Линейные неоднородные ДУ второго порядка
Онлайн калькуляторы
На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.
Справочник
Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!
Заказать решение
Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!
Главная Справочник Дифференциальные уравнения Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Определение и формулы линейных неоднородных ДУ 2-ого порядка
Соответствующее ему однородное уравнение:
Решение дифференциальные уравнения второго порядка
Решение уравнения (2) ищется в виде:
После подстановки этого решения в уравнение (2) получаем алгебраическое уравнение
Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному дифференциальному уравнению (2).
В результате решения характеристического уравнения, возможны следующие варианты:
1) корни характеристического уравнения – различные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:
2) корни характеристического уравнения – равные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:
3) корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:
Примеры решения задач
К уравнениям вида (1) чаще всего применяются два метода решения: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов.
Метод вариации постоянных или метод Лагранжа
Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.
Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:
Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины и – это не постоянные, а функции переменной x:
То есть решение неоднородного уравнения тогда ищется в виде:
Искомые функции и находятся из системы
Определитель этой системы
называется определителем Вронского.
Решая систему (5) относительно пока неизвестных функций и (а точнее относительно их производных и ), будем иметь:
Интегрируя последние равенства, получаем:
Подставляя полученные в результате функции в решение (4), будем иметь:
или, после упрощения
Метод неопределенных коэффициентов
Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию (или комбинацию указанных функций):
то тогда решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.
В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения.
1) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (7), то частное решение ищем в виде:
где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами и s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.
2) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (8), то частное решение будем искать следующим образом:
Здесь – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами и s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.
Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение (1).
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
от сложения до дифференциальных уравнений — T&P
[©Nikki Graziano](http://www.thejunction.de/zwiegespraech/2010/03/24/mathematische-funktionen-fur-jeden-geschmack-0017020)
###Научиться решать алгебраические уравнения или доказывать теоремы — выполнимая миссия, главное — найти человека, который сможет провести через математические дебри неопытного путешественника.
Для того, чтобы попробовать решать задачи, нужно иметь аккуант на Google или Facebook. Все задачи идут от совсем простых к более сложным через весь курс базовой математики. Сначала нужно правильно решить 10 простейших примеров на сложение, дальше, переходя от уровня к уровню, задачи становятся сложнее. И так постепенно — от практики сложения, вычитания и умножения переходим к дробям, графикам и уравнениям. Если что-то становится непонятным, то всегда можно перейти на видео, подробно объясняющее тему.
Базовую программу по базовой математике, алгебре, геометрии, тригонометрии можно изучать на сайте [MathTv.com](http://www.mathtv.com/). Например, можно посмотреть видео, где лектор доказывает, что математик Аль-Самавал из Багдада в 1150 году правильно создал формулу для выведения Золотого сечения. И что сейчас мы пользуемся не другой формулой, а той же самой — только в уже упрощенном виде.
Одно из преимуществ этого сайта в том, что на каждую задачу есть несколько видео с разными лекторами.
И всегда есть вероятность того, что если непонятно с одним, другой лектор может донести идею. Помимо алгебры лектор МакКиг, изучавший математику в Калифорнийском государственном университете, делится разными советами, не касающимися его предмета.
Освоив базовую математику, можно перейти на более высокий уровень и посмотреть курс «Дифференциальные уравнения», который читает Артур Мэтак в Массачусетском институте технологий. Курс рассказывает о том, что дифференциальные уравнения — это язык, которым выражаются законы природы. Понимание свойств решений дифференциальных уравнений имеет фундаментальное значение для большей части современной науки и техники. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) оперируют с функций одной переменной, которая часто рассматривается как время.
В одной из лекций, например, профессор объясняет, как решить линейные обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.
Watch it on Academic Earth
**Сергей Немалевич, математик:** «Вообще самостоятельно изучать базовые математические курсы по (хорошим) учебникам намного удобнее. Можно задуматься над каждым непонятным местом, не рискуя ничего пропустить. Если курс простой, на это к тому же уходит меньше времени: за полтора часа хороший студент способен разобрать темы сразу нескольких лекций, читаемых основному потоку.
Тем не менее, есть несколько аргументов в пользу лекций:
1) Главное, конечно, **личность лектора**. Он может прекрасно читать: понятно, с большим количеством примеров, отсылок к другим разделам (учитывая специализацию слушателей в том числе), наконец — драйвово. Если лектор к тому же еще и значительный ученый, его курс точно будет отличаться от всего, что можно прочесть в каких-либо книгах, даже написанных им самим.
3) Возможность общения. Это зависит от манеры лектора, но в общем почти всегда можно задавать вопросы, если не совсем глупые. Может быть есть еще какая-то мифическая энергетика, обмен между аудиторией и лектором — не знаю, но слушать живого, интересного, любящего свой раздел лектора всегда интереснее, чем листать книжку.
4) Сложные разделы. Если речь идет не о ранних курсах с основами, а о специальных, сложных разделах, а особенно о разборе новых статей, обойтись без рассказа у доски вообще почти невозможно. Монографии о глубоких математических науках часто просто не предназначены для самостоятельного чтения наскоком, многие важные вещи в них опущены или написаны не слишком внятно. Стандартная схема научного семинара: все участники по очереди изучают по одному сложному разделу, теореме или статье и представляют ее для остальных.
Из этих пунктов применимы к видео — пожалуй, только первый и второй. Я бы стал смотреть лекции, читаемые в хороших университетах известными учеными в дополнение к изучению вопроса по учебнику. Дополнение, должно быть, существенное, но не заменяющее чтение. Впрочем, хороший студент всегда понимает, что прослушать лекцию мало, нужно обязательно еще почитать про предмет. А лектор может посоветовать литературу».
Ксюша Морозова
Теги
#алгебра
#геометрия
1 556
производных. Пошаговый калькулятор
Калькулятор вычисляет производную функции f(x, y(x)..) или производную неявной функции с отображением применяемых правил
Введите выражение и нажмите или кнопку
Настройки
Функции
Различать по х
автокоррекция
Упрощение конечного результата Производная неявной функции
Содержимое загружается
Заполнить пробелы
Результат в LaTeX:
Результат в виде выражения:
Ввод распознает различные синонимы функций, такие как asin, arsin, arcsin sin(x)
Список математических функций и констант:
•ln(x) — натуральный логарифм
•sin(x) — синус
•cos(x) — косинус
•tan(x) — тангенс
•cot(x) — котангенс
•arcsin(x) — арксинус
•arccos(x) — арккосинус
•arctan(x) — арктангенс
•arccot(x) — арккотангенс
•sinh(x) ) — гиперболический синус
•ch(x) — гиперболический косинус
•tanh(x) — гиперболический тангенс
•coth(x) — гиперболический котангенс
•sech(x) — гиперболический секанс
•csch(x) ) — гиперболический косеканс
•arsinh(x) — аркгиперболический синус
•arcosh(x) — аркгиперболический косинус
•artanh(x) — аркгиперболический тангенс
•arcoth(x) — аркгиперболический котангенс
•sec(x) — секанс
•csc(x) — косеканс
•arcsec(x) — арксеканс
•arccsc(x) — арккосеканс
•arsech(x) — арккосеканс
•arcsch(x) — арккосеканс
•abs(x) — модуль
•sqrt(x) — корень
•exp(x) — показатель степени x
•sign(x) — знаковая функция
•y’ — \(y’\) 9б\)
•sqrt7(x) — \(\sqrt[7]{x}\)
•sqrt(n,x) — \(\sqrt[n]{x}\)
•log3( x) — \(\log_3\left(x\right)\)
•log(a,x) — \(\log_a\left(x\right)\)
•pi — \(\pi\)
альфа — \(\alpha\)
бета — \(\beta\)
•сигма — \(\sigma\)
гамма — \(\gamma\)
nu — \(\nu\ )
•mu — \(\mu\)
phi — \(\phi\)
psi — \(\psi\)
•tau — \(\tau\)
eta — \(\ эта\)
rho — \(\rho\)
•a123 — \(a_{123}\)
x_n — \(x_{n}\)
mu11 — \(\mu_{11}\)
Добавить эту страницу в закладки — CTRL+D
Возможность редактировать тексты в решении (для улучшения калькулятора)
Ссылка на это решение
75% 90% 100% 110% 125% 🔍
Расчет.
.
Рисунок..
Перевести..
Слишком длинное выражение!
Внутренняя ошибка
Ошибка соединения
Калькулятор обновляется
Необходимо обновить страницу
Ссылка скопирована!
Формула скопирована
Обновленный текст отправлен
Матрицы. Пошаговый калькулятор
Для перемещения по матрице используйте стрелки или клавиши
▸Матрица A
▾Матрица A
▾▸Выбрать
определитель Обратный Транспонировать Классифицировать Поднимите к власти Интегрировать Дифференцировать Треугольный
▸Матрица B
▾Матрица B
▾▸Выбрать
определитель Обратный Транспонировать Классифицировать Поднимите к власти Интегрировать Дифференцировать Треугольный
▸Матрица С
▾Матрица С
▾▸Выбрать
определитель Обратный Транспонировать Классифицировать Поднимите к власти Интегрировать Дифференцировать Треугольный
автозамена
Содержимое загружается
Заполнить пробелы
Результат в LaTeX:
Результат в виде выражения:
Ввод распознает различные синонимы для функций, таких как asin, arsin, arcsin
Дополнительно ставятся знак умножения и круглые скобки — write2sinxlike2*sin(x)
Список операций с матрицами:
•det(A) — определитель
•inv(A) — обратная матрица
•trans(A) — транспозиция
•rank(A) — rank
•tri(A) — треугольная матрица
•int(A) — поэлементное интегрирование
•dif(A) — поэлементное дифференцирование
Список математических функций и констант:
•ln(x) — натуральный логарифм
•sin(x) — синус
•cos(x) — косинус
•tan(x) — тангенс
•cot(x) — котангенс
•arcsin(x) — арксинус
•arccos( x) — арккосинус
•arctan(x) — арктангенс
•arccot(x) — арккотангенс
•sinh(x) — гиперболический синус
•cosh(x) — гиперболический косинус
•tanh(x) — гиперболический тангенс
•coth(x) — гиперболический котангенс
•sech(x) — гиперболический секанс
•csch(x) — гиперболический косеканс
•arsinh(x) — аркгиперболический синус
•arcosh(x) — аркгиперболический косинус
•artanh(x) — аркгиперболический тангенс
•arcoth(x) — аркгиперболический котангенс
•sec(x) ) — секанс
•csc(x) — косеканс
•arcsec(x) — арксеканс
•arccsc(x) — арккосеканс
•arsech(x) — арсек гиперболический
•arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс
•abs(x) — модуль
•sqrt(x) — корень 9б\)
•sqrt7(x) — \(\sqrt[7]{x}\)
•sqrt(n,x) — \(\sqrt[n]{x}\)
•log3( x) — \(\log_3\left(x\right)\)
•log(a,x) — \(\log_a\left(x\right)\)
•lambda — \(\lambda\)
•пи — \(\пи\)
альфа — \(\альфа\)
бета — \(\бета\)
•сигма — \(\сигма\)
гамма — \(\гамма \)
nu — \(\nu\)
•mu — \(\mu\)
phi — \(\phi\)
psi — \(\psi\)
•tau — \( \тау\)
eta — \(\eta\)
rho — \(\rho\)
•a123 — \(a_{123}\)
x_n — \(x_{n}\)
mu11 — \ (\mu_{11}\)
Ссылка на это решение
75% 90% 100% 110% 125% 🔍
Расчет.