1.

Если функции и линейно зависимы на некотором интервале, то определитель , называемый определителем Вронского данных функций, тождественно равен нулю на этом интервале.

Доказательство.

Если
,
где , то и .
Следовательно,
.
Теорема доказана.

Замечание.
Определитель Вронского, фигурирующий в рассмотренной теореме, обычно обозначается буквой W или символами .
Если функции и являются решениями линейного однородного уравнения второго порядка, то для них справедлива следующая обратная и притом более сильная теорема.

Теорема 2.

Если определитель Вронского, составленный для решений и линейного однородного уравнения второго порядка, обращается в ноль хотя бы в одной точке, то эти решения линейно зависимы.

Доказательство.

Пусть определитель Вронского обращается в ноль в точке , т.е. =0,
и пусть и .
Рассмотрим линейную однородную систему

относительно неизвестных и .
Определитель этой системы совпадает со значением определителя Вронского при
x= , т.е. совпадает с , и, следовательно, равен нулю. Поэтому система имеет ненулевое решение и ( и не равны нулю). Используя эти значения и , рассмотрим функцию . Эта функция является решением того же уравнения, что и функции и . Кроме того, эта функция удовлетворяет нулевым начальным условиям: , т.к. и .
С другой стороны, очевидно, что решением уравнения , удовлетворяющим нулевым начальным условиям, является функция y =0.
В силу единственности решения, имеем: . Откуда следует, что
,
т.е. функции и линейно зависимы. Теорема доказана.

Следствия.

1. Если определитель Вронского, фигурирующий в теоремах, равен нулю при каком-нибудь значении x= , то он равен нулю при любом значении x из рассматриваемого интервала.

2. Если решения и линейно независимы, то определитель Вронского не обращается в ноль ни в одной точке рассматриваемого интервала.

3. Если определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке, то решения и линейно независимы.

Теорема 3.

Если и – два линейно независимых решения однородного уравнения второго порядка , то функция , где и – произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

Доказательство.

Как известно, функция является решением рассматриваемого уравнения при любых значениях и . Докажем теперь, что каковы бы ни были начальные условия
и ,
можно так подобрать значения произвольных постоянных и , чтобы соответствующее частное решение удовлетворяло заданным начальным условиям.
Подставляя начальные условия в равенства, получим систему уравнений
.
Из этой системы можно определить и , т.к. определитель этой системы

есть определитель Вронского при x= и, следовательно, не равен нулю (в силу линейной независимости решений и ).

; .

Частное решение при полученных значениях и удовлетворяет заданным начальным условиям. Таким образом, теорема доказана.

Примеры

Пример 1.

Общим решением уравнения является решение .
Действительно,
.

Следовательно, функции sinx и cosx линейно независимы. В этом можно убедиться, рассмотрев отношение этих функций:

.

Пример 2.

Решение y = C 1 e x + C 2 e – x уравнения является общим, т.к. .

Пример 3.

Уравнение , коэффициенты которого и
непрерывны на любом интервале, не содержащем точки x = 0, допускает частные решения

(легко проверить подстановкой). Следовательно, его общее решение имеет вид:
.

Замечание

Мы установили, что общее решение линейного однородного уравнения второго порядка можно получить зная два каких-либо линейно независимых частных решения этого уравнения. Однако, не существует общих методов для нахождения таких частных решений в конечном виде для уравнений с переменными коэффициентами. Для уравнений с постоянными коэффициентами такой метод существует и будет рассмотрен нами позднее.

Решение дифференциальных уравнений. Благодаря нашему онлайн сервису вам доступно решение дифференциальных уравнений любого вида и сложности: неоднородные, однородные, нелинейные, линейные, первого, второго порядка, с разделяющимися переменными или не разделяющимися и т.д. Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитическом виде с подробным описанием. Многие интересуются: зачем необходимо решать дифференциальные уравнения онлайн? Данный вид уравнений очень распространён в математике и физике, где решить многие задачи без вычисления дифференциального уравнения будет невозможно. Также дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение же такого уравнения в онлайн режиме значительно облегчает вам поставленные задачи, дает возможность лучше усвоить материал и проверить себя. Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный математический сервис сайт позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн любой сложности. Как вы знаете, существует большое количество видов дифференциальных уравнений и для каждого из них предусмотрены свои способы решения. На нашем сервисе вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и вида в онлайн режиме. Для получения решения мы предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение». Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете на 100% быть уверены, что получили верный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решить дифференциальные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция y – это функция от x переменной. Но вы можете задавать и свое обозначение переменной. Например, если вы укажете в дифференциальном уравнении y(t), то наш сервис автоматически определит, что у является функцией от t переменной. Порядок всего дифференциального уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении. Решить такое уравнение – означает найти искомую функцию. Решить дифференциальные уравнения онлайн вам поможет наш сервис. Для решения уравнения от вас не потребуется много усилий. Необходимо лишь ввести в нужные поля левую и правую части вашего уравнения и нажать кнопку «Решение». При вводе производную от функции необходимо обозначать через апостроф. Через считанные секунды вы получите готовое подробное решение дифференциального уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении в левой части находится выражение, зависящее от y, а правой части – выражение, которое зависит от x, то такое дифференциальное уравнение называется с разделяющимися переменными. В левой части может быть производная от y, решение дифференциальных уравнений такого вида будет в виде функции y, выраженной через интеграл от правой части уравнения. Если же в левой части будет дифференциал функции от y, то в таком случае интегрируются обе части уравнения. Когда переменные в дифференциальном уравнении не разделены, то их потребуется разделить, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Линейное дифференциальное уравнение. Линейным называется дифференциальное уравнение, у которого функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) – это непрерывные функции от x. Решение дифференциальных уравнений такого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого, второго, n-го порядка. Порядок дифференциального уравнения определяет порядок старшей производной, которая содержится в нем. В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция y=f(x), подставив которую в уравнение, вы получите тождество. Процесс поиска решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Задача Коши. Если помимо самого дифференциального уравнения задается первоначальное условие y(x0)=y0, то это называется задачей Коши. В решение уравнения добавляются показатели y0 и x0 и определяют значение произвольной константы C, а потом частное решение уравнения при этом значении C. Это и является решением задачи Коши. Еще задачу Коши называют задачей с граничными условиями, что очень распространено в физике и механике. Также у вас есть возможность задать задачу Коши, то есть из всех возможных решений уравнения выбрать частное, которое отвечает заданным первоначальным условиям.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

заочной формы получения образования (НИСПО)

Горки, 2013

Дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения

При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.

Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением :

Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция,
– производные искомой функции. При этом в соотношении (1) обязательно наличие хотя бы одной производной.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

. (2)

Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде

, (3)

то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида

которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

Так как
, то уравнение (3) можно записать в виде
или
, где можно считать
и
. Это означает, что уравнение (3) преобразовано в уравнение (4).

Запишем уравнение (4) в виде
. Тогда
,
,
, где можно считать
, т.е. получено уравнение вида (3). Таким образом, уравнения (3) и (4) равносильны.

Решением дифференциального уравнения (2) или (3) называется любая функция
, которая при подстановке её в уравнение (2) или (3) обращает его в тождество:

или
.

Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием , а график решения
дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой этого уравнения.

Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде
, то оно называетсяинтегралом данного дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций вида
, зависящее от произвольной постояннойС , каждая из которых является решением данного дифференциального уравнения при любом допустимом значении произвольной постоянной С . Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из формулы общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С , включая
.

Задача Коши и её геометрическая интерпретация

Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.

Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши . Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

Формулируется задача Коши следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение
, в котором функция
принимает заданное числовое значение, если независимая переменная x принимает заданное числовое значение , т.е.

,
, (5)

где D – область определения функции
.

Значение называетсяначальным значением функции , а – начальным значением независимой переменной . Условие (5) называется начальным условием или условием Коши .

С геометрической точки зрения задачу Коши для дифференциального уравнения (2) можно сформулировать следующим образом: из множества интегральных кривых уравнения (2) выделить ту, которая проходит через заданную точку
.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:

. (6)

Учитывая, что
, запишем уравнение в виде
или
. Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
или

. (7)

Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).

Пример 1 . Найти общее решение дифференциального уравнения
.

Решение . Запишем уравнение в виде
или
. Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
,
. Окончательно запишем
.

Пример 2 . Найти решение уравнения
при условии
.

Решение . Найдём общее решение уравнения:
,
,
,
. По условию
,
. Подставим в общее решение:
или
. Найденное значение произвольной постоянной подставим в формулу общего решения:
. Это и есть частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию.

Уравнение

(8)

Называется дифференциальным уравнением первого порядка, не содержащим независимой переменной . Запишем его в виде
или
. Проинтегрируем обе части последнего уравнения:
или
– общее решение уравнения (8).

Пример . Найти общее решение уравнения
.

Решение . Запишем это уравнение в виде:
или
. Тогда
,
,
,
. Таким образом,
– общее решение данного уравнения.

Уравнение вида

(9)

интегрируется с помощью разделения переменных. Для этого уравнение запишем в виде
, а затем с помощью операций умножения и деления приводим его к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция отх и дифференциал dx , а во вторую часть – функция от у и дифференциал dy . Для этого обе части уравнения нужно умножить на dx и разделить на
. В результате получим уравнение

, (10)

в котором переменные х и у разделены. Проинтегрируем обе части уравнения (10):
. Полученное соотношение является общим интегралом уравнения (9).

Пример 3 . Проинтегрировать уравнение
.

Решение . Преобразуем уравнение и разделим переменные:
,
. Проинтегрируем:
,
или – общий интеграл данного уравнения.
.

Пусть уравнение задано в виде

Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.

Для разделения переменных нужно обе части уравнения разделить на
:

. (12)

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными . Проинтегрируем уравнение (12):

.(13)

Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).

Пример 4 . Проинтегрировать дифференциальное уравнение .

Решение . Запишем уравнение в виде

и разделим обе его части на
,
. Полученное уравнение:
является уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрируем его:

,
,

,
. Последнее равенство является общим интегралом данного дифференциального уравнения.

Пример 5 . Найти частное решение дифференциального уравнения
, удовлетворяющее условию
.

Решение . Учитывая, что
, запишем уравнение в виде
или
. Разделим переменные:
. Проинтегрируем это уравнение:
,
,
. Полученное соотношение является общим интегралом данного уравнения. По условию
. Подставим в общий интеграл и найдёмС :
,С =1. Тогда выражение
является частным решением данного дифференциального уравнения, записанным в виде частного интеграла.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение

(14)

называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка . Неизвестная функция
и её производная входят в это уравнение линейно, а функции
и
непрерывны.

Если
, то уравнение

(15)

называется линейным однородным . Если
, то уравнение (14) называетсялинейным неоднородным .

Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли) , суть которого в следующем.

Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций

, (16)

где
и
– некоторые непрерывные функции. Подставим
и производную
в уравнение (14):

Функцию v будем подбирать таким образом, чтобы выполнялось условие
. Тогда
. Таким образом, для нахождения решения уравнения (14) нужно решить систему дифференциальных уравнений

Первое уравнение системы является линейным однородным уравнением и решить его можно методом разделения переменных:
,
,
,
,
. В качестве функции
можно взять одно из частных решений однородного уравнения, т.е. приС =1:
. Подставим во второе уравнение системы:
или
.Тогда
. Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид
.

Пример 6 . Решить уравнение
.

Решение . Решение уравнения будем искать в виде
. Тогда
. Подставим в уравнение:

или
. Функциюv выберем таким образом, чтобы выполнялось равенство
. Тогда
. Решим первое из этих уравнений методом разделения переменных:
,
,
,
,. Функциюv подставим во второе уравнение:
,
,
,
. Общим решением данного уравнения является
.

Вопросы для самоконтроля знаний

Что называется дифференциальным уравнением?

Что называется порядком дифференциального уравнения?

Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?

Что называется решением дифференциального уравнения?

Что называется интегральной кривой?

Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

Что называется частным решением дифференциального уравнения?

Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?

Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?

Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?

Задания для самостоятельной работы

Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

а)
; б)
; в)
;

г)
; д)
.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Вычислить по теореме Коши y”-2y’=x2+1, y(0)=2, y'(0)=14.

Решение

Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y”-2y’=x2+1, которое будет удовлетворять заданным условиям y(0)=2, y'(0)=14.

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y0 или частному решению неоднородного уравнения y~, то есть y=y0+y~.

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Перейдем к нахождению y0. Запись характеристического уравнения поможет  найти корни. Получаем, что

k2-2k=0k(k-2)=0k1=0, k2=2

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

y0=C1e0x+C2e2x=C1+C2e2x.

Найдем y~. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y~ будет

y~=Q2(x)·xγ=(Ax2+Bx+C)·x=Ax3+Bx2+Cx, где значения А, В, С принимают неопределенные коэффициенты.

Найдем их из равенства вида y~”-2y~’=x2+1.

Тогда получим, что:

y~”-2y~’=x2+1(Ax3+Bx2+Cx)”-2(Ax3+Bx2+Cx)’=x2+13Ax2+2Bx+C’-6Ax2-4Bx-2C=x2+16Ax+2B-6Ax2-4Bx-2C=x2+1-6Ax2+x(6A-4B)+2B-2C=x2+1

Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x, получим систему линейных выражений -6A=16A-4B=02B-2C=1.  При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A=-16, B=-14, C=-34 и y~=Ax3+Bx2+Cx=-16×3-14×2-34x.

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y(0)=2, y'(0)=14, требуется определить значения C1 и C2 , исходя из равенства вида y=C1+C2e2x-16×3+14×2+34x.

Получаем, что:

y(0)=C1+C2e2x-16×3+14×2+34xx=0=C1+C2y'(0)=C1+C2e2x-16×3+14×2+34x’x=0==2C2e2x-12×2+12x+34x=0=2C2-34

Работаем с полученной системой уравнений вида C1+C2=22C2-34=14, где C1=32, C2=12.

Применив теорему Коши, имеем, что

y=C1+C2e2x-16×3+14×2+34x==32+12e2x-16×3+14×2+34x

Ответ: 32+12e2x-16×3+14×2+34x.

Дифференциальные уравнения | Новый физтех. Университет ИТМО

План лекций:

1 Введение. Методы решения простейших дифференциальных уравнений первого порядка.

2 Уравнения, не разрешённые относительно производной. Методы понижения порядка.

3 Дифференциальные многочлены. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

4 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Выделение вещественных решений.

5 Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

6 Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем с помощью матричной экспоненты.

7 Теоремы существования и единственности для нормальной системы и для уравнения произвольного порядка.

8 Лемма Гронуолла. Глобальная теорема единственности. Продолжение решений задачи Коши.

9 Задача Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной. Особые решения.

10 Линейные системы уравнений с переменными коэффициентами. Вронскиан и его свойства.

11 Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения второго порядка. Теорема Штурма о сравнении.

12 Автономные системы уравнений. Классификация положений равновесия.

13 Теория устойчивости.

14 Уравнения в частных производных первого порядка.

15 Элементы нелинейной динамики.

План практических занятий:

1 Уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Составление дифференциальных уравнений.

2 Уравнения Бернулли, Риккати. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнения Лагранжа и Клеро.

3 Методы понижения порядка.

4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение Эйлера.

5 Системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод исключения. Однородные системы.

6 Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение систем с помощью матричной экспоненты.

7 Контрольная работа №1.

8 Исследование задачи Коши. Метод последовательных приближений.

9 Задача Коши для уравнения, не разрешённого относительно производной. Особые решения.

10 Линейные системы с переменными коэффициентами. Решение уравнений при помощи степенных рядов.

11 Линейные уравнения с переменными коэффициентами. Уравнения второго порядка. Качественное исследование решений.

12 Автономные системы уравнений. Исследование положений равновесия.

13 Исследование решений на устойчивость. Линеаризация нелинейных систем.

14 Уравнения в частных производных первого порядка.

15 Контрольная работа №2.

примеры на последовательное, параллельное и смешанное соединение

Задания по электротехнике успешно даются только тем, кто может досконально разобраться в теме, нарисовать схему электроцепи и объяснить, каким образом в ней происходит взаимодействие между элементами. Ошибочно думать, что это очень сложный раздел физики, с которым под силу разобраться только электромеханикам. При желании эта тема доступна каждому среднестатистическому человеку. Давайте с ней разберемся!

Задания по электротехнике на тему «Конденсаторы»

Прежде чем приступать непосредственно к задачам, вспомним теорию.

Конденсатор — это два электрических проводника, разделенных между собой тонким слоем диэлектрика.

Проводники соединяют между собой с целью получить батареи. Существует 3 способа подключения конденсаторов:

• параллельное;
• последовательное;
• комбинированное.

Последовательным соединением называется подключение двух или более конденсаторов в цепь так, что каждый отдельный проводник соединен с другим только в одной точке.

Параллельным называется такое соединение конденсаторов, при котором все они подключены между одной и той же парой точек. 

Комбинированное — это вид соединения, в котором часть проводников подключены параллельно, а часть — последовательно.

Знание каких формул и законов потребуется для решения

В зависимости от того, какой вид подключения проводников используется, по-разному будут определяться ключевые характеристики конденсаторов: емкость, заряд, напряжение.

Для решения заданий по данной теме в большинстве случаев понадобятся следующие формулы:

Источник: uk-parkovaya.ru

Предлагаем рассмотреть примеры решения типовых задач по данной теме со всеми необходимыми пояснениями, чтобы окончательно усвоить, как правильно разбирать такие задания. 

Решение задач на параллельное соединение

Задача

Три проводника соединены между собой параллельно. Емкость первого равна 100 микрофарад, второго — 200 микрофарад, третьего — 500 микрофарад. Найдите общую емкость конденсаторов.

Решение

1. Запишем известные вводные: C₁=100 мкФ, C₂=200 мкФ, C₃=500 мкФ, C=?
2. Так как соединение в цепи параллельное, общая емкость будет определяться по формуле: C=C₁+C₂+C₃
3. Подставляем числовые значения в формулу и получаем ответ: 800 мкФ.

Решение задач на последовательное соединение

Задача

Батарея состоит из двух конденсаторов, соединенных последовательно. Емкость первого — 4 мкФ, второго — 6 мкФ. Батарея заряжена до напряжения 220 Вольт. Определите емкость и заряд батареи.

Решение

1. Запишем известные нам данные из условий задачи: C₁=4 мкФ, C₂=6 мкФ, U=220 В, C=? q=?
2. Так как конденсаторы соединены последовательно, емкость батареи будет определяться по формуле: \(\frac1c=\frac1{c_1}+\frac1{c_2}\)
3. Общий заряд батареи будет равен заряду первого и заряду второго проводника, т.е. q=q₁=q₂
4. Ищем значение емкости батареи по указанной выше формуле, получаем значение, равное 2,4 мкФ.
5. Заряд батареи можно вычислить по формуле: \(q=C\times U\)
6. Подставляем числовые значения в формулу и получаем ответ: 528 мкКл.

Решение задач на смешанное соединение

Предлагаем рассмотреть более сложное задание, правильный ответ на которое включает в себя сразу четыре варианта решения:

Источник: bambookes.ru

Остались вопросы? Физика по-прежнему кажется сложным для понимания предметом? Вы не понимаете разницу между постоянным и переменным током? Не знаете откуда берется энергия? Обращайтесь за помощью в решении задач и подготовке докладов к специалистам нашего образовательного сервиса ФениксХелп. Для нас нет нелюбимых предметов и сложных тем!

Wolfram | Примеры альфа: дифференциальные уравнения

---

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Решите ОДУ или найдите ОДУ, которому удовлетворяет функция.

Решите линейное обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решите неоднородное уравнение:

Решите уравнение, включающее параметр:

Решите нелинейное уравнение:

Найдите дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет заданная функция:

Другие примеры

---

Другие примеры

Решение численных дифференциальных уравнений

Численно решите дифференциальное уравнение, используя множество классических методов.

Решите ОДУ, используя указанный численный метод:

Укажите адаптивный метод:

Другие примеры

Решатель дифференциальных уравнений – онлайн-инструмент

Поиск инструмента

Решатель дифференциальных уравнений

Инструмент / решатель для решения дифференциальных уравнений (например, разрешение для первой или второй степени) в соответствии с именем функции и переменной.

Результаты

Решатель дифференциальных уравнений – dCode

Тег (и): функции, символьные вычисления

Поделиться

dCode и другие

dCode является бесплатным, а его инструменты являются ценным подспорьем в играх, математике, геокешинге, головоломках и задачах, которые нужно решать каждый день!
Предложение? обратная связь? Жук ? идея ? Запись в dCode !

Калькулятор дифференциальных уравнений

Ответы на вопросы (FAQ)

Как рассчитать дифференциальное уравнение на dCode?

Уравнение должно следовать строгому синтаксису, чтобы получить решение в программе решения дифференциальных уравнений:

– Используйте ‘для представления производной порядка 1,’ ‘для производной порядка 2,’ ” для производной порядка 3 и т. Д.{-x} +1 $ с константой $ c_1 $

– Дифференцируема только функция, а не их комбинация

Пример: (1 / f) ‘недействительно, но 1 / (f’) правильно

Что такое дифференциальное уравнение? (определение)

Как добавить начальные значения / условия?

Можно добавить одно или несколько начальных условий в соответствующее поле, добавив логический оператор && между двумя уравнениями. 2} $$

Апостроф указывает порядок / степень происхождения, буква в скобках – переменная происхождения.

Показатель степени указывает порядок / степень деривации, буква знаменателя – переменная деривации.

Как пошагово решить дифференциальное уравнение?

Шаги вычислений решателя dCode не отображаются, потому что они представляют собой компьютерные операции, далекие от шагов процесса студента.

Задайте новый вопрос

Исходный код

dCode сохраняет за собой право собственности на исходный код онлайн-инструмента «Решатель дифференциальных уравнений».За исключением явной лицензии с открытым исходным кодом (обозначенной CC / Creative Commons / free), любой алгоритм, апплет или фрагмент алгоритма «Решателя дифференциальных уравнений» (преобразователь, решатель, шифрование / дешифрование, кодирование / декодирование, шифрование / дешифрование, переводчик) или любой «Дифференциальный Функция Equation Solver (вычисление, преобразование, решение, дешифрование / шифрование, дешифрование / шифрование, декодирование / кодирование, перевод), написанная на любом информационном языке (Python, Java, PHP, C #, Javascript, Matlab и т. Д.), Без загрузки данных , скрипт, копирование-вставка или доступ к API для «Решателя дифференциальных уравнений» будет бесплатным, то же самое для автономного использования на ПК, планшете, iPhone или Android! dCode распространяется бесплатно и онлайн.

Нужна помощь?

Пожалуйста, посетите наше сообщество dCode Discord для запросов о помощи!
NB: для зашифрованных сообщений проверьте наш автоматический идентификатор шифра!

Вопросы / комментарии

Сводка

Похожие страницы

Поддержка

Форум / Справка

Ключевые слова

дифференциал, уравнение, дифференциал, дифференциал, порядок, степень, калькулятор

Ссылки

Источник: https: // www.dcode.fr/differential-equation-solver

© 2021 dCode – Идеальный «инструментарий» для решения любых игр / загадок / геокэшинга / CTF.

1. Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальное уравнение (или “DE”) содержит производных или дифференциалов .

Наша задача решить дифференциальное уравнение. В какой-то момент это потребует интеграции, и мы (в основном) получим выражение типа « y =… ».

Вспомните из раздела «Дифференциал» в главе «Интегрирование», что дифференциал можно рассматривать как производную , где dy / dx фактически не записывается в дробной форме.

Примеры дифференциалов

dx (это означает «бесконечно малое изменение в x »)

`d \ theta` (это означает« бесконечно малое изменение в `\ theta`»)

`dt` (это означает« бесконечно малое изменение в т »)

Примеры дифференциальных уравнений

Пример 1

Мы видели следующий пример во введении к этой главе.3 / 3-3x + К`

Но откуда этот dy ушел из `(dy) / (dx)`? Почему оно как будто исчезло?

В этом примере кажется, что мы интегрируем только часть x (справа), но на самом деле мы интегрировали также и относительно y (слева). 2 d \ theta = sin (t + 0.3} / 3 = -cos (t + 0,2) + K`

Мы проинтегрировали по θ слева и по t справа.

Вот график нашего решения, взяв K = 2:

Типичный график решения для примера 2 DE: `theta (t) = root (3) (- 3cos (t + 0.2) +6)`.

Решение дифференциального уравнения

Из приведенных выше примеров мы видим, что решение DE означает нахождение уравнение без производных, удовлетворяющее заданной DE.Решение дифференциального уравнения всегда включает одно или несколько интеграции шагов.

Важно уметь идентифицировать тип DE , с которым мы имеем дело, прежде чем пытаться Найди решение.

Определения

Первый заказ DE: Содержит только первые производные

Второй порядок DE: Содержит вторые производные (и возможно также первые производные)

Степень: наивысшая мощность из наивысшая производная , встречающаяся в DE.7-5лет = 3`

Это DE имеет порядок 2 (самая высокая производная вторая производная ) и градусов 4 ( степень старшей производной 4.)

Общие и частные решения

Когда мы впервые выполнили интеграцию, мы получили общий раствор (с константой K ).

Мы получили частное решение заменой известных значения для x и y .Эти известные условия называется граничными условиями (или начальными условия ).

Это та же концепция, что и при решении дифференциальных уравнений – сначала найдите общее решение, а затем замените заданные числа, чтобы найти частные решения.

Давайте посмотрим на несколько примеров DE первого порядка, первой степени.

Пример 4

а. Найдите общее решение для дифференциала уравнение

`dy + 7x dx = 0`

г.2 + К`

Ответ тот же – способ его написания и мышления немного отличается.

ПРИМЕЧАНИЕ 2: «int dy» означает «int1 dy», что дает нам ответ «y».

У нас также могло быть:

`intdt = t`

`intd theta = theta`

`int da = a`

и так далее. В этом разделе мы будем часто сталкиваться с такими интегралами.

(b) Теперь мы используем информацию y (0) = 3, чтобы найти K.2 + 3`.

Пример 5

Найдите частное решение

`y ‘= 5`

с учетом того, что когда `x = 0, y = 2`.

Ответ

Мы можем написать

г ‘ = 5

как дифференциальное уравнение:

dy = 5 dx

Объединение обеих сторон дает:

y = 5 x + K

Применяя граничные условия: x = 0, y = 2, получаем K = 2, поэтому:

y = 5 x + 2

Пример 6

Найдите частное решение

`у ” = 0`

при том, что:

у (0) = 3, у (1) = 4, у (2) = 6`

Ответ

Поскольку y ” ‘ = 0, когда мы интегрируем один раз, получаем:

y ‘ = A ( A – постоянная величина)

Повторное интегрирование дает:

y ‘ = Ax + B ( A, B – константы)

Еще раз:

`y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` ( A, B и C – константы)

Граничные условия:

y (0) = 3, y ‘ (1) = 4, y’ ‘ (2) = 6

Нам нужно подставить эти значения в наши выражения для y ‘ и y’ и наше общее решение, `y = (Ax ^ 2) / 2 + Bx + C` .

Сейчас

y (0) = 3 дает C = 3.

и

y ‘ (2) = 6 дает A = 6

(Фактически, y ” = 6 для любого значения x в этой задаче, поскольку нет члена x )

Наконец,

y ‘ (1) = 4 дает B = -2.

Итак, конкретное решение этого вопроса:

y = 3 x ² – 2 x + 3

Проверка решения путем дифференцирования и подстановки начальных условий:

y ‘= 6 x – 2

y ‘ (1) = 6 (1) – 2 = 4

y ‘= 6

г ” = 0

Наше решение правильное.

Пример 7

После решения дифференциала уравнение,

`(dy) / (dx) ln x-y / x = 0`

(мы увидим, как решить эту DE в следующих раздел Разделение переменных), получаем результат

`y = c ln x`

Получили ли мы правильное общее решение?

Ответ

Теперь, если `y = c ln x`, то` (dy) / (dx) = c / x`

[См. Производную логарифмической функции, если вы не знаете этого.)

Так

`” LHS “= (dy) / (dx) ln x-y / x`

`= (c / x) ln x – ((c ln x)) / x`

`= 0`

`=” RHS “`

Делаем вывод, что у нас есть правильное решение.

DE второго порядка

Мы включили сюда еще два примера, чтобы дать вам представление о DE второго порядка. Позже в этой главе мы увидим, как решать такие линейные DE второго порядка.

Пример 8

Общее решение второго порядка DE

y ” + a ² y = 0

это

`y = A cos ax + B sin ax`

Пример 9

Общее решение второго порядка DE

y ” – 3 y ‘+ 2 y = 0

это

y = Ae ^{2 x} + Be ^x

Если у нас есть следующие граничные условия:

y (0) = 4, y ‘ (0) = 5

, то конкретное решение дает:

y = e ^{2 x} + 3 e ^x

Теперь мы рассмотрим несколько примеров с использованием DE второго порядка, где нам дается окончательный ответ, и нам нужно проверить, является ли это правильным решением. (2x)`

Это очевидно.2) = 2 (dy) / (dx) `

Онлайн-справка по дифференциальным уравнениям | 24 часа ответов

Студенты обычно изучают тему дифференциальных уравнений после нескольких семестров математического анализа, после чего она становится естественным продолжением первой. Проще говоря, дифференциальные уравнения – это уравнения, которые содержат один или несколько дифференциалов функций. Курс дифференциальных уравнений будет посвящен методам решения различных типов этих уравнений, с особым упором на те, которые так важны в математике и естественных науках.

Одним из примеров использования дифференциальных уравнений является область оптической физики, где электроны в диэлектрических материалах моделируются отрицательным зарядом, подвешенным на пружинах, которые могут свободно колебаться в присутствии изменяющихся во времени электрических и магнитных полей, таких как те, что в обычной световой волне. Уравнение движения электрона можно легко описать с помощью дифференциального уравнения, решение которого приводит к выражению для показателя преломления как функции частоты падающей световой волны.Именно такое изменение показателя преломления приводит к сложному представлению показателя преломления, которое предотвращает прерывание показателя во время поглощения света диэлектриком.

Хороший первый курс по дифференциальным уравнениям будет включать следующее:

• Дифференциальные уравнения первого порядка
• Системы первого порядка
• Линейные системы
• Форсирование и резонанс
• Нелинейные системы
• Преобразование Лапласа
• Численные методы
• Дискретные динамические системы

Многие хорошие книги по дифференциальным уравнениям доступны на Amazon.com. Вы также можете получить бесплатную электронную книгу по дифференциальным уравнениям в Интернете. Не пропустите учебник по твердым дифференциальным уравнениям на веб-сайте Scribd.

Для выполнения нашей обучающей миссии онлайн-образования наши центры помощи с домашними заданиями в колледжах и онлайн-учебные центры работают круглосуточно и без выходных, готовые помочь студентам колледжей, которые нуждаются в помощи с домашними заданиями, по всем аспектам дифференциальных уравнений. Наши репетиторы по математике могут помочь со всеми вашими проектами, большими или маленькими, и мы предлагаем вам найти лучшие онлайн-репетиторы по дифференциальным уравнениям где угодно.

Обыкновенные дифференциальные уравнения – EqWorld

EqWorld Мир математических уравнений Точные решения> Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенные дифференциальные уравнения Базовые справочники: E.Kamke, Differentialgleichungen: Losungsmethoden und Losungen, I, Gewohnliche Differentialgleichungen , Б. Г. Тойбнер, Лейпциг, 1977. Г. М. Мерфи, Обыкновенные дифференциальные уравнения и их решения , Д. Ван Ностранд, Нью-Йорк, 1960. А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003 (2-е издание). См. Также: Д. Цвиллинджер, Справочник по дифференциальным уравнениям , Academic Press, Бостон, 1997 г. (3-е издание). А. Д. Полянин, А. В. Манжиров, Справочник по математике для инженеров и ученых (главы 12, T5 и T6), Chapman & Hall / CRC Press, Бока-Ратон – Лондон, 2006. Замечание . Над Справочник по точным решениям обыкновенных дифференциальных уравнений содержит гораздо больше уравнений и решений, чем представлено в этом разделе EqWorld. На веб-сайте EqWorld представлена ​​обширная информация о решениях для различные классы обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, интегральные уравнения, функциональные уравнения, и другие математические уравнения. Copyright © 2004-2017 Андрей Д. Полянин

Изучите дифференциальные уравнения с помощью онлайн-курсов и уроков

Что такое дифференциальные уравнения?

Дифференциальные уравнения – это уравнения, которые учитывают любую функцию с ее производными. Эти уравнения часто используются для описания того, как вещи меняются с течением времени, помогая нам делать прогнозы и учитывать как начальные условия, так и эволюцию переменных. Дифференциальные уравнения используются для описания всевозможных природных явлений, но иногда их бывает трудно решить.В чистой математике мы изучаем дифференциальные уравнения с разных точек зрения, а для более сложных уравнений мы используем возможности компьютерной обработки для аппроксимации решения. Дифференциальные уравнения включают множество типов: линейные уравнения и нелинейные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных и, наконец, однородные уравнения и неоднородные уравнения. Общие решения или исследования зависят от расшифровки типа уравнения.

Узнайте о дифференциальных уравнениях

Дифференциальные уравнения играют важную роль в нашем понимании большинства областей науки.Изучение их функций может помочь в ваших исследованиях и помочь в сообщении о сложных природных явлениях. Различные типы дифференциальных уравнений могут использоваться для описания различных скоростей изменения динамических систем. Приблизительное значение этих темпов изменения дает вам преимущество в открытии. EdX.org предлагает курсы, разработанные в сотрудничестве с лидерами в области математики и естественных наук, которые могут познакомить вас с этими сложными уравнениями, не выходя из дома или офиса.

Курсы и сертификаты по дифференциальным уравнениям

MIT предлагает вводный курс по дифференциальным уравнениям.Вы научитесь решать уравнения первого порядка, автономные уравнения и нелинейные дифференциальные уравнения. Вы примените эти знания, используя такие вещи, как волновые уравнения и другие численные методы. Вы можете расширить эти знания с помощью курса MIT «Системы 2×2», предназначенного для введения связанных дифференциальных уравнений. Вы поймете, как решать скорости изменения с помощью дифференциальных уравнений первого порядка и линейных дифференциальных уравнений. Вы можете продолжить изучение всей серии X, изучая все более и более сложные уравнения, включая дифференциальные уравнения второго порядка и частные производные.Оттуда вы можете пройти практические курсы, предназначенные для интеграции использования дифференциальных уравнений в практические приложения. MISIS предлагает курс «Комплексный анализ с физическими приложениями», призванный дать вам возможность исследовать мир сложных уравнений. Или вы можете применить эти знания в творческой деятельности, используя эти уравнения для компьютерной графики с Университетом Мичигана.

Постройте карьеру, зная дифференциальные уравнения

Понимание сложной природы роста и изменений является важной частью исследований и разработок во многих областях науки.Скорость изменения может быть сложно предсказать, но, обладая правильной математической беглостью, вы могли бы делать более точные прогнозы, используя язык математики высшего порядка. EdX и партнеры могут помочь вам расшифровать этот сложный язык и обрести уверенность в своих навыках.

Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

Возможно, вам сначала захочется прочитать о дифференциальных уравнениях и разделении переменных!

Дифференциальное уравнение – это уравнение с функцией и одной или несколькими производными:

Пример: уравнение с функцией y и ее производная dy dx

Здесь мы рассмотрим решение специального класса дифференциальных уравнений под названием Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Первый орден

Они «Первого Ордена», когда их всего dy dx , а не д ² л dx ² или д ³ л dx ³ и т. Д.

Линейный

Дифференциальное уравнение первого порядка является линейным , когда его можно сделать так:

dy dx + Р (х) у = Q (х)

Где P (x) и Q (x) – функции от x.

Для ее решения есть специальный метод:

• Мы изобретаем две новые функции от x, называем их u и v и говорим, что y = uv .
• Затем мы решаем, чтобы найти u , а затем находим v , приводим в порядок, и все готово!

И мы также используем производную от y = uv (см. Производные правила (правило продукта)):

dy dx = u дв dx + v du dx

ступеньки

Вот пошаговый метод их решения:

Давайте посмотрим на примере, чтобы увидеть:

Пример 1: Решите это:

dy dx – л х = 1

Во-первых, это линейно? Да, так как это в форме

dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = – 1 х и Q (x) = 1

Итак, давайте выполним шаги:

Шаг 1: Подставляем y = uv и dy dx = u дв dx + v du dx

Так это: dy dx – л х = 1

Становится этим: u дв dx + v du dx – УФ х = 1

Шаг 2: Факторизуйте детали, включающие v

Фактор v : u дв dx + v ( du dx – u х ) = 1

Шаг 3. Положите член v равным нулю

v член равен нулю: du dx – u х = 0

Итак: du dx знак равно u х

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: du u знак равно dx х

Поставьте знак интеграла: ∫ du u = ∫ dx х

Интегрировать: ln (u) = ln (x) + C

Сделайте C = ln (k): ln (u) = ln (x) + ln (k)

Итак: u = kx

Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что член v равен 0, поэтому его можно игнорировать): kx дв dx = 1

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: k dv = dx х

Поставить знак интеграла: ∫ k дв. = ∫ dx х

Интегрировать: kv = ln (x) + C

Сделайте C = ln (c): kv = ln (x) + ln (c)

А так: kv = ln (cx)

И так: v = 1 к ln (сх)

Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

y = uv: y = kx 1 к ln (сх)

Упростить: y = x ln (cx)

И он производит это прекрасное семейство кривых:

y = x ln (cx) для различных значений c

Что означают эти кривые? Они являются решением уравнения dy dx – л х = 1

Другими словами:

В любом месте любой из этих кривых
наклон минус л х равно 1

Давайте проверим несколько точек на c = 0.6 кривая:

Расчет по графику (до 1 знака после запятой):

точка	х	y	Уклон ( dy dx )	dy dx – л х
А	0,6	-0,6	0	0 – −0.6 0,6 = 0 + 1 = 1
Б	1,6	0	1	1 – 0 1,6 = 1 – 0 = 1
С	2,5	1	1,4	1,4 – 1 2,5 = 1,4 – 0,4 = 1

Почему бы не проверить несколько пунктов самостоятельно? Здесь вы можете построить кривую.

Может, вам поможет еще один пример? Может, посложнее?

Пример 2: Решите это:

dy dx – 3 года х = х

Во-первых, это линейно? Да, так как это в форме

dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = – 3 х и Q (x) = x

Итак, давайте выполним шаги:

Шаг 1: Подставляем y = uv и dy dx = u дв dx + v du dx

Так это: dy dx – 3 года х = х

Становится этим: u дв dx + v du dx – 3uv х = х

Шаг 2: Факторизуйте детали, включающие v

Фактор v : u дв dx + v ( du dx – 3u х ) = х

Шаг 3. Положите член v равным нулю

v член = ноль: du dx – 3u х = 0

Итак: du dx знак равно 3u х

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: du u = 3 dx х

Поставьте знак интеграла: ∫ du u = 3 ∫ dx х

Интегрировать: ln (u) = 3 ln (x) + C

Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = 3ln (x)

Тогда: uk = x ³

Итак: u = х ³ к

Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁 х ³ к ) дв dx = х

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: dv = k x ⁻² dx

Поставьте знак интеграла: ∫ dv = ∫ k x ⁻² dx

Интегрировать: v = −k x ⁻¹ + D

Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = УФ: у = х ³ к (−k x ⁻¹ + D)

Упростить: y = −x ² + D к х ³

Заменить D / k одной константой c : y = c х ³ – х ²

И он производит это прекрасное семейство кривых:

у = с x ³ – x ² для различных значений c

И еще пример, на этот раз еще на сложнее :

Пример 3: Решить:

dy dx + 2xy = −2x ³

Во-первых, это линейно? Да, так как это в форме

dy dx + P (x) y = Q (x)
, где P (x) = 2x и Q (x) = −2x ³

Итак, давайте выполним шаги:

Шаг 1: Подставляем y = uv и dy dx = u дв dx + v du dx

Так это: dy dx + 2xy = −2x ³

Становится этим: u дв dx + v du dx + 2xuv = −2x ³

Шаг 2: Факторизуйте детали, включающие v

Фактор v : u дв dx + v ( du dx + 2xu ) = −2x ³

Шаг 3. Положите член v равным нулю

v член = ноль: du dx + 2xu = 0

Шаг 4: Решите, используя разделение переменных, чтобы найти u

Отдельные переменные: du u = −2x dx

Поставить знак интеграла: ∫ du u = −2 ∫ x dx

Интегрировать: ln (u) = −x ² + C

Сделайте C = −ln (k): ln (u) + ln (k) = −x ²

Тогда: uk = e ^{−x 2}

Итак: u = e ^{−x 2} к

Шаг 5: подставьте u обратно в уравнение на шаге 2

(помните, что термин v равен 0, поэтому его можно игнорировать) 🙁 e ^{−x 2} к ) дв dx = −2x ³

Шаг 6: Решите это, чтобы найти v

Отдельные переменные: dv = −2k x ³ e ^{x 2} dx

Поставить знак интеграла: ∫ дв. = ∫ −2k x ³ e ^{x 2} dx

Интегрировать: v = о нет! это трудно!

Посмотрим… мы можем интегрировать по частям … где написано:

∫ RS dx = R ∫ S dx – ∫ R ‘(∫ S dx) dx

(Боковое примечание: здесь мы используем R и S, использование u и v может сбивать с толку, поскольку они уже означают что-то другое.)

Выбор R и S очень важен, это лучший выбор, который мы нашли:

Итак, вперед:

Первое вытягивание k: v = k ∫ −2x ³ e ^{x 2} dx

R = −x ² и S = 2x e ^{x 2} : v = k ∫ (−x ² ) (2xe ^{x 2} ) dx

Теперь интегрировать по частям: v = kR ∫ S dx – k ∫ R ‘(∫ S dx) dx

Положим R = −x ² и S = ​​2x e ^{x 2}

А также R ‘= −2x и ∫ S dx = e ^{x 2}

Итак, это становится: v = −kx ² ∫ 2x e ^{x 2} dx – k ∫ −2x (e ^{x 2} ) dx

Теперь интегрируйте: v = −kx ² e ^{x 2} + k e ^{x 2} + D

Упростить: v = ke ^{x 2} (1 − x ² ) + D

Шаг 7: Подставляем в y = uv , чтобы найти решение исходного уравнения.

у = УФ: у = e ^{−x 2} к (ke ^{x 2} (1 − x ² ) + D)

Упростить: y = 1 – x ² + ( D к ) e ^{– x 2}

Заменить D / k одной константой c : y = 1 – x ² + c е ^{– x 2}

И мы получаем красивое семейство кривых:

у = 1 – х ² + c e ^{– x 2} для различных значений c

.