Дифференциальные уравнения решение: Дифференциальные уравнения онлайн

Уравнения, допускающие понижение порядка

Мы умеем решать уравнения первого порядка. Поэтому возникает естественное желание свести уравнение порядка выше первого к уравнению более низкого порядка. В некоторых случаях это удаётся сделать. Рассмотрим их.

1. Уравнения вида y(n)=f(x) решаются последовательным интегрированием n раз
, ,… .
Пример №1. Решить уравнение xy''=1. Можем записать , следовательно, y’=ln|x| + C₁и, интегрируя ещё раз, окончательно получаем y=∫ln|x| + C₁x + C₂

2. В уравнениях вида F(x,y(k),y(k+1),..,y(n))=0 (то есть не содержащих в явном виде неизвестной функции и некоторых её производных) порядок понижается с помощью замены переменной y^(k) = z(x). Тогда y^(k+1)=z'(x),…,y⁽ⁿ

) = z^(n–k)(x) и мы получаем уравнение F(x,z,z’,. .,z^(n–k)) порядка n-k. Его решением является функция z = φ(x,C₁,C₂,…,C_n) или, вспоминая, что такое z, получаем уравнение y^(n-k) = φ(x,C₁,C₂,…,C_n–k) рассмотренного в случае 1 типа.

Пример №2. Решить уравнение x2y'' = (y')2. Делаем замену y'=z(x). Тогда y''=z'(x). Подставляя в исходное уравнение, получаем x²z’=z². Разделяя переменные, получаем . Интегрируя, имеем , или, что тоже самое, . Последнее соотношение записывается в виде , откуда . Интегрируя, окончательно получаем

Пример №3. Решить уравнение x3y'' +x2y'=1 .Делаем замену переменных: y’=z; y”=z’
x³z’+x²z=1. Делаем замену переменных: z=u/x; z’=(u’x-u)/x²
x³(u’x-u)/x²+x²u/x=1 или u’x²-xu+xu=1 или u’x^2=1. Откуда: u’=1/x² или du/dx=1/x² или u = int(dx/x²) = -1/x+c₁
Поскольку z=u/x, то z = -1/x²+c₁/x. Поскольку y’=z, то dy/dx=-1/x²+c₁/x
y = int(c₁dx/x-dx/x²) =c₁ln(x) + 1/x + c₂. Ответ: y = c₁ln(x) + 1/x + c₂

3. Следующим уравнением, допускающим понижение порядка, является уравнение вида F(y,y',y'',…,y(n))=0, не содержащее в явном виде независимой переменной. Порядок уравнения понижается с помощью замены переменной y’=p(y), где p – новая искомая функция, зависящая от y. Тогда
= и так далее. По индукции имеем y⁽ⁿ⁾=φ(p,p’,..,p^(n-1)). Подставляя в исходное уравнение, понижаем его порядок на единицу.

Пример №4. Решить уравнение (y')2+2yy''=0. Делаем стандартную замену y’=p(y), тогда y″=p′·p. Подставляя в уравнение, получаем Разделяя переменные, при p≠0, имеем Интегрируя, получаем или, что то же самое, . Тогда или . Интегрируя последнее равенство, окончательно получаем При разделении переменных мы могли потерять решение y=C, которое получается при p=0, или, что то же самое, при y’=0, но оно содержится в полученном выше.

4. Иногда удаётся подметить особенность, позволяющую понизить порядок уравнения отличными от рассмотренных выше способами. Покажем это на примерах.

Замечания.
1. Если обе части уравнения yy'''=y′y″ разделить на yy″, то получим уравнение , которое можно переписать в виде (lny″)′=(lny)′. Из последнего соотношения следует, что lny″=lny+lnC, или, что то же самое, y″=Cy. Получилось уравнение на порядок ниже и рассмотренного ранее типа.
2. Аналогично для уравнения yy″=y′(y′+1) имеем , или (ln(y’+1))’ = (lny)’. Из последнего соотношения следует, что ln(y’+1) = lny + lnC₁, или y’=C₁y-1. Разделяя переменные и интегрируя, получаем, ln(C₁y-1) = C₁x+C₂

Решить уравнения, допускающие понижение порядка можно с помощью специального сервиса Дифференциальные уравнения онлайн.

Примеры решения дифференциальных уравнений с ответами

Алгоритм решения

дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x, как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х), с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Теорема

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Алгоритм

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Примеры решения дифференциальных уравнений

Пример 1

Задание

Решить дифференциальное уравнение xy’=y.

Решение

В первую очередь, необходимо переписать уравнение в другой вид. Пользуясь 

   

переписываем дифференциальное уравнение, получаем

   

Дальше смотрим, насколько реально разделить переменные, то есть путем обычных манипуляций (перенос слагаемых из части в часть, вынесение за скобки и пр.) получить выражение, где «иксы» с одной стороны, а «игреки» с другой. В данном уравнении разделить переменные вполне реально, и после переноса множителей  по правилу пропорции получаем

   

Далее интегрируем полученное уравнение:

   

В данном случае интегралы берём из таблицы:

   

После того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решённым. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения.

То есть,

   

– это общий интеграл. Также для удобства и красоты, его можно переписать в другом виде: y=Cx, где С=Const

Ответ

y=Cx, где С=Const.

Пример 2

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

   

.

Решение

Действуем по тому же алгоритму, что и в предыдущем решении.

Переписываем производную в нужном виде, разделяем переменные и интегрируем полученное уравнение:

   

   

   

   

Получили общий интеграл. Далее, воспользуемся свойством степеней, выразим у в «общем» виде и перепишем функцию:

   

   

Если  – это константа, то

   

– тоже некоторая константа, заменим её буквой С:

   

– убираем модуль и теперь константа может принимать и положительные, и отрицательные значения.

Получаем общее решение:

   

где С=const.

Ответ

   

где С=const.

Пример 3

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

Решение

В первую очередь необходимо переписать производную в необходимом виде:

   

Второй шаг – разделение переменных и перенос со сменой знака второго слагаемого в правую часть:

   

   

После разделения переменных, интегрируем уравнение, как в примерах выше.

   

Чтобы решить интегралы из левой части, применим метод подведения функции под знак дифференциала:

   

   

   

В ответе мы получили одни логарифмы и константу, их тоже определяем под логарифм.

Далее упрощаем общий интеграл:

   

   

   

   

Приводим полученный общий интеграл к виду: F(x,y)=C:

   

Чтобы ответ смотрелся красивее, обе части необходимо возвести в квадрат.

Ответ

Общий интеграл:

   

где С=const.

Пример 4

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

   

удовлетворяющее начальному условию y(0)=ln2.

Решение

Первый шаг – нахождение общего решения. То, что в исходном уравнении уже находятся готовые дифференциалы dy и dx значительно упрощает нам решение.

Начинаем разделять переменные и интегрировать уравнение:

   

   

   

   

   

   

   

Мы получили общий интеграл и следующий шаг – выразить общее решение. Для этого необходимо прологарифмировать обе части. Знак модуля не ставим, т. к. обе части уравнения положительные.

   

   

Получаем общее решение:

   

где С=const

Далее необходимо найти частное решение, которое соответствует заданному начальному условию y(0)=ln2.

В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

   

   

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

   

.

Пример 5

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

.

Решение

При внимательном разборе данного уравнения видно, что можно разделить переменные, что и делаем, после интегрируем:

   

   

   

   

   

В данном случае константу C считается  не обязательным определять под логарифм.

Ответ

Общий интеграл:

   

Пример 6

Задание

Найти частное решение дифференциального уравнения

   

удовлетворяющее начальному условию y(1)=e. Выполнить проверку.

Решение

Как и в предыдущих примерах первым шагом будет нахождение общего решения. Для этого начинаем разделять переменные:

   

   

Интегрируем:

   

   

   

Общий интеграл получен, осталось упростить его. Упаковываем логарифмы и избавляемся от них:

   

Используя

   

можно выразить функцию в явном виде.

Общее решение:

   

где С=const.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1)=e.

   

Подставляем найденное значение константы C=1 в общее решение.

Ответ

Частное решение:

   

Проверка

Необходимо проверить, выполняется ли начальное условие:

   

Из равенства выше видно, что начальное условие y(1)=e выполнено.

Далее проводим следующую проверку: удовлетворяет ли вообще частное решение

   

дифференциальному уравнению.

Для этого находим производную:

   

Подставим полученное частное решение

   

и найденную производную  в исходное уравнение

   

   

   

0=0

Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно.

Пример 7

Задание

Найти общий интеграл уравнения

   

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

   

   

   

   

Ответ

Общий интеграл:

   

Пример 8

Задание

Найти частное решение ДУ.

   

Решение

Данное ДУ допускает разделение переменных. Разделяем переменные:

   

   

   

Интегрируем:

   

   

Общий интеграл:

   

Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному начальному условию

   

Подставляем в общее решение

   

   

   

   

Ответ

Частный интеграл:

   

Пример 9

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные и интегрируем:

   

   

Левую часть интегрируем по частям:

   

   

   

В интеграле правой части проведем замену:

   

   

   

Таким образом:

   

   

(здесь дробь раскладывается методом неопределенных коэффициентов)

   

Обратная замена:

   

   

   

Ответ

Общий интеграл:

   

где С=const.

Пример 10

Задание

Решить дифференциальное уравнение

   

Решение

Данное уравнение допускает разделение переменных.

Разделяем переменные и интегрируем:

   

   

   

   

   

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Ответ

Общее решение:

   

где С=const.

Средняя оценка 2.5 / 5. Количество оценок: 13

Поставьте вашу оценку

Сожалеем, что вы поставили низкую оценку!

Позвольте нам стать лучше!

Расскажите, как нам стать лучше?

49608

Закажите помощь с работой

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Не отобразилась форма расчета стоимости? Переходи по ссылке

Полезно

Решения дифференциальных уравнений: примеры

Было бы неплохо иметь решение всех своих задач? Или, по крайней мере, ваши математические проблемы? Как насчет задач с дифференциальными уравнениями? К сожалению, вы даже не можете найти решения всех видов дифференциальных уравнений. Однако здесь вы можете найти по крайней мере некоторые виды решений дифференциальных уравнений .

Проверка решений дифференциальных уравнений

Начнем с того, как проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения. Предположим, вам дано дифференциальное уравнение 92 – 4x – 4 }\right) \\ &= 0. \end{align}\]

Следовательно, \(y(x)\) является решением дифференциального уравнения.

Что делать, если вы хотите получить представление о том, как выглядит решение, не решая дифференциального уравнения?

Графики решений дифференциальных уравнений

Есть два основных метода, которые вы можете использовать, чтобы получить представление о том, как выглядит решение дифференциального уравнения и как оно ведет себя, не решая его.

• Если вам нужна численная аппроксимация, вы можете использовать метод Эйлера.

• Поля направлений, также называемые полями наклона, используют тот факт, что производная представляет собой наклон, для построения «поля» уклонов, которое позволяет предсказать поведение решений.

В статьях по этим темам будет много примеров построения графиков решений. Если вы действительно можете решить дифференциальное уравнение, вы можете построить график общего решения. Если назвать это «общим решением», это будет звучать как единственное решение, но на самом деле это семейство функций. {-ax}+\frac{b}{a},\]

— решение линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами.

При решении линейных дифференциальных уравнений первого порядка используется интегрирующий коэффициент, и в статьях «Линейные дифференциальные уравнения» и «Неоднородные линейные уравнения» есть множество примеров.

Экспоненциальные решения дифференциального уравнения

Решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами — это почти единственный класс дифференциальных уравнений, для которых гарантировано экспоненциальное решение. Однако это не означает, что другие дифференциальные уравнения не могут иметь в своих решениях экспоненциальные функции. Давайте посмотрим на пример. 92 – 6r + 8 = 0.\]

Это делит на \( (r-2)(r-4) = 0\), которое имеет решения \(r=2\) и \(r=4\) , который оказался в показателях решения! Такие вещи, как характеристические многочлены и линейные дифференциальные уравнения второго порядка, — это некоторые из вещей, о которых вы узнаете, если будете посещать занятия по дифференциальным уравнениям.

Равновесные решения дифференциальных уравнений

Некоторые дифференциальные уравнения имеют равновесное решение.

Равновесный раствор \(y(x)\) дифференциального уравнения первого порядка — это такое, которое удовлетворяет условию \(y'(x)\equiv 0\).

Другими словами, равновесное решение дифференциального уравнения первого порядка — это постоянное решение ! Равновесные решения иногда называют устойчивыми решениями .

Одним из известных дифференциальных уравнений, имеющих не одно, а два равновесных решения, является логистическое уравнение,

\[P’ = r\left( 1- \frac{P}{k}\right)P.\]

92 + 12x } }.\]

Итак, теперь у вас есть два равновесных решения и общее решение! Как узнать, какой из них правильный? Ну, технически они все верны. Они составляют набор функций, которые решают дифференциальное уравнение. Если бы вам были даны начальные значения, вы могли бы либо выбрать одно из равновесных решений, либо найти \(B\) в общем решении, чтобы получить конкретное решение.

Чтобы увидеть пример дифференциального уравнения, которое может иметь одно, ни одного или бесконечно много решений в зависимости от начального значения, см. нашу статью Общие решения дифференциальных уравнений. 9\круг\). Какое дифференциальное уравнение моделирует это и каково равновесное решение?

Решение

Во-первых, давайте определимся, что это за переменные. Конечно, одним из них будет время, а другим — температура, но вам нужно выяснить, какая из них является независимой переменной, а какая — зависимой. Поскольку температура пиццы зависит от времени, это означает, что время является независимой переменной, а температура – зависимой переменной. Задав каждому из них переменную, пусть

• \(t\) время с момента выхода из духовки; и
• \(y(t)\) — температура с момента выхода из духовки.

Теперь нужно выяснить, какое уравнение моделирует эту ситуацию. Закон охлаждения Ньютона вам в помощь! Помните, что для охлаждения объекта (в данном случае ваша пицца охлаждается до комнатной температуры) скорость изменения температуры определяется как константа, умноженная на разницу между текущей температурой и комнатной температурой. Другими словами,

\[y'(t) = k(y(t) – 70),\]

где \(k\) – постоянная охлаждения.

Вам все еще нужно начальное значение, чтобы завершить это как дифференциальное уравнение.

Каково начальное значение? Это температура на выходе из духовки, поэтому \(y(0) = 375\). Таким образом, чтобы завершить дифференциальное уравнение как задачу с начальным значением,

\[\begin{align} &y'(t) = k(y(t) – 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\ ]

где \(k\) – постоянная охлаждения. 9\circ\) перед едой. Как долго вам придется ждать?

Решение

В предыдущем примере вы видели, как составить это дифференциальное уравнение и найти равновесное решение, и вы обнаружили, что

\[\begin{align} &y'(t) = k(y( t) – 70) \\ &y(0)=375 \end{align}\]

где \(k\) – постоянная охлаждения. Давайте опираться на эту информацию.

Это хорошее разделимое уравнение, и запись его в разделимой форме даст вам

\[ \frac{1}{y-70}y’ = k. \]

Тогда интегрирование обеих частей по \(t\) дает

\[ \ln |y-70| = kt+C.\]

Вы можете либо использовать информацию, приведенную в задаче, чтобы сначала найти \(k\) и \(C\), либо найти явное решение, а затем найти константы. В любом случае вы получите один и тот же ответ.

Если вы подставите начальное условие \(y(0) = 375\), вы получите

\[ \ln |375-70| = k\cdot 0 + C,\]

поэтому \( C = \ln 305\). 9\circ\), но вы его не использовали. Переводя это в переменные, \(y(5) = 350\). Подставив его вместе с \(C\) в уравнение, вы получите

\[ \ln |350-70| = 5k+\ln 305 .\]

Другими словами,

\[ \begin{align} 5k &= \ln |350-70| – \ln 305 \\ &= \ln 280 – \ln 305 \\ &= \ln \frac{280}{305}, \end{align}\]

, поэтому

\[k= \frac{1 }{5} \ln \frac{280}{305} .\]

Тогда, сложив все вместе, мы получим решение задачи с начальным значением: 9\круг\). Поэтому вместо того, чтобы искать явное решение, просто подключите температуру и определите время. Это означает

\[ \ln |300-70| = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t+\ln 305 \]

так

\[ \ln 230 – \ln 305 = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t \]

, что означает

\[ t = 5\frac{ \ln \frac{230}{305}}{ \ln \frac{280}{305} } \приблизительно 16.5.\]

Итак, вам нужно будет подождать около 16,5 минут, прежде чем вы сможете съесть пиццу, не обжигая рот.

Решения дифференциальных уравнений — основные выводы

• Чтобы убедиться, что \(y(x)\) является решением дифференциального уравнения \(y’=f(x,y)\), оцените \(y'( x) – f(x, y(x))\) и посмотрите, получится ли \(0\). Если да, то \(y(x)\) является решением.
• Чтобы получить численное приближение к решению дифференциального уравнения, вы можете использовать метод Эйлера.
• Поля направлений, также называемые полями наклона, используют тот факт, что производная представляет собой наклон, для построения «поля» уклонов, которое позволяет предсказать, как будут вести себя решения.