Дифференциальные уравнения с разделенными переменными: Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Содержание

Дифференциальные уравнения

Виленкин Н. Я. и др. Дифференциальные уравнения: Учеб. пособие для студентов-заочников IV курса физ.-мат. фак. / Н. Я. Виленкин, М. А. Доброхотова, А. Н. Сафонов.— М.: Просвещение, 1984. — 176 с.

Основное внимание в пособии уделяется развитию у студентов навыков решать физические и геометрические задачи с помощью дифференциальных уравнений. Структура пособия обеспечивает самостоятельную работу студентов по изучению данного курса. Теоретический материал иллюстрируется многочисленными подробно решенными примерами.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
2. Линейные уравнения первого порядка.
3. Однородные уравнения.
4. Уравнения в полных дифференциалах.
5. Определение типа дифференциального уравнения.
Вопросы для самопроверки
§ 2. РЕШЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Составление дифференциального уравнения по условию физической задачи.
3. Решение геометрических задач с помощью дифференциальных уравнений.
4. Дифференциальное уравнение семейства кривых. Ортогональные траектории.
5. Решение задач с помощью интегральных уравнений.
Упражнения
§ 3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

1. Понижение порядка дифференциального уравнения.
2. Системы дифференциальных уравнений.
Вопросы для самопроверки
Глава II. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1. Поле направлений.
2. Поле направлений и дифференциальные уравнения.

Вопросы для самопроверки
§ 2. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
1. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения у’ = f(x,y).
2. Теорема существования и единственности решений дифференциальных уравнений высшего порядка.
3. Дифференциальные уравнения и степенные ряды.
4. Приближенное решение дифференциальных уравнений.
Вопросы для самопроверки
§ 3. ОБЩЕЕ, ЧАСТНОЕ И ОСОБОЕ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
1. Общее и частное решения дифференциального уравнения.
2. Особые точки и особые решения дифференциального уравнения у’ = f(x, у).
3. Огибающая семейства плоских кривых.
4. Уравнение Клеро.
Вопросы для самопроверки
Глава III. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
1. Линеаризация уравнений и систем уравнений.
2. Теорема существования и единственности решения линейных дифференциальных уравнений высшего порядка и систем линейных дифференциальных уравнений.
3. Линейные дифференциальные операторы и их свойства.

4. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения.
5. Определитель Вронского.
6. Составление уравнения по фундаментальной системе решений.
7. Формула Остроградского.
8. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения n-го порядка.
9. Метод вариации произвольных постоянных.
Вопросы для самопроверки
§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Алгебра дифференциальных операторов.
2. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
3. Решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (специальный случай).
4. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (случай резонанса).
5. Решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (специальные случаи, окончание).
Вопросы для самопроверки
§ 3. СВОБОДНЫЕ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ.

РЕЗОНАНС
1. Колебания под действием упругой силы пружины.
2. Колебательный контур.
Вопросы для самопроверки
§ 4. НЕКОТОРЫЕ УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
2. Вывод уравнения колебаний струны.
3. Решение уравнения колебаний струны методом Даламбера.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.Однородные ДУ первого порядка

Лучшие смартфоны на Android в 2022 году

Серия iPhone от Apple редко чем удивляет. Когда вы получаете новый iPhone, общее впечатление, скорее всего, будет очень похожим на ваше предыдущее устройство. Однако всё совсем не так в лагере владельцев устройств на Android. Существуют телефоны Android всех форм и размеров, не говоря уже о разных ценовых категориях. Другими словами, Android-телефон может подойти многим. Однако поиск лучших телефонов на Android может быть сложной задачей.

1160 0

Конструирование Математика

org/Breadcrumb”>Главная
Статьи
Математика

(20.3./ 20.4.) Запишем примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, а также сформулируем определение однородного ДУ 1-го порядка.

О: В качестве дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными принято определять ОДУ первого порядка, приводящиеся к виду(ДУ с разделенными переменными).

Запишем такие уравнения:

а)

б)

Опорный конспект № 20 содержит методы решения подобных уравнений.

Пример 1: ДУ (20.1), составленное в задаче о радиоактивном распаде, представляет собой уравнение с разделяющимися переменными, оно эквивалентно дифференциальному уравнению

Пример 2:

О: Функциюможно определить в качестве однородной, если это функция-го измерения по отношению к переменными, причем при всякомсправедливо тождество

Пример 1:представляет собой однородную функцию первого измерения, поскольку

Пример 2: можно назвать функцией нулевого измерения по причине того, что

О: Однородным по отношению кии.

Учитывая то, чтообозначим однородное уравнение в следующем виде:. Таким образом, заменойпри, оно может быть записано в качестве дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (ОК № 20).

Пример:

Замечание. Уравнениеназывается однородным при условии, чтоиявляются однородными функциями одного измерения.

Нравится

Твитнуть

Теги Математика

Сюжеты Математика

Понятие об автоматах, их задание графами

(38.4.) Сформулируем понятие конечного автомата, обозначим входной алфавит, выходной алфавит, алфавит состояний, функцию переходов, функцию выходов, на рисунке изобразим граф переходов.

4115 0

Некоторые классы графов

(38.3.) Большинство графов, которые используются в приложениях (например, графы сортировок, классификаций) предполагают наличие диаграмм, именуемых деревьями. Связный неориентированный граф без циклов, в частности, предполагающий отсутствие петель и кратных ребер, именуют деревом.

Несвязный неориентированный граф без цикла — лес, его связные компоненты являются деревьями.

10108 0

Маршруты, цепи и циклы

(38.2.) В рамках обозначенной темы рассмотрим случай определения связного неориентированного мультиграфа в качестве эйлерова и гамильтонова графа.

13627 0

Комментарии (0)

Вы должны авторизоваться, чтобы оставлять комментарии.

Вход

Метод разделения переменных дифференциальных уравнений

по

Решение дифференциальных уравнений методом разделения переменных решений однородных дифференциальных уравнений первого порядка и первой степени

Метод разделения переменных один из наиболее широко используемых методов решения ОДУ. Он основан на предположении, что решение уравнения сепарабельно. Это означает, что окончательное решение может быть представлено как произведение нескольких функций. Каждая из этих функций зависит только от одной независимой переменной.

Рассмотрим уравнение первого порядка:

$\frac{dy}{dx}=f(x, y)$

Если F (x, y) можно выразить как функцию g (x) h(y ), где g(x) — функция x, а h(y) — функция y, то можно считать, что дифференциальное уравнение f(x, y) имеет тип сепарабельной переменной. Тогда дифференциальное уравнение имеет вид:

$\frac{dy}{dx}=h(y)\cdot g(x)$

Предположим, что h ≠ 0. Тогда мы также можем написать DE, разделив переменные:

$\frac{1}{h(y)}dy=g(x)dx$

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения, чтобы найти решение:

$\int{\frac{1}{h(y)}dy}=\int{g(x)dx}$

$ H(y)=G(x)+C$

В этом случае H(y) и G(x) — первообразные y и x соответственно, а C — произвольная константа.

Пример: Решите приведенное ниже уравнение, получив ответ в виде y = f(x)

Сначала мы вынесем x как общий множитель на правой стороне, поэтому

9{2}+8 $

Пример. В банке основная сумма постоянно увеличивается со скоростью 5% в год. Через сколько лет 10 000 рупий удвоятся?

Решение: пусть P будет принципалом в определенный момент времени t. Из предыдущего знания простых процентов напомним, что:

$\frac{dp}{dt}=(\frac{5}{100})\times P$

$\frac{dp}{dt}=\ frac{P}{20}$

Теперь мы можем разделить переменные x и y с обеих сторон и проинтегрировать уравнения:

9{\ frac {t} {20}} $

$ t = 20 \ log 2 $

Пожалуйста, поделитесь

Решение дифференциальных уравнений по разделимым переменным

Математические сомнения
Дифференциальные уравнения
Разделение переменных

Разделение переменных — это метод решения дифференциального уравнения, в котором функции одной переменной с соответствующим дифференциалом отделимы с одной стороны от функций другой переменной с соответствующим дифференциальным элементом. В методе разделения переменных возможны два случая. Итак, давайте изучим каждый случай с доказательствами и их математическими выражениями, чтобы понять, как решить дифференциальное уравнение путем разделения переменных функций.

Литералы $x$ и $y$ рассматриваются как переменные, а соответствующие им дифференциальные элементы равны $dx$ и $dy$ соответственно в обоих случаях.

Простое разделение

В этом случае функции через $x$ и $y$ записываются как $f(x)$ и $\phi(y)$ соответственно.

В этом случае функции одной переменной с соответствующим дифференциалом легко сдвигаются в одну сторону, а функции другой переменной с соответствующим дифференциалом сохраняются в другую часть уравнения следующим образом.

$\phi{(y)}\,dy$ $\,=\,$ $f(x)\,dx$

Теперь проинтегрируем обе части уравнения. $c_1$ и $c_2$ — константы интегрирования.

$\implies$ $\displaystyle \int{\phi{(y)}\,}dy + c_1$ $\,=\,$ $\displaystyle \int{f(x)\,}dx + c_2$

$\implies$ $\displaystyle \int{\phi{(y)}\,}dy$ $\,=\,$ $\displaystyle \int{f(x)\,}dx + c_2-c_1$

Разница констант также является константой. Следовательно, он обозначается просто константой $c$.

$\,\,\, \следовательно \,\,\,\,\,\,$ $\displaystyle \int{\phi{(y)}\,}dy \,=\, \int{f (х)\,}dx+c$

Разделение на множители

В этом случае функции через $x$ и $y$ выражаются как $g(x)$ и $h(y)$ соответственно.