Дифференциальные уравнения первого порядка в частных производных: Линейные уравнения в частных производных первого порядка

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

• решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
• написание лабораторных, рефератов и курсовых
• выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

• Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
• Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
• Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
• Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте).

Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике.

И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

   Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

2. Выбрать платежную систему.
3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

---

Desertai be cukraus Vilniuje: tortai, pyragaičiai, saldainiai

Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка.

Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка.

Решение дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.
       1. Примеры дифференциальных уравнений в частных производных 1-го порядка

---

В разделе “Примеры математических моделей, содержащих дифференциальные уравнения в частных производных” мы рассматривали математическую модель трубчатого реактора, в котором протекает простая необратимая реакция. Баланс по концентрации исходного реагента для нестационарного режима имеет вид: где k – константа скорости химической реакции; с – концентрация исходного реагента; v – линейная скорость потока; х – координата по длине реактора.      Данное уравнение является одномерным дифференциальным уравнением в частных производных 1-го порядка (см. таблицу в разделе “Типы дифференциальных уравнений, изучаемых в курсе“).      Рассмотрим другой пример. Математическая модель процессов массовой кристаллизации включает уравнение баланса числа частиц, имеющее вид: где f – функция плотности распределения кристаллов по размерам; l – размер кристалла; – скорость роста кристалла; i – скорость образования зародышей; lЗ – размер зародыша.      Данное уравнение также является одномерным дифференциальным уравнением в частных производных 1-го порядка.      Таким образом, дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка часто встречаются в математических моделях физико-химических и химико-технологических процессов, что обуславливает необходимость знания методик численного решения этих уравнений. Для простоты дальнейшего изложения мы будем рассматривать одномерные дифференциальные уравнения в частных производных 1-го порядка в следующем общем виде:   (5.1) причём параметр v может быть как положительным, так и отрицательным, но не равным нулю (поскольку при v = 0 уравнение (5.1) будет уже являться обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка; методы решения этих уравнений будут рассмотрены в главе 12).      Уравнение (5.1) следует дополнить начальным и граничным условиями: Каким должно быть данное граничное условие – левым или правым, мы сможем выяснить, только зная методику численного решения уравнения (5. 1). Также отметим, что при постановке дифференциальной задачи порядок уравнений, описывающих граничные условия, должен быть ниже порядка самого дифференциального уравнения. Поэтому при описании методов численного решения уравнения (5.1) мы будем рассматривать только граничные условия 1-го рода.

1.9: Линейный УЧП первого порядка

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

71365

До сих пор мы рассматривали только ОДУ, поэтому давайте решим линейное УЧП первого порядка. Рассмотрим уравнение \[a(x,t) \, u_x + b(x,t) \, u_t + c(x,t) \, u = g(x,t), \qquad u(x,0) = f(x) , \qquad -\infty < x < \infty, \quad t > 0 , \nonumber \], где \(u(x,t)\) является функцией \(x\) и \( т\). начальное условие \(u(x,0) = f(x)\) теперь является функцией \(x\), а не просто числом. В этих задачах полезно думать о \(х\) как о положении и \(t\) как о времени. Уравнение описывает эволюцию функции \(х\) с течением времени. Ниже коэффициенты \(a\), \(b\), \(c\) и функция \(g\) в основном будут постоянными или нулевыми. Описываемый нами метод работает с непостоянными коэффициентами, хотя вычисления могут быстро усложниться.

Мы используем метод . Идея состоит в том, что мы находим линии, вдоль которых уравнение является ОДУ, которое мы решаем. Мы снова встретимся с этой техникой для УЧП второго порядка, когда встретимся с волновым уравнением в разделе 4.8.

Пример \(\PageIndex{1}\)

Рассмотрим уравнение \[u_t + \alpha u_x = 0, \qquad u(x,0) = f(x) . \nonumber \] Это конкретное уравнение \(u_t + \alpha u_x = 0\) называется уравнением переноса .

Данные будут распространяться по кривым, называемым характеристиками. Идея состоит в том, чтобы изменить так называемую характеристику на координаты . Если мы перейдем к этим координатам, уравнение упростится. Замена переменных для этого уравнения равна

\[\xi = x – \alpha t , \qquad s = t . \nonumber \]

Посмотрим, во что превратится уравнение. Помните цепное правило с несколькими переменными.

\[\begin{align}\begin{align} & u_t = u_\xi \xi_t + u_s s_t = – \alpha u_\xi + u_s , \\ & u_x = u_\xi \xi_x + u_s s_x = u_ \xi .\end{aligned}\end{align} \nonumber \]

Уравнение в координатах \(\xi\) и \(s\) становится

\[\underbrace{(- \alpha u_\ xi + u_s)}_{u_t} + \alpha \underbrace{(u_\xi)}_{u_x} = 0 , \nonumber \]

или другими словами \[u_s = 0 . \nonumber \]

Это несложно решить. Рассматривая \(\xi\) просто как параметр, мы получили ОДУ \(\frac{d u}{d s} = 0\).

Решение представляет собой функцию, не зависящую от \(s\) (но зависящую от \(\xi\)). То есть существует некоторая функция \(A\) такая, что \[u = A(\xi) = A(x – \alpha t) . \nonumber \] Начальное условие говорит, что: \[f(x) = u(x,0) = A(x – \alpha 0) = A(x) , \nonumber \] поэтому \(A=f\) . Другими словами, \[u(x,t) = f(x-\alpha t) . \nonumber \] Все просто движется со скоростью \(\alpha\) по мере увеличения \(t\). Кривая, заданная уравнением \[\xi = \text{constant} \nonumber \]

называется характеристикой. См. рисунок \(\PageIndex{1}\). В этом случае решение не меняется по характеристике.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Характеристические кривые.

В координатах \((x,t)\) характеристические кривые удовлетворяют \(t = \frac{1}{\alpha} ( x- \xi)\) и фактически являются прямыми. Наклон характеристических линий равен \(\frac{1}{\alpha}\), и для каждого другого \(\xi\) мы получаем разные характеристические линии.

Мы видим, почему \(u_t + \alpha u_x = 0\) называется транспортным уравнением: все движется с некоторой постоянной скоростью. Иногда это называется. Примером применения является перемещение материала по реке, где материал не рассеивается, а просто переносится. В этой установке \(x\) – это положение вдоль реки, \(t\) – время, и \(u(x,t)\) концентрация материала в положении \(x\) и время \ (т\). См. пример на рисунке \(\PageIndex{2}\).

Рисунок \(\PageIndex{2}\): пример «транспорта» в \(u_{t}-u_{x}=0\) (то есть \(\alpha =1\)) где начальное условие \(f(x)\) — пик в начале координат. Слева график начального условия \(u(x,0)\). Справа график функции \(u(x,1)\), то есть в момент времени \(t=1\). Обратите внимание, что это тот же график, сдвинутый на одну единицу вправо.

Используем аналогичную идею в более общем случае: \[a u_x + b u_t + c u = g, \qquad u(x,0) = f(x) . \nonumber \] Меняем координаты на характерные координаты. Назовем эти координаты \((\xi,s)\). Это координаты, в которых \(a u_x + b u_t\) становится дифференцированием по переменной \(s\).

Вдоль характеристических кривых (где \(\xi\) постоянна) мы получаем новое ОДУ в переменной \(s\). В уравнении переноса мы получили простое \(\frac{du}{ds} = 0\). В общем случае мы получаем линейное уравнение \[\label{eq:fopde:charode} \frac{du}{ds} + c u = g. \]

Мы думаем обо всем как о функции \(\xi\) и \(s\), хотя мы думаем о \(\xi\) как о параметре, а не как о независимой переменной. Таким образом, уравнение является ОДУ. Это линейное ОДУ, которое мы можем решить, используя интегрирующий множитель.

Чтобы найти характеристики, подумайте о параметрически заданной кривой \(\bigl(x(s),t(s)\bigr)\). Мы стараемся, чтобы кривая удовлетворяла \[\frac{dx}{ds} = a, \qquad \frac{dt}{ds} = b . \номер \] Почему? Потому что, когда мы думаем о \(x\) и \(t\) как о функциях \(s\), мы находим, используя цепное правило, \[\frac{du}{ds} + c u = \underbrace{\left ( u_x \ frac {dx} {ds} + u_t \ frac {dt} {ds} \ right)} _ {\ frac {du} {ds}} + c u знак равно a u_x + b u_t + c u знак равно g . \номер\]

Итак, мы получаем ОДУ \(\eqref{eq:fopde:charode}\), которое затем описывает значение решения \(u\) УЧП вдоль этой характеристической кривой. Также удобно убедиться, что \(s=0\) соответствует \(t=0\), то есть \(t(0) = 0\). Это будет удобно и для \(x(0) = \xi\). См. рисунок \(\PageIndex{3}\). 92} . \nonumber \] Находим характеристики, то есть кривые, заданные \[\frac{dx}{ds} = 1, \qquad \frac{dt}{ds} = 1 . {s} , \qquad t = s+ c_2 . \номер\] 9{-т}) . \номер\]

Мы делаем несколько заключительных замечаний. Следует иметь в виду, что у нас могут возникнуть проблемы, если коэффициент перед \(u_t\), то есть \(b\), когда-либо будет равен нулю. Давайте рассмотрим быстрый пример того, что может пойти не так: \[u_x + u = 0, \qquad u(x,0) = \sin(x). \nonumber \] У этой проблемы нет решения. Если бы у нас было решение, это означало бы, что \(u_x(x,0) = \cos(x)\), но \(u_x(x,0) + u(x,0) = \cos(x) + \sin(x) \не= 0\). Проблема в том, что характеристическая кривая теперь представляет собой линию \(t=0\), а на этой линии уже есть решение!

Пока \(b\) отличен от нуля, удобно убедиться, что \(b\) положительно, умножив, если необходимо, на \(-1\), так что положительное \(s\) означает положительное \(t \).

Другое замечание состоит в том, что если \(a\) или \(b\) в уравнении являются переменными, вычисления могут быстро выйти из-под контроля, так как выражения для характеристических координат становятся беспорядочными, а затем решение ОДУ становится еще более беспорядочным. В приведенных выше примерах \(b\) всегда было \(1\), то есть мы получили \(s=t\) в характеристических координатах. Если \(b\) непостоянно, ваше выражение для \(s\) будет более сложным.

Нахождение характеристических координат действительно является системой ОДУ вообще, если \(a\) зависит от \(t\) или если \(b\) зависит от \(x\). В этом случае нам понадобятся методы систем ОДУ для решения, см. главу 3 или главу 8. В общем, если \(a\) и \(b\) не являются линейными функциями или константами, нахождение выражений в замкнутой форме для характеристические координаты могут быть невозможны.

Наконец, метод характеристик применим и к нелинейным УЧП первого порядка. В нелинейном случае характеристики зависят не только от дифференциального уравнения, но и от начальных данных. Это приводит не только к усложнению вычислений, но и к образованию особенностей, при которых решение обрывается в определенный момент времени. Примером приложения, в котором возникают нелинейные УЧП первого порядка, является теория транспортных потоков, и вы, вероятно, сталкивались с формированием сингулярностей: дорожных пробок. Но мы отвлеклись.

---

1.9: Линейное PDE первого порядка распространяется под лицензией CC BY-SA 4.0 и было создано, изменено и/или курировано LibreTexts.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Лицензия

   CC BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

ODE: линейные PDE первого порядка

До сих пор мы рассматривали только ОДУ, поэтому давайте решим линейное УЧП первого порядка. Рассмотрим уравнение

\begin{уравнение*} a(x,t) \, u_x + b(x,t) \, u_t + c(x,t) \, u = g(x,t), \qquad u(x,0) = f(x) , \qquad -\infty < x < \infty, \quad т > 0 , \end{уравнение*}

где \(u(x,t)\) является функцией \(x\) и \(t\text{.}\) Начальное условие \(u(x,0) = f(x) \) теперь является функцией \(x\), а не просто числом. В этих задачах полезно думать о \(х\) как о положении и \(t\) как о времени. Уравнение описывает эволюцию функции \(х\) с течением времени. Ниже коэффициенты \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\text{,}\) и функция \(g\) в основном будут постоянными или нулевыми. . Описываемый нами метод работает с непостоянными коэффициентами, хотя вычисления могут быстро усложниться.

Этот метод, который мы используем, является методом характеристик . Идея состоит в том, что мы находим линии, вдоль которых уравнение является ОДУ, которое мы решаем. Мы снова встретимся с этой техникой для УЧП второго порядка, когда столкнемся с волновым уравнением в разделе 5. 8.

Пример 1.9.1.

Рассмотрим уравнение

\begin{уравнение*} u_t + \alpha u_x = 0, \qquad u(x,0) = f(x) . \end{уравнение*}

Это конкретное уравнение \(u_t + \alpha u_x = 0\text{,}\) называется транспортное уравнение .

Данные будут распространяться по кривым, называемым характеристиками. Идея состоит в том, чтобы изменить так называемую характеристику на координаты . Если мы перейдем к этим координатам, уравнение упростится. Замена переменных для этого уравнения равна

.

\begin{уравнение*} \xi = x – \alpha t , \qquad s = t . \end{уравнение*}

Посмотрим, во что превратится уравнение. Помните цепное правило с несколькими переменными.

\begin{уравнение*} \begin{выровнено} & u_t = u_\xi \xi_t + u_s s_t = – \alpha u_\xi + u_s , \\ & u_x = u_\xi \xi_x + u_s s_x = u_\xi . \end{выровнено} \end{уравнение*}

Уравнение в координатах \(\xi\) и \(s\) становится

\begin{уравнение*} \underbrace{(- \alpha u_\xi + u_s)}_{u_t} + \alpha \underbrace{(u_\xi)}_{u_x} = 0 , \end{уравнение*}

или другими словами

\begin{уравнение*} и_с = 0 . \end{уравнение*}

Это несложно решить. Рассматривая \(\xi\) просто как параметр, мы получили ОДУ \(\frac{d u}{d s} = 0\text{.}\)

Решение представляет собой функцию, не зависящую от \(s\) (но зависящую от \(\xi\)). То есть существует некоторая функция \(A\) такая, что

\begin{уравнение*} u = A(\xi) = A(x – \alpha t) . \end{уравнение*}

Начальное условие говорит, что:

\begin{уравнение*} f(x) = u(x,0) = A(x – \alpha 0) = A(x) , \end{уравнение*}

, так что \(A=f\text{.}\) Другими словами,

\begin{уравнение*} u(x,t) = f(x-\alpha t) . \end{уравнение*}

Все просто движется со скоростью \(\alpha\) по мере увеличения \(t\). Кривая, заданная уравнением

\begin{уравнение*} \xi = \text{константа} \end{уравнение*}

называется характеристикой. См. Рисунок 1.20. В этом случае решение не меняется по характеристике.

Рисунок 1.20. Характеристические кривые.

В координатах \((x,t)\) характеристические кривые удовлетворяют \(t = \frac{1}{\alpha} ( x- \xi)\text{,}\) и фактически являются прямыми. Наклон характеристических линий равен \(\frac{1}{\alpha}\text{,}\), и для каждого другого \(\xi\) мы получаем разные характеристические линии.

Мы видим, почему \(u_t + \alpha u_x = 0\) называется транспортным уравнением: все движется с некоторой постоянной скоростью. Иногда это называют конвекция . Примером применения является перемещение материала по реке, где материал не рассеивается, а просто переносится. В этой установке \(x\) – это положение вдоль реки, \(t\) – время, и \(u(x,t)\) концентрация материала в положении \(x\) и время \ (t\text{.}\) См. пример на рис. 1.21.

Рисунок 1.21. Пример \myquote{транспорт} в \(u_t-u_x = 0\) (то есть \(\alpha = 1\)) где начальное условие \(f(x)\) является пиком в начале координат. Слева график начального условия \(u(x,0)\text{.}\) Справа график функции \(u(x,1)\text{,}\), которая находится в момент времени \(t=1\text{.}\) Обратите внимание, что это тот же график, сдвинутый на одну единицу вправо.

Мы используем аналогичную идею в более общем случае:

\begin{уравнение*} a u_x + b u_t + c u = g, \qquad u(x,0) = f(x) . \end{уравнение*}

Меняем координаты на характерные координаты. Назовем эти координаты \((\xi,s)\text{.}\) Это координаты, в которых \(a u_x + b u_t\) становится дифференцированием по переменной \(s\).

Вдоль характеристических кривых (где \(\xi\) постоянна) мы получаем новое ОДУ в переменной \(s\). В уравнении переноса мы получили простое \(\frac{du}{ds} = 0\text{.}\) В общем случае мы получаем линейное уравнение

\begin{уравнение} \frac{du}{ds} + c u = g.\label{eq_fopde_charode}\tag{1.8} \end{уравнение}

Мы думаем обо всем как о функции \(\xi\) и \(s\text{,}\), хотя мы думаем о \(\xi\) как о параметре, а не как о независимой переменной. Таким образом, уравнение является ОДУ. Это линейное ОДУ, которое мы можем решить, используя интегрирующий множитель.

Чтобы найти характеристики, подумайте о кривой, заданной параметрически \(\bigl(x(s),t(s)\bigr)\text{.}\) Мы пытаемся, чтобы кривая удовлетворяла

\begin{уравнение*} \frac{dx}{ds} = a, \qquad \frac{dt}{ds} = b . \end{уравнение*}

Почему? Потому что, когда мы думаем о \(x\) и \(t\) как о функциях \(s\), мы находим, используя цепное правило,

\begin{уравнение*} \ frac {du} {ds} + c u = \ underbrace{\ left( u_x \ frac {dx} {ds} + u_t \ frac {dt} {ds} \ right)} _ {\ frac {du} {ds}} + c u = а ты_х + б ты_т + c ты знак равно г . \end{уравнение*}

Таким образом, мы получаем ОДУ (1.8), которое затем описывает значение решения \(u\) УЧП вдоль этой характеристической кривой. Также удобно убедиться, что \(s=0\) соответствует \(t=0\text{,}\), то есть \(t(0) = 0\text{.}\) Будет удобно также для \(x(0) = \xi\text{.}\) См. рис. 1.22. 92} . \end{уравнение*}

Находим характеристики, то есть кривые, данные

\begin{уравнение*} \frac{dx}{ds} = 1, \qquad \frac{dt}{ds} = 1 . \end{уравнение*}

Так

\begin{уравнение*} х = s + c_1, \qquad t = s+ c_2 , \end{уравнение*}

для некоторых \(c_1\) и \(c_2\text{.}\) При \(s=0\) мы хотим, чтобы \(t=0\text{,}\) и \(x\) были \ (\xi\text{. }\) Итак, пусть \(c_1 = \xi\) и \(c_2 = 0\text{:}\)

\begin{уравнение*} х = s + \xi, \qquad t = s . \end{уравнение*} 92}\text{.}\)

Когда коэффициенты не являются постоянными, характеристические кривые больше не будут прямыми линиями.

Пример 1.9.3.

Рассмотрим следующее уравнение с переменным коэффициентом:

\begin{уравнение*} x u_x + u_t + 2 u = 0, \qquad u(x,0) = \cos(x) . \end{уравнение*}

Находим характеристики, то есть кривые, данные

\begin{уравнение*} \frac{dx}{ds} = x, \qquad \frac{dt}{ds} = 1 . \end{уравнение*}

9{-т}) . \end{equation*}

Сделаем несколько заключительных замечаний. Следует иметь в виду, что у нас могут возникнуть проблемы, если коэффициент перед \(u_t\text{,}\), то есть \(b\text{,}\), когда-либо будет равен нулю. Давайте рассмотрим быстрый пример того, что может пойти не так:

\begin{уравнение*} u_x + u = 0, \qquad u(x,0) = \sin(x). \end{уравнение*}

Эта проблема не имеет решения. Если бы у нас было решение, оно означало бы, что \(u_x(x,0) = \cos(x)\text{,}\), но \(u_x(x,0) + u(x,0) = \cos (x) + \sin(x) \not= 0\text{.}\) Проблема в том, что характеристическая кривая теперь представляет собой линию \(t=0\text{,}\) и решение уже предоставлено на эта линия!

Пока \(b\) отличен от нуля, удобно убедиться, что \(b\) положительно, умножив, если необходимо, на \(-1\), так что положительное \(s\) означает положительное \(t \текст{.}\)

Другое замечание состоит в том, что если \(a\) или \(b\) в уравнении являются переменными, вычисления могут быстро выйти из-под контроля, так как выражения для характеристических координат становятся беспорядочными, а затем решение ОДУ становится еще более беспорядочным. В приведенных выше примерах \(b\) всегда было \(1\text{,}\), что означает, что мы получили \(s=t\) в характеристических координатах. Если \(b\) непостоянно, ваше выражение для \(s\) будет более сложным.

Нахождение характеристических координат действительно является системой ОДУ вообще, если \(a\) зависит от \(t\) или если \(b\) зависит от \(x\text{. }\). В этом случае мы для решения потребуются методы систем ОДУ, см. главу 7 или главу 8. В общем, если \(a\) и \(b\) не являются линейными функциями или константами, нахождение выражений в замкнутой форме для характеристических координат может быть невозможным. .

Наконец, метод характеристик применим и к нелинейным УЧП первого порядка. В нелинейном случае характеристики зависят не только от дифференциального уравнения, но и от начальных данных. Это приводит не только к усложнению вычислений, но и к образованию особенностей, при которых решение обрывается в определенный момент времени. Примером приложения, в котором возникают нелинейные УЧП первого порядка, является теория транспортных потоков, и вы, вероятно, сталкивались с формированием сингулярностей: дорожных пробок. Но мы отвлеклись.

Подраздел 1.9.1 Упражнения

Упражнение 1.9.1.

Решить

1. \(u_t +9u_x = 0\text{,}\)    \(u(x,0) = \sin(x)\text{,}\)

2. \(u_t -8u_x = 0\text{,}\)    \(u(x,0) = \sin(x)\text{,}\)

3. \(u_t +\pi u_x = 0\text{,}\)    \(u(x,0) = \sin(x)\text{,}\)

4. \(u_t + \pi u_x + u = 0\text{,}\)    \(u(x,0) = \sin(x)\text{.