Дифференциальные уравнения третьего порядка примеры: Дифференциальные уравнения высших порядков

Содержание

Решение неоднородных дифференциальных уравнений третьего порядка

Теорию вычислений неоднородных дифференциальных уравнений (ДУ) приводить в данной публикации не будем, из предыдущих уроков Вы можете найти достаточно информации, чтобы найти ответ на вопрос “Как решить неоднородное дифференциальное уравнение?” Степень неоднородного ДУ здесь большой роли не играет, не так уж и много имеется способов, которые позволяют вычислить решение подобных ДУ. Чтобы Вам было легко читать ответы в примерах основной акцент сделан только на методику вычислений и подсказки, которые облегчат вывод конечной функции.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение
Решение: Задано однородное дифференциальное уравнение третьего порядка, причем оно содержит лишь вторую и третью производные и не имеет функции и ее первой производной. В таких случаях применяют метод понижения степени дифференциального уравнения. Для этого вводят параметр – обозначим вторую производную через параметр p

тогда третья производная функции равна

Исходное однородное ДУ упростится к виду

Записываем его в дифференциалах, далее сводим к уравнению с разделенными переменными и находим решение интегрированием

Вспоминаем что параметр это вторая производная функции

поэтому для нахождения формулы самой функции дважды интегрируем найденную дифференциальную зависимость

В функции сталые C1, C2, C3 – равны произвольным значениям.
Вот так просто выглядит схема позволяющая найти общее решение однородного дифференциального уравнения методом введения параметра. Следующие задачи более сложные и из них вы научитесь решать неоднородные дифференциальные уравнения третьего порядка. Между однородными и неоднородными ДУ в плане вычислений является некоторое различие, в этом Вы сейчас убедитесь.

 

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение:Имеем неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка. Поэтому его решение следует искать в вид суммы двух – решения однородного и частного решения неоднородного уравнения

Решим сначала однородное дифференциальное уравнение

Как видите оно содержит только вторую и третью производную функции и не содержит самой функции. Такого сорта диф. уравнения решают методом введения параметра, что в в свою очередь снижает и упрощает нахождение решения уравнения. На практике это выглядит следующим образом: пусть вторая производная равна определенной функции , тогда третья производная формально будет иметь запись

Рассмотренное однородное ДУ 3 порядка преобразуется к уравнению первого порядка

откуда разделяя переменные находим интеграл
x*dp-p*dx=0;

Сталые в таких задачах рекомендуем нумеровать, поскольку решение дифференциального уравнения 3 порядка имеет 3 постоянные, четвертого – 4 и и дальше по аналогии. Теперь возвращаемся к введенному параметру: поскольку вторая производная имеет вид то интегрируя ее один раз мы имеем зависимость для производной функции

и повторным интегрированием находим общий вид однородной функции

Частичное решение уравнения запишем в виде переменной умноженной на логарифм. Это следует из того что правая (неоднородная) часть ДУ равна -1/x и чтобы получить эквивалентную запись

следует решение искать в виде

Найдем коэффициент A, для этого вычислим производные первого и второго порядков

Подставим найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

Сталая равна -1/2, а решение неоднородного уравнения имеет вид

Общее решение дифференциального уравнения записываем в виде суммы найденных

где C1, C2, C3– произвольные константы которые можно уточнить с задачи Коши.

 

Пример 3. Найти интеграл ДУ третьего порядка
Решение:Ищем общий интеграл неоднородного ДУ третьего порядка в виде суммы решения однородного и частичного неоднородного уравнения . Сначала для любого типа уравнений начинаем анализировать однородное дифференциальное уравнение

Оно содержит только вторую и третью производные неизвестной пока функции. Вводим замену переменных (параметр): обозначим за вторую производную

Тогда третья производная равна

Такие же преобразования выполняли в предыдущем задании. Это позволяет свести дифференциальное уравнения третьего порядка к уравнению первого порядка вида

Интегрированием находим решение однородного уравнения

Вспоминаем, что в соответствии с заменой переменных это всего лишь вторая производная

а чтобы найти решение однородного дифференциального уравнения третьего порядка ее нужно дважды проинтегрировать

Исходя из вида правой стороны (неоднородной части =x+1), частичное решение уравнения ищем в виде

Как знать в каком виде искать частичный решение Вас должны были научить в теоретической части курса дифференциальных уравнений. Если нет, то можем только подсказать, что за функцию выбирают такое выражение чтобы при подстановке в уравнение слагаемое, содержащее старшую производную или моложе был одного порядка (подобный) с неоднородной частью уравнения

Думаю теперь Вам понятнее, откуда берется вид частного решения. Найдем коэффициенты A, B, для этого вычисляем вторую и третью производную функции

и подставляем в дифференциальное уравнение. После группировки подобных слагаемых получим линейное уравнение

из которого при одинаковых степенях переменной составляем систему уравнений

и находим неизвестные сталые. После их подстановки частичное решение уравнения выражается зависимостью

Общее решение дифференциального уравнения равно сумме однородного и частичного и имеет вид

где С1, С2, С3 – произвольные константы.

 

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение
Решение:Имеем неоднородное дифференциальное уравнение третьего порядка решение которого будем находить через сумму . Схема вычислений Вам известна, поэтому переходим к рассмотрению однородного дифференциального уравнения

По стандартной методике вводим параметр
Исходное дифференциальное уравнение примет вид , откуда разделив переменные находим интеграл однородного уравнения

Вспоминаем что параметр равен второй производной
Интегрируя ДУ получим первую производную функции

Повторным интегрированием находим общий интеграл однородного дифференциального уравнения

Частичное решение уравнения ищем в виде , так как правая часть равна
Найдем коэффициент A – для этого подставим y* в дифференциальное уравнение и приравняем коэффициент при одинаковых степенях переменной

После подстановки и группировки слагаемых получим зависимость

из которой сталая равна A=8/3.
Таким образом, можем записать частичное решение ДУ

Общее решение дифференциального уравнения равно сумме найденных

где С1, С2, С3 – произвольные константы. Если заданно условие Коши, то их очень легко можем доопределить.

Считаю, что материал Вам пригодится при подготовке к практическим занятиям, модулям или контрольной работе. Здесь не разбирали задачу Коши, однако из предыдущих уроков Вы в целом знаете как это сделать.

Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.

Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.

Для более глубокого понимания происходящего в этой статье можно ознакомиться с краткой теоретической справкой.

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений третьего порядка

Здесь x(t), y(t), z(t) – искомые функции на промежутке (a, b), aij (i, j =1, 2, 3) – вещественные числа.

Запишем исходную систему в матричном виде
,
где

Решение исходной системы будем искать в виде
,
где , C1, C2, C3 – произвольные постоянные.

Чтобы найти фундаментальную систему решений, нужно решить так называемое характеристическое уравнение

Это уравнение является алгебраическим уравнением третьего порядка, следовательно оно имеет 3 корня. При этом возможны следующие случаи:

1. Корни (собственные значения) действительны и различны.

2. Среди корней (собственных значений) есть комплексно-сопряженные, пусть
– действительный корень
=

3. Корни (собственные значения) действительны. Один из корней кратный.

Чтобы разобраться, как действовать в каждом из этих случаев, нам понадобятся:
Теорема 1.
Пусть – попарно различные собственные значения матрица А, а – соответствующие им собственные векторы. Тогда

образуют фундаментальную систему решений исходной системы.

Замечание.
Пусть – действительное собственное значение матрица А (действительный корень характеристического уравнения), – соответствующий ему собственный вектор.

= – комплексные собственные значения матрицы А, – соответствующий – собственный вектор. Тогда

(Re – действительная часть, Im – мнимая)
образуют фундаментальную систему решений исходной системы. (Т.е. и = рассматриваются вместе)

Теорема 3.
Пусть – корень характеристического уравнения кратности 2. Тогда исходная система имеет 2 линейно независимых решения вида
,
где , – постоянные вектора. Если же кратности 3, то существует 3 линейно независимых решения вида
.
Векторы находятся подствалением решений (*) и (**) в исходную систему.

Чтобы лучше понять метод нахождения решений вида (*) и (**), смотри разобранные типичные примеры ниже.

Теперь рассмотрим более подробно каждый из вышеописанных случаев.

1. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае различных действительных корней характеристического уравнения.
Дана система

1) Составляем характеристическое уравнение

– действительные и различные собственные значения 9корни этого уравнения).
2)Строим , где
– собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.

е. – любое решение системы

3)Строим , где
– собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. – любое решение системы

4)Строим , где
– собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. – любое решение системы

5)

составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы в виде
,
здесь C1, C2, C3 – произвольные постоянные,
,
или в координатном виде

Расмотрим несколько примеров:
Пример 1.

1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:

2) Находим

3)Находим

4)Вектор-функции

образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид

или в координатной записи

Пример 2.

1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:

2) Находим

3)Находим

4)Находим

5)Вектор-функции

образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид

или в координатной записи

2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.


1) Составляем и решаем характеристическое уравнение

– действительный корень,

2)Строим , где

– собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е удовлетворяет системе


3) Строим

(т.е. и рассматриваем вместе), где

– собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е. удовлетворяет системе


Здесь Re – действительная часть

Im – мнимая часть
4) составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы:
, где
С1, С23 произвольные постоянные.

Пример 1.

1) Составляем и решаем характеристическое уравнение

2)Строим

, где удовлетворяет системе , т.е.



3) Строим
, где

– удовлетворяет системе , т.е.



Первое уравнение сократим на 2. Затем ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на 2i, а от третьего уравнения отнимем перове, умноженное на 2.

Далее

Следовательно,

4) – фундаментальная система решений. Запишем общее решение исходной системы:

Пример 2.

1) Составляем и решаем харктеристическое уравнение

2)Строим

(т.е. и рассматриваем вместе), где

-собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.
е. любое решение системы



Второе уравнение умножим на (1-i) и сократим на 2.


Следовательно,

3) – фундаментальная система решений.
Общее решение исходной системы

или

2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения.
Составляем и решаем характеристическое уравнение

Возможны два случая:

Рассмотрим случай а) 1) , где

– собственный вектор матрицы А, соответствующий , т.е удовлетворяет системе


2) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существуют два линейно независимых решения вида
,
где , – постоянные векторы. Их возьмем за .
3) – фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы:

Рассмотрим случай б):
1) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существует три линейно независимых решения вида
,
где , , – постоянные векторы. Их возьмем за .
2) – фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы.

Чтобы лучше понять как находить решения вида (*), рассмотрим несколько типичных примеров.

Пример 1.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Имеем случай а)
1) Строим
, где

– любое решение системы , т.е.


Из второго уравнения вычитаем первое:

? третья строка подобна второй, ее вычеркиваем. Из первого уравнения вычтем второе:

2) = 1 (кратность 2)
Этому корню по Т.3 должно соответствовать два линейно независимых решения вида .


Попробуем найти все линейно незваисимые решения, у которых , т.е. решения вида
.
Такой вектор будет решением тогда и только тогда, когда – собственный вектор, соответствующий =1, т.е.
, или
, вторая и третья строки подобны первой, выкидываем их.

Система свелась к одному уравнению. Следовательно, имеется два свободных неизвестных, например, и . Дадим им сначала значения 1, 0; потом значения 0, 1. Получим такие решения:
.
Следовательно, .
3) – фундаментальная система решений. Осталось записать общее решение исходной системы:
.


Пример 2.

Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Имеем случай а).
1) Строим
,

где , т.е.


За возьмем
.Тогда

2) =-1 (кратности 2).
Этому корню по Т.3 соответствуют два линейно независимых решения вида .
Попробуем найти линейно независимые решения, у которых , т.е. решения вида
Но тогда будет собственным вектором, соответствующим =-1, т.е. , т.е.

Третья строка аналогична второй, отбрасываем ее.

Пусть C3=1, тогда

=


Итак, корню =-1 соответствует (в отличие от пример 1) один линейно независимый вектор . Любой другой собственный вектор имеет вид . Таким образом существует только одно решение вида . Следовательно,
.

Следующий вектор фундаментальной системы решений будем искать в виде

Чтобы понять, как искать и в этом случае, воспользуемся матричной записью системы:

Подставим X3 в эту систему:

Сократим на e-t и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t. Получаем систему

Из первого уравнения и условия следует, что – собственный вектор, отвечающий собственнуму значению , т. е.

[ нашли, когда искали Х2]

Второе уравнение последней системы запишем так:

Этому матричному уравнению соответствует система линейных уравнений:

Вычеркнем третью строку (она подобна второй). Система совместна (имеет решение) при любом с. Пусть с=1.

Выпишем какое-нибудь частное решение последней системы.
a3=0, a2=-1, a1=1 т.е.

Тогда

3) – фундаментальная система решений. Выпишем общее решение исходной системы:

или

3. Дифференциальные уравнения высших порядков. 3.1. Основные понятия

Дифференциальные уравнения, имеющие второй и более высокий порядок, называют дифференциальными уравнениями высших порядков. С целью более компактного изложения материала будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения второго порядка. При этом определения и теоремы формулируются в таком виде, который позволяет естественным образом распространить их на дифференциальные уравнения любого порядка.

Определение. Задачей Коши для дифференциального уравнения второго порядка называют задачу об отыскании решения этого уравнения, удовлетворяющего допустимым начальным условиям , .

Приведем без доказательства теорему, в которой формулируются условия существования и единственности решения задачи Коши для ДУ второго порядка.

Теорема Коши (о существовании и единственности решения задачи Коши).

Если в дифференциальном уравнении его правая частьКак функция трех переменных непрерывна в некоторой области и имеет в этой области непрерывные частные производные , по переменным ,, то для любой точки в некотором интервале существует единственное решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Как указывалось ранее, дифференциальное уравнение имеет бесконечно много решений. Для того чтобы в компактной форме задать множество решений дифференциального уравнения второго порядка обычно используют два независимо изменяющихся числовых параметра (две произвольных постоянных) И .

Определение. Множество функций называют общим решением дифференциального уравнения второго порядка, если:

1) При любых допустимых значениях параметров функция является некоторым решением, которое коротко называют частным решением;

2) Любое решение задачи Коши может быть представлено в виде при некоторых значениях параметров .

Уравнение , определяющее общее решение как неявную функцию, при этом называют общим интегралом дифференциального уравнения второго порядка.

Уравнение , определяющее частное решение как неявную функцию, при этом называют частным интегралом дифференциального уравнения второго порядка.

Если для дифференциального уравнения второго порядка найдено его общее решение , то частное решение задачи Коши можно получить, решив систему двух уравнений относительно переменных .

Пример. Покажем, что функция Является решением дифференциального уравнения второго порядка .

Найдем производные первого и второго порядка данной функции: , . Подставив функции в данное уравнение, получим тождество . Следовательно, функция Является решением данного дифференциального уравнения.

Пример. Найти допустимое множество Существования и единственности решения уравнения второго порядка

В соответствии с теоремой Коши в область Входят те точки пространства , где существует и непрерывна правая часть Дифференциального уравнения, т. е. множество ; те точки пространства, где существует и непрерывна частная производная По переменной , т. е. множество и те точки пространства, где существует и непрерывна частная производная По переменной , т. е. открытое множество . Далее находится пересечение указанных множеств, равное . Окончательно, учитывая требование связности, допустимое множество Выбирают в виде или в виде . {x} $$


Общее решение для дифференциального уравнения третьего порядка

Общее решение для дифференциального уравнения третьего порядка
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Подписаться

Mathematics Stack Exchange – это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях. Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 14к раз

$ \ begingroup $

У меня не получается запустить следующую задачу для общего решения:

$ x ^ 3y ” ‘+ x ^ 2y’ ‘-2xy’ + 2y = 2x ^ 4 $ для $ x> 0 $

Мне кажется, что это можно упростить до уравнения, с которым легче работать, но я не уверен, что это за изменение переменной или упрощение. 2 y’ ‘- 2 x y’ + 2 y = 0 $ является дифференциальным уравнением Коши-Эйлера третьего порядка.4 $ для некоторой постоянной $ C $. Добавьте это частное решение к общему решению однородного уравнения, и вы получите общее решение вашего уравнения.

Оставить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *