Дифференциальные уравнения свойства: Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения:— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 448 с. Книга содержит изложение основ теории обыкновенных дифференциальных уравнении, включая теорию устойчивости, и вариационное, исчисление. Значительное место уделено уравнениям с частными производными первого порядка, аналитической теории дифференциальных уравнений и асимптотике решений линейных уравнений второго порядка. В новом издании (первое издание выходило в 1980 г.) добавлены методы теории возмущений при исследовании нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром. Для студентов втузов, а также для инженеров-исследователей. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛАВА 1. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 2. Уравнения с разделяющимися переменными. 3. Однородные уравнения. 4. Линейные уравнения. 5. Уравнения в полных дифференциалах. 6. Интегрирующий множитель. 7. Уравнение Бернулли. 8. Уравнение Риккати. § 3. Линейные дифференциальные уравнения. Принцип суперпозиции 2. Принцип суперпозиции. § 4. Линейное уравнепие первого порядка с постоянными коэффициентами 2. Комплексные функции вещественного аргумента. Комплексная экспонента. § 5. Линейные однородные дифференциалыше уравнения с постоянными коэффициентами 2. Случай простых корней. 3. Случай кратных корней. 4. Уравнение Эйлера. 5. Выделение вещественных решений. § 6. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 2. Ангармонические колебания. § 7. Линейные уравнения с правой частью — квазимногочленом § 8. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай простых корней § 9. Фазовая плоскость линейной системы 2. Комплексные корни. 3. Уравнение второго порядка. § 10. Линейные системы с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней § 11. Операционное исчисление § 12. Линейные разностные уравнения ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 2. Доказательство основной теоремы при n = 1. 3. Теорема Коши. § 2. Линейные нормированные пространства § 3. Принцип сжатых отображений § 4. Лемма Адамара § 5. Доказательство основной теоремы. Теорема существования и единственности для уравнений n-го порядка 2. Дифференциальные уравнения n-го порядка. 3. Комментарии к основной теореме. 4. Продолжение решений. § 6. Гладкость решений § 7. Зависимость решений от параметров и начальных условий § 8. Обратные и неявные функции 2. Теорема о неявной функции. 3. Дифференцирование сложных функций. § 9. Зависимые и независимые функции. Криволинейные координаты 2. Кривые и поверхности. 3. Криволинейные координаты. § 10. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 2. Особые решения. Огибающая. 3. Интегрирование уравнений вида (1). ГЛАВА 3. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ 2. Доказательство теоремы. 3. Линейное уравнение n-го порядка. § 2. Функции от матриц и однородные линейные системы с постоянными коэффициентами 2. Вычисление матричной экспоненты. 3. Функции от матриц. 4. Малые колебания механических систем. § 3. Линейная зависимость и независимость функций и вектор-функций. Определитель Вронского 2. Определитель Вронского. § 4. Формула Лиувилля § 5. Фундаментальные системы решений § 6. Неоднородные линейные системы с переменными коэффициентами § 7. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка 2. Уравнения второго порядка. § 8. Понижение порядка линейных и нелинейных дифференциальных уравнений § 9. Нули решений однородных линейных уравнений второго порядка 2. Теорема сравнения. § 10. Элементы аналитической теории дифференциальных уравнений. Уравнение Бесселя 2. Регулярные особые точки. 3. Уравнение Бесселя. § 11. Уравнения с периодическими коэффициентами 2. Зоны устойчивости и неустойчивости. § 12. Дельта-функция и ее применения 2. Толчки. Принцип Дюамеля. 3. Периодические толчки в системах с трением. ГЛАВА 4. АВТОНОМНЫЕ СИСТЕМЫ И ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 2. Векторные поля. Механическая интерпретация фазовых траекторий. § 2. Структура решений автономной системы в окрестности неособой точки § 3. Изменение фазового объема 2. Замечания о системах в трехмерном пространстве. § 4. Производная в силу системы. Первые интегралы 2. Первые интегралы. § 5. Одномерное движение частицы в потенциальном поле 2. Колебания маятника. 3. Эллиптические функции. 4. Движение частицы в поле с кубическим потенциалом. § 6. Устойчивость. Функция Ляпунова § 7. Устойчивость положения равновесия линейной системы § 8. Устойчивость по линейному приближению 2. Устойчивость по линейному приближению. 3. Неустойчивость по линейному приближению. 4. Устойчивость неавтономных систем. 5. Устойчивые многообразия решений (условная устойчивость). § 9. Двумерные автономные системы (элементы качественной теории) 2. Предельное поведение траекторий. 3. Функция последования. Автоколебания. ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 2. Другие примеры. 3. Классификация уравнений с частными производными 1-го порядка. § 2. Интегрирование линейных и квазилинейных уравнений 2. Квазилинейные уравнения. 3. Характеристики и интегральные поверхности. § 3. Задача Коши для линейных и квазилинейных уравнений 2. Область зависимости от начальных данных. 3. Линейные уравнения со многими переменными. 4. Квазилинейные уравнения. § 4. Линейные и нелинейные волны § 5. Нелинейные уравнения 2. Задача Коши. ГЛАВА 6. ЭЛЕМЕНТЫ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 2. Функционалы в линейных нормированных пространствах 2. Линейные функционалы. 3. Первая вариация. 4. Необходимое условие экстремума. § 3. Простейшие задачи вариационного исчисления 2. Задача с одним закрепленным и с одним подвижным концом. 3. Примеры. § 4. Функционалы, зависящие от высших производных § 5. Функционалы, зависящие от вектор-функций. Принцип наименьшего действия в механике 2. Принцип наименьшего действия. § 6. Условный экстремум § 7. Задача Лагранжа § 8. Функционалы от функций многих переменных 2. Уравнение колебаний мембраны. § 9. Достаточные условия слабого экстремума 2. Квадратичные функционалы. 3. Достаточные условия слабого экстремума. § 10. Дополнительные сведения из вариационного исчисления 2. Гамильтонова форма уравнений механики. 3. Задача с подвижными концами. § 11. Принцип максимума Понтрягина 2. Необходимые условия экстремума. ГЛАВА 7. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 2. Основные оценки 2. Оценка решений. § 3. Асимптотика решений при больших значениях аргумента 2. Неосциллирующие решения. 3. Уравнения с комплексными коэффициентами. § 4. Асимптотика решений при больших значениях параметра 2. Неосциллирующие решения. 3. Двойные асимптотики. 4. Асимптотические разложения решений. § 5. Элементы теории возмущений 2. Метод Линдштедта — Пуанкаре. 3. Метод Крылова — Боголюбова. 4. Метдд осреднения. 5. Пограничный слой и метод сращивания асимптотических разложений. 6. Метод ВКБ для нелинейных уравнений. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3.4. Линейные однородные дифференциальные уравнения

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) имеют самостоятельное значение, а также – вспомогательное значение в качестве первого этапа в процессе решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Теорема (о линейных свойствах решений ЛОДУ).

Если функции , заданные на некотором интервале , являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения, то их линейная комбинация Также является решением.

Доказательство. Если линейное однородное дифференциальное уравнение записать с помощью линейного дифференциального оператора, то это уравнение будет иметь вид . Так как дифференциальный оператор обладает свойством линейности, то

, что и доказывает теорему.

Определение. Система решений ОЛДУ, заданных на некотором интервале , называется фундаментальной, если эти решения линейно независимы на интервале , а число этих решений равно порядку дифференциального уравнения.

Теорема (критерий фундаментальности решений).

Для того чтобы система решений ОЛДУ порядка с непрерывными на некотором интервале коэффициентами Была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы Вронскиан системы был отличен от нуля во всех точках интервала .

Доказательство. Докажем достаточность условия теоремы. Если у системы решений ОЛДУ порядка , заданных на некотором интервале , Вронскиан не равен нулю во всех точках интервала , то по признаку независимости функций данная система является фундаментальной, что и доказывает достаточность условия теоремы.

Для доказательства необходимости условия теоремы, предположим обратное. Положим, что существует точка , где Вронскиан равен нулю, а система решений ОЛДУ порядка является линейно независимой.

Выберем числа , не все равные нулю, и такие, что они являются решениями однородной линейной системы уравнений

Это возможно по теореме о существовании нетривиального решения, так как определителем этой системы является Вронскиан , который по предположению равен нулю. Линейная комбинация решений Также является решением. Из вида построенной системы следует, что числа Есть коэффициенты решения задачи Коши с начальными условиями вида .

Но таким же начальным условиям удовлетворяет и нулевое решение . Так как по условию доказываемой теоремы коэффициенты ОЛДУ непрерывны на интервале , то справедлива теорема о существовании и единственности решения на интервале . Отсюда следует, что построенное решение и нулевое решение совпадают, т. е. , причем не все числа Одновременно равны нулю. Это означает, что решения линейно зависимы, хотя предполагалось обратное. Полученное противоречие завершает доказательство необходимости условия теоремы. Таким образом, теорема полностью доказана.

Теорема (о структуре общего решения ЛОДУ).

Если ОЛДУ порядка с непрерывными на некотором интервале коэффициентами имеет фундаментальную систему из решений, то линейная комбинация произвольных постоянных И Решений , является общим решением ОЛДУ.

Доказательство. В теореме о линейных свойствах ОЛДУ утверждается, что линейная комбинация Является решением. Докажем далее, что эта линейная комбинация является общим решением, т. е. в любой точке для допустимых начальных условий существует решение задачи Коши, которое получается из общего решения при некоторых значениях произвольных постоянных. Подставляя начальные условия в общее решение и его производные до – го порядка, получим систему линейных уравнений

Определителем этой системы является Вронскиан , который не равен нулю, поскольку по условию теоремы решения образуют фундаментальную систему. При условии данная система линейных неоднородных алгебраических уравнений имеет единственное решение относительно неизвестных , которое обозначим как . Линейная комбинация вида является решением, получена из общего решения при некоторых значениях Произвольных постоянных и по построению удовлетворяет начальным условиям. Таким образом, теорема полностью доказана.

Если начальные значения Удовлетворяют условиям теоремы Коши, то функция Является единственным решением задачи Коши.

Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициентами вида ,

Где – некоторые числа.

Так как постоянные функции непрерывны на любом промежутке, то по теореме о структуре общего решения ОЛДУ для того, чтобы найти общее решение данного уравнения достаточно построить фундаментальную систему решений .

Как было предложено Л. Эйлером, будем искать частное решение ОЛДУ с постоянными коэффициентами в виде экспоненциальной функции , где – некоторое число. Дифференцируя эту функцию раз и подставляя полученные функции в решаемое дифференциальное уравнение получим следующие равенства:

.

Так как экспоненциальная функция строго положительна, то обязательно равен нулю полином -ой степени, т. е. . Полученное алгебраическое уравнением называют Характеристическим уравнением ОЛДУ.

Формально характеристическое уравнение ОЛДУ находят, подставляя в дифференциальное уравнение вместо Соответственно .

Таким образом, если некоторое число является решением данного характеристического уравнения ОЛДУ, то экспоненциальная функция является решением ОЛДУ.

Из основной теоремы алгебры следует, что характеристическое уравнение ОЛДУ имеет корней с учетом их кратности. Рассмотрим следующие варианты.

1. Все корней вещественные и различные.

Если ОЛДУ с постоянными коэффициентами имеет второй порядок, то характеристическое уравнение является квадратным уравнением вида . Каждому корню Соответствуют частные решения ,. Как было показано ранее в примере, эти функции являются линейно независимыми. Для уравнения второго порядка это означает, что система функций , образует фундаментальную систему решений ОЛДУ. Из теоремы о структуре общего решения ОЛДУ следует, что линейная комбинация Является общим решением ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пример. Решить ОЛДУ второго порядка .

Характеристическое уравнение данного ОЛДУ имеет вид . Оно имеет вещественные различные корни , . Каждому корню Соответствуют частные решения , , которые образуют фундаментальную систему решений.

Отсюда, есть общее решение ОЛДУ.

Доказано, что ОЛДУ с постоянными коэффициентами порядка в том случае, когда все корни характеристического уравнения вещественные и различные, имеет общее решение аналогичного вида .

Пример. Найти общее решение ОЛДУ третьего порядка .

Характеристическое уравнение данного ОЛДУ имеет вид .

Оно имеет вещественные различные корни , , .

Отсюда, есть общее решение данного ОЛДУ третьего порядка с постоянными коэффициентами.

2. Все корней вещественные, но среди них есть кратные.

Рассмотрим вначале и более подробно ОЛДУ с постоянными коэффициентами второго порядка. Его характеристическое уравнение является квадратным уравнением вида , которое может иметь один корень кратности два. Этому корню соответствует частное решение . Второе частное решение ищем в виде .

Подставим функцию в исходное дифференциальное уравнение. Тогда

.

В правой части последнего равенства первая скобка равна нулю, так как Есть корень характеристического уравнения, а вторая скобка равна нулю, так как в данном случае дискриминант квадратного уравнения равен нулю и, следовательно, .

Таким образом, показано, что предлагаемая функция есть решение.

Ранее в примере было показано, что функции , являются линейно независимыми. Для уравнения второго порядка это означает, что система функций , образует фундаментальную систему решений ОЛДУ.

Из теоремы о структуре общего решения ОЛДУ следует, что линейная комбинация

Является общим решением ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пример. Решить ОЛДУ второго порядка .

Характеристическое уравнение данного ОЛДУ имеет вид . Оно имеет один вещественный корень кратности два. Для уравнения второго порядка это означает, что система функций , образует фундаментальную систему решений ОЛДУ. Из теоремы о структуре общего решения ОЛДУ следует, что линейная комбинация Является общим решением ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

В общем случае дифференциального уравнения порядка каждому простому корню соответствует одно частное решение вида , а каждому корню кратности соответствует частных решений вида .

Доказано, что общее решение ОЛДУ с постоянными коэффициентами порядка в данном случае представляет собой линейную комбинацию произвольных постоянных И частных фундаментальных решений указанных выше видов.

Пример. Найти общее решение ОЛДУ с постоянными коэффициентами четвертого порядка .

Характеристическое уравнение имеет один простой корень и корень кратности три.

Общее решение данного уравнения в соответствии с изложенной теорией имеет вид

.

3. Среди корней могут быть как вещественные, так и комплексные корни.

Если характеристическое уравнение имеет вещественные коэффициенты, то, как было доказано ранее в теории алгебраических уравнений, каждому комплексному корню обязательно соответствует сопряженный корень .

Рассмотрим вначале ОЛДУ с постоянными вещественными коэффициентами второго порядка. Если его характеристическое уравнение содержит комплексный корень вида , то второй корень обязательно имеет вид . Частными решениями такого ОЛДУ являются функции , .

Так как исходное ОЛДУ имеет вещественные коэффициенты, то полезно наряду с решениями, представленными в комплексной форме, иметь вещественные решения.

Воспользуемся формулами Эйлера, и представим решения в тригонометрическом виде

.

Далее, построим линейные комбинации этих решений следующего вида:

, .

По теореме о линейных свойствах решений данные функции также являются решениями исходного ОЛДУ. Составим Вронскиан для этих решений

.

Так как экспоненциальная функция строго положительна, а характеристическое уравнение имеет комплексные корни (, то Вронскиан всегда отличен от нуля. В соответствии с критерием фундаментальности, решения , являются линейно независимыми, и для уравнения второго порядка образует фундаментальную систему решений.

Из теоремы о структуре общего решения ОЛДУ следует, что линейная комбинация

Является общим решением ОЛДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, если его характеристическое уравнение имеет два комплексных корня.

Пример. Решить ОЛДУ второго порядка .

Характеристическое уравнение данного ОЛДУ имеет вид . Уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней и . Из общей теории следует, что решения , являются линейно независимыми и для уравнения второго порядка образует фундаментальную систему решений. Из теоремы о структуре общего решения ОЛДУ следует, что линейная комбинация является общим решением данного ОЛДУ второго порядка с вещественными коэффициентами.

В общем случае каждой паре простых комплексно-сопряженных корней соответствует два частных решения вида , , а каждой паре корней кратности соответствует частных решений следующего вида:

,

.

Доказано, что общее решение ОЛДУ порядка с постоянными вещественными коэффициентами в общем случае представляет собой линейную комбинацию произвольных постоянных И фундаментальных решений всех указанных выше видов.

Пример. Решить ОЛДУ пятого порядка .

Характеристическое уравнение данного ОЛДУ имеет вид . Оно имеет один вещественный корень и пару комплексно-сопряженных корней , Кратности два.

В соответствии с общей теорией система функций , , Является фундаментальной системой решений, а линейная комбинация есть общее решение данного ОЛДУ пятого порядка с вещественными коэффициентами.

< Предыдущая		Следующая >

-Дифференциальные уравнения высшего порядка и структурные свойства приближенных корней полиномов -модифицированных расстройств

На этой странице

АннотацияВведениеЗаключениеДоступность данных -модифицированные полиномы расстройств и подтверждают структуру корней аппроксимации. Кроме того, он устанавливает некоторые симметричные свойства -дифференциальных уравнений высокого порядка и специальные свойства корней аппроксимации полиномов -модифицированных расстройств.

1. Введение

1.1. Дифференциальное уравнение Бернулли

— это уравнение, где — любое действительное число, а и — непрерывные функции на отрезке. Среди всех дифференциальных уравнений дифференциальное уравнение Бернулли преобразует нелинейные уравнения в линейные уравнения. Если или , приведенное выше уравнение является линейным, а если нет, то уравнение нелинейным. Подстановкой дифференциальное уравнение Бернулли можно свести к линейному дифференциальному уравнению. Затем он приходит к линейному уравнению для . Это уравнение можно применять к задачам, связанным с нелинейными дифференциальными уравнениями, уравнениями о населении, выраженными в логистических уравнениях, или уравнениями Ферхюльста, физикой и т. д.

Если в (1) дифференциальное уравнение Бернулли имеет решение, являющееся производящей функцией модифицированных полиномов расстройств, см. [1, 2].

Для модифицированные числа нарушений и полиномы могут быть выражены соответственно.

Таблица 1 представляет собой первые несколько примеров модифицированных чисел расстройств и полиномов.

Основываясь на изложенном выше понятии и -числах, рассмотрим -дифференциальное уравнение Бернулли первого порядка . Кроме того, можно считать, что -модифицированные полиномы расстройств являются решением следующего -дифференциального уравнения первого порядка в (1).

Целью данного исследования является нахождение -дифференциального уравнения Бернулли с решением полиномов -модифицированных расстройств. Кроме того, мы получаем характеристические свойства, визуализируя аппроксимационные корни многочленов -модифицированных расстройств.

Несколько математиков открыли -дифференциальные уравнения, используя в качестве решения специальные многочлены и изучая их свойства и тождества, см. [3–7]. -дифференциальное уравнение, основанное на -полиномах Эрмита, изучалось Эрмосо, Уэртасом и Ластрой в [8]. В [9, 10], явления корней для различных видов многочленов, связанных с дифференциальными уравнениями, были исследованы Риу. Кроме того, были найдены различные свойства многочленов с использованием -рядов, -производных, -распределений и т. д., см. [9, 11–13].

Чтобы заложить основу для достижения цели данного исследования, ниже приведены определения и теоремы, а также приведены их положения.

Джексон ввел -число, играющее важную роль в -исчислении, см. [4, 14]. На основе открытия -числа изучаются полезные результаты в -рядах, -специальных функциях, квантовых алгебрах, -дискретных распределениях, -дифференциальных уравнениях, -исчислении и т. д., см. [15, 16]. Здесь мы кратко рассмотрим несколько концепций -исчисления, которые нам понадобятся для этого исследования.

Пусть с . Число называется -числом, см. [6, 16]. Мы отмечаем это. В частности, при , называется -целым.

-Гауссовские биномиальные коэффициенты определяются где и являются целыми неотрицательными числами, см. [17]. Для значение равно 1, так как числитель и знаменатель являются пустыми произведениями. Одни заметки и.

Определение 1. Позвольте быть любое комплексное число с . -Экспоненциальные функции могут быть выражены следующим образом: (i) (ii)Для , где -символ -Похгаммера.
Отметим, что , см. [12, 16].

Теорема 1. Из определения 1 заметим, что

Определение 2. -Производная функции по определяется равенством и .
Можно доказать, что дифференцируема в нуле, и ясно, что , см. [6, 14–16]. Из определения 2 есть несколько формул для -производной.

Теорема 2. Из определения 2 мы замечаем, что

Наша конечная цель состоит в том, чтобы найти решение полиномов -модифицированных расстройств, наблюдая различные -дифференциальные уравнения более высокого порядка. В разделе 2 мы определяем числа и полиномы -модифицированных расстройств, упоминаем несколько форм -дифференциальных уравнений высокого порядка и проверяем связанные с ними симметричные свойства. Наконец, в разделе 3, наблюдая за значениями чисел -модифицированных расстройств, будут показаны аппроксимационные корни полиномов -модифицированных расстройств, и будет организовано несколько предположений для этих чисел и полиномов.

2. Различные типы -дифференциальных уравнений высшего порядка, связанных с полиномами -модифицированных расстройств

В этом разделе определяются полиномы -модифицированных расстройств, а также различные виды -дифференциальных уравнений более высокого порядка, связанных с этими полиномами. представил. Кроме того, мы находим несколько симметричных свойств -дифференциального уравнения более высокого порядка.

Определение 3. Для и полиномы -модифицированных расстройств определяются с помощью следующей производящей функции следующим образом: Из определения 3 мы отмечаем, что здесь мы определяем как числа -модифицированных расстройств. Числа -модифицированных расстройств связаны с полиномами -расстройств, см. [1].

Теорема 3. -Модифицированные полиномы расстройств являются решением -дифференциального уравнения, которое можно представить в виде

Доказательство. Когда , производящая функция полиномов -модифицированных расстройств имеет Левая часть (12) может быть изменена на Используя (12) и (13), применяя правило произведения Коши и сравнивая коэффициенты обеих частей уравнения результата, имеем Применяя -производную в , находим связь между и как Подставляя (15) в левую часть (14), получаем показанный результат.

Следствие 1. Когда в теореме 3 выполняется утверждение, что где – полиномы модифицированных расстройств.

Теорема 4. Решением следующего -дифференциального уравнения высшего порядка являются -модифицированные полиномы расстройств, которые можно представить следующим образом: Используя свойство -экспоненциальной функции в производящей функции полиномов -модифицированных расстройств, находим Предположим, что в (18). Тогда имеем Из степенного ряда -экспоненциальных функций левая часть (19) можно преобразовать как Сравнивая (19) и (20), имеем Применяя -производную в , получаем соотношение типа Из (21) и (22) находим Комбинируя (21) и (23), получаем желаемый результат.

Следствие 2. Пусть в теореме 4. Тогда получаем где – модифицированные полиномы расстройств.

Теорема 5. -модифицированные полиномы расстройств являются решением следующего -дифференциального уравнения более высокого порядка, которое объединено с числами -модифицированных расстройств:

Доказательство. Сначала применяем -производную после подстановки вместо в производящую функцию -модифицированных полиномов расстройств . Тогда получаем Из (26) имеем Из производящей функции полиномов -модифицированных расстройств также имеем Сравнивая (27) и (28), получаем Применяя соотношение (22) в (29), получаем и это уравнение дает нам требуемый результат.

Следствие 3. Полагая в теореме 5, получаем где – число модифицированных расстройств, – полиномов модифицированных расстройств.

Теорема 6. Полиномы -модифицированных расстройств являются решением -дифференциального уравнения высшего порядка, где – числа -модифицированных расстройств.

Доказательство. применить -производную после подстановки вместо в . Тогда имеем Аналогичным образом находим (27) и (28), получаем Из (34) и (35) имеем Здесь находим связь между и следующим образом: Используя (37) в левой части (36) имеем В силу (38) можно закончить доказательство теоремы 6.

Следствие 4. Составляя теорему 6, получаем, что где – числа модифицированных расстройств и – полиномы модифицированных расстройств.

Теперь мы используем несколько подходящих форм для нахождения симметричных свойств -дифференциального уравнения более высокого порядка. Для получения различных симметричных свойств -дифференциального уравнения более высокого порядка, которое объединяет другие числа и многочлены, нижеприведенные формы являются основными.

Теорема 7. Пусть , , и . Тогда получаем

Доказательство. Для получения симметрического свойства -дифференциального уравнения высшего порядка для -модифицированных полиномов расстройств рассмотрим форму вида Из вида имеем Из (42) и (43) находим Подставляя (37) в (44), получаем Из (45), завершаем доказательство теоремы 7.

Следствие 5. Полагая в теореме 7, имеем

Следствие 6. рассмотрим в теореме 7; тогда получаем

Теорема 8. Пусть , , и . Тогда у нас есть

Доказательство. Предположим, что форма as Используя , желаемый результат может быть получен аналогично доказательству теоремы 7. Поэтому мы опускаем процесс доказательства.

Следствие 7. Полагая в теореме 8, имеем

Следствие 8. рассмотрим в теореме 8; тогда мы получаем

3. Визуализация корней аппроксимации полиномов -модифицированных расстройств

В этом разделе рассматриваются корни аппроксимации полинома -модифицированных расстройств. Чтобы подтвердить несколько гипотез для -модифицированных расстройств, мы показываем структуру корней аппроксимации этих многочленов. Мы используем MATHEMATICA для получения изображений и результатов расчета.

На основе производящей функции числа -модифицированных нарушений находятся следующим образом:

Из приведенных выше чисел -модифицированных нарушений в Таблице 2 показаны аппроксимационные значения которых появляются при изменении значений . В таблице 1, по мере увеличения значения, мы можем наблюдать, что значение аппроксимации числа -модифицированных расстройств также увеличивается.

Пользуясь таблицей 2, мы можем увидеть положение , показанное изменением и , как показано на рисунке 1. Неотрицательные целые числа 9Ось 0035 x представляет значения на рисунке 1. Здесь линии отображают вариации аппроксимационных значений для -модифицированных чисел нарушений. Синие точки, желтые квадраты и зеленые ромбы на рис. 1 представляют собой аппроксимационные значения -модифицированных чисел нарушений при соответственно. Например, синяя точка над значением 6 на действительной оси показывает приближенное значение , а желтый квадрат указывает приближенное значение .

Из таблицы 2 и рисунка 1 можно сделать следующий вывод.

Гипотеза 1. По мере увеличения и приближения к 1 значение приближения увеличивается.

Используя производящую функцию полиномов -модифицированных расстройств, находятся следующим образом:

На основании полученного полинома находим особые свойства значений аппроксимаций, которые проявляются в зависимости от значения полиномов -модифицированных расстройств. Здесь мы установили значения равные 0,01, 0,001 и 0,0001 соответственно, потому что чрезвычайно малое значение представляет свойства полиномов -модифицированных расстройств. Мы экспериментируем с -модифицированными полиномами расстройств в двух целях. Первый — проверить структуру корней аппроксимации и найти наиболее похожий на нее многоугольник. Во-вторых, найти аппроксимационные значения действительного числа среди аппроксимационных корней, входящих в -модифицированные полиномы расстройств.

Для достижения первой цели на рис. 2 показана структура приближенных корней -модифицированных полиномов расстройств. Здесь диапазон от 0 до 50, а значение меняется. На рисунке 2 значение в (a) равно 0,01, значение в (b) равно 0,001, а значение в (c) равно 0,0001. Характеристика, которая может быть подтверждена в структуре корней аппроксимации на рисунке 2(c), заключается в том, что по мере увеличения продолжает накапливаться один корень аппроксимации, близкий к началу координат. Структуры корней аппроксимации, показанные на рисунке 2, кажутся более круглыми по мере увеличения.

По результатам рисунка 2 находим рисунок 3. На рисунке 3 представлена ​​структура корней аппроксимации при значении 50. На рисунке 3 значение in (a) равно 0,01, значение in (b ) равно 0,001, а значение в (с) равно 0,0001. Здесь мы устанавливаем красные точки для обозначения корней аппроксимации, синие точки для обозначения центра круга и синие линии для соединения красных точек. Также для получения ближайших к корням аппроксимации синих линий исключаются действительные корни.

Таблица 3 – результат вычисления точных значений на рисунке 3. Из таблицы 3 видно, что с уменьшением значения структура корней аппроксимации имеет форму, близкую к окружности, а радиус круг приближается к 1.

Из рисунков 2 и 3 и таблицы 3 мы делаем следующее предположение.

Гипотеза 2. При уменьшении 0,001 структура корней аппроксимации, расположенных на окружности, будет иметь радиус, близкий к 1,

Далее, исходя из рисунка 2, находим корни аппроксимации, разделяя их на действительные и мнимые корни. Поскольку нас интересуют действительные корни, их можно получить, как показано в таблице 4, путем нахождения и выражения действительных корней.

Мы можем найти специальное свойство для -модифицированных полиномов расстройств в таблице 4. Таблица 4 показывает, что только полиномы нечетного порядка имеют действительные корни аппроксимации, даже если значение изменяется, и существует только один действительный корень аппроксимации. Поэтому мы можем сделать следующие предположения.

Гипотеза 3. -модифицированные полиномы расстройств имеют только один действительный корень аппроксимации в полиномах нечетного порядка независимо от изменения -числа.

4. Заключение

Мы организовали -дифференциальное уравнение с решением полиномов -модифицированных расстройств и нашли соответствующие симметричные свойства. Мы также рассмотрели распределение корней аппроксимации полиномов -модифицированных расстройств и их явления. В результате можно сделать некоторые предположения и считать, что соответствующие исследования следует продолжить.

Доступность данных

Данные, используемые для поддержки результатов этого исследования, могут быть получены от соответствующего автора по запросу.

Конфликт интересов

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов в связи с публикацией данной статьи.

Ссылки

1. Н. Густафссон и Л. Д. Солус, «Теория Эрхарта и локальные h-полиномы», Успехи в области математики , том. 369, 2020.

   Просмотр:

   Google Scholar

2. Т. Ким, Д. С. Ким, Г. В. Джанг и Дж. Ю. Квон, «Примечание о некоторых тождествах полиномов расстройства», Journal of Inequalities and Applications , vol. 2018, стр. 40–17, 2018.

   Посмотреть по адресу:

   Сайт издателя | Google Scholar

3. И. Олдавиш и Р. В. Ибрагим, «Разрешимость нового q -дифференциального уравнения, связанного с q -дифференциального неравенства специального типа аналитических функций», Фрактальный и дробный , том. 5, 2021.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

4. Х. Ф. Джексон, «О q-функциях и одном операторе разности», Transactions of the Royal Society of Edinburgh , vol. 46, стр. 253–281, 2013.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

5. Т. Е. Мейсон, «О свойствах решения линейных уравнений q-разности с коэффициентами целых функций», American Journal of Mathematics , том. 37, стр. 439–444, 1915.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

6. Ю. Шэн и Т. Чжан, «Некоторые результаты по q-исчислению и дробным q-дифференциальным уравнениям», Математика , том. 10, 2022.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

7. WJ Trjitzinsky, «Аналитическая теория линейных q-разностных уравнений», Acta Mathematica , vol. 61, 1933.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

8. К. Эрмосо, Э. Дж. Уэртас, А. Ластра и А. Сориа-Лоренте, «О q -разностных уравнениях второго порядка для соболевских q -ортогональных многочленов Эрмита высокого порядка», 2021, https ://arxiv.org/abs/2106.13726.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

9. C. S. Ryoo, «Примечание о нулях полиномов q-Бернулли», Journal of Applied Mathematics and Informatics , vol. 28, стр. 805–811, 2010.

   Просмотр:

   Google Scholar. 6, стр. 1–6, 2022.

   Посмотреть по адресу:

   Google Scholar

10. Р. Д. Кармайкл, «Общая теория линейных уравнений q-разности», American Journal of Mathematics , vol. 34, стр. 147–168, 1912.

    Просмотр по адресу:

    Google Scholar

11. Дж. Ю. Канг и К. С. Рю, «Явные тождества с использованием геометрических полиномов, возникающих из дифференциальных уравнений и их нулей», Journal of Applied Mathematics and Informatics , vol. 40, стр. 461–473, 2022.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

12. Н. Д. Вей, «Обобщенные полиномы типа q-Лагерра и уравнения q в частных производных», Filomat , vol. 33, стр. 1403–1415, 2019 г..

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

13. Х. Ф. Джексон, «Уравнения q-Difference», American Journal of Mathematics , vol. 32, стр. 305–314, 1910.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

14. Г. Бангерезако, «Вариационное q-исчисление», Journal of Mathematical Analysis and Applications , vol. 289, стр. 650–665, 2004.

    Посмотреть по адресу:

    Google Scholar

15. В. Кац и П. Ченг, Квантовое исчисление; Часть серии Universitext Book (UTX) , Springer, Switzerland, 2002.

16. J. Конвалина, «Единая интерпретация биномиальных коэффициентов, чисел Стирлинга и коэффициентов Гаусса», The American Mathematical Monthly , том. 107, нет. 10, стр. 901–910, 2000.

    Посмотреть по адресу:

    Сайт издателя | Google Scholar

Copyright

Copyright © 2022 Cheon Seoung Ryoo and Jung Yoog Kang. Эта статья находится в открытом доступе и распространяется в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License, которая разрешает неограниченное использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего цитирования оригинальной работы.

Теорема эквивалентности свойств A, B для дифференциальных уравнений третьего порядка

Теорема эквивалентности свойств A, B для дифференциальных уравнений третьего порядка

Скачать PDF

Скачать PDF

• Опубликовано: Декабрь 1997 г.

• М. Чекки ^{nAff1 ,}
• З. Досла ^{nAff2 и}
• М. Марини ^nAff1 Математический Аннали Чистый и Прикладной том 173 , страницы 373–389 (1997 г. )Процитировать эту статью

  • 107 доступов

  • 14 цитирований

  • Сведения о показателях

  Аннотация

  Дифференциальные уравнения часто классифицируют в соответствии с колебательными/неколеблющимися свойствами их решений как уравнения, обладающие свойством A или свойством B. Цель статьи состоит в том, чтобы сформулировать теорему эквивалентности между свойством A и свойством B для дифференциальных уравнений третьего порядка. Приведены также некоторые приложения как к линейным, так и к нелинейным уравнениям. В частности, мы приводим интегральные критерии, обеспечивающие свойство А или В для нелинейных уравнений. Единственным нашим предположением о нелинейности является ее сверхлинейность в окрестности бесконечности, поэтому наши результаты применимы также к уравнениям типа Эмдена-Фаулера .

  Скачайте, чтобы прочитать полный текст статьи

  Каталожные номера

  1. М. Бартушек, О структуре решений системы трех дифференциальных неравенств , Арх. Math., 30 (1994), стр. 117–130.

     Google Scholar

  2. М. Чекки -М. Марини-Габриэле Виллари, О циклическом неосцилляторном операторе, связанном с линейными дифференциальными уравнениями , Аннали мат. Pura Appl., IV, CLXX (1996), стр. 297–309.

     Google Scholar

  3. М. Чекки – З. Дошла – М. Марини, Некоторые свойства дифференциальных операторов третьего порядка , Чеш. Мат. Дж. (1996).

  4. М. Чекки-З. Дошла -М. Марини-Габриэле Виллари, О качественном поведении решений дифференциальных уравнений третьего порядка , J. Math. Анальный. Заявка, 197 (1996), стр. 749–766.

     Google Scholar

  5. М. Чекки-З. Дошла -М. Marini, Теоремы сравнения для дифференциальных уравнений третьего порядка , Proceedings of Dynamic Systems and Appl., 2 (1996), стр. 99–106.

     Google Scholar

  6. Т. А. Чантурия, Некоторые теоремы сравнения для обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка (рус.) , Бык. акад. Полон. науч. сер. науч. мат., астр. Phys., 20 (1977), стр. 749–756.

     Google Scholar

  7. Т. А. Чантурия, О монотонных и колебательных решениях обыкновенных дифференциальных уравнений , Аннал. Полон. Math., 37 (1980), стр. 93–111.

     Google Scholar

  8. Т. А. Чантурия, О колеблемости решений линейных дифференциальных уравнений высокого порядка (рус.) , Респ. сем. И. Н. Векуа инст. заявл. Math., 16 (1982), стр. 3–72.

     Google Scholar

  9. Т. А. Чантурия, О колебательных свойствах системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений , Тр. И. Н. Векуа инст. заявл. Матем., Тбилиси, 14 (1983), стр. 163–203.

     Google Scholar

  10. Ю. Джурина, Теоремы сравнения для функционально-дифференциальных уравнений с расширенным аргументом , Болл. У. М. И. (7), 7-А (1993), стр. 461–470.

      Google Scholar

  11. M. Gaudenzi, О теореме Штурма-Пиконе для дифференциальных уравнений n-го порядка , Siam J. Math. Анал., 21 (1990), стр. 980–994.

      Google Scholar

  12. М. Грегуш, Линейное дифференциальное уравнение третьего порядка , D. Reidel Publ. Comp., Дордрехт, Бостон, Ланкастер, Токио, 1987.

      Google Scholar

  13. М. Грегуш -М. Грегуш мл., Асимптотические свойства решений одного неавтономного нелинейного дифференциального уравнения третьего порядка , Болл. У. М. И. (7), 7-А (1993), стр. 341–350.

      Google Scholar

  14. М. Ханан, Критерии колебаний для линейного дифференциального уравнения третьего порядка , Pacific J. Math., 11 (1961), стр. 919–944.

      Google Scholar

  15. П. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения , 2-е изд. , Биркхойзер, Бостон, 1982.

      Google Scholar

  16. И. Т. Кигурадзе -Т. А. Чантурия, Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений , Kluwer Academic Publishers, Дордрехт-Бостон-Лондон, 1993.

      Google Scholar

  17. Т. Кусано -М. Наито-К. Tanaka, Колебательное и асимптотическое поведение решений одного класса линейных обыкновенных дифференциальных уравнений , Proc. Королевский соц. Эдинбург, 90 A (1981), стр. 25–40.

      Google Scholar

  18. J. Ohriska, Колебание дифференциальных уравнений и ν-производных , Чеш. Мат. Дж., 39 (114) (1989), стр. 24–44.

      Google Scholar

  19. J. Ohriska, Осцилляционные и асимптотические свойства линейных дифференциальных уравнений третьего и четвертого порядка , Чеш. Мат. J., 39 (114) (1989), стр. 215–224.

      Google Scholar

  20. J. Ohriska, Сопряженные дифференциальные уравнения и колебания , J. Math. Анальный. Апл., 195 (1995), стр. 778–796.

      Google Scholar

  21. CA Swanson, Сравнение и теория колебаний линейных дифференциальных уравнений , Acad. Press, Нью-Йорк, 1968.

      Google Scholar

  22. M. Švec, Sur une Propriété integrale de l’equation y ⁽ⁿ⁾ +Q(x)y=0, n=3, 4, Чеш. Мат. J., 7 (1957), стр. 450–462.

      Google Scholar

  23. М. Швец, Поведение неколебательных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений , Acta Math. ун-т Comenianae, 34 (1980), стр. 115–130.

      Google Scholar

  24. Гаэтано Виллари, Вклад в студию, посвященную анализу уравнений x‴(t)+p(t)x(t)=0 , Ann. Мат. Pura Appl., IV, LI (1960), стр. 301–328.

      Google Scholar

  Скачать ссылки

  Информация об авторе

  Примечания автора

  1. М. Чекки и М. Марини

     Текущий адрес: Отд. электр. инженер, Университет Флоренции, Via S. Marta 3, 50139, Флоренция, Италия

  2. Z. Doslá

     Текущий адрес: Depart. математики, Масариков университет, Janáckovo nám. 2а, 66295, Брно, Чехия

  Авторы и филиалы

  Авторы

  1. М. Чекки

     Просмотр публикаций автора

     Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  2. Z. Doslá

     Просмотр публикаций автора

     Вы также можете искать этого автора в PubMed Google Scholar

  3. M.