Найти общее решение дифференциального уравнения.
Пример 1:
Найти общее решение однородного дифференциального уравнения первого порядка. Сделать проверку.
(x – 2y)dx – x dy = 0
Решение от преподавателя:
Умножаем обе части уравнения на x
x(x – 2y)dx – x2 dy = 0
Проверим условие Эйлера – Клеро
Условие это выполняются.
Следовательно, получилось уравнение в полных дифференциалах.
(x2 – 2yx)dx – x2 dy = 0
Проверяем, является ли x = 0 решением уравнения.
Является.
Проверка
Равенство верно.
Ответ.
x = 0
Пример 2:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Это уравнение Бернулли при n=2.
Разделив обе части уравнения на y2 получаем:
x*y’/y2+1/y=ln(x)
Делаем замену: z=1/y
Тогда z’ = -1/y2
и поэтому уравнение переписывается в виде
-x*z’+z=ln(x)
Решаем это уравнение методом вариации произвольной постоянной. 2)
Представим в виде:
-y·cos(x)/sin(x)+yʹ = -cos(x)/sin(x)2
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y’ = u’v + uv’.
-u·v·cos(x)/sin(x)+u·vʹ+uʹ·v = -cos(x)/sin(x)2
или
u(-v/tg(x)+vʹ) + uʹ·v= -cos(x)/sin(x)2
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(-v/tg(x)+vʹ) = 0
2. uʹ·v = -cos(x)/sin(x)2
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
-v/tg(x)+vʹ = 0
Представим в виде:
vʹ = v/tg(x)
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируя, получаем:
ln(v) = ln(sin(x))
v = sin(x)
2. Зная v, Находим u из условия: u’*v = -cos(x)/sin(x)2
uʹ·sin(x) = -cos(x)/sin(x)2
uʹ = -cos(x)/sin(x)3
Интегрируя, получаем:
Из условия y=u*v, получаем:
y = u·v = (C-1/(2·cos(x)2-2))·sin(x)
или
y = C·sin(x)-sin(x)/(2·cos(x)2-2) =Csin(x)-1/(2sinx)
Проведем обратную замену
Поскольку R(-sin(x),cos(x)) = -R(sin(x),cos(x)), то делаем тригонометрическую подстановку: cos(x) = t и тогда sin(x)dx = -dt
Упростим выражение:
Интегрируя, получаем:
Возвращаясь к замене переменных (t=cos(x)), получаем:
y = C*cos(x)-ln(cos(x)-1)/4-ln(cos(x)+1)/4+C1
Пример 5:
Найти общее решение уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 6:
Решите дифференциальные уравнения первого порядка. Найдите общее решение.
Решение от преподавателя:
Пример 7:
Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:
Решение от преподавателя:
Пример 8:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Решение уравнения будем искать в виде y = erx.
r2 – r – 2 = 0
D=(-1)2 – 4*1(-2)=9
Корни характеристического уравнения: r1 = 2, r2 = -1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e2x, y2 = e-x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 3
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение:
c1+c2 = 0
Находим первую производную:
y’ = 2c1e2x-c2e-x
Поскольку y'(0) = 2*c1-c2, то получаем второе уравнение:
2c1-c2 = 3
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 0
2c1-c2 = 3
которую решаем методом исключения переменных.
c1 = 1, c2 = -1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
Пример 9:
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение от преподавателя:
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену переменных: y=u*v, y’ = u’v + uv’.
u*v*x2+u*v’+u’v = x2
или
u(v*x2+v’) + u’v= x2
Выберем переменную v так, чтобы выполнялись условия:
1. u(v*x2+v’) = 0
2. u’v = x2
1. Приравниваем u=0, находим решение для:
v*x2+v’ = 0
Представим в виде:
v’ = -v*x2
Преобразуем уравнение так, чтобы получить уравнение с разделяющимися переменными:
Интегрируя, получаем:
Пример 10:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
r2 -2 r – 3 = 0
D=(-2)2 – 4*1(-3)=16
Корни характеристического уравнения: r1 = 3, r2 = -1
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: y1 = e3x y2 = e-x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = e2*x
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)),
P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида: y = Ae2x
Вычисляем производные: y’ = 2Ae2x y” = 4Ae2x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y” -2y’ -3y = (4Ae2x) -2(2Ae2x) -3(Ae2x) = e2x
или
-3Ae2x = e2x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: -3A = 1
Решая ее, находим:A = -1/3;
Частное решение имеет вид: y=-1/3e2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 11:
Найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка:
Решение от преподавателя:
Пример 12:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 13:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 14:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
r2 +2 r + 5 = 0
D=22 – 4*1*5=-16
Корни характеристического уравнения:
r1 = -1 + 2i r2 = -1 – 2i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = -sin(2*x)
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), P(x) = 0, Q(x) = -1, α = 0, β = 2.
Следовательно, число α + βi = 2i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
y = Acos(2x) + Bsin(2x)
Вычисляем производные:
y’ = -2Asin(2x)+2Bcos(2x)
y” = -4(Acos(2x)+Bsin(2x))
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y” + 2y’ + 5y = (-4(Acos(2x)+Bsin(2x))) + 2(-2Asin(2x)+2Bcos(2x)) + 5(Acos(2x) + Bsin(2x)) = -sin(2x)
-4Asin(2x)+Acos(2x)+Bsin(2x)+4Bcos(2x) = -sin(2x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: -4A + B = -1
1: A + 4B = 0
Решая ее, находим:
A = 4/17;B = -1/17;
Частное решение имеет вид:
y=4/17cos(2x) –1/17sin(2x)
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 15:
Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:
Решение от преподавателя:
Пример 16:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
r2 +0 r + 4 = 0
D=02 – 4*1*4=-16
r1 = 2i, r2 = – 2i
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
f(x) = 4*e2*x
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx))
P(x) = 4, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.
Уравнение имеет частное решение вида:
y = Ae2x
Вычисляем производные:
y’ = 2Ae2x
y” = 4Ae2x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y” + 4y = (4Ae2x) + 4(Ae2x) = 4e2x
8Ae2x = 4e2x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: 8A = 4
Решая ее, находим:
A = 1/2;
Частное решение имеет вид:y=1/2e2x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Пример 17:
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение от преподавателя:
Пример 18:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 19:
Найти общее решение дифференциальных уравнений второго порядка:
Решение от преподавателя:
Пример 20:
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 21:
Найти общий интеграл дифференциального уравнения
Решение от преподавателя:
Пример 22:
Найти общее решение однородного дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 23:
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение от преподавателя:
Пример 24:
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 25:
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 26:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение от преподавателя:
Пример 27:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 28:
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 29:
Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Пример 30:
Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение от преподавателя:
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
Решим однородное уравнение:
Составим характеристическое уравнение
Поэтому – общее решение однородного уравнения.
Находим частное решение y* исходного уравнения. Оно ищется в виде:
Подставим в исходное уравнение, получим равенство:
Приравнивая коэффициенты при получаем систему уравнений:
Общее решение:
Ответ:
Пример 31:
Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти кривые в системе координат.
Дифференциальное уравнение | Точка |
M(0; 1) |
Решение от преподавателя:
Пример 32:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение от преподавателя:
Это неоднородное уравнение. Сделаем замену
Интегрируя левую и правую части, получаем:
Учитывая, что была замена , получим:
Пример 33:
Найти решение дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальному условию y(0)=2.
Решение от преподавателя:
Пример 34:
Найти общее решение дифференциального уравнения.
Решение от преподавателя:
Ошибка
Перейти к основному содержанию
Вся размещенная на ресурсе информационная продукция предназначена для детей, достигших возраста шестнадцати лет (16+)
Извините, не удалось найти запрашиваемый Вами файл
Подробнее об этой ошибке
Перейти на…
Перейти на…Новостной форумКомплексные числа (с приложениями к задачам электротехники)Лекционный материал по теме «Комплексные числа»Разбор типовых задач задач по теме «Комплексные числа»Примеры решения задач по теме «Комплексные числа»КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛАКомплексные числа. Основы линейной алгебры. Системы линейных уравненийТеория функций комплексного переменного. Операционное исчислениеПрезентация по теме «Комплексные числа»Дополнительный материал к темеОсновы линейной алгебры с приложениями в других разделах математикиЛекционный материал по теме «Матрицы. Определители»Лекционный материал по теме «Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).








Решение дифференциального уравнения – практические задачи
Дата последнего обновления: 21 апреля 2023 г. включены переменные, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению. Существует два типа решений дифференциальных уравнений, а именно: общее решение дифференциальных уравнений и частное решение дифференциальных уравнений. Общие и частные решения дифференциальных уравнений используют некоторые шаги интегрирования для решения уравнений.
Что такое дифференциальное уравнение?
Дифференциальное уравнение — это уравнение, которое включает один или несколько членов, а также включает производные одной переменной (т. е. зависимой переменной) через другую переменную (т. е. независимую переменную) dt/dz = f(z). Здесь «z» — независимая переменная, а «t» — зависимая переменная. Например, dt/dz = 5z.
Методы решения дифференциальных уравнений
Существует 5 методов решения дифференциальных уравнений. Эти 5 методов:
Решение путем проверки
Переменная разделимая
Однородная
Линейное дифференциальное уравнение 902 3 9004
- 9000 0026
Общее решение дифференциального уравнения
Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка уравнение определяется как решение, включающее важные произвольные константы. Нам необходимо ввести произвольную постоянную сразу после интегрирования, если мы решаем дифференциальное уравнение первого порядка методом переменных. Отсюда после упрощения видно, что в решение дифференциального уравнения первого порядка входит важная произвольная постоянная.
Аналогично, общее решение дифференциального уравнения второго порядка будет включать важные произвольные константы и так далее. Геометрически общее решение представляет собой n-параметрическое семейство кривых. Например, общее решение дифференциального уравнения dy/dx = 8x², которое оказывается равным y = x³ + C, где c рассматривается как произвольная константа, представляет собой однопараметрическое семейство кривых, как показано на рисунке ниже. .
Частное решение дифференциального уравнения
Частное решение дифференциального уравнения — это решение, которое мы получаем из общего решения, придавая частные значения произвольному решению. Условия для вычисления значений произвольных констант могут быть заданы нам в виде начально-значной задачи или граничных условий в зависимости от вопросов.
Сингулярное решение дифференциального уравнения
Сингулярное решение дифференциального уравнения — это особый вид частного решения дифференциального уравнения, но его нельзя вывести из общего решения дифференциального уравнения путем присвоения значений случайной константы.
Термины, относящиеся к дифференциальным уравнениям
Степень: степень переменной старшей производной, когда дифференциальное уравнение имеет полиномиальную форму.
Уравнение в частных производных: дифференциальное уравнение с функцией нескольких переменных от их частных производных называется уравнением в частных производных.
Примечание. Порядок и степень дифференциального уравнения всегда являются целыми положительными числами.
Как составить дифференциальное уравнение из заданного уравнения?
Пусть x и y — независимая переменная и зависимая переменная соответственно для уравнения, в котором «k» — произвольная константа. Чтобы составить дифференциальное уравнение из заданного уравнения, выполните следующие действия:
Проверить количество произвольных констант,
Продифференцировать данное уравнение, равное количеству произвольных констант, например, если количество произвольных констант в уравнении «m», затем продифференцируйте уравнение для «m» количество раз.
Уравнение, которое мы получаем последующим дифференцированием, и есть искомое дифференциальное уравнение.
Методы решения
Пять методов решения:
Решение путем проверки: Если дифференциальное уравнение имеет вид f(f1(x,y))d(f1(x,y))+g (f2(x,y))d(f2(x,y))+……=0, то каждое слагаемое можно проинтегрировать отдельно.
Метод разделения переменных: Если дифференциальное уравнение может быть записано в такой форме, что переменные разделяются для интегрирования, то уравнение может быть решено.
Уравнение этого типа можно записать как y’ = f(x)g(y), где y’ — это дифференцирование x по y.
Однородное дифференциальное уравнение: Уравнение вида y’= dy/dx = f(x,y)/g(x,y), где f и g однородны, тогда такое дифференциальное уравнение известно как однородное дифференциальное уравнение. .
Линейное дифференциальное уравнение. Дифференциальное уравнение вида dy/dx + Py = Q, где P и Q — произвольные константы или функции от x, известно как линейное дифференциальное уравнение.
Общее решение: Общее решение дифференциального уравнения представляет собой уравнение с зависимыми переменными через независимые переменные. Общее уравнение можно представить в виде
Практические задачи по дифференциальным уравнениям
Здесь вы можете увидеть некоторые практические задачи по дифференциальным уравнениям.
Найдите общее решение следующего дифференциального уравнения dt/dx = (1 + x²) ( 1+ t²)
Решение: Данным дифференциальным уравнением является dt/dx = (1 + x²) ( 1+ t²)
dt/( 1+ t²) = (1 + x²)/dx
Интегрируя обе части приведенного выше уравнения, мы получаем
∫dt/( 1+ t²) = ∫(1 + x²)/ дх 9{-1}}{-1 + c}\]
Теперь мы применим наши начальные условия (x = 1, y = 4) и найдем C, что даст нам наше конкретное решение:
\[ 4 = {-1 + c}\]
Теперь найдем
\[ 4 = {-1 + c}\]
5 = C
\[ y = \frac{-1}{x + 5}\]
Следовательно, частным решением дифференциального уравнения является y = -1/x + 5
. решения дифференциального уравнения
Уравнение с производной одной или нескольких зависимых переменных, с одной или несколькими независимыми переменными, является дифференциальным уравнением (DE). Дифференциальные уравнения классифицируются по типу, порядку и линейности уравнения. Различают два основных типа дифференциальных уравнений: «обыкновенные» и «частные».
Дифференциальные уравнения с ОДНОЙ независимой переменной называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Примеры:
Дифференциальные уравнения с двумя или более независимыми переменными называются уравнениями в частных производных.
Примеры:
порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной дифференциального уравнения.
Например, y’ = 4 y является дифференциальным уравнением первого порядка.
Дифференциальное уравнение второго порядка с” ( t ) = –32 имеет общее решение 9 т + С 2 Общее решение s” ( t ) = –32
которое содержит две произвольные константы.
Следовательно, дифференциальное уравнение порядка n имеет общее решение с n произвольными константами.
Дифференциальное уравнение называется линейным, если между зависимыми переменными и их производными нет умножений. Другими словами, все коэффициенты являются функциями независимых переменных. Дифференциальные уравнения, не удовлетворяющие определению линейных, являются нелинейными.
Решением дифференциального уравнения является функция, удовлетворяющая уравнению.
Общее решение: Решения, полученные при интегрировании ДУ, называются общими решениями. Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения порядка имеет произвольные константы. Например, дифференцирование и замена показали бы, что y = e – 2 x является решением дифференциального уравнения
y’ + 2 y = 0.
Точно так же каждое решение этого дифференциального уравнения имеет вид
y = Ce – 9 и ‘ + 2 y = 0
, где C — любое действительное число.
Частное решение — это решения, найденные путем подстановки конкретных значений произвольных констант в общие решения. Частные решения дифференциального уравнения выводятся из начальных условий зависимой переменной или одной из ее производных для конкретных значений независимой переменной
Сингулярные решения: Решения, которые не могут быть выражены через общие решения, называются особыми решениями.
Аналитические решения ОДУ доступны для линейных ОДУ, а также для нескольких специальных классов нелинейных дифференциальных уравнений. Численный метод используется для получения графика или таблицы неизвестной функции
Например, дифференциальное уравнение второго порядка
s” ( t ) = –32, имеющее общее решение
с ( t ) = –16 t 2 + С 1 t 7 +
2 С Общее решение с» ( t ) = – 32 может иметь следующие начальные условия.
s (0) = 80, s’ (0) = 64 Начальные условия
Здесь начальные условия дают частное решение0253 2 + 64 t + 80. Частное решение
Для дифференциального уравнения xy’ – 3 y = 0 проверьте, что y =Cx
4 9025 решение. Затем найдите частное решение, определяемое начальным условием y = 2 при x = –3.Решение:
Обратите внимание, что: y = Cx 3 является решением, потому что y’ = 3 Cx 2 и
xy’ – 3 y = x (3 Cx 2 ) – 3(909199 2 4 3)
= 0.
Пример: Классифицируйте следующие ДУ:
ДУ является линейным , поскольку никакие коэффициенты не являются функциями y и нет членов более высокой степени в y или его производных.