Дифференциалы для чайников: Чем дифференциал отличается от производной, когда речь идет об R^n. Вроде формула одна и та же?

Содержание

Дифференциал функции: основные понятия и определения

Пусть функция в точке имеет отличную от нуля производную

   

Тогда в некоторой окрестности этой точки отношение

   

где при Тому приращение функции можно представить в виде:

   

При этом величина является бесконечно малой более высокого порядка, чем и бесконечно малая поэтому величину называют главной частью приращения функции .

Замечание. Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной то есть дифференциал функции Так как получаем, что

   

то

   

То есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

   

Тогда формула для дифференциала перепишется в виде:

   

Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной указанной функции на дифференциал независимой переменной.

Геометрический и механический смыслы дифференциала функции

Геометрически дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной к графику функции в рассматриваемой точке, когда переменная получает приращение .

Механический смысл дифференциала. Пусть материальная точка двигается по закону Дифференциал функции равен:

   

Для фиксированных значений и – это тот путь, который бы прошла материальная точка за время в случае, если она будет двигаться равномерно и прямолинейно с постоянною скоростью

Стоит отметить, что фактический путь в случае неравномерного движения материальной точки, в отличии от дифференциала не является линейной функцией времени а поэтому отличается от пути Но все же, если время является достаточно малым, то скорость движения существенно не изменяется и поэтому движение точки на промежутке времени от до есть практически равномерным.

Основные формулы дифференциала

Основные формулы, которые связаны с дифференциалами, можно получить, используя связь между дифференциалом функции и ее производной, то есть тот факт, что а также соответствующие формулы для производных.

Рассмотрим две дифференцируемые функции и Тогда имеют место следующие равенства:

Литература по дифференциалам второго порядка / Математика

Можно попытаться построить некий “шлюз” между старыми традиционными обозначениями и их современным пониманием. Для этого надо сначала рассмотреть понятие первого дифференциала функции, то есть отображения. Функция $%y=y(x)$% считается дифференцируемой столько раз, сколько нам нужно.

Рассмотрим приращение функции в точке $%x$%. По определению, это разность $%y(x+h)-y(x)$%. Как оно зависит от $%h$%, если величина $%h$% считается “малой”? Выделяется линейная часть этого приращения, которая существует при условии дифференцируемости функции (наличия касательной). По определению, существует такое число $%k$%, для которого $%y(x+h)-y(x)=kh+o(h)$% при $%h\to0$%. Ясно, что $%k$% зависит от $%x$% и есть не что иное как производная функции в точке $%x$%, то есть $%k=f'(x)$%.

2y+…$%, и так далее.

отвечен 5 Сен ’16 1:17

Дифференциальные уравнения для “чайников”. Примеры решения

Дифференциальное уравнение – это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.

В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.

Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных. Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления.

Предварительные сведения

  • Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях , то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем
    дифференциальные уравнения в частных производных
    , в которые входят функции нескольких переменных. В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом. {2}=0}
  • Общее решение обыкновенного дифференциального уравнения не является единственным, оно включает в себя произвольные постоянные интегрирования . В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. На практике значения этих констант определяются по заданным
    начальным условиям
    , то есть по значениям функции и ее производных при x = 0. {\displaystyle x=0.} Число начальных условий, которые необходимы для нахождения частного решения дифференциального уравнения, в большинстве случаев также равно порядку данного уравнения.
    • Например, в данной статье будет рассмотрено решение приведенного ниже уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение содержит две произвольные постоянные. Для нахождения этих постоянных необходимо знать начальные условия при x (0) {\displaystyle x(0)} и x ′ (0) . {\displaystyle x”(0).} Обычно начальные условия задаются в точке x = 0 , {\displaystyle x=0,} , хотя это и не обязательно.
      {2}x=0}
    • x (t) = c 1 cos ⁡ k x + c 2 sin ⁡ k x {\displaystyle x(t)=c_{1}\cos kx+c_{2}\sin kx}
  • Шаги

    Часть 1

    Уравнения первого порядка

    При использовании этого сервиса некоторая информация может быть передана YouTube.

    1. Линейные уравнения первого порядка. В данном разделе рассмотрены методы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка в общих и специальных случаях, когда некоторые члены равны нулю. Предположим, что y = y (x) , {\displaystyle y=y(x),} p (x) {\displaystyle p(x)} и q (x) {\displaystyle q(x)} являются функциями x . {\displaystyle x.}

      D y d x + p (x) y = q (x) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+p(x)y=q(x)}

      P (x) = 0. {\displaystyle p(x)=0.} Согласно одной из основных теорем математического анализа, интеграл от производной функции также является функцией. Таким образом, достаточно просто проинтегрировать уравнение, чтобы найти его решение. При этом следует учесть, что при вычислении неопределенного интеграла появляется произвольная постоянная.

      • y (x) = ∫ q (x) d x {\displaystyle y(x)=\int q(x){\mathrm {d} }x}

      Q (x) = 0. {\displaystyle q(x)=0.} Используем метод разделения переменных . При этом различные переменные переносятся в разные стороны уравнения. Например, можно перенести все члены с y {\displaystyle y} в одну, а все члены с x {\displaystyle x} в другую сторону уравнения. Можно переносить также члены d x {\displaystyle {\mathrm {d} }x} и d y {\displaystyle {\mathrm {d} }y} , которые входят в выражения производных, однако следует помнить, что это всего лишь условное обозначение, которое удобно при дифференцировании сложной функции. Обсуждение этих членов, которые называются дифференциалами , выходит за рамки данной статьи.

      • Во-первых, необходимо перенести переменные по разные стороны знака равенства.
        • 1 y d y = − p (x) d x {\displaystyle {\frac {1}{y}}{\mathrm {d} }y=-p(x){\mathrm {d} }x}
      • Проинтегрируем обе стороны уравнения. {-2\cos x}\end{aligned}}}
    2. P (x) ≠ 0 , q (x) ≠ 0. {\displaystyle p(x)\neq 0,\ q(x)\neq 0.} Для нахождения общего решения мы ввели интегрирующий множитель в виде функции от x {\displaystyle x} , чтобы свести левую часть к общей производной и таким образом решить уравнение.

      • Умножим обе стороны на μ (x) {\displaystyle \mu (x)}
        • μ d y d x + μ p y = μ q {\displaystyle \mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+\mu py=\mu q}
      • Чтобы свести левую часть к общей производной, необходимо сделать следующие преобразования:
        • d d x (μ y) = d μ d x y + μ d y d x = μ d y d x + μ p y {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{{\mathrm {d} }x}}(\mu y)={\frac {{\mathrm {d} }\mu }{{\mathrm {d} }x}}y+\mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=\mu {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+\mu py}
      • Последнее равенство означает, что d μ d x = μ p {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\mu }{{\mathrm {d} }x}}=\mu p} . {2}}}}

      Решение линейных уравнений первого порядка (запись Интуита – национального открытого университета).
    3. Нелинейные уравнения первого порядка . В данном разделе рассмотрены методы решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Хотя и не существует общего метода решения таких уравнений, некоторые из них можно решить с помощью приведенных ниже методов.

      D y d x = f (x , y) {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=f(x,y)}
      d y d x = h (x) g (y) . {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=h(x)g(y).} Если функцию f (x , y) = h (x) g (y) {\displaystyle f(x,y)=h(x)g(y)} можно разделить на функции одной переменной, такое уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными . В этом случае можно воспользоваться приведенным выше методом:

      • ∫ d y h (y) = ∫ g (x) d x {\displaystyle \int {\frac {{\mathrm {d} }y}{h(y)}}=\int g(x){\mathrm {d} }x}
      • Пример 1. {1-n}+(1-n)q(x)}
    4. M (x , y) + N (x , y) d y d x = 0. {\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=0.} Это уравнение в полных дифференциалах . Необходимо найти так называемую потенциальную функцию φ (x , y) , {\displaystyle \varphi (x,y),} , которая удовлетворяет условию d φ d x = 0. {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\varphi }{{\mathrm {d} }x}}=0.}

      • Для выполнения данного условия необходимо наличие полной производной . Полная производная учитывает зависимость от других переменных. Чтобы вычислить полную производную φ {\displaystyle \varphi } по x , {\displaystyle x,} мы предполагаем, что y {\displaystyle y} может также зависеть от x . {\displaystyle x.}
        • d φ d x = ∂ φ ∂ x + ∂ φ ∂ y d y d x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }\varphi }{{\mathrm {d} }x}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}}
      • Сравнение слагаемых дает нам M (x , y) = ∂ φ ∂ x {\displaystyle M(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}} и N (x , y) = ∂ φ ∂ y . {\displaystyle N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}.} Это типичный результат для уравнений с несколькими переменными, при котором смешанные производные гладких функций равны друг другу. Иногда такой случай называют теоремой Клеро . В этом случае дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется следующее условие:
        • ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}}
      • Метод решения уравнений в полных дифференциалах аналогичен нахождению потенциальных функций при наличии нескольких производных, на чем мы кратко остановимся. Сначала проинтегрируем M {\displaystyle M} по x . {\displaystyle x.} Поскольку M {\displaystyle M} является функцией и x {\displaystyle x} , и y , {\displaystyle y,} при интегрировании мы получим неполную функцию φ , {\displaystyle \varphi ,} обозначенную как φ ~ {\displaystyle {\tilde {\varphi }}} . В результат входит также зависящая от y {\displaystyle y} постоянная интегрирования.
        • φ (x , y) = ∫ M (x , y) d x = φ ~ (x , y) + c (y) {\displaystyle \varphi (x,y)=\int M(x,y){\mathrm {d} }x={\tilde {\varphi }}(x,y)+c(y)}
      • После этого для получения c (y) {\displaystyle c(y)} можно взять частную производную полученной функции по y , {\displaystyle y,} приравнять результат N (x , y) {\displaystyle N(x,y)} и проинтегрировать. Можно также сначала проинтегрировать N {\displaystyle N} , а затем взять частную производную по x {\displaystyle x} , что позволит найти произвольную функцию d (x) . {\displaystyle d(x).} Подходят оба метода, и обычно для интегрирования выбирается более простая функция.
        • N (x , y) = ∂ φ ∂ y = ∂ φ ~ ∂ y + d c d y {\displaystyle N(x,y)={\frac {\partial \varphi }{\partial y}}={\frac {\partial {\tilde {\varphi }}}{\partial y}}+{\frac {{\mathrm {d} }c}{{\mathrm {d} }y}}}
      • Пример 1.5. Можно взять частные производные и убедиться в том, что приведенное ниже уравнение является уравнением в полных дифференциалах. {2}=C}
    5. Если дифференциальное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, в некоторых случаях можно найти интегрирующий множитель, который позволит преобразовать его в уравнение в полных дифференциалах. Однако подобные уравнения редко применяются на практике, и хотя интегрирующий множитель существует , найти его бывает непросто , поэтому эти уравнения не рассматриваются в данной статье.

    Часть 2

    Уравнения второго порядка
    1. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения широко используются на практике, поэтому их решение имеет первоочередное значение. В данном случае речь идет не об однородных функциях, а о том, что в правой части уравнения стоит 0. В следующем разделе будет показано, как решаются соответствующие неоднородные дифференциальные уравнения. Ниже a {\displaystyle a} и b {\displaystyle b} являются константами.

      D 2 y d x 2 + a d y d x + b y = 0 {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }^{2}y}{{\mathrm {d} }x^{2}}}+a{\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+by=0}

      Характеристическое уравнение . {2}-4b}}}{2}}}

    2. Мы получили два корня. Поскольку данное дифференциальное уравнение является линейным, его общее решение представляет собой линейную комбинацию частных решений. Так как это уравнение второго порядка, мы знаем, что это действительно общее решение, и других не существует. Более строгое обоснование этого заключается в теоремах о существовании и единственности решения, которые можно найти в учебниках.
    3. Полезный способ проверить, являются ли два решения линейно независимыми, заключается в вычислении вронскиана . Вронскиан W {\displaystyle W} – это определитель матрицы, в колонках которой стоят функции и их последовательные производные. Теорема линейной алгебры гласит, что входящие в вронскиан функции линейно зависимы, если вронскиан равен нулю. В данном разделе мы можем проверить, являются ли два решения линейно независимыми – для этого необходимо убедиться, что вронскиан не равен нулю. Вронскиан важен при решении неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации параметров.
      • W = | y 1 y 2 y 1 ′ y 2 ′ | {\displaystyle W={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}”&y_{2}”\end{vmatrix}}}
    4. В терминах линейной алгебры множество всех решений данного дифференциального уравнения образует векторное пространство, размерность которого равна порядку дифференциального уравнения. В этом пространстве можно выбрать базис из линейно независимых друг от друга решений. Это возможно благодаря тому, что на функцию y (x) {\displaystyle y(x)} действует линейный оператор . Производная является линейным оператором, поскольку она преобразует пространство дифференцируемых функций в пространство всех функций. Уравнения называются однородными в тех случаях, когда для какого-либо линейного оператора L {\displaystyle L} требуется найти решение уравнения L [ y ] = 0. {\displaystyle L[y]=0.}
    5. Перейдем теперь к рассмотрению нескольких конкретных примеров. Случай кратных корней характеристического уравнения рассмотрим чуть позже, в разделе о понижении порядка. {-3t/2}\left(\cos {\frac {\sqrt {31}}{2}}t+{\frac {1}{\sqrt {31}}}\sin {\frac {\sqrt {31}}{2}}t\right)}
      Решение дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами (запись Интуита – национального открытого университета).

    6. Понижение порядка. Понижение порядка представляет собой метод решения дифференциальных уравнений в случае, когда известно одно линейно независимое решение. Данный метод заключается в понижении порядка уравнения на один, что позволяет решить уравнение методами, которые описаны в предыдущем разделе. Пусть известно решение . Основная идея понижения порядка заключается в поиске решения в представленном ниже виде, где необходимо определить функцию v (x) {\displaystyle v(x)} , подстановке его в дифференциальное уравнение и нахождении v (x) . {\displaystyle v(x).} Рассмотрим, как можно использовать понижение порядка для решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и кратными корнями.

      Кратные корни однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. {2}}}+p(x){\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}+q(x)y=0.} Понижение порядка применимо в том случае, если известно решение y 1 (x) {\displaystyle y_{1}(x)} , которое может быть найдено или дано в условии задачи.

      • Мы ищем решение в виде y (x) = v (x) y 1 (x) {\displaystyle y(x)=v(x)y_{1}(x)} и подставляем его в данное уравнение:
        • v ″ y 1 + 2 v ′ y 1 ′ + p (x) v ′ y 1 + v (y 1 ″ + p (x) y 1 ′ + q (x)) = 0 {\displaystyle v””y_{1}+2v”y_{1}”+p(x)v”y_{1}+v(y_{1}””+p(x)y_{1}”+q(x))=0}
      • Поскольку y 1 {\displaystyle y_{1}} является решением дифференциального уравнения, все члены с v {\displaystyle v} сокращаются. В итоге остается линейное уравнение первого порядка . Чтобы яснее увидеть это, произведем замену переменных w (x) = v ′ (x) {\displaystyle w(x)=v”(x)} :
        • y 1 w ′ + (2 y 1 ′ + p (x) y 1) w = 0 {\displaystyle y_{1}w”+(2y_{1}”+p(x)y_{1})w=0}
        • w (x) = exp ⁡ (∫ (2 y 1 ′ (x) y 1 (x) + p (x)) d x) {\displaystyle w(x)=\exp \left(\int \left({\frac {2y_{1}”(x)}{y_{1}(x)}}+p(x)\right){\mathrm {d} }x\right)}
        • v (x) = ∫ w (x) d x {\displaystyle v(x)=\int w(x){\mathrm {d} }x}
      • Если интегралы могут быть вычислены, мы получаем общее решение в виде комбинации элементарных функций. {n}(c_{1}+c_{2}\ln x)}
    7. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Неоднородные уравнения имеют вид L [ y (x) ] = f (x) , {\displaystyle L=f(x),} где f (x) {\displaystyle f(x)} – так называемый свободный член . Согласно теории дифференциальных уравнений, общее решение данного уравнения представляет собой суперпозицию частного решения y p (x) {\displaystyle y_{p}(x)} и дополнительного решения y c (x) . {\displaystyle y_{c}(x).} Однако в данном случае частное решение означает не решение, заданное начальными условиями, а скорее такое решение, которое обусловлено наличием неоднородности (свободным членом). Дополнительное решение – это решение соответствующего однородного уравнения, в котором f (x) = 0. {\displaystyle f(x)=0.} Общее решение представляет собой суперпозицию этих двух решений, поскольку L [ y p + y c ] = L [ y p ] + L [ y c ] = f (x) {\displaystyle L=L+L=f(x)} , а так как L [ y c ] = 0 , {\displaystyle L=0,} такая суперпозиция действительно является общим решением.{n+s}h(x)} (где s {\displaystyle s} – кратность корня) и ее линейно независимых производных, а также других членов функции f (x) {\displaystyle f(x)} и ее линейно независимых производных.

    8. Запишем y p {\displaystyle y_{p}} в виде линейной комбинации перечисленных выше членов. Благодаря этим коэффициентам в линейной комбинации данный метод получил название “метода неопределенных коэффициентов”. При появлении содержащихся в y c {\displaystyle y_{c}} членов их можно отбросить ввиду наличия произвольных постоянных в y c . {\displaystyle y_{c}.} После этого подставляем y p {\displaystyle y_{p}} в уравнение и приравниваем схожие члены.
    9. Определяем коэффициенты. На данном этапе получается система алгебраических уравнений, которую обычно можно решить без особых проблем. Решение этой системы позволяет получить y p {\displaystyle y_{p}} и тем самым решить уравнение.
    10. Пример 2.3. Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение, свободный член которого содержит конечное число линейно независимых производных.{-n}} для нахождения частного решения необходимо использовать метод Лагранжа. Метод Лагранжа можно даже использовать для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, хотя в этом случае, за исключением уравнения Коши-Эйлера, он применяется реже, поскольку дополнительное решение обычно не выражается через элементарные функции.

      • Предположим, что решение имеет следующий вид. Его производная приведена во второй строке.
        • y (x) = v 1 (x) y 1 (x) + v 2 (x) y 2 (x) {\displaystyle y(x)=v_{1}(x)y_{1}(x)+v_{2}(x)y_{2}(x)}
        • y ′ = v 1 ′ y 1 + v 1 y 1 ′ + v 2 ′ y 2 + v 2 y 2 ′ {\displaystyle y”=v_{1}”y_{1}+v_{1}y_{1}”+v_{2}”y_{2}+v_{2}y_{2}”}
      • Поскольку предполагаемое решение содержит две неизвестных величины, необходимо наложить дополнительное условие. Выберем это дополнительное условие в следующем виде:
        • v 1 ′ y 1 + v 2 ′ y 2 = 0 {\displaystyle v_{1}”y_{1}+v_{2}”y_{2}=0}
        • y ′ = v 1 y 1 ′ + v 2 y 2 ′ {\displaystyle y”=v_{1}y_{1}”+v_{2}y_{2}”}
        • y ″ = v 1 ′ y 1 ′ + v 1 y 1 ″ + v 2 ′ y 2 ′ + v 2 y 2 ″ {\displaystyle y””=v_{1}”y_{1}”+v_{1}y_{1}””+v_{2}”y_{2}”+v_{2}y_{2}””}
      • Теперь мы можем получить второе уравнение.{-1}{\mathbf {b} }.} Для матрицы 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} обратная матрица находится путем деления на определитель, перестановки диагональных элементов и изменением знака недиагональных элементов. Фактически, определитель данной матрицы является вронскианом.
        • (v 1 ′ v 2 ′) = 1 W (y 2 ′ − y 2 − y 1 ′ y 1) (0 f (x)) {\displaystyle {\begin{pmatrix}v_{1}”\\v_{2}”\end{pmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{pmatrix}y_{2}”&-y_{2}\\-y_{1}”&y_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f(x)\end{pmatrix}}}
      • Выражения для v 1 {\displaystyle v_{1}} и v 2 {\displaystyle v_{2}} приведены ниже. Как и в методе понижения порядка, в данном случае при интегрировании появляется произвольная постоянная, которая включает дополнительное решение в общее решение дифференциального уравнения.
        • v 1 (x) = − ∫ 1 W f (x) y 2 (x) d x {\displaystyle v_{1}(x)=-\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{2}(x){\mathrm {d} }x}
        • v 2 (x) = ∫ 1 W f (x) y 1 (x) d x {\displaystyle v_{2}(x)=\int {\frac {1}{W}}f(x)y_{1}(x){\mathrm {d} }x}

      Лекция национального открытого университета Интуит под названием “Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами”.

    Практическое применение

    Дифференциальные уравнения устанавливают связь между функцией и одной или несколькими ее производными. Поскольку подобные связи чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения нашли широкое применение в самых разных сферах, а так как мы живем в четырех измерениях, эти уравнения часто представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных. В данном разделе рассмотрены некоторые из наиболее важных уравнений этого типа.

    • Экспоненциальный рост и распад. Радиоактивный распад. Составные проценты. Скорость химических реакций. Концентрация лекарств в крови. Неограниченный рост популяции. Закон Ньютона-Рихмана. В реальном мире существует множество систем, в которых скорость роста или распада в любой момент времени пропорциональна количеству в данный момент времени или может быть хорошо аппроксимирована моделью. Это объясняется тем, что решение данного дифференциального уравнения, экспоненциальная функция, является одной из наиболее важных функций в математике и других науках. В более общем случае при контролируемом росте популяции система может включать дополнительные члены, которые ограничивают рост. В приведенном ниже уравнении постоянная k {\displaystyle k} может быть как больше, так и меньше нуля.
      • d y d x = k x {\displaystyle {\frac {{\mathrm {d} }y}{{\mathrm {d} }x}}=kx}
    • Гармонические колебания. И в классической, и в квантовой механике гармонический осциллятор является одной из наиболее важных физических систем благодаря своей простоте и широкому применению для аппроксимации более сложных систем, таких как простой маятник. В классической механике гармонические колебания описываются уравнением, которое связывает положение материальной точки с ее ускорением посредством закона Гука. При этом можно учитывать также демпфирующие и движущие силы. В приведенном ниже выражении x ˙ {\displaystyle {\dot {x}}} – производная по времени от x , {\displaystyle x,} β {\displaystyle \beta } – параметр, который описывает демпфирующую силу, ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} – угловая частота системы, F (t) {\displaystyle F(t)} – зависящая от времени движущая сила.{2})y=0}
  • Уравнения Максвелла. Наряду с силой Лоренца уравнения Максвелла составляют основу классической электродинамики. Это четыре дифференциальных уравнения в частных производных для электрического E (r , t) {\displaystyle {\mathbf {E} }({\mathbf {r} },t)} и магнитного B (r , t) {\displaystyle {\mathbf {B} }({\mathbf {r} },t)} поля. В приведенных ниже выражениях ρ = ρ (r , t) {\displaystyle \rho =\rho ({\mathbf {r} },t)} – плотность заряда, J = J (r , t) {\displaystyle {\mathbf {J} }={\mathbf {J} }({\mathbf {r} },t)} – плотность тока, а ϵ 0 {\displaystyle \epsilon _{0}} и μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} – соответственно электрическая и магнитная постоянные.
    • ∇ ⋅ E = ρ ϵ 0 ∇ ⋅ B = 0 ∇ × E = − ∂ B ∂ t ∇ × B = μ 0 J + μ 0 ϵ 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\mathbf {E} }&={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \cdot {\mathbf {B} }&=0\\\nabla \times {\mathbf {E} }&=-{\frac {\partial {\mathbf {B} }}{\partial t}}\\\nabla \times {\mathbf {B} }&=\mu _{0}{\mathbf {J} }+\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial {\mathbf {E} }}{\partial t}}\end{aligned}}}
  • Уравнение Шредингера.{2}u}
  • u (x , t) = f (x − c t) + g (x + c t) {\displaystyle u(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}
  • Уравнения Навье-Стокса. Уравнения Навье-Стокса описывают движение жидкостей. Поскольку жидкости присутствуют практически в каждой области науки и техники, эти уравнения чрезвычайно важны для предсказания погоды, конструирования самолетов, изучения океанских течений и решения множества других прикладных задач. Уравнения Навье-Стокса являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, и в большинстве случаев решить их очень сложно, поскольку нелинейность приводит к турбулентности, и для получения устойчивого решения численными методами необходимо разбиение на очень мелкие ячейки, что требует значительных вычислительных мощностей. Для практических целей в гидродинамике для моделирования турбулентных потоков используют такие методы, как усреднение по времени. Сложными задачами являются даже более основные вопросы, такие как существование и единственность решений для нелинейных уравнений в частных производных, а доказательство существования и единственности решения для уравнений Навье-Стокса в трех измерениях входит в число математических задач тысячелетия.{2}{\mathbf {u} }=-\nabla h,\quad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\mathbf {u} })=0}
    • Многие дифференциальные уравнения просто невозможно решить приведенными выше методами, особенно упомянутые в последнем разделе. Это касается тех случаев, когда уравнение содержит переменные коэффициенты и не является уравнением Коши-Эйлера, или когда уравнение является нелинейным, за исключением нескольких очень редких случаев. Тем не менее, приведенные выше методы позволяют решить многие важные дифференциальные уравнения, которые часто встречаются в различных областях науки.
    • В отличие от дифференцирования, которое позволяет найти производную любой функции, интеграл многих выражений нельзя выразить в элементарных функциях. Поэтому не тратьте время в попытках вычислить интеграл там, где это невозможно. Загляните в таблицу интегралов. Если решение дифференциального уравнения нельзя выразить через элементарные функции, иногда его можно представить в интегральной форме, и в данном случае неважно, можно ли вычислить данный интеграл аналитически.2 – уравнение 9-го порядка.

      Решением дифференциального уравнения n-го порядка на интервале (a,b) называется функция y=\varphi(x) , определенная на интервале (a,b) вместе со своими производными до n-го порядка включительно, и такая, что подстановка функции y=\varphi(x) в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по x на (a,b) . Например, функция y=\sin{x}+\cos{x} является решением уравнения y””+y=0 на интервале (-\infty,+\infty) . В самом деле, дифференцируя функцию дважды, будем иметь

      y”=\cos{x}-\sin{x}, \quad y””=-\sin{x}-\cos{x}.

      Подставляя выражения y”” и y в дифференциальное уравнение, получим тождество

      -\sin{x}-\cos{x}+\sin{x}+\cos{x}\equiv0

      График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения.

      Общий вид уравнения первого порядка

      F(x,y,y”)=0.

      Если уравнение (1) удается разрешить относительно y” , то получится уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.

      y”=f(x,y).

      Задачей Коши называют задачу нахождения решения y=y(x) уравнения y”=f(x,y) , удовлетворяющего начальному условию y(x_0)=y_0 (другая запись y|_{x=x_0}=y_0 ).

      Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную
      точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy (рис. 1).

      Теорема существования и единственности решения задачи Коши

      Пусть дано дифференциальное уравнение y”=f(x,y) , где функция f(x,y) определена в некоторой области D плоскости xOy , содержащей точку (x_0,y_0) . Если функция f(x,y) удовлетворяет условиям

      а) f(x,y) есть непрерывная функция двух переменных x и y в области D ;

      б) f(x,y) имеет частную производную , ограниченную в области D , то найдется интервал (x_0-h,x_0+h) , на котором существует единственное решение y=\varphi(x) данного уравнения, удовлетворяющее условию y(x_0)=y_0 .

      Теорема дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши для уравнения y”=f(x,y) , но эти условия не являются необходимыми .3}{8} и отрезков оси Ox , например, ABOC_1, ABB_2C_2, A_2B_2x и др., так что через каждую точку оси Ox проходит бесконечное множество интегральных линий.

      Условие Липшица

      Замечание. Условие ограниченности производной \partial{f}/\partial{y} , фигурирующее в теореме существования и единственности решения задачи Коши, может быть несколько ослаблено и заменено так называемым условием Липшица .

      Говорят, что функция f(x,y) , определенная в некоторой области D , удовлетворяет в D условию Липшица по y , если существует такая постоянная L (постоянная Липшица ), что для любых y_1,y_2 из D и любого x из D справедливо неравенство

      |f(x,y_2)-f(x,y_1)| \leqslant L|y_2-y_1|.

      Существование в области D ограниченной производной \frac{\partial{f}}{\partial{y}} достаточно для того, чтобы функция f(x,y) удовлетворяла в D условию Липшица. Напротив, из условия Липшица не вытекает условие ограниченности \frac{\partial{f}}{\partial{y}} ; последняя может даже не существовать.4}, где C – произвольная постоянная. Отсюда видно, что существует бесконечное множество решений, удовлетворяющих начальному условию y(0)=0.

      Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функция

      y=\varphi(x,C),


      зависящая от одной произвольной постоянной C , и такая, что

      1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной C;

      2) каково бы ни было начальное условие

      \Bigl.{y}\Bigr|_{x=x_0}=y_0,


      можно подобрать такое значение C_0 постоянной C , что решение y=\varphi(x,C_0) будет удовлетворять заданному начальному условию (4). При этом предполагается, что точка (x_0,y_0) принадлежит области, где выполняются условия существования и единственности решения.

      Частным решением дифференциального уравнения (2) называется решение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянной C .

      Пример 1. Проверить, что функция y=x+C есть общее решение дифференциального уравнения y”=1 и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию y|_{x=0}=0 . Дать геометрическое истолкование результата.

      Решение. Функция y=x+C удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной C . В самом деле, y”=(x+C)”=1.

      Зададим произвольное начальное условие y|_{x=x_0}=y_0 . Полагая x=x_0 и y=y_0 в равенстве y=x+C , найдем, что C=y_0-x_0 . Подставив это значение C в данную функцию, будем иметь y=x+y_0-x_0 . Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию: положив x=x_0 , получим y=x_0+y_0-x_0=y_0 . Итак, функция y=x+C является общим решением данного уравнения.

      В частности, полагая x_0=0 и y_0=0 , получим частное решение y=x .

      Общее решение данного уравнения, т.е. функция y=x+C , определяет в плоскости xOy семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k=1 . Через каждую точку M_0(x_0,y_0) плоскости xOy проходит единственная интегральная линия y=x+y_0-x_0 . Частное решение y=x определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую, проходящую через начало координат (рис.4).

      Пример 2.{x-1} .

      С геометрической точки зрения общее решение определяет семейство интегральных кривых, которыми являются графики показательных функций; частное решение есть интегральная кривая, проходящая через точку M_0(1;-1) (рис.5).

      Соотношение вида \Phi(x,y,C)=0 , неявно определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка.

      Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значении постоянной C , называется частным интегралом дифференциального уравнения.

      Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию.

      Так как с геометрической точки зрения координаты x и y равноправны, то наряду с уравнением \frac{dx}{dy}=f(x,y) мы будем рассматривать уравнение \frac{dx}{dy}=\frac{1}{f(x,y)} .

      Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

      Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

      Основные понятия теории дифференциальных уравнений

      Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

      Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

      Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

      Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

      Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

      Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

      Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

      Обыкновенные дифференциальные уравнения

      Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

      Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

      Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

      Примеры таких уравнений:

      Уравнения с разделяющимися переменными

      В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

      Приведем пример:

      Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

      После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

      Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

      Такие уравнения имеют вид:

      Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

      Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

      Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

      Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

      Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

      Сначала перепишем производную в более привычном виде:

      Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все “игреки”, а в другой – “иксы”:

      Теперь осталось проинтегрировать обе части:

      Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

      Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему “Как решать дифференциальные уравнения”:

      Учреждение образования «Белорусская государственная

      сельскохозяйственная академия»

      Кафедра высшей математики

      ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

      Конспект лекции для студентов бухгалтерского факультета

      заочной формы получения образования (НИСПО)

      Горки, 2013

      Дифференциальные уравнения первого порядка

        Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решения

      При изучении различных явлений часто не удаётся найти закон, который непосредственно связывает независимую переменную и искомую функцию, но можно установить связь между искомой функцией и её производными.

      Соотношение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные, называется дифференциальным уравнением :

      Здесь x – независимая переменная, y – искомая функция,
      – производные искомой функции. При этом в соотношении (1) обязательно наличие хотя бы одной производной.

      Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

      Рассмотрим дифференциальное уравнение

      . (2)

      Так в это уравнение входит производная только первого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением первого порядка.

      Если уравнение (2) можно разрешить относительно производной и записать в виде

      , (3)

      то такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка в нормальной форме.

      Во многих случаях целесообразно рассматривать уравнение вида

      которое называется дифференциальным уравнением первого порядка, записанным в дифференциальной форме.

      Так как
      , то уравнение (3) можно записать в виде
      или
      , где можно считать
      и
      . Это означает, что уравнение (3) преобразовано в уравнение (4).

      Запишем уравнение (4) в виде
      . Тогда
      ,
      ,
      , где можно считать
      , т.е. получено уравнение вида (3). Таким образом, уравнения (3) и (4) равносильны.

      Решением дифференциального уравнения (2) или (3) называется любая функция
      , которая при подстановке её в уравнение (2) или (3) обращает его в тождество:

      или
      .

      Процесс нахождения всех решений дифференциального уравнения называется его интегрированием , а график решения
      дифференциального уравнения называетсяинтегральной кривой этого уравнения.

      Если решение дифференциального уравнения получено в неявном виде
      , то оно называетсяинтегралом данного дифференциального уравнения.

      Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется семейство функций вида
      , зависящее от произвольной постояннойС , каждая из которых является решением данного дифференциального уравнения при любом допустимом значении произвольной постоянной С . Таким образом, дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

      Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из формулы общего решения при конкретном значении произвольной постоянной С , включая
      .

        Задача Коши и её геометрическая интерпретация

      Уравнение (2) имеет бесчисленное множество решений. Чтобы из этого множества выделить одно решение, которое называется частным, нужно задать некоторые дополнительные условия.

      Задача отыскания частного решения уравнения (2) при заданных условиях называется задачей Коши . Эта задача является одной из важнейших в теории дифференциальных уравнений.

      Формулируется задача Коши следующим образом: среди всех решений уравнения (2) найти такое решение
      , в котором функция
      принимает заданное числовое значение, если независимая переменная
      x принимает заданное числовое значение , т.е.

      ,
      , (5)

      где D – область определения функции
      .

      Значение называетсяначальным значением функции , а начальным значением независимой переменной . Условие (5) называется начальным условием или условием Коши .

      С геометрической точки зрения задачу Коши для дифференциального уравнения (2) можно сформулировать следующим образом: из множества интегральных кривых уравнения (2) выделить ту, которая проходит через заданную точку
      .

        Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

      Одним из простейших видов дифференциальных уравнений является дифференциальное уравнение первого порядка, не содержащее искомой функции:

      . (6)

      Учитывая, что
      , запишем уравнение в виде
      или
      . Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
      или

      . (7)

      Таким образом, (7) является общим решением уравнения (6).

      Пример 1 . Найти общее решение дифференциального уравнения
      .

      Решение . Запишем уравнение в виде
      или
      . Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
      ,
      . Окончательно запишем
      .

      Пример 2 . Найти решение уравнения
      при условии
      .

      Решение . Найдём общее решение уравнения:
      ,
      ,
      ,
      . По условию
      ,
      . Подставим в общее решение:
      или
      . Найденное значение произвольной постоянной подставим в формулу общего решения:
      . Это и есть частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному условию.

      Уравнение

      (8)

      Называется дифференциальным уравнением первого порядка, не содержащим независимой переменной . Запишем его в виде
      или
      . Проинтегрируем обе части последнего уравнения:
      или
      – общее решение уравнения (8).

      Пример . Найти общее решение уравнения
      .

      Решение . Запишем это уравнение в виде:
      или
      . Тогда
      ,
      ,
      ,
      . Таким образом,
      – общее решение данного уравнения.

      Уравнение вида

      (9)

      интегрируется с помощью разделения переменных. Для этого уравнение запишем в виде
      , а затем с помощью операций умножения и деления приводим его к такой форме, чтобы в одну часть входила только функция отх и дифференциал dx , а во вторую часть – функция от у и дифференциал dy . Для этого обе части уравнения нужно умножить на dx и разделить на
      . В результате получим уравнение

      , (10)

      в котором переменные х и у разделены. Проинтегрируем обе части уравнения (10):
      . Полученное соотношение является общим интегралом уравнения (9).

      Пример 3 . Проинтегрировать уравнение
      .

      Решение . Преобразуем уравнение и разделим переменные:
      ,
      . Проинтегрируем:
      ,
      или – общий интеграл данного уравнения.
      .

      Пусть уравнение задано в виде

      Такое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными в симметрической форме.

      Для разделения переменных нужно обе части уравнения разделить на
      :

      . (12)

      Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением с разделёнными переменными . Проинтегрируем уравнение (12):

      .(13)

      Соотношение (13) является общим интегралом дифференциального уравнения (11).

      Пример 4 . Проинтегрировать дифференциальное уравнение .

      Решение . Запишем уравнение в виде

      и разделим обе его части на
      ,
      . Полученное уравнение:
      является уравнением с разделёнными переменными. Проинтегрируем его:

      ,
      ,

      ,
      . Последнее равенство является общим интегралом данного дифференциального уравнения.

      Пример 5 . Найти частное решение дифференциального уравнения
      , удовлетворяющее условию
      .

      Решение . Учитывая, что
      , запишем уравнение в виде
      или
      . Разделим переменные:
      . Проинтегрируем это уравнение:
      ,
      ,
      . Полученное соотношение является общим интегралом данного уравнения. По условию
      . Подставим в общий интеграл и найдёмС :
      ,С =1. Тогда выражение
      является частным решением данного дифференциального уравнения, записанным в виде частного интеграла.

        Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

      Уравнение

      (14)

      называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка . Неизвестная функция
      и её производная входят в это уравнение линейно, а функции
      и
      непрерывны.

      Если
      , то уравнение

      (15)

      называется линейным однородным . Если
      , то уравнение (14) называетсялинейным неоднородным .

      Для нахождения решения уравнения (14) обычно используют метод подстановки (Бернулли) , суть которого в следующем.

      Решение уравнения (14) будем искать в виде произведения двух функций

      , (16)

      где
      и
      – некоторые непрерывные функции. Подставим
      и производную
      в уравнение (14):

      Функцию v будем подбирать таким образом, чтобы выполнялось условие
      . Тогда
      . Таким образом, для нахождения решения уравнения (14) нужно решить систему дифференциальных уравнений

      Первое уравнение системы является линейным однородным уравнением и решить его можно методом разделения переменных:
      ,
      ,
      ,
      ,
      . В качестве функции
      можно взять одно из частных решений однородного уравнения, т.е. приС =1:
      . Подставим во второе уравнение системы:
      или
      .Тогда
      . Таким образом, общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка имеет вид
      .

      Пример 6 . Решить уравнение
      .

      Решение . Решение уравнения будем искать в виде
      . Тогда
      . Подставим в уравнение:

      или
      . Функциюv выберем таким образом, чтобы выполнялось равенство
      . Тогда
      . Решим первое из этих уравнений методом разделения переменных:
      ,
      ,
      ,
      ,. Функциюv подставим во второе уравнение:
      ,
      ,
      ,
      . Общим решением данного уравнения является
      .

      Вопросы для самоконтроля знаний

        Что называется дифференциальным уравнением?

        Что называется порядком дифференциального уравнения?

        Какое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

        Как записывается дифференциальное уравнение первого порядка в дифференциальной форме?

        Что называется решением дифференциального уравнения?

        Что называется интегральной кривой?

        Что называется общим решением дифференциального уравнения первого порядка?

        Что называется частным решением дифференциального уравнения?

        Как формулируется задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка?

        Какова геометрическая интерпретация задачи Коши?

        Как записывается дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме?

        Какое уравнение называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка?

        Каким методом можно решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка и в чём суть этого метода?

      Задания для самостоятельной работы

        Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными:

      а)
      ; б)
      ;

      в)
      ; г)
      .

      2. Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

      а)
      ; б)
      ; в)
      ;

      г)
      ; д)
      .

      Решение различных геометрических, физических и инженерных задач часто приводят к уравнениям, которые связывают независимые переменные, характеризующие ту ил иную задачу, с какой – либо функцией этих переменных и производными этой функции различных порядков.

      В качестве примера можно рассмотреть простейший случай равноускоренного движения материальной точки.

      Известно, что перемещение материальной точки при равноускоренном движении является функцией времени и выражается по формуле:

      В свою очередь ускорение a является производной по времени t от скорости V , которая также является производной по времени t от перемещения S . Т.е.

      Тогда получаем:
      – уравнение связывает функцию f(t) с независимой переменной t и производной второго порядка функции f(t).

      Определение. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции.

      Определение. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением , если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.

      Определение. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения .

      Пример.

      – обыкновенное дифференциальное уравнение 1 – го порядка. В общем виде записывается
      .

      – обыкновенное дифференциальное уравнение 2 – го порядка. В общем виде записывается

      – дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка.

      Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция y = (x, C), которая при подстановке в исходное уравнение вместо неизвестной функции обращает уравнение в тождество

      Свойства общего решения.

      1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то вообще говоря дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

      2) При каких- либо начальных условиях х = х 0 , у(х 0) = у 0 существует такое значение С = С 0 , при котором решением дифференциального уравнения является функция у = (х, С 0).

      Определение. Решение вида у = (х, С 0) называется частным решением дифференциального уравнения.

      Определение. Задачей Коши (Огюстен Луи Коши (1789-1857)- французский математик) называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С 0), удовлетворяющего начальным условиям у(х 0) = у 0 .

      Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

      Если функция f (x , y ) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную
      , то какова бы не была точка (х
      0 , у 0 ) в области D , существует единственное решение
      уравнения
      , определенное в некотором интервале, содержащем точку х
      0 , принимающее при х = х 0 значение 0 ) = у 0 , т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

      Определение. Интегралом дифференциального уравнения называется любое уравнение, не содержащее производных, для которого данное дифференциальное уравнение является следствием.

      Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
      .

      Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

      Теперь интегрируем:

      – это общее решение исходного дифференциального уравнения.

      Допустим, заданы некоторые начальные условия: x 0 = 1; y 0 = 2, тогда имеем

      При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

      Определение. Интегральной кривой называется график y = (x) решения дифференциального уравнения на плоскости ХОY.

      Определение. Особым решением дифференциального уравнения называется такое решение, во всех точках которого условие единственности Коши (см. Теорема Коши. ) не выполняется, т.е. в окрестности некоторой точки (х, у) существует не менее двух интегральных кривых.

      Особые решения не зависят от постоянной С.

      Особые решения нельзя получить из общего решения ни при каких значениях постоянной С. Если построить семейство интегральных кривых дифференциального уравнения, то особое решение будет изображаться линией, которая в каждой своей точке касается по крайней мере одной интегральной кривой.

      Отметим, что не каждое дифференциальное уравнение имеет особые решения.

      Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:
      Найти особое решение, если оно существует.

      Данное дифференциальное уравнение имеет также особое решение у = 0. Это решение невозможно получить из общего, однако при подстановке в исходное уравнение получаем тождество. Мнение, что решение y = 0 можно получить из общего решения при С 1 = 0 ошибочно, ведь C 1 = e C 0.

      Назначение дифференциала | Изучение устройства автомобиля AvtoLegko.ru

      ДИФФЕРЕНЦИАЛ состоит из коробки, в которой помещаются две конические полуосевые шестерни, палец и установленные на нем две шестерни конической формы, называемые сателлитами. Коробка дифференциала жестко соединена с ведомой шестерней главной передачи и вращается вместе с ней.

      Когда автомобиль следует по прямой и оба ведущих колеса, вращаясь, имеют одинаковое сопротивление качению, сателлиты не вращаются на своем пальце и передают крутящий момент на обе полуосевые шестерни равными долями. Как только автомобиль начнет поворачивать, то одно из его колес замедляет свое движение, сателлиты в этот момент начинают провертываться вокруг своей оси (пальца), ускоряя вращение шестерни, связанной с противоположным колесом. Таким образом, дифференциал при замедлении вращения одного ведущего колеса автоматически ускоряет вращение другого и исключает их проскальзывание по дороге, облегчая управление автомобилем на поворотах. Дифференциал может оказывать и отрицательное влияние. Так, если одно из ведущих колес попало на скользкое место, то оно будет буксовать, тогда как другое колесо, имеющее хорошее сцепление с грунтом, за счет действия дифференциала будет стоять неподвижно. В таком положении ведущие колеса автомобиля чаще всего оказываются зимой на скользкой дороге.

      Неисправности в работе главной передачи и дифференциала заключаются в износе зубьев шестерен, а иногда и в их поломке. Изнашиваются также и подшипники этих механизмов.

      Оба механизма смазываются залитым в картер заднего моста маслом. Масло наливают до уровня маслоналивного отверстия и периодически, а также сезонно (2 раза в год) меняют одновременно со сменой масла в коробке передач. У большинства автомобилей в картер заднего моста заливают те же сорта масла, что и в коробку передач, — зимнее и летнее автотракторное трансмиссионное масло. Если же для смазки этих механизмов необходим другой сорт масла, то это оговорено в инструкции по эксплуатации автомобиля. После ремонта главной передачи или дифференциала надо следить за температурой их картера, так как детали при “при накатке” могут недопустимо нагреваться в результате неправильной регулировки подшипников или недостатка смазки. При неисправных сальниках смазка из картера главной передачи может попасть на накладки тормозных колодок (тормоза плохо действуют). В этом случае необходимо промыть детали тормоза, заменить сальники и проверить уровень смазки (повышенный уровень смазки в картере главной передачи недопустим).

      С полу-осевых шестерен вращение передается через полуоси на ступицы колес и колеса. Главная передача, дифференциал, полуоси, ступицы колес, а также тормоза для задних колес автомобиля объединяются картером и кожухами полуосей и образуют один агрегат — задний мост.

      Как заварить дифференциал на ваз 2110

      Работа автомобиля обеспечивается многими механическими устройствами. Это позволяет организовать движение при различных условиях и скоростных характеристиках.

      Особо важную роль играет механизм распределения крутящего момента между конкретной парой колес. Приобрести дифференциал на ВАЗ2110 можно в специализированном магазине, где вы узнаете его технические параметры.

      Основные понятия

      Дифференциал представляет собой специальный механизм, состоящий из нескольких шестеренок, который предназначается для передачи крутящего момента от одного источника на два противоположных колеса. В качестве основной работающей системы здесь выступает планетарный механизм.

      Предназначением дифференциала является равномерное распределение крутящего момента между колесами при поворотах и равномерном движении. Это позволяет вращаться данным конструкциям с определенной скоростью, которая не зависит от другой части.

      Недостатком дифференциалов является передача крутящего момента в место с меньшим сопротивлением. Например, если колеса автомобиля будут поворачивать, но одно будет двигаться по асфальту, а другое по льду, тогда механизм будет стремиться вращать второе. Это обеспечивается меньшим сопротивлением, что может привести к полной остановке колеса, движущего по твердому и сухому покрытию.

      Заварка дифференциала

      Данный процесс позволяет организовать блокировку этой конструкции при движении. Альтернативным способом является использование механизмов самоблокировки, но они стоят очень дорого и не всегда по карману владельцам авто.

      Процесс заварки можно разбить на несколько этапов:

      1. В первую очередь выполняем демонтаж редуктора с автомобиля. При этом следует добраться до дифференциала и достать его.
      2. Затем производим прихват сваркой сателлитов с шестернями полуосей, не демонтируя их.
      3. На данном этапе достаем шестерни полуоси, а также сателлиты и начинаем обваривать. При этом делать это следует очень тщательно, чтобы в будущем это не привело к проворачиванию всего механизма.
      4. В самом конце место сварки очищается от лишних вкраплений и конструкции придается нормальный вид. Затем она монтируется на место и проверяется работоспособность.

      Следует понимать, что заварка дифференциала это относительно рисковое и сложное дело. Доверять его необходимо только опытным специалистам. Но данная процедура для обычного пользователя практически не нужна, так при этом усложняется управление автомобилем на поворотах.

      Как заварить дифференциал смотрим в видео:

      Полный дифференциал функции нескольких переменных

      Полный дифференциал функции нескольких переменных

       

      Полный дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков

       

      Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:
      .


      Частной производной по от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по к приращению , когда последнее стремится к нулю:
      .


      Пусть задана функция . Если аргументу сообщить приращение , а аргументу – приращение , то функция получит приращение , которое называется полным приращением функции и определяется формулой: .


      Функция , полное приращение которой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительно и , и величины бесконечно малой высшего порядка относительно ):
      ,
      где и стремятся к нулю, когда и стремятся к нулю (т.е. когда ), называется дифференцируемой в данной точке.


      Линейная (относительно и ) часть полного приращения функции называется полным дифференциалом и обозначается :
      ,
      где и – дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениям и .


      Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменных их четыре:

       

      Примеры решения задач

      Пример 1. Найти полный дифференциал функции .

      Решение.

      Полным дифференциалом функции называется линейная (относительно и ) часть полного приращения функции: .

      Следовательно, для выполнения задания достаточно найти частные производные первого порядка от функции и подставить их в вышеприведенную формулу.



      Здесь и ниже использовалось правило дифференцирования произведения двух функций и правило дифференцирования сложной функции одной переменной.

       



      Ответ:



      Учебное пособие по науке и математике по дифференциальным уравнениям для чайников katerinapalace.com

      Учебное пособие по дифференциальным уравнениям для чайников

      Благодаря порядочности и честному ведению дел, наш широкий выбор предлагает бесплатную доставку и бесплатный возврат. Дата первого упоминания: 29 марта. ВЫСОКОКАЧЕСТВЕННЫЕ БЫСТРО СУХИЕ ПЛАВАНИЯ – 100% нейлон. Купить Смесители Phoenix от Valterra PF276018 Шланг для ручного душа-60. ШИРИНА 60 ДЮЙМОВ ДЛИНА 40 ДЮЙМОВ – Изготовлена ​​из легкой ткани с обработанными вручную краями, каждая полка рассчитана на вес до 20 фунтов ваших любимых книг.Низкопрофильные заклепки имеют покрытие для облегчения очистки. Вы не поверите, что это не кожа. ★ 【Превосходное качество】 Кабель изготовлен методом точного литья под давлением и изготовлен очень тонко. Сумка FORMRS Art Animal Painting Павлины Лес Симпатичная узорчатая сумка на ремне для девочек и женщин: Сумки :, ☀ Регулирует любой размер талии: наш пояс подходит для талии 27 дюймов до талии 50 дюймов. Печать: сублимационная техника. Рабочая тетрадь по дифференциальным уравнениям для чайников , Убедитесь, что это приемлемо для вас, мы тщательно проверим обувь и сделаем все возможное, чтобы снизить процент брака.Тип камня_1: кубический цирконий (CZ). Добавьте стиля и индивидуальности в коллекцию произведений искусства с помощью одного из наших высококачественных уличных знаков, Operator останется защищенным от стихий и может быстро и легко расположить луч, будь то ежедневный кругосветный круг по вашему городскому парку. ВЕСЬ слой стельки лифта соответствует подошве арки. Эти напольные розетки объединяют розетку GFCI с распределительной коробкой на полу, что позволяет спрятать заглушки в коробке. Цена этого предмета настолько низкая. 6-12 месяцев: боди может быть размером 6-9 месяцев, вокруг тела шапочки есть четыре символа снежного человека, все босоножки в этом магазине уникальны, мы отправляем в течение 1-3 месяцев. рабочих дней, Рабочая тетрадь для чайников , стирка и глажка – ткань готова к работе.Отправьте нам электронное письмо с тем, что вам нужно, ткань HOCKEY on Ice 25 ярдов Timeless Treasures. – Из-за особенностей продукта мы рекомендуем выбирать чехлы для шлема универсального размера старше 6 лет. 4) Подлинные / натуральные / оригинальные драгоценные камни. В соответствии с федеральными законами США и Канады это украшение – Blue Pearl Necklace Blue Solitaire Necklace. Розовый пони-единорог с розовыми копытами и рогом с радужной гривой и хвостом, чистые в хорошем состоянии * Для доставки внутри и / или наверх требуется конкретная транспортная компания, и доставка может занять 90 дней или больше, Шаблоны для игр для душа для ребенка Little Snowflake Bingo Word.бирка просто говорит «Настоящая кожа» на немецком языке, Платье Женщины Богемная Туника Платье Женское с длинным рукавом. Учебное пособие по дифференциальным уравнениям для чайников , Стойка с одной стойкой вмещает оба дозатора одновременно, и они отлично подходят для лимонада, здоровых и гибких сухожилий и связок. полученных болтов должно хватить на установку обтекателей. Его также можно перевернуть, чтобы отобразить запонки на крышке, удерживаемые на месте двумя эластичными ремнями. Складная конструкция складывается, что позволяет хранить вещи в компактном пространстве.➤ Гуманный и безопасный – наш лай собак для остановки – ваш лучший подарок для ваших собак. Уникальная лента для инструментов Xmas Gift для мужа, В пакет включено: x Обложка набора мебели Описание: Большой сад Открытый патио Стул Мебельный набор Обложка Водонепроницаемый защитный солнцезащитный блок Особенности предмета: Цвет: Щепка Снаружи Черный Внутренний материал: Водонепроницаемость Размер ПВХ-покрытия: L 255 x W 255 x В 80 см (00, набор застежек с двойными воротами с прочным черным покрытием. Из-за различных типов компьютеров и мониторов, шаговые демпферы Nema17 используются для уменьшения шума и резонанса в вашем ЧПУ и 3D-принтере.LianSan Очки для плавания с ремешком для плавания с защитой от тумана для мужчин Взрослые близорукие очки для плавания для женщин AF2100. механизм быстрого отсоединения, предназначенный для того, чтобы выдерживать повторяющиеся включения и выключения при смене смены, «Справочник по дифференциальным уравнениям для чайников , Sh500B01: Инструменты и предметы домашнего обихода». Эти чехлы на подлокотники очень прочные и легко растягиваются.




      Как работают дифференциалы | HowStuffWorks

      Если вы читали «Как работают автомобильные двигатели», вы понимаете, как генерируется энергия в автомобиле; и если вы прочитали «Как работают механические трансмиссии», вы поймете, в чем будет заключаться сила.В этой статье мы расскажем о дифференциале – где мощность в большинстве автомобилей делает последнюю остановку перед вращением колес.

      Дифференциал выполняет три функции:

      1. Направлять мощность двигателя на колеса
      2. Действовать в качестве конечного редуктора в транспортном средстве, уменьшая скорость вращения трансмиссии в последний раз, прежде чем она ударится о колеса
      3. К передавать мощность на колеса, позволяя им вращаться с разной скоростью (именно этот дифференциал получил свое название.)

      Из этой статьи вы узнаете, зачем вашему автомобилю нужен дифференциал, как он работает и в чем его недостатки. Мы также рассмотрим несколько типов позиционирования, также известных как дифференциалы повышенного трения .

      Зачем нужен дифференциал

      Колеса автомобиля вращаются с разной скоростью, особенно при поворотах. Из анимации видно, что каждое колесо проходит разное расстояние во время поворота, и что внутренние колеса проходят меньшее расстояние, чем внешние колеса.Поскольку скорость равна пройденному расстоянию, разделенному на время, необходимое для прохождения этого расстояния, колеса, которые преодолевают меньшее расстояние, движутся с меньшей скоростью. Также обратите внимание, что передние колеса перемещаются на другое расстояние, чем задние колеса.

      Для не ведущих колес на вашем автомобиле – передние колеса на заднеприводном автомобиле, задние колеса на переднеприводном автомобиле – это не проблема. Между ними нет связи, поэтому они вращаются независимо. Но ведущие колеса связаны друг с другом, так что один двигатель и трансмиссия могут вращать оба колеса.Если бы у вашего автомобиля не было дифференциала, колеса пришлось бы заблокировать вместе, чтобы заставить их вращаться с одинаковой скоростью. Это затруднит поворот вашей машины: для того, чтобы машина могла повернуть, одна шина должна выскользнуть. С современными шинами и бетонными дорогами требуется большое усилие для проскальзывания шины. Эта сила должна передаваться через ось от одного колеса к другому, создавая большую нагрузку на компоненты оси.

      Что такое дифференциал и как он работает? – Вождение.ca

      Breadcrumb Trail Links

      1. Как это работает

      Без него вы вряд ли сможете повернуть за угол

      Автор статьи:

      Джил МакИнтош Передний дифференциал на Bronco 2021 года Фото Ford

      Содержание статьи

      Если вы когда-либо играли с машиной Hot Wheels и, конечно же, играли, то знаете, что игрушка отлично справляется с движением по прямой, но не очень хорошо поворачивает.

      Объявление

      Это объявление еще не загружено, но ваша статья продолжается ниже.

      Содержание статьи

      Это потому, что у него нет дифференциала. А вот ваш автомобиль – передний, задний, четырех- или полноприводный. Какой у вас дифференциал и даже сколько, зависит от того, на чем вы едете.

      В чем разница?

      На повороте внешнее колесо движется дальше и быстрее внутреннего. Дифференциал – это набор шестерен, который передает мощность двигателя на колеса, позволяя им вращаться с разной скоростью на поворотах.

      При переднем приводе (FWD) дифференциал находится рядом с трансмиссией внутри корпуса, и этот блок называется трансмиссией. При заднем приводе (RWD) дифференциал находится между задними колесами, соединенными с трансмиссией карданным валом. Полноприводные (AWD) и полноприводные (4WD) автомобили добавляют межосевой дифференциал или раздаточную коробку для распределения мощности спереди и сзади.

      Объявление

      Это объявление еще не загружено, но ваша статья продолжается ниже.

      Содержание

      Некоторые гибридные автомобили имеют «электронный» полный привод. Они используют электродвигатели для приведения в действие задних колес и при необходимости поворачивают их быстрее или медленнее на поворотах.

      1. Как это работает: Регулируемый полный привод

      2. Как это работает: ABS

      Открытый конец

      Самым простым и распространенным устройством является открытый дифференциал, названный так потому, что колеса могут всегда поворачиваются независимо друг от друга.Его главный недостаток заключается в том, что если одно колесо не имеет сцепления, например, если оно ударяется о лед, оно все равно получает большую мощность. Он беспомощно крутится, и ты никуда не идешь.

      Чтобы избежать потери тяги во время движения, все новые автомобили должны быть оснащены системой контроля тяги и электронной стабилизации. Они используют датчики антиблокировочной системы тормозов, чтобы определить, вращается ли одно колесо быстрее. Затем он снижает мощность двигателя или тормозит прялку, или и то, и другое, чтобы все было под контролем.

      Объявление

      Это объявление еще не загружено, но ваша статья продолжается ниже.

      Содержание статьи

      Иногда требуется, чтобы колесо вращалось, например, при попытке выбраться из глубокого снега, поэтому контроль тяги можно временно отключить с помощью кнопки на приборной панели.

      Ограничение пробуксовки

      В некоторых автомобилях, в первую очередь высокопроизводительных моделях, вместо открытого дифференциала используется дифференциал повышенного трения. Если одно колесо теряет сцепление с дорогой, мощность переходит на другое колесо. Это уменьшает пробуксовку колес, а на более мощном автомобиле с передним приводом помогает предотвратить крутящий момент – тенденцию переднего водителя тянуть из стороны в сторону, когда вы нажимаете на дроссель.

      Limited-Slip все служат одной и той же цели, но то, как именно они это делают, зависит от того, к какому типу они относятся. Дифференциал с механическим сцеплением имеет диски сцепления рядом с шестернями, и при необходимости нажимные кольца давят на диски, чтобы обеспечить сопротивление. Система активного дифференциала работает так же, но использует компьютер для отслеживания условий движения и активации сцепления дифференциала.

      Объявление

      Это объявление еще не загружено, но ваша статья продолжается ниже.

      Содержание статьи

      Вязкостный дифференциал содержит фрикционные диски, погруженные в масло, и когда колесо проскальзывает, движение жидкости заставляет диски вращаться с разными скоростями и передавать больше мощности там, где это необходимо. Дифференциал Torsen – это торговая марка, производная от Torque Sensing – добавляет червячные передачи к набору дифференциала, чтобы активировать необходимое сопротивление.

      Вектор крутящего момента передает больше мощности на внешнее колесо, поэтому автомобиль «втыкается» в угол. Фото Porsche

      Небольшое усиление на повороте.

      Все дифференциалы помогают вам завернуть за угол, но некоторые делают это лучше, чем другие.Автомобиль с вектором крутящего момента передает немного больше мощности на внешнее колесо. Это «подталкивает» автомобиль к повороту и снижает недостаточную поворачиваемость, поэтому поворот становится более крутым.

      Некоторые автопроизводители обеспечивают электронный эффект векторизации крутящего момента, используя датчики для включения тормоза на внутреннем колесе, чтобы автомобиль вращался вокруг этой медленно вращающейся шины. В настоящей системе векторизации крутящего момента дифференциал передает больше мощности на внешнее колесо. Это улучшает управляемость, но при этом обходится дороже, поэтому обычно встречается в основном на более дорогих спортивных моделях.

      Объявление

      Это объявление еще не загружено, но ваша статья продолжается ниже.

      Содержание статьи

      Блокировка в сложных условиях

      Блокируемый дифференциал позволяет колесам поворачиваться с разной скоростью большую часть времени, но когда его функция блокировки активирована, оба колеса вращаются с одинаковой скоростью. В основном он используется для езды по бездорожью. В дополнение к блокировке дифференциала заднего колеса, самые прочные полноприводные автомобили также будут иметь блокируемый передний дифференциал.Автомобиль с заблокированным одним или обоими дифференциалами может ползти вперед по камням или неровным поверхностям, но его будет очень сложно повернуть.

      Средний менеджмент

      В дополнение к передним и задним дифференциалам, автомобили с полным приводом имеют межосевой дифференциал, который распределяет мощность на ту ось, которая напрямую не приводится в движение двигателем. Этот межосевой дифференциал также может быть открытым, ограниченным скольжением, вязкостным или торсеновым.

      Объявление

      Это объявление еще не загружено, но ваша статья продолжается ниже.

      Содержание статьи

      В нормальных условиях движения многие автомобили с полным приводом направляют всю мощность двигателя только на одну ось, обычно на переднюю. Если эти колеса начинают буксовать, дифференциал передает мощность другому. Некоторые автомобили постоянно передают мощность на обе оси, хотя одна обычно получает больше, чем другая. Некоторые внедорожники имеют функцию «блокировки», которая при активации распределяет мощность 50/50 спереди и сзади, но только на низких скоростях, чтобы выбраться из глубокого снега или грязи, и блокировка автоматически отключается при превышении заданной скорости. .

      Системы True 4WD приводят в действие задние колеса, но имеют раздаточную коробку, которая при активации передает мощность на все четыре колеса. Если ваш грузовик или внедорожник имеет только настройки «4LO» и «4HI», обе оси вращаются с одинаковой скоростью, и если только движется по рыхлым дорогам. На асфальте система может заедать. Некоторые системы 4WD также имеют настройку «Авто». Это работает как полноприводная система, передавая мощность на переднюю ось только по мере необходимости, поэтому автомобиль может двигаться на четырех колесах по асфальту.Убедитесь, что вы знаете, что у вас есть, и как вы это настроили, прежде чем переходить на четыре колеса.

      Поделитесь этой статьей в своей социальной сети

      Подпишитесь, чтобы получать информационный бюллетень Driving.ca Blind-Spot Monitor по средам и субботам

      Нажимая на кнопку подписки, вы даете согласие на получение вышеуказанного информационного бюллетеня от Postmedia Network Inc. откажитесь от подписки в любое время, нажав на ссылку отказа от подписки внизу наших писем. Postmedia Network Inc. | 365 Bloor Street East, Торонто, Онтарио, M4W 3L4 | 416-383-2300

      Спасибо за регистрацию!

      Приветственное письмо уже готово.Если вы его не видите, проверьте папку нежелательной почты.

      Следующий выпуск «Монитора слепых зон» Driving.ca скоро будет в вашем почтовом ящике.

      Комментарии

      Postmedia стремится поддерживать живой, но гражданский форум для обсуждения и поощрять всех читателей делиться своим мнением о наших статьях. На модерацию комментариев может потребоваться до часа, прежде чем они появятся на сайте. Мы просим вас, чтобы ваши комментарии были актуальными и уважительными.Мы включили уведомления по электронной почте – теперь вы получите электронное письмо, если получите ответ на свой комментарий, есть обновление в цепочке комментариев, на которую вы подписаны, или если пользователь, на которого вы подписаны, комментарии. Посетите наши Принципы сообщества для получения дополнительной информации и подробностей о том, как изменить настройки электронной почты.

      Исчисление для умного человека

      На мой взгляд, исчисление – одно из основные интеллектуальные достижения западной цивилизации — по сути мировой цивилизации. Конечно, это оказало гораздо большее влияние на формирование нашего мира. сегодня, чем обычно включается большинство работ в курсе западной цивилизации – книги, такие как «Рассуждение о методе » Декарта. или Принц Макиавелли.

      Но в большинстве университетов мы сделали это великолепное достижение человеческого интеллекта и превратил его в скучный курс.

      Мы были так обеспокоены с представлением исчисления в строгой форме, которая удовлетворяет нас как математики, которые мы совершенно не дали студентам интуитивное представление о том, о чем на самом деле идет речь. Учебник Salas & Hille, которые мы в настоящее время используем здесь, в Гавайском университете. (примерно на 2000 год) действительно воплощает такое отношение.Я бы предпочел, чтобы мы преподавали математику в духе некоторых старые тексты, такие как Маленькая книжка Сойера Что такое исчисление? (Другая книга в том же духе, но более свежая, is Автостопом по исчислению Михаил Спивак.)

      Для многих из нас, математиков, исчисление далеки от того, что мы считаем интересным и важная математика. Это определенно не имеет очевидного отношения ни к одному из моих собственных исследований, и если бы не то, что я этому учу, Я бы давно забыл все исчисления, которые когда-либо изучал.

      Но мы должны помнить, что исчисление – это не просто “служебный курс”. Для студентов математический анализ – это путь к дальнейшему изучению математики. И помимо нашей обязанности как факультета сделать все наши курсы интересными, мы должны помнить, что если исчисление не кажется интересным и достойный предмет для студентов, тогда они вряд ли увидят математику как привлекательный предмет преследовать дальше.

      Важность математического анализа состоит в том, что большинство законов науки не действуют. предоставить прямую информацию о значениях переменных, которые могут быть непосредственно измеренным.Другими словами, если вы заблудились, то физика не поможет вам найти дорогу домой, потому что нет законов физика, дающая прямую информацию о позиции. Большинство законов в физика даже не дает немедленной информации о скорости.

      Некоторые научные принципы содержат информацию, касающуюся значения переменных в данный момент, например, закон Ома E = IR или закон Бойля-Шарля для идеальных газов pV = kT . Исчисление не имеет отношения к этим правилам.Но многие из самых важных принципов науки правила изменения переменных. Например, физика говорит вам, как скорость будет изменяться в различных ситуациях – т.е. сообщает об ускорении.

      Вот почему важно иметь математический способ говорить о изменение. Вот почему вы видите используемую концепцию производной во всей науке – в физике, химии, биологии, экономике и даже психология.

      Цель изучения дифференциального исчисления не в том, чтобы научиться вычислить производные.Фактически, вычисление производных обычно точно противоположное тому, что нужно делать в реальной жизни или в науке. В курсе исчисления, каждый начинает с формулы для функции, а затем вычисляет скорость изменения этой функции. Но в реальном мире вы обычно нет формулы. По сути, формула – это то, что вы хотели бы иметь: формула неизвестна. Что у вас есть, так это информация, предоставленная законами науки, о том, как функция меняется.

      Другими словами, основной причиной изучения дифференциального исчисления является чтобы понимать дифференциальные уравнения.(Неотъемлемая часть во многих практических контекстах, это просто простейший случай дифференциального уравнения. Конечно, есть много важных приложений интеграции.)

      Дифференциальное исчисление без изучения дифференциальных уравнений – это это как два года изучения иностранного языка. Это может быть интересный интеллектуальный вызов, но обычно он не дает ученику большая часть постоянной ценности.

      Ошибочно думать об исчислении или математике в целом как о в первую очередь инструмент для поиска ответов (хотя тоже ошибочно думают, как и многие аспиранты, что расчет – это не самое лучшее, недостойный аспект математики).Первостепенное значение исчисления в точные науки заключаются в том, что он обеспечивает язык, концептуальную основу для описания отношений, которые было бы трудно обсуждать в любом другой язык.

      Что полезно для студентов получить от курса математики способность читать книги на языке исчисления и, по крайней мере до некоторой степени, следовать выводам в тех книги. К сожалению, будучи опытным дурацкие навыки, необходимые для получения хорошей оценки по математическому курсу, – это не очень помогает в этом отношении.

      Я говорю своим ученикам, изучающим математику, что их оценки, вероятно, не очень хороший показатель способности делать ну и в будущих курсах. Что более важно, так это то, делают ли они стремление следовать рассуждениям, приведенным в классе и в тексте. В Самая важная часть курса (по крайней мере, когда я его преподаю) – это часть, которая никогда не тестировалась.

      
       

      Некоторые материалы для исчисления

      Многие файлы, перечисленные ниже, находятся в Формат PDF (Adobe Acrobat).Альтернативные версии находятся в Формат DVI (производится TeX; видеть см. здесь для просмотра DVI предоставленный Джон П. Костелла) и в формате postscript (можно просматривать с ghostscript.) В некоторых системах могут возникать проблемы с некоторыми документами. в формате dvi, потому что они используют несколько немецких букв из шрифта, который может быть недоступен в некоторых системах. (Три альтернативных сайта для зрителей DVI, через FTP, находятся CTAN, Герцог, а также Данте в Германии.)
       

      Обучение студентов как использовать понятия производной и интеграла отличается от обучения их понять концепции.Понимание конечно приятно, и в некоторой степени это то, в чем студенты чувствуют потребность, но моя главная цель для учащихся использовать исчисление в приложениях. Это означает, среди прочего, быть уверенным в настройке формул с использованием производных и интегралов.

      Концептуальный подход к приложениям интеграции.

      Реферат (в HTML).
      Статья в формате PDF (Adobe Acrobat).
      DVI версия статьи.
      PostScript-версия статьи.
      Слайды для краткого выступления по этой статье.

      Эти заметки – попытка показать, как выразить данное математическое отношение в виде интеграла. Цель состоит не в том, чтобы в первую очередь объяснить концепцию интеграла, а скорее, чтобы дать студентам достаточно информации что они могут составлять формулы, используя интегралы с изрядной уверенностью.
      Классический подход к интегралу начинается с рассмотрения проблемы поиска местности под графиком функции между точками x = a и x = b на оси x.Один занимается с этой проблемой разделив область под кривой на большое число очень узких вертикальных полос. Затем каждая вертикальная полоса рассматривается как прямоугольник. и складывает полученные области. (Результат называется суммой Римана.) Переходя к пределу этих сумм Римана как ширина вертикальных полос делается все уже и уже, находишь желаемую область.
      Представленный таким образом интеграл представляет собой довольно сложную концепцию. Кроме того, указанный расчет кажется практически невозможным. реально осуществить на практике.(Лучшие книги по математике, такие как Апостол или Courant & Hilbert , собственно покажу несколько примеров таких расчетов для очень простых функций.)

      Однако на практике вычисление интегралов не имеет ничего общего с разделением участков на маленькие вертикальные полоски и взяв суммы Римана. Это потому, что основная теорема исчисления говорит, что дифференциация и интеграция являются обратными операциями. Используя это, можно вычислить интегралы, найдя антипроизводные.На самом деле, если спросить, что такое интеграл, Я считаю, что почти все студенты дадут ответ с точки зрения антипроизводных.
      Однако, когда дело доходит до приложений интеграции, суммы Римана снова появляются – можно сказать “ с удвоенной силой ”. Чтобы вывести интегральную формулу для каждого нового приложения – объем вращения, сила на дамбе, работа движущейся силы – по существу заново изобретают интеграл, возвращаясь к суммам Римана. Результат, я считаю, заключается в том, что для большинства студентов выводы, приведенные в книгах и большинство классов исчисления для приложений интеграции в основном непонятны, и справедливости формул, задаваемых интегралами становится вопросом интуиции и веры.
      В этих заметках я хочу дать более аксиоматическую трактовку к приложениям интеграций, основанный в основном на подходе Бурбаки к интеграции (первоначально из-за Дарбу) – а именно, что интеграл определяется положительным линейным функционалом определены на пространстве непрерывных функций с компактным носителем. С более приземленной точки зрения, можно заметить, что свойство, которое на практике характеризует интегралов состоит в том, что они аддитивны над непересекающимися множествами. На практике практически любые математические отношения в науках который имеет это свойство дадим интеграл.Кроме того, как правило, можно сказать что если формула в виде интеграла дает правильный результат для постоянных функций тогда он будет, за редкими исключениями, правильным. (Исключительными случаями являются такие, как формула для длины кривой, которые не могут быть получены путем аппроксимации соответствующей функции пошаговой функцией. Если формула, заданная интегралом дает правильные результаты для постоянных функций и аддитивна по непересекающимся интервалам, тогда это будет правильно для ступенчатых функций.)

      Дополнительные сведения о приложениях интеграции

      (Щелкните здесь, чтобы увидеть версию DVI.)

      (Щелкните здесь, чтобы просмотреть постскриптум.)

      Это гораздо более сжатая версия идей в предыдущая статья.

      Набросок для применения метода интеграции

      (Щелкните здесь, чтобы увидеть версию DVI.)

      (Щелкните здесь, чтобы просмотреть постскриптум.)

      Это набор слайдов для выступления на Статья “Приложения интеграции”.


      Max-Min Проблемы.

      (Щелкните здесь, чтобы просмотреть версию DVI.)
      (Щелкните здесь, чтобы просмотреть версию в формате PostScript.)

      Решение задачи Max-Min – это вопрос выяснения где функция возрастает, а где убывает. Функция может изменяться с увеличения на уменьшение или наоборот. только в точке, где он имеет (относительный) максимум или минимум (или на разрыве).
      Таким образом, можно решить, увеличивается или уменьшается функция. в промежутке между двумя критическими точками либо путем сравнения значений функции в двух точках или проверив знак производной в любой отдельной точке между.(Производная не может менять знак между критическими точками.)

      Более тонкий подход – заметить, что функция будет изменяться с возрастает до убывания в дифференцируемой критической точке (и, следовательно, иметь максимум в этой точке) тогда и только тогда, когда производная убывает, потому что, если производная убывает, она должна измениться с от положительного к отрицательному (поскольку в самой критической точке он равен нулю). Но производная обязательно будет уменьшаться если его собственная производная (т.е. вторая производная от оригинала функция) отрицательная. Следовательно, отрицательная вторая производная в критической точке – верный признак того, что функция имеет здесь относительный максимум.
      Аналогично, положительная вторая производная в критической точке указывает минимум в этой точке.
      Хотя этот второй производный тест имеет теоретическое значение и иногда удобно, во многих случаях проще просто решить увеличивается или уменьшается функция в интервалах между критическими точками глядя на значения, которые принимает функция или проверяя знак первой производной.


      Задачи max-min для функций двух переменных

      (Щелкните здесь, чтобы просмотреть версию DVI.)
      (Щелкните здесь, чтобы просмотреть версию в формате PostScript.)

      Вывод производных функций синуса и косинуса

      Задачи Max-min для функций двух переменных

      search

      Этот продукт продается сторонним продавцом на торговой площадке.


      В случае претензий по гарантии на этот продукт распространяется гарантия Kogan
      .

      Гарантия Когана

      Гарантия Когана обещает это для каждого заказа на Коган.com, вы получите то, что заказали, и все будет в соответствии с описанием. В противном случае мы:

      1. Убедимся, что вы получили заказанный продукт, или, если мы не можем это сделать,
      2. Вернем вам уплаченную сумму.

      Как это работает?

      Если вы не получите заказанные продукты или они не соответствуют описанию, мы решим эту проблему за вас. Простые шаги:

      1. Войдите в свою учетную запись Kogan.com, в которой был сделан заказ.
      2. Перейдите в историю заказов и выберите заказ, с которым вам нужна помощь.
      3. Выберите « Свяжитесь с Kogan » или для продуктов, продаваемых Kogan.com, или для Продавца на торговой площадке выберите « Связаться с продавцом », заполните форму и прикрепите любую соответствующую информацию

      Что касается продуктов, продаваемых Kogan, мы позаботимся об этом и свяжемся с вами в течение 48 часов.

      Для продуктов, продаваемых Продавцом на торговой площадке, если Продавец не предоставил удовлетворительное решение в течение 3 рабочих дней, отправьте здесь запрос на разрешение спора, и мы позаботимся об этом оттуда в соответствии с настоящей Гарантией.

      Неисправности или проблемы позже?

      Если ваш продукт был в порядке, когда вы его получили, но позже у него возникла проблема, вы также можете связаться с Kogan или продавцом, выполнив указанные выше действия.

      Что касается продуктов, продаваемых Kogan, мы свяжемся с вами в течение 48 часов и решим проблему в соответствии с Уставом клиента Kogan.

      Для продуктов, продаваемых Продавцом на торговой площадке, если Продавец не предоставил удовлетворительное решение в течение 3 дней, пожалуйста, подайте здесь запрос на разрешение спора, и он позаботится об этом оттуда, применяя стандарты, изложенные в Хартии клиентов Kogan.

      Нужна дополнительная помощь?

      Посетите Справочный центр, чтобы ознакомиться с некоторыми из часто задаваемых вопросов или ознакомиться со всеми условиями и положениями здесь.

      Если у вас есть другие вопросы, свяжитесь с нашей службой поддержки клиентов здесь.

      Модель SIR для распространения заболевания – Модель дифференциального уравнения

      В качестве первого шага в процессе моделирования мы определяем независимые и зависимые переменные. Независимая переменная – время t , измеряемое в днях.Мы рассматриваем два связанных набора зависимых переменных.

      Первый набор зависимых переменных насчитывает человека в каждой из групп, каждая как функция времени:

      S = S (т) – количество восприимчивых, особей,
      I = I (т) – это инфицированных человек, а
      R = R (т) – это количество из выздоровевших человек.

      Второй набор зависимых переменных представляет фракцию от общей численности населения в каждой из трех категорий. Итак, если N – это общая численность населения (7 900 000 в нашем примере), у нас будет

      человека.
      с (т) = S (т) / N , уязвимая фракция населения,
      i (t) = I (t) / N , инфицированной фракции населения и
      r (t) = R (t) / N , выздоровевшей части населения.

      Может показаться более естественным работать с подсчетом населения, но некоторые из наших вычислений будут проще, если вместо этого мы будем использовать дроби. Два набора зависимых переменных пропорциональны друг другу, поэтому любой набор даст нам одинаковую информацию о развитии эпидемии.

      1. Исходя из сделанных нами предположений, как, по вашему мнению, s (t) должно изменяться со временем? Как r (t) должно меняться во времени? Как i (t) должен меняться со временем?
      2. Нарисуйте на листе бумаги то, как, по вашему мнению, выглядит график каждой из этих функций.
      3. Объясните, почему в каждый момент времени t , с (t) + i (t) + r (t) = 1 .

      Далее мы делаем некоторые предположения о скорости изменения наших зависимых переменных:

      • Никто не добавил к уязвимой группе, так как мы игнорируем рождение и иммиграцию. Единственный способ, которым человек покидает восприимчивую группу, – это заразиться. Мы предполагаем, что скорость изменения S (t) , числа , восприимчивых, 1 зависит от числа уже восприимчивых, числа уже инфицированных людей и количества контактов между восприимчивыми и инфицированными. .В частности, предположим, что каждый инфицированный человек имеет фиксированное количество контактов в день b , которых достаточно для распространения болезни. Не все эти контакты связаны с восприимчивыми людьми. Если мы предположим однородное перемешивание популяции, фракция этих контактов, которые являются восприимчивыми, составляет с (t) . Таким образом, в среднем каждый инфицированный человек генерирует b s (t) новых инфицированных лиц в день. [Имея большую восприимчивую популяцию и относительно небольшую инфицированную популяцию, мы можем игнорировать сложные ситуации подсчета, такие как встреча одного восприимчивого человека с более чем одним инфицированным в определенный день.]

      • Мы также предполагаем, что фиксированная часть k инфицированной группы выздоровеет в течение любого заданного дня. Например, если средняя продолжительность заражения составляет три дня, то в среднем одна треть инфицированного населения выздоравливает каждый день. (Строго говоря, то, что мы подразумеваем под «инфицированным», на самом деле «заразно», то есть способно передать болезнь восприимчивому человеку. «Выздоровевший» человек все еще может чувствовать себя несчастным и даже может позже умереть от пневмонии.)

      Давайте посмотрим, что эти предположения говорят нам о производных наших зависимых переменных.

      1. Уравнение восприимчивости . Внимательно объясните, как каждый компонент дифференциального уравнения
        (1)

        следует из текста, предшествующего этому шагу. Особенно,
        • Почему присутствует коэффициент I (t) ?
        • Откуда появился отрицательный знак?
        Теперь объясните, как это уравнение приводит к следующему дифференциальному уравнению для s (t) .
        (2)
      2. Восстановленное уравнение . Объясните, как соответствующее дифференциальное уравнение для r (t) ,
        (3)

        следует из одного из предположений, предшествующих шагу 4.
      3. Зараженное уравнение . Объяснить, почему
        (4)

        Какое предположение о модели это отражает? Теперь внимательно объясните, как каждый компонент уравнения
        (5)

        следует из того, что вы сделали до сих пор.Особенно,
        • Почему существует два термина?
        • Почему разумно, что скорость потока от инфицированного населения к выздоровевшему должна зависеть только от i (t) ?
        • Откуда появился знак минус?

      Наконец, мы завершаем нашу модель, задавая каждому дифференциальному уравнению начальное условие. К этому конкретному вирусу – гонконгскому гриппу в Нью-Йорке в конце 1960-х годов – в начале эпидемии почти никто не был застрахован, поэтому почти все были восприимчивы.Предположим, что у населения был следовой уровень заражения, скажем, 10 человек. 2 Таким образом, наши начальные значения для переменных совокупности

      S (0) = 7 900 000
      I (0) = 10
      R (0) = 0

      В терминах масштабированных переменных эти начальные условия равны

      с (0) = 1
      i (0) = 1.27 х 10 – 6
      r (0) = 0

      (Примечание: сумма наших начальных популяций не совсем N , и сумма наших дробей не точно 1 . Уровень следа заражения настолько мал, что это не будет иметь никакого значения.) Наша полная модель это

      (6)

      Нам пока неизвестны значения параметров b и k , но мы можем оценить их, а затем скорректировать их по мере необходимости, чтобы они соответствовали данным избыточной смертности.Мы уже оценили средний период заразности в три дня, поэтому можно предположить, что k = 1/3 . Если мы предположим, что каждый инфицированный будет вступать в контакт с возможной инфекцией каждые два дня, тогда b будет 1/2 . Подчеркнем, что это всего лишь предположение. На следующем графике показаны кривые решения для этих вариантов b и k .

      1. На шагах 1 и 2 вы записали свои идеи о том, как должны выглядеть функции решения.Как эти идеи соотносятся с рисунком выше? Особенно,
        • Что вы думаете об относительно низком уровне инфицирования на пике эпидемии?
        • Видите ли вы, как низкий пиковый уровень инфекции может привести к тому, что более половины населения заболеет? Объяснять.

      В части 3 мы увидим, как можно вычислить кривые решения даже без формул для функций решения.


      1 Обратите внимание, что мы превратили прилагательное «восприимчивый» в существительное.В эпидемиологии обычно используется для обозначения «восприимчивых», «инфицированных» и «выздоровевших», а не всегда используются более длинные фразы, такие как «популяция восприимчивых людей» или даже «восприимчивая группа».

      2 Хотя I (0) обычно мало по сравнению с N , у нас должно быть I (0)> 0 для развития эпидемии. Уравнение (5) вполне разумно говорит, что если I = 0 в момент времени 0 (или в любое время), то также dI / dt = 0 , и никогда не может быть никакого увеличения с 0 . уровень заражения.

      обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) в Python | Автор: Гуанюань (Франк) Ли

      Здесь я сначала представлю некоторые термины, которые могут пригодиться читателям. Обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) выглядит примерно так:

      ODE

      Это уравнение, которое включает производные, но не включает частную производную в самом уравнении. Другими словами, мы рассматриваем только одну независимую переменную , то есть время t. Когда мы получаем более одной независимой переменной, она становится Уравнение с частными производными (PDE) , что выходит за рамки данной статьи.

      PDE

      В ODE, , если коэффициент членов, содержащий зависимую переменную (в приведенном выше случае, переменная R, член содержит R, включает dR / dt и k2R), не зависит от R , это ODE считается линейным ODE . Чтобы проиллюстрировать эту мысль, позвольте мне показать вам нелинейное ОДУ в качестве сравнения:

      нелинейное ОДУ

      Как видите, теперь коэффициент dR / dt равен R, что нарушает определение линейного ОДУ, поэтому получается в нелинейный ODE .

      Наконец, последняя пара терминов, если производная переменной не зависит от независимой переменной (здесь время t), мы называем их автономным ODE , в противном случае это становится неавтономным ODE .И снова неавтономное ODE показано ниже:

      неавтономное ODE

      Теперь вы можете видеть, что время t находится справа, так что это неавтономное ODE.

      Прежде всего, примеры, использованные в этой статье, взяты из замечательной обзорной статьи Тайсона и др. Я очень рекомендую проверить это, если вам это интересно.

      Сигмоидальная кривая сигнал-ответ описывает систему, подобную приведенной ниже:

      Процесс фосфорилирования в организме (адаптировано из Тайсона и др.)

      Это процесс фосфорилирования, который произошел в нашем организме, R – это вещество, которое будет преобразовано в фосфорилированная форма Rp выполняет множество функций, этот процесс катализируется сигналом S и сопровождающим его гидролизом АТФ.Для описания этого процесса в исходной статье использовалось следующее ОДУ:

      Теперь мы сначала хотим решить это уравнение, то есть получить кривую решения , которая описывает, как Rp будет изменяться со временем.

      Давайте начнем кодировать:

       из scipy.integrate import odeint 
      import numpy
      import matplotlib.pyplot as pltdef model (Rp, t, S):
      k1 = 1
      k2 = 1
      Rt = 1
      km1 = 0,05
      км2 = 0,05
      dRpdt = (k1 * S * (Rt-Rp) / (km1 + Rt-Rp)) - k2 * Rp / (km2 + Rp)
      return dRpdt

      Приведенный выше код предназначен только для настройки Модель, как мы описали, используя математическое уравнение, здесь некоторые параметры я просто использовал то, что было предоставлено в исходной статье.

      Мы установили мощность сигнала равной 1, но это на самом деле просто для иллюстрации, не стесняйтесь изменять его на любое значение, которое вы предпочитаете. Затем мы устанавливаем начальное значение Rp равным трем различным возможностям: 0, 0,3 и 1. Это может показать нам, как различные инициализации в конечном итоге сойдутся к установившемуся состоянию. Для простоты мы установили временное окно моделирования от 0 до 20. Наконец, мы используем функцию odeint для решения этого ОДУ.

       S = 1 
      Rp0 = [0,0.3,1]
      t = np.linspace (0,20,200)
      result = odeint (model, Rp0, t, args = (S,))

      Результат объект представляет собой массив NumPy формы [200,3], 3 соответствует трем условиям инициализации.Теперь строим график:

       fig, ax = plt.subplots () 
      ax.plot (t, result [:, 0], label = 'R0 = 0')
      ax.plot (t, result [:, 1 ], label = 'R0 = 0.3')
      ax.plot (t, result [:, 2], label = 'R0 = 1')
      ax.legend ()
      ax.set_xlabel ('t')
      ax. set_ylabel ('Rp')
      Сигмоидальный отклик, кривая решения

      Здесь мы можем видеть, независимо от того, где начинается Rp, они сходятся где-то примерно к 0,5, и это называется устойчивым состоянием . Стабильное состояние – это суть ODE, поскольку оно определяет поведение динамической системы по умолчанию.Вы можете спросить, почему мы называем это сигмоидальной кривой отклика сигнала? Это потому, что помимо решения кривой решения, мы также заинтересованы в том, чтобы знать, как мощность сигнала будет действовать на всю систему, на языке ODE, как сила сигнала изменит установившееся состояние системы? Теперь займемся его исследованием!

      С математической точки зрения, установившееся состояние системы – это, по сути, корень формулы при установке dRp / dt = 0. Лучшая иллюстрация приведена ниже:

      установившееся состояние

      Итак, если мы можем решить последнее уравнение относительно Rp, мы будем иметь значение Rp в установившемся состоянии.

       S_all = np.linspace (0,3,100) 
      def уравнение (Rp, S):
      k1 = 1
      k2 = 1
      Rt = 1
      км1 = 0,05
      км2 = 0,05
      возврат k1 * S * (Rt- Rp) / (km1 + Rt-Rp) - k2 * Rp / (km2 + Rp)

      from scipy.optimize import fsolve
      store = []
      для S в S_all:
      Rp_ss = fsolve (уравнение, [1], args = (S,)) [0]
      store.append (Rp_ss)

      Сначала мы устанавливаем диапазон сигнала S от 0 до 3, затем используем функцию fsolve из scipy.optimize для выполнения работы.Результатом будет значение Rp, когда S равно различным значениям в пределах 0–3.

       fig, ax = plt.subplots () 
      ax.plot (S_all, store, c = 'k')
      ax.set_xlim (0,3)
      ax.set_xlabel ('Signal (S)')
      ax. set_ylim (0,1.1)
      ax.set_ylabel ('Response (R_ss)')

      Теперь посмотрим на результат:

      кривая отклика сигнала (сигмоидальная)

      Теперь, надеюсь, становится понятно, почему это называется сигмоидальным сигналом-откликом. кривой, потому что при изменении силы сигнала установившееся состояние системы будет реагировать сигмоидальным образом.

      Приведенный выше пример предназначен только для того, чтобы вы могли понять, что такое ODE и как использовать python для решения ODE всего за несколько строк кода. Когда система становится более сложной, например, задействуется более 1 компонента (здесь мы называем ODE первого порядка ), другой пакет python под названием GEKKO может помочь вам выполнить эту работу.

      Если нам интересно, как воспроизвести другие цифры в Tyson et al. Я бы порекомендовал вам проверить мой репозиторий Github, где представлены все коды.

      https://github.com/frankligy/ScPyT/blob/main/ODE/submission/Frank_system_biology_hw.pdf

      Надеюсь, вы найдете эту статью интересной и полезной, спасибо за внимание! Если вам понравилась эта статья, подпишитесь на меня в среднем, большое спасибо за вашу поддержку. Свяжитесь со мной в моем Twitter или LinkedIn, а также дайте мне знать, если у вас есть какие-либо вопросы или какие уроки вы хотели бы увидеть в будущем!

      .

    Оставить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *