Дифференциальные уравнения примеры с решением: 44 важных примера подробных решений дифференциальных уравнений

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Пример 1:

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Сделать проверку.

(x – 2y)dx – x dy = 0

Решение от преподавателя:

Умножаем обе части уравнения на x

x(x – 2y)dx – x² dy = 0

Проверим условие Эйлера – Клеро

Условие это выполняются.

Следовательно, получилось уравнение в полных дифференциалах.

(x² – 2yx)dx – x² dy = 0

Проверяем, является ли x = 0 решением уравнения.

Является.

Проверка

Равенство верно.

Ответ.

x = 0

Пример 2:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Это уравнение Бернулли при n=2. 
Разделив обе части уравнения на y² получаем: 
x*y’/y²+1/y=ln(x) 
Делаем замену: z=1/y 
Тогда z’ = -1/y² 
и поэтому уравнение переписывается в виде 
-x*z’+z=ln(x) 
Решаем это уравнение методом вариации произвольной постоянной. 2)

Представим в виде:

-y·cos(x)/sin(x)+yʹ = -cos(x)/sin(x)²

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y’ = u’v + uv’.

-u·v·cos(x)/sin(x)+u·vʹ+uʹ·v = -cos(x)/sin(x)²

или

u(-v/tg(x)+vʹ) + uʹ·v= -cos(x)/sin(x)²

Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:

1. u(-v/tg(x)+vʹ) = 0

2. uʹ·v = -cos(x)/sin(x)²

1. Приравниваем u=0, находим решение для:

-v/tg(x)+vʹ = 0

Представим в виде:

vʹ = v/tg(x)

Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя, получаем:

ln(v) = ln(sin(x))

v = sin(x)

2. Зная v, Находим u из условия: u’*v = -cos(x)/sin(x)²

uʹ·sin(x) = -cos(x)/sin(x)²

uʹ = -cos(x)/sin(x)³

Интегрируя, получаем:

Из условия y=u*v, получаем:

y = u·v = (C-1/(2·cos(x)²-2))·sin(x)

или

y = C·sin(x)-sin(x)/(2·cos(x)²-2) =Csin(x)-1/(2sinx)

Проведем обратную замену

Поскольку R(-sin(x),cos(x)) = -R(sin(x),cos(x)), то делаем тригонометрическую подстановку: cos(x) = t и тогда sin(x)dx = -dt

Упростим выражение:

Интегрируя, получаем:

Возвращаясь к замене переменных (t=cos(x)), получаем:

y = C*cos(x)-ln(cos(x)-1)/4-ln(cos(x)+1)/4+C1

Пример 5:

Найти общее решение уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решите дифференциальные уравнения первого порядка. Найдите общее решение.

Решение от преподавателя:

Пример 7:

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 8:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx.

r² – r – 2 = 0

D=(-1)² – 4*1(-2)=9

Корни характеристического уравнения: r₁ = 2, r₂ = -1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y₁ = e^2x, y₂ = e^-x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 3

Поскольку y(0) = c₁+c₂, то получаем первое уравнение:

c₁+c₂ = 0

Находим первую производную:

y’ = 2c₁e^2x-c₂e^-x

Поскольку y'(0) = 2*c₁-c₂, то получаем второе уравнение:

2c₁-c₂ = 3

В итоге получаем систему из двух уравнений:

c₁+c₂ = 0

2c₁-c₂ = 3

которую решаем методом исключения переменных.

c₁ = 1, c₂ = -1

Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

Пример 9:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение от преподавателя:

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y’ = u’v + uv’. 
u*v*x²+u*v’+u’v = x² 
или 
u(v*x²+v’) + u’v= x² 
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия: 
1. u(v*x²+v’) = 0 
2. u’v = x² 
1. Приравниваем u=0, находим решение для: 
v*x²+v’ = 0 
Представим в виде: 
v’ = -v*x² 
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными: 

Интегрируя, получаем:

Пример 10:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

r² -2 r – 3 = 0

D=(-2)² – 4*1(-3)=16

Корни характеристического уравнения: r₁ = 3, r₂ = -1

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y₁ = e^3x y₂ = e^-x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть: f(x) = e^2*x

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)),

P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида: y = Ae^2x

Вычисляем производные: y’ = 2Ae^2x y” = 4Ae^2x

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y” -2y’ -3y = (4Ae^2x) -2(2Ae^2x) -3(Ae^2x) = e^2x

или

-3Ae^2x = e^2x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: -3A = 1

Решая ее, находим:A = ^-1/₃;

Частное решение имеет вид: y=-¹/₃e^2x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 11:

Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 12:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 13:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 14:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

r² +2 r + 5 = 0

D=2² – 4*1*5=-16

Корни характеристического уравнения:

r₁ = -1 + 2i r₂ = -1 – 2i

 Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:

f(x) = -sin(2*x)

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), P(x) = 0, Q(x) = -1, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 2i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y = Acos(2x) + Bsin(2x)

Вычисляем производные:

y’ = -2Asin(2x)+2Bcos(2x)

y” = -4(Acos(2x)+Bsin(2x))

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y” + 2y’ + 5y = (-4(Acos(2x)+Bsin(2x))) + 2(-2Asin(2x)+2Bcos(2x)) + 5(Acos(2x) + Bsin(2x)) = -sin(2x)

-4Asin(2x)+Acos(2x)+Bsin(2x)+4Bcos(2x) = -sin(2x)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: -4A + B = -1

1: A + 4B = 0

Решая ее, находим:

A = ⁴/₁₇;B = ^-1/₁₇;

Частное решение имеет вид:

y=⁴/₁₇cos(2x) –¹/₁₇sin(2x)

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 15:

Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 16:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

r² +0 r + 4 = 0

D=0² – 4*1*4=-16

r₁ = 2i, r₂ = – 2i

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

f(x) = 4*e^2*x

R(x) = e^αx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx))

P(x) = 4, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Уравнение имеет частное решение вида:

y = Ae^2x

Вычисляем производные:

y’ = 2Ae^2x

y” = 4Ae^2x

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y” + 4y = (4Ae^2x) + 4(Ae^2x) = 4e^2x

8Ae^2x = 4e^2x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: 8A = 4

Решая ее, находим:

A = ¹/₂;

Частное решение имеет вид:y=¹/₂e^2x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 17:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение от преподавателя:

Пример 18:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 19:

Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:

Решение от преподавателя:

Пример 20:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения: 

Решение от преподавателя:

Пример 21:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение от преподавателя:

Пример 22:

Найти общее решение однородного дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 23:

Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение от преподавателя:

Пример 24:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 25:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 26:

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение от преподавателя:

Пример 27:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 28:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 29:

Найти общий интеграл дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Пример 30:

Найти общее решение дифференциального уравнения:

Решение от преподавателя:

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решим однородное уравнение:

Составим характеристическое уравнение

Поэтому  – общее решение однородного уравнения.

Находим частное решение y* исходного уравнения. Оно ищется в виде:

Подставим  в исходное уравнение, получим равенство:

Приравнивая коэффициенты при  получаем систему уравнений:

Общее решение:

Ответ:

 

Пример 31:

Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.  

Дифференциальное уравнение	Точка
	M(0; 1)

Решение от преподавателя:

Пример 32:

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение от преподавателя:

Это неоднородное уравнение. Сделаем замену 

Интегрируя левую и правую части, получаем:

Учитывая, что была замена  , получим:

 

Пример 33:

Найти решение дифференциального уравнения

удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.

Решение от преподавателя:

Пример 34:

Найти общее решение дифференциального уравнения.

Решение от преподавателя:

Ошибка

Перейти к основному содержанию

Вся размещенная на ресурсе информационная продукция предназначена для детей, достигших возраста шестнадцати лет (16+)

Извините, не удалось найти запрашиваемый Вами файл

Подробнее об этой ошибке

Перейти на… Перейти на…Новостной форумКомплексные числа (с приложениями к задачам электротехники)Лекционный материал по теме «Комплексные числа»Разбор типовых задач задач по теме «Комплексные числа»Примеры решения задач по теме «Комплексные числа»КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКомплексные числа. Основы линейной алгебры. Системы линейных уравненийТеория функций комплексного переменного. Операционное исчислениеПрезентация по теме «Комплексные числа»Дополнительный материал к темеОсновы линейной алгебры с приложениями в других разделах математикиЛекционный материал по теме «Матрицы. Определители»Лекционный материал по теме «Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Применение СЛАУ в экономике»Лекционный материал по теме «Линейные операторы»Примеры решения по теме «Системы линейных алгебраических уравнений»ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРАКомплексные числа. Основы линейной алгебры. Системы линейных уравненийЛинейная алгебра для экономистовМатрицы. ОпределителиВекторная алгебра.Аналитическая геометрияЛекционный материал по теме «Векторная алгебра. Линейные операции над векторами»Лекционный материал по теме «Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов»Примеры решения задач по теме «Векторная алгебра. Линейные операции над векторами»Примеры решения задач по теме «Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов»ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРАВекторная алгебра и аналитическая геометрияПрезентация по теме «Векторная алгебра»Векторная алгебра.Аналитическая геометрияТеоретический материал по теме «Метод координат на плоскости и в пространстве»Лекционный материал по теме «Прямая на плоскости»Лекционный материал по теме «Кривые второго порядка»Лекционный материал по теме «Прямая в пространстве»Лекционный материал по теме «Плоскость в пространстве»Лекционный материал по теме «Поверхности второго порядка»Примеры решения задач по теме «Прямая на плоскости»Примеры решения задач по теме «Кривые второго порядка»Примеры решения задач по темам «Прямая и плоскость в пространстве»АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯВекторная алгебра и аналитическая геометрияСправочный материал «Прямая на плоскости»Справочный материал «Кривые второго порядка»Справочный материал «Прямая и плоскость в пространстве»Линейная алгебра для экономистовПрезентация по теме «Прямая на плоскости»Презентация по теме «Уравнения плоскости и прямой в пространстве»▶ Виртуальный тренажер “Прямая на плоскости” 👨‍🎓Введение в анализНачала анализаЛекционный материал по теме «Множества, функции, основные характеристики функций.

Основные элементарные функции»Лекционный материал по теме «Предел функции, основные теоремы о пределах.Замечательные пределы. Бесконечно малые функции»Лекционный материал по теме «Непрерывность функции»Примеры решения задач по теме «Множества, функции, основные характеристики функций. Основные элементарные функции»Примеры решения задач по теме «Предел функции. Раскрытие математических неопределенностей»Примеры решения задач по теме «Непрерывность функции»ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗУпражнения для самостоятельного решения Тест «Введение в анализ»Презентация по теме «Введение в анализ»1. Понятие функцииПрименение функций в экономической теории и практикеПрименение пределов в экономических расчетахПриложение понятия непрерывности функций в экономике▶ Виртуальная справочная “Тригонометрические функции” 👨‍🎓Дифференциальное исчисление функций одной переменнойПриложения дифференциального исчисления функции одной переменнойЛекционный материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»Лекционный материал по теме «Основные теоремы дифференциального исчисления. Правила Лопиталя»Лекционный материал по теме «Формулы Тейлора и Маклорена»Лекционный материал по теме «Приложения дифференциального исчисления»Примеры решения задач по теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙТест «Основные правила и формулы дифференцирования»Тест «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»Основы дифференцирования. Часть 1Основы дифференцирования. Часть 2Основы дифференцирования. Часть 3Приложения производной Исследование функций, Примеры решения задачПрименение производных при решении экономических задачИнтегральное исчисление функции одной переменнойЛекционный материал по теме «Неопределенный интеграл»Лекционный материал по теме «Определенный интеграл»Практическое занятие 1. Непосредственное интегрирование (неопределённый интеграл)Практическое занятие 2. Интегрирование заменой переменной (неопределённый интеграл)Практическое занятие 3. Интегрирование по частям. Интегрирование выражений, содержащих квадратный многочлен (неопределённый интеграл)Практическое занятие 4.

Интегрирование рациональных дробей (неопределенный интеграл)Практическое занятие 5. Определенный интегралПримеры решения задач по теме «Неопределенный интеграл»Примеры решения задач по теме «Определенный интеграл»ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙТест «Таблица основных неопределенных интегралов»Тест «Интегрирование функций одной переменной»1. Неопределенный интеграл. Основы интегрирования2. Интегрирование иррациональных выражений 3. Интегрирование тригонометрических выражений 4. Определенный интегралДифференциальное исчисление функций нескольких переменныхЛекционный материал по теме «Функции нескольких переменных»Примеры решения задач по теме «Функции нескольких переменных»ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХТест «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»1. Функции нескольких переменныхПрименение функций нескольких переменных в экономикеОбыкновенные дифференциальные уравненияОбыкновенные дифференциальные уравнения и их приложенияДифференциальные уравнения первого порядкаДифференциальные уравнения высших порядковСистемы дифференциальных уравнений и устойчивость их решенийЛекционный материал по теме «Дифференциальные уравнения 1-го порядка»Лекционный материал по теме «Дифференциальные уравнения высших порядков»ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯТест «Обыкновенные дифференциальные уравнения»1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка2. Дифференциальные уравнения высших порядковСпециальные разделы высшей математикиСпециальные разделы высшей математики: практикум Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поляПоверхностные интегралы. Векторный анализЛекционный материал по теме «Двойные интегралы»Примеры решения задач по теме «Двойные интегралы»КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ2. Двойные интегралыРядыЛекционный материал по теме «Числовые ряды»Лекционный материал по теме «Функциональные ряды»Примеры решения задач по теме «Ряды»1. Числовые ряды2. Функциональные ряды3. Разложение функций в степенные рядыТеория функций комплексного переменного. Операционное исчисление.Основы теории функций комплексного переменногоОперационное исчисление.Теория функций комплексного переменного. Операционное исчислениеТеория вероятностей Теория вероятностей (случайные события)Вероятность, случайные процессы, математическая статистикаТеория вероятностей. Случайные процессы: практикумЛекционный материал по теме «Основные подходы к определению вероятности»Лекционный материал по теме «Алгебра событий. Основные теоремы о вероятности»Лекционный материал по теме «Дискретные случайные величины»Лекционный материал по теме «Непрерывные случайные величины»Лекционный материал по теме «Числовые характеристики случайных величин»Лекционный материал по теме «Моменты и другие характеристики распределений»Лекционный материал по теме «Нормальное распределение»Практическое занятие 1. КомбинаторикаПрактическое занятие 2. Действия над событиями. Вероятность событияПрактическое занятие 3. Теоремы умножения и сложения вероятностей событийПрактическое занятие 4. Формула полной вероятности Практическое занятие 5. Схема Бернулли. Локальная и интегральная теоремы ЛапласаПрактическое занятие 6. Дискретные случайные величины. Числовые характеристикиПрактическое занятие 7. Непрерывные случайные величины. Классические законы распределения НСВПримеры решения задач по теме «Комбинаторика»Примеры решения задач по теме «Классическое определение вероятности»Примеры решения задач по теме «Теоремы сложения и умножения»Примеры решения задач по теме «Формула полной вероятности.

Формулы Байеса»Примеры решения задач по теме «Схема независимых испытаний Бернулли»Примеры решения задач по теме «Дискретные случайные величины»Примеры решения задач по теме «Основные числовые характеристики дискретных случайных величин»Примеры решения задач по теме “Непрерывные случайные величины”Примеры решения задач по теме “Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин”Примеры решения задач по теме “Классические законы распределения дискретных случайных величин”Примеры решения задач по теме “Классические законы распределения непрерывных случайных величин”Таблица значений функции ЛапласаТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙТест по разделу “Случайные события”Тест по теме “Числовые характеристики случайных величин”Тест по теме “Дискретные случайные величины”Тест по теме “Непрерывные случайные величины”Основные подходы к определению вероятностиАлгебра событий. Основные теоремы о вероятностиТеория вероятностей (Лыткина Е.М.,Чихачев А.С., 2013)Математическая статистикаОсновы математической статистикиМатематическая статистика: практикумПримеры решения задач по математической статистикиМАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКАТест по разделу “Математическая статистика”. Тема “Статистическое распределение. Точечные и интервальные оценки параметров распределения”Тест по разделу “Математическая статистика”. Тема “Статистические гипотезы. Корреляционный и регрессионный анализ”Вероятность, случайные процессы, математическая статистикаСтатистический метод и основы его примененияВероятностно-статистические методы на примере задач исследования работы железнодорожного транспорта Марковские процессы и СМО. Учебное пособиеЛекционный материал по теме «Марковский процесс с дискретным временем»Лекционный материал по теме «Марковский процесс с непрерывным временем»Лекционный материал по теме «Системы массового обслуживания»Примеры решения задач по теме «Марковские процессы»СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫЛабораторные работы Вероятность, случайные процессы, математическая статистикаТеория вероятностей. Случайные процессы. ПрактикумЛекция «Марковские процессы»Цепи МарковаСистемы массового обслуживания (СМО)СМОВыбор группы*Тест «Таблица основных неопределенных интегралов»*Тест «Интегрирование функций одной переменной»*Тест «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»*Тест «Обыкновенные дифференциальные уравнения»*Тест по разделу “Случайные события”*Тест по теме “Дискретные случайные величины”*Тест по теме “Непрерывные случайные величины”*Тест по теме “Числовые характеристики случайных величин”*Тест «Введение в анализ»*Тест «Основные правила и формулы дифференцирования»*Тест «Дифференциальное исчисление функций одной переменной»*Экзаменационный тест «Таблица основных неопределенных интегралов»*Экзаменационный тест «Интегрирование функций одной переменной»*Экзаменационный тест «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»*Экзаменационный тест «Обыкновенные дифференциальные уравнения»Контрольная работа. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменныхКонтрольная работа. Неопределенный интеграл (методы интегрирования)Контрольная работа. Неопределенный интеграл (интегрирование рациональных дробей)Контрольная работа. Определенный интегралКонтрольная работа. Обыкновенные дифференциальные уравненияКонтрольная работа 1. Теория вероятностей (случайные события)Контрольная работа 2. Теория вероятностей (характеристики дискретной случайной величины)Контрольная работа 3. Теория вероятностей (характеристики непрерывной случайной величины)Контрольная работа 4. Теория вероятностей (классические законы распределения дискретной случайной величины)Контрольная работа 5. Теория вероятностей (классические законы распределения непрерывной случайной величины)Экзамен Математика (2 семестр). СОД.1,2,3-19-1 (И,З)ЭКЗАМЕН. Математика (3 семестр)_СОД.1,2,3-19 (з)

Решение дифференциального уравнения – практические задачи

Дата последнего обновления: 21 апреля 2023 г. включены переменные, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению. Существует два типа решений дифференциальных уравнений, а именно: общее решение дифференциальных уравнений и частное решение дифференциальных уравнений. Общие и частные решения дифференциальных уравнений используют некоторые шаги интегрирования для решения уравнений.

Что такое дифференциальное уравнение?

Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое включает один или несколько членов, а также включает производные одной переменной (т. е. зависимой переменной) через другую переменную (т. е. независимую переменную) dt/dz = f(z). Здесь «z» — независимая переменная, а «t» — зависимая переменная. Например, dt/dz = 5z.

Методы решения дифференциальных уравнений

Существует 5 методов решения дифференциальных уравнений. Эти 5 методов:

1. Решение путем проверки

2. Переменная разделимая

3. Однородная

4. Линейное дифференциальное уравнение 902 3 9004

5. 9000 0026

Общее решение дифференциального уравнения

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка уравнение определяется как решение, включающее важные произвольные константы. Нам необходимо ввести произвольную постоянную сразу после интегрирования, если мы решаем дифференциальное уравнение первого порядка методом переменных. Отсюда после упрощения видно, что в решение дифференциального уравнения первого порядка входит важная произвольная постоянная.

Аналогично, общее решение дифференциального уравнения второго порядка будет включать важные произвольные константы и так далее. Геометрически общее решение представляет собой n-параметрическое семейство кривых. Например, общее решение дифференциального уравнения dy/dx = 8x², которое оказывается равным y = x³ + C, где c рассматривается как произвольная константа, представляет собой однопараметрическое семейство кривых, как показано на рисунке ниже. .

Частное решение дифференциального уравнения

Частное решение дифференциального уравнения — это решение, которое мы получаем из общего решения, придавая частные значения произвольному решению. Условия для вычисления значений произвольных констант могут быть заданы нам в виде начально-значной задачи или граничных условий в зависимости от вопросов.

Сингулярное решение дифференциального уравнения

Сингулярное решение дифференциального уравнения — это особый вид частного решения дифференциального уравнения, но его нельзя вывести из общего решения дифференциального уравнения путем присвоения значений случайной константы.

Термины, относящиеся к дифференциальным уравнениям

• Степень: степень переменной старшей производной, когда дифференциальное уравнение имеет полиномиальную форму.

• Уравнение в частных производных: дифференциальное уравнение с функцией нескольких переменных от их частных производных называется уравнением в частных производных.

Примечание. Порядок и степень дифференциального уравнения всегда являются целыми положительными числами.

Как составить дифференциальное уравнение из заданного уравнения?

Пусть x и y — независимая переменная и зависимая переменная соответственно для уравнения, в котором «k» — произвольная константа. Чтобы составить дифференциальное уравнение из заданного уравнения, выполните следующие действия:

• Проверить количество произвольных констант,

• Продифференцировать данное уравнение, равное количеству произвольных констант, например, если количество произвольных констант в уравнении «m», затем продифференцируйте уравнение для «m» количество раз.

Уравнение, которое мы получаем последующим дифференцированием, и есть искомое дифференциальное уравнение.

Методы решения

Пять методов решения:

1. Решение путем проверки: Если дифференциальное уравнение имеет вид f(f1(x,y))d(f1(x,y))+g (f2(x,y))d(f2(x,y))+……=0, то каждое слагаемое можно проинтегрировать отдельно.

2. Метод разделения переменных: Если дифференциальное уравнение может быть записано в такой форме, что переменные разделяются для интегрирования, то уравнение может быть решено. Уравнение этого типа можно записать как y’ = f(x)g(y), где y’ — это дифференцирование x по y.

3. Однородное дифференциальное уравнение: Уравнение вида y’= dy/dx = f(x,y)/g(x,y), где f и g однородны, тогда такое дифференциальное уравнение известно как однородное дифференциальное уравнение. .

4. Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение вида dy/dx + Py = Q, где P и Q — произвольные константы или функции от x, известно как линейное дифференциальное уравнение.

5. Общее решение: Общее решение дифференциального уравнения представляет собой уравнение с зависимыми переменными через независимые переменные. Общее уравнение можно представить в виде

Практические задачи по дифференциальным уравнениям

Здесь вы можете увидеть некоторые практические задачи по дифференциальным уравнениям.

1. Найдите общее решение следующего дифференциального уравнения dt/dx = (1 + x²) ( 1+ t²)

Решение: Данным дифференциальным уравнением является dt/dx = (1 + x²) ( 1+ t²)

dt/( 1+ t²) = (1 + x²)/dx

Интегрируя обе части приведенного выше уравнения, мы получаем

∫dt/( 1+ t²) = ∫(1 + x²)/ дх 9{-1}}{-1 + c}\]

Теперь мы применим наши начальные условия (x = 1, y = 4) и найдем C, что даст нам наше конкретное решение:

\[ 4 = {-1 + c}\]

Теперь найдем

\[ 4 = {-1 + c}\]

5 = C

\[ y = \frac{-1}{x + 5}\]

Следовательно, частным решением дифференциального уравнения является y = -1/x + 5

. решения дифференциального уравнения

Уравнение с производной одной или нескольких зависимых переменных, с одной или несколькими независимыми переменными, является дифференциальным уравнением (DE). Дифференциальные уравнения классифицируются по типу, порядку и линейности уравнения. Различают два основных типа дифференциальных уравнений: «обыкновенные» и «частные».

Дифференциальные уравнения с ОДНОЙ независимой переменной называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Примеры:

Дифференциальные уравнения с двумя или более независимыми переменными называются уравнениями в частных производных.

Примеры:

порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной дифференциального уравнения.

Например, y’ = 4 y является дифференциальным уравнением первого порядка.

Дифференциальное уравнение второго порядка с” ( t ) = –32 имеет общее решение 9 т + С ₂ Общее решение s” ( t ) = –32

которое содержит две произвольные константы.

Следовательно, дифференциальное уравнение порядка n имеет общее решение с n произвольными константами.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если между зависимыми переменными и их производными нет умножений. Другими словами, все коэффициенты являются функциями независимых переменных. Дифференциальные уравнения, не удовлетворяющие определению линейных, являются нелинейными.

Решением дифференциального уравнения является функция, удовлетворяющая уравнению.

Общее решение: Решения, полученные при интегрировании ДУ, называются общими решениями. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка имеет произвольные константы. Например, дифференцирование и замена показали бы, что y = e ^{– 2 x} является решением дифференциального уравнения

y’ + 2 y = 0.

Точно так же каждое решение этого дифференциального уравнения имеет вид

y = Ce ^– 9 и ‘ + 2 y = 0

, где C — любое действительное число.

Частное решение — это решения, найденные путем подстановки конкретных значений произвольных констант в общие решения. Частные решения дифференциального уравнения выводятся из начальных условий зависимой переменной или одной из ее производных для конкретных значений независимой переменной

Сингулярные решения: Решения, которые не могут быть выражены через общие решения, называются особыми решениями.

Аналитические решения ОДУ доступны для линейных ОДУ, а также для нескольких специальных классов нелинейных дифференциальных уравнений. Численный метод используется для получения графика или таблицы неизвестной функции

Например, дифференциальное уравнение второго порядка

s” ( t ) = –32, имеющее общее решение

с ( t ) = –16 t ² + С ₁ t 7 +

2 С Общее решение с» ( t ) = – 32

может иметь следующие начальные условия.

s (0) = 80, s’ (0) = 64 Начальные условия

Здесь начальные условия дают частное решение0253 2 + 64 t + 80. Частное решение

Для дифференциального уравнения xy’ – 3 y = 0 проверьте, что y =Cx

4 9025 решение. Затем найдите частное решение, определяемое начальным условием y = 2 при x = –3.

Решение:

Обратите внимание, что: y = Cx ³ является решением, потому что y’ = 3 Cx ² и

xy’ – 3 y = x (3 Cx ² ) – 3(909199 2 4 3)

= 0.

Пример: Классифицируйте следующие ДУ:

ДУ является линейным , поскольку никакие коэффициенты не являются функциями y и нет членов более высокой степени в y или его производных.