Главная
Дифференциальные уравнения первого порядка: Дифференциальные уравнения онлайн

Дифференциальные уравнения первого порядка: Дифференциальные уравнения онлайн

Содержание

Дифференциальные уравнения первого порядка

Содержание статьи

1. Основные положения

2. Особенности решения дифференциального уравнения первого порядка

Основные положения

В неявной форме дифференциальное уравнения первого порядка записывается следующим образом: $F\left(x,\; y,\; y’\right)=0$. Здесь $x$ — независимая переменная, $y$ — искомая неизвестная функция от $x$, $y’=\frac{dy}{dx} $.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной имеет вид $y’=f\left(x,\; y\right)$ или $\frac{dy}{dx} =f\left(x,\; y\right)$.

Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка является уравнение вида $y’=f\left(x\right)$, в котором правая часть $f\left(x\right)$ не зависит от $y$. Его можно решить непосредственным интегрированием.

Используя соотношение $y’=\frac{dy}{dx} $, данное дифференциальное уравнение можно представить в виде $dy=f\left(x\right)\cdot dx$. Теперь непосредственное интегрирование становится возможным. После интегрирования левой и правой части равенства общее решение дифференциальное уравнение можно записать так: $y=\int f\left(x\right)\cdot dx +C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Наличие в составе общего решения дифференциального уравнения произвольной постоянной является практическим свидетельством того, что оно имеет бесчисленное множество решений.

Однако во многих задачах прикладного характера достаточно часто возникает необходимость среди всех решений дифференциального уравнения $y’=f\left(x,\; y\right)$ найти такое решение $y=y\left(x\right)$, которое удовлетворяет начальному условию $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $, где $x_{0} $, $y_{0} $ — заданные числа. Эта задача называется задачей Коши. С геометрической точки зрения задача Коши состоит в поиске той интегральной кривой уравнения $y’=f\left(x,\; y\right)$, которая проходит через заданную точку $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)$ плоскости $xOy$.

Особенности решения дифференциального уравнения первого порядка

Условия существования решения задачи Коши формулирует теорема Пеано. {2} $ и прямая $y=0$. Это значит, что в этих точках решение не единственно.

Не только существование, но и единственность решения задачи Коши формулирует теорема Коши. В упрощенной, но достаточной для применения на практике форме, эта теорема утверждает следующее. Предположим, что функция $f\left(x,\; y\right)$ определена в квадрате $G$ со стороной $2\cdot a$ и с центром в точке $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)$. В этом квадрате $f\left(x,\; y\right)$ непрерывна и ограничена, то есть $\left|f\left(x,\; y\right)\right|\le M$, $M>0$, а также существует и ограничена частная производная $\frac{\partial f}{\partial y} $. В этом случае задача Коши $y’=f\left(x,\; y\right)$, $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $ имеет единственное решение по крайней мере на отрезке $\left|x-x_{0} \right|\le \frac{a}{M} $.

Выполнение условий теоремы Коши гарантирует, что через каждую внутреннюю точку области $G$ проходит единственная интегральная кривая.

Функция $y=y\left(x,\, C\right)$ является общим решением дифференциального уравнения $y’=f\left(x,\; y\right)$, если она удовлетворяет ему при любом фиксированном значении произвольной постоянной $C$, а также, если для произвольного начального условия $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $, где $\left(x_{0} ,\; y_{0} \right)\in G$ существует единственное значение $C=C_{0} $ такое, что функция $y=y\left(x,\, C_{0} \right)$ удовлетворяет условию $y\left(x_{0} \right)=y_{0} $.

{2} } } $ становится неограниченной при $y\to \pm 2$. Простой подстановкой можно убедиться, что функция $y=2\cdot \sin \left(x+C\right)$ является решением данного дифференциального уравнения. Но, кроме того, решениями являются также прямые $y=\pm 2$. Таким образом, через каждую точку указанных прямых проходят, по крайней мере, две интегральные кривые, то есть решение не единственно.

Задача 4

Составить дифференциальное уравнение для решения следующей задачи.

Материальная точка $M$ движется по прямой вдоль оси $Ox$. В момент времени $t$ точка занимает положение $x$. Известна скорость движения $v\left(t\right)$. Составить дифференциальное уравнение движения точки $M$.

Известно, что физический смысл производной состоит в том, что её значение в некоторой точке показывает скорость изменения функции в этой точке.

Отсюда получаем искомое дифференциальное уравнение: $x’\left(t\right)=v\left(t\right)$.

Задача 5

Найти дифференциальное уравнение семейства парабол, вершина которых находится в начале координат. {2} } \cdot 2\cdot x=2\cdot \frac{y}{x} $.

Окончательно: $x\cdot y’=2\cdot y$.

Сообщество экспертов Автор24

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 25.11.2021

Выполнение любых типов работ по математике

Решение задач по комбинаторике на заказ Решение задачи Коши онлайн Математика для заочников Контрольная работа на тему числовые неравенства и их свойства Контрольная работа на тему умножение и деление рациональных чисел Контрольная работа на тему действия с рациональными числами Дипломная работа на тему числа Курсовая работа на тему дифференциальные уравнения Контрольная работа на тему приближенные вычисления Решение задач с инвариантами

Подбор готовых материалов по теме

Дипломные работы Курсовые работы Выпускные квалификационные работы Рефераты Сочинения Доклады Эссе Отчеты по практике Решения задач Контрольные работы

Дифференциальное уравнение первого порядка – Русские Блоги

  1. порталhttps://jingyan. baidu.com/article/8065f87fb7f0652331249822.html

  2. 1. Решение дифференциального уравнения для разделяемых переменных. Общий вид: g (y) dy = f (x) dx

  3. Прямое решение: ∫g (y) dy = ∫f (x) dx

    Пусть исходные функции g (y) и f (x) – это G (y) и F (x) по порядку, тогда G (y) = F (x) + C – неявное общее решение дифференциального уравнения

  4. 2

    2. Решение однородного уравнения общего вида: dy / dx = φ (y / x)

    Пусть u = y / x, тогда y = xu, dy / dx = u + xdu / dx,

    Таким образом, u + xdu / dx = φ (u), то есть du / [φ (u) -u] = dx / x

    Интегрируем на обоих концах, чтобы получить ∫du / [φ (u) -u] = ∫dx / x

    Наконец, замените u на y / x, чтобы получить общее решение однородного уравнения.

  5. 3

    3. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка общего вида: dy / dx + P (x) y = Q (x)

    Шиллинг Q (x) = 0, затем dy / dx + P (x) y = 0

    Решите y = Ce － ∫P (x) dx, а затем пусть y = ue － ∫P (x) dx подставляется в исходное уравнение

    Решением является u = ∫Q (x) e∫P (x) dxdx + C, поэтому y = e ∫ ∫P (x) dx ［Q (x) e∫P (x) dxdx + C］

    То есть y = Ce － ∫P (x) dx + e － ∫P (x) dx

    ∫Q (x) e∫P (x) dxdx – общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка

  6. 4

    4.

    Решения дифференциальных уравнений высшего порядка, которые можно привести

    ① Дифференциальное уравнение типа y (n) = f (x)

    y(n)=f(x) 

    y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 

    y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 

    По аналогии и интегрируя n раз подряд, мы получаем общее решение уравнения y (n) = f (x) с n произвольными постоянными.

    ②y »= f (x, y’) дифференциальное уравнение типа

    Пусть y ‘= p, тогда y ”= p’, поэтому p’ = f (x, p), а затем решите для p = φ (x, C1), т.е. dy / dx = φ (x, C1), поэтому y = ∫ φ (x, C1) dx + C2

    ③y »= f (y, y’) дифференциальное уравнение типа

    Пусть y ’= p, то y» = pdp / dy, поэтому pdp / dy = f (y, p), а затем решите для p = φ (y, C1)

    То есть dy / dx = φ (y, C1), то есть dy / φ (y, C1) = dx, поэтому ∫dy / φ (y, C1) = x + C2

 

 

Интеллектуальная рекомендация

Весенние облако (2) Зул Интеллектуальный маршрут: приложение веб-сервлета в природе маршрутизаторов и фильтров

Маршрутизация компонента системы Micro Service. Например, / может отображаться на ваше веб-приложение, / API / карту пользователя на службу пользователя и карту / API / магазин в магазин. От официальн…

Настроить PagersliidingTabstrip Выбор статуса для изменений цветов

Каждая ошибка – это возможность улучшить себя. На этот раз вы должны поговорить о проблемах, встречающихся в PagersLidingTabstrip. Цвет и т. Д. Итак, что я должен установить здесь? Верхняя часть кода:…

[Массив] [Динамическое планирование] Меч относится к максимуму и

[Онлайн программирование]Максимум и 【Описание проблемы】 Гц время от времени возьмите несколько профессиональных вопросов для мерцания этих некоммерческих профессиональных одноклассников. Сегодня, посл…

Исключение Java

Исключение Java Исключительная система наследования Throwable Причина исключения бросить ключевое слово бросает ключевое слово попробуй поймай наконец ключевое слово RuntimeException Сведения об исклю…

Пиньинь (луогу р1012)

Описание заголовка Есть n натуральных чисел (n≤20), которые соединены в строку, чтобы сформировать наибольшее многозначное целое число. Например: когда n = 3, максимальное целое число из 3 целых чи…

Вам также может понравиться

CMD DEBUG JS CODE

Чтобы сделать плавные заметки здесь, нам удобно отладить код JS. Когда проект не нужен, код JS может быть отладкой, когда доступ к браузере будет доступен! Подготовьте файл JS 2. CMD Откройте среду об…

Инкапсуляция и разбиение на страницы уровня Node Dao

Традиционный способ письма В этом случае мы видим, что пользователь должен подключаться к базе данных каждый раз, когда он работает. В этом случае эффективность очень низкая, поэтому мы инкапсулируем …

Последовательный алгоритм хеширования и рукописная упрощенная версия последовательного алгоритма хеширования

Последовательный алгоритм хеширования: На основе алгоритма Hash реализован алгоритм согласованного хеширования, который используется для решения проблемы точек доступа в Интернете и динамического разд…

Значение контекста Tomcat initializeContext (). Lookup () параметр

Я часто вижу операции на jndi 1.

{\prime}(x)\right) \equiv 0 \)

ЗАМЕЧАНИЕ

Решение такого уравнения можно искать также в виде \(\ x=x(y) \)

Интегральной кривой дифференциального уравнения называется график решения дифференциального уравнения, то есть функции \(\ y=y(x) \)

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет бесконечно много решений (в зависимости от значения произвольной постоянной C). Для выделения единственного решения, необходимо задать начальные (так называемые дополнительные) условия.

Задача отыскания решения \(\ y=y(x) \) обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (1), которое удовлетворяет начальному условию \(\ y\left(x_{0}\right)=y_{0} \), называется задачей Коши.

Решение задачи Коши называется частным решением уравнения (1)

Примеры решения задач

ПРИМЕР

  • Задание

    Проверить, что функция \(\ y(x)=\frac{1}{x}+C x(x \neq 0) \) является решением дифференциального уравнения первого порядка \(\ y^{\prime}=\frac{y}{x}-\frac{2}{x^{2}} \)

  • Решение

    Подставим указанное решение в заданное дифференциальное уравнение: \(\ \left(\frac{1}{x}+C x\right)^{\prime}=\frac{\frac{1}{x}+C x}{x}-\frac{2}{x^{2}} \)

    Находим производную и упрощаем выражение: \(\ -\frac{1}{x^{2}}+C=\frac{1+C x^{2}}{x^{2}}-\frac{2}{x^{2}} \frac{-1+C x^{2}}{x^{2}}=\frac{1+C x^{2}-2}{x^{2}} \)

    или \(\ \frac{C x^{2}-1}{x^{2}}=\frac{C x^{2}-1}{x^{2}} \)

    Что и требовалось показать. {\prime}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d x}{x} \)

    Общий интеграл уравнения \(\ \int \frac{d y}{y}=\int \frac{d x}{x} \)

    Тогда \(\ \ln |y|=\ln |x|+\ln |C| \)

    или \(\ \ln |y|=\ln |C x| \)

    Потенцируя обе части равенства, окончательно будем иметь

    \(\ y=C x \)

    Значение константы интегрирования \(\ C \) найдем из начального условия \(\ y(1)=1 \) : \(\ y(1)=C \cdot 1=1 \Rightarrow C=1 \)

    Таким образом, частное решение \(\ y=x \)

    Ответ \(\ y=x \)

    • Физика

    166

    Реклама и PR

    31

    Педагогика

    80

    Психология

    72

    Социология

    7

    Астрономия

    9

    Биология

    30

    Культурология

    86

    Экология

    8

    Право и юриспруденция

    36

    Политология

    13

    Экономика

    49

    Финансы

    9

    История

    16

    Философия

    8

    Информатика

    20

    Право

    35

    Информационные технологии

    6

    Экономическая теория

    7

    Менеджент

    719

    Математика

    338

    Химия

    20

    Микро- и макроэкономика

    1

    Медицина

    5

    Государственное и муниципальное управление

    2

    География

    542

    Информационная безопасность

    2

    Аудит

    11

    Безопасность жизнедеятельности

    3

    Архитектура и строительство

    1

    Банковское дело

    1

    Рынок ценных бумаг

    6

    Менеджмент организации

    2

    Маркетинг

    238

    Кредит

    3

    Инвестиции

    2

    Журналистика

    1

    Конфликтология

    15

    Этика

    9

    Формулы дифференцирования Решение дифференциальных уравнений Производная сложной функции Производная показательной функции Производная корня икс

    Узнать цену работы

    Узнай цену

    своей работы

    Имя

    Выбрать тип работыЧасть дипломаДипломнаяКурсоваяКонтрольнаяРешение задачРефератНаучно – исследовательскаяОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерскаяНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация в ВАКПубликация в ScopusДиплом MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

    Принимаю  Политику  конфиденциальности

    Подпишись на рассылку, чтобы не пропустить информацию об акциях

    Линейные уравнения первого порядка

    \(\newcommand{\trace}{\operatorname{tr}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imaginary}{\operatorname{Im}} \новая команда{\lt}{<} \новая команда{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \)

    дифференциальное уравнение первого порядка представляет собой уравнение формы

    \begin{уравнение} \frac{dx}{dt} + p(t) x = q(t). \label{equation-firstlook05-first-order-linear-ode}\tag{1.5.1} \end{уравнение}

    Это уравнение не будет разделимым, если \(p(t)\) не является константой. Нам придется найти новый подход к решению такого уравнения. Мы могли бы, конечно, использовать численный алгоритм для решения (1.5.1); однако мы всегда можем найти алгебраическое решение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Более того, тот факт, что мы можем получить такое решение аналитически, окажется очень полезным при исследовании более сложных уравнений и систем уравнений.

    Подраздел 1.5.1 Хвосты шахт

    При любой добыче полезных ископаемых хвосты — это то, что остается после извлечения всего ценного. Например, при добыче твердых пород руда часто измельчается, а затем обрабатывается с использованием химикатов для извлечения определенных ценных минералов. В операциях по добыче мягких пород, таких как добыча угля или добыча нефти из битуминозных песков, могут использоваться растворители или вода для извлечения любого ценного товара. Материал, который остается после добычи полезных ископаемых, угля или нефти, часто может создавать огромные экологические проблемы. Существуют разные способы обработки хвостов горных работ, но один из них заключается в хранении их в пруду, особенно если при добыче полезных ископаемых используется вода. Этот метод позволяет любым взвешенным в воде частицам оседать на дно пруда. Затем вода может быть очищена и использована повторно.

    Предположим, у нас есть предприятие по добыче золота, и мы храним наши хвосты в пруду, первоначальный объем которого составляет 20 000 кубических метров. Когда мы начинаем свою работу, хвостохранилище наполняется чистой водой. В пруд впадает ручей, и вода из пруда также откачивается. Химические вещества используются при переработке золотой руды. Эти химические вещества, такие как цианид натрия, могут быть очень ядовитыми и опасными для окружающей среды, и вода должна быть обработана перед тем, как она будет сброшена в водосборный бассейн. Предположим, что 1000 кубометров в день поступает в пруд из ручья и 1000 кубометров выкачивается из пруда каждый день для переработки и повторного использования. Таким образом, уровень воды в пруду остается постоянным.

    В момент времени \(t = 0\text{,}\) вода из ручья загрязняется химическими веществами от добычи полезных ископаемых, скажем, в количестве 5 кг химических веществ на 1000 кубических метров. Предположим, что вода в нашем хвостохранилище хорошо перемешана, так что концентрация химикатов в пруду достаточно однородна. Кроме того, любые твердые частицы, закачиваемые в пруд из ручья, оседают на дно пруда со скоростью 50 кубометров в сутки. Таким образом, объем нашего хвостохранилища уменьшается на 50 кубометров каждый день, и наше хвостохранилище заполнится через 400 дней эксплуатации. Предположим, что твердые частицы и химические вещества включены в 1000 кубических метров воды, которые ежедневно стекают в пруд из ручья.

    Мы хотим найти дифференциальное уравнение, которое будет моделировать количество химикатов в хвостохранилище в любой конкретный момент времени. Пусть \(x(t)\) будет количеством химикатов в пруду в момент времени \(t\text{. }\). Тогда \(dx/dt\) – это разница между скоростью поступления химикатов в пруд пруд и скорость, с которой химические вещества покидают пруд.

    \begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} = \text{скорость входа} – \text{скорость выхода}. \end{уравнение*}

    Так как вода поступает в пруд из ручья со скоростью 1000 кубометров в день, то скорость поступления химикатов в пруд составляет 5 килограммов в день. С другой стороны, скорость, с которой химикаты покидают пруд, будет зависеть от количества химикатов в пруду в момент времени \(t\text{.}\). Объем пруда уменьшается из-за наносов, и во время \(t\) это \(V(t) = 20000 – 50т\текст{.}\) Таким образом, концентрация химикатов в водоеме в момент времени \(t\) равна \(х/(20000 – 50т )\text{,}\), а скорость, с которой химикаты вытекают из пруда для повторного использования, составляет

    \begin{уравнение*} 1000 \влево( \frac{x}{20000 – 50t} \right) = \frac{20x}{ 400 – t}. \end{уравнение*}

    Следовательно, дифференциальное уравнение, которое моделирует количество химического вещества в хвостохранилище в момент времени \(t\), равно

    \begin{уравнение} \frac{dx}{dt} = 5 – \frac{20x}{400 – t}. \label{equation-firstlook05-mine-tailings-1}\tag{1.5.2} \end{уравнение}

    Конечно, мы должны будем прекратить добычу, как только пруд заполнится, так как вода в пруду будет только если \(V(t) = 20000 – 50t \geq 0\text{;}\), то есть, когда \(0 \leq t \lt 400\text{.}\) 9{19} \справа]. \end{уравнение*}

    График решения нашего дифференциального уравнения (рис. 1.5.1) соответствует ситуации. Изначально в пруду нет химикатов, но \(x(t)\) быстро увеличивается. Однако количество химикатов уменьшается по мере того, как пруд начинает заполняться отложениями. В конце концов, при \(t = 400\text{.}\)

    химических веществ нет. Рисунок 1.5.1 Химические отходы в хвостохранилище

    Подраздел 1.5.2 Линейные уравнения первого порядка

    Дифференциальное уравнение

    \begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} + \frac{20}{400 – t} x = 5 \end{уравнение*}

    является примером линейного дифференциального уравнения первого порядка. Более конкретно, линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение, которое можно записать в форме

    \begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} + p(t) x = q(t). \end{уравнение*}

    Сначала покажем, как решать линейные уравнения первого порядка, когда функции коэффициентов постоянны. Если 92. \end{уравнение*}

    Подраздел 1.5.3 Смешивание моделей

    Многие приложения включают смешивание двух или более веществ вместе. Мы можем смоделировать, как смешиваются нефтепродукты на нефтеперерабатывающем заводе, как смешиваются различные ингредиенты на пивоваренном заводе или как парниковые газы перемещаются в различных слоях земной атмосферы.

    Пример 1.5.5

    Предположим, что 100-галлонный резервуар изначально содержит 50 галлонов соленой воды, содержащей пять фунтов соли. Рассольная смесь, содержащая один фунт соли на галлон, течет в верхнюю часть резервуара со скоростью 5 галлонов в минуту. Хорошо перемешанный раствор выходит из бака со скоростью 4 галлона в минуту. Мы хотим знать, сколько соли в баке, когда бак полный.

    Чтобы построить нашу модель, мы пусть \(t\) будет временем (измеряемым в минутах) и создадим дифференциальное уравнение, которое будет измерять, насколько быстро количество соли в момент времени \(t\text{,}\) \ (x(t)\text{,}\) меняется. У нас есть начальное условие \(x(0) = 5\text{,}\) и

    \начать{выравнивать*} \frac{dx}{dt} & = \text{количество поступающей соли} – \text{количество выходящей соли}\\ & = \ underbrace {5} _ {\ text {в потоке}} – \ underbrace {4 \ frac {x} {V (t)}} _ {\ text {исходящий поток}}, \конец{выравнивание*}

    , где \(V(t)\) — объем в момент времени \(t\text{.}\) Выражение \(x/V(t)\) — это количество соли в одном галлоне в момент времени \(t \text{.}\) У нас есть \(V(t) = 50 + t\text{,}\), так как бак начинается с 50 галлонов и пять галлонов перекачиваются в бак в минуту, в то время как четыре галлона выходят из бака в течение тот же интервал времени. Таким образом, наше дифференциальное уравнение принимает вид

    \begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} = 5 – \frac{4}{50 + t}x. \end{уравнение*}

    94}. \end{уравнение*}

    Таким образом, когда бак полон, \(t = 50\) и количество соли в баке равно \(x(50) = 97,188\) фунтов. Мы можем использовать Sage , чтобы легко проверить решение нашей задачи с начальными значениями.

    Подраздел 1.5.4 Финансовые модели

    Есть ряд проблем в финансах, которые можно смоделировать с помощью дифференциальных уравнений. Пусть \(P(t)\) будет балансом счета в момент времени \(t\) и предположим, что по счету выплачиваются проценты по ставке \(r\) процентов в год, непрерывно начисляемой на сложные проценты. Предположим, что мы также разрешаем снимать \(W\) долларов в год. Чистое увеличение баланса между временами \(t\) и \(t + \Delta t\) теперь может быть описано как

    \begin{уравнение*} P(t + \Delta t) – P(t) \приблизительно r P \Delta t – W \Delta t \end{уравнение*}

    Таким образом,

    \begin{уравнение*} P'(t) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t + \Delta t) – P(t)} {\Delta t} = rP – W. \end{уравнение*}

    Мы можем решить уравнение

    \begin{уравнение*} P’ = rP – W \end{уравнение*}

    путем умножения обеих частей уравнения на интегрирующий коэффициент 9{рт}. \end{уравнение*}

    Если мы знаем начальный баланс на счете, скажем, \(P(0) = P_0\text{,}\), мы можем определить \(C\text{. {rt}. \end{уравнение*}

    Пример 1.5.6

    Предположим, что ваши родители открыли счет денежного рынка с балансом в 50 000 долларов, который они будут использовать, чтобы помочь вам оплатить обучение в колледже. Счет получает среднегодовые проценты в размере 4%. Вы оцениваете, что ваше обучение, проживание и питание, а также другие расходы в колледже составляют 20 000 долларов в год.

    Мы моделируем эту финансовую ситуацию с помощью дифференциального уравнения

    \начать{выравнивать*} \frac{dP}{dt} \amp = 0.04P – 20000\\ Р(0)\амп = 50000. \конец{выравнивание*} 9{0,04 т}. \end{уравнение*}

    Ваши родители были очень щедры, но сказали вам, что вы должны нести ответственность за оставшуюся часть стоимости вашего образования.

    Подраздел 1.5.5 Существование и уникальность решений

    Теперь возникает несколько вопросов о существовании и единственности решений линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

    • Всегда ли задача с начальным значением имеет решение?
    • Является ли решение уникальным?
    • Определено ли решение глобально или верно только для небольшого интервала?

    Мы можем использовать следующую теорему, чтобы ответить на эти вопросы.

    Теорема 1.5.7

    Если

    \begin{уравнение*} у’ + р(т) у = г(т) \end{уравнение*}

    — дифференциальное уравнение такое, что \(y(t_0) = y_0\text{,}\) и \(p(t)\) и \(g(t)\) непрерывны на открытом интервале \(I = (\alpha, \beta)\text{,}\), то существует единственная функция \(y = \phi(t)\), удовлетворяющая дифференциальному уравнению и начальному условию на \(I\text{.}\)

    Доказательство

    Если

    \begin{уравнение*} \mu(t) = \exp\left( \int p(t) \, dt \right), \end{уравнение*}

    , затем

    \begin{уравнение*} \frac{d}{dt}(\mu(t) y) = \mu(t) \left( \frac{dy}{dt} + p(t) y \right) = \mu(t)g( т). \end{уравнение*}

    Интегрируя обе части этого уравнения и решая для \(y\text{,}\), мы получаем

    \begin{уравнение*} y = \frac{1}{\mu(t)} \left( \int \mu(t) g(t) \, dt + C \right). \end{уравнение*}

    Поскольку \(y(t_0) = y_0\text{,}\) константа \(C\) определяется однозначно. Обратите внимание, что мы использовали непрерывность, чтобы гарантировать существование интегралов. {\ int p (x) \, dx}. \end{уравнение*} 9{Р(х)} g(x) \, dx. \end{уравнение*}

  • Если

    \begin{уравнение*} у’ + р(т) у = г(т) \end{уравнение*}

    — дифференциальное уравнение такое, что \(y(t_0) = y_0\text{,}\) и \(p(t)\) и \(g(t)\) непрерывны на открытом интервале \(I = (\alpha, \beta)\text{,}\), то существует единственная функция \(y = \phi(t)\), удовлетворяющая дифференциальному уравнению и начальному условию на \(I\text{.}\)

    • Подраздел Упражнения 9х \сек х\)

    20

    \(y’ = – \dfrac{y}{x + 2} + \dfrac{\cos x}{x + 2}\text{,}\) \(y(0) = 1\)

    Подсказка

    \(y = \sin x / (x + 2)\)

    21

    Резервуар емкостью 600 галлонов изначально содержит 200 литров воды, содержащей 10 килограммов соли. Предположим, что вода, содержащая 0,1 кг соли, течет в верхнюю часть бака со скоростью 10 литров в минуту. Вода в баке хорошо перемешивается, и со дна бака удаляется 5 литров в минуту. Сколько соли в баке, когда бак полный?

    Подсказка

    Если \(x(t)\) количество соли в баке в момент времени \(t\text{,}\), то мы знаем, что \(x(0) = 10\text{.}\ ) Объем бака равен \(V = 600 + 5t\text{.}\) Мы можем смоделировать количество соли в баке в момент времени \(t\) с помощью дифференциального уравнения,

    \начать{выравнивать*} \frac{dx}{dt} & = \text{скорость входа} – \text{скорость выхода}\\ & = 10(0,1) – 5 \frac{x}{V}\\ & = 1 – 5\frac{x}{600 + 5t}\\ & = 1 – \frac{x}{120 + t}. \конец{выравнивание*}

    Полученное уравнение

    \begin{уравнение*} \frac{dx}{dt} + \frac{1}{120 + t}x = 1 \end{уравнение*}

    — линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Коэффициент интегрирования для этого уравнения равен

    . \begin{уравнение*} \mu(t) = \exp\left(\int \frac{1}{120 + t} \, dt\right) = 120 + t. \end{уравнение*}

    Умножив обе части дифференциального уравнения на \(\mu(t)\text{,}\), получим

    \begin{уравнение*} \frac{d}{dt} [(120 + t)x] = (120 + t) \frac{dx}{dt} + x = (120 + t)\left( \frac{dx}{dt} + \frac{1}{120 + t}x \right) = 120 + t. \end{уравнение*} 92+240т+2400}{2т+240}. \end{уравнение*}

    Бак полон в момент времени \(t = 400/5 = 80\text{,}\) и бак содержит \(x(80) = 70\) килограммов соли, когда бак полон.

    22

    Менеджер коммуникационной компании вносит 2400 долларов в год в свой пенсионный фонд, делая множество мелких вкладов в течение года. Фонд постоянно растет со скоростью 3,5% в год. Через 35 лет она выходит на пенсию и начинает и начинает снимать средства из пенсионного фонда по ставке 3500 долларов в месяц. Если она не будет вносить депозиты после выхода на пенсию, как долго продержится ее пенсионный фонд? [ Подсказка : Разделите задачу на две меньшие задачи — одну, касающуюся ситуации до выхода на пенсию, и другую, касающуюся проблемы после выхода на пенсию.]

    23

    Озеро Байкал, расположенное на юге Сибири, является лишь седьмым по величине озером в мире по площади поверхности; однако это самое глубокое озеро в мире. Озеро имеет глубину 1642 метра, а дно лежит на 1186,5 метра ниже уровня моря. Озеро Байкал имеет объем 23 600 кубических километров и содержит 20% незамерзшей пресной воды в мире. Напротив, озеро Верхнее, самое большое из Великих озер, имеет объем всего 12 100 кубических километров. Хотя в Байкал впадают 544 реки, из них вытекает только одна река Ангара. Отток озера довольно постоянный и составляет 60,4 кубических километра в год.

    Загрязнение озера Байкал вызывает все большую озабоченность. Одним из основных загрязнителей является Байкальский ЦБК. Мельница была построена в 1966 году на берегу озера Байкал и регулярно сбрасывала отходы в озеро. Завод был закрыт в ноябре 2008 г. из-за убыточности, но производство возобновилось в январе 2010 г. В сентябре 2013 г. комбинат окончательно обанкротился, но дальнейшая судьба комбината до сих пор не решена.  7  Леви, Клиффорд Дж. (8 ноября 2010 г.). «Последний вздох завода, завещанного Советами». Нью-Йорк Таймс. Проверено 14 марта 2014 г. с http://www.nytimes.com/2010/11/09/world/europe/09baikal. html .

    Предположим, что мы хотим понять, как меняется уровень загрязнения в озере Байкал в течение ряда лет. Гипотетически предположим, что Байкальский целлюлозно-бумажный комбинат был ответственен за большую часть загрязнения озера Байкал за последние несколько десятилетий. Предположим, что в \(t = 0\) лет мельница прекращает работу и больше никаких загрязняющих веществ, сбрасываемых мельницей в озеро, хотя другие источники загрязнения все же есть. Предположим, что озеро в настоящее время загрязнено в 6 раз больше, чем эти другие источники загрязнения. Мы хотим знать, сколько времени потребуется, чтобы уровень загрязнения снизился до половины нынешнего уровня озера. Воды озера Байкал хорошо перемешаны и насыщены кислородом, несмотря на его большую глубину, поэтому мы можем смоделировать эту ситуацию как простую задачу перемешивания. 93/\текст{год} \end{уравнение*}

    – скорости притока многочисленных рек, питающих озеро, и оттока в Ангару. Предположим, что \(C = C_{\text{in}}\) – концентрация загрязняющих веществ, поступающих в оз. Байкал, а \(C_{\text{out}}\) – концентрация стока в реку Ангара (измеренная в метрических тонн на кубический километр). Если \(x(t)\) количество растворенного вещества в момент времени \(t\) в озере Байкал, то

    \begin{уравнение*} х_0 = х(0) = 6CV \end{уравнение*}

    — начальное количество растворенного вещества в озере. Оценить \(\Delta x\) в течение интервала времени \([t, t + \Delta t]\text{,}\), где \(\Delta t > 0\) мало.
  • На основе вашей оценки \(\Delta x\) в части (1) напишите задачу с начальными значениями, которая описывает количество загрязняющих веществ в озере в момент времени \(t\text{.}\)
  • Уравнение, которое вы нашли в части (2), является линейным уравнением первого порядка. Решите это уравнение
  • Используя часть (3), предскажите, сколько лет потребуется, чтобы уменьшить загрязнение озера Байкал до половины его нынешнего уровня.
    • 24

    Изменение параметров . Рассмотрим следующий метод решения общего линейного уравнения первого порядка

    \begin{уравнение} y’ + p(t)y = g(t). \label{упражнение-firstlook05-уравнение-вариация-параметров-1}\tag{1.5.8} \end{уравнение}

    1. Если \(g(t)\) тождественно равен нулю, покажите, что решение равно

      \begin{уравнение*} y = A \exp\left[ – \int p(t) \, dt \right], \end{уравнение*}

      , где \(A\) — константа.
    2. Если \(g(t)\) не равно нулю тождественно, предположим, что решение имеет форму

      \begin{уравнение} y = A(t) \exp\left[ – \int p(t) \, dt \right],\label{упражнение-firstlook05-уравнение-изменение-параметров-2}\tag{1.5.9} \end{уравнение}

      где \(A\) теперь является функцией \(t\text{.}\) Подставив вместо \(y\) в данное дифференциальное уравнение (1.5.8), покажем, что \(A(t)\ ) должен удовлетворять условию

      \begin{уравнение} A'(t) = g(t) \exp\left[ \int p(t) \, dt \right].\label{упражнение-firstlook05-уравнение-изменение-параметров-3}\tag{1.5. 10} \end{уравнение}

    3. Найдите \(A(t)\) из уравнения (1.5.10). Затем подставить \(A(t)\) в уравнение (1.5.9) и определить \(y\text{. }\) Проверить, что полученное таким образом решение согласуется с решением, данным при доказательстве теоремы 1.5. .7. То есть показать, что это решение эквивалентно решению

      . \begin{уравнение*} y = \frac{1}{\mu(t)} \left( \int \mu(t) g(t) \, dt + C \right), \end{уравнение*}

      где

      \begin{уравнение*} \mu(t) = \exp\left( \int p(t) \, dt \right). \end{уравнение*} 92\label{упражнение-firstlook05-equation-ricatti}\tag{1.5.11} \end{уравнение}

      известен как уравнение Рикатти и имеет несколько полезных приложений в теории управления. Если известно одно решение \(y_1(t)\) уравнения Рикатти, то более общее решение, содержащее произвольную константу, можно найти, подставив \(y = y_1(t) + 1/v(t)\) в уравнение (1.5.11), чтобы найти линейное уравнение первого порядка относительно \(v\) и \(t\text{,}\), которое мы можем решить, чтобы найти общее решение уравнения Рикатти. 92}, \end{уравнение*}

      , что является просто линейным уравнением первого порядка

      \begin{уравнение*} v’ + [q(t) + 2 r(t) y_1(t)]v = — r(t). t – 1} \end{уравнение*}

    27

    Предположим, у нас есть популяция, которая не только логистически растет, но и требует минимального порога популяции для выживания. Например, в случае с южным китом в северной части Тихого океана, вид, который в настоящее время находится в списке исчезающих видов. Если популяция упадет слишком низко, киты не смогут найти подходящих партнеров, и в конечном итоге вид вымрет. Другими словами, популяция вымрет, если она упадет ниже определенного порога. Мы можем смоделировать это с помощью следующего уравнения:

    \begin{уравнение} \frac{dP}{dt} = k\left(1 – \frac{P}{N} \right) (P – aN),\label{упражнение-firstlook05-equation-right-whale}\tag{1.5. 12} \end{уравнение}

    , где \(P\) – популяция китов в момент времени \(t\), а \(N\) – грузоподъемность. Константы \(k\) и \(a\) положительны с \(a \lt 1\text{.}\)

    1. Найдите равновесные решения этого уравнения.
    2. Поскольку уравнение (1.5.12) автономно, мы можем найти решение, используя разделение переменных. Найдите это решение.
    3. Уравнение (1.5.12) также является уравнением Рикатти (1.5.11). Поскольку мы знаем равновесное решение из части (1), мы можем использовать метод предыдущей задачи, чтобы найти общее решение (1.5.12). Найдите общее решение, используя тот факт, что у нас есть уравнение Рикатти, и покажите, что ваше решение согласуется с решением, которое вы нашли в части (2)
      4. .

    Подраздел 1.5.7 Проект — Моделирование

    линейных дифференциальных уравнений первого порядка

    Линейный первый порядок Дифференциальные уравнения

     

    В этом разделе мы сосредоточимся на линейном дифференциале первого порядка. уравнения. Это означает, что в формулу входит только первая производная. дифференциальное уравнение и что уравнение является линейным. Учитывая х константа, ее можно записать в виде

    у’ = мой + б

    или параметр

    м = -р(х) а также б = г(х)

    это дает

            г’ + p(x)y = g(x)

    Прежде чем мы придем к общему решению, мы разработаем конкретные пример

    2
    у’ + у   =   ln x
    х

    Стратегия решения этой проблемы состоит в том, чтобы понять, что левая сторона выглядит мало похоже на правило произведения для дифференциации. Правило продукта:

    .

            (уу)’ = uy’ + u’y

    Это приводит нас к умножению обеих частей уравнения на u который называется интегрирующим фактор .

    2
    ты у’ + ты у = ты длинна х
    х

    Теперь мы ищем u с

    2
    и’  =  и       
    х

    или

            ду 2
    знак равно дх
    ты х

    Интеграция обеих сторон, производит

            лн u =  2 ln x  =  ln(x 2 )

    и =  х 2 возведение в степень обеих сторон

    Возврат к исходному дифференциальному уравнению и умножение обеих частей по х 2 , получаем

           x 2 у’ + 2x y =  x 2 ln x

    Использование правила произведения в обратном порядке дает

            (x 2 y)’ = х 2 ln х

    Теперь объедините обе стороны. Обратите внимание, что интеграл от производной равен оригинал. Интегрируйте по частям, чтобы получить

    ты = пер х дв =  х 2 дх
    дю =  1/x дх v = 1/3 х 3

     Отсюда

    1 1
    х 2 у = х 3 п х – х 3   + С
    3 9

    1 1             C
    у = х пер х – х  +           Разделить на х 2
    3 9             x 2  

     

    Теперь мы получим общее решение линейного дифференциала первого порядка уравнения.

    Рассмотрим

            г’ + p(t)y  = g(t)

    Умножаем обе части на u, чтобы получить

            уй’ + вверх(х)у  = уг(х)

    Теперь мы ищем u с

            у’ = вверх(х)

    или

    дю
    =   p(x) dx
    ты

    Интеграция обеих сторон, производит

    возведение в степень обе стороны

    Возврат к исходному дифференциальному уравнению и умножение обеих частей у тебя получается

            ты ты + ты р(х) у = и г(х)

    (у у)’ = u г(х)

    Решение для y дает


    Упражнения

    Решить следующие дифференциальные уравнения

    1. г’ + 3 / х у = 1 + х
    2. г’ – y  =  2x        y(0) = 1
    3. г’ +xy 2   =  x
    4. ху’-3у = 3x + 2

    Применение

    Вы являются директором фонда колледжа и контролируют благотворительный фонд, который имеет непрерывный поток пожертвований в размере 30 000 долларов США на каждого год. . Фонд зарабатывает 4% годовых и не может использовать для стипендий в течение десяти лет. Определить, сколько денег будет в фонд через десять лет, если в настоящее время есть 100 000 долларов в фонд.

     

    Раствор

    Мы видим, что скорость увеличения фонда равна сумме процентов и пожертвования. Мы можем записать дифференциальное уравнение как

    А’ = 0,04 А + 30 000 

    где А – сумма денег на счете в момент времени t. Вычитая, напишите

    А’ – 0,04 А  =  30 000

    Это является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Интегрирующий коэффициент равен 9.0003

    Так что решение

    Теперь используем тот факт, что фонд в настоящее время (t =  0) имеет A  =  100 000 долл. США.

    100000  = -750000(1 + Ce 0,04(0) )

    100000  = -750000(1 + С)

    С = -1,1333

    Теперь мы можем узнать сколько будет на счету в t = 10 лет.

    A(10)  = -750000(1 – 1,1333e 0,04(10) ) = 741 828

    Через десять лет счет будет стоить 741 828 долларов.

     

    Назад на главную страницу Math 117

    Назад к математике Дом Департамента

    электронная почта Вопросы и предложения

     

    8.7 Системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка

    Два уравнения с двумя переменными

    Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений (с постоянными коэффициентами)

    x ‘( т ) = a x ( t ) + b y ( t )
    и ‘( т ) = c x ( t ) + d y ( t ).

    Мы можем решить эту систему, используя методы с предыдущей страницы, следующим образом. Сначала изолируйте y ( t ) в первом уравнении, чтобы получить

    Y ( T ) = x ‘( T )/ B – A x ( T )/ B ( T )/ .

    Теперь продифференцируем это уравнение, чтобы получить

    y ‘( t ) = x “( t )/ b  − a x ‘( t )/ b .

    Почему этот шаг полезен? Поскольку теперь мы можем заменить y ( t ) и y ‘( t ) во втором из двух уравнений нашей системы, чтобы получить

    x “( T )/ B – A x ‘( T )/ B = C )/ B = C )/ B = C )/ B = C )/ B = C )/ B = ).0685 d [ x ‘( t )/ b − a x ( t )/ b ],83 ,

    83 который мы можем записать как

    x “( T ) – ( A + D ) x ‘( T )+ ( A D )+ ( A D )+ ( A . т ) = 0,

    уравнение, которое мы умеем решать!

    Решив это линейное дифференциальное уравнение второго порядка в x ( t ), мы можем вернуться к выражению для y ( t ) через x ‘ ( t ) и x ( t 6) для получения решения для и ( т ). (В качестве альтернативы мы могли бы начать с выделения 90 685 x 90 686 ( 90 685 t 90 686 ) во втором уравнении и создания уравнения второго порядка для 90 685 y 90 686 ( 90 685 t 90 686 ).)

    Пример 8.7.1
    Рассмотрим систему уравнений

    x ‘( т ) = 2 x ( t ) + y ( t )
    и ‘( т ) = -4 x ( t ) – 3 y ( t ).

    Выделив y ( t ) в первом уравнении, мы получим y ( t ) = x ‘( T ) – 2 x ( T ), так что Y ‘( T ) = x »( T ) – 2 x » ( T ) – 2 x »( T ) – 2 x » ( T ) – 2 x »( T ) – 2 x ». выражения во второе уравнение получаем

    x “( T ) – 2 x ‘( T ) = −4 x ( T ) – 3 x ‘ ( T ) – 3 x ‘( T ) – 3 x ‘ ( T ) – 3 x ‘( T ) – 3 x ‘ ( T ) – 3 x ‘( T ) – 3 x ‘ ( T ) т ),

    или же

    x “( t ) + x ‘( t ) − 2 x ( t ) = 0,

    Мы видели, что общее решение этого уравнения есть

    x ( T ) = A E T + B E –2 E –2 E –2 .

    Используя выражение y ( t ) = x ‘( t ) − 2 x ( t ), мы получаем

    y ( t ) = A e t  − 2 B e −2 t  − 2 A e t  − 2 B e −2 t ,

    или же

    y ( T ) = – A E T – 4 B E –2 .

    Общие линейные системы

    Мы можем написать систему

    x ‘( т ) = a x ( t ) + b y ( t )
    и ‘( т ) = c x ( t ) + d y ( t )

    изучено выше, так как

    х ‘( т )
    у ‘( т )
    		  = 
    и б
    с д
    x ( т )
    у ( т )
    		 .

    В более общем случае мы можем написать систему из 90 685 n 90 686 одновременных однородных линейных уравнений в 90 685 n 90 686 переменных 90 685 x 90 686 91 447 90 685 i 90 686 91 450 ( 90 685 t 90 686 ) для 90 685 i 90 686  = 1, 8…, 5 n 686 как

    x ‘( t ) = A x ( t ),

    где A — матрица n × n .

    Теперь, если n  = 1, и в этом случае A является просто числом, мы знаем, что для начального условия x (0) = C уравнение имеет единственное решение

    x ( t ) = C e А т .

    Вот потрясающий результат.

    Предложение 8.7.1 (Решение системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка)  
    Пусть A будет матрицей n × n . Тогда единственное решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений

    x ‘( t ) = A x ( t )

    при начальном условии x (0) = 90 685 C 90 686 (вектор 90 685 n 90 686 × 1) равен

    x ( t ) = e A t C .

    Источник  
    См. Хирш и Смейл (1974), теорема на с. 90.

    Вы сразу спросите: что такое е А т , когда А это матрица? Напомним, что если  – число , то мы имеем

    e a  = 1 + a /1! + а 2 /2! + …,

    или, точнее,

    e a  = ∑∞
    k = 0( a k / k).

    Теперь, когда A является матрицей, мы можем определить

    e A  = ∑∞
    k = 0( A к / к !),

    где A 0 — единичная матрица (и 0! = 1). (Вы знаете, как перемножать матрицы, поэтому знаете, как вычислить правую часть этого уравнения.) Вот и все! Теперь вы можете найти решение любой однородной системы линейных дифференциальных уравнений … предполагая, что вы можете вычислить бесконечную сумму в определении e A t . Там заключается трудность. Существуют методы для нахождения e A t , но они включают более продвинутые методы, чем те, что описаны в этом руководстве.

    Я приведу только один пример, показывающий, как могут возникнуть тригонометрические функции при решении системы двух одновременных линейных уравнений, которая, как мы видели выше, эквивалентна уравнению второго порядка.

    Пример 8.7.2
    Рассмотрим систему
    x ‘ 1 ( т )
    x ‘ 2 ( т )
    		  = 
    0 − б
    б 0
    x 1 ( т )
    x 2 ( т )
    		 .
    Нам нужно найти A k для каждого значения k , где
    А  = 
    0 − б
    б 0
    		 .
    Вы должны быть в состоянии убедить себя (вычислив A 2 , A 3 и A 4 ), что если k нечетно, то мы имеем
    А к  = 
    0 (−1) ( к +1)/2 б к
    (-1) ( к -1)/2 б к 0
    		 ,
    тогда как если k четно, мы имеем
    А к  = 
    (−1) к /2 б к 0
    0 (−1) к /2 б к
    		.
    Учитывая эти результаты, мы имеем
    e А  = 
    1 − б 2 /2! + б 4 /4! − б 6 /6! + … − б  + б 3 /3! − б 5 /5! + …
    б − б 3 /3! + б 5 /5! − … 1 − б 2 /2! + б 4 /4! − б 6 /6! + …
    		 .
    e А  = 
    а 11 а 12
    и 21 а 22

    куда

    и 11  =  1 − б 2 /2! + б 4 /4! − б 6 /6! + . ..
    и 12  =  − б  + б 3 /3! − б 5 /5! + …
    а 21  =  б  – б 3 /3! + б 5 /5! − …
    а 22  =  1 − б 2 /2! + б 4 /4! − б 6 /6! + ….

    Теперь вспомните, что

    sin b = b − b 3 /3! + б 5 /5! − …

    а также

    cos б = 1 – б 2 /2! + б 4 /4! − б 6 /6! + …

    Таким образом
    е А  =
    потому что б − грех б
    син б потому что б
    		.
    Делаем вывод, что решение системы уравнений при начальных условиях х 1 (0) = C 1 и x 2 (0) = C 2

    x 1 ( т ) = C 1 cos b t − C 2 sin b t 90

    90

    x 2 ( т ) = С 1 sin b t + C 2 cos b t .

    Вас просят в упражнении проверить это решение, используя технику, обсуждавшуюся в начале этого раздела, для преобразования системы двух уравнений в одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

    Вы можете задаться вопросом, случайно ли появление тригонометрических функций в этом примере. Нет, это не так. Экспоненты, тригонометрические функции и комплексные числа (возникающие как корни характеристического уравнения в технике, описанной на предыдущей странице) тесно связаны между собой.

    Оставить комментарий